CN101508112B - 三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法 - Google Patents

三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法 Download PDF

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Abstract

一种工业机器人多目标优化设计的方法。该方法由三个步骤组成：首先，通过建立机械臂运动学模型、强度分析模型、基于机电耦合***动力学模型及逆动力学控制的***闭环模型，获得表征机械臂工作空间、强度、控制能量、控制时间的四个性能指标及其计算方法；其次，对四个性能指标涉及到的机器人设计参数进行选择性优化，建立了多目标优化设计模型；最后，通过控制的方法，对机械臂的设计参数进行调整，对四个目标进行并行优化，最终获得同时满足四个性能要求的设计参数的设计值，从而为整体提高工业机器人性能提供了一种方法。

Description

三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法
技术领域
本发明涉及一种搬运工业机器人设计参数的获取方法，尤其涉及一种三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法。
背景技术
工业机器人是一种典型的复杂***，对于一个复杂***的设计优化而言，其主要特点为：由于复杂工程***通常包含若干个具有特定功能的子***，***和子***都有各自相应的设计目标、设计参数和约束条件，同时又由于子***之间存在复杂的耦合关系，因此复杂工程***的设计过程已经成为一个多学科交叉综合设计的多目标优化决策过程。由最优组件和子***组成的大***，并不一定是整体性能最优的***。因此，复杂工程***的设计过程需要能够兼顾不同因素之间复杂耦合关系的优化理论与方法的支持。
在工业机器人的设计中，机械***设计影响传动***、控制***的设计，传动***设计影响控制***的设计，同时，控制***设计又影响机械***和传动***设计。但是，在传统工业机器人设计流程中，机械***、传动***、控制***的设计依次单独进行，因而上游子***设计无法兼顾下游子***设计的设计指标，下游子***设计也无法兼顾上游子***设计的设计指标，从而影响了***整体性能的提高。
发明内容
本发明提供一种能够实现并行优化的三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法。
本发明采用如下技术方案：
步骤1建立机械臂运动学模型、强度分析模型、基于机电耦合***动力学模型及逆动力学控制的***闭环模型，并使用机械臂运动学模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的工作空间性能指标：
J1＝λ1Rmin-λ2Rmax＝f1(l2，l3)，
其中，Rmin为工作空间最小半径，Rmax为工作空间最大半径，λ1、λ2分别为最小半径与最大半径的权系数，l2为第二机械臂的臂长，l3为第三机械臂的臂长；
使用强度分析模型获得涉及第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的综合强度性能指标：
J 2 = ( | σ 2 max - 0.8 [ σ ] | + | σ 3 max - 0.8 [ σ ] ) / ( 7 × 10 7 )
= f 2 ( l 2 , b 2 , h 2 , b 2 e , h 2 e , l 3 , b 3 , h 3 , b 3 e , h 3 e , θ · · 2 max , θ · · 3 max , θ · 1 max , θ · 2 max , θ · 3 max ) ,
其中，[σ]为第二机械臂(2)及第三机械臂(3)所用材料的许用弯曲应力；σ2max、σ3max分别表示在机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力；|σ2max-0.8[σ]|、|σ3max-0.8[σ]|分别表示机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力与材料许用弯曲应力的0.8倍的接近程度，l1为第一机械臂的臂长，b2、h2为第二机械臂(2)外截面的宽度及高度，b2e、h2e为第二机械臂(2)内腔的宽度及高度，b3、h3为第三机械臂(3)外截面的宽度及高度，b3e、h3e为第三机械臂(3)内腔的宽度及高度，分别为第二关节、第三关节的最大角加速度，分别为第一关节、第二关节、第三关节的最大角速度，7×107为比例系数；
使用***闭环模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的平均控制能量指标：
J 3 = 1 200 Σ n = 1 200 1 m Ln ( | θ 1 n | + | θ 2 n | + | θ 3 n | ) [ ∫ 0 t fn | τ 1 ( t ) | dt + ∫ 0 t fn | τ 2 ( t ) | dt + ∫ 0 t fn | τ 3 ( t ) | dt ] ,
= f 3 ( l 1 , R 1 , r 1 , l 2 , b 2 , h 2 , b 2 e , h 2 e , l 3 , b 3 , h 3 , b 3 e , h 3 e , θ · · 1 max , θ · · 2 max , θ · · 3 max , θ · 1 max , θ · 2 max , θ · 3 max )
及平均控制时间指标
J 4 = 1 200 Σ n = 1 200 t fn ( | θ 1 n | + | θ 2 n | + | θ 3 n | ) = f 4 ( l 1 , l 2 , l 3 , θ · · 1 max , θ · · 2 max , θ · · 3 max , θ · 1 max , θ · 2 max , θ · 3 max ) ,
其中，200是指在给定设计要求的工作空间中随机选取400个点作为搬运任务的起止点，由此组成200组搬运任务工作点；n表示第n组搬运任务，mLn表示第n组搬运任务的负载质量，|θ1n|、|θ2n|、|θ3n|分别表示表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节的转动角度，τ1(t)、τ2(t)、τ3(t)分别表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节在t时刻输出的电磁转矩，tfn表示完成第n组搬运任务的完成时间，R1、r1分别为圆筒形的第一机械臂(1)外半径及内半径，
Figure GSB00000251907500031
为第一关节的最大角加速度；
步骤2对工作空间性能指标、综合强度性能指标、平均控制能量指标及平均控制时间指标涉及的参数进行选择性优化，并建立多目标并行优化模型首先，选择参数l2、l3、b2、h2、b3、h3、
Figure GSB00000251907500032
Figure GSB00000251907500033
作为设计变量，对
工作空间性能指标
J1＝λ1Rmin-λ2Rmax，
综合强度性能指标
J2＝|σ2Zmax-0.8[σ]|+|σ3Zmax-0.8[σ]|，
平均控制能量指标
J 3 = 1 200 Σ n = 1 200 1 m Ln ( | θ 1 n | + | θ 2 n | + | θ 3 n | ) [ ∫ 0 t fn | τ 1 ( t ) | dt + ∫ 0 t fn | τ 2 ( t ) | dt + ∫ 0 t fn | τ 3 ( t ) | dt ] ,
及平均控制时间指标
J 4 = 1 200 Σ n = 1 200 t fn ( | θ 1 n | + | θ 2 n | + | θ 3 n | )
进行同时优化，得到多目标优化设计任务：
min J 1 ( x 1 ) min J 2 ( x 2 ; x 1 , x 3 ) min J 3 ( x 3 ; x 1 , x 2 ) min J 4 ( x 3 ; x 1 ) s . t φ 1 ≤ 0 ; φ 2 ≤ 0 ; φ 3 ≤ 0
其中，x1是由设计变量l2、l3组成的向量，
Figure GSB00000251907500037
称之为臂长设计向量，其中，
Figure GSB00000251907500038
的下标1表示设计向量x1，上标1表示设计向量x1的第一分量，
Figure GSB00000251907500039
的下标1表示设计向量x1，上标2表示设计向量x1的第二分量；x2是由设计变量b2、h2、b3、h3组成的向量，称之为臂的厚度设计向量，其中，
Figure GSB000002519075000311
的下标2表示设计向量x2，上标1表示设计向量x2的第一分量，
Figure GSB000002519075000312
的下标2表示设计向量x2，上标2表示设计向量x2的第二分量，
Figure GSB000002519075000313
的下标2表示设计向量x2，上标3表示设计向量x2的第三分量，
Figure GSB000002519075000314
的下标2表示设计向量x2，上标4表示设计向量x2的第四分量；x3是由设计变量
Figure GSB00000251907500041
组成的向量，
Figure GSB00000251907500042
称之为关节的运动学能力设计向量，的下标3表示设计向量x3，上标1表示设计向量x3的第一分量，的下标3表示设计向量x3，上标2表示设计向量x3的第二分量，
Figure GSB00000251907500045
的下标3表示设计向量x3，上标3表示设计向量x3的第三分量，
Figure GSB00000251907500046
的下标3表示设计向量x3，上标4表示设计向量x3的第四分量，
Figure GSB00000251907500047
的下标3表示设计向量x3，上标5表示设计向量x3的第五分量，
Figure GSB00000251907500048
的下标3表示设计向量x3，上标6表示设计向量x3的第六分量；φ1为第一约束条件向量，φ1＝[(l2-l3)-dmin，dmax-(l2+l3)，l3-l2，-l2，-l3]T，这里，dmin＝0.2，dmax＝1.5，分别代表对所设计的机械臂工作空间最小半径与最大半径的设计要求，其值根据具体的设计需要进行调整；φ2为第二约束条件向量，φ2＝[h2e-h2，b2e-b2，h3e-h3，b3e-b3]T；φ3为第三约束条件向量
Figure GSB00000251907500049
其次，将约束条件与工作空间性能指标J1、综合强度性能指标J2、平均控制能量指标J3及平均控制时间指标J4进行合并转化，得到广义工作空间性能指标Z1，广义综合强度性能指标Z2，广义平均控制能量指标Z3及广义平均控制时间指标Z4：
Z 1 = max { 0 , J 1 - J 1 * } + σ 1 Σ m = 1 5 max { 0 , φ 1 m } 2 Z 2 = max { 0 , J 2 - J 2 * } + σ 2 Σ m = 1 4 max { 0 , φ 2 m } 2 Z 3 = max { 0 , J 3 - J 3 * } + σ 3 Σ m = 1 6 max { 0 , φ 3 m } 2 Z 4 = max { 0 , J 4 - J 4 * }
其中，
Figure GSB000002519075000411
分别是工作空间性能指标J1、综合强度性能指标J2、平均控制能量指标J3及平均控制时间指标J4的期望值，
Figure GSB000002519075000412
分别表示第一约束条件向量的第m个元素、第二约束条件向量的第m个元素、第三约束条件向量的第m个元素；σ1为第一罚系数，σ1＝1000；σ2为第二罚系数，σ2＝1000；σ3为第三罚系数，σ3＝1000；
步骤3用控制方法获得多目标优化设计参数
建立控制律1： v 1 , i = k 1 1 e 1 , i - 1 o 1 , i - 1 1 + k 1 2 e 2 , i - 1 o 1 , i - 1 2 + k 1 3 e 3 , i - 1 o 1 , i - 1 3 + k 1 4 e 4 , i - 1 o 1 , i - 1 4
其中，v1，i为第i次迭代时臂长设计向量x1的调整量，
Figure GSB00000251907500052
Figure GSB00000251907500053
的第一下标1和上标1表示该调整量是对设计向量x1中的第一设计变量
Figure GSB00000251907500054
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB00000251907500055
的第一下标1和上标2表示该调整量是对设计向量x1中的第二设计变量
Figure GSB00000251907500056
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律1产生的调整量v1，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 1 , i 1 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | ,
0 < | v 1 , i 2 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | ,
如果 | v 1 , i 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | ,
| v 1 , i 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | ;
其中，
Figure GSB000002519075000515
表示设计向量x1的第一设计分量
Figure GSB000002519075000516
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075000517
表示设计向量x1的第二设计分量
Figure GSB000002519075000518
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整值v1，i调整臂长设计向量x1，得到第i次迭代后设计向量x1的值x1，i＝x1，i-1+v1，i；e1，i-1为广义工作空间性能指标Z1在第i-1次迭代后的值Z1，i-1与目标值0的误差，e1，i-1＝0-Z1，i-1；
e2，i-1为广义综合强度性能指标Z2在第i-1次迭代后的值Z2，i-1与目标值0的误差，e2，i-1＝0-Z2，i-1；
e3，i-1为广义平均控制能量指标Z3在第i-1次迭代后的值Z3，i-1与目标值0的误差，e3，i-1＝0-Z3，i-1；
e4，i-1为广义平均控制时间指标Z4在第i-1次迭代后的值Z4，i-1与目标值0的误差，e4，i-1＝0-Z4，i-1；
Figure GSB000002519075000519
为误差值e1，i-1相对于设计向量值x1，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075000520
Figure GSB000002519075000521
的上标1表示广义工作空间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075000522
时广义工作空间性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x1，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500062
Figure GSB00000251907500063
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算时广义综合强度性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB00000251907500065
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x1，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB00000251907500067
的上标3表示广义平均控制能量指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB00000251907500068
时广义平均控制能量性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB00000251907500069
为误差值e4，i-1相对于设计向量值x1，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB000002519075000611
的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075000612
时广义平均控制时间指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075000613
为误差值e1，i-1在控制律1中的比例系数，上标1表示广义工作空间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB000002519075000615
Figure GSB000002519075000616
为误差值e2，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure GSB000002519075000617
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB000002519075000618
Figure GSB000002519075000619
为误差值e3，i-1在控制律1中的比例系数，上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB000002519075000621
Figure GSB000002519075000622
为误差值e4，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure GSB000002519075000623
上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB000002519075000624
建立控制律2： v 2 , i = k 2 2 e 2 , i - 1 o 2 , i - 1 2 + k 2 3 e 3 , i - 1 o 2 , i - 1 3
其中，v2，i为第i次迭代时臂厚设计向量x2的调整量，
Figure GSB000002519075000626
Figure GSB000002519075000627
的第一下标2和上标1表示该调整量是对设计向量x2中的第一设计分量
Figure GSB000002519075000628
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075000629
的第一下标2和上标2表示该调整量是对设计向量x2中的第二设计分量
Figure GSB00000251907500071
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB00000251907500072
的第一下标2和上标3表示该调整量是对设计向量x2中的第三设计分量的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB00000251907500074
的第一下标2和上标4表示该调整量是对设计向量x2中的第四设计分量
Figure GSB00000251907500075
的调整量，第二下标i表示.迭代次数；
对控制律2产生的调整量v2，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 2 , i 1 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | ,
0 < | v 2 , i 2 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | ,
0 < | v 2 , i 3 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | ,
0 < | v 2 , i 4 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | ;
如果 | v 2 , i 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | ,
| v 2 , i 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | ,
| v 2 , i 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | ,
| v 2 , i 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 4 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | ;
其中，
Figure GSB000002519075000722
表示设计向量x2的第一设计分量
Figure GSB000002519075000723
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075000724
表示设计向量x2的第二设计分量
Figure GSB000002519075000725
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075000726
表示设计向量x2的第三设计分量第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075000728
表示设计向量x2的第四设计分量
Figure GSB000002519075000729
