CN103729510B - 基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法。首先交互设定或计算模型的粗略对称面，然后根据粗略对称面，变换给定模型，使粗略对称面与一坐标平面重合，接着根据镜像对称模型的内蕴变换，计算精确对称面；最后变换模型及精确对称面，得到模型原始位置的精确对称面。本发明基于镜像对称模型的严格内蕴变换关系，精度可控，具有较强泛化性能，广泛适用于工程应用领域。

Description

基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法

技术领域

本发明涉及三维几何建模与计算领域，具体为一种基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法。

背景技术

对称是自然界普遍存在的现象，无论人造的还是天然的物体，其外形大都存在不同程度的对称性，其中以镜像对称为主。本发明主要针对工程中经过人为加工的具有镜像对称性的模型，特别是根据这些实物模型上采集的数据进行三维重建或误差分析中的对称性分析计算问题。

同天然物体对比，人造物体的对称性精度要高很多，对这类模型进行对称性分析计算的精度要求一般较高。已有的对称性分析计算算法主要针对计算机动画、计算机视觉等领域应用，精度普遍无法满足工程应用需求。

随着科学技术的发展，具有对称性的复杂外形零部件在工程中应用越来越广泛，特别是在飞机、船舶、汽车、高速列车等制造业中，产品的外形都具有镜像对称性。这种镜像对称性影响了产品的外观质量，对飞机、轮船、跑车、高速列车等类型产品的操控性能还具有决定性的影响。在对这类产品或实物模型的外形进行三维重建时，保证重建模型的对称性是非常重要的；另外，目前还缺乏有效手段对这类产品外形进行对称误差的分析计算。因此，研究开发一种精确镜像对称性计算方法是非常必要的。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，用于基于实物模型的三维重建或产品外形的对称误差检测等精度要求较高的工程应用领域。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案为：

基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

（1）、交互设定或计算给定模型的粗略对称面；

（2）、根据步骤（1）得到的粗略对称面，变换给定模型，使粗略对称面与一个坐标平面重合，得到变换后模型；

（3）、根据镜像对称模型的内蕴变换，计算步骤（2）中得到的变换后模型的精确对称面；

（4）、再次变换步骤（2）得到的变换后模型及精确对称面，得到模型原始位置的精确对称面。

所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：所述步骤（1）中，交互设定或计算粗略对称面的方法为：将视图旋转至近似垂直于理论对称面位置，交互设定一条直线，从而粗略对称面的位置，粗略对称面由一个点P＝(x，y，z)^T和一个法矢V＝(a，b，c)^T定义，其中x、y、z分别为P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值，a²+b²+c²＝1。

所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：所述步骤（2）中，变换给定模型用到齐次变换矩阵，齐次变换矩阵为：

$\begin{array}{c}{T}_m=\\ \left[\begin{array}{cccc}{c}^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -a\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -\mathrm{ax}\sin \mathrm{\α}\\ a\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& c\sin \mathrm{\α}& -y\cos \mathrm{\α}\\ -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -c\sin \mathrm{\α}& a^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{cz}\sin \mathrm{\α}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ ，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别为点P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值。

所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：所述步骤（3）中，设给定模型为M，给定模型M与其关于x-z坐标平面的镜像对称模型M_x-z的内蕴变换为：M＝R_zR_yR_xR_xR_-yR_zM_x-z+(R_zR_yR_xR_xR_-yR_z+I)T，其中

$R_x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \left({\mathrm{\θ}}_x\right)& -\sin \left({\mathrm{\θ}}_x\right)\\ 0& \sin \left({\mathrm{\θ}}_x\right)& \cos \left({\mathrm{\θ}}_x\right)\end{array}\right],R_y=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_y\right)& 0& \sin \left({\mathrm{\θ}}_y\right)\\ 0& 1& 0\\ -\sin \left({\mathrm{\θ}}_y\right)& 0& \cos \left({\mathrm{\θ}}_y\right)\end{array}\right],$

$R_z=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& -\sin \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& 0\\ \sin \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& \cos \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ T＝(T_x，T_y，T_z)^T。R_x、R_y、R_z分别为绕x、y、z轴的旋转变换矩阵，θ_x、θ_y、θ_z分别为绕x、y、z轴的旋转角度，T为平移变换矩阵，均为未知量；

