CN103605122A - 相干mimo雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法，首先将相干MIMO雷达中的发射-接收二维权向量分离为发射权向量和接收权向量两部分，实现降维；然后基于双边导向矢量误差模型，利用二阶凸优化算法推导双二次代价函数及约束条件；进而利用双迭代方法计算波束形成所需的最优权向量；最后用最优权向量稳健实现自适应波束形成。本发明克服了传统自适应波束形成方法应用于相干MIMO雷达需要很大的样本数及计算量大的缺点。与传统的自适应波束形成方法相比，本发明很大程度上降低了所需的样本数及计算量，大大提高了收敛速度，并且具有很好的稳健性。

Description

相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理技术领域，具体说是实现相干多输入多输出（multiple-transmit multiple-receive,以下简称MIMO）雷达收发双边导向矢量失配问题以及观测数据中含有目标信号状况下的稳健降维自适应波束形成，用于动目标检测和波达方向（DOA）估计。

背景技术

近年来，作为一种新体制雷达，多输入多输出（MIMO）雷达受到了人们的广泛关注。与传统相控阵雷达相比，MIMO雷达通过多个天线发射非相干或正交信号，在接收端进行匹配滤波分离出发射信号分量，因而能够利用少量的天线获得较多的***处理自由度，实现发射-接收二维自适应波束形成，从而得到具有较低旁瓣的二维窄波束，有利于提高目标参数识别能力、目标角度估计精度以及雷达的抗干扰能力。根据发射和接收阵列配置方式的不同，MIMO雷达可分为非相干MIMO雷达和相干MIMO雷达两类。其中，相干MIMO雷达利用发射信号的多样性，即波形分集来增加***处理自由度，从而提高雷达参数的可辨识性以及抑制干扰的能力；此外，相干MIMO雷达还可以利用发射和接收天线孔径提高雷达角度分辨率和抑制干扰的能力。基于以上原因，相干MIMO雷达成为了MIMO雷达的研究重点。

当发射信号正交时，相干MIMO雷达在接收端对每个发射信号进行匹配滤波，实现发射-接收二维联合自适应波束形成。相干MIMO雷达的信号处理维数等于发射天线数与接收天线数的乘积，因而当采用传统的最小方差无畸变（MVDR）方法来实现自适应波束形成时，所涉及的样本需求以及计算量都会大幅地增长。因此，相干MIMO雷达自适应波束形成首先要解决的问题就是高维信号处理问题。此外，当假定的目标导向矢量与真实的目标导向矢量不能完全匹配时，传统的自适应波束形成方法的性能会大大地下降。更进一步，当观测数据中包含目标信号时，传统的自适应波束形成方法的性能对于导向矢量的失配会变得更加敏感，尤其是在高信噪比(SNR)情况下，导向矢量的失配会严重影响到自适应波束形成算法的性能。例如，在有阵列误差的情况下，目标的真实导向矢量与期望导向矢量失配，传统的采样协方差矩阵求逆（SMI）方法对导向矢量误差不具有稳健性，会产生目标信号自相消的现象，即目标会被当作干扰抑制掉。而且，观测数据中可能会含有目标信号，目标信号的存在会大大降低SMI算法随样本的收敛速度和性能。因此，如何提高自适应波束形成算法的稳健性成为人们必须要解决的问题。传统的提高波束形成稳健性的方法主要有线性约束最小方差(LCMV)法、对角加载技术、矩阵锥消(CMT)法以及二阶凸优化法等，其中最常用的方法是对角加载波束形成方法。对角加载采样协方差矩阵求逆（LSMI）算法是SMI算法的改进算法，它可以显著地提高SMI算法的自适应收敛率，并具有自适应波束保形能力。但是，LSMI算法对角加载量的选取是一个尚未解决的难题：当对角加载量低于噪声功率时，噪声特征值扩散程度改善较小，LSMI算法与SMI算法相比，性能改善不大；当对角加载量过大时，对角加载后的协方差矩阵特征值比理想协方差矩阵的特征值大，将会使加载后的干扰特征值与噪声特征值之比变小，导致干扰零陷变浅，从而有一定的性能损失。基于变对角加载的全维二阶凸规划（F-SOCP）算法性能略好于基于固定加载的LSMI算法性能，但是它存在计算量大、训练样本需求多、自适应收敛率慢等问题。综合以上介绍，虽然相干MIMO雷达可以实现发射-接收二维自适应波束形成，但是全维自适应波束形成由于***自由度的增加，其计算复杂度和样本需求将会成倍地增长。此外，实际信号处理中存在着导向矢量失配、估计协方差矩阵含有目标信号等各种非理想因素，这些因素将导致自适应波束形成方法的收敛率和性能急剧下降。

发明内容

本发明的目的是：针对现有自适应波束形成方法应用于相干MIMO雷达时存在的不足，如计算复杂度高，样本需求量大，实际信号处理中存在着导向矢量失配以及估计协方差矩阵含有目标信号等各种非理想因素，本发明提出了一种收发稳健降维自适应波束形成方法，来实现收发双边导向矢量失配以及观测数据中含有目标信号状况下的稳健自适应波束形成。

本发明的技术方案概括为：首先将相干MIMO雷达中的发射-接收二维权向量分离为发射权向量和接收权向量两部分，从而实现降维；然后基于收发双边导向矢量误差模型，利用二阶凸优化算法推导出双二次代价函数及约束条件；进而利用双迭代方法计算波束形成所需的最优权向量；最后用计算出的最优权向量进行波束形成。具体实现过程如下：