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整值v2，i调整臂厚设计向量，得到第i次迭代后设计向量x2的值x2，i＝x2，i-1+v2，i；
Figure GSB000002519075000730
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x2，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075000731
Figure GSB000002519075000732
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075000733
时广义综合强度性能指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075000734
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x2，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB00000251907500081
Figure GSB00000251907500082
的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB00000251907500083
时广义平均控制能量指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB00000251907500084
为误差e2，i-1在控制律2中的比例系数，
Figure GSB00000251907500085
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令
Figure GSB00000251907500086
Figure GSB00000251907500087
为误差e3，i-1在控制律2中的比例系数，
Figure GSB00000251907500088
上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令
Figure GSB00000251907500089
建立控制律3： v 3 , i = k 3 2 e 2 , i - 1 o 3 , i - 1 2 + k 3 3 e 3 , i - 1 o 3 , i - 1 3 + k 3 4 e 4 , i - 1 o 3 , i - 1 4
其中，v3，i为第i次迭代时关节运动学能力设计向量x3的调整量，
Figure GSB000002519075000811
Figure GSB000002519075000812
的第一下标3和上标1表示该调整量是对设计向量x3中的第一设计分量
Figure GSB000002519075000813
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075000814
的第一下标3和上标2表示该调整量是对设计向量x3中的第二个设计分量
Figure GSB000002519075000815
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075000816
的第一下标3和上标3表示该调整量是对设计向量x3中的第三设计分量
Figure GSB000002519075000817
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075000818
的第一下标3和上标4表示该调整量是对设计向量x3中的第四设计分量
Figure GSB000002519075000819
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
Figure GSB000002519075000820
的第一下标3和上标5表示该调整量是对设计向量x3中的第五设计分量
Figure GSB000002519075000821
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
Figure GSB000002519075000822
的第一下标3和上标6表示该调整量是对设计向量x3中的第六设计分量
Figure GSB000002519075000823
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律3产生的调整量v3，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 3 , i 1 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | ,
0 < | v 3 , i 2 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | ,
0 < | v 3 , i 3 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | ,
0 < | v 3 , i 4 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | ,
0 < | v 3 , i 5 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | ,
0 < | v 3 , i 6 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | ;
如果 | v 3 , i 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 1 | ,
| v 3 , i 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 2 | ,
| v 3 , i 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 3 | ,
| v 3 , i 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 4 | ,
| v 3 , i 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 5 | ,
| v 3 , i 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 6 | ;
其中，
Figure GSB000002519075000915
表示设计向量x3的第一设计分量
Figure GSB000002519075000916
第i-1次迭代后的设计值，表示设计向量x3的第二设计分量
Figure GSB000002519075000918
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075000919
表示设计向量x3的第三设计分量
Figure GSB000002519075000920
第i-1次迭代后的设计值，表示设计向量x3的第四设计分量
Figure GSB000002519075000922
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075000923
表示设计向量x3的第五设计分量
Figure GSB000002519075000924
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075000925
表示设计向量x3的第六设计分量
Figure GSB000002519075000926
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整量v3，i调整关节的运动学能力设计向量x3，计算第i次迭代后设计向量x3的值x3，i＝x3，i-1+v3，i；
Figure GSB000002519075000927
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x3，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075000928
Figure GSB000002519075000929
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075000930
时广义综合强度性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075000931
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x3，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB000002519075000932
Figure GSB000002519075000933
的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标3表示运动学能力设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075000934
时广义平均控制能量性能指标的误差值及运动学能力向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075000935
为误差值e4，i-1相对于设计向量值x3，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB00000251907500101
Figure GSB00000251907500102
的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB00000251907500103
时广义平均控制时间性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB00000251907500104
为误差值e2，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure GSB00000251907500105
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure GSB00000251907500106
Figure GSB00000251907500107
为误差值e3，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure GSB00000251907500108
上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure GSB00000251907500109
为误差值e4，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure GSB000002519075001011
上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure GSB000002519075001012
利用控制律1、控制律2、控制律3对臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、关节运动学能力设计向量x3进行第一次优化设计：
为臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、关节运动学能力设计向量x3赋初始设计值，得到向量x1，0、向量x2，0、向量x3，0；
为各性能指标期望值
Figure GSB000002519075001013
赋第一次多目标优化设计的参考值
Figure GSB000002519075001014
Figure GSB000002519075001015
得到
Figure GSB000002519075001016
Figure GSB000002519075001017
Figure GSB000002519075001018
Figure GSB000002519075001019
对于
Figure GSB000002519075001020
其第一下标1表示工作空间性能表，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于
Figure GSB000002519075001021
其第一下标2表示综合强度性能指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于其第一下标3表示平均控制能量指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于其第一下标4表示平均控制时间指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计；
由第一次多目标优化设计的参考值
Figure GSB000002519075001024
及x1，0、x2，0、x3，0计算得到各广义性能指标的初始值Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0；如果Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0不全部为零，则进入步骤3.1；如果Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0全部为零，则设计向量x1、x2、x3的初始值x1，0、x2，0、x3，0即为多目标优化设计参数的值；
步骤3.1对设计变量组成的向量x1、x2、x3进行第一次迭代，迭代次数i＝1：
首先，由控制律1及对控制律1产生的调整量v1，1幅度修正方法：
如果 0 < | v 1,1 1 | &le; 0.01 | x 1,0 1 | , v 1,1 1 = sign ( x 1,0 1 ) &times; 0.01 | x 1,0 1 | ,
0 < | v 1,1 2 | &le; 0.01 | x 1,0 2 | , v 1,1 2 = sign ( x 1,0 2 ) &times; 0.01 | x 1,0 2 | ,
如果 | v 1,1 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,0 1 | , v 1,1 1 = sign ( x 1,0 1 ) &times; 0.04 | x 1,0 1 | ,
| v 1,1 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,0 2 | , v 1,1 2 = sign ( x 1,0 2 ) &times; 0.04 | x 1,0 2 | ;
生成对向量x1的第一次迭代的调整值v1，1，再用调整值v1，1调整向量x1，得到向量x1第一次迭代后的值x1，1＝x1，0+v1，1；这里，e1，0为广义工作空间性能指标在初始时刻的值Z1，0与目标值0的误差，e1，0＝0-Z1，0；e2，0为广义综合强度性能指标在初始时刻的值Z2，0与目标值0的误差，e2，0＝0-Z2，0；e3，0为广义平均控制能量指标在初始时刻的值Z3，0与目标值0的误差，e3，0＝0-Z3，0；e4，0为广义平均控制时间指标在初始时刻的值Z4，0与目标值0的误差，e4，0＝0-Z4，0；为误差值e1，0相对于设计向量值x1，0的负导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075001110
Figure GSB000002519075001111
为误差值e2，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075001112
为误差值e3，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075001114
Figure GSB000002519075001115
为误差值e4，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
其次，由控制律2
Figure GSB000002519075001117
及对控制律2产生的调整量v2，1的幅度修正方法：
如果 0 < | v 2,1 1 | &le; 0.01 | x 2,0 1 | , v 2,1 1 = sign ( x 2,0 1 ) &times; 0.01 | x 2,0 1 | ,
0 < | v 2,1 2 | &le; 0.01 | x 2,0 2 | , v 2,1 2 = sign ( x 2,0 2 ) &times; 0.01 | x 2,0 2 | ,
0 < | v 2,1 3 | &le; 0.01 | x 2,0 3 | , v 2,1 3 = sign ( x 2,0 3 ) &times; 0.01 | x 2,0 3 | ,
0 < | v 2,1 4 | &le; 0.01 | x 2,0 4 | , v 2,1 4 = sign ( x 2,0 4 ) &times; 0.01 | x 2,0 4 | ;
如果 | v 2,1 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 1 | , v 2,1 1 = sign ( x 2,0 1 ) &times; 0.02 | x 2,0 1 | ,
| v 2,1 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 2 | , v 2,1 2 = sign ( x 2,0 2 ) &times; 0.02 | x 2,0 2 | ,
| v 2,1 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 3 | , v 2,1 3 = sign ( x 2,0 3 ) &times; 0.02 | x 2,0 3 | ,
| v 2,1 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 4 | , v 2,1 4 = sign ( x 2,0 4 ) &times; 0.02 | x 2,0 4 | ;
生成对臂厚设计向量x2的第一次迭代的调整值v2，1，用调整值v2，1调整臂厚设计向量x2，得到向量x2的第一次迭代后的值x2，1＝x2，0+v2，1；这里，
Figure GSB00000251907500127
为误差值e2，0相对于设计向量值x2，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500128
Figure GSB00000251907500129
为误差值e3，0相对于设计向量值x2，0的负偏导数对应的符号向量，
再次，由控制律3
Figure GSB000002519075001211
及对控制律3产生的调整量v3，1的幅度修正方法：
如果 0 < | v 3,1 1 | &le; 0.01 | x 3,0 1 | , v 3,1 1 = sign ( x 3,0 1 ) &times; 0.01 | x 3,0 1 | ,
0 < | v 3,1 2 | &le; 0.01 | x 3,0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3,0 2 ) &times; 0.01 | x 3,0 2 | ,
0 < | v 3,1 3 | &le; 0.01 | x 3,0 3 | , v 3,1 3 = sign ( x 3,0 3 ) &times; 0.01 | x 3,0 3 | ,
0 < | v 3,1 4 | &le; 0.01 | x 3,0 4 | , v 3,1 4 = sign ( x 3,0 4 ) &times; 0.01 | x 3,0 4 | ,
0 < | v 3,1 5 | &le; 0.01 | x 3,0 5 | , v 3,1 5 = sign ( x 3,0 5 ) &times; 0.01 | x 3,0 5 | ,
0 < | v 3,1 6 | &le; 0.01 | x 3,0 6 | , v 3,1 6 = sign ( x 3,0 6 ) &times; 0.01 | x 3,0 6 | ;
如果 | v 3,1 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 1 | , v 3,1 1 = sign ( x 3,0 1 ) &times; 0.1 | x 3,0 1 | ,
| v 3,1 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3,0 2 ) &times; 0.1 | x 3,0 2 | ,
| v 3,1 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 3 | , v 3,1 3 = sign ( x 3,0 3 ) &times; 0.1 | x 3,0 3 | ,
| v 3,1 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 4 | , v 3,1 4 = sign ( x 3,0 4 ) &times; 0.1 | x 3,0 4 | ,
| v 3,1 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 5 | , v 3,1 5 = sign ( x 3,0 5 ) &times; 0.1 | x 3,0 5 | ,
| v 3,1 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 6 | , v 3,1 6 = sign ( x 3,0 6 ) &times; 0.1 | x 3,0 6 | ;
生成对关节运动学能力设计向量x3的第一次调整值v3，1，用调整值v3，1调整关节运动学能力设计向量x3，得到设计向量x3的第一次迭代后的值x3，1＝x3，0+v3，1；这里，
Figure GSB00000251907500131
为误差值e2，0相对于x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500132
为误差值e3，0相对于设计向量值x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500134
