CN105807275A - 基于部分杂波先验知识的mimo-ofdm-stap稳健波形设计 - Google Patents

Abstract

本发明属于信号处理领域，涉及一种基于不完全杂波先验知识的MIMO‑OFDM‑STAP稳健波形设计方法。通过将参数不确定性显式地包含进波形优化问题以减缓此敏感性。其实现步骤包括：(1)建立MIMO‑OFDM‑STAP模型以获得接收数据的表达式；(2)通过对目标函数推导，得出最优的输出SINR；(3)在恒模和总发射功率约束下，构建稳健波形优化模型；(4)提出一种迭代算法，基于对角加载(DL)技术，将迭代中的每一步非线性优化问题转化为可以获得高效求解的半定规划问题，进而完成稳健波形的优化设计。

Description

基于部分杂波先验知识的MIMO-OFDM-STAP稳健波形设计

技术领域

本发明属于信号处理领域，涉及一种基于不完全杂波先验知识的MIMO-OFDM-STAP稳健波形设计方法。

背景技术

随着MIMO通信蓬勃的发展，以及雷达为突破自身限制对新理论以及新技术的需求，MIMO雷达概念应运而生。与只能发送相干波形的相控阵雷达相比，MIMO雷达可以利用多个发射单元发射几乎任意波形。基于阵列天线间距，MIMO雷达***可分为以下两类：(1)分置雷达，(2)共置雷达。前者采用分置较远的收发单元发射所需信号，同时从不同角度观察目标，从而可利用空间分集以克服由于目标闪烁造成的性能下降。相反，后者使用距离很近的发射单元以增加接收阵列的虚拟孔径，从而使得其性能优于相控阵雷达。

正交频分复用(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)信号作为一种宽带低截获雷达波形受到越来越多的关注。OFDM雷达利用多个正交的子载波并行进行探测，从而能够有效对抗多径传播引起的频率选择性衰落，提高***的抗干扰特性。将OFDM与MIMO技术结合起来，可以充分发挥MIMO和OFDM的优势，从而能够显著提高对目标的检测性能。

空时自适应处理(STAP)是从上个世纪九十年代初发展起来的，用于对机载雷达(airborneradar)数据进行处理的技术。STAP技术在军事和民用中都有着广泛的应用，比如，地质监测，预警，地面动目标检测(GMTI)，动目标检测(MTI)，区域侦查等。对于传统的相控阵雷达，STAP基础理论研究已相当成熟。许多用于改善STAP复杂性以及收敛性的算法业已被提出。这些算法稍微经过修改就可以应用于MIMO雷达。

MIMO雷达发射波形设计通常基于目标和环境的先验知识进行，而此先验知识通过估计得到，因而不可避免的存在估计误差。此时，波形设计难以实现最优匹配，造成***检测性能下降。对角加载采样矩阵求逆算法(loaded sample matrix inversion,LSMI)是常见的自适应稳健方法之一，该方法通过对采样协方差矩阵进行对角加载，可提高自适应算法的收敛速度和稳健性，但其加载量由经验参数给出，没有解析解。J.Li等基于CRB准则研究了改善参数估计性能的波形设计问题。但是该波形设计问题的求解需要某些参数的确切值，比如目标位置，反射系数等。因此，优化波形的确定将依赖于这些值。工程应用中，这些参数值由于通过估计得到，因而存在不确定性。由于参数估计的最终精度对这些不确定性比较敏感，所以基于某个参数估计值得到的优化波形可能导致较差的参数估计精度。

发明内容

为了改善MIMO雷达***性能的波形设计对某些参数估计误差较为敏感的问题，本发明提出一种改善MIMO-OFDM雷达的STAP对地面慢速目标检测性能的稳健发射波形优化设计方法，通过将参数不确定性显式地包含进波形优化问题以减缓此敏感性。该方法首先提出一种迭代算法来优化波形协方差矩阵，然后基于对角加载(DL)技术，将迭代过程的每一步非线性优化问题转化为可以获得高效求解的半定规划问题，从而最大化最差情况下的输出SINR。仿真结果表明，与非相关发射波形相比，本发明可显著提高最差参数估计性能下的***性能。

