CN103776391A - 用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法 - Google Patents

Abstract

用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法，涉及非球面光学元件的测量。对磨削阶段大口径非球面光学元件一条轮廓线进行分段，设划分段数为M，且相邻两段之间要有重叠区域，设重叠区域为p₁,p₂,…,p_m-1；利用测量设备对所划分的M段分别测量，得到各段的测量数据；利用多体***理论、泰勒级数和最小二乘原理以及重叠区域数据，将大口径非球面光学元件轮廓所划分的M段的测量数据进行拼接；利用曲率原理和非球面方程最小二乘拟合方法，将各段拼接时重叠区域的冗余数据剔除；对剔除冗余数据后的全段轮廓进行综合优化处理，得到整段轮廓的整体测量结果。

Description

用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法

技术领域

本发明涉及非球面光学元件的测量，尤其是涉及一种用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法。 

背景技术

随着空间技术、电子信息技术的迅猛发展，以及航空航天、天文、国防等领域的需要，大口径非球面光学元件因其具有校正相差、改善像质并可以减小光学***的尺寸和重量的优势，需求量不断增大。与此同时，对非球面的精度要求也越来越高，这就对加工和检测提出了新的挑战。 

对于大口径非球面光学元件的精密测量，目前主要有两种技术手段：1）制造大量程、高精度的检测设备；（郎治国.基于超精密回转扫描的大口径非球面测量技术研究[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2009.）2）利用拼接测量技术，采用高精度、小量程的测量仪器及装置对大口径非球面进行检测。（侯溪，伍凡，杨力，等.子孔径拼接干涉测试技术现状及发展趋势[J].光学与光电技术，2005，3(3)：50-53）对于第一种技术手段，虽然能够直接便捷的实现对大口径非球面的精密测量，但是随着量程的增大，如何保证检测设备本身的精度不随之下降成为难题之一，并且解决这个难题往往会造成设备的成本昂贵，大多数用户难以承受。相比之下，用高精度、小量程的检测设备，通过拼接测量的技术手段，实现对大口径非球面的准确测量具有重要意义和广阔的应用前景。 

目前，很多学者对基于激光干涉仪的子孔径拼接技术进行了研究，云宇等应用该技术对大口径光学元件进行拼接检测，与单次测量结果相比，峰谷值误差为2.37%，（云宇，彭勇，田小强，等.基于子孔径拼接原理检测大口径光学元件[J].强激光与粒子束，2011，23(7)：1831-1834.）王孝坤等应用该技术对非球面进行拼接检测，并提出了多个子孔径的综合优化和全口径数据重构数学模型，在不需要零位补偿的情况下，拼接前后面型误差相比，PV值和RMS值误差分别为-0.0092λ和0.0013λ。（王孝坤，王丽辉，张学军.子孔径拼接干涉法检测非球面[J].光学精密工程,2007，15(2)：192-198.）但是，对于非抛光阶段的大口径非球面光学元件是无法应用该技术进行测量的。主要因为：光学元件一般要经过粗磨、精磨和抛光 等三个加工阶段才能达到精度要求，在完成粗磨成形后的光学元件面形误差一般在数十微米的量级，在完成精磨后的面形误差一般在3-5微米的量级，此时，面形误差与理论值偏差较大，表面粗糙度不佳。（程灏波.精研磨阶段非球面面形接触式测量误差补偿技术[J].机械工程学报，2005，41(8)：228-232.） 

发明内容

本发明的目的在于提供一种用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法。 

本发明包括以下步骤： 

1）对磨削阶段大口径非球面光学元件一条轮廓线进行分段，设划分段数为M，且相邻两段之间要有重叠区域，设重叠区域为p₁,p₂,…,p_m-1； 

2）利用测量设备对所划分的M段分别测量，得到各段的测量数据； 

3）利用多体***理论、泰勒级数和最小二乘原理以及重叠区域数据，将大口径非球面光学元件轮廓所划分的M段的测量数据进行拼接； 

4）利用曲率原理和非球面方程最小二乘拟合方法，将各段拼接时重叠区域的冗余数据剔除； 

5）对剔除冗余数据后的全段轮廓进行综合优化处理，得到整段轮廓的整体测量结果。 

在步骤3）中，所述拼接的具体步骤如下：设相邻两段子轮廓为AB和CD，重叠区域为CB，AB段测量完成后，测量CD段时，需要将其沿测头运动方向和传感器测量方向平动，沿与上述两个方向确定的平面相垂直的方向转动，设测头运动方向为X轴方向，传感器测量方向为Z轴方向，CD段绕Y轴方向转动，CD段向AB段进行空间位置归一化变换时，可以将该过程描述为： 

