CN103247048A - 一种基于二次曲线与直线的摄像机混合标定方法 - Google Patents

Abstract

一种基于二次曲线与直线的摄像机混合标定方法，其目的在于使摄像机在小视场的环境下时能够精确地完成标定，进而准确地进行后续三维测量。本发明设计了一个全新的标准圆标定模板，从任意三个不同的角度拍摄该模板，检测出圆的方程和半径所在直线方程，再利用射影变换的交比不变性，准确求得圆外两点，根据圆外两点进而求取过该两点的切线方程，结合圆的方程和三条直线方程，求取单应性矩阵，建立世界坐标系与图像坐标系的对应关系，利用旋转矩阵的单位正交性求得摄像机内部参数和外部参数，最后考虑二阶径向畸变对标定结果进行优化，完成摄像机标定整个过程。

Description

一种基于二次曲线与直线的摄像机混合标定方法

技术领域

本发明属于三维信息重构的技术领域，是一种在微小物体三维测量***中，利用二次曲线与直线的特性，通过标定圆标定模板，来提高微小物体三维测量精度的技术。

背景技术

三维测量技术是计算机图像处理技术的一个分支，是计算机视觉和计算机图形图像处理相结合的一个研究方向，它在生产自动化、机器人视觉、CAD、虚拟现实和医学映像诊断等领域都有着广泛的应用前景。摄像机标定是三维测量中必不可少的前期步骤。标定的精度在很大程度上影响着整个三维测量***的精度。

摄像机标定方法可分为两大类：传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法。传统的摄像机标定方法有直接线性变换法，Tsai提出的两步法，张正友标定方法和以其为代表的各种基于平面模板的方法。摄像机自标定不依赖于特定的标定模版，仅利用摄像机在不同角度拍摄的图像与图像之间的对应关系来完成标定。常见的摄像机自标定方法有基于Kruppa方程的自标定方法、基于二次曲面的自标定方法、基于主动视觉的自标定方法等。由于摄像机自标定方法不需要标定板，相对于传统的摄像机标定方法，自标定在灵活性和实用性上都得到了很大的提高。但从精度上来看，自标定方法和传统的摄像机标定方法还有较大的差距。因此，在高精度三维测量***中，传统的摄像机标定方法的应用更为广泛。

在传统摄像机标定方法中，基于平面模板的摄像机标定方法被认为是目前综合各种因素考虑最好的摄像机标定方法。常见的标定模板有棋盘格和圆形标志点。采用棋盘格的方法存在一些固有缺陷：基于棋盘格模板的标定方法利用的标志点是棋盘格上的十字交叉点，多幅图像上十字交叉点的图像坐标与该十字交叉点的世界坐标之间的关系转换需要一个图像标志点匹配的过程，而仅仅利用十字交叉点之间的透视投影关系是很难做到十分稳定的图像匹配过程。相比而言，圆形标志物模板有更多的优越性。第一，圆形目标容易识别并且对阈值分割不敏感，这将简化标定的过程和提高标定的最终精度。第二，在设置圆形标志点模板时，可以设置若干个大小圆来约束图像坐标和世界坐标的关系，这将大大简化圆形标志点的物像坐标的匹配过程，为标定过程提供便利。因此，基于圆形标志物的标定方法得到了更广泛的认可。

将圆形标志物模板加以细分，可以分为圆形点阵标志物模板、圆形目标和其他几何形状的组合物模板以及少数圆形目标的组合模板。基于圆形点阵标志物的摄像机标定方法标定精度高，抗噪性能好，但是圆形点阵标志物的设置相对繁琐，而且在标定过程中对各个圆形点阵进行物像坐标匹配，给标定过程带来了许多不便。近年来，不少学者从标定的实用性和方便性的角度，对基于单个或两个的圆形标志物的摄像机标定方法进行了广泛研究。其中，基于同心圆、共轴圆、圆和直线组合的摄像机标定方法得到应用。这些方法虽然在一定程度上简化了标定模板的制作难度，但是在标定过程中，他们所采用的模板在实际中往往不很常见或较难提取。特别在圆和直线组合的模板中，由于拍摄时距离远近和光照强弱等影响，往往造成连续直线的断裂，给直线提取带来了很***烦，直接影响了摄像机参数的求取。