本发明的技术方案是:一种基于不完全杂波先验知识的MIMO-OFDM-STAP稳健波形设计，包括如下步骤：

(1)建立MIMO-OFDM-STAP***模型

1a)MIMO-OFDM-STAP接收信号描述

考虑如说明书附图之图1所示MIMO-OFDM-STAP场景。此场景中，MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均为均匀线阵，且平行放置，阵元数分别为M和N，阵元间距分别为d_T和d_R。雷达平台沿平行于发射、接收阵列的方向匀速直线飞行，飞行高度和速度分别为h和v。目标沿与发射、接收阵列法线夹角为θ_t的直线匀速运动，速度为v_t，且与雷达平台处于同一平面。在一个相干处理间隔(CPI)内，各发射阵元同时辐射由L个脉冲组成的脉冲串波形，且脉冲重复间隔(PRI)为T。将距离环离散化为N_C(N_C＞＞NML)个小单元，则第l个脉冲重复间隔PRI内的接收数据可表示为：

$X_l={\mathrm{\ρ}}_t{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{D}l}{\mathrm{ab}}^{T}S+\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i{e}^{j2{\mathrm{\π\βf}}_{s,i}l}{a}_i{b_i}^{T}S+Z_l$

式中，以及

和分别表示目标以及位于θ_i的杂波发射导向矢量；表示每个PRI内发射波形矩阵，为第m个发射阵元在每个PRI内发射的复基带信号的离散形式，K为波形采样数；

和分别表示目标以及位于θ_i的杂波的接收导向矢量；ρ_t和ρ_i(θ)分别为所考虑的距离环内目标的复幅度以及位于θ_i的杂波反射系数； 表示第n个接收阵元在第l个PRI内接收的干扰以及噪声，我们可假设Z_l的每一列独立同分布，且服从于均值为0，方差为Q的循环对称复高斯分布。

1b)感兴趣距离环内空时快拍表述

利用S^H(SS^H)^-1/2作为匹配滤波器，且则相应的矢量化匹配滤波输出可表示为：

${\tilde{x}}_l={\mathrm{\ρ}}_t{e}^{j2{\mathrm{\πf}}_{D}l}(\mathrm{\Φ}\⊗I_N)(b\⊗a)+\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i{e}^{j2{\mathrm{\π\βf}}_{s,i}l}(\mathrm{\Φ}\⊗I_N)(b_i\⊗a_i)+vec\left({\tilde{Z}}_l\right)$

其中，I_N是N×N的单位矩阵，

Φ＝SS^H(SS^H)^-1/2＝diag{|a₁| |a₂| … |a_M|}，diag{·}表示对角矩阵。

由上式我们可得所感兴趣距离环内总的空时快拍为：

$\begin{array}{c}{X}_C={\mathrm{\ρ}}_t{U}_D\⊗\left(\right(\mathrm{\Φ}\⊗I_N\left)\right(b\⊗a\left)\right)+\\ \underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i{U}_{D,i}\⊗\left(\right(\mathrm{\Φ}\⊗I_N\left)\right(b_i\⊗a_i\left)\right)+I_L\⊗vec\left({\tilde{Z}}_l\right)\\ ={\mathrm{\ρ}}_t(I_L\⊗\mathrm{\Φ}\⊗I_N)(U_D\⊗b\⊗a)+\\ (I_L\⊗\mathrm{\Φ}\⊗I_N)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i(U_{D,i}\⊗b_i\⊗a_i)+I_L\⊗vec\left({\tilde{Z}}_l\right)\end{array}$

其中，和分别表示目标及位于θi杂波的多普勒导向矢量。

(2)目标函数推导

2a)最优MIMO-OFDM-STAP处理器条件下输出SINR表述

基于最小方差无畸变准则(MVDR)，可得最优输出SINR可表示为：

$SINR={{\mathrm{\ρ}}_t}^2{\[(I_L\⊗\mathrm{\Φ}\⊗I_N)(U_D\⊗b\⊗a)\]}^H{R}_{i+n}^{-1}\[(I_L\⊗{\mathrm{\α}}^T\⊗I_N)(U_D\⊗b\⊗a)\]$

式中，

$R_{i+n}=E\[\left(\right(I_L\⊗\mathrm{\Φ}\⊗I_N\left)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i\right(U_{D,i}\⊗b_i\⊗a_i)+I_L\⊗vec({\tilde{Z}}_l\left)\right)$

${\left(\right(I_L\⊗\mathrm{\Φ}\⊗I_N\left)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i\right(U_{D,i}\⊗b_i\⊗a_i)+I_L\⊗vec({\tilde{Z}}_l\left)\right)}^H\]$

