CN104156948A - 一种面齿轮齿面面轮廓度评定方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于检测技术领域，涉及一种面齿轮齿面面轮廓度评定方法，适用于新型齿轮--面齿轮齿面精度评定。本发明基于面齿轮传动原理和小偏差和我小误差假设条件，综合考虑面轮廓度的最小二乘法评定理论以及人工鱼群算法理论，根据实际检测的面齿轮齿面点坐标实现面齿轮齿面轮廓度误差的精度评定。本发明具有的优点和有益效果是：本发明很好的解决了面齿轮整体齿面精度评价的技术难题，为面齿轮加工后的精度评定提供了一种方法，也为基于面齿轮检测结果的齿面修整提供了依据，能够有效的指导工程面齿轮的生产和应用。同时，该方法也可推广应用在航空叶片、蒙皮等空间复杂曲面的精度评定。

Description

一种面齿轮齿面面轮廓度评定方法

技术领域

本发明属于检测技术领域，涉及一种面齿轮齿面面轮廓度评定方法，适用于新型齿轮--面齿轮齿面精度评定。 

背景技术

面齿轮传动是一种新型的航空动力传动，具有体积小、重量轻、高承载能力、低噪音、高可靠性、长寿命等优点，在航空传动中具有良好的应用前景。国内许多学者开展了面齿轮设计、啮合性能分析、制造等相关技术的研究，而面齿轮加工精度的评定是判断面齿轮加工型面与设计型面的符合程度，为面齿轮精密加工中的重要环节。目前，在面齿轮加工精度评定方面，仅有文献介绍采用离散采样点误差评定方法对面齿轮加工精度进行评定。 

面齿轮齿面为复杂的高阶曲面，目前，针对复杂曲面的精度评定大多采用分区域或者曲面离散采样点误差评定，而缺乏对整体曲面精度的评价，面轮廓度误差评定是针对整体曲面精度的一种有效的评价方法。因此，目前尚缺乏一种对面齿轮整体齿面精度的评价方法来指导面齿轮生产。 

发明内容

本发明的目的是：针对面齿轮高阶复杂整体齿面精度评定的技术难题，提供一种面齿轮齿面面轮廓度评定方法，该方法能够根据面齿轮基本参数和面齿轮齿面采集点的坐标，计算出面齿轮齿面面轮廓度的大小，为面齿轮齿面精度的评定提供依据，同时也为其他空间复杂曲面的精度评定提供一种思路。 

本发明的技术方案是：(1)根据已知面齿轮加工用插齿刀齿数N_s、插齿刀模数m、插齿刀压力角α确定出面齿轮加工用插齿刀齿面方程：  $\stackrel{\→}{r_s}(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})=\left[\begin{array}{c}\±r_{\mathrm{bs}}[\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})]\\ -r_{\mathrm{bs}}[\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})]\\ u_s\\ 1\end{array}\right],$ 其中，r_bs为插齿刀渐开线基圆半径；u_S为插齿刀齿面上一点的轴向参数；θ_os为插齿刀渐开线上一点的角度参数；θ_ks为插齿刀渐开线齿面的参数； 

(2)由步骤(1)中得到的插齿刀齿面方程根据面齿轮传动原理以及插齿刀的旋转参数φ_s，得到面齿轮理论齿面方程： 

${\stackrel{\→}{r}}_2({\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}})=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{bs}}[\cos {\mathrm{\φ}}_2\left(\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\stackrel{\‾}{+}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\right)-\frac{1}{m_{2s}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}}\sin {\mathrm{\φ}}_2]\\ -r_{\mathrm{bs}}[\sin {\mathrm{\φ}}_2\left(\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\stackrel{\‾}{+}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\right)+\frac{1}{m_{2s}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}}\sin {\mathrm{\φ}}_2]\\ -r_{\mathrm{bs}}(\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\±{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}})\end{array}\right],$ 其中，φ_ks＝φ_s±(θ_os+θ_ks)，其中N₂为面齿轮齿数，φ₂为面齿轮旋转参数，x₂,y₂,z₂分别代表为面齿轮理论齿面方程矢量的三个坐标值； 