(x_jcal y_jcal z_jcal 1)^T＝R_ijl·T_ijl·ΔR_ijlΔT_ijl·(x_j y_j z_j 1)^T （1） 

$R_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& -\sin {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& \cos {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)T_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{\Δ}{R}_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& -\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{\Δ}{T}_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

式中，R_ijl为理想情况下CD段绕Y轴旋转变换矩阵，T_ijl为理想情况下CD段沿X、Z方向平移变换矩阵，β_ijl为绕Y轴旋转角度，x_ijl、z_ijl分别为沿X、Z方向移动位移；ΔR_ijl为CD段绕Y轴旋转误差运动矩阵，ΔT_ijl为CD段沿X、Z方向平移误差运动矩阵，Δβ_ijl为绕Y轴旋转角度误差，Δx_ijl、Δz_ijl分别为沿X、Z方向移动位移误差；(x_jcal,y_jcal,z_jcal)即为在实际拼接测 量中，CD段在AB段测量坐标系O₁-X₁Y₁Z₁下的坐标值； 

在实际测量过程中，因为分段规划是预先设计的，所以β_ijl、x_ijl、z_ijl是已知的，即有： 

(x_njcal y_njcal z_njcal 1)^T＝R_ijl·T_ijl·(x_j y_j z_j 1)^T    （2） 

(x_jcal y_jcal z_jcal 1)^T＝ΔR_ijl·ΔT_ijl·(xⁿ _jcal yⁿ _jcal zⁿ _jcal 1)^T    （3） 

式中，(x_njcal,y_njcal,z_njcal)为在理想情况下，CD段经过运动变换后的轮廓坐标值； 

为了使该数学模型具有更好的工程应用性，用泰勒级数对式（3）进行展开，可以得到方程组： 

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{jcal}}=-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^5}_{\mathrm{ijl}}}{5!}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^4}_{\mathrm{ijl}}}{4!}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^3}_{\mathrm{ijl}}}{3!}-({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^2}_{\mathrm{ijl}}}{2!}-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\\ y_{\mathrm{jcal}}={y^n}_{\mathrm{jcal}}\\ z_{\mathrm{jcal}}=({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^5}_{\mathrm{ijl}}}{5!}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^4}_{\mathrm{ijl}}}{4!}-({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^3}_{\mathrm{ijl}}}{3!}-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^2}_{\mathrm{ijl}}}{2!}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\end{array}\right.---\left(4\right)$

设重叠区域CB在AB、CD段中测量点集分别为(x_is,y_is,z_is),其中i=1,2,…,p和(x_js,y_js,z_js),其中j=1,2,…,p。将(x_js,y_js,z_js)代入式（2），得到在理想情况下，重叠区域CB段经过运动变换后的轮廓坐标值，即得到(x_njcal,y_njcal,z_njcal)，然后与(x_is,y_is,z_is)一并代入式（4）建立方程组，求得误差运动参数的最小二乘解，从而将相邻两段面形轮廓拼接起来。 

在步骤4）中，所述冗余数据剔除的具体步骤如下：首先对拼接后的整体面形轮廓和带有延伸区域的重叠部分分别进行非球面方程最小二乘拟合，得到拼接后整体面形轮廓的拟合曲线和各段重合部分拟合曲线；然后，依据各测量点的横坐标值，分别计算出三段曲线上各自对应的z值；进而，分别计算出三条曲线上各点的曲率，并在每条曲线上用后一点的曲率值减去前一点的曲率值；最后，在相同横坐标处，将两段重合部分的曲率差值分别与整体轮廓曲线的曲率差值进行比较，剔除相差较大的点；具体的数学方法为： 