（1）将相干MIMO雷达中M_tM_r×1维的发射-接收二维权向量 $\tilde{w}={[{\tilde{w}}_{\mathrm{1,1}},...,{\tilde{w}}_{m_r,m_t},...,{\tilde{w}}_{M_r,M_t}]}^T$ 分离为M_r×1维的接收权向量 $\tilde{u}={[{\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2,...,{\tilde{u}}_{M_r}]}^T$ 和M_t×1维的发射权向量两部分，实现降维，其中，m_t＝1,…,M_t，m_r＝1,…,M_r，M_t为发射天线数，M_r为接收天线数，上标T表示对向量或矩阵求转置；

（2）基于收发双边导向矢量误差模型，利用二阶凸优化算法推导出双二次代价函数为约束条件为 $\left(\right|{\tilde{u}}^{H}b|-{\mathrm{\ϵ}}_2|\left|\tilde{u}\right|\left|\right)\·\left(\right|a^T\tilde{v}|-{\mathrm{\ϵ}}_1|\left|\tilde{v}\right|\left|\right)\≥1,$ 其中， $\tilde{Y}\∈C^{M_r\×M_t}$ 为接收数据矢量的矩阵形式，a和b分别表示假定的目标发射导向矢量和接收导向矢量，ε₁和ε₂为两个足够小的正数，上标H表示对向量或矩阵求共轭转置，||·||表示2-范数；

（3）利用双迭代方法求解步骤（2）中双二次代价函数的最优权向量和

（4）根据步骤（3）中求得的最优权向量

和

恢复出收-发二维自适应权向量 $w=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})\tilde{w}=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r}){\stackrel{\underset{~}{\‾}}{v}}^{*}\⊗\stackrel{\underset{~}{\‾}}{u},$ 然后通过恢复出的收-发二维自适应权向量w直接对观测数据矢量进行加权求和，使阵列的输出功率最小，从而在特定方向形成主波束用来接收有用的期望信号，并抑制来自其他方向的干扰信号，即完成了波束形成。其中，

表示发射信号的协方差矩阵，

表示M_r×M_r的单位阵，符号

表示Kronecker积。

本发明的技术原理是：本发明在分析相干MIMO雷达发射阵和接收阵的收发双边导向矢量误差模型的基础上，提出了一种相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法。该方法结合了二阶凸优化算法和双迭代算法，将原来基于高维协方差矩阵的二阶凸优化问题转化为两个基于低维协方差矩阵的二阶凸优化问题，进而通过双迭代算法循环优化两个低维的发射权向量和接收权向量，恢复出高维权向量进行波束形成，从而大大降低了算法的计算复杂度以及对训练样本的需求量。

本发明与现有技术相比具有以下特点：

1、传统自适应波束形成方法虽然能够实现收发联合自适应波束形成，但是所需要的样本数比较大。本发明方法只需要估计M_t×M_t维（M_t为发射天线数）的协方差矩阵

和M_r×M_r维（M_r为接收天线数）的协方差矩阵而LSMI算法和SCOP算法需要估计M_tM_r×M_tM_r维的协方差矩阵R_e。由此可以看出，本发明方法的训练样本数至少应不少于max{M_r,M_t}，与LSMI算法和SCOP算法相比，大大减少了所需的样本数。

2、传统的自适应波束形成方法的运算量比较大。基于SOCP方法的全维自适应波束形成算法（F-SOCP）的计算复杂度为而本发明方法每一次迭代的计算复杂度仅为

仿真实验表明，当双迭代算法的迭代控制因子δ＝0.001时，本发明方法在2～3步迭代后即可收敛（如图5所示）。考虑实验中的参数，SMI、LSMI和F-SOCP三种算法的计算复杂度均为O(L·10⁴)+O(10⁶)，本发明方法的单次迭代计算复杂度仅为2[O(L·10²)+O(10³)]，考虑到3次迭代收敛，其计算量也远比其它三种算法的计算量低。因此，本发明方法的计算复杂度远低于LSMI算法和F-SCOP算法。

3、当观测数据中包含目标信号时，自适应波束形成算法的性能将伴随着输入SNR的增大而有所下降，但本发明方法与其它三种算法相比，稳健性较好（如图3所示）。

附图说明

图1是相干MIMO雷达***结构示意图；

图2是本发明的收发稳健降维自适应波束形成方法流程图；

图3是试验一中MIMO radar I当输入SNR=-20dB时，四种算法的输出SINR随训练样本L变化的性能曲线，其中BIA-SOCP方法和LSMI算法的起始样本为10，SMI和F-SOCP算法的起始样本为100；

图4是试验一中MIMO radar I当训练样本数L＝600时，四种算法的输出SINR随输入SNR变化的CCC曲线；

图5是当训练样本数L＝600，输入SNR=-20dB时，本发明方法一次实验随迭代步数的收敛曲线；

图6是试验一中对MIMO radar II仿真实验结果：图6（a）是输入SNR=-20dB时，四种算法输出SINR随训练样本数L变化的性能曲线；图6（b）是给定样本数L＝600，四种算法的输出SINR随输入SNR变化的性能曲线；

图7是试验二中对MIMO radar I仿真实验结果：图7（a）是当输入信噪比为SNR=-20dB时，四种方法的输出信干噪比随训练样本数L变化的性能曲线；图7（b）是当训练样本L＝600时，四种方法的输出SINR随输入SNR变化的性能曲线；

图8是试验二中对MIMO radar II仿真实验结果：图8（a）是四种方法在输入SNR=-20dB时，输出SINR随训练样本数L变化的性能曲线；图8（b）是训练样本数L＝600时，四种方法的输出SINR随输入SNR变化的性能曲线。