Figure GSB00000251907500135
为误差值e4，0相对于设计向量值x3，0的负偏导数对应的符号向量，
最后，在得到设计向量x1、x2、x3的第一次迭代后的向量值x1，1、x2，1、x3，1之后，计算第一次调整后各广义性能的值Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1，如果Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1不全部为零，则进入步骤3.2；如果Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1全部为零，则所得到的向量x1、x2、x3的第一次迭代的值x1，1、x2，1、x3，1为多目标优化设计参数；
步骤3.2对设计变量组成的向量x1、x2、x3进行第二次迭代，迭代次数i＝2：
首先，由控制律1及对控制律1产生的调整量v1，2幅度修正方法：
如果 0 < | v 1,2 1 | &le; 0.01 | x 1,1 1 | , v 1,2 1 = sign ( x 1,1 1 ) &times; 0.01 | x 1,1 1 | ,
0 < | v 1,2 2 | &le; 0.01 | x 1,1 2 | , v 1,2 2 = sign ( x 1,1 2 ) &times; 0.01 | x 1,1 2 | ,
如果 | v 1,2 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,1 1 | , v 1,2 1 = sign ( x 1,1 1 ) &times; 0.04 | x 1,1 1 | ,
| v 1,2 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,1 2 | , v 1,2 2 = sign ( x 1,1 2 ) &times; 0.04 | x 1,1 2 | ;
生成对向量x1的第二次迭代的调整值v1，2，再用调整值v1，2调整向量x2，得到第二次迭代后设计向量x1的值x1，2＝x1，1+v1，2；这里，e1，1为广义工作空间性能指标在第一次迭代后的值Z1，1与目标值0的误差，e1，1＝0-Z1，1；e2，1为广义综合强度性能指标在第一次迭代后的值Z2，1与目标值0的误差，e2，1＝0-Z2，1；e3，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z3，1与目标值0的误差，e3，1＝0-Z3，1；e4，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z4，1与目标值0的误差，e4，1＝0-Z4，1；
Figure GSB000002519075001316
为误差值e1，1相对于设计向量值x1，1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500141
Figure GSB00000251907500142
为误差值e2，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500143
为误差值e3，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500145
Figure GSB00000251907500146
为误差值e4，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
其次，由控制律2
Figure GSB00000251907500148
及对控制律2产生的调整量v2，2的幅度修正方法：
如果 0 < | v 2,2 1 | &le; 0.01 | x 2,1 1 | , v 2,2 1 = sign ( x 2,1 1 ) &times; 0.01 | x 2,1 1 | ,
0 < | v 2,2 2 | &le; 0.01 | x 2,1 2 | , v 2,2 2 = sign ( x 2,1 2 ) &times; 0.01 | x 2,1 2 | ,
0 < | v 2,2 3 | &le; 0.01 | x 2,1 3 | , v 2,2 3 = sign ( x 2,1 3 ) &times; 0.01 | x 2,1 3 | ,
0 < | v 2,2 4 | &le; 0.01 | x 2,1 4 | , v 2,2 4 = sign ( x 2,1 4 ) &times; 0.01 | x 2,1 4 | ;
如果 | v 2,2 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 1 | , v 2,2 1 = sign ( x 2,1 1 ) &times; 0.02 | x 2,1 1 | ,
| v 2,2 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 2 | , v 2,2 2 = sign ( x 2,1 2 ) &times; 0.02 | x 2,1 2 | ,
| v 2,2 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 3 | , v 2,2 3 = sign ( x 2,1 3 ) &times; 0.02 | x 2,1 3 | ,
| v 2,2 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 4 | , v 2,2 4 = sign ( x 2,1 4 ) &times; 0.02 | x 2,1 4 | ;
生成设计向量x2进行第二次迭代的调整值
Figure GSB000002519075001425
再用调整值v2，2调整设计向量x2的值，得到第二次迭代后设计向量x2的值x2，2＝x2，1+v2，2；这里，
Figure GSB000002519075001426
为误差值e2，1相对于设计向量值x2，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075001428
为误差值e3，1相对于设计向量值x2，1的负偏导数对应的符号向量，
再次，由控制律3及对控制律3产生的调整量v3，2的幅度修正方法：
如果 0 < | v 3,2 1 | &le; 0.01 | x 3,1 1 | , v 3,2 1 = sign ( x 3 , 1 1 ) &times; 0.01 | x 3,1 1 | ,
0 < | v 3,2 2 | &le; 0.01 | x 3,1 2 | , v 3,2 2 = sign ( x 3 , 1 2 ) &times; 0.01 | x 3,1 2 | ,
0 < | v 3,2 3 | &le; 0.01 | x 3,1 3 | , v 3,2 3 = sign ( x 3 , 1 3 ) &times; 0.01 | x 3,1 3 | ,
0 < | v 3,2 4 | &le; 0.01 | x 3,1 4 | , v 3,2 4 = sign ( x 3 , 1 4 ) &times; 0.01 | x 3,1 4 | ,
0 < | v 3,2 5 | &le; 0.01 | x 3,1 5 | , v 3,2 5 = sign ( x 3 , 1 5 ) &times; 0.01 | x 3,1 5 | ,
0 < | v 3,2 6 | &le; 0.01 | x 3,1 6 | , v 3,2 6 = sign ( x 3 , 1 6 ) &times; 0.01 | x 3,1 6 | ;
如果 | v 3,2 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 1 | , v 3,2 1 = sign ( x 3,1 1 ) &times; 0.1 | x 3,1 1 | ,
| v 3 , 1 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , 0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3 , 0 2 ) &times; 0.1 | x 3 , 0 2 | ,
| v 3,2 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 3 | , v 3,2 3 = sign ( x 3,1 3 ) &times; 0.1 | x 3,1 3 | ,
| v 3,2 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 4 | , v 3,2 4 = sign ( x 3,1 4 ) &times; 0.1 | x 3,1 4 | ,
| v 3,2 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 5 | , v 3,2 5 = sign ( x 3,1 5 ) &times; 0.1 | x 3,1 5 | ,
| v 3,2 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 6 | , v 3,2 6 = sign ( x 3,1 6 ) &times; 0.1 | x 3,1 6 | ;
生成设计向量x3的第二次迭代的调整值，再用调整值v3，2调整设计向量x3的值，得到第二次迭代后向量x3的值x3，2＝x3，1+v3，2；这里，
Figure GSB000002519075001525
为e2，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075001526
Figure GSB000002519075001527
为误差值e3，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075001528
为误差值e4，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075001530
最后，用得到的设计向量x1、x2、x3第二次迭代后的值x1，2、x2，2、x3，2，计算第二次迭代后各广义性能的值Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2，如果Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2不全部为零，则进入步骤3.3；如果Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2全部为零，则所得到的向量x1、x2、x3的第二次迭代的值x1，2、x2，2、x3，2即为多目标优化设计参数的值；
步骤3.3依此类推，通过控制律1及对控制律1产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x1进行第j次迭代的调整值v1，j；通过控制律2及对控制律2产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x2进行第j次迭代的调整值v2，j；通过控制律3及对控制律3产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x3进行第j次迭代的调整值v3，j；重复上述迭代，如果在100次迭代内通过调整臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的值可以使广义工作空间性能指标Z1、广义综合强度性能指标Z2、广义平均控制能量指标Z3、广义平均控制时间指标Z4的值同时为零，则获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的设计值；如果在100次迭代内无法使得广义工作空间性能指标Z1、广义综合强度性能指标Z2、广义平均控制能量指标Z3、广义平均控制时间指标Z4的值同时为零，则进入步骤3.4，直到各广义性能在100次迭代内使得广义性能指标Z1、Z2、Z3、Z4的值同时为零，获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的最终设计值；
步骤3.4对各性能指标期望值
Figure GSB00000251907500161
的期望值进行第n-1次调整后进行第n次优化设计，令
Figure GSB00000251907500162
Figure GSB00000251907500164
Figure GSB00000251907500165
n为优化设计的次数，对设计向量x1、x2、x3进行第n次优化设计，重复步骤3.1～步骤3.3。
与现有技术相比，本发明具有如下优点：
1.本发明通过明确多目标优化设计任务：
Figure GSB00000251907500166
将搬运机器人的机械***设计、驱动***设计由上下游设计关系转化为并行设计过程，从而兼顾了各子***设计对机器人性能产生的影响，为全面优化机器人的工作空间性能、强度性能以及控制性能提供了方法。
2.通过将约束条件与优化目标进行合并转化，得到四个广义多目标优化指标：
Figure GSB00000251907500171
从而将多目标多目标优化目标转化为使四个广义性能指标同时趋于零。
3.针对转化后的多目标优化设计问题，提出了一种通过控制方法解决多目标优化问题的新方法。通过
控制律1： v 1 , i = k 1 1 e 1 , i - 1 o 1 , i - 1 1 + k 1 2 e 2 , i - 1 o 1 , i - 1 2 + k 1 3 e 3 , i - 1 o 1 , i - 1 3 + k 1 4 e 4 , i - 1 o 1 , i - 1 4 ;
控制律2： v 2 , i = k 2 2 e 2 , i - 1 o 2 , i - 1 2 + k 2 3 e 3 , i - 1 o 2 , i - 1 3 ;
控制律3： v 3 , i = k 3 2 e 2 , i - 1 o 3 , i - 1 2 + k 3 3 e 3 , i - 1 o 3 , i - 1 3 + k 3 4 e 4 , i - 1 o 3 , i - 1 4 ;
分别建立臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3在第i次迭代的初始控制量。
4.通过建立控制律中误差系数的设置原则，实现控制律调整方向的协调。对于三个控制律，误差系数整定原则为：
在控制律1中，通过系数
Figure GSB00000251907500175
的整定，保证在第i次迭代调整x1的设计值时，对应的调整方向，即使Z1收敛至零的方向作为优先级最高的调整方向；第二级，
Figure GSB00000251907500177
对应的调整方向，即使Z2收敛至零的方向作为优先级次高的调整方向；
Figure GSB00000251907500178
对应的调整方向，即使Z3、Z4收敛至零的方向作为优先级最低的调整方向，对同处于最低优先级
Figure GSB00000251907500179
对应的调整方向，规定
Figure GSB000002519075001710
对应的调整方向优先级高于
Figure GSB000002519075001711
对应的调整方向。
在控制律2中，通过系数的整定，保证在第i次迭代调整x2的设计值时，
Figure GSB000002519075001713
对应的调整方向，即使Z2收敛至零的方向，作为优先级高的调整方向；
Figure GSB000002519075001714
对应的调整方向，即使Z3收敛至零的方向，作为优先级低的调整方向。
在控制律3中，通过系数
Figure GSB00000251907500181
的整定，保证在第i次迭代调整x3的设计值时，
Figure GSB00000251907500182
对应的调整方向，即使Z3、Z4收敛至零的方向作为高优先级的调整方向，对同处于高优先级
Figure GSB00000251907500183
对应的调整方向，规定
Figure GSB00000251907500184
对应的调整方向优先级高于
Figure GSB00000251907500185
对应的调整方向；
Figure GSB00000251907500186
对应的调整方向，即使Z2收敛至零的方向作为优先级低的调整方向。
同时规定，在控制律1、控制律2、控制律3中优先级高的广义性能指标不收敛到零之前，相应的设计变量一直按照该广义性能指标收敛到零的方向调整。当优先级高的广义性能指标收敛到零之后，相应的设计变量按照优先级相对较高的广义性能指标收敛到零的方向调整，依次进行，直到所有广义性能指标都收敛到零。
5.通过设计对三个控制律生成的控制量幅度的调整方法，解决了用控制方法进行多目标优化设计时各广义性能指标的值不收敛到目标值零的问题。
用控制方法进行多目标优化设计时各广义性能指标的值不收敛到目标值零主要由于三种情况引起：
原因一是对设计变量的调整量过大；原因二是对设计变量的调整量过小；原因三是由于对各性能指标的期望值设置不合理。针对原因一、原因二提出控制量幅度的调整方法。
为防止控制量幅度过大或过小提出：
对于控制律1生成的第i次迭代的调整量的幅度进行修正的方法为：
如果 0 < | v 1 , i 1 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | ,
0 < | v 1 , i 2 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | ,
如果 | v 1 , i 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | ,
| v 1 , i 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | ;
对于控制律2生成的第i次迭代的调整量的幅度进行修正的方法为：
如果 0 < | v 2 , i 1 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | ,
0 < | v 2 , i 2 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | ,
0 < | v 2 , i 3 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | ,
0 < | v 2 , i 4 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | ;
如果 | v 2 , i 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | ,
| v 2 , i 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | ,
| v 2 , i 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | ,
| v 2 , i 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 4 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | ;
对于控制律3，生成的第i次迭代的调整量的幅度进行修正的方法为：
如果 0 < | v 3 , i 1 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | ,
0 < | v 3 , i 2 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | ,
0 < | v 3 , i 3 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | ,
0 < | v 3 , i 4 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | ,
0 < | v 3 , i 5 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | ,
0 < | v 3 , i 6 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | ;
如果 | v 3 , i 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 1 | ,
| v 3 , i 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 2 | ,
| v 3 , i 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 3 | ,
| v 3 , i 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 4 | ,
| v 3 , i 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 5 | ,
| v 3 , i 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 6 | .
6.对三自由度搬运机器人的基本设计要求为：该三自由度工业机器人的工作空间为以(0，0，1)为球心，最大半径Rmax＝1.5，最小半径Rmin＝0.2的两球之间的部分(单位：m)。要求搬运的最大负载质量为25kg。在此基础上，要求工作空间最大化，强度满足材料要求，机械臂控制过程能量、时间性能最优。对于本设计任务，提给定预先设计参数的值分别为：l1＝1、R1＝0.075、r1＝0.05、h2e＝0.08、b2e＝0.08、h3e＝0.08、b3e＝0.08(单位：m)。下面开始臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的设计。
首先，初始化各设计变量。
x1＝[0.8，0.6]T，x2＝[0.1，0.1，0.1，0.1]T，x3＝[5，5，5，3，3，3]T。
计算初始化设计变量下机械臂各性能为：
J1＝-1.2，J2＝1.3879，J3＝1.6411，J4＝0.4393。
结合机械臂初始性能，给定各性能最终优化的次最优指标：
J 1 * = - 1.3 , J 2 * = 0.7 , J 3 * = 1.5 , J 4 * = 0.35 .