$\left\{\begin{array}{cc}z=a\·\frac{-c\·x^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\·c^2\·x^2}}+(1-a)[-R_x+\sqrt{R_x^2-x^2}+\frac{C_s{y}^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\·C_s^2\·y^2}}]& 1)\\ K={\left(\frac{\∂z}{\∂x}\right)}^{-1}& 2)\\ \min F({\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)=(K_{\mathrm{ii},\mathrm{jj}}-K_{(\mathrm{ii}-1),(\mathrm{jj}-1)})-(K_k-K_{k-1})& 3)\end{array}\right.---\left(5\right)$

式（5）中，a为非球面类型选择因子，因为非球面有两种类型，分别为轴对称非球面和非轴对称非球面，所以当a=1时，即可选择按照轴对称非球面方程进行拟合，当a=0时，即可选择按照非轴对称非球面方程进行拟合；在式（5）的式1）中，c=R^-1，R为非球面基础曲率半径，C_s=1/R_s，R_s=-R_y+Ax²+Bx⁴+Cx⁶+Dx⁸+Ex¹⁰+Fx¹²，其中，R_s为非球面副轴半径，R_x为非球面主轴基础半径，R_y为非球面副轴基础半径，A，B，C，D，E，F为非球面副轴系数，k为非球 面系数；式2）为求解拟合曲线上各点曲率的公式；式3）中λ为延伸因子，即在对各段的重合部分分别进行拟合时，向各段非重合部分延伸的距离中所包含的测量点数，λ₁、λ₂分别对应AB、CD段的重合部分；式3）中F为判定标准，K_k为对拼接所得整体轮廓拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，K_ii为对AB段重合处及其延伸部分拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，K_jj为对CD段重合处及其延伸部分拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，将上述各点曲率值按3）式代入后，在同一x坐标下，保留使式3）达到最小值的点，剔除其他点。 

在步骤5）中，所述综合优化处理的具体步骤如下：当在实际的拼接测量过程中，划分段数大于两段时，设共有M段，理论上可以选定其中任一段作为基准，为了便于定位、测量以及定性减少累积误差，选择非球面的中心段作为参考标准，从第一段到第M段，依次设每段的测量点数分别为n₁，n₂,…,n_m，相邻两段间重合部分点数分别为p₁,p₂,…,p_m-1；为了建立优化拼接数学模型，设立调整因子(ω,γ)和权重因子b_i，ω为拼接后整体面形轮廓绕Y轴旋转角度，γ为其沿Z轴方向平移距离，具体如下述方程组： 

式（6）中，式1）为整体轮廓的综合优化公式；式2）和式3）含义与式（5）中的式1）、式2）相同，这里不再赘述；式4）用于计算拼接并剔除冗余点后整体面形轮廓的总测量点数；式5）给出权重因子b_i的计算方法，因为在拼接过程中，测量点距离基准段的中心点“越远”，经变换后其受到的影响越大，所以在消除累积误差中其权重越大；式6）中，K₀为基准段中心点的曲率值，K_i为对拼接并剔除冗余点后所得整体轮廓拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值。 

该数学模型具体使用方法核心策略是首先对拼接并剔除冗余点后的整体轮廓进行综合优 化处理；然后对处理后带有调整因子参数的各点进行非球面最小二乘拟合并求出基准段中心点和各点的曲率值；最后利用式（7），在各点曲率值与基准段中心点曲率值差的平方和最小条件下，求出调整因子参数的最优解。 

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂G}{\∂\mathrm{\ω}}=0\\ \frac{\∂G}{\∂\mathrm{\γ}}=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