具体实施方式

下面参照附图说明本发明的方法实施过程。

本发明中，相干MIMO雷达天线阵列各阵元发射的信号相互正交，可以进行收发联合波束形成，基于上述特点提出了一种收发稳健降维自适应波束形成方法。为了更好地理解本发明，先介绍相干MIMO雷达***的信号模型以及最优波束形成器。图1为相干MIMO雷达***结构示意图，各发射天线同时发射Mt个非相干信号其中，N表示每个雷达信号脉冲内的快拍数， $s\left(n\right)={[s_1\left(n\right),s_2\left(n\right),...,s_{M_t}\left(n\right)]}^T,n=1,...,N.$ 发射信号的协方差矩阵可以表示为

${\hat{R}}_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{N}\underset{n-1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}s\left(n\right)s^H\left(n\right)={\mathrm{ss}}^H/N\∈C^{M_t\×M_t}---\left(1\right)$

设θ为远场点目标的波达方向角，则目标的发射导向矢量为

$a\left(\mathrm{\θ}\right)={[e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_1\left(\mathrm{\θ}\right)}...e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_{m_t}\left(\mathrm{\θ}\right)}...e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_{M_t}}]}^T{m}_t=1,...,M_t---\left(2\right)$

接收导向矢量为

$b\left(\mathrm{\θ}\right)={[e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1\left(\mathrm{\θ}\right)}...e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{m_r}\left(\mathrm{\θ}\right)}...e^{-j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{\mathrm{Mr}}\left(\mathrm{\θ}\right)}]}^T{m}_r=1,...,M_r---\left(3\right)$

其中，f₀为载波频率，

表示第m_t个发射信号到达目标的时延，

表示经目标反射后的发射信号到达第m_r个接收阵元的时延。

单个雷达脉冲内，相干MIMO雷达的接收数据可以表示为

$X=\mathrm{\βb}\left(\mathrm{\θ}\right)a^T\left(\mathrm{\θ}\right)S+Z\∈C^{M_r\×N}---\left(4\right)$

上式中，β表示目标的反射系数，Z为干扰和接收机噪声分量。

利用各发射信号的匹配信号对每个天线的接收信号进行匹配滤波，该过程可以表示为

$Y=\left({\mathrm{XS}}^H\right)/\sqrt{N}=\widehat{\mathrm{\β}}b\left(\mathrm{\θ}\right)a^T\left(\mathrm{\θ}\right){\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+\tilde{Z}\∈C^{M_r\×M_t}---\left(5\right)$

上式中，

表示匹配滤波后噪声加干扰的输出项，Y是M_t×M_r维的匹配压缩输出，其矢量化形式可以表示为

$y=\mathrm{vec}\left(Y\right)=y_t+y_z\∈C^{M_r{M}_t\×1}---\left(6\right)$

其中，vec(·)表示矩阵的矢量化，它是将一个矩阵按列写成一列，即将矩阵的第二列放在第一列下面，第三列放在第二列下面，依次类推，可以得到一个列矢量。由式（5）和式（6）可知，目标分量y_t可以表示为

$\begin{array}{c}{y}_t=\mathrm{vec}\left(\widehat{\mathrm{\β}}b\left(\mathrm{\θ}\right)a^T\left(\mathrm{\θ}\right){\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\right)=\widehat{\mathrm{\β}}({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\⊗I_{M_r})\mathrm{vec}\left(b\left(\mathrm{\θ}\right)a^T\left(\mathrm{\θ}\right)\right)\\ =\widehat{\mathrm{\β}}({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\⊗I_{M_r})c\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}---\left(7\right)$

其中，c(θ)为相应的发射-接收导向矢量，并有如下形式

$c\left(\mathrm{\θ}\right)=a\left(\mathrm{\θ}\right)\⊗b\left(\mathrm{\θ}\right)={[b_1{a}_1,...,b_{M_r}{a}_1,...,b_1{a}_{M_t},...,b_{M_r},...,b_{M_r}{a}_{M_t}]}^T---\left(8\right)$

上式中，

表示目标的发射导向矢量a(θ)的第m_t个元素，

表示目标的接收导向矢量b(θ)的第m_r个元素。

相应地，M_rM_t×1维的干扰加噪声分量y_z可以表示为

$y_z=\mathrm{vec}\left(\tilde{Z}\right)={[{\tilde{z}}_{\mathrm{1,1}},...,{\tilde{z}}_{M_r,1},...,{\tilde{z}}_{1,M_t},...,{\tilde{z}}_{M_r,M_t}]}^T---\left(9\right)$

将a(θ)、b(θ)和c(θ)分别简记为a、b和c，则（5）式可重新表示为

$y=\widehat{\mathrm{\β}}({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\⊗I_{M_r})c+y_z---\left(10\right)$

式（10）即为相干MIMO雷达回波信号的表示方式。

下面介绍最优波束形成器。收发全维自适应波束形成实际上就是直接对观测数据矢量y进行加权求和。设滤波器权矢量为 $w={[w_{\mathrm{1,1}},...,w_{M_r,1},...,w_{1,M_t},...,w_{M_r,M_t}]}^T,$ 由式（10）可知，全维自适应波束形成的输出可表示为如下形式

$y_{\mathrm{out}}=w^{H}y=\widehat{\mathrm{\β}}{w}^H({\widehat{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{ss}}\⊗I_{M_r})c+w^H{y}_z---\left(11\right)$