经过24次叠代，各性能都达到各性能可接受的性能值。优化前后各设计变量的变化以及性能指标的变化可通过表1及表2所示。
 设计变量   初始设计值   最终设计值
 臂2长度   0.8   0.845
 臂3长度   0.6   0.673
 臂2外截面高   0.1   0.086
 臂2外截面宽   0.1   0.086
 臂3外截面高   0.1   0.081
 臂3外截面宽   0.1   0.107
 关节1最大角加速度   5   8.26
 关节2最大角加速度   5   7.87
 关节3最大角加速度   5   8.48
 关节1最大角速度   3   4.99
 关节2最大角速度   3   4.84
 关节3最大角速度   3   4.28
表1优化设计前后设计变量设计值的变化
  性能指标J<sub>i</sub>   初始性能值   最终性能值
  J<sub>1</sub>   -1.2   -1.346
  J<sub>2</sub>   1.3879   0.642
  J<sub>3</sub>   1.6411   1.4736
  J<sub>4</sub>   0.4393   0.3494
表2优化设计前后各性能值的变化
附图说明
图1是本发明的三自由度机器人及其连杆坐标系图。
图2是本发明获得多目标优化设计参数的控制方法框图。
图3是本发明设计实例2中广义性能指标1在设计过程中的变化情况图。
图4是本发明设计实例2中广义性能指标2在设计过程中的变化情况图。
图5是本发明设计实例2中广义性能指标3在设计过程中的变化情况图。
图6是本发明设计实例2中广义性能指标4在设计过程中的变化情况图。
图7是本发明的多目标优化设计步骤框图。
图8多目标优化设计步骤3的框图。
具体实施方式
实施例1
1.一种三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法，所述的三自由度搬运工业机器人包括：第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)，第二机械臂(2)的两端分别与第一机械臂(1)的一端、第三机械臂(3)的一端转动连接，其特征在于多目标优化设计参数的获取方法含有以下步骤：
步骤1首先，建立该三自由度机械臂的连杆坐标系，如图1所示；由该机械臂运动学方程，可得末端工作点的轨迹为
Figure GSB00000251907500211
设各转角范围设计为-π≤θ1≤π，-π≤θ2≤π，-π≤θ3≤π则机械臂的工作空间是一簇以(0，0，l1)为球心，半径
Figure GSB00000251907500212
的同心球；设其中半径最小的球半径为Rmin，并规定l2≥l3，则Rmin＝l2-l3；设半径最大球的半径为Rmax，则Rmax＝l2+l3；则J1＝λ1Rmin-λ2Rmax＝(λ1-λ2)l2-(λ1+λ2)l3。
使用机械臂运动学模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的工作空间性能指标：
J1＝λ1Rmin-λ2Rmax＝f1(l2，l3)，
其中，Rmin为工作空间最小半径，Rmax为工作空间最大半径，λ1、λ2分别为最小半径与最大半径的权系数，l2为第二机械臂的臂长，l3为第三机械臂的臂长。
其次，通过以下五个步骤建立第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的强度分析模型：
第一，将第二机械臂(2)、第三机械臂(3)各自等分成K2、K3个单元，为了利用有限元模型分析第二机械臂(2)、第三机械臂(3)受力情况的精确性，K2、K3取值要求K2≥5000、K3≥5000；
第二，利用有限元模型，对第二机械臂(2)、第三机械臂(3)在机器人运动过程中由各单元所受惯性力组成的惯性力系分别在第三关节及第二关节处，即连杆坐标系中点o2、o1处进行简化。根据牵连运动为转动时点的加速度合成定理，可求得第二机械臂(2)、第三机械臂(3)各单元在机器人运动时的加速度
Figure GSB00000251907500221
其中
Figure GSB00000251907500222
为单元i的绝对加速度，
Figure GSB00000251907500223
为单元i的牵连加速度，
Figure GSB00000251907500224
为单元i的相对加速度，
Figure GSB00000251907500225
为单元i的科氏加速度，则惯性力系即为各单元在运动过程中产生的惯性力
Figure GSB00000251907500226
的综合作用，mi为单元i的质量，对于第二机械臂(2)各单元的惯性力系在第二关节处简化为主矢
Figure GSB00000251907500227
Figure GSB00000251907500228
主矩为
Figure GSB000002519075002210
对于第三机械臂(3)各单元的惯性力系在第三关节处简化为主矢
Figure GSB000002519075002211
主矩为
Figure GSB000002519075002213
Figure GSB000002519075002214
第三，根据对第二机械臂(2)、第三机械臂(3)在机器人运动过程中由各单元所受惯性力组成的惯性力系分别在第三关节及第二关节处简化得到的惯性力主矢与主矩以及质点系的达朗贝尔定理，分别求得关节3及关节2处产生的支反力及支反力偶；
第四，根据其次通过截面法求得机械臂2及3上各单元处的弯矩；
第五，经过分析可知，各机械臂关节处的单元在机械臂运动时产生的弯矩最大，并且机械臂2上关节2处单元的弯矩矢量在Z2轴分量最大，机械臂3上关节3处单元的弯矩矢量在Z3轴分量最大，分别设为M2Zmax及M3Zmax，并且经分析M3Zmax＝τ3max、M2Zmax＝τ2max；则机械臂运动时，第二机械臂(2)上最大应力
Figure GSB000002519075002215
第三机械臂(3)上的最大应力
Figure GSB000002519075002216
其中，τ2max、τ3max为运动时各关节驱动电机施加到机械臂上的最大转矩，W2Z、W3Z分别表示机械臂2与机械臂3的截面相对于连杆坐标系2的Z2轴及连杆坐标系3的Z3轴的抗弯截面系数；经计算可知
Figure GSB00000251907500232
对于τ2max、τ3max，根据三自由度机器人机械部分的动力学方程可知：
&tau; 2 = &tau; 2 ( &theta; 2 , &theta; 3 , &theta; &CenterDot; 1 , &theta; &CenterDot; 2 , &theta; &CenterDot; 3 , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 , l 2 , l 3 , b 2 , b 2 e , h 2 , h 2 e , b 3 , b 3 e , h 3 , h 3 e ) ,
即关节施加到机械臂上的电磁转矩是关节位置、关节角速度、角加速度的值以及机器人的机械参数的非线性函数，而
Figure GSB00000251907500235
的值，又取决于各关节电机能提供的最大角速度
Figure GSB00000251907500236
、及最大角加速度的值(i＝1，2，3)，因此τ2、τ3是一个非线性有约束的多元函数，其最大值τ2max、τ3max的求解可以通过非线性函数约束条件下求极值的方法获得。
使用由上述五个步骤获得的强度分析模型得到涉及第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的综合强度性能指标：
J 2 = ( | &sigma; 2 max - 0.8 [ &sigma; ] | + | &sigma; 3 max - 0.8 [ &sigma; ] ) / ( 7 &times; 10 7 )
= f 2 ( l 2 , b 2 , h 2 , b 2 e , h 2 e , l 3 , b 3 , h 3 , b 3 e , h 3 e , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 max , &theta; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; 3 max ) ,
其中，[σ]为第二机械臂(2)及第三机械臂(3)所用材料的许用弯曲应力；σ2max、σ3max分别表示在机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力；|σ2max-0.8[σ]|、|σ3max-0.8[σ]|分别表示机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力与材料许用弯曲应力的0.8倍的接近程度，l1为第一机械臂的臂长，b2、h2为第二机械臂(2)外截面的宽度及高度，b2e、h2e为第二机械臂(2)内腔的宽度及高度，b3、h3为第三机械臂(3)外截面的宽度及高度，b3e、h3e为第三机械臂(3)内腔的宽度及高度，
Figure GSB000002519075002310
分别为第二关节、第三关节的最大角加速度，
Figure GSB000002519075002311
分别为第一关节、第二关节、第三关节的最大角速度，7×107为比例系数。
最后，通过通过以下各步骤建立基于机电耦合***动力学模型及逆动力学控制的***闭环模型：
第一，通过拉格朗日-欧拉法建立该机器人机械负载部分的动力学方程，其形式为：
&tau; 1 &tau; 2 &tau; 3 = D 11 + I a 1 0 0 0 D 22 + I a 2 D 23 0 D 32 D 33 + I a 3 &theta; &CenterDot; &CenterDot; 1 &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 + 0 0 0 D 211 0 D 233 D 311 D 322 0 &theta; &CenterDot; 1 2 &theta; &CenterDot; 2 2 &theta; &CenterDot; 3 2
                    ；
+ 2 D 112 0 D 113 0 D 223 0 0 0 0 &theta; &CenterDot; 1 &theta; &CenterDot; 2 &theta; &CenterDot; 2 &theta; &CenterDot; 3 &theta; &CenterDot; 1 &theta; &CenterDot; 3 + 0 D 2 D 3
其中，Di、Dij、Dijk为机械部分动力学方程的系数，这些系数与机械设计参数及机械臂运动位置有关。τi为施加到机械臂i的机械部分的转矩，Iai为机械臂i传动装置的转动惯量，
Figure GSB00000251907500243
θi分别为机械臂i所对应关节的瞬时角加速度、角速度及角位移，其中(i＝1，2，3)。
在此基础上，设计该机器人机械***与电机***不经变速箱而直接连接，并将机械部分动力学模型折算到电机侧，建立起机电耦合***的动力学模型：
u m 1 u m 2 u m 3 = K 1 D 11 + I a 1 &prime; 0 0 0 K 2 D 22 + I a 2 &prime; K 2 D 23 0 K 3 D 32 K 3 D 33 + I a 3 &prime; &theta; &CenterDot; &CenterDot; 1 &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 + 0 0 0 K 2 D 211 0 K 2 D 233 K 3 D 311 K 3 D 322 0 &theta; &CenterDot; 1 2 &theta; &CenterDot; 2 2 &theta; &CenterDot; 3 2
+ 2 K 1 D 112 0 K 1 D 113 0 K 2 D 223 0 0 0 0 &theta; &CenterDot; 1 &theta; &CenterDot; 2 &theta; &CenterDot; 2 &theta; &CenterDot; 3 &theta; &CenterDot; 1 &theta; &CenterDot; 3 + k e 1 0 0 0 k e 2 0 0 0 k e 3 &theta; &CenterDot; 1 &theta; &CenterDot; 2 &theta; &CenterDot; 3 + 0 K 2 D 2 K 3 D 3
；其中，umi为机械臂i控制电机的电枢电路电压；Ki为机械臂i的机械部分向电机部分折算的系数，Ki＝Rmi/kmi，I′ai为机械臂i的***传动装置总转动惯量，I′ai＝KiIai+RmiJmi/kmi，Rmi、kmi、kei、Jmi分别为机械臂i对应控制电机的电枢电路电阻、转矩系数和电势系数和电机轴的转动惯量(i＝1，2，3)。
第二，在机电耦合***的动力学模型的基础上，采用具有偏置的PD控制律及逆动力学控制的策略，最终构成机器人控制***，最终构成机器人闭环控制***框图如图2所示，其中，Θd＝[θd1，θd2，θd3]T，
Figure GSB00000251907500246
Figure GSB00000251907500247
分别为参考轨迹向量、参考角速度及参考角加速度向量；KD＝diag(kd1，kd2，kd3)、KP＝diag(kp1，kp2，kp3)，分别为控制器微分系数矩阵与比例系数矩阵。
第三，该机器人运动控制的参考轨线采用关节空间中抛物线过渡的线性插值法产生，并且使用机器人各关节的最大运动能力进行规划，以保证任何控制任务在机器人设计的运动能力内以最短的时间完成；各关节的最大运动能力与各关节驱动电机有关，包括各关节的最大角加速度
Figure GSB00000251907500248
(单位：rad/s2)以及各关节的最大角速度(单位：rad/s)，在关节期望运动的匀加速运动阶段，各关节以
Figure GSB00000251907500252
加速运动，至关节角速度达到
Figure GSB00000251907500253
在关节期望运动的匀速运动阶段，各关节以
Figure GSB00000251907500254
匀速运动；在关节期望运动的匀减速运动阶段，各关节以
Figure GSB00000251907500255
减速运动，至关节角速度达到0；三段期望运动的结束时刻分别设为tai、tbi、tci，对于某些控制任务的期望运动也可能仅由匀加速与匀减速两段组成，该两端期望运动结束时间分别设为tai、tci。
第四，由于给定参考输入运动轨线在tai、tbi、tci时刻二阶导数不连续，实际控制轨线与参考轨线存在误差；由闭环控制***模型可知误差函数为
Figure GSB00000251907500256
该误差函数是一个二阶微分方程，为使误差函数收敛，应通过控制器参数调整保证误差***为过阻尼或临界阻尼状态，对于每个关节而言，即要求k2 di≥4kpi，(i＝1，2，3)。通过上述控制器参数下对闭环控制***进行仿真可知，该误差在控制过程中完全可忽略不计；
第五，对于一项搬运任务其控制结束时间及所需控制能量的计算方法为：设在基坐标系中搬运任务初始点坐标为(x0，y0，z0)，终止点坐标为(xf，yf，zf)，根据该机械臂逆运动学模型，计算完成该搬运任务各关节的初始关节角θi0终止关节角θif；根据上述参考轨迹的规划方案，生成各关节完成该搬运任务对应的参考角度轨线θdi(t)、参考角速度轨线
Figure GSB00000251907500257
和参考角加速度轨线并分别组成参考轨迹向量Θd(t)、参考角速度向量
Figure GSB00000251907500259
及参考角加速度向量
Figure GSB000002519075002510
根据具有偏置的PD控制律及逆动力学控制的策略的控制特点，可以认为控制结束时间即为三个关节参考轨迹结束时间，各关节控制过程中实际的角度、角速度、角加速度轨线即为参考角度、角速度、角加速度轨线；因此，该搬运任务的控制时间为tf＝tc＝max(tc1，tc2，tc3)，该搬运任务的控制能量为
Figure GSB000002519075002511
其中τi(t)由机械臂机械部分动力学模型及控制任务对应的参考轨迹计算，
Figure GSB000002519075002512
使用通过上述五个步骤获得的***闭环模型得到第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的平均控制能量指标：
J 3 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 1 m Ln ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | ) [ &Integral; 0 t fn | &tau; 1 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 2 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 3 ( t ) | dt ] ,
= f 3 ( l 1 , R 1 , r 1 , l 2 , b 2 , h 2 , b 2 e , h 2 e , l 3 , b 3 , h 3 , b 3 e , h 3 e , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 max , &theta; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; 3 max )
及平均控制时间指标
J 4 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 t fn ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | ) = f 4 ( l 1 , l 2 , l 3 , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 max , &theta; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; 3 max ) ,
其中，200是指在给定设计要求的工作空间中随机选取400个点作为搬运任务的起止点，由此组成200组搬运任务工作点；n表示第n组搬运任务，mLn表示第n组搬运任务的负载质量，|θ1n|、|θ2n|、|θ3n|分别表示表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节的转动角度，τ1(t)、τ2(t)、τ3(t)分别表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节在t时刻输出的电磁转矩，tfn表示完成第n组搬运任务的完成时间，R1、r1分别为圆筒形的第一机械臂(1)外半径及内半径，
Figure GSB00000251907500264
为第一关节的最大角加速度；
步骤2对工作空间性能指标、综合强度性能指标、平均控制能量指标及平均控制时间指标涉及的参数进行选择性优化，并建立多目标并行优化模型
首先，选择参数l2、l3、b2、h2、b3、h3、
Figure GSB00000251907500265
Figure GSB00000251907500266
作为设计变量，对
工作空间性能指标
J1＝λ1Rmin-λ2Rmax，
综合强度性能指标
J2＝|σ2Zmax-0.8[σ]|+|σ3Zmax-0.8[σ]|，
平均控制能量指标
J 3 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 1 m Ln ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | ) [ &Integral; 0 t fn | &tau; 1 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 2 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 3 ( t ) | dt ] ,
及平均控制时间指标
J 4 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 t fn ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | )
进行同时优化，得到多目标优化设计任务：
min J 1 ( x 1 ) min J 2 ( x 2 ; x 1 , x 3 ) min J 3 ( x 3 ; x 1 , x 2 ) min J 4 ( x 3 ; x 1 ) s . t &phi; 1 &le; 0 ; &phi; 2 &le; 0 ; &phi; 3 &le; 0
其中，x1是由设计变量l2、l3组成的向量，称之为臂长设计向量，其中，
Figure GSB00000251907500273
的下标1表示设计向量x1，上标1表示设计向量x1的第一分量，的下标1表示设计向量x1，上标2表示设计向量x1的第二分量；x2是由设计变量b2、h2、b3、h3组成的向量，
Figure GSB00000251907500275
称之为臂的厚度设计向量，其中，
Figure GSB00000251907500276
的下标2表示设计向量x2，上标1表示设计向量x2的第一分量，
Figure GSB00000251907500277
的下标2表示设计向量x2，上标2表示设计向量x2的第二分量，
Figure GSB00000251907500278
的下标2表示设计向量x2，上标3表示设计向量x2的第三分量，的下标2表示设计向量x2，上标4表示设计向量x2的第四分量；x3是由设计变量
Figure GSB000002519075002710
组成的向量，