发明内容

发明目的：针对上述现有技术，本发明提供一种基于二次曲线与直线的摄像机混合标定方法，以减少小视场环境下摄像机标定的参数误差，提高测量精度。

技术方案：

一种基于二次曲线与直线的摄像机混合标定方法，包括如下步骤：

步骤1：采用摄像机从三个不同的角度对标准

圆形模板进行拍摄，得到三幅图像；

步骤2：对其中一幅图像进行处理，得到此幅图像对应的3×3单应性矩阵H：

步骤2.1：利用Canny边缘检测算法提取图像中

椭圆的边缘；

步骤2.2：利用最小二乘法拟合

椭圆的方程以及椭圆两条轴所在直线的方程；其中，椭圆所对应的二次型方程Q是：

$Q=\left[\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/2& e/2& f\end{array}\right]$     (1)式

两条椭圆轴所在直线方程分别是l₁、l₂：

l₁：k₁x+m₁y+n₁＝0

                   (2)式

l₂：k₂x+m₂y+n₂＝0

即

l₁＝[k₁，m₁，n₁]^T

                   (3)式

l₂＝[k₂，m₂，n₂]^T

其中，a，b，c，d，e，f是椭圆一般方程的参数，k₁，m₁，n₁，k₂，m₂，n₂是直线一般方程的参数；

步骤2.3：根据所述步骤2.2得到的椭圆方程和其中一条椭圆轴直线方程，求得椭圆与椭圆轴直线的交点坐标A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)；

步骤2.4：根据两条椭圆轴直线方程，求得椭圆圆心坐标O(x₀，y₀)，

步骤2.5：选取交比

求得射线

上一点C(x₃，y₃)的坐标；选取交比

求得射线

上一点D(x₄，y₄)的坐标；

步骤2.6：分别求出通过所述步骤2.5求得的椭圆外的点C(x₃，y₃)和D(x₄，y₄)与

椭圆相切的切线，令求取的两条切线为l₃、l₄：

l₃＝[k₃，m₃，n₃]^T

(4)式

l₄＝[k₄，m₄，n₄]^T

其中，k₃，m₃，n₃，k₄，m₄，n₄是直线一般方程的参数；

步骤2.7：在标准

圆模板经过摄像机的透视投影之前，标准圆模板在世界坐标系下的方程为式(5)：

x²+y²＝R²；    (5)式

其中，R为标准

圆模板的半径，x、y为圆一般方程的参数；其二次型方程P为：

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& {-R}^2\end{array}\right]$     (6)式

两条半径所在的直线L₁、L₂方程为：

L₁＝[0，1，0]^T

                     (7)式

L₂＝[1，0，0]^T

根据交比值

求得直线l₃和l₄在经过摄像机的透视投影之前的方程分别为L₃、L₄：

$L_3=[\frac{\sqrt{3}}{3},-1,\frac{2\sqrt{3}}{3}R]$

                      (8)式

$L_4=[\frac{\sqrt{3}}{3},1,-\frac{2\sqrt{3}}{3}R]$

其中，R为标准

圆模板的半径；

步骤2.8：根据所述步骤2.7求得的二次型方程P以及L₁、L₂、L₃、L₄，根据摄像机的成像原理，有如下关系式：

H^TQH＝P

H^Tl₁＝s₁L₁                                  (9)式

H^Tl₃＝s₂L₃

H^Tl₄＝s₃L₄

即：H^T[l₁，l₃，l₄]＝[L₁，L₃，L₄]S             (10)式

其中，s₁，s₂，s₃为比例因子，S＝diag{s₁，s₂，s₃}；求得单应性矩阵H为：

H＝[l₁，L₂，L₃]^-TS[L₁，L₂，L₃]^T；

步骤3：标定摄像机内部参数K：

步骤3.1：对拍摄的另外两幅图像根据所述步骤2，分别得到对应的单应性矩阵H₂，H₃；

步骤3.2：求取的单应性矩阵H可表示为：

λH＝λ[h₁，h₂，h₃]＝K[r₁，r₂，T]    (11)式

其中，λ为比例因子，h₁，h₂，h₃为单应性矩阵H的三个列向量，K为3×3内参矩阵，r₁和r₂为3×3外部参数中旋转矩阵R的两个旋转向量，T为外部参数中3×1平移矩阵；