令R^x-z＝R_zR_yR_xR_xR_-yR_z，其元素满足以下关系：

$R_{\mathrm{1,2}}^{x-z}=-R_{\mathrm{2,1}}^{x-z},R_{\mathrm{1,3}}^{x-z}=R_{\mathrm{3,1}}^{x-z},R_{\mathrm{2,3}}^{x-z}=-R_{\mathrm{3,2}}^{x-z}.$

所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：步骤（3）按以下过程实现：

（a）、采用模型注册算法，得到R^x-Z和(R^x-z+I)T的值；

（b）、根据S301中R^x-z的计算结果，得到一个非线性方程组，采用非线性方程组求解算法求解，得到sin(θ_x),cos(θ_x)，sin(θ_y),cos(θ_y),sin(θ_z),cos(θ_z)的值；

（c）、根据步骤（a）和步骤（b）的计算结果，得到一个线性方程组，求解该线性方程组得到T_x，T_y，T_z的值；

（d）、令y＝(0，1，0)^T，模型M的精确对称面的法矢为R_zR_yR_xy，其上一点为(T_x,T_y,T_z)^T。

所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：所述步骤（4）中，变换步骤（2）得到的变换后模型及精确对称面用到齐次变换矩阵，齐次变换矩阵为：

$\begin{array}{c}{T}_m^{-1}=\\ \left[\begin{array}{cccc}{c}^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -a\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -\mathrm{ax}\sin \mathrm{\α}\\ -a\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& -c\sin \mathrm{\α}& y\cos \mathrm{\α}\\ -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& c\sin \mathrm{\α}& a^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{cz}\sin \mathrm{\α}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ ，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别为点P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值，将模型变换回原始位置并将对称面变换回模型原始位置对应的对称面。

所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：通过设定粗略对称面，提高了步骤（3）中模型注册算法计算的可靠性和稳定性。

所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：通过设定模型注册算法中的收敛条件，可以控制镜像对称性计算的精度，满足高精度工程应用的要求。

本发明用于基于实物模型的三维重建或产品外形的对称误差检测等应用领域，具有计算稳定、可靠，结果精度可控的优点，能够满足高精度工程应用的要求。

附图说明

图1为本发明的流程图。

图2为针对一实测采集的汽车前盖点云数据，采用本发明所述的三维复杂模型的精确镜像对称性计算方法，得到的镜像对称面计算结果示意图。

图3为采用发明所述的三维复杂模型的精确镜像对称性计算方法，计算轴对称模型的对称轴的示意图。

具体实施方式

基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，包括以下步骤：

（1）、交互设定或计算给定模型的粗略对称面；

（2）、根据步骤（1）得到的粗略对称面，变换给定模型，使粗略对称面与一个坐标平面重合，得到变换后模型；

（3）、根据镜像对称模型的内蕴变换，计算步骤（2）中得到的变换后模型的精确对称面；

（4）、再次变换步骤（2）得到的变换后模型及精确对称面，得到模型原始位置的精确对称面。

步骤（1）中，交互设定或计算粗略对称面的方法为：将视图旋转至近似垂直于理论对称面位置，交互设定一条直线，从而粗略对称面的位置，粗略对称面由一个点P＝(x，y，z)^T和一个法矢V＝(a，b，c)^T定义，其中x、y、z分别为P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值，a²+b²+c²＝1。

步骤（2）中，变换给定模型用到齐次变换矩阵，齐次变换矩阵为：

$\begin{array}{c}{T}_m=\\ \left[\begin{array}{cccc}{c}^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -a\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -\mathrm{ax}\sin \mathrm{\α}\\ a\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& c\sin \mathrm{\α}& -y\cos \mathrm{\α}\\ -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -c\sin \mathrm{\α}& a^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{cz}\sin \mathrm{\α}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ ，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别为点P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值。