Figure GSB000002519075002711
称之为关节的运动学能力设计向量，
Figure GSB000002519075002712
的下标3表示设计向量x3，上标1表示设计向量x3的第一分量，的下标3表示设计向量x3，上标2表示设计向量x3的第二分量，的下标3表示设计向量x3，上标3表示设计向量x3的第三分量，的下标3表示设计向量x3，上标4表示设计向量x3的第四分量，
Figure GSB000002519075002716
的下标3表示设计向量x3，上标5表示设计向量x3的第五分量，的下标3表示设计向量x3，上标6表示设计向量x3的第六分量；φ1为第一约束条件向量，φ1＝[(l2-l3)-dmin，dmax-(l2+l3)，l3-l2，-l2，-l3]T，这里，dmin＝0.2，dmax＝1.5，分别代表对所设计的机械臂工作空间最小半径与最大半径的设计要求，其值根据具体的设计需要进行调整；φ2为第二约束条件向量，φ2＝[h2e-h2，b2e-b2，h3e-h3，b3e-b3]T；φ3为第三约束条件向量
Figure GSB000002519075002718
其次，将约束条件与工作空间性能指标J1、综合强度性能指标J2、平均控制能量指标J3及平均控制时间指标J4进行合并转化，得到广义工作空间性能指标Z1，广义综合强度性能指标Z2，广义平均控制能量指标Z3及广义平均控制时间指标Z4：
Z 1 = max { 0 , J 1 - J 1 * } + &sigma; 1 &Sigma; m = 1 5 max { 0 , &phi; 1 m } 2 Z 2 = max { 0 , J 2 - J 2 * } + &sigma; 2 &Sigma; m = 1 4 max { 0 , &phi; 2 m } 2 Z 3 = max { 0 , J 3 - J 3 * } + &sigma; 3 &Sigma; m = 1 6 max { 0 , &phi; 3 m } 2 Z 4 = max { 0 , J 4 - J 4 * }
其中，
Figure GSB00000251907500282
分别是工作空间性能指标J1、综合强度性能指标J2、平均控制能量指标J3及平均控制时间指标J4的期望值，
Figure GSB00000251907500283
分别表示第一约束条件向量的第m个元素、第二约束条件向量的第m个元素、第三约束条件向量的第m个元素；σ1为第一罚系数，σ1＝1000；σ2为第二罚系数，σ2＝1000；σ3为第三罚系数，σ3＝1000；
步骤3用控制方法获得多目标优化设计参数
建立控制律1： v 1 , i = k 1 1 e 1 , i - 1 o 1 , i - 1 1 + k 1 2 e 2 , i - 1 o 1 , i - 1 2 + k 1 3 e 3 , i - 1 o 1 , i - 1 3 + k 1 4 e 4 , i - 1 o 1 , i - 1 4
其中，v1，i为第i次迭代时臂长设计向量x1的调整量，
Figure GSB00000251907500285
Figure GSB00000251907500286
的第一下标1和上标1表示该调整量是对设计向量x1中的第一设计变量
Figure GSB00000251907500287
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB00000251907500288
的第一下标1和上标2表示该调整量是对设计向量x1中的第二设计变量的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律1产生的调整量v1，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 1 , i 1 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | ,
0 < | v 1 , i 2 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | ,
如果 | v 1 , i 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | ,
| v 1 , i 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | ;
其中，
Figure GSB000002519075002818
表示设计向量x1的第一设计分量
Figure GSB000002519075002819
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075002820
表示设计向量x1的第二设计分量第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整值v1，i调整臂长设计向量x1，得到第i次迭代后设计向量x1的值x1，i＝x1，i-1+v1，i；e1，i-1为广义工作空间性能指标Z1在第i-1次迭代后的值Z1，i-1与目标值0的误差，e1，i-1＝0-Z1，i-1；
e2，i-1为广义综合强度性能指标Z2在第i-1次迭代后的值Z2，i-1与目标值0的误差，e2，i-1＝0-Z2，i-1；
e3，i-1为广义平均控制能量指标Z3在第i-1次迭代后的值Z3，i-1与目标值0的误差，e3，i-1＝0-Z3，i-1；
e4，i-1为广义平均控制时间指标Z4在第i-1次迭代后的值Z4，i-1与目标值0的误差，e4，i-1＝0-Z4，i-1；
Figure GSB00000251907500291
为误差值e1，i-1相对于设计向量值x1，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500292
Figure GSB00000251907500293
的上标1表示广义工作空间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB00000251907500294
时广义工作空间性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB00000251907500295
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x1，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500296
Figure GSB00000251907500297
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB00000251907500298
时广义综合强度性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x1，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB000002519075002911
的上标3表示广义平均控制能量指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075002912
时广义平均控制能量性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075002913
为误差值e4，i-1相对于设计向量值x1，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB000002519075002914
的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075002916
时广义平均控制时间指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075002917
为误差值e1，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure GSB000002519075002918
上标1表示广义工作空间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB00000251907500301
Figure GSB00000251907500302
为误差值e2，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure GSB00000251907500303
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB00000251907500304
Figure GSB00000251907500305
为误差值e3，i-1在控制律1中的比例系数，上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB00000251907500307
Figure GSB00000251907500308
为误差值e4，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure GSB00000251907500309
上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure GSB000002519075003010
建立控制律2： v 2 , i = k 2 2 e 2 , i - 1 o 2 , i - 1 2 + k 2 3 e 3 , i - 1 o 2 , i - 1 3
其中，v2，i为第i次迭代时臂厚设计向量x2的调整量，
Figure GSB000002519075003012
Figure GSB000002519075003013
的第一下标2和上标1表示该调整量是对设计向量x2中的第一设计分量
Figure GSB000002519075003014
的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标2和上标2表示该调整量是对设计向量x2中的第二设计分量
Figure GSB000002519075003016
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075003017
的第一下标2和上标3表示该调整量是对设计向量x2中的第三设计分量
Figure GSB000002519075003018
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075003019
的第一下标2和上标4表示该调整量是对设计向量x2中的第四设计分量
Figure GSB000002519075003020
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律2产生的调整量v2，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 2 , i 1 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | ,
0 < | v 2 , i 2 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | ,
0 < | v 2 , i 3 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | ,
0 < | v 2 , i 4 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | ;
如果 | v 2 , i 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | ,
| v 2 , i 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | ,
| v 2 , i 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | ,
| v 2 , i 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 4 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | ;
其中，
Figure GSB000002519075003037
表示设计向量x2的第一设计分量第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075003039
表示设计向量x2的第二设计分量
Figure GSB00000251907500311
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB00000251907500312
表示设计向量x2的第三设计分量
Figure GSB00000251907500313
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB00000251907500314
表示设计向量x2的第四设计分量
Figure GSB00000251907500315
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整值v2，i调整臂厚设计向量，得到第i次迭代后设计向量x2的值x2，iX＝x2，i-1+v2，i；
Figure GSB00000251907500316
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x2，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500317
Figure GSB00000251907500318
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB00000251907500319
时广义综合强度性能指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075003110
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x2，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB000002519075003112
的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075003113
时广义平均控制能量指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075003114
为误差e2，i-1在控制律2中的比例系数，上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令
Figure GSB000002519075003116
Figure GSB000002519075003117
为误差e3，i-1在控制律2中的比例系数，
Figure GSB000002519075003118
上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令
Figure GSB000002519075003119
建立控制律3： v 3 , i = k 3 2 e 2 , i - 1 o 3 , i - 1 2 + k 3 3 e 3 , i - 1 o 3 , i - 1 3 + k 3 4 e 4 , i - 1 o 3 , i - 1 4
其中，v3，i为第i次迭代时关节运动学能力设计向量x3的调整量，
Figure GSB000002519075003121
Figure GSB000002519075003122
的第一下标3和上标1表示该调整量是对设计向量x3中的第一设计分量
Figure GSB000002519075003123
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075003124
的第一下标3和上标2表示该调整量是对设计向量x3中的第二个设计分量
Figure GSB000002519075003125
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure GSB000002519075003126
的第一下标3和上标3表示该调整量是对设计向量x3中的第三设计分量
Figure GSB000002519075003127
的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标3和上标4表示该调整量是对设计向量x3中的第四设计分量
Figure GSB000002519075003129
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
Figure GSB00000251907500321
的第一下标3和上标5表示该调整量是对设计向量x3中的第五设计分量
Figure GSB00000251907500322
的调整量，第二下标i表示迭代次数；的第一下标3和上标6表示该调整量是对设计向量x3中的第六设计分量
Figure GSB00000251907500324
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律3产生的调整量v3，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 3 , i 1 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | ,
0 < | v 3 , i 2 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | ,
0 < | v 3 , i 3 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | ,
0 < | v 3 , i 4 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | ,
0 < | v 3 , i 5 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | ,
0 < | v 3 , i 6 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | ;
如果 | v 3 , i 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 1 | ,
| v 3 , i 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 2 | ,
| v 3 , i 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 3 | ,
| v 3 , i 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 4 | ,
| v 3 , i 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 5 | ,
| v 3 , i 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.1 | x 3 , i - 1 6 | ;
其中，
Figure GSB000002519075003229
表示设计向量x3的第一设计分量第i-1次迭代后的设计值，表示设计向量x3的第二设计分量
Figure GSB000002519075003232
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075003233
表示设计向量x3的第三设计分量
Figure GSB000002519075003234
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075003235
表示设计向量x3的第四设计分量
Figure GSB000002519075003236
第i-1次迭代后的设计值，表示设计向量x3的第五设计分量
Figure GSB000002519075003238
第i-1次迭代后的设计值，
Figure GSB000002519075003239
表示设计向量x3的第六设计分量
Figure GSB000002519075003240
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整量v3，i调整关节的运动学能力设计向量x3，计算第i次迭代后设计向量x3的值x3，i＝x3，i-1+v3，i；
Figure GSB00000251907500331
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x3，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500332
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB00000251907500334
时广义综合强度性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB00000251907500335
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x3，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB00000251907500336