2b)杂波高斯分布，且与干扰不相关条件下输出SINR表述简化

假设杂波独立同分布，且服从均值为0，方差为的高斯分布，则在杂波与干扰加噪声项不相关的假设下，输出SINR可简化为如下表达式：

$SINR={\left|{\mathrm{\ρ}}_t\right|}^2{v_t}^H{(I+\tilde{A}{R}_C)}^{-1}\tilde{A}{v}_t$

其中，

$V={\[v_1,v_2,\mathrm{...},v_{N_C}\]}^H,v_i=U_{D,i}\⊗b_i\⊗a_i,\mathrm{\Ξ}=diag({{\mathrm{\σ}}_1}^2,{{\mathrm{\σ}}_2}^2,\mathrm{...},{{\mathrm{\σ}}_{N_C}}^2),\tilde{A}=I_L\⊗\mathrm{\Ψ}\⊗Q^{-1}.$

(3)稳健波形优化模型

高斯噪声环境下，可以证明最大化检测概率等价于最大化输出信干噪比。由此，基于以上分析可得，在恒模和发射总功率约束下，通过构造一个凸集来优化波形协方差矩阵(WCM)来最大化检测概率的波形优化问题可表述为

$\begin{array}{ccc}\underset{\mathrm{\ψ}}{max}& \underset{{\mathrm{\ΔR}}_C}{min}& {\tilde{v}}_t^H{(I_{MNL}+\tilde{A}{\tilde{R}}_C)}^{-1}\tilde{A}{\tilde{v}}_t\end{array}$

$a_m^2=D_m$

$\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{a}_m^2=P$

||a_m||²≥0

式中，P代表发射总功率。

从上式中我们可以看出目标函数是一个相当复杂的关于和R_C的非线性函数，因而此问题很难利用传统优化方法进行求解。

(4)基于DL的迭代方法求解稳健波形优化问题

4a)基于DL内层优化

此优化问题包含恒模约束，显然是一个非线性优化(NP)问题，求解全局最优解时容易陷入局部最优解。同时，由于我们无法确定的性质，因此，我们不能够利用凸优化方法来解。针对此问题，我们采用对角加载方法对Ψ进行对角加载，使得

式中，ε＜＜λ_max(Ψ)即所谓的加载因子(loading factor)，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值。注意到，由于可得将替换为可得

${(I_{MNL}+\widetilde{\stackrel{~}{A}}{\tilde{R}}_C)}^{-1}\widetilde{\stackrel{~}{A}}={({\widetilde{\stackrel{~}{A}}}^{-1}+{\tilde{R}}_C)}^{-1}$

根据上式，内部优化问题可以被写为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\mathrm{\ΔR}}_C,t}{min}& t\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& {\tilde{v}}_t^H{({\widetilde{\stackrel{~}{A}}}^{-1}+{\tilde{R}}_C)}^{-1}{\tilde{v}}_t\≤t\end{array}$

式中t是辅助变量。

上述问题可等价为如下的SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{{\mathrm{\ΔR}}_C,t}{min}& t\end{array}$

4b)基于DL求解外层优化

将DL方法用于可以得到

式中，满足ρ＝λ_max(R_C)/1000，用替换R_C，可得

$SINR={\left|{\mathrm{\ρ}}_t\right|}^2{v_t}^H{(I+\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C)}^{-1}\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C{{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C}^{-1}{v}_t$

利用矩阵求逆定理，上式可被重写为

$SINR={\left|{\mathrm{\ρ}}_t\right|}^2{v_t}^H{{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C}^{-1}{v}_t-{\left|{\mathrm{\ρ}}_t\right|}^2{v_t}^H{({\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C+{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C)}^{-1}{v}_t$

基于上述讨论，波形优化问题可等价表示为如下SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\Ψ},t}{min}& t\end{array}$

$a_m^2=D_m$

$\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{a}_m^2=P$

||a_m||²≥0

式中，t为辅助优化变量。从而，此波形优化问题可利用诸多成熟优化工具箱获得高效求解。

4c)基于DL的迭代方法求解稳健波形优化问题

基于上述讨论，ΔR_C和ψ可获得高速求解，由此可得到迭代算法：给定波形协方差矩阵初始值(比如，不相关波形),ΔR_C以及ψ可通过以下步骤交替优化得到:

