CN104375512A - 一种基于频谱分析的航天器机动路径优化方法 - Google Patents

Abstract

一种基于频谱分析的航天器机动路径优化方法，步骤为：(1)获取航天器某单个姿态轴的机动角度和执行机构能力，基于标准正弦机动路径规划方法，获取初始正弦机动路径；(2)计算初始正弦机动路径的频谱函数及航天器帆板基频处的振幅；(3)利用振幅频谱上界约束条件，解算得到航天器帆板基频与机动加速时长的关系，得到优化后的加速时间和优化后的最大角加速度；(4)基于优化后的最大角加速度及加速时间，在机动角度约束下，根据正弦机动路径设计方法，重新获取机动滑行时间由此得到最终的优化后的正弦机动路径。本发明方法适用于带有大型挠性帆板航天器姿态机动过程的姿态角加速度设计。

Description

一种基于频谱分析的航天器机动路径优化方法

技术领域

本发明属于控制领域，涉及一种航天器轨道的优化方法。

背景技术

根据挠性帆板的振动方程以及帆板的模态频率特性可知，帆板振动模态容易在其固有频率点处被外激励信号所激发。星体的角加速度作为挠性帆板的外激励，其在模态频率处的幅值大小直接决定了帆板模态被激发的程度。从设计角度考虑，为了缩短航天器机动完成后的稳定时间，应尽量减小机动过程对帆板产生的激励。这就需要减小星体角加速度在帆板模态频率处的幅值。

机动路径优化的主要目的是从避免激起挠性帆板振动的角度，对已设计好的机动路径进一步优化。以往的机动路径设计及优化主要考虑执行机构能力及机动时间的约束，而执行机构能力与机动时间不能反映航天器挠性帆板的物理特性，从而在设计机动路径时不能主动规避帆板基频，存在机动过程激励帆板大幅振动的可能。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供了一种基于频谱分析的航天器机动路径优化方法，考虑了帆板基频的影响，从帆板挠性频率分析的角度，显式的给出了航天器机动角加速度需满足的与帆板基频相关的约束条件，并在此基础上实现了对航天器机动路径的优化，适用于带有大型挠性帆板航天器姿态机动过程的姿态角加速度设计。

本发明的技术解决方案是：一种基于频谱分析的航天器机动路径优化方法，包括如下步骤：

(1)获取航天器某单个姿态轴的机动角度θ_d、执行机构的能力τ_max，基于标准正弦机动路径规划方法，获取初始正弦机动最大角加速度a_max、最大角速度ω_max、机动加速时间τ、滑行时间τ₁，由此得到初始正弦机动路径为：

其中，机动加速时间 $\mathrm{\τ}=\left|\frac{\mathrm{\π}{\mathrm{\ω}}_{\max }}{2a_{\max }}\right|,$ 滑行时间 ${\mathrm{\τ}}_1=\frac{\mathrm{\π}}{2a_{\max }\mathrm{\τ}}\left(\right|{\mathrm{\θ}}_d|-\frac{2\left|a_{\max }\right|{\mathrm{\τ}}^2}{\mathrm{\π}});$ 如果计算得到的滑行时间τ₁≤0，则确定滑行时间τ₁＝0，并根据角度约束条件θ_d调整机动加速时间为

(2)计算所获得的初始正弦机动路径的频谱函数F(ω)，

$F\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{4a_{\max }\mathrm{\π}}{\mathrm{\τ}}\frac{\cos \frac{\mathrm{\ω\τ}}{2}\sin \left(\mathrm{\ω}\frac{\mathrm{\τ}+{\mathrm{\τ}}_1}{2}\right)}{(\mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\τ}})(\mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\τ}})}{e}^{-\mathrm{j\ω}(\mathrm{\τ}+\frac{1}{2}{\mathrm{\τ}}_1)}$

由此得到振幅频谱的上界约束条件

(3)计算航天器帆板基频ω₁处的振幅|F(ω₁)|，

$\left|F\left({\mathrm{\ω}}_1\right)\right|=\frac{4a_{\max }\mathrm{\π}}{\mathrm{\τ}}\left|\frac{\cos \frac{{\mathrm{\ω}}_1\mathrm{\τ}}{2}\sin \left({\mathrm{\ω}}_1\frac{\mathrm{\τ}+{\mathrm{\τ}}_1}{2}\right)}{({\mathrm{\ω}}_1-\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\τ}})({\mathrm{\ω}}_1+\frac{\mathrm{\π}}{\mathrm{\τ}})}\right|;$