本发明将大口径非球面光学元件的一条轮廓线划分为M段，相邻两段间有一定重叠区域，对各段分别测量，然后将测量结果拼接在一起并进行数据处理，进而实现对该条轮廓线的整体测量。具体过程为：首先，根据实际情况对磨削阶段大口径非球面光学元件一条轮廓线进行分段，设划分段数为M，且相邻两段之间要有重叠区域，设重叠区域为p₁,p₂,…,p_m-1；然后，利用测量设备对所划分的M段分别测量，得到各段的测量数据；第三，利用多体***理论、泰勒级数和最小二乘原理以及重叠区域数据，将大口径非球面光学元件轮廓所划分的M段的测量数据进行拼接；第四，利用曲率原理和非球面方程最小二乘拟合方法，将各段拼接时重叠区域的冗余数据剔除；最后，对剔除冗余数据后的全段轮廓进行综合优化处理，得到整段轮廓的整体测量结果。 

附图说明

图1为本发明实施例的测量示意图。 

图2为本发明实施例的面型轮廓分段划分示意图。 

图3为本发明实施例的轮廓线第一段测量结果图。 

图4为本发明实施例的轮廓线第二段测量结果图。 

图5为本发明实施例的轮廓线第三段测量结果图。 

图6为轮廓仪单次测量该光学元件的全段轮廓测量结果。 

图7为单次测量全段轮廓后，轮廓仪给出的表面质量评价。 

图8为本发明实施例中，经过步骤3）处理后，拼接结果与单次测量结果比较误差图。 

图9为本发明的剔除冗余数据步骤方法流程图。 

图10为本发明实施例中，该轮廓的第一段和第二段重合部分冗余数据经过本发明所述方法剔除后与随机剔除后和单次测量结果比较误差。 

图11为本发明实施例中，该轮廓的第二段和第三段重合部分冗余数据经过本发明所述方法剔除后与随机剔除后和单次测量结果比较误差。 

图12为本发明的综合优化处理步骤方法流程图。 

图13为本发明实施例中，经过步骤5）综合优化数据处理后，拼接结果与单次测量结果比较误差图。 

具体实施方式

下面结合附图对本发明用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量作进一步说明。 

如图1所示，标记1为轮廓测量仪，2为待测光学元件，该光学元件为口径176mm的非球面，3为非抛光阶段大口径非球面拼接测量的夹具，该夹具X轴行程220mm，Y轴行程100mm，可以实现从-30°到30°范围调整倾角。应用本发明，具体测量步骤如下： 

1）对被测的非球面光学元件进行分段规划和局域坐标系的建立，根据实际情况对该非球面光学元件一条轮廓线进行分段，划分段数为3，每段长度为35mm，且相邻两段之间有重叠区域，长度为10mm，图2所示为分段示意图。 

2）利用测量设备对所划分的3段分别测量。首先将夹具安装在轮廓仪的工作台上，依据被测轮廓线的第一段待测轮廓的面形特点装夹被测光学元件；用轮廓仪对其进行测量，完成后，通过夹具调整被测光学元件的位姿，对第二段轮廓进行测量，同法测量第3段轮廓，得到各段的测量数据；然后，为了验证本发明的实用性及正确性，用夹具调整被测光学元件的位姿，利用轮廓仪对该条轮廓线进行一次完整的测量，得到全段轮廓的单次测量结果，该结果即可作为标准来衡量应用本发明所得测量结果的准确性。该条轮廓线的分段测量结果如图3～5所示，图6为轮廓仪单次测量该光学元件的全段轮廓测量结果，图7为单次测量全段轮廓后，轮廓仪给出的表面质量评价，其pv值为2.77μm。 

3）完成3段子轮廓的拼接。设第一段、第二段子轮廓分别为AB和CD，式应用式（1），（2），（3），（4）对AB、CD两段子轮廓进行拼接。 

(x_jcal y_jcal z_jcal 1)^T＝R_ijl·T_ijl·ΔR_ijl·ΔT_ijl·(x_j y_j z_j 1)^T （1） 

$R_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& -\sin {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& \cos {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)T_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\Δ}{R}_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& -\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{\Δ}{T}_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