<1>求解上述SDP问题1以得到最优ΔR_C；

<2>求解SDP问题2以得到最优ψ；

返回步骤<1>重新迭代直至信干噪比(SINR)不再降低。

针对复杂环境下地面慢速目标的空时联合处理问题，本发明将参数的不确定性融入优化模型，研究了在非完备先验信息下改善MIMO-OFDM雷达参数估计性能的稳健波形优化问题。在恒模约束下，构建稳健波形优化模型，基于对角加载(DL)技术，将迭代过程的每一步非线性优化问题转化为可以获得高效求解的半定规划问题，用比较成熟的优化工具进行求解，仿真验证了能够有效改善输出SINR，进而最大化***检测性能。本发明的基本思路是，首先建立MIMO-OFDM-STAP***模型，对目标函数进行推导，然后建立稳健波形优化模型，最后完成稳健波形优化问题的求解。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

第一，针对输出SINR对参数估计误差敏感的问题，本发明考虑通过显式地将参数不确定凸集包含进波形优化模型以缓解输出SINR对参数估计误差的敏感性，从而提高MIMO-OFDM-STAP***的检测性能。

第二，提出一种迭代方法，基于对角加载技术，将迭代中每一步非线性优化问题转化为可以获得高效求解的半正定规划问题，从而可以利用比较成熟的优化工具箱获得高效求解。

附图说明

图1为MIMO-OFDM-STAP模型

图2为本发明实现的流程图

图3为在ASNR＝30dB条件下MIMO雷达A(0.5，0.5)和MIMO雷达B(1.5，0.5)得到的最优发射波束方向图；

图4为本发明以及发射不相关波形场景下MIMO雷达A(0.5，0.5)和MIMO雷达B(1.5，0.5)所得到最坏情况下的输出SINR随ASNR的变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图1、附图2、附图3、附图4及实施例对本发明做进一步说明：

本发明的一种基于不完全杂波先验知识的MIMO-OFDM-STAP稳健波形设计，包括如下步骤：

(1)建立MIMO-OFDM-STAP***模型

1a)MIMO-OFDM-STAP接收信号描述

考虑如说明书附图之图1所示MIMO-OFDM-STAP场景。此场景中，MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均为均匀线阵，且平行放置，阵元数分别为M和N，阵元间距分别为d_T和d_R。雷达平台沿平行于发射、接收阵列的方向匀速直线飞行，飞行高度和速度分别为h和v。目标沿与发射、接收阵列法线夹角为θ_t的直线匀速运动，速度为v_t，且与雷达平台处于同一平面。在一个相干处理间隔(CPI)内，各发射阵元同时辐射由L个脉冲组成的脉冲串波形，且脉冲重复间隔(PRI)为T。将距离环离散化为N_C(N_C＞＞NML)个小单元，则第l个脉冲重复间隔PRI内的接收数据可表示为：

$X_l={\mathrm{\&rho;}}_t{e}^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_{D}l}{\mathrm{ab}}^{T}S+\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i{e}^{j2{\mathrm{\&pi;\&beta;f}}_{s,i}l}{a}_i{b_i}^{T}S+Z_l$

式中，以及 和分别表示目标以及位于θi的杂波发射导向矢量；表示每个PRI内发射波形矩阵，为第m个发射阵元在每个PRI内发射的复基带信号的离散形式，K为波形采样数；

和分别表示目标以及位于θi的杂波的接收导向矢量；ρ_t和ρ_i(θ)分别为所考虑的距离环内目标的复幅度以及位于θ_i的杂波反射系数； 表示第n个接收阵元在第l个PRI内接收的干扰以及噪声，我们可假设Z_l的每一列独立同分布，且服从于均值为0，方差为Q的循环对称复高斯分布。

1b)感兴趣距离环内空时快拍表述

利用S^H(SSH)^-1/2作为匹配滤波器，且则相应的矢量化匹配滤波输出可表示为：

${\tilde{x}}_l={\mathrm{\&rho;}}_t{e}^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_{D}l}(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(b\&CircleTimes;a)+\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i{e}^{j2{\mathrm{\&pi;\&beta;f}}_{s,i}l}(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(b_i\&CircleTimes;a_i)+vec\left({\tilde{Z}}_l\right)$

其中，I_N是N×N的单位矩阵，Φ＝SS^H(SS^H)^-1/2＝diag{|a₁| |a₂| … |a_M|}，diag{·}表示对角矩阵。

由上式我们可得所感兴趣距离环内总的空时快拍为：

$\begin{array}{c}{X}_C={\mathrm{\&rho;}}_t{U}_D\&CircleTimes;\left(\right(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\right(b\&CircleTimes;a\left)\right)+\\ \underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i{U}_{D,i}\&CircleTimes;\left(\right(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\right(b_i\&CircleTimes;a_i\left)\right)+I_L\&CircleTimes;vec\left({\tilde{Z}}_l\right)\\ ={\mathrm{\&rho;}}_t(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(U_D\&CircleTimes;b\&CircleTimes;a)+\\ (I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i(U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i)+I_L\&CircleTimes;vec\left({\tilde{Z}}_l\right)\end{array}$