Figure GSB00000251907500337
的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标3表示运动学能力设计向量，第二下标i-1表示在计算时广义平均控制能量性能指标的误差值及运动学能力向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB00000251907500339
为误差值e4，i-1相对于设计向量值x3，i-1的偏导数的符号向量，
Figure GSB000002519075003310
Figure GSB000002519075003311
的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure GSB000002519075003312
时广义平均控制时间性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure GSB000002519075003313
为误差值e2，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure GSB000002519075003314
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure GSB000002519075003315
Figure GSB000002519075003316
为误差值e3，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure GSB000002519075003317
上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure GSB000002519075003318
Figure GSB000002519075003319
为误差值e4，i-1在控制律3中的比例系数，上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure GSB000002519075003321
利用控制律1、控制律2、控制律3对臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、关节运动学能力设计向量x3进行第一次优化设计：
为臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、关节运动学能力设计向量x3赋初始设计值，得到向量x1，0、向量x2，0、向量x3，0；
为各性能指标期望值
Figure GSB000002519075003322
赋第一次多目标优化设计的参考值
Figure GSB000002519075003323
Figure GSB000002519075003324
得到
Figure GSB000002519075003325
Figure GSB000002519075003326
Figure GSB000002519075003328
对于
Figure GSB000002519075003329
其第一下标1表示工作空间性能表，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于其第一下标2表示综合强度性能指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于
Figure GSB00000251907500342
其第一下标3表示平均控制能量指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于
Figure GSB00000251907500343
其第一下标4表示平均控制时间指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计；
由第一次多目标优化设计的参考值
Figure GSB00000251907500344
及x1，0、x2，0、x3，0计算得到各广义性能指标的初始值Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0；如果Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0不全部为零，则进入步骤3.1；如果Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0全部为零，则设计向量x1、x2、x3的初始值x1，0、x2，0、x3，0即为多目标优化设计参数的值；
步骤3.1对设计变量组成的向量x1、x2、x3进行第一次迭代，迭代次数i＝1：
首先，由控制律1
Figure GSB00000251907500345
及对控制律1产生的调整量v1，1幅度修正方法：
如果 0 < | v 1,1 1 | &le; 0.01 | x 1,0 1 | , v 1,1 1 = sign ( x 1,0 1 ) &times; 0.01 | x 1,0 1 | ,
0 < | v 1,1 2 | &le; 0.01 | x 1,0 2 | , v 1,1 2 = sign ( x 1,0 2 ) &times; 0.01 | x 1,0 2 | ,
如果 | v 1,1 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,0 1 | , v 1,1 1 = sign ( x 1,0 1 ) &times; 0.04 | x 1,0 1 | ,
| v 1,1 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,0 2 | , v 1,1 2 = sign ( x 1,0 2 ) &times; 0.04 | x 1,0 2 | ;
生成对向量x1的第一次迭代的调整值v1，1，再用调整值v1，1调整向量x1，得到向量x1第一次迭代后的值x1，1＝x1，0+v1，1；这里，e1，0为广义工作空间性能指标在初始时刻的值Z1，0与目标值0的误差，e1，0＝0-Z1，0；e2，0为广义综合强度性能指标在初始时刻的值Z2，0与目标值0的误差，e2，0＝0-Z2，0；e3，0为广义平均控制能量指标在初始时刻的值Z3，0与目标值0的误差，e3，0＝0-Z3，0；e4，0为广义平均控制时间指标在初始时刻的值Z4，0与目标值0的误差，e4，0＝0-Z4，0；
Figure GSB000002519075003414
为误差值e1，0相对于设计向量值x1，0的负导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003416
为误差值e2，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003417
Figure GSB000002519075003418
为误差值e3，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500351
Figure GSB00000251907500352
为误差值e4，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500353
其次，由控制律2
Figure GSB00000251907500354
及对控制律2产生的调整量v2，1的幅度修正方法：
如果 0 < | v 2,1 1 | &le; 0.01 | x 2,0 1 | , v 2,1 1 = sign ( x 2,0 1 ) &times; 0.01 | x 2,0 1 | ,
0 < | v 2,1 2 | &le; 0.01 | x 2,0 2 | , v 2,1 2 = sign ( x 2,0 2 ) &times; 0.01 | x 2,0 2 | ,
0 < | v 2,1 3 | &le; 0.01 | x 2,0 3 | , v 2,1 3 = sign ( x 2,0 3 ) &times; 0.01 | x 2,0 3 | ,
0 < | v 2,1 4 | &le; 0.01 | x 2,0 4 | , v 2,1 4 = sign ( x 2,0 4 ) &times; 0.01 | x 2,0 4 | ;
如果 | v 2,1 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 1 | , v 2,1 1 = sign ( x 2,0 1 ) &times; 0.02 | x 2,0 1 | ,
| v 2,1 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 2 | , v 2,1 2 = sign ( x 2,0 2 ) &times; 0.02 | x 2,0 2 | ,
| v 2,1 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 3 | , v 2,1 3 = sign ( x 2,0 3 ) &times; 0.02 | x 2,0 3 | ,
| v 2,1 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 4 | , v 2,1 4 = sign ( x 2,0 4 ) &times; 0.02 | x 2,0 4 | ;
生成对臂厚设计向量x2的第一次迭代的调整值v2，1，用调整值v2，1调整臂厚设计向量x2，得到向量x2的第一次迭代后的值x2，1＝x2，0+v2，1；这里，
Figure GSB000002519075003521
为误差值e2，0相对于设计向量值x2，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003522
Figure GSB000002519075003523
为误差值e3，0相对于设计向量值x2，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003524
再次，由控制律3
Figure GSB000002519075003525
及对控制律3产生的调整量v3，1的幅度修正方法：
如果 0 < | v 3,1 1 | &le; 0.01 | x 3,0 1 | , v 3,1 1 = sign ( x 3,0 1 ) &times; 0.01 | x 3,0 1 | ,
0 < | v 3,1 2 | &le; 0.01 | x 3,0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3,0 2 ) &times; 0.01 | x 3,0 2 | ,
0 < | v 3,1 3 | &le; 0.01 | x 3,0 3 | , v 3,1 3 = sign ( x 3,0 3 ) &times; 0.01 | x 3,0 3 | ,
0 < | v 3,1 4 | &le; 0.01 | x 3,0 4 | , v 3,1 4 = sign ( x 3,0 4 ) &times; 0.01 | x 3,0 4 | ,
0 < | v 3,1 5 | &le; 0.01 | x 3,0 5 | , v 3,1 5 = sign ( x 3,0 5 ) &times; 0.01 | x 3,0 5 | ,
0 < | v 3,1 6 | &le; 0.01 | x 3,0 6 | , v 3,1 6 = sign ( x 3,0 6 ) &times; 0.01 | x 3,0 6 | ;
如果 | v 3,1 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 1 | , v 3,1 1 = sign ( x 3,0 1 ) &times; 0.1 | x 3,0 1 | ,
| v 3,1 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3,0 2 ) &times; 0.1 | x 3,0 2 | ,
| v 3,1 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 3 | , v 3,1 3 = sign ( x 3,0 3 ) &times; 0.1 | x 3,0 3 | ,
| v 3,1 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 4 | , v 3,1 4 = sign ( x 3,0 4 ) &times; 0.1 | x 3,0 4 | ,
| v 3,1 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 5 | , v 3,1 5 = sign ( x 3,0 5 ) &times; 0.1 | x 3,0 5 | ,
| v 3,1 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 6 | , v 3,1 6 = sign ( x 3,0 6 ) &times; 0.1 | x 3,0 6 | ;
生成对关节运动学能力设计向量x3的第一次调整值v3，1，用调整值v3，1调整关节运动学能力设计向量x3，得到设计向量x3的第一次迭代后的值x3，1＝x3，0+v3，1；这里，
Figure GSB000002519075003619
为误差值e2，0相对于x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003620
Figure GSB000002519075003621
为误差值e3，0相对于设计向量值x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003622
Figure GSB000002519075003623
为误差值e4，0相对于设计向量值x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003624
最后，在得到设计向量x1、x2、x3的第一次迭代后的向量值x1，1、x2，1、x3，1之后，计算第一次调整后各广义性能的值Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1，如果Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1不全部为零，则进入步骤3.2；如果Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1全部为零，则所得到的向量x1、x2、x3的第一次迭代的值x1，1、x2，1、x3，1为多目标优化设计参数；
步骤3.2对设计变量组成的向量x1、x2、x3进行第二次迭代，迭代次数i＝2：
首先，由控制律1
Figure GSB000002519075003625
及对控制律1产生的调整量v1，2幅度修正方法：
如果 0 < | v 1,2 1 | &le; 0.01 | x 1,1 1 | , v 1,2 1 = sign ( x 1,1 1 ) &times; 0.01 | x 1,1 1 | ,
0 < | v 1,2 2 | &le; 0.01 | x 1,1 2 | , v 1,2 2 = sign ( x 1,1 2 ) &times; 0.01 | x 1,1 2 | ,
如果 | v 1,2 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,1 1 | , x 1,2 1 = sign ( x 1,1 1 ) &times; 0.04 | x 1,1 1 | ,
| v 1,2 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,1 2 | , v 1,2 2 = sign ( x 1,1 2 ) &times; 0.04 | x 1,1 2 | ;
生成对向量x1的第二次迭代的调整值v1，2，再用调整值v1，2调整向量x2，得到第二次迭代后设计向量x1的值x1，2＝x1，1+v1，2；这里，e1，1为广义工作空间性能指标在第一次迭代后的值Z1，1与目标值0的误差，e1，1＝0-Z1，1；e2，1为广义综合强度性能指标在第一次迭代后的值Z2，1与目标值0的误差，e2，1＝0-Z2，1；e3，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z3，1与目标值0的误差，e3，1＝0-Z3，1；e4，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z4，1与目标值0的误差，e4，1＝0-Z4，1；
Figure GSB00000251907500377
为误差值e1，1相对于设计向量值x1，1的负导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500378
为误差值e2，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003710
Figure GSB000002519075003711
为误差值e3，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003712
Figure GSB000002519075003713
为误差值e4，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003714
其次，由控制律2及对控制律2产生的调整量v2，2的幅度修正方法：
如果 0 < | v 2,2 1 | &le; 0.01 | x 2,1 1 | , v 2,2 1 = sign ( x 2,1 1 ) &times; 0.01 | x 2,1 1 | ,
0 < | v 2,2 2 | &le; 0.01 | x 2,1 2 | , v 2,2 2 = sign ( x 2,1 2 ) &times; 0.01 | x 2,1 2 | ,
0 < | v 2,2 3 | &le; 0.01 | x 2,1 3 | , v 2,2 3 = sign ( x 2,1 3 ) &times; 0.01 | x 2,1 3 | ,
0 < | v 2,2 4 | &le; 0.01 | x 2,1 4 | , v 2,2 4 = sign ( x 2,1 4 ) &times; 0.01 | x 2,1 4 | ;
如果 | v 2,2 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 1 | , v 2,2 1 = sign ( x 2,1 1 ) &times; 0.02 | x 2,1 1 | ,
| v 2,2 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 2 | , v 2,2 2 = sign ( x 2,1 2 ) &times; 0.02 | x 2,1 2 | ,
| v 2,2 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 3 | , v 2,2 3 = sign ( x 2,1 3 ) &times; 0.02 | x 2,1 3 | ,
| v 2,2 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 4 | , v 2,2 4 = sign ( x 2,1 4 ) &times; 0.02 | x 2,1 4 | ;
生成设计向量x2进行第二次迭代的调整值再用调整值v2，2调整设计向量x2的值，得到第二次迭代后设计向量x2的值x2，2＝x2，1+v2，2；这里，
Figure GSB00000251907500384
为误差值e2，1相对于设计向量值x2，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500386
为误差值e3，1相对于设计向量值x2，1的负偏导数对应的符号向量，
再次，由控制律3及对控制律3产生的调整量v3，2的幅度修正方法：
如果 0 < | v 3,2 1 | &le; 0.01 | x 3,1 1 | , v 3,2 1 = sign ( x 3,1 1 ) &times; 0.01 | x 3,1 1 | ,
0 < | v 3,2 2 | &le; 0.01 | x 3,1 2 | , v 3,2 2 = sign ( x 3,1 2 ) &times; 0.01 | x 3,1 2 | ,
0 < | v 3,2 3 | &le; 0.01 | x 3,1 3 | , v 3,2 3 = sign ( x 3,1 3 ) &times; 0.01 | x 3,1 3 | ,
0 < | v 3,2 4 | &le; 0.01 | x 3,1 4 | , v 3,2 4 = sign ( x 3,1 4 ) &times; 0.01 | x 3,1 4 | ,
0 < | v 3,2 5 | &le; 0.01 | x 3,1 5 | , v 3,2 5 = sign ( x 3,1 5 ) &times; 0.01 | x 3,1 5 | ,
0 < | v 3,2 6 | &le; 0.01 | x 3,1 6 | , v 3,2 6 = sign ( x 3,1 6 ) &times; 0.01 | x 3,1 6 | ;
如果 | v 3,2 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 1 | , v 3,2 1 = sign ( x 3,1 1 ) &times; 0.1 | x 3,1 1 | ,
| v 3,1 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3,0 2 ) &times; 0.1 | x 3,0 2 | ,