根据旋转矩阵的单位正交性，存在关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_1^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_2=0\\ h_1^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_1=h_2^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_2\end{array}\right.$     (12)式

内参矩阵K可表示为：

$K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& w& u_0\\ 0& f_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中包含x轴和y轴方向上的等效焦距(f_x，f_y)，等效图像中心点坐标(u₀，v₀)以及横纵坐标夹角系数w共5个未知量，三个单应性矩阵H₁，H₂，H₃分别可求得一组如式(12)的方程组，根据得出的三组方程组，据此求得内参矩阵K；

步骤4：标定摄像机外部参数[R，T]：

摄像机外部参数[R，T]包4括3×3旋转矩阵R＝[r₁，r₂，r₃]和3×1平移矩阵T；其中，r₁，r₂，r₃是旋转矩阵R的三个列向量，根据所述步骤3得到内参矩阵K后根据式(13)可求得外参矩阵R和T：

r₁＝δK^-1h₁

r₂＝δK^-1h₂            (13)式

r₃＝r₁×r₂

T＝δK^-1h₃

其中，δ＝1/||K^-1h₁||＝1/||K^-1h₂||为比例因子；

步骤5：求取摄像机畸变系数：

根据理想成像点与实际成像点的关系，求得畸变系数；所述理想成像点与实际成像点的关系为：

$\hat{x}=x+x[j_1(x^2+y^2)+j_2{(x^2+y^2)}^2]$

                     (14)式

$\hat{y}=y+y[j_1(x^2+y^2)+j_2{(x^2+y^2)}^2]$

其中，j₁和j₂为所求的畸变系数，是实际检测到的图像点坐标，(x，y)是理想成像点坐标；求解出摄像机内参矩阵K、外参矩阵R和T以及畸变参数j₁、j₂后，即完成了摄像机标定。

有益效果：本发明主要用于小视场环境下时的摄像机标定。与现有技术相比，本发明具有以下优点：首先，传统的标定方法需要在摄像机前摆放定制的长宽均为数十厘米的精确标定板，但在微小物体测量***中，摄像机的视场仅为4cm*3cm，无法从传统标定板中提取出足够多的信息完成标定，本发明重新设计的全新的标准

圆形模板，利用

圆中圆周所在方程和切线方程进行标定，解决了在小视场环境下时使用传统标定板无法完成标定的问题；其次，本发明使用的混合标定方法，利用射影变换的交比不变性求得圆外数条切线方程，结合以圆的二次型方程，可以精确求得单应性矩阵，进而得出准确的摄像机内外参数；最后，设置一个交比值能得到两条切线方程，结合直径，一共三条直线方程和一个曲线方程，可得到最小解，设置多个不同的交比值能得到多组切线方程，从而对结果进行优化，得到精度更高的结果。因此，本发明不仅能够完成小视场环境下的摄像机标定，在灵活性和鲁棒性上相比于现有的传统摄像机标定技术更有了较大的提高。

附图说明

图1是本发明整个标定过程的流程图；

图2是本发明设计的标准

圆形模版；

图3是从三个不同角度拍摄的标定模板图；

图4是标准

圆形模板在经过摄像机成像之前的示意图；

图5是标准

圆形模板在经过摄像机成像之后的示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，应用本发明实现摄像机标定的具体步骤如下：