其中，和分别表示目标及位于θ_i杂波的多普勒导向矢量。

(2)目标函数推导

2a)最优MIMO-OFDM-STAP处理器条件下输出SINR表述

基于最小方差无畸变准则(MVDR)，可得最优输出SINR可表示为：

$SINR={{\mathrm{\&rho;}}_t}^2{\&lsqb;(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(U_D\&CircleTimes;b\&CircleTimes;a)\&rsqb;}^H{R}_{i+n}^{-1}\&lsqb;(I_L\&CircleTimes;{\mathrm{\&alpha;}}^T\&CircleTimes;I_N)(U_D\&CircleTimes;b\&CircleTimes;a)\&rsqb;$

式中，

$R_{i+n}=E\&lsqb;\left(\right(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i\right(U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i)+I_L\&CircleTimes;vec({\tilde{Z}}_l\left)\right)$

${\left(\right(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i\right(U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i)+I_L\&CircleTimes;vec({\tilde{Z}}_l\left)\right)}^H\&rsqb;$

2b)杂波高斯分布，且与干扰不相关条件下输出SINR表述简化

假设杂波独立同分布，且服从均值为0，方差为的高斯分布，则在杂波与干扰加噪声项不相关的假设下，输出SINR可简化为如下表达式：

$SINR={\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{(I+\tilde{A}{R}_C)}^{-1}\tilde{A}{v}_t$

其中，

$V={\&lsqb;v_1,v_2,\mathrm{...},v_{N_C}\&rsqb;}^H,v_i=U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i,\mathrm{\&Xi;}=diag({{\mathrm{\&sigma;}}_1}^2,{{\mathrm{\&sigma;}}_2}^2,\mathrm{...},{{\mathrm{\&sigma;}}_{N_C}}^2),\tilde{A}=I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Psi;}\&CircleTimes;Q^{-1}.$

(3)稳健波形优化模型

高斯噪声环境下，可以证明最大化检测概率等价于最大化输出信干噪比。由此，基于以上分析可得，在恒模和发射总功率约束下，通过构造一个凸集来优化波形协方差矩阵(WCM)来最大化检测概率的波形优化问题可表述为

$\begin{array}{ccc}\underset{\mathrm{\&psi;}}{max}& \underset{{\mathrm{\&Delta;R}}_C}{min}& {\tilde{v}}_t^H{(I_{MNL}+\tilde{A}{\tilde{R}}_C)}^{-1}\tilde{A}{\tilde{v}}_t\end{array}$

$a_m^2=D_m$

$\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_m^2=P$

||a_m||²≥0

式中，P代表发射总功率。

从上式中我们可以看出目标函数是一个相当复杂的关于和R_C的非线性函数，因而此问题很难利用传统优化方法进行求解。

(4)基于DL的迭代方法求解稳健波形优化问题

4a)基于DL内层优化

此优化问题包含恒模约束，显然是一个非线性优化(NP)问题，求解全局最优解时容易陷入局部最优解。同时，由于我们无法确定的性质，因此，我们不能够利用凸优化方法来解。针对此问题，我们采用对角加载方法对Ψ进行对角加载，使得

式中，ε＜＜λ_max(Ψ)即所谓的加载因子(loading factor)，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值。注意到，由于可得将替换为可得

${(I_{MNL}+\widetilde{\stackrel{~}{A}}{\tilde{R}}_C)}^{-1}\widetilde{\stackrel{~}{A}}={({\widetilde{\stackrel{~}{A}}}^{-1}+{\tilde{R}}_C)}^{-1}$

根据上式，内部优化问题可以被写为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\mathrm{\&Delta;R}}_C,t}{min}& t\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& {\tilde{v}}_t^H{({\widetilde{\stackrel{~}{A}}}^{-1}+{\tilde{R}}_C)}^{-1}{\tilde{v}}_t\&le;t\end{array}$

式中t是辅助变量。

上述问题可等价为如下的SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{{\mathrm{\&Delta;R}}_C,t}{min}& t\end{array}$

4b)基于DL求解外层优化

将DL方法用于可以得到

式中，满足ρ＝λ_max(R_C)/1000，用替换R_C，可得

$SINR={\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{(I+\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C)}^{-1}\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C{{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C}^{-1}{v}_t$