式中，R_ijl为理想情况下CD段绕Y轴旋转变换矩阵，T_ijl为理想情况下CD段沿X、Z方向平移变换矩阵，β_ijl为绕Y轴旋转角度，x_ijl、z_ijl分别为沿X、Z方向移动位移；ΔR_ijl为CD段绕 Y轴旋转误差运动矩阵，ΔT_ijl为CD段沿X、Z方向平移误差运动矩阵，Δβ_ijl为绕Y轴旋转角度误差，Δx_ijl、Δz_ijl分别为沿X、Z方向移动位移误差；(x_jcal,y_jcal,z_jcal)即为在实际拼接测量中，CD段在AB段测量坐标系O₁-X₁Y₁Z₁下的坐标值。 

在测量过程中，共分3段，且相邻两段间重合区域为10mm,夹具单次旋转角度为15度，所以β_ijl、x_ijl、z_ijl是已知的，所以有： 

(x_njcal y_njcal z_njcal 1)^T＝R_ijl·T_ijl·(x_j y_j z_j 1)^T （2） 

(x_jcal y_jcal z_jcal 1)^T＝ΔR_ijl·ΔT_ijl·(xⁿ _jcal yⁿ _jcal zⁿ _jcal 1)^T （3） 

式中，(x_njcal,y_njcal,z_njcal)为在理想情况下，CD段经过运动变换后的轮廓坐标值。 

为了使该数学模型具有更好的应用性，用泰勒级数对上式进行展开， 

可以得到方程组： $\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{jcal}}=-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^5}_{\mathrm{ijl}}}{5!}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^4}_{\mathrm{ijl}}}{4!}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^3}_{\mathrm{ijl}}}{3!}-({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^2}_{\mathrm{ijl}}}{2!}-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\\ y_{\mathrm{jcal}}={y^n}_{\mathrm{jcal}}\\ z_{\mathrm{jcal}}=({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^5}_{\mathrm{ijl}}}{5!}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^4}_{\mathrm{ijl}}}{4!}-({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^3}_{\mathrm{ijl}}}{3!}-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^2}_{\mathrm{ijl}}}{2!}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ijl}})\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{ijl}})\end{array}\right.---\left(4\right)$

设重叠区域CB在AB、CD段中测量点集分别为(x_is,y_is,z_is),其中i=1,2,…,p和(x_js,y_js,z_js),其中j=1,2,…,p。将(x_js,y_js,z_js)代入式（2），得到在理想情况下，重叠区域CB段经过运动变换后的轮廓坐标值，即得到(x_njcal,y_njcal,z_njcal)，然后与(x_is,y_is,z_is)一并代入式（4）建立方程组，求得误差运动参数的最小二乘解，从而将相邻两段面形轮廓拼接起来。第3段子轮廓与第1段、第2段拼接后轮廓用相同方法进行拼接。拼接后所得全段轮廓测量结果与单次测量结果比较误差图如图8所示。 

4）剔除3段拼接时2个重叠区域的冗余数据。按上述方法完成3段子轮廓拼接后，相邻两段面形轮廓重叠部分的数据量是其他部分的两倍，因此要剔除重合部分的冗余数据。设第一段、第二段子轮廓分别为AB和CD，CB为重叠部分，具体方法如下述方程组（5）： 

$\left\{\begin{array}{cc}z=a\·\frac{-c\·x^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\·c^2\·x^2}}+(1-a)[-R_x+\sqrt{R_x^2-x^2}+\frac{C_s{y}^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\·C_s^2\·y^2}}]& 1)\\ K={\left(\frac{\∂z}{\∂x}\right)}^{-1}& 2)\\ \min F({\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)=(K_{\mathrm{ii},\mathrm{jj}}-K_{(\mathrm{ii}-1),(\mathrm{jj}-1)})-(K_k-K_{k-1})& 3)\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，a为非球面类型选择因子，因为非球面有两种类型，分别为轴对称非球面和非轴对称非球面，所以当a=1时，即可选择按照轴对称非球面方程进行拟合，当a=0时，即可选择按照非轴对称非球面方程进行拟合。在方程组（5）的（1）式中，c=R^-1，R为非球面基础曲率半径，C_s=1/R_s，R_s=-R_y+Ax²+Bx⁴+Cx⁶+Dx⁸+Ex¹⁰+Fx¹²，其中，R_s为非球面副轴半径，R_x为非球 面主轴基础半径，R_y为非球面副轴基础半径，A，B，C，D，E，F为非球面副轴系数，k为非球面系数；（2）式为求解拟合曲线上各点曲率的公式；（3）式中λ为延伸因子，即在对各段的重合部分分别进行拟合时，向各段非重合部分延伸的距离中所包含的测量点数，λ₁、λ₂分别对应AB、CD段的重合部分；（3）式中F为判定标准，K_k为对拼接所得整体轮廓拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，K_ii为对AB段重合处及其延伸部分拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，K_jj为对CD段重合处及其延伸部分拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，将上述各点曲率值按（3）式代入后，在同一x坐标下，保留使式（3）达到最小值的点，剔除其他点。 