令

$\tilde{w}=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\⊗I_{M_r})w---\left(12\right)$

则式(11)可以重新表示为

$y_{\mathrm{out}}=\widehat{\mathrm{\β}}{\tilde{w}}^{H}c+{\tilde{w}}^H({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})y_z---\left(13\right)$

***的输出信干噪比（SINR）为

$\mathrm{SINR}=\frac{{\left|\widehat{\mathrm{\β}}\right|}^2{\left|{\tilde{w}}^{H}c\right|}^2}{{\tilde{w}}^H({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})R_z({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})\tilde{w}}---\left(14\right)$

其中，

表示噪声加干扰的协方差矩阵。令

${\tilde{R}}_z=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})R_z({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})---\left(15\right)$

表示修正后的协方差矩阵。

根据最小方差无畸变（MVDR）准则，即在保证目标信号增益一定的前提下，最小化输出干扰和噪声功率，那么最优权向量可以通过求解如下的线性约束优化问题得到

$\underset{\tilde{w}}{\min }{\tilde{w}}^H{\tilde{R}}_z\tilde{w}\mathrm{subjectto}{\tilde{w}}^{H}c=1---\left(16\right)$

根据拉格朗日乘子法，令代价函数

对

的共轭导数等于零，可以得到

$\tilde{w}=\mathrm{\α}{{\tilde{R}}_z}^{-1}c---\left(17\right)$

其中，

为归一化常数。由(12)式可得，最优权向量为

$w_{\mathrm{opt}}=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})\tilde{w}---\left(18\right)$

由于在实际中，协方差矩阵R_z是未知的，因此需要由样本估计得到，其最大似然估计为

$\hat{R}=\left\{{\mathrm{\Σ}}_{l=1}^L{y}_l{y_l}^H\right\}/L---\left(19\right)$

其中，L表示一个相干处理间隔（CPI）内的雷达脉冲数，y_l表示第l个脉冲的回波采样数据。采样协方差矩阵求逆（SMI）方法就是用最大似然估计

替代R_z，其相应的代价函数为

$\underset{w}{\min }{\tilde{w}}^H{R}_e\tilde{w}\mathrm{subjectto}{\tilde{w}}^{H}c=1---\left(20\right)$

其中， $R_e=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r})\hat{R}({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r}).$

根据拉格朗日乘子法，可以求得由SMI方法得到的全维权向量为

${\tilde{w}}_{\mathrm{SMI}}=R_e^{-1}c---\left(21\right)$

则SMI方法的权向量为 $w_{\mathrm{SMI}}=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\⊗I_{M_r}){\tilde{w}}_{\mathrm{SMI}}.$

根据图2，本发明的收发稳健降维自适应波束形成方法如下：

1.将相干MIMO雷达中的发射-接收二维权向量分离为发射权向量和接收权向量两部分，实现降维：

由于相干MIMO雷达自适应波束形成涉及到发射维和接收维信息，将全维权向量

表示为发射和接收可分离的结构，即：

并将其代入代价函数式(20)中，可以得到如下双二次函数

$\begin{array}{c}\underset{\tilde{u},\tilde{v}}{\min }J(\tilde{u},\tilde{v})={\tilde{w}}^H{R}_e\tilde{w}=E\left\{{\left|{\tilde{w}}^H\tilde{y}\right|}^2\right\}=E\left\{{\left|{\mathrm{\Σ}}_{m_r=1}^{M_r}{\mathrm{\Σ}}_{m_t=1}^{M_t}{\tilde{w}}_{m_r,m_t}^{*}{\tilde{y}}_{m_r,m_t}\right|}^2\right\}\\ =E\left\{{\left|{\mathrm{\Σ}}_{m_r=1}^{M_r}{\mathrm{\Σ}}_{m_t=1}^{M_t}{\tilde{u}}_{m_r}^{*}{\tilde{y}}_{m_r,m_t}{\tilde{v}}_{m_t}\right|}^2\right\}=E\left\{{\left|{\tilde{u}}^H\widetilde{Y\stackrel{~}{v}}\right|}^2\right\}\end{array}----\left(22a\right)$

$\begin{array}{c}s.t.{\tilde{w}}^{H}c={\mathrm{\Σ}}_{m_r=1}^{M_r}{\mathrm{\Σ}}_{m_t=1}^{M_t}{\tilde{w}}_{m_r,m_t}^{*}{c}_{m_r,m_t}\\ ={\mathrm{\Σ}}_{m_r=1}^{M_r}{\tilde{u}}_{m_r}^{*}{b}_{m_r}{\mathrm{\Σ}}_{m_t=1}^{M_t}{\tilde{v}}_{m_t}{a}_{m_t}=\left({\tilde{u}}^{H}b\right)\left(a^T\tilde{v}\right)=1\end{array}---\left(22b\right)$

其中，

表示修正后的接收数据矢量，

表示

的矩阵形式，上标*表示对矩阵或向量求共轭。

2.基于收发双边导向矢量误差模型，利用二阶凸优化算法推导出双二次代价函数及约束条件：

1）先介绍收发双边导向矢量误差模型。假定的目标信号导向矢量和真实的目标信号导向矢量之间会存在着一定的误差(失配)，但误差的2-范数的范围是已知的或是指定的。令和

分别表示目标真实的发射导向矢量和接收导向矢量，设假定的目标发射导向矢量a和接收导向矢量b分别满足a^Ha＝M_t，b^Hb＝M_r，且真实的导向矢量与假定的导向矢量之间有如下关系