步骤（3）中，设给定模型为M，给定模型M与其关于x-z坐标平面的镜像对称模型M_x-z的内蕴变换为：

M＝R_zR_yR_xR_xR_-yR_zM_x-z+(R_zR_yR_xR_xR_-yR_z+I)T，其中

$R_x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \left({\mathrm{\θ}}_x\right)& -\sin \left({\mathrm{\θ}}_x\right)\\ 0& \sin \left({\mathrm{\θ}}_x\right)& \cos \left({\mathrm{\θ}}_x\right)\end{array}\right],R_y=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_y\right)& 0& \sin \left({\mathrm{\θ}}_y\right)\\ 0& 1& 0\\ -\sin \left({\mathrm{\θ}}_y\right)& 0& \cos \left({\mathrm{\θ}}_y\right)\end{array}\right],$

$R_z=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& -\sin \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& 0\\ \sin \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& \cos \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ T＝(T_x，T_y，T_z)^T。R_x、R_y、R_z分别为绕x、y、z轴的旋转变换矩阵，θ_x、θ_y、θ_z分别为绕x、y、z轴的旋转角度，T为平移变换矩阵，均为未知量；

令R^x-z＝R_zR_yR_xR_xR_-yR_z，其元素满足以下关系：

$R_{\mathrm{1,2}}^{x-z}=-R_{\mathrm{2,1}}^{x-z},R_{\mathrm{1,3}}^{x-z}=R_{\mathrm{3,1}}^{x-z},R_{\mathrm{2,3}}^{x-z}=-R_{\mathrm{3,2}}^{x-z}.$

步骤（3）按以下过程实现：

（a）、采用模型注册算法，得到R^x-z和(R^x-z+I)T的值；

（b）、根据S301中R^x-z的计算结果，得到一个非线性方程组，采用非线性方程组求解算法求解，得到sin(θ_x)，cos(θ_x)，sin(θ_y)，cos(θ_y)，sin(θ_z)，cos(θ_z)的值；

（c）、根据步骤（a）和步骤（b）的计算结果，得到一个线性方程组，求解该线性方程组得到T_x，T_y，T_z的值；

（d）、令y＝(0，1，0）^T，模型M的精确对称面的法矢为R_zR_yR_xy,其上一点为(T_x，T_y，T_z)^T。

步骤（4）中，变换步骤（2）得到的变换后模型及精确对称面用到齐次变换矩阵，齐次变换矩阵为：

$\begin{array}{c}{T}_m^{-1}=\\ \left[\begin{array}{cccc}{c}^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -a\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -\mathrm{ax}\sin \mathrm{\α}\\ -a\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& -c\sin \mathrm{\α}& y\cos \mathrm{\α}\\ -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& c\sin \mathrm{\α}& a^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{cz}\sin \mathrm{\α}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ ，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别为点P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值，将模型变换回原始位置并将对称面变换回模型原始位置对应的对称面。

通过设定粗略对称面，提高了步骤（3）中模型注册算法计算的可靠性和稳定性。

通过设定模型注册算法中的收敛条件，可以控制镜像对称性计算的精度，满足高精度工程应用的要求。

下面结合附图1至3和实施例，对发明的具体实施方式做进一步描述。以下实施例仅用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

流程图如图1所示的一种三维复杂模型的精确镜像对称性计算方法，主要包括步骤：

S1.交互设定或计算模型的粗略对称面。交互设定粗略对称面的方法为：将视图旋转至近似垂直于理论对称面位置，交互设定一条直线，从而粗略对称面的位置。粗略对称面由一个点P＝(x，y，z)^T和一个法矢V＝(a，b，c)^T定义，其中a²+b²+c²＝1。模型的粗略对称面的也可采用已有的针对其他应用的对称面计算方法，但是从工程应用角度看，这些算法一般比较复杂、计算费时。

S2.根据粗略对称面，变换给定模型，使粗略对称面与一坐标平面重合。给定模型的齐次变换矩阵为：

$\begin{array}{c}{T}_m=\\ \left[\begin{array}{cccc}{c}^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -a\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -\mathrm{ax}\sin \mathrm{\α}\\ a\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& c\sin \mathrm{\α}& -y\cos \mathrm{\α}\\ -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -c\sin \mathrm{\α}& a^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{cz}\sin \mathrm{\α}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ ，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别P的三个坐标值，a、b、c分别为法矢V的三个分量值。假设模型上点的坐标为(x_i,y_i,z_i)^T,i=O,…,n，变换后的齐次坐标为(x'_i,y'_i,z'_i,1)^T＝T_m(x_i,y_i,z_i,1)^T,i＝0,…,n。坐标变换的目的是为了保证S301中模型注册时具有良好的初值，提高算法的收敛性。