该方法的具体用法流程如图9所示，其核心策略为首先对拼接后的整体面形轮廓和带有延伸区域的重叠部分分别进行非球面方程最小二乘拟合，得到拼接后整体面形轮廓的拟合曲线和各段重合部分拟合曲线；然后，依据各测量点的横坐标值，分别计算出三段曲线上各自对应的z值；进而，分别计算出三条曲线上各点的曲率，并在每条曲线上用后一点的曲率值减去前一点的曲率值；最后，在相同横坐标处，将两段重合部分的曲率差值分别与整体轮廓曲线的曲率差值进行比较，剔除相差较大的点。第2段、第3段子轮廓之间重叠区域冗余数据用相同方法进行剔除。结果如图10和11所示。 

5）对拼接后并经过剔除冗余数据处理所得到的全段轮廓进行综合优化处理，得到整段轮廓的整体测量结果。利用上述步骤3）和4）所得结果包含误差传递和累积，降低了整个面形轮廓的拼接测量精度。要进行综合优化处理，本发明设立调整因子(ω,γ)和权重因子b_i，ω为拼接后整体面形轮廓绕Y轴旋转角度，γ为其沿Z轴方向平移距离，具体方法如下述方程组（6）： 

式中，1）式为整体轮廓的综合优化公式；2）式和3）式含义与方程组（5）中的1）式、2）式相同，这里不再赘述；4）式用于计算拼接并剔除冗余点后整体面形轮廓的总测量点数；5）式给出权重因子b_i的计算方法，因为在拼接过程中，测量点距离基准段的中心点“越远”，经变换后其受到的影响越大，所以在消除累积误差中其权重越大；6）式中，K₀为基准段中心点的曲率值，K_i为对拼接并剔除冗余点后所得整体轮廓拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值。该方法的具体用法流程如图12所示，其核心策略为首先对拼接并剔除冗余点后的整体轮廓进行综合优化处理；然后对处理后带有调整因子参数的各点进行非球面最小二乘拟合并求出基准段中心点和各点的曲率值；最后利用式（7），在各点曲率值与基准段中心点曲率值差的平方和最小条件下，求出调整因子参数的最优解。 

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂G}{\∂\mathrm{\ω}}=0\\ \frac{\∂G}{\∂\mathrm{\γ}}=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

结果如图13所示，该段轮廓线经过本发明进行拼接测量后与单次测量结果相比，误差最大值为0.22μm，最小值为-0.21μm；误差值与该光学元件的pv值2.77μm相比，均高出一个数量级，达到检测要求。 

Claims (4)

1.用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法，其特征在于包括以下步骤：

1）对磨削阶段大口径非球面光学元件一条轮廓线进行分段，设划分段数为M，且相邻两段之间要有重叠区域，设重叠区域为p₁,p₂,…,p_m-1；

2）利用测量设备对所划分的M段分别测量，得到各段的测量数据；

3）利用多体***理论、泰勒级数和最小二乘原理以及重叠区域数据，将大口径非球面光学元件轮廓所划分的M段的测量数据进行拼接；

4）利用曲率原理和非球面方程最小二乘拟合方法，将各段拼接时重叠区域的冗余数据剔除；

5）对剔除冗余数据后的全段轮廓进行综合优化处理，得到整段轮廓的整体测量结果。

2.如权利要求1所述用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法，其特征在于在步骤3）中，所述拼接的具体步骤如下：设相邻两段子轮廓为AB和CD，重叠区域为CB，AB段测量完成后，测量CD段时，需要将其沿测头运动方向和传感器测量方向平动，沿与上述两个方向确定的平面相垂直的方向转动，设测头运动方向为X轴方向，传感器测量方向为Z轴方向，CD段绕Y轴方向转动，CD段向AB段进行空间位置归一化变换时，可以将该过程描述为：