$\tilde{a}=a+{\mathrm{\σ}}_1\left|\right|{\mathrm{\σ}}_1\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_1,\tilde{b}=b+{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_2---\left(23\right)$

其中，σ₁和σ₂分别表示未知的发射导向矢量误差和接收导向矢量误差，且||σ₁||和||σ₂||均有界。真实的发射导向矢量和接收导向矢量可表示为如下两个凸集

$A\left({\mathrm{\ϵ}}_1\right)=\left\{\tilde{a}\right|\tilde{a}=a+{\mathrm{\σ}}_1,\left|\right|{\mathrm{\σ}}_1\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_1\}---\left(24a\right)$

$B\left({\mathrm{\ϵ}}_2\right)=\left\{\tilde{b}\right|\tilde{b}=b+{\mathrm{\σ}}_2,\left|\right|{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_2\}---\left(24b\right)$

真实的发射-接收导向矢量

为

$\begin{array}{c}\tilde{c}=\tilde{a}\⊗\tilde{b}=(a+{\mathrm{\σ}}_1)\⊗(b+{\mathrm{\σ}}_2)\\ =a\⊗b+a\⊗{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_1\⊗b+{\mathrm{\σ}}_1\⊗{\mathrm{\σ}}_2\end{array}---\left(25\right)$

真实的发射-接收导向矢量可表示为如下集合

$C({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\ϵ}}_2)=\{c+\mathrm{\σ}|\mathrm{\σ}=a\⊗{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_1\⊗b+{\mathrm{\σ}}_1\⊗{\mathrm{\σ}}_2,\left|\right|{\mathrm{\σ}}_1\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_1,\left|\right|{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_2\}---\left(26\right)$ 其中，

σ表示发射-接收导向矢量误差，且||σ||满足

$\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\σ}\left|\right|=\left|\right|a\⊗{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_1\⊗b+{\mathrm{\σ}}_1\⊗{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|\\ \≤\left|\right|a\⊗{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|+\left|\right|{\mathrm{\σ}}_1\⊗b\left|\right|+\left|\right|{\mathrm{\σ}}_1\⊗{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|\≤\sqrt{M_t}{\mathrm{\ϵ}}_2+\sqrt{M_r}{\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\ϵ}}_1{\mathrm{\ϵ}}_2\end{array}---\left(27\right)$

式(26)所示集合是一个非凸的集合，可以将其松弛到如下的一个凸集中，即

$\tilde{C}\left(\mathrm{\ϵ}\right)=\left\{\tilde{c}\right|\tilde{c}=c+\mathrm{\σ},\left|\right|\mathrm{\σ}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\}---\left(28\right)$

其中， $\mathrm{\ϵ}=\sqrt{M_t}{\mathrm{\ϵ}}_2+\sqrt{M_r}{\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\ϵ}}_1{\mathrm{\ϵ}}_2.$

2）基于1）中的收发双边导向矢量误差模型，将二阶凸优化算法直接应用于相干MIMO雷达的全维自适应波束形成中。对所有属于(28)式所示集合中的导向矢量强加一个约束，使其阵列响应的绝对值不小于1，即可得到如下的不等式约束最小化问题

$\underset{\tilde{w}}{\min }{\tilde{w}}^H{R}_e\tilde{w}\mathrm{subjectto}\underset{\tilde{c}\∈\tilde{C}\left(\mathrm{\ϵ}\right)}{\min }\left|{\tilde{w}}^H\tilde{c}\right|\≥1---\left(29\right)$

当发射导向矢量和接收导向矢量均存在失配时，类比于式（29），代价函数(22a)和（22b）可以转化为一个不等式约束的双二次代价函数，即

$\underset{\tilde{u},\tilde{v}}{\min }J(\tilde{u},\tilde{v})=E\left\{{\left|{\tilde{u}}^H\widetilde{Y\stackrel{~}{v}}\right|}^2\right\}---\left(30a\right)$

$s.t.\left|{\tilde{u}}^H\tilde{b}{\tilde{a}}^T\tilde{v}\right|\≥1,\mathrm{forall}\tilde{a}\∈A\left({\mathrm{\ϵ}}_1\right),\tilde{b}\∈B\left({\mathrm{\ϵ}}_2\right)---\left(30b\right)$

上式是一个非凸的双二次优化问题，根据导向矢量匹配最差情况下性能最好的准则，上述代价函数可进一步转化为

$\underset{\tilde{u},\tilde{v}}{\min }J(\tilde{u},\tilde{v})=E\left\{{\left|{\tilde{u}}^H\tilde{Y}\tilde{v}\right|}^2\right\}---\left(31a\right)$

$s.t.\underset{\tilde{b},\tilde{a}}{\min }\left|{\tilde{u}}^H\tilde{b}{\tilde{a}}^T\tilde{v}\right|\≥1,\mathrm{forall}\tilde{a}\∈A\left({\mathrm{\ϵ}}_1\right),\tilde{b}\∈B\left({\mathrm{\ϵ}}_2\right)---\left(31b\right)$

由双边导向矢量误差模型的导向矢量误差关系，即式（23），将式(31b)表示为

$\underset{{\mathrm{\σ}}_1,{\mathrm{\σ}}_2}{\min }\left|{\tilde{u}}^H(b+{\mathrm{\σ}}_2{(a+{\mathrm{\σ}}_1)}^T\tilde{v})\right|\≥1,\∀\left|\right|{\mathrm{\σ}}_1\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_1,\left|\right|{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|\≤{\mathrm{\ϵ}}_2---\left(32\right)$