利用矩阵求逆定理，上式可被重写为

$SINR={\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C}^{-1}{v}_t-{\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{({\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C+{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C)}^{-1}{v}_t$

基于上述讨论，波形优化问题可等价表示为如下SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\&Psi;},t}{min}& t\end{array}$

$a_m^2=D_m$

$\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_m^2=P$

||a_m||²≥0

式中，t为辅助优化变量。从而，此波形优化问题可利用诸多成熟优化工具箱获得高效求解。

4c)基于DL的迭代方法求解稳健波形优化问题

基于上述讨论，ΔR_C和ψ可获得高速求解，由此可得到迭代算法：给定波形协方差矩阵初始值(比如，不相关波形),ΔR_C以及ψ可通过以下步骤交替优化得到:

<1>求解上述SDP问题1以得到最优ΔR_C；

<2>求解SDP问题2以得到最优ψ；

返回步骤<1>重新迭代直至信干噪比(SINR)不再降低。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真条件：MIMO雷达是4发2收，接收阵元间距为半波长，发射阵元间距为2倍波长，脉冲数为3，采用两个MIMO雷达对目标进行检测，分别为A(0.5,0.5)，B(1.5,0.5)，阵列信噪比的定义为其中，P指总发射功率，指所附加的白色热噪声的方差，阵列的信噪比从10到50分贝变化，杂波块数为10000，杂噪比(CNR)定义为在实验中取值为30dB。杂波协方差矩阵中的每个元素被一个均值为0，方差的高斯噪声干扰。干扰噪声比值为60分贝，采样点数为256。本文假设在4°的方向有目标，杂波的建模使用离散点，其RCS建模为独立同分布的高斯随机变向量，均值为零，方差为i＝1,…,N_C，并假设固定在相干处理间隔。仿真中，把本文提出的算法和不相关波形进行对比，可以看到信噪比的改善情况。

仿真内容：

仿真1:图3为本发明在ASNR＝30dB条件下MIMO雷达A(0.5，0.5)和MIMO雷达B(1.5，0.5)得到的最优发射波束方向图。可以看到所提方法在目标所在位置附近产生了一个尖峰。它意味着凸不确定性下的最坏情况的检测性能会得到改善。此外，还可以看到在图3(b)中产生了栅瓣，这是由于MIMO雷达(1.5,0.5)中发射阵列的稀疏布置。

仿真2：图4为本发明以及发射不相关波形的MIMO雷达A(0.5，0.5)和MIMO雷达B(1.5，0.5)所得到的最坏情况下的输出SINR随ASNR的变化曲线。可以看到两类方法得到的SINR都随着ASNR的增加而增加。并且，相对于不相关波形，不管ASNR为何值，所提方法都能够得到较高地最坏情况下的输出SINR。此外，比较图4(a)和(b)，可以得知，MIMO雷达(1.5,0.5)得到的输出SINR要大于MIMO雷达(0.5,0.5)。这是因为前者形成的虚拟孔径大于后者，从而可获得更大的分集增益。

综上，本发明提出了一种稳健波形设计方法，将参数不确定凸集显式地包含进波形优化模型以最大化最坏情况下的输出SINR。为求解复杂的非线性优化问题，本发明迭代方法，基于对角加载(DL)技术，将迭代中的每一步非线性优化问题转化为可以获得高效求解的半定规划问题，从而最大化输出SINR，进而最大化***检测性能。仿真表明，与非相关发射波形相比，本发明所提方法得到的发射波形可显著改善***检测性能。基于以上讨论可知，本发明所提方法可为工程应用中通过设计发射波形提高雷达检测***的稳健性能提供坚实的理论与实现依据。

Claims (1)

1.基于部分杂波先验知识的MIMO-OFDM-STAP稳健波形设计，其特征在于，包括如下步骤：

(1)建立MIMO-OFDM-STAP***模型

1a)MIMO-OFDM-STAP接收信号描述：

MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均为均匀线阵，且平行放置，阵元数分别为M和N，阵元间距分别为d_T和d_R，雷达平台沿平行于发射、接收阵列的方向匀速直线飞行，飞行高度和速度分别为h和v，目标沿与发射、接收阵列法线夹角为θ_t的直线匀速运动，速度为v_t，且与雷达平台处于同一平面，在一个相干处理间隔(CPI)内，各发射阵元同时辐射由L个脉冲组成的脉冲串波形，且脉冲重复间隔(PRI)为T，将距离环离散化为N_C(N_C＞＞NML)个小单元，则第l个脉冲重复间隔PRI内的接收数据可表示为：