(4)利用步骤(2)得到的振幅频谱上界约束条件，对步骤(3)中获取的|F(ω₁)|提出约束，要求由此解算得到航天器帆板基频ω₁与机动加速时长τ的关系，作为对加速时间的约束，即在此基础上结合步骤(1)确定的加速时间，得到优化后的加速时间

$\widetilde{\mathrm{\τ}}=\max \left\{\right|\frac{\mathrm{\π}{\mathrm{\ω}}_{\max }}{2a_{\max }}|,\frac{\sqrt{\mathrm{\α}+1}\mathrm{\π}}{{\mathrm{\ω}}_1}\},$ 当τ₁>0时

$\widetilde{\mathrm{\τ}}=\max \{\sqrt{\mathrm{\π}\left|\frac{{\mathrm{\θ}}_d}{2a_{\max }}\right|},\frac{\sqrt{\mathrm{\α}+1}\mathrm{\π}}{{\mathrm{\ω}}_1}\},$ 当τ₁＝0时；

(5)根据步骤(4)中获取的对加速时间的约束计算得到对最大角加速度的约束，综合初始的最大角加速度a_max，得到优化后的最大角加速度

${\tilde{a}}_{\max }=\min (a_{\max },\frac{{\mathrm{\ω}}_{\max }{\mathrm{\ω}}_1}{2\sqrt{\mathrm{\α}+1}}),$ 当τ₁>0时

${\tilde{a}}_{\max }=\min (a_{\max },\frac{{\mathrm{\θ}}_d{{\mathrm{\ω}}_1}^2}{2(\mathrm{\α}+1)\mathrm{\π}}),$ 当τ₁＝0时；

(6)基于优化后的最大角加速度及加速时间在机动角度约束下，根据正弦机动路径设计方法，重新获取机动滑行时间当τ₁>0时，优化 ${\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1=\frac{\mathrm{\π}}{{\tilde{a}}_{\max }\widetilde{\mathrm{\τ}}}\left(\right|{\mathrm{\θ}}_d|-\frac{\left|{\tilde{a}}_{\max }\right|{\widetilde{\mathrm{\τ}}}^2}{2\mathrm{\π}}),$ 当τ₁＝0，优化后的 ${\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1=0;$

(7)利用步骤(6)的计算结果，得到最终的优化后的正弦机动路径为：

$\tilde{f}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& 0<t\&le;\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\\ 0,& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}<t<\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\\ -{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1<t\&le;2\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\end{array}\right.,$ 当 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1>0$ 时；

$\tilde{f}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& 0<t\&le;\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\\ -{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}<t\&le;2\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\end{array}\right.,$ 当 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1=0$ 时。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明方法通过研究机动过程姿态角加速度的频谱特性，给出了机动角加速度需满足的与帆板基频相关的约束条件，并在此基础上对设计的机动角加速度进行优化，主动规避了在帆板固有频率点处激发帆板振动的可能性，尤其适用于带有大型挠性帆板航天器姿态机动过程的姿态角加速度设计；

(2)本发明方法显式的给出了航天器机动角加速度需满足的与帆板基频相关的约束条件，设计人员可以根据帆板特性选择机动过程需避开的频域范围，设计思想简单，易于工程实现。

附图说明

图1为本发明方法的流程框图；

图2为标准正弦机动路径。

具体实施方式

对于带有大型挠性附件的复杂航天器，对机动路径进行优化以避免机动过程对挠性帆板的激励，是提高航天器机动到位后姿态控制精度的重要手段。

由分析可知，正弦型路径机动速度的幅值谱比较复杂，但主要的频谱成分均分布在低频区域。本发明根据工程需求，设计星体角加速度的主要频谱成分分布在小于帆板的第一阶模态频率区间内；并根据设计约束，明确给出最大角加速度应满足的与帆板模态频率相关的条件，进而对机动角加速度进行优化。本发明不同于以往的机动路径优化方法，结合工程需求和设计人员的实际经验，从物理本质优化机动路径，实现了机动过程尽量避免帆板挠性振动的目的。