假设|a^Tv＞ε₁||v||和a^Tv|＞ε₁||v||成立，由柯西-施瓦茨不等式，有

$\begin{array}{c}\left|u^H(b+{\mathrm{\σ}}_2){(a+{\mathrm{\σ}}_1)}^{T}v\right|=\left|u^H(b+{\mathrm{\σ}}_2)\right|\·\left|{(a+{\mathrm{\σ}}_1)}^{T}v\right|\\ \≥\left|\right|u^{H}b|-|u^H{\mathrm{\σ}}_2\left|\right|\·\left|\right|a^{T}v|-|{{\mathrm{\σ}}_1}^{T}v\left|\right|\≥\left(\right|u^{H}b|-{\mathrm{\ϵ}}_2|\left|u\right|\left|\right)\·\left(\right|a^{T}v|-{\mathrm{\ϵ}}_1|\left|v\right|\left|\right)\end{array}---\left(33\right)$

当且仅当

${\mathrm{\σ}}_1=-\frac{{\mathrm{\ϵ}}_1\tilde{v}}{\left|\right|v\left|\right|}{e}^{\mathrm{j\φ}2},{\mathrm{\φ}}_1=\mathrm{angle}\left\{a^T\tilde{v}\right\}---\left(34a\right)$

${\mathrm{\σ}}_2=-\frac{{\mathrm{\ϵ}}_2\tilde{u}}{\left|\right|\tilde{u}\left|\right|}{e}^{\mathrm{j\φ}2},{\mathrm{\φ}}_2=\mathrm{angle}\left\{{\tilde{u}}^{H}b\right\}---\left(34b\right)$

时，不等式(33)取“=”号，即

$\left|{\tilde{u}}^H(b+{\mathrm{\σ}}_2){(a+{\mathrm{\σ}}_1)}^T\tilde{v}\right|=\left(\right|{\tilde{u}}^{H}b|-{\mathrm{\ϵ}}_2|\left|\tilde{u}\right|\left|\right)\·\left(\right|a^T\tilde{v}|-{\mathrm{\ϵ}}_1|\left|\tilde{v}\right|\left|\right)---\left(35\right)$

式(35)表示发射导向矢量和接收导向矢量各自匹配均为最差时的情况。根据式（35），将式(31a)和(31b)表示为如下的非线性约束的双二次最小化问题，即

$\underset{\tilde{u},\tilde{v}}{\min }J(\tilde{u},\tilde{v})=E\left\{{\left|{\tilde{u}}^H\tilde{Y}\tilde{v}\right|}^2\right\}---\left(36a\right)$

$s.t.\left(\right|{\tilde{u}}^{H}b|-{\mathrm{\ϵ}}_2|\left|\tilde{u}\right|\left|\right)\·\left(\right|a^T\tilde{v}|-{\mathrm{\ϵ}}_1|\left|\tilde{v}\right|\left|\right)\≥1---\left(36b\right)$

上式是一个双二次非凸的优化问题，并且

和

之间存在尺度模糊，即

其中α为任意非零常数。对

进行归一化处理，即使

可以达到在不损失输出信干噪比的情况下消除尺度模糊影响的目的。

3.利用双迭代方法对双二次代价函数进行最优权向量求解。

当固定

时，式(36a)可表示为

$\underset{\tilde{u},\tilde{v}}{\min }E\left\{{\left|{\tilde{u}}^H\tilde{Y}\tilde{v}\right|}^2\right\}\≈\underset{\tilde{u},\tilde{v}}{\min }\frac{1}{L}\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{v}}^H\left[{\tilde{Y}}_l^H{\tilde{u}\tilde{u}}^H{\tilde{Y}}_l\right]\tilde{v}=\underset{\tilde{u},\tilde{v}}{\min }{\tilde{v}}^H{\tilde{R}}_1\tilde{v}---\left(37\right)$

其中，

表示修正后的训练样本数据矩阵，

表示降维后的协方差矩阵，约束条件(36b)可以重新表示为

令

且

则式(36a)和（36b）可转化为如下关于

的一个二阶凸规划问题，即

$\underset{\tilde{v}}{\min }{\tilde{v}}^H{\tilde{R}}_1\tilde{v}---\left(38a\right)$

$s.t.{\mathrm{\ϵ}}_1\left|\right|\tilde{v}\left|\right|\≤a^T\tilde{v}-k_1\mathrm{Im}\left\{a^T\tilde{v}\right\}=0---\left(38b\right)$

同理，当固定时，可以得到关于

的一个二阶凸规划问题，即

$\underset{\tilde{u}}{\min }{\tilde{u}}^H{\tilde{R}}_2\tilde{u}---\left(39a\right)$

$s.t.{\mathrm{\ϵ}}_2\left|\right|\tilde{u}\left|\right|\≤{\tilde{u}}^{H}b-k_2,\mathrm{Im}\left\{{\tilde{u}}^{H}b\right\}=0---\left(39b\right)$

其中， ${\tilde{R}}_2\frac{1}{L}\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{Y}}_{l}v{\tilde{v}}^H{\tilde{Y}}_l^H\∈C^{M_r\×M_r},k_2=1/\left(\right|a^T\tilde{v}|-{\mathrm{\ϵ}}_1|\left|\tilde{v}\right|\left|\right).$

用双迭代方法计算最优权向量

和

的具体流程如下：

1)给定初始值

2)将

带入优化问题式(38)中优化得到

其中i＝1,2,…；

3)将

带入优化问题式(39)中优化得到并对

进行归一化处理；

4)重复步骤2)和3)，当满足 $\left|\right|\tilde{u}\left(i\right)-\tilde{u}(i-1)\left|\right|/\left|\right|\tilde{u}\left(i\right)\left|\right|<\mathrm{\&delta;},(0<\mathrm{\&delta;}<<1)$ 时迭代停止，就得到了最优权向量