S3.根据镜像对称模型的内蕴变换，计算精确对称面。模型M由(x′_i，y′_i，z′_i)^T，i＝0，…，n定义，M与其关于x-z坐标平面的镜像对称模型M_x-z的内蕴变换为：

M＝R_zR_yR_xR_xR_-yR_zM_x-z+(R_ZR_yR_xR_xR_-yR_z+I)T

其中 $R_x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \left({\mathrm{\θ}}_x\right)& -\sin \left({\mathrm{\θ}}_x\right)\\ 0& \sin \left({\mathrm{\θ}}_x\right)& \cos \left({\mathrm{\θ}}_x\right)\end{array}\right],R_y=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_y\right)& 0& \sin \left({\mathrm{\θ}}_y\right)\\ 0& 1& 0\\ -\sin \left({\mathrm{\θ}}_y\right)& 0& \cos \left({\mathrm{\θ}}_y\right)\end{array}\right],$ $R_z=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& -\sin \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& 0\\ \sin \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& \cos \left({\mathrm{\θ}}_z\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ T＝(T_x,T_y,T_z)^T。R_x、R_y、R_z分别为绕x、y、z轴的旋转变换矩阵，θ_x、θ_y、θ_z分别为绕x、y、z轴的旋转角度，T为平移变换矩阵，均为未知量。

本实施例中该步骤主要包括：

S301：令R^x-z＝R_zR_yR_xR_xR_-yR_z,针对M与M_x-z，采用模型注册算法，得到R^x-z和(R^x-z+I)T的值。模型注册常用的算法就是ICP（Iterative Closest Points）算法及其改进算法，在计算中采用点到平面距离模式，在这种模式下ICP算法的收敛性较好。根据具体应用需要，也可以采用其他模型注册或模型匹配算法。

S302：R^x-z为一3x3的矩阵，其元素满足以下关系：

$R_{\mathrm{1,2}}^{x-z}=-R_{\mathrm{2,1}}^{x-z},R_{\mathrm{1,3}}^{x-z}=R_{\mathrm{3,1}}^{x-z},R_{\mathrm{2,3}}^{x-z}=-R_{\mathrm{3,2}}^{x-z},$

因此得到一个变量为sin(θ_x)，cos(θ_x)，sin(θ_y)，cos(θ_y)，sin(θ_z)，cos(θ_z)的6个方程的非线性方程组。为了保证变量之间的关系，需再添加三个方程，即sin(θ_x)²+cos(θ_x)²＝1、sin(θ_y)²+cos(θ_y)²＝1、sin(θ_z)²+cos(θ_z)²＝1。采用Levenberg-Marquardt算法或其他非线性方程组求解算法，得到sin(θ_x)，cos(θ_x)，sin(θ_y)，cos(θ_y)，sin(θ_z)，cos(θ_z)的值；