(3)由步骤(2)得到的面齿轮理论齿面方程消去参数φ_s、θ_ks，得到面齿轮理论齿面方程的显性表达为f(x₂,y₂,z₂)＝0，基于小偏差和我小误差假设条件，依据检测仪器测得实际面齿轮齿面各点坐标为得到实测点到面齿轮理论齿面的距离：其中  $f_x=\frac{\∂f(x_2,y_2,z_2)}{\∂x_2},$ $f_y=\frac{\∂f(x_2,y_2,z_2)}{\∂y_2},$ $f_z=\frac{\∂f(x_2,y_2,z_2)}{\∂z_2},$ i＝1,2,......,n，n为测点数。 

(4)由步骤(3)得到的实际面齿轮齿面各点坐标考虑到测量时基准要素与理想要素必然有偏差，在评定时设置微量调整u＝[Δ_x,Δ_y,Δ_z,θ_x,θ_y,θ_z]^T来表述位置和方向的变化，利用坐标变换原理得到微量调整后各点坐标  ${{\stackrel{\→}{r}}^{*}}_{2i}{=[x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*}]}^T=k({\mathrm{\Δ}}_x,{\mathrm{\Δ}}_y,{\mathrm{\Δ}}_z,{\mathrm{\θ}}_x,{\mathrm{\θ}}_y,{\mathrm{\θ}}_z,x_{2i},y_{2i},z_{2i}),$ 进而得到微量调整后各点到面齿轮理论齿面的距离为 $d(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})=\frac{f(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}}.$

(5)由步骤(4)得到微量调整后各点到面齿轮理论齿面的距离 利用最小二乘法评定面轮廓度原理，得到计算方程：其中： $D^2\left(u\right)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}^2(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*}).$

(6)由步骤(5)得到的计算方程采用人工鱼群算法进行求解，得到各点坐标 ${{\stackrel{\→}{r}}^{*}}_{2i}={[x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*}]}^T.$

(7)由步骤(6)得到的各点坐标代入公式 $d(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})=\frac{f(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}},$ 得到每个实测点到面齿轮理论齿面的距离。这些距离中的最大值与最小值构之差即为面齿轮齿面的轮廓度误差：E(u)＝D_max(u)-D_min(u)。 

本发明的原理：基于面齿轮传动原理和小偏差和我小误差假设条件，综合考虑面轮廓度的最小二乘法评定理论以及人工鱼群算法理论，根据实际检测的面齿轮齿面点坐标实现面齿轮齿面轮廓度误差的精度评定。 

本发明具有的优点和有益效果是：本发明很好的解决了面齿轮整体齿面精度评价的技术难题，为面齿轮加工后的精度评定提供了一种方法，也为基于面齿轮检测结果的齿面修整提供了依据，能够有效的指导工程面齿轮的生产和应用。同时，该方法也可推广应用在航空叶片、蒙皮等空间复杂曲面的精度评定。 

附图说明

图1为本发明实现方法流程图； 

图2面齿轮加工坐标系。 

具体实施方式

本发明是针对面齿轮整体齿面精度评估而提供的一种评价方法，以某型号面齿轮加工精度评价为例，面齿轮整体齿面精度评估流程如图1所示。本实施示例针对某型面齿轮零件，齿面整体精度评估实现步骤如下： 

(1)已知面齿轮加工用插齿刀齿数N_s＝26、插齿刀模数m＝1.0583mm、插齿刀压力角α＝20°，确定出面齿轮加工用插齿刀齿面方程： 

$\stackrel{\→}{r_s}(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})=\left[\begin{array}{c}\±r_{\mathrm{bs}}[\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})]\\ -r_{\mathrm{bs}}[\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})]\\ u_s\\ 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，其中：m为插齿刀模数，r_bs为插齿刀渐开线基圆半径，u_S为插齿刀齿面上一点的轴向参数；θ_os为插齿刀渐开线上一点的角度参 数；θ_ks为插齿刀渐开线齿面的参数；