和

4.根据求出的最优权向量

和

恢复出收-发二维自适应权向量 $w=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\&CircleTimes;I_{M_r})\tilde{w}=({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}^{-1}\&CircleTimes;I_{M_r}){\stackrel{\underset{~}{\&OverBar;}}{v}}^{*}\&CircleTimes;\stackrel{\underset{~}{\&OverBar;}}{u},$ 并利用w进行自适应波束形成。

仿真试验对比：

为了进一步说明本发明的收发稳健降维自适应波束形成方法较传统自适应波束形成方法的优越性，做如下两个仿真试验。

考虑两种MIMO雷达***：(1)MIMO radar I：发射阵密布，即发射阵元和接收阵元间距均为半波长，发射阵和接收阵共置；(2)MIMO radar II：发射阵稀布，即发射阵元间距为半波长的M_r倍，接收阵元间距为半波长。两种雷达的发射阵元数和接收阵元数均为M_t＝M_r＝10。为保证非奇异，发射信号采用码长为N＝256的QPSK编码信号。假设在35°方向和60°方向存在两个强干扰信号，干噪比为(INR)为40dB。定义BIA-SOCP方法的权矢量w_tr与理想权矢量w_opt的互相关系数(CCC)为

仿真实验将在两种非理想情况下比较如下四种自适应波束形成方法的性能：（1）BIA-SOCP方法(本发明的方法);（2）SMI算法；（3）LSMI算法；（4）F-SOCP算法。理想的最优输出信干噪比（OptimalSINR）由理想协方差矩阵计算获得。

对于MIMO radar I，设定ε₁＝ε₂＝2.5，则发射-接收导向矢量的误差界必须满足 $\mathrm{\&epsiv;}\&le;\sqrt{M_t}{\mathrm{\&epsiv;}}_2+\sqrt{M_r}{\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}_2\&ap;22.06.$ 对于MIMO radar II，设定ε₁＝3，ε₂＝2.5，则发射-接收导向矢量的误差界必须满足 $\mathrm{\&epsiv;}\&le;\sqrt{M_t}{\mathrm{\&epsiv;}}_2+\sqrt{M_r}{\mathrm{\&epsiv;}}_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}_2\&ap;24.89.$ 由于白噪声增益的限制，即

因此，将F-SOCP算法的误差界选为ε＝9。LSMI算法的对角加载因子

其中

表示单个阵元上的噪声功率。

试验一：假设不存在导向矢量误差，只考虑观测数据中包含目标信号的影响，其中，真实的目标信号波达方向和假定的目标信号波达方向均为3°。对于MIMOradar I，由图3可以看出，BIA-SOCP方法随样本的收敛速度明显快于SMI、LSMI和F-SOCP算法，说明BIA-SOCP方法在小样本条件下性能较好。由图4可以看出，当观测数据中包含目标信号时，自适应波束形成算法的性能会随着输入SNR的增大而有所下降，但本发明的算法与其它三种算法相比，稳健性较好。图5结果显示，输出SINR经过2～3步迭代就基本达到最大值并趋于稳定，这说明BIA-SOCP方法具有很快的收敛速度。对于MIMO radar II，图6（a）和图6（b）分别给出了四种算法的输出SINR随训练样本数L变化的性能曲线以及随输入SNR变化的性能曲线。由图6（a）和图6（b）可以看出，在不存在导向矢量失配而只考虑观测数据中含有目标信号影响的情况下，本发明的BIA-SOCP方法在收敛速度和稳健性方面都要优于其它三种算法。由试验一可见，BIA-SOCP方法性能很好，不仅适用于发射密布阵形式，同时也适用于发射稀布阵形式。

试验二：存在目标波达方向角误差时，四种自适应波束形成算法的性能比较。真实的目标导向矢量和假定的目标导向矢量之间的关系为：

$\tilde{b}\left({\mathrm{\&theta;}}_0\right)=b({\mathrm{\&theta;}}_0+\mathrm{\&Delta;}).$

对MIMO radar I，真实的目标波达方向为5°，而假定的目标波达方向为3°，即Δ＝2°。发射和接收导向矢量的误差界为||σ₁||＝||σ₂||＝1.7978，而发射-接收导向矢量的误差界为||σ||＝9.9924。图7（a）和图7（b）分别给出了四种算法的输出SINR随训练样本数L变化的性能曲线以及随输入SNR变化的性能曲线，由这两个图可以看出BIA-SOCP方法随样本的收敛速度及稳健性都要优于其它三种算法。对MIMO radar II，假定的目标波达方向为3°，而真实目标波达方向为2.7°，即Δ＝0.3°。此时，发射和接收导向矢量误差界分别为||σ₁||＝2.6102和||σ₂||＝0.2772，而发射-接收导向矢量误差的范数为||σ||＝8.804，图8（a）和图8（b）分别给出了四种算法的输出SINR随训练样本L变化的性能曲线及随输入SNR变化的性能曲线。由图8（a）和图8（b）可以看出，当存在导向矢量失配时，本发明的BIA-SOCP方法在收敛速度和稳健性方面都优于其它三种算法。

从试验一和试验二可以看出，本发明方法所提的BIA-SOCP方法与其它三种算法相比，具有收敛快、更稳健、性能好的优点，并且计算复杂度也要低于其它三种算法。

Claims (6)