S303：根据S301和S302的计算结果，得到变量为T_x，T_y，T_z的一个三元齐次线性方程组，求解该线性方程组得到T_x，T_y，T_z的值；

S304:令y＝(0，1，0），模型M的精确对称面的法矢为

(v_x，v_y，v_z)＝R_zR_yR_xy，其上一点为(T_x，T_y，T_z)^T。

S4.再次变换步骤（2）变换后模型及精确对称面，得到模型原始位置的精确对称面。模型及精确对称面的齐次变换矩阵为：

$\begin{array}{c}{T}_m^{-1}=\\ \left[\begin{array}{cccc}{c}^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -a\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& -\mathrm{ax}\sin \mathrm{\α}\\ -a\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& -c\sin \mathrm{\α}& y\cos \mathrm{\α}\\ -\mathrm{ac}(1-\cos \mathrm{\α})& c\sin \mathrm{\α}& a^2(1-\cos \mathrm{\α})+\cos \mathrm{\α}& -\mathrm{cz}\sin \mathrm{\α}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ ，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别P的三个坐标值，a、b、c分别为法矢V的三个分量值。将模型变换回原始位置，即 $T_m^{-1}{(x_i^{\′},y_i^{\′},z_i^{\′},1)}^T={(x_i,y_i,z_i,1)}^T,i=0,...,n,$ 同时将对称面变换回模型原始位置对应的对称面位置。即，给定模型的对称面由一点P＝(x，y，z)^T和一个法矢V＝(a，b，c)^T定义，其中 ${(x,y,z,1)}^T=T_m^{-1}{(T_x,T_y,T_z,1)}^T,$ ${(a,b,c,1)}^T=T_m^{-1}{(v_x,v_y,v_z,1)}^T.$ 图2给出了一个采用本发明所述的对称性计算方法，对实测采集的汽车前盖点云数据计算的镜像对称面计算结果。

以上实施方式仅用于说明本发明，而非对本发明的限制，有关技术领域的普通技术人员，在不脱离本发明的精神和范围的情况下，还可以做出各种变化和变型（例如可以采用本发明计算轴对称模型的两个对称面，其交即为模型的对称轴，如图3所示），因此所有等同的技术方案也属于本发明的保护范畴。

Claims (5)

1.基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)、交互设定或计算给定模型的粗略对称面；

(2)、根据步骤(1)得到的粗略对称面，变换给定模型，使粗略对称面与一个坐标平面重合，得到变换后模型；

(3)、根据镜像对称模型的内蕴变换，计算步骤(2)中得到的变换后模型的精确对称面；

(4)、再次变换步骤(2)得到的变换后模型及精确对称面，得到模型原始位置的精确对称面；

所述步骤(2)中，变换给定模型用到齐次变换矩阵，齐次变换矩阵为：

，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别为点P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值；

所述步骤(3)中，设给定模型为M，给定模型M与其关于x-z坐标平面的镜像对称模型M_x-z的内蕴变换为：M＝R_zR_yR_xR_xR_-yR_zM_x-z+(R_zR_yR_xR_-yR_z+1)^T，

其中 T＝(T_x，T_y，T_z)^T，R_x、R_y、R_z分别为绕x、y、z轴的旋转变换矩阵，θ_x、θ_y、θ_z分别为绕x、y、z轴的旋转角度，T为平移变换矩阵，均为未知量；

令R^x-z＝R_zR_yR_xR_-yR_z，其元素满足以下关系：

所述步骤(4)中，变换步骤(2)得到的变换后模型及精确对称面用到齐次变换矩阵，齐次变换矩阵为：

，

其中α为粗略对称面的法矢V与Y轴之间的夹角，x、y、z分别为点P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值，将模型变换回原始位置并将对称面变换回模型原始位置对应的对称面。

2.根据权利要求1所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：所述步骤(1)中，交互设定或计算粗略对称面的方法为：将视图旋转至近似垂直于理论对称面位置，交互设定一条直线，从而计算粗略对称面的位置，粗略对称面由一个点P＝(x，y，z)^T和一个法矢V＝(a，b，c)^T定义，其中x、y、z分别为P的三个坐标值，a、b、c分别为矢量V的三个分量值，a²+b²+c²＝1。

3.根据权利要求1所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：步骤(3)按以下过程实现：

(a)、采用模型注册算法，得到R^x-z和(R^x-z+1)T的值；

(b)、根据R^x-z的计算结果，得到一个非线性方程组，采用非线性方程组求解算法求解，得到sin(θ_x)，cos(θ_x)，sin(θ_y)，cos(θ_y)，sin(θ_z)，cos(θ_z)的值；

(c)、根据步骤(a)和步骤(b)的计算结果，得到一个线性方程组，求解该线性方程组得到T_x，T_y，T_z的值；

(d)、令y＝(0，1，0)^T，模型M的精确对称面的法矢为R_zR_yR_xy，其上一点为(T_x，T_y，T_z)^T。

4.根据权利要求3所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：通过设定粗略对称面，提高了步骤(3)中模型注册算法计算的可靠性和稳定性。

5.根据权利要求3所述的基于内蕴变换的三维复杂模型精确镜像对称性计算方法，其特征在于：通过设定模型注册算法中的收敛条件，可以控制镜像对称性计算的精度，满足高精度工程应用的要求。