如图1所示，为本发明的路径优化设计流程图，具体实施步骤如下：

(1)根据执行机构能力获取航天器的最大机动角加速度a_max，根据执行机构角动量容量和敏感器量程获取航天器的最大受限角速度ω_max；根据航天器某姿态轴机动角度θ_d(单个姿态轴)及航天器转动惯量J的约束，基于标准正弦机动路径规划方法，获取机动加速时间滑行时间如果计算得到的滑行时间τ₁≤0，则确定卫星的滑行时间τ₁＝0，并根据角度约束条件θ_d调整机动加速时间即正弦函数的周期 $T=2\mathrm{\&tau;}=\sqrt{2\mathrm{\&pi;}\left|\frac{{\mathrm{\&theta;}}_d}{a_{\max }}\right|}.$

根据标准正弦机动路径设计方法，获取最大角速度ω_max、机动加速时间τ以及滑行时间τ₁之后，可以构造出标准正弦机动路径，如图2所示，其角加速度曲线f(t)的表达式可以写为：

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{a}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}t\right),& 0<t\&le;\mathrm{\&tau;}\\ 0,& \mathrm{\&tau;}<t<\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1\\ -a_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}t\right),& \mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1<t\&le;2\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1\end{array}\right.,$ 当τ₁>0时；

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{a}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}t\right),& 0<t\&le;\mathrm{\&tau;}\\ -a_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}t\right),& \mathrm{\&tau;}<t\&le;2\mathrm{\&tau;}\end{array}\right.,$ 当τ₁＝0时。

(2)对所获得的正弦机动路径进行分析，计算其频谱函数，为 $F\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{4a_{\max }\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}\frac{\cos \frac{\mathrm{\&omega;\&tau;}}{2}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\frac{\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1}{2}\right)}{(\mathrm{\&omega;}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})(\mathrm{\&omega;}+\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})}{e}^{-\mathrm{j\&omega;}(\mathrm{\&tau;}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&tau;}}_1)},$ 其振幅频谱满足经放缩，可以获得振幅频谱的上界，即 $\left|F\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|\&le;\frac{4a_{\max }\mathrm{\&tau;}}{\mathrm{\&pi;}};$

(3)假设航天器帆板基频为ω₁，则该频率处的幅值为 $\left|F\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)\right|=\frac{4a_{\max }\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}\left|\frac{\cos \frac{{\mathrm{\&omega;}}_1\mathrm{\&tau;}}{2}\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_1\frac{\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1}{2}\right)}{({\mathrm{\&omega;}}_1-\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})({\mathrm{\&omega;}}_1+\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})}\right|;$

(4)根据工程需求，对步骤(3)中获取的|F(ω₁)|与振幅频谱上界的比值提出约束，要求为了避免设计的机动路径对柔性帆板的激励，通常选取0<α<1。

(5)根据该约束，解算帆板基频ω₁与机动加速时长τ的关系，得到对加速段时长的约束，即

(6)将步骤(5)中获取的对加速时间的约束代入步骤(1)，得到对最大角加速度的约束，即(当τ₁>0时)，(当τ₁＝0时)；优化最大角加速度为(当τ₁>0时)，或(当τ₁＝0时)；结合步骤(1)设计的加速时间，选取优化后的加速时间

$\widetilde{\mathrm{\&tau;}}=\max \left\{\right|\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&omega;}}_{\max }}{2a_{\max }}|,\frac{\sqrt{\mathrm{\&alpha;}+1}\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&omega;}}_1}\},$ 当τ₁>0时

$\widetilde{\mathrm{\&tau;}}=\max \{\sqrt{\mathrm{\&pi;}\left|\frac{{\mathrm{\&theta;}}_d}{2a_{\max }}\right|},\frac{\sqrt{\mathrm{\&alpha;}+1}\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&omega;}}_1}\},$ 当τ₁＝0时；

(7)基于优化的最大角加速度及加速时间对机动滑行时间τ₁进行优化，即当τ₁>0时，优化当τ₁＝0，优化后的从而最终实现航天器基于频谱分析的机动路径优化，优化机动路径为：