(x_jcal  y_jcal  z_jcal  1)^T＝R_ijl·T_ijl·ΔR_ijl·ΔT_ijl·(x_j  y_j  z_j  1)^T  （1）

$R_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& -\sin {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& \cos {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)T_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& z_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{\Δ}{R}_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& -\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ijl}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{\Δ}{T}_{\mathrm{ijl}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& {\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& {\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{ijl}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

式中，R_ijl为理想情况下CD段绕Y轴旋转变换矩阵，T_ijl为理想情况下CD段沿X、Z方向平移变换矩阵，β_ijl为绕Y轴旋转角度，x_ijl、z_ijl分别为沿X、Z方向移动位移；ΔR_ijl为CD段绕Y轴旋转误差运动矩阵，ΔT_ijl为CD段沿X、Z方向平移误差运动矩阵，Δβ_ijl为绕Y轴旋转角度误差，Δx_ijl、Δz_ijl分别为沿X、Z方向移动位移误差；(x_jcal,y_jcal,z_jcal)即为在实际拼接测量中，CD段在AB段测量坐标系O₁-X₁Y₁Z₁下的坐标值；

在实际测量过程中，因为分段规划是预先设计的，所以β_ijl、x_ijl、z_ijl是已知的，即有：

(x_njcal  y_njcal  z_njcal  1)^T＝R_ijl·T_ijl·(x_j  y_j  z_j  1)^T      （2）

(x_jcal  y_jcal  z_jcal  1)^T＝ΔR_ijl·ΔT_ijl·(xⁿ _jcal  yⁿ _jcal  zⁿ _jcal  1)^T  （3）

式中，(x_njcal,y_njcal,z_njcal)为在理想情况下，CD段经过运动变换后的轮廓坐标值；

为了使该数学模型具有更好的工程应用性，用泰勒级数对式（3）进行展开，可以得到方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{jcal}}=-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\β}}^5}_{\mathrm{ijl}}}{5!}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{{{\mathrm{\Δ\β}}^4}_{\mathrm{ijl}}}{4!}+({z^n}_{\mathrm{ical}}+{\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{{{\mathrm{\Δ\β}}^3}_{\mathrm{ijl}}}{3!}-({x^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{{{\mathrm{\Δ\β}}^2}_{\mathrm{ijl}}}{2!}-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{ijl}})\·{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{ijl}}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{ijl}})\\ y_{\mathrm{jcal}}={y^n}_{\mathrm{jcal}}\\ z_{\mathrm{jcal}}=({x^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{{{\mathrm{\Δ\β}}^5}_{\mathrm{ijl}}}{5!}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{{{\mathrm{\Δ\β}}^4}_{\mathrm{ijl}}}{4!}-({x^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{{{\mathrm{\Δ\β}}^3}_{\mathrm{ijl}}}{3!}-({z^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{ijl}})\·\frac{{{\mathrm{\Δ\β}}^2}_{\mathrm{ijl}}}{2!}+({x^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{ijl}})\·{\mathrm{\Δ\β}}_{\mathrm{ijl}}+({z^n}_{\mathrm{jcal}}+{\mathrm{\Δz}}_{\mathrm{ijl}})\end{array}\right.---\left(4\right)$

设重叠区域CB在AB、CD段中测量点集分别为(x_is,y_is,z_is),其中i=1,2,…,p和(x_js,y_js,z_js),其中j=1,2,…,p。将(x_js,y_js,z_js)代入式（2），得到在理想情况下，重叠区域CB段经过运动变换后的轮廓坐标值，即得到(x_njcal,y_njcal,z_njcal)，然后与(x_is,y_is,z_is)一并代入式（4）建立方程组，求得误差运动参数的最小二乘解，从而将相邻两段面形轮廓拼接起来。