1.一种相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法，其特征是：首先将相干MIMO雷达中的发射-接收二维权向量分离为发射权向量和接收权向量两部分，从而实现降维，然后基于收发双边导向矢量误差模型，利用二阶凸优化算法推导出双二次代价函数及约束条件，进而利用双迭代方法计算波束形成所需的最优权向量，最后用计算出的最优权向量进行波束形成；具体实现过程如下： 

（1）将相干MIMO雷达中M_tM_r×1维的发射-接收二维权向量 

分离为M_r×1维的接收权向量

和M_t×1维的发射权向量

两部分，实现降维，其中，m_t＝1,…,M_t，m_r＝1,…,M_r，M_t为发射天线数，M_r为接收天线数，上标T表示对向量或矩阵求转置； 

（2）基于收发双边导向矢量误差模型，利用二阶凸优化算法推导出双二次代价函数为

约束条件为 

其中，为接收数据矢量的矩阵形式，a和b分别表示假定的目标发射导向矢量和接收导向矢量，ε₁和ε₂为两个足够小的正数，上标H表示对向量或矩阵求共轭转置，||·||表示2-范数； 

（3）利用双迭代方法求解步骤（2）中双二次代价函数的最优权向量

和

（4）利用步骤（3）计算出的最优权向量

和进行波束形成。 

2.根据权利要求1所述的相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法，其特征是：将相干MIMO雷达中的发射-接收二维权向量分离为发射权向量和接收权向量两部分，实现降维，具体过程如下： 

相干MIMO雷达自适应波束形成涉及到发射维和接收维信息，将全维权向量 

表示为发射和接收可分离的结构，即： 

将

代入采样协方差矩阵求逆的代价函数式 

中，得到如下双二次函数 

其中，

表示修正后的接收数据，

表示发射信号的协方差矩阵，

为干扰加噪声的协方差矩阵的最大似然估计，

表示M_r×M_r维的单位矩阵，表示接收数据矢量

的矩阵形式，上标*表示对矩阵或向量求共轭。 

3.根据权利要求2所述的相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法，其特征是：经过降维处理后，基于收发双边导向矢量误差模型，利用二阶凸优化算法推导出双二次代价函数及约束条件的过程如下： 

{1}收发双边导向矢量误差模型如下：假定的目标信号导向矢量和真实的目标信号导向矢量之间会存在着一定的误差，但误差的2-范数的范围是已知的或是指定的，令

和

分别表示目标真实的发射导向矢量和接收导向矢量，设假定的目标发射导向矢量a和接收导向矢量b分别满足a^Ha＝M_t，b^Hb＝M_r，且真实的导向矢量与假定的导向矢量之间有如下关系 

其中，σ₁和σ₂分别表示未知的发射导向矢量误差和接收导向矢量误差，且||σ₁||和||σ₂||均有界，将真实的发射导向矢量和接收导向矢量表示为如下两个凸集 

真实的发射-接收导向矢量

为 

将真实的发射-接收导向矢量

表示为如下集合 

其中，

σ表示发射-接收导向矢量误差； 

式(5)所示集合是一个非凸的集合，将该集合改写为如下的凸集，即 

其中，

{2}基于收发双边导向矢量误差模型，将二阶凸优化算法直接应用于相干MIMO雷达的全维自适应波束形成中，对所有属于(6)式所示集合中的导向矢量 

强加一个约束，使得

的阵列响应的绝对值不小于1，得到如下的不等式约束最小化代价函数 

当发射导向矢量和接收导向矢量均存在误差时，类比于式（7），将代价函数(1a)和（1b）转化为不等式约束的双二次代价函数，即 

式（8b）中的约束条件非凸，根据导向矢量匹配最差情况下性能最好的准则，将上述代价函数进一步转化为 

根据收发双边导向矢量误差模型的导向矢量误差关系，即式（2），将式(9b)表示为 

假设|a^Tv|＞ε₁||v||和|a^Tv|＞ε₁||v||成立，根据柯西-施瓦茨不等式，有 

当且仅当 

时，不等式(11)取“=”号，即 

式(13)表示发射导向矢量和接收导向矢量各自匹配均为最差时的情况，根据式（13），式(9a)和(9b)表示为如下的双二次代价函数(14a)和非线性约束条件（14b），即 

。

4.根据权利要求3所述的相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法，其特征是：利用双迭代方法对双二次代价函数进行最优权向量求解的过程如下 

{1}当固定

时，将式(14a)表示为 

其中，

表示修正后的训练样本数据矩阵，

表示降维后的协方差矩阵，将式(14b)重新表示为

令 且则式(14a)和（14b）转化为如下关于

的二阶凸规划，即 

{2}同理，当固定

时，得到关于

的二阶凸规划，即 

其中，

5.根据权利要求4所述的相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法，其特征是：用双迭代方法计算最优权向量和

的过程如下 

(1)给定初始值

(2)将

带入代价函数(3)中优化得到

其中i＝1,2,…； 

(3)同理，将

带入代价函数(4)中优化得到

进行归一化处理； 

(4)重复上述步骤(2)和(3)，直到

迭代停止，就得到了最优权向量

和

6.根据权利要求5所述的相干MIMO雷达的收发稳健降维自适应波束形成方法，其特征是：根据双迭代方法求得的最优权向量

和恢复出收-发二维自适应权矢向量然后通过恢复出的收-发二维自适应权向量w直接对观测数据矢量进行加权求和，使阵列的输出功率最小，从而在特定方向形成主波束用来接收有用的期望信号，并抑制来自其他方向的干扰信号，即完成了波束形成。 

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