| v 3,2 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 3 | , v 3 , 2 3 = sign ( x 3 , 1 3 ) &times; 0.1 | x 3 , 1 3 | ,
| v 3,2 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 4 | , v 3 , 2 4 = sign ( x 3 , 1 4 ) &times; 0.1 | x 3 , 1 4 | ,
| v 3,2 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 5 | , v 3 , 2 5 = sign ( x 3 , 1 5 ) &times; 0.1 | x 3 , 1 5 | ,
| v 3,2 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 6 | , v 3 , 2 6 = sign ( x 3 , 1 6 ) &times; 0.1 | x 3 , 1 6 | ;
生成设计向量x3的第二次迭代的调整值，再用调整值v3，2调整设计向量x3的值，得到第二次迭代后向量x3的值x3，2＝x3，1+v3，2；这里，
Figure GSB000002519075003833
为e2，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB000002519075003834
Figure GSB000002519075003835
为误差值e3，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500391
为误差值e4，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure GSB00000251907500393
最后，用得到的设计向量x1、x2、x3第二次迭代后的值x1，2、x2，2、x3，2，计算第二次迭代后各广义性能的值Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2，如果Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2不全部为零，则进入步骤3.3；如果Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2全部为零，则所得到的向量x1、x2、x3的第二次迭代的值x1，2、x2，2、x3，2即为多目标优化设计参数的值；
步骤3.3依此类推，通过控制律1及对控制律1产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x1进行第j次迭代的调整值v1，j；通过控制律2及对控制律2产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x2进行第j次迭代的调整值v2，j；通过控制律3及对控制律3产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x3进行第j次迭代的调整值v3，j；重复上述迭代，如果在100次迭代内通过调整臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的值可以使广义工作空间性能指标Z1、广义综合强度性能指标Z2、广义平均控制能量指标Z3、广义平均控制时间指标Z4的值同时为零，则获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的设计值；如果在100次迭代内无法使得广义工作空间性能指标Z1、广义综合强度性能指标Z2、广义平均控制能量指标Z3、广义平均控制时间指标Z4的值同时为零，则进入步骤3.4，直到各广义性能在100次迭代内使得广义性能指标Z1、Z2、Z3、Z4的值同时为零，获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的最终设计值；
步骤3.4对各性能指标期望值
Figure GSB00000251907500394
的期望值进行第n-1次调整后进行第n次优化设计，令
Figure GSB00000251907500396
Figure GSB00000251907500398
n为优化设计的次数，对设计向量x1、x2、x3进行第n次优化设计，重复步骤3.1～步骤3.3。
实施例2
对三自由度搬运机器人的基本设计要求为：该三自由度工业机器人的工作空间为以(0，0，1)为球心，最大半径Rmax＝1.5，最小半径Rmin＝0.2的两球之间的部分(单位：m)。要求搬运的最大负载质量为25kg。在此基础上，要求工作空间最大化，强度满足材料要求，机械臂控制过程能量、时间性能最优。
对于本设计中的三自由度搬运机器人而言，通过第三章的分析，确定了表征机械设计参数及反应电机性能参数的12个参数作为整个设计过程的设计变量。同时，对于机械臂1的机械参数l1、R1、r1，以及机械臂2、3的内腔参数h2e、b2e、h3e、b3e由于其对性能影响不大，或者由于可以作为预先设计的参数在设计前确定所以这些参数没有作为整个设计的设计参数，作为预先设计值给定。
对于本设计任务，提给定预先设计参数的值分别为：l1＝1、R1＝0.075、r1＝0.05、h2e＝0.08、b2e＝0.08、h3e＝0.08、b3e＝0.08(单位：m)。
下面开始具体的设计。
首先，初始化各设计变量。
x1＝[0.8，0.6]T，x2＝[0.1，0.1，0.1，0.1]T，x3＝[5，5，5，3，3，3]T。
计算初始化设计变量下机械臂各性能为：
J1＝-1.2，J2＝1.3879，J3＝1.6411，J4＝0.4393。
结合机械臂初始性能，给定各性能最终优化的次最优指标：
J 1 * = - 1.3 , J 2 * = 0.7 , J 3 * = 1.5 , J 4 * = 0.35 .
经过24次叠代，各性能都达到各性能可接受的性能值。在迭代过程中，广义性能指标Z1、Z2、Z3、Z4的值随迭代次数变化的变化图分别由图4、图5、图6、图7所示。
x1＝[0.854，0.673]T，x2＝[0.086，0.086，0.081，0.107]T，x3＝[8.26，7.87，8.48，4.99，4.84，4.28]T
最终性能值为：
J1＝-1.346，J2＝0.642，J3＝1.4736，J4＝0.3494。
实施例2，各设计变量的变化以及性能指标的变化可通过表1及表2所示。
 设计变量   初始设计值   最终设计值
 臂2长度   0.8   0.845
 臂3长度   0.6   0.673
 臂2外截面高   0.1   0.086
 臂2外截面宽   0.1   0.086
 臂3外截面高   0.1   0.081
 臂3外截面宽   0.1   0.107
 关节1最大角加速度   5   8.26
 关节2最大角加速度   5   7.87
 关节3最大角加速度   5   8.48
 关节1最大角速度   3   4.99
 关节2最大角速度   3   4.84
 关节3最大角速度   3   4.28
表1实施例2中设计变量初始值及最终设计值
  性能指标J<sub>i</sub>   初始性能值   性能参考值   最终性能值
  J<sub>1</sub>   -1.2   -1.3   -1.346
  J<sub>2</sub>   1.3879   0.7   0.642
  J<sub>3</sub>   1.6411   1.5   1.4736
  J<sub>4</sub>   0.4393   0.35   0.3494
表2实施例2中可接受性能值及性能变化

Claims (1)

1.一种三自由度搬运工业机器人多目标优化设计参数的获取方法，所述的三自由度搬运工业机器人包括：第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)，第二机械臂(2)的两端分别与第一机械臂(1)的一端、第三机械臂(3)的一端转动连接，其特征在于多目标优化设计参数的获取方法含有以下步骤：
步骤1建立机械臂运动学模型、强度分析模型、基于机电耦合***动力学模型及逆动力学控制的***闭环模型，并使用机械臂运动学模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的工作空间性能指标：
J1＝λ1Rmin-λ2Rmax＝f1(l2，l3)，
其中，Rmin为工作空间最小半径，Rmax为工作空间最大半径，λ1、λ2分别为最小半径与最大半径的权系数，l2为第二机械臂的臂长，l3为第三机械臂的臂长；
使用强度分析模型获得涉及第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的综合强度性能指标：
J 2 = ( | &sigma; 2 max - 0.8 [ &sigma; ] | + | &sigma; 3 max - 0.8 [ &sigma; ] ) / ( 7 &times; 10 7 )
= f 2 ( l 2 , b 2 , h 2 , b 2 e , h 2 e , l 3 , b 3 , h 3 , b 3 e , h 3 e , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 max , &theta; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; 3 max ) ,
其中，[σ]为第二机械臂(2)及第三机械臂(3)所用材料的许用弯曲应力；σ2max、σ3max分别表示在机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力；|σ2max-0.8[σ]|、|σ3max-0.8[σ]|分别表示机器人运动过程中，第二机械臂(2)及第三机械臂(3)上的最大应力与材料许用弯曲应力的0.8倍的接近程度，l1为第一机械臂的臂长，b2、h2为第二机械臂(2)外截面的宽度及高度，b2e、h2e为第二机械臂(2)内腔的宽度及高度，b3、h3为第三机械臂(3)外截面的宽度及高度，b3e、h3e为第三机械臂(3)内腔的宽度及高度，
Figure FSB00000251907400013
分别为第二关节、第三关节的最大角加速度，
Figure FSB00000251907400014
分别为第一关节、第二关节、第三关节的最大角速度，7×107为比例系数；
使用***闭环模型获得第一机械臂(1)、第二机械臂(2)及第三机械臂(3)的平均控制能量指标：
J 3 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 1 m Ln ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | ) [ &Integral; 0 t fn | &tau; 1 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 2 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 3 ( t ) | dt ] ,
= f 3 ( l 1 , R 1 , r 1 , l 2 , b 2 , h 2 , b 2 e , h 2 e , l 3 , b 3 , h 3 , b 3 e , h 3 e , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 max , &theta; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; 3 max )
及平均控制时间指标
J 4 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 t fn ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | ) = f 4 ( l 1 , l 2 , l 3 , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; &CenterDot; 3 max , &theta; &CenterDot; 1 max , &theta; &CenterDot; 2 max , &theta; &CenterDot; 3 max ) ,
其中，200是指在给定设计要求的工作空间中随机选取400个点作为搬运任务的起止点，由此组成200组搬运任务工作点；n表示第n组搬运任务，mLn表示第n组搬运任务的负载质量，|θ1n|、|θ2n|、|θ3n|分别表示表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节的转动角度，τ1(t)、τ2(t)、τ3(t)分别表示完成第n组搬运任务第一关节、第二关节及第三关节在t时刻输出的电磁转矩，tfn表示完成第n组搬运任务的完成时间，R1、r1分别为圆筒形的第一机械臂(1)外半径及内半径，
Figure FSB00000251907400024
为第一关节的最大角加速度；
步骤2对工作空间性能指标、综合强度性能指标、平均控制能量指标及平均控制时间指标涉及的参数进行选择性优化，并建立多目标并行优化模型
首先，选择参数l2、l3、b2、h2、b3、h3、
Figure FSB00000251907400025
Figure FSB00000251907400026
作为设计变量，对
工作空间性能指标
J1＝λ1Rmin-λ2Rmax，
综合强度性能指标
J2＝|σ2Zmax-0.8[σ]|+|σ3Zmax-0.8[σ]|，
平均控制能量指标
J 3 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 1 m Ln ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | ) [ &Integral; 0 t fn | &tau; 1 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 2 ( t ) | dt + &Integral; 0 t fn | &tau; 3 ( t ) | dt ] ,
及平均控制时间指标
J 4 = 1 200 &Sigma; n = 1 200 t fn ( | &theta; 1 n | + | &theta; 2 n | + | &theta; 3 n | )
进行同时优化，得到多目标优化设计任务：
min J 1 ( x 1 ) min J 2 ( x 2 ; x 1 , x 3 ) min J 3 ( x 3 ; x 1 , x 2 ) min J 4 ( x 3 ; x 1 ) s . t &phi; 1 &le; 0 ; &phi; 2 &le; 0 ; &phi; 3 &le; 0
其中，x1是由设计变量l2、l3组成的向量，
Figure FSB00000251907400032
称之为臂长设计向量，其中，
Figure FSB00000251907400033
的下标1表示设计向量x1，上标1表示设计向量x1的第一分量，
Figure FSB00000251907400034
的下标1表示设计向量x1，上标2表示设计向量x1的第二分量；x2是由设计变量b2、h2、b3、h3组成的向量，
Figure FSB00000251907400035
称之为臂的厚度设计向量，其中，
Figure FSB00000251907400036
的下标2表示设计向量x2，上标1表示设计向量x2的第一分量，
Figure FSB00000251907400037
的下标2表示设计向量x2，上标2表示设计向量x2的第二分量，
Figure FSB00000251907400038
的下标2表示设计向量x2，上标3表示设计向量x2的第三分量，
Figure FSB00000251907400039
的下标2表示设计向量x2，上标4表示设计向量x2的第四分量；x3是由设计变量
Figure FSB000002519074000310
组成的向量，
Figure FSB000002519074000311
称之为关节的运动学能力设计向量，
Figure FSB000002519074000312
的下标3表示设计向量x3，上标1表示设计向量x3的第一分量，
Figure FSB000002519074000313
的下标3表示设计向量x3，上标2表示设计向量x3的第二分量，
Figure FSB000002519074000314
的下标3表示设计向量x3，上标3表示设计向量x3的第三分量，
Figure FSB000002519074000315
的下标3表示设计向量x3，上标4表示设计向量x3的第四分量，
Figure FSB000002519074000316
的下标3表示设计向量x3，上标5表示设计向量x3的第五分量，的下标3表示设计向量x3，上标6表示设计向量x3的第六分量；φ1为第一约束条件向量，φ1＝[(l2-l3)-dmin，dmax-(l2+l3)，l3-l2，-l2，-l3]T，这里，dmin＝0.2，dmax＝1.5，分别代表对所设计的机械臂工作空间最小半径与最大半径的设计要求，其值根据具体的设计需要进行调整；φ2为第二约束条件向量，φ2＝[h2e-h2，b2e-b2，h3e-h3，b3e-b3]T；φ3为第三约束条件向量
Figure FSB000002519074000318
其次，将约束条件与工作空间性能指标J1、综合强度性能指标J2、平均控制能量指标J3及平均控制时间指标J4进行合并转化，得到广义工作空间性能指标Z1，广义综合强度性能指标Z2，广义平均控制能量指标Z3及广义平均控制时间指标Z4：
Z 1 = max { 0 , J 1 - J 1 * } + &sigma; 1 &Sigma; m = 1 5 max { 0 , &phi; 1 m } 2 Z 2 = max { 0 , J 2 - J 2 * } + &sigma; 2 &Sigma; m = 1 4 max { 0 , &phi; 2 m } 2 Z 3 = max { 0 , J 3 - J 3 * } + &sigma; 3 &Sigma; m = 1 6 max { 0 , &phi; 3 m } 2 Z 4 = max { 0 , J 4 - J 4 * }
其中，
Figure FSB00000251907400042
分别是工作空间性能指标J1、综合强度性能指标J2、平均控制能量指标J3及平均控制时间指标J4的期望值，
Figure FSB00000251907400043
分别表示第一约束条件向量的第m个元素、第二约束条件向量的第m个元素、第三约束条件向量的第m个元素；σ1为第一罚系数，σ1＝1000；σ2为第二罚系数，σ2＝1000；σ3为第三罚系数，σ3＝1000；
步骤3用控制方法获得多目标优化设计参数
建立控制律1： v 1 , i = k 1 1 e 1 , i - 1 o 1 , i - 1 1 + k 1 2 e 2 , i - 1 o 1 , i - 1 2 + k 1 3 e 3 , i - 1 o 1 , i - 1 3 + k 1 4 e 4 , i - 1 o 1 , i - 1 4
其中，v1，i为第i次迭代时臂长设计向量x1的调整量，
Figure FSB00000251907400045
的第一下标1和上标1表示该调整量是对设计向量x1中的第一设计变量
Figure FSB00000251907400047
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure FSB00000251907400048
的第一下标1和上标2表示该调整量是对设计向量x1中的第二设计变量
Figure FSB00000251907400049
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律1产生的调整量v1，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 1 , i 1 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 1 | ,
0 < | v 1 , i 2 | &le; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 1 , i - 1 2 | ,
如果 | v 1 , i 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | , v 1 , i 1 = sign ( x 1 , i - 1 1 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 1 | ,
| v 1 , i 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | , v 1 , i 2 = sign ( x 1 , i - 1 2 ) &times; 0.04 | x 1 , i - 1 2 | ;
其中，
Figure FSB000002519074000418
表示设计向量x1的第一设计分量
Figure FSB000002519074000419
第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB000002519074000420
表示设计向量x1的第二设计分量
Figure FSB000002519074000421
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整值v1，i调整臂长设计向量x1，得到第i次迭代后设计向量x1的值x1，i＝x1，i-1+v1，i；e1，i-1为广义工作空间性能指标Z1在第i-1次迭代后的值Z1，i-1与目标值0的误差，e1，i-1＝0-Z1，i-1；