步骤1：采用摄像机从三个不同的角度对如图2所示的标准

圆形模板进行拍摄，得到如图3所示的三幅图像；

步骤2：对其中一幅图像进行处理，得到此幅图像对应的3×3单应性矩阵H：

步骤2.1：利用Canny边缘检测算法提取图像中

椭圆的边缘；

步骤2.2：利用最小二乘法拟合椭圆的方程以及椭圆两条轴所在直线的方程，如图4所示；其中，椭圆所对应的二次型方程Q是：

$Q=\left[\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/2& e/2& f\end{array}\right]$          (1)式

两条椭圆轴所在直线方程分别是l₁、l₂：

l₁：k₁x+m₁y+n₁＝0

                    (2)式

l₂：k₂x+m₂y+n₂＝0

即

l₁＝[k₁，m₁，n₁]^T

                        (3)式

l₂＝[k₂，m₂，n₂]T

其中，a，b，c，d，e，f是椭圆一般方程的参数，k₁，m₁，n₁，k₂，m₂，n₂是直线一般方程的参数；

步骤2.3：根据所述步骤2.2得到的椭圆方程和其中一条椭圆轴直线方程，求得椭圆与椭圆轴直线的交点坐标A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)；

步骤2.4：根据两条椭圆轴直线方程，求得椭圆圆心坐标O(x₀，y₀)，

步骤2.5：选取交比

求得射线

上一点C(x₃，y₃)的坐标；选取交比

利用摄影变换的交比不变性，求得射线

上一点D(x₄，y₄)的坐标；

步骤2.6：分别求出通过所述步骤2.5求得的椭圆外的点C(x₃，y₃)和D(x₄，y₄)与

椭圆相切的切线，令求取的两条切线为l₃、l₄：

l₃＝[k₃，m₃，n₃]^T

                        (4)式

l₄＝[k₄，m₄，n₄]^T

其中，k₃，m₃，n₃，k₄，m₄，n₄是直线一般方程的参数；

步骤2.7：在标准

圆模板经过摄像机的透视投影之前，标准

圆模板在世界坐标系下的方程为式(5)：

x²+y²＝R²；            (5)式

其中，R为标准圆模板的半径，x、y为圆一般方程的参数；其二次型方程P为：

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& {-R}^2\end{array}\right]$                 (6)式

如图5所示，两条半径所在的直线L₁、L₂方程为，：

L₁＝[0，1，0]^T

                         (7)式

L₂＝[1，0，0]^T

根据交比值

求得直线l₃和l₄在经过摄像机的透视投影之前的方程分别为L₃、L₄：

$L_3=[\frac{\sqrt{3}}{3},-1,\frac{2\sqrt{3}}{3}R]$

                                   (8)式

$L_4=[\frac{\sqrt{3}}{3},1,-\frac{2\sqrt{3}}{3}R]$

其中，R为标准

圆模板的半径；

步骤2.8：根据所述步骤2.7求得的二次型方程P以及L₁、L₂、L₃、L₄，根据摄像机的成像原理，有如下关系式：

H^TQH＝P

H^Tl₁＝s₁L₁                     (9)式

H^TL₃＝s₂L₃

H^Tl₄＝s₃L₄

即：H^T[l₁，l₃，l₄]＝[L₁，L₃，L₄]S                      (10)式

其中，s₁，s₂，s₃为比例因子，S＝diag{s₁，s₂，s₃}；求得单应性矩阵H为：

H＝[l₁，l₂，l₃]^-1S[L₁，L₂，L₃]^T；

其中，H为步骤2求得的一幅图像对应的3×3单应性矩阵，l₁、l₂为步骤2.2求得的两条椭圆轴所在直线，l₃、l₄为步骤2.6求得的椭圆相切的切线；

步骤3：标定摄像机内部参数K：

步骤3.1：对拍摄的另外两幅图像根据所述步骤2，分别得到对应的单应性矩阵H₂，H₃；

步骤3.2：求取的单应性矩阵H可表示为：

λH＝λ[h₁，h₂，h₃]＝K[r₁，r₂，T]                     (11)式

其中，λ为比例因子，h₁，h₂，h₃为单应性矩阵H的三个列向量，K为3×3内参矩阵，r₁和r₂为3×3外部参数中旋转矩阵R的两个旋转向量，T为外部参数中3×1平移矩阵；