$X_l={\mathrm{\&rho;}}_t{e}^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_{D}l}{\mathrm{ab}}^{T}S+\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i{e}^{j2{\mathrm{\&pi;\&beta;f}}_{s,i}l}{a}_i{b_i}^{T}S+Z_l$

式中，以及

和分别表示目标以及位于θ_i的杂波发射导向矢量；表示每个PRI内发射波形矩阵，为第m个发射阵元在每个PRI内发射的复基带信号的离散形式，K为波形采样数；

和分别表示目标以及位于θ_i的杂波的接收导向矢量；ρ_t和ρ_i(θ)分别为所考虑的距离环内目标的复幅度以及位于θ_i的杂波反射系数； 表示第n个接收阵元在第l个PRI内接收的干扰以及噪声，可假设Z_l的每一列独立同分布，且服从于均值为0，方差为Q的循环对称复高斯分布；

1b)感兴趣距离环内空时快拍表述：

利用S^H(SS^H)^-1/2作为匹配滤波器，且则相应的矢量化匹配滤波输出可表示为：

${\tilde{x}}_l={\mathrm{\&rho;}}_t{e}^{j2{\mathrm{\&pi;f}}_{D}l}(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(b\&CircleTimes;a)+\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i{e}^{j2{\mathrm{\&pi;\&beta;f}}_{s,i}l}(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(b_i\&CircleTimes;a_i)+vec\left({\tilde{Z}}_l\right)$

其中，I_N是N×N的单位矩阵，Φ＝SS^H(SS^H)^-1/2＝diag{|a₁| |a₂| … |a_M|}，diag{·}表示对角矩阵，

由上式可得所感兴趣距离环内总的空时快拍为：

$\begin{array}{c}{X}_C={\mathrm{\&rho;}}_t{U}_D\&CircleTimes;\left(\right(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\right(b\&CircleTimes;a\left)\right)+\\ \underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i{U}_{D,i}\&CircleTimes;\left(\right(\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\right(b_i\&CircleTimes;a_i\left)\right)+I_L\&CircleTimes;vec\left({\tilde{Z}}_l\right)\\ ={\mathrm{\&rho;}}_t(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(U_D\&CircleTimes;b\&CircleTimes;a)+\\ (I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i(U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i)+I_L\&CircleTimes;vec\left({\tilde{Z}}_l\right)\end{array}$

其中，和分别表示目标及位于θ_i杂波的多普勒导向矢量；

(2)目标函数推导

2a)最优MIMO-OFDM-STAP处理器条件下输出SINR表述：

基于最小方差无畸变准则，即MVDR，可得最优输出SINR可表示为：

$SINR={{\mathrm{\&rho;}}_t}^2{\&lsqb;(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N)(U_D\&CircleTimes;b\&CircleTimes;a)\&rsqb;}^H{R}_{i+n}^{-1}\&lsqb;(I_L\&CircleTimes;{\mathrm{\&alpha;}}^T\&CircleTimes;I_N)(U_D\&CircleTimes;b\&CircleTimes;a)\&rsqb;$

式中，

$\begin{array}{c}{R}_{i+n}=E\&lsqb;\left(\right(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i\right(U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i)+I_L\&CircleTimes;vec({\tilde{Z}}_l\left)\right)\\ {\left(\right(I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Phi;}\&CircleTimes;I_N\left)\underset{i=0}{\overset{N_C-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_i\right(U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i)+I_L\&CircleTimes;vec({\tilde{Z}}_l\left)\right)}^H\&rsqb;\end{array}$

2b)杂波高斯分布，且与干扰不相关条件下输出SINR表述简化：

假设杂波独立同分布，且服从均值为0，方差为的高斯分布，则在杂波与干扰加噪声项不相关的假设下，输出SINR可简化为如下表达式：

$SINR={\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{(I+\tilde{A}{R}_C)}^{-1}\tilde{A}{v}_t$

其中，

$V={\&lsqb;v_1,v_2,\mathrm{...},v_{N_C}\&rsqb;}^H,v_i=U_{D,i}\&CircleTimes;b_i\&CircleTimes;a_i,\mathrm{\&Xi;}=diag({{\mathrm{\&sigma;}}_1}^2,{{\mathrm{\&sigma;}}_2}^2,\mathrm{...},{{\mathrm{\&sigma;}}_{N_C}}^2),\tilde{A}=I_L\&CircleTimes;\mathrm{\&Psi;}\&CircleTimes;Q^{-1};$