(2)由步骤(1)中得到的插齿刀齿面方程根据面齿轮传动原理以及插齿刀的旋转参数φ_s和面齿轮齿数N₂，得到面齿轮理论齿面方程 本实施例中面齿轮理论齿面方程过程如下： 

a.面齿轮加工坐标系的建立 

面齿轮加工可采用以下4个坐标系：分别与插齿刀s和面齿轮一同转动的两个坐标系S_s(x_s,y_s,z_s)和S₂(x₂,y₂,z₂)，分别与插齿刀s和面齿轮初始位置固联的两个固定坐标系S_so(x_so,y_so,z_so)和S_2o(x_2o,y_2o,z_2o)。坐标原点o_s和o₂都与o点重合；z_so和z_s同轴，为插齿刀s转动轴线；z_2s与z₂同轴，为加工面齿轮的转动轴线。φ_s与φ₂分别表示插齿刀s的转角和面齿轮的转角，z_s与z₂轴间夹角为γ，本实施例取γ＝90。如图2示。 

b.面齿轮理论齿面方程 

面齿轮理论齿面方程是根据插齿刀齿面方程和啮合原理推导出来的。从插齿刀坐标系到面齿轮坐标系的坐标变换矩阵为： 

$M_{2s}\left({\mathrm{\φ}}_s\right)=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_s& -\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_s& -\sin {\mathrm{\φ}}_2& 0\\ -\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_s& \sin {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_s& -\cos {\mathrm{\φ}}_2& 0\\ \sin {\mathrm{\φ}}_s& \cos {\mathrm{\φ}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中： $\frac{N_2}{N_S}=\frac{{\mathrm{\φ}}_S}{{\mathrm{\φ}}_2}=m_{2S}.$

则面齿轮理论齿面方程为： 

${\stackrel{\→}{r}}_2(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_s)=M_{2s}\left({\mathrm{\φ}}_s\right){\stackrel{\→}{r}}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})---\left(2\right)$

根据空间曲面啮合原理得到： 

$\stackrel{\→}{n_s}\·{\stackrel{\→}{v}}^{\left(s2\right)}=0---\left(3\right)$

为插齿刀齿面的法线向量，为相对速度矢量，从而得到 

f(u_s,θ_ks,φ_s)＝r_bs-u_sm_2scos(φ_s±(θ_os+θ_ks))＝0   (4) 

将式(1)、(4)代入式(2)得到面齿轮理论齿面方程为： 

${\stackrel{\→}{r}}_2({\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}})=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{bs}}[\cos {\mathrm{\φ}}_2\left(\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\stackrel{\‾}{+}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\right)-\frac{1}{m_{2s}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}}\sin {\mathrm{\φ}}_2]\\ -r_{\mathrm{bs}}[\sin {\mathrm{\φ}}_2\left(\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\stackrel{\‾}{+}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\right)+\frac{1}{m_{2s}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}}\sin {\mathrm{\φ}}_2]\\ -r_{\mathrm{bs}}(\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\±{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}})\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中：φ_ks＝φ_s±(θ_os+θ_ks)，其中φ₂为面齿轮旋转参数，x₂,y₂,z₂分别代表为面齿轮理论齿面方程矢量的三个坐标值； 

(3)由步骤(2)得到的面齿轮理论齿面方程消去参数φ_s、θ_ks，面齿轮理论齿面方程可显性表达为：f(x₂,y₂,z₂)＝0。在小偏差和我小误差假设条件，实测点均在理论检测点附近，依据检测仪器测得实际面齿轮齿面各点坐标为得到实测点到面齿轮理论齿面的距离：  $d(x_{2i},y_{2i},z_{2i})=\frac{f(x_{2i},y_{2i},z_{2i})}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}},$ 其中 $f_x=\frac{\∂f(x_2,y_2,z_2)}{\∂x_2},$ $f_y=\frac{\∂f(x_2,y_2,z_2)}{\∂y_2},$ $f_z=\frac{\∂f(x_2,y_2,z_2)}{\∂z_2},$ i＝1,2,......,n，n为测点数，本实施示例中n＝35。 

(4)由步骤(3)得到的实际面齿轮齿面各点坐标考虑到测量时基准要素与理想要素必然有偏差，在评定时应该微量调整，设置微量调整u＝[Δ_x,Δ_y,Δ_z,θ_x,θ_y,θ]^T _z来表述位置和方向的变化，其中，微量调整包括三个方向的微分移动量Δ_x、Δ_y、Δ_z和微分转动量θ_x、θ_y、θ_z。利用坐标变换原理得到微量调整后各点坐标 ${{\stackrel{\→}{r}}^{*}}_{2i}{=[x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*}]}^T=k({\mathrm{\Δ}}_x,{\mathrm{\Δ}}_y,{\mathrm{\Δ}}_z,{\mathrm{\θ}}_x,{\mathrm{\θ}}_y,{\mathrm{\θ}}_z,x_{2i},y_{2i},z_{2i}),$ 其坐标值可有下式计算可得： 