根据旋转矩阵的单位正交性，存在关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_1^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_2=0\\ h_1^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_1=h_2^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_2\end{array}\right.$                            (12)式

内参矩阵K可表示为：

$K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& w& u_0\\ 0& f_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中包含x轴和y轴方向上的等效焦距(f_x，f_y)，等效图像中心点坐标(u₀，v₀)以及横纵坐标夹角系数w共5个未知量，三个单应性矩阵H₁，H₂，H₃分别可求得一组如式(12)的方程组，根据得出的三组方程组，据此求得内参矩阵K；

步骤4：标定摄像机外部参数[R，T]：

摄像机外部参数[R，T]包4括3×3旋转矩阵R＝[r₁，r₂，r₃]和3×1平移矩阵T；其中，r₁，r₂，r₃是旋转矩阵R的三个列向量，根据所述步骤3得到内参矩阵K后根据式(13)可求得外参矩阵R和T：

r₁＝δK^-1h₁

r₂＝δK^-1h₂                               (13)式

r₃＝r₁×r₂

T＝δK^-1h₃

其中，δ＝1/||K^-1h₁||＝1/||K^-1h₂||为比例因子；

步骤5：求取摄像机畸变系数：

摄像机镜头畸变是由镜头的制作过程造成的，根据理想成像点与实际成像点的关系，求得畸变系数；所述理想成像点与实际成像点的关系为：

$\hat{x}=x+x[j_1(x^2+y^2)+j_2{(x^2+y^2)}^2]$

                              (14)式

$\hat{y}=y+y[j_1(x^2+y^2)+j_2{(x^2+y^2)}^2]$

其中，j₁和j₂为所求的畸变系数，

是实际检测到的图像点坐标，(x，y)是理想成像点坐标；求解出摄像机内参矩阵K、外参矩阵R和T以及畸变参数j₁、j₂后，即完成了摄像机标定。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于二次曲线与直线的摄像机混合标定方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：采用摄像机从三个不同的角度对标准

圆形模板进行拍摄，得到三幅图像；

步骤2：对其中一幅图像进行处理，得到此幅图像对应的3×3单应性矩阵H：

步骤2.1：利用Canny边缘检测算法提取图像中

椭圆的边缘；

步骤2.2：利用最小二乘法拟合椭圆的方程以及椭圆两条轴所在直线的方程；其中，椭圆所对应的二次型方程Q是：

$Q=\left[\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/2& e/2& f\end{array}\right]$                     (1)式

两条椭圆轴所在直线方程分别是l₁、l₂：

l₁：k₁x+m₁y+n₁＝0

                    (2)式

l₂：k₂x+m₂y+n₂＝0

即

l₁＝[k₁，m₁，n₁]^T

                            (3)式

l₂＝[k₂，m₂，n₂]^T

其中，a，b，c，d，e，f是椭圆一般方程的参数，k₁，m₁，n₁，k₂，m₂，n₂是直线一般方程的参数；

步骤2.3：根据所述步骤2.2得到的椭圆方程和其中一条椭圆轴直线方程，求得椭圆与椭圆轴直线的交点坐标A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)；

步骤2.4：根据两条椭圆轴直线方程，求得椭圆圆心坐标O(x₀，y₀)，

步骤2.5：选取交比

求得射线上一点C(x₃，y₃)的坐标；选取交比

求得射线

上一点D(x₄，y₄)的坐标；

步骤2.6：分别求出通过所述步骤2.5求得的椭圆外的点C(x₃，y₃)和D(x₄，y₄)与

椭圆相切的切线，令求取的两条切线为l₃、l₄：

l₃＝[k₃，m₃，n₃]^T

                             (4)式

l₄＝[k₄，m₄，n₄]^T

其中，k₃，m₃，n₃，k₄，m₄，n₄是直线一般方程的参数；

步骤2.7：在标准圆模板经过摄像机的透视投影之前，标准

圆模板在世界坐标系下的方程为式(5)：

x²+y²＝R²；                         (5)式

其中，R为标准

圆模板的半径，x、y为圆一般方程的参数；其二次型方程P为：

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& {-R}^2\end{array}\right]$                             (6)式