$\tilde{f}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& 0<t\&le;\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\\ 0,& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}<t<\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\\ -{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1<t\&le;2\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\end{array}\right.,$ 当 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1>0$ 时；

$\tilde{f}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& 0<t\&le;\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\\ -{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}<t\&le;2\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\end{array}\right.,$ 当 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1=0$ 时。

实施例

(1)以某典型复杂航天器滚动轴机动70°过程的路径设计为例，假设航天器转动惯量2962kg.m²，执行机构为控制力矩陀螺，能提供的最大力矩为20Nm，角动量容量为75Nms，敏感器为陀螺，最大量测角速率为2.5°/s。则根据正弦机动路径获取卫星的最大机动角加速度为0.3869°/s²，最大角速度为2.5°/s。考虑到工程实现中需要为陀螺测量和执行机构留有一定的余量，因此设计路径时选取最大机动角加速度为a_max＝0.3831°/s²，最大角速度ω_max＝2.4389°/s,正弦三角函数周期加速时间滑行时间 ${\mathrm{\&tau;}}_1=\frac{\mathrm{\&pi;}}{a_{\max }T}\left(\right|{\mathrm{\&theta;}}_d|-\frac{\left|a_{\max }\right|T^2}{2\mathrm{\&pi;}})=18.7s.$

(2)计算获得当前设计的正弦机动路径的振幅频谱 $\left|F\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|=\frac{4a_{\max }\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}\left|\frac{\cos \frac{\mathrm{\&omega;\&tau;}}{2}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\frac{\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1}{2}\right)}{(\mathrm{\&omega;}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})(\mathrm{\&omega;}+\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})}\right|\&le;\frac{4a_{\max }\mathrm{\&tau;}}{\mathrm{\&pi;}};$

(3)获取航天器帆板基频ω₁＝0.2Hz，根据步骤(2)中获取的振幅频谱，计算该频率处的幅值为 $F\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)=\frac{4a_{\max }\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}\left|\frac{\cos \frac{\mathrm{\&omega;\&tau;}}{2}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\frac{\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1}{2}\right)}{(\mathrm{\&omega;}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})(\mathrm{\&omega;}+\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})}\right|=0.0207.$

(4)根据工程需求，对步骤(3)中获取的F(ω₁)与振幅频谱上界的比值提出约束，要求本实例选取α＝0.1；

(5)根据该约束，解算帆板基频ω₁与机动加速时长τ的关系，得 $({\mathrm{\&omega;}}_1-\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})({\mathrm{\&omega;}}_1+\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})\&GreaterEqual;\frac{\mathrm{\&alpha;}{\mathrm{\&pi;}}^2}{{\mathrm{\&tau;}}^2},$ 从而得到对加速段时长的约束，即 $\mathrm{\&tau;}\&GreaterEqual;\frac{\sqrt{\mathrm{\&alpha;}+1}\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&omega;}}_1};$

(6)将步骤(5)中获取的对加速时间的约束显然根据标准正弦机动路径得到的加速时间10s不满足此约束，选取新的加速时间并对最大角加速度进行优化。将加速时间约束代入步骤(1)，得到对最大角加速度的约束，即优化最大角加速度为

(7)根据优化后的最大角加速度及加速时间重新设计正弦机动路径，匀速时间 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1=\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\tilde{a}}_{\max }\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}\left(\right|\mathrm{\&theta;}|-\frac{\left|a_{\max }\right|{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}^2}{2\mathrm{\&pi;}})=49.1753s,$ 完成航天器基于频谱分析的机动路径优化。

最终得到的机动路径角加速度函数表达形式为：

$\tilde{f}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& 0<t\&le;\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\\ 0,& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}<t<\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\\ -{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1<t\&le;2\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\end{array}\right.,$

其中 $\widetilde{\mathrm{\&tau;}}=16.4747s,$ ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1=49.1753s.$

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (1)

1.一种基于频谱分析的航天器机动路径优化方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)获取航天器某单个姿态轴的机动角度θ_d、执行机构的能力τ_max，基于标准正弦机动路径规划方法，获取初始正弦机动最大角加速度a_max、最大角速度ω_max、机动加速时间τ、滑行时间τ₁，由此得到初始正弦机动路径为：