$\left[\begin{array}{c}{x}_{2i}^{*}\\ y_{2i}^{*}\\ z_{2i}^{*}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\θ}}_z& {\mathrm{\θ}}_y& {\mathrm{\Δ}}_x\\ {\mathrm{\θ}}_z& 1& -{\mathrm{\θ}}_x& {\mathrm{\Δ}}_y\\ -{\mathrm{\θ}}_y& {\mathrm{\θ}}_x& 1& {\mathrm{\Δ}}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{2i}\\ y_{2i}\\ z_{2i}\\ 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

进而得到微量调整后各点到面齿轮理论齿面的距离为 

$d(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})=\frac{f(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}}.$

(5)由步骤(4)得到微量调整后各点到面齿轮理论齿面的距离 采用最小最小二乘法面轮廓度评价方法，得到： 

$D^2\left(u\right)=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}^2(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})---\left(7\right)$

为使D²(u)达到最小值，则得到计算方程： 

$\frac{\∂D^2\left(u\right)}{\∂u}=0---\left(8\right)$

(6)由步骤(5)得到的计算方程采用人工鱼群算法进行求解，得到各点坐标本实施示例中求解过程如下： 

将方程(8)可以转化为： 

$G({\mathrm{\Δ}}_x,{\mathrm{\Δ}}_y,{\mathrm{\Δ}}_z,{\mathrm{\θ}}_x,{\mathrm{\θ}}_y,{\mathrm{\θ}}_z)=\left|\begin{array}{c}\frac{\∂D^2\left(u\right)}{\∂{\mathrm{\Δ}}_x}+\frac{\∂D^2\left(u\right)}{\∂{\mathrm{\Δ}}_y}+\\ \frac{\∂D^2\left(u\right)}{\∂{\mathrm{\Δ}}_z}+\frac{\∂D^2\left(u\right)}{\∂{\mathrm{\θ}}_x}+\\ \frac{\∂D^2\left(u\right)}{\∂{\mathrm{\θ}}_y}+\frac{\∂D^2\left(u\right)}{\∂{\mathrm{\θ}}_z}\end{array}\right|---\left(9\right)$

即求解u＝[Δ_x,Δ_y,Δ_z,θ_x,θ_y,θ_z]^T使得G(Δ_x,Δ_y,Δ_z,θ_x,θ_y,θ_z)有最小值的优化问题。 

定义人工鱼群算法中的人工鱼状态为u＝[Δ_x,Δ_y,Δ_z,θ_x,θ_y,θ_z]^T，食物浓度函数为G(Δ_x,Δ_y,Δ_z,θ_x,θ_y,θ_z)，人工鱼u_i与u_j之间的距离为采用人工鱼群算法求解方程(9)的具体步骤如下： 

Step1：输入算法参数，确定种群规模N，在变量可行域没随即生成N个个体，设定人工鱼的可视域Visual，人工鱼的移动步长step，拥挤度因子δ，尝试次数trynumber； 

Step2：针对随即生成的N个个体，带入公式(9)计算初始鱼群各个人工鱼的食物浓度值并进行比较大小，取最优的人工鱼状态及其值u_i赋给公告板； 

Step3：针对当前人工鱼状态u_i，在其可视范围内随机选择一状态u_j(要求d_i,j＜Visual)，如果G(u_i)＜G(u_j)，则将状态u_j替换状态u_i；如果G(u_i)≥G(u_j)，则在其可视范围内随机选择一状态继续判断，如果反复尝试trynumber次数后，没有 满足前进条件，则按照u_i＝u_i+random(step)随机移动一步，其中，random(step)为实数区间(0,step)上随机数组成的随机向量； 