3.如权利要求1所述用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法，其特征在于在步骤4）中，所述冗余数据剔除的具体步骤如下：首先对拼接后的整体面形轮廓和带有延伸区域的重叠部分分别进行非球面方程最小二乘拟合，得到拼接后整体面形轮廓的拟合曲线和各段重合部分拟合曲线；然后，依据各测量点的横坐标值，分别计算出三段曲线上各自对应的z值；进而，分别计算出三条曲线上各点的曲率，并在每条曲线上用后一点的曲率值减去前一点的曲率值；最后，在相同横坐标处，将两段重合部分的曲率差值分别与整体轮廓曲线的曲率差值进行比较，剔除相差较大的点；具体的数学方法为：

$\left\{\begin{array}{cc}z=a\·\frac{-c\·x^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\·c^2\·x^2}}+(1-a)[-R_x+\sqrt{R_x^2-x^2}+\frac{C_s{y}^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\·C_s^2\·y^2}}]& 1)\\ K={\left(\frac{\∂z}{\∂x}\right)}^{-1}& 2)\\ \min F({\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)=(K_{\mathrm{ii},\mathrm{jj}}-K_{(\mathrm{ii}-1),(\mathrm{jj}-1)})& 3)\end{array}\right.---\left(5\right)$

式（5）中，a为非球面类型选择因子，因为非球面有两种类型，分别为轴对称非球面和非轴对称非球面，所以当a=1时，即可选择按照轴对称非球面方程进行拟合，当a=0时，即可选择按照非轴对称非球面方程进行拟合；在式（5）的式1）中，c=R^-1，R为非球面基础曲率半径，C_s=1/R_s，R_s=-R_y+Ax²+Bx⁴+Cx⁶+Dx⁸+Ex¹⁰+Fx¹²，其中，R_s为非球面副轴半径，R_x为非球面主轴基础半径，R_y为非球面副轴基础半径，A，B，C，D，E，F为非球面副轴系数，k为非球面系数；式2）为求解拟合曲线上各点曲率的公式；式3）中λ为延伸因子，即在对各段的重合部分分别进行拟合时，向各段非重合部分延伸的距离中所包含的测量点数，λ₁、λ₂分别对应AB、CD段的重合部分；式3）中F为判定标准，K_k为对拼接所得整体轮廓拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，K_ii为对AB段重合处及其延伸部分拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，K_jj为对CD段重合处及其延伸部分拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值，将上述各点曲率值按3）式代入后，在同一x坐标下，保留使式3）达到最小值的点，剔除其他点。

4.如权利要求1所述用于磨削阶段大口径非球面光学元件轮廓测量方法，其特征在于在步骤5）中，所述综合优化处理的具体步骤如下：当在实际的拼接测量过程中，划分段数大于两段时，设共有M段，理论上可以选定其中任一段作为基准，为了便于定位、测量以及定性减少累积误差，选择非球面的中心段作为参考标准，从第一段到第M段，依次设每段的测量点数分别为n₁，n₂,…,n_m，相邻两段间重合部分点数分别为p₁,p₂,…,p_m-1；为了建立优化拼接数学模型，设立调整因子(ω,γ)和权重因子b_i，ω为拼接后整体面形轮廓绕Y轴旋转角度，γ为其沿Z轴方向平移距离，具体如下述方程组：

式（6）中，式1）为整体轮廓的综合优化公式；式2）和式3）含义与式（5）中的式1）、式2）相同，这里不再赘述；式4）用于计算拼接并剔除冗余点后整体面形轮廓的总测量点数；式5）给出权重因子b_i的计算方法，因为在拼接过程中，测量点距离基准段的中心点“越远”，经变换后其受到的影响越大，所以在消除累积误差中其权重越大；式6）中，K₀为基准段中心点的曲率值，K_i为对拼接并剔除冗余点后所得整体轮廓拟合后的曲线按照拟合点横坐标所求各点的曲率值。

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