其中，机动加速时间 $\mathrm{\&tau;}=\left|\frac{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&omega;}}_{\max }}{2a_{\max }}\right|,$ 滑行时间 ${\mathrm{\&tau;}}_1=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2a_{\max }\mathrm{\&tau;}}\left(\right|{\mathrm{\&theta;}}_d|-\frac{2\left|a_{\max }\right|{\mathrm{\&tau;}}^2}{\mathrm{\&pi;}});$ 如果计算得到的滑行时间τ₁≤0，则确定滑行时间τ₁＝0，并根据角度约束条件θ_d调整机动加速时间为

(2)计算所获得的初始正弦机动路径的频谱函数F(ω)，

$F\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{4a_{\max }\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}\frac{\cos \frac{\mathrm{\&omega;\&tau;}}{2}\sin \left(\mathrm{\&omega;}\frac{\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1}{2}\right)}{(\mathrm{\&omega;}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})(\mathrm{\&omega;}+\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})}{e}^{-\mathrm{j\&omega;}(\mathrm{\&tau;}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&tau;}}_1)}$

由此得到振幅频谱的上界约束条件

(3)计算航天器帆板基频ω₁处的振幅|F(ω₁)|，

$\left|F\left({\mathrm{\&omega;}}_1\right)\right|=\frac{4a_{\max }\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}}\left|\frac{\cos \frac{{\mathrm{\&omega;}}_1\mathrm{\&tau;}}{2}\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_1\frac{\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&tau;}}_1}{2}\right)}{({\mathrm{\&omega;}}_1-\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})({\mathrm{\&omega;}}_1+\frac{\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&tau;}})}\right|;$

(4)利用步骤(2)得到的振幅频谱上界约束条件，对步骤(3)中获取的|F(ω₁)|提出约束，要求0<α<1，由此解算得到航天器帆板基频ω₁与机动加速时长τ的关系，作为对加速时间的约束，即在此基础上结合步骤(1)确定的加速时间，得到优化后的加速时间

$\widetilde{\mathrm{\&tau;}}=\max \left\{\right|\frac{{\mathrm{\&pi;\&omega;}}_{\max }}{2a_{\max }}|,\frac{\sqrt{\mathrm{\&alpha;}+1}\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&omega;}}_1}\},$ 当τ₁>0时

$\widetilde{\mathrm{\&tau;}}=\max \{\sqrt{\mathrm{\&pi;}\frac{{\mathrm{\&theta;}}_d}{2a_{\max }}|},\frac{\sqrt{\mathrm{\&alpha;}+1}\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&omega;}}_1}\},$ 当τ₁＝0时；

(5)根据步骤(4)中获取的对加速时间的约束计算得到对最大角加速度的约束，综合初始的最大角加速度a_max，得到优化后的最大角加速度

${\tilde{a}}_{\max }=\min (a_{\max },\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\max }{\mathrm{\&omega;}}_1}{2\sqrt{\mathrm{\&alpha;}+1}}),$ 当τ₁>0时

${\tilde{a}}_{\max }=\min (a_{\max },\frac{{\mathrm{\&theta;}}_s{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2}{2(\mathrm{\&alpha;}+1)\mathrm{\&pi;}}),$ 当τ₁＝0时；

(6)基于优化后的最大角加速度及加速时间在机动角度约束下，根据正弦机动路径设计方法，重新获取机动滑行时间当τ₁>0时，优化 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1=\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\tilde{a}}_{\max }\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}\left(\right|{\mathrm{\&theta;}}_d|-\frac{\left|{\tilde{a}}_{\max }\right|{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}^2}{2\mathrm{\&pi;}}),$ 当τ₁＝0，优化后的 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1=0;$

(7)利用步骤(6)的计算结果，得到最终的优化后的正弦机动路径为：

$\tilde{f}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& 0<t\&le;\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\\ 0,& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}<t<\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\\ -{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1<t\&le;2\widetilde{\mathrm{\&tau;}}+{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\end{array}\right.,$ 当 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1>0$ 时；

$\tilde{f}\left(t\right)=\begin{array}{}\end{array}\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& 0<t\&le;\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\\ -{\tilde{a}}_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}t\right),& \widetilde{\mathrm{\&tau;}}<t\&le;2\widetilde{\mathrm{\&tau;}}\end{array}\right.,$ 当 ${\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1=0$ 时。