Step4：针对当前人工鱼状态u_i，通过step3找出其可视域内所有伙伴的中心位置(u_k为满足条件的可视域内的伙伴，ng为伙伴的个数)；如果G(u_c)＜G(u_i)，且如果ng/N＜δ或者d_i,c＜visual/2，则取其下一状态  $u_{i|\mathrm{next}}=u_i+\mathrm{random}(o,\mathrm{step})\×\frac{u_c-u_i}{d_{i,c}},$ 否则执行step3； 

Step5：针对当前人工鱼状态u_i，找出其可视域内群体的最优状态u_min以及最优状态周围的伙伴个数mg，如果)且如果或者 则取其下一状态 $u_{i|\mathrm{next}}=u_i+\mathrm{random}(o,\mathrm{step})\×\frac{u_{\min }-u_i}{d_{i,\min }},$ 否则执行step3； 

Step6：最终得到最优状态u，带入方程(6)得到各点坐标

(7)由步骤(6)得到的各点坐标代入公式 $d(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})=\frac{f(x_{2i}^{*},y_{2i}^{*},z_{2i}^{*})}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}},$ 得到每个实测点到面齿轮理论齿面的距离。本实施实例中，得到实测点到面齿轮理论齿面的距离如下表所示： 

单位：μm 

这些距离中的最大值与最小值构之差即为面齿轮齿面的轮廓度误差：E(u)＝D_max(u)-D_min(u)＝6.5μm-(-57.7μm)＝64.2μm。 

总之，本发明基于面齿轮传动原理和小偏差和我小误差假设条件，综合考虑面 轮廓度的最小二乘法评定理论以及人工鱼群算法理论，根据实际检测的面齿轮齿面点坐标实现面齿轮齿面面轮廓度误差的精度计算。本发明为面齿轮加工后的精度评定提供了一种方法，解决了面齿轮齿面精度评价的技术难题，也为基于面齿轮检测结果的齿面修整提供了依据。同时，该方法也可推广应用在航空叶片、蒙皮等空间复杂曲面的精度评定。 

本发明未详细阐述部分属于本领域公知技术。 

Claims (1)

1.一种面齿轮齿面面轮廓度评定方法，其特征在于，实现步骤如下： 

(1)根据已知面齿轮加工用插齿刀齿数N_s、插齿刀模数m、插齿刀压力角α确定出面齿轮加工用插齿刀齿面方程： 其中，r_bs为插齿刀渐开线基圆半径；u_S为插齿刀齿面上一点的轴向参数；θ_os为插齿刀渐开线上一点的角度参数；θ_ks为插齿刀渐开线齿面的参数； 

(2)由步骤(1)中得到的插齿刀齿面方程根据面齿轮传动原理以及插齿刀的旋转参数φ_s，得到面齿轮理论齿面方程： 

其中，φ_ks＝φ_s±(θ_os+θ_ks)，其中N₂为面齿轮齿数，φ₂为面齿轮旋转参数，x₂,y₂,z₂分别代表为面齿轮理论齿面方程矢量的三个坐标值； 

(3)由步骤(2)得到的面齿轮理论齿面方程消去参数φ_s、θ_ks，得到面齿轮理论齿面方程的显性表达为f(x₂,y₂,z₂)＝0，基于小偏差和小误差假设条件，依据检测仪器测得实际面齿轮齿面各点坐标为得到实测点到面齿轮理论齿面的距离：其中  i＝1,2,......,n，n为测点数； 

(4)由步骤(3)得到的实际面齿轮齿面各点坐标考虑到测量时基准 要素与理想要素必然有偏差，在评定时设置微量调整u＝[Δ_x,Δ_y,Δ_z,θ_x,θ_y,θ_z]^T来表述位置和方向的变化，利用坐标变换原理得到微量调整后各点坐标 进而得到微量调整后各点到面齿轮理论齿面的距离为

(5)由步骤(4)得到微量调整后各点到面齿轮理论齿面的距离 利用最小二乘法评定面轮廓度原理，得到计算方程：其中：

(6)由步骤(5)得到的计算方程采用人工鱼群算法进行求解，得到各点坐标

(7)由步骤(6)得到的各点坐标代入公式得到每个实测点到面齿轮理论齿面的距离；这些距离中的最大值D_max(u)与最小值D_min(u)之差即为面齿轮齿面的轮廓度误差E(u)：E(u)＝D_max(u)-D_min(u)。