两条半径所在的直线L₁、L₂方程为：

L₁＝[0，1，0]^T

                                (7)式

L₂＝[1，0，0]^T

根据交比值

求得直线l₃和l₄在经过摄像机的透视投影之前的方程分别为L₃、L₄：

$L_3=[\frac{\sqrt{3}}{3},-1,\frac{2\sqrt{3}}{3}R]$

                                       (8)式

$L_4=[\frac{\sqrt{3}}{3},1,-\frac{2\sqrt{3}}{3}R]$

其中，R为标准

圆模板的半径；

步骤2.8：根据所述步骤2.7求得的二次型方程P以及L₁、L₂、L₃、L₄，根据摄像机的成像原理，有如下关系式：

H^TQH＝P

H^Tl₁＝s₁L₁                     (9)式

H^Tl₃＝s₂L₃

H^Tl₄＝s₃L₄

即：H^T[l₁，l₃，l₄]＝[l₁，L₃，L₄]S              (10)式

其中，s₁，s₂，s₃为比例因子，S＝diag{s₁，s₂，s₃}；求得单应性矩阵H为：

H＝[l₁，l₂，l₃]^-TS[L₁，L₂，L₃]^T；

步骤3：标定摄像机内部参数K：

步骤3.1：对拍摄的另外两幅图像根据所述步骤2，分别得到对应的单应性矩阵H₂，H₃；

步骤3.2：求取的单应性矩阵H可表示为：

λH＝λ[h₁，h₂，h₃]＝K[r₁，r₁，T]               (11)式

其中，λ为比例因子，h₁，h₂，h₃为单应性矩阵H的三个列向量，K为3×3内参矩阵，r₁和r₂为3×3外部参数中旋转矩阵R的两个旋转向量，T为外部参数中3×1平移矩阵；

根据旋转矩阵的单位正交性，存在关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_1^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_2=0\\ h_1^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_1=h_2^T{K}^{-T}{K}^{-1}{h}_2\end{array}\right.$                   (12)式

内参矩阵K可表示为：

$K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& w& u_0\\ 0& f_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中包含x轴和y轴方向上的等效焦距(f_x，f_y)，等效图像中心点坐标(u₀，v₀)以及横纵坐标夹角系数w共5个未知量，三个单应性矩阵H₁，H₂，H₃分别可求得一组如式(12)的方程组，根据得出的三组方程组，据此求得内参矩阵K；

步骤4：标定摄像机外部参数[R，T]：

摄像机外部参数[R，T]包4括3×3旋转矩阵R＝[r₁，r₂，r₃]和3×1平移矩阵T；其中，r₁，r₂，r₃是旋转矩阵R的三个列向量，根据所述步骤3得到内参矩阵K后根据式(13)可求得外参矩阵R和T：

r₁＝δK^-1h₁

r₂＝δK^-1h₂                      (13)式

r₃＝r₁×r₂

T＝δK^-1h₃

其中，δ＝1/||K^-1h₁||＝1/||K^-1h₂||为比例因子；

步骤5：求取摄像机畸变系数：

根据理想成像点与实际成像点的关系，求得畸变系数；所述理想成像点与实际成像点的关系为：

$\hat{x}=x+x[j_1(x^2+y^2)+j_2{(x^2+y^2)}^2]$

                             (14)式

$\hat{y}=y+y[j_1(x^2+y^2)+j_2{(x^2+y^2)}^2]$

其中，j₁和j₂为所求的畸变系数，

是实际检测到的图像点坐标，(x，y)是理想成像点坐标；求解出摄像机内参矩阵K、外参矩阵R和T以及畸变参数j₁、j₂后，即完成了摄像机标定。

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