(3)稳健波形优化模型

高斯噪声环境下，可以证明最大化检测概率等价于最大化输出信干噪比，由此，基于以上分析可得，在恒模和发射总功率约束下，通过构造一个凸集来优化波形协方差矩阵(WCM)来最大化检测概率的波形优化问题可表述为：

$\begin{array}{ccc}\underset{\mathrm{\&psi;}}{max}& \underset{{\mathrm{\&Delta;R}}_C}{min}& {\tilde{v}}_t^H{(I_{MNL}+\tilde{A}{\tilde{R}}_C)}^{-1}\tilde{A}{\tilde{v}}_t\end{array}$

$a_m^2=D_m$

$\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}{a}_m^2=P$

||a_m||²≥0

式中，P代表发射总功率，

从上式中可以看出目标函数是一个相当复杂的关于和R_C的非线性函数，因而此问题很难利用传统优化方法进行求解；

(4)基于DL的迭代方法求解稳健波形优化问题

4a)基于DL内层优化：

此优化问题包含恒模约束，显然是一个非线性优化(NP)问题，求解全局最优解时容易陷入局部最优解，同时，由于 无法确定的性质，因此，不能够利用凸优化方法来解，针对此问题，采用对角加载方法对Ψ进行对角加载，使得

$\widetilde{\mathrm{\&Psi;}}=\mathrm{\&Psi;}+\mathrm{\&epsiv;}I>0$

式中，ε＜＜λ_max(Ψ)即所谓的加载因子(loading factor)，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值，注意到，由于可得将替换为可得

${(I_{MNL}+\widetilde{\stackrel{~}{A}}{\tilde{R}}_C)}^{-1}\widetilde{\stackrel{~}{A}}={({\widetilde{\stackrel{~}{A}}}^{-1}+{\tilde{R}}_C)}^{-1}$

根据上式，内部优化问题可以被写为：

$\begin{array}{cc}\underset{{\mathrm{\&Delta;R}}_C,t}{min}& t\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& {\tilde{v}}_t^H{({\widetilde{\stackrel{~}{A}}}^{-1}+{\tilde{R}}_C)}^{-1}{\tilde{v}}_t\&le;t\end{array}$

式中t是辅助变量，

上述问题可等价为如下的SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{{\mathrm{\&Delta;R}}_C,t}{min}& t\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}^2& vec\left({\mathrm{\&Delta;R}}_C\right)\\ {\mathrm{vec}}^H\left({\mathrm{\&Delta;R}}_C\right)& I\end{array}\right]\&GreaterEqual;0\end{array}$

$\left[\begin{array}{cc}t& v_t\\ {v_t}^H& {\widetilde{\stackrel{~}{A}}}^{-1}+{\tilde{R}}_C\end{array}\right]>0$

4b)基于DL求解外层优化

将DL方法用于可以得到

${\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C={\tilde{R}}_C+\mathrm{\&rho;}I>0$

式中，满足ρ＝λ_max(R_C)/1000，用替换R_C，可得

$SINR={\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{(I+\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C)}^{-1}\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C{{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C}^{-1}{v}_t$

利用矩阵求逆定理，上式可被重写为

$SINR={\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C}^{-1}{v}_t-{\left|{\mathrm{\&rho;}}_t\right|}^2{v_t}^H{({\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C+{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C)}^{-1}{v}_t$

基于上述讨论，波形优化问题可等价表示为如下SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\&Psi;},t}{min}& t\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left[\begin{array}{cc}t& {v_t}^H\\ v_t& {\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C+{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C\tilde{A}{\widetilde{\stackrel{~}{R}}}_C\end{array}\right]\end{array}\&GreaterEqual;0$

$a_m^2=D_m$

$\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}{a}_m^2=P$

||a_m||²≥0

式中，t为辅助优化变量，从而，此波形优化问题可利用诸多成熟优化工具箱获得高效求解；

4c)基于DL的迭代方法求解稳健波形优化问题：

基于上述，ΔR_C和ψ可获得高速求解，由此可得到迭代算法：给定波形协方差矩阵初始值，ΔR_C以及ψ可通过以下步骤交替优化得到:

<1>求解上述SDP问题1以得到最优ΔR_C；

<2>求解SDP问题2以得到最优ψ；

返回步骤<1>重新迭代直至信干噪比(SINR)不再降低。