e2，i-1为广义综合强度性能指标Z2在第i-1次迭代后的值Z2，i-1与目标值0的误差，e2，i-1＝0-Z2，i-1；
e3，i-1为广义平均控制能量指标Z3在第i-1次迭代后的值Z3，i-1与目标值0的误差，e3，i-1＝0-Z3，i-1；
e4，i-1为广义平均控制时间指标Z4在第i-1次迭代后的值Z4，i-1与目标值0的误差，e4，i-1＝0-Z4，i-1；
Figure FSB00000251907400051
为误差值e1，i-1相对于设计向量值x1，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400052
Figure FSB00000251907400053
的上标1表示广义工作空间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB00000251907400054
时广义工作空间性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x1，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400056
Figure FSB00000251907400057
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB00000251907400058
时广义综合强度性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure FSB00000251907400059
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x1，i-1的偏导数的符号向量，
Figure FSB000002519074000510
Figure FSB000002519074000511
的上标3表示广义平均控制能量指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB000002519074000512
时广义平均控制能量性能指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure FSB000002519074000513
为误差值e4，i-1相对于设计向量值x1，i-1的偏导数的符号向量，
Figure FSB000002519074000514
Figure FSB000002519074000515
的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标1表示臂长设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB000002519074000516
时广义平均控制时间指标的误差值及臂长设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure FSB000002519074000517
为误差值e1，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure FSB000002519074000518
上标1表示广义工作空间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure FSB00000251907400061
Figure FSB00000251907400062
为误差值e2，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure FSB00000251907400063
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure FSB00000251907400064
Figure FSB00000251907400065
为误差值e3，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure FSB00000251907400066
上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure FSB00000251907400067
Figure FSB00000251907400068
为误差值e4，i-1在控制律1中的比例系数，
Figure FSB00000251907400069
上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标1表示控制律1，并且令
Figure FSB000002519074000610
建立控制律2： v 2 , i = k 2 2 e 2 , i - 1 o 2 , i - 1 2 + k 2 3 e 3 , i - 1 o 2 , i - 1 3
其中，v2，i为第i次迭代时臂厚设计向量x2的调整量，
Figure FSB000002519074000613
的第一下标2和上标1表示该调整量是对设计向量x2中的第一设计分量的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure FSB000002519074000615
的第一下标2和上标2表示该调整量是对设计向量x2中的第二设计分量
Figure FSB000002519074000616
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure FSB000002519074000617
的第一下标2和上标3表示该调整量是对设计向量x2中的第三设计分量
Figure FSB000002519074000618
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure FSB000002519074000619
的第一下标2和上标4表示该调整量是对设计向量x2中的第四设计分量
Figure FSB000002519074000620
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律2产生的调整量v2，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 2 , i 1 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 1 | ,
0 < | v 2 , i 2 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 2 | ,
0 < | v 2 , i 3 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 3 | ,
0 < | v 2 , i 4 | &le; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 2 , i - 1 4 | ;
如果 | v 2 , i 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | , v 2 , i 1 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 1 | ,
| v 2 , i 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | , v 2 , i 2 = sign ( x 2 , i - 1 2 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 2 | ,
| v 2 , i 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | , v 2 , i 3 = sign ( x 2 , i - 1 3 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 3 | ,
| v 2 , i 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | , v 2 , i 4 = sign ( x 2 , i - 1 1 ) &times; 0.02 | x 2 , i - 1 4 | ;
其中，
Figure FSB000002519074000637
表示设计向量x2的第一设计分量
Figure FSB000002519074000638
第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB000002519074000639
表示设计向量x2的第二设计分量第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB00000251907400072
表示设计向量x2的第三设计分量
Figure FSB00000251907400073
第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB00000251907400074
表示设计向量x2的第四设计分量
Figure FSB00000251907400075
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整值v2，i调整臂厚设计向量，得到第i次迭代后设计向量x2的值x2，i＝x2，i-1+v2，i；
Figure FSB00000251907400076
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x2，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400078
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB00000251907400079
时广义综合强度性能指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure FSB000002519074000710
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x2，i-1的偏导数的符号向量，
Figure FSB000002519074000711
Figure FSB000002519074000712
的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标2表示臂厚设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB000002519074000713
时广义平均控制能量指标的误差值及臂厚设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure FSB000002519074000714
为误差e2，i-1在控制律2中的比例系数，
Figure FSB000002519074000715
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令
Figure FSB000002519074000717
为误差e3，i-1在控制律2中的比例系数，
Figure FSB000002519074000718
上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标2表示控制律2，并且令
Figure FSB000002519074000719
建立控制律3： v 3 , i = k 3 2 e 2 , i - 1 o 3 , i - 1 2 + k 3 3 e 3 , i - 1 o 3 , i - 1 3 + k 3 4 e 4 , i - 1 o 3 , i - 1 4
其中，v3，i为第i次迭代时关节运动学能力设计向量x3的调整量，
Figure FSB000002519074000721
Figure FSB000002519074000722
的第一下标3和上标1表示该调整量是对设计向量x3中的第一设计分量
Figure FSB000002519074000723
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure FSB000002519074000724
的第一下标3和上标2表示该调整量是对设计向量x3中的第二个设计分量
Figure FSB000002519074000725
的调整量，第二下标i表示迭代次数，
Figure FSB000002519074000726
的第一下标3和上标3表示该调整量是对设计向量x3中的第三设计分量的调整量，第二下标i表示迭代次数，的第一下标3和上标4表示该调整量是对设计向量x3中的第四设计分量
Figure FSB000002519074000729
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
Figure FSB00000251907400081
的第一下标3和上标5表示该调整量是对设计向量x3中的第五设计分量
Figure FSB00000251907400082
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
Figure FSB00000251907400083
的第一下标3和上标6表示该调整量是对设计向量x3中的第六设计分量
Figure FSB00000251907400084
的调整量，第二下标i表示迭代次数；
对控制律3产生的调整量v3，i的调整幅度进行修正：
如果 0 < | v 3 , i 1 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | ,
0 < | v 3 , i 2 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | ,
0 < | v 3 , i 3 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | ,
0 < | v 3 , i 4 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | ,
0 < | v 3 , i 5 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | ,
0 < | v 3 , i 6 | &le; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | ;
如果 | v 3 , i 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 1 | , v 3 , i 1 = sign ( x 3 , i - 1 1 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 1 | ,
| v 3 , i 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 2 | , v 3 , i 2 = sign ( x 3 , i - 1 2 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 2 | ,
| v 3 , i 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 3 | , v 3 , i 3 = sign ( x 3 , i - 1 3 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 3 | ,
| v 3 , i 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 4 | , v 3 , i 4 = sign ( x 3 , i - 1 4 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 4 | ,
| v 3 , i 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 5 | , v 3 , i 5 = sign ( x 3 , i - 1 5 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 5 | ,
| v 3 , i 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , i - 1 6 | , v 3 , i 6 = sign ( x 3 , i - 1 6 ) &times; 0.01 | x 3 , i - 1 6 | ;
其中，表示设计向量x3的第一设计分量
Figure FSB000002519074000830
第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB000002519074000831
表示设计向量x3的第二设计分量第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB000002519074000833
表示设计向量x3的第三设计分量
Figure FSB000002519074000834
第i-1次迭代后的设计值，表示设计向量x3的第四设计分量
Figure FSB000002519074000836
第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB000002519074000837
表示设计向量x3的第五设计分量第i-1次迭代后的设计值，
Figure FSB000002519074000839
表示设计向量x3的第六设计分量
Figure FSB000002519074000840
第i-1次迭代后的设计值；
用修正后的调整量v3，i调整关节的运动学能力设计向量x3，计算第i次迭代后设计向量x3的值x3，i＝x3，i-1+v3，i；
Figure FSB00000251907400091
为误差值e2，i-1相对于设计向量值x3，i-1的负导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400092
的上标2表示广义综合强度性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB00000251907400094
时广义综合强度性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure FSB00000251907400095
为误差值e3，i-1相对于设计向量值x3，i-1的偏导数的符号向量，
Figure FSB00000251907400096
的上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，第一下标3表示运动学能力设计向量，第二下标i-1表示在计算
Figure FSB00000251907400098
时广义平均控制能量性能指标的误差值及运动学能力向量的值为第i-1次迭代后的值；
Figure FSB00000251907400099
为误差值e4，i-1相对于设计向量值x3，i-1的偏导数的符号向量，
Figure FSB000002519074000911
的上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，第一下标3表示设计向量，第二下标i-1表示在计算时广义平均控制时间性能指标的误差值及运动学能力设计向量的值为第i-1次迭代后的值；
为误差值e2，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure FSB000002519074000914
上标2表示广义综合强度性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure FSB000002519074000916
为误差值e3，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure FSB000002519074000917
上标3表示广义平均控制能量性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure FSB000002519074000918
Figure FSB000002519074000919
为误差值e4，i-1在控制律3中的比例系数，
Figure FSB000002519074000920
上标4表示广义平均控制时间性能指标的误差，下标3表示控制律3，并且令
Figure FSB000002519074000921
利用控制律1、控制律2、控制律3对臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、关节运动学能力设计向量x3进行第一次优化设计：
为臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、关节运动学能力设计向量x3赋初始设计值，得到向量x1，0、向量x2，0、向量x3，0；
为各性能指标期望值
Figure FSB000002519074000922
赋第一次多目标优化设计的参考值
Figure FSB000002519074000923
Figure FSB000002519074000924
得到
Figure FSB000002519074000925
Figure FSB000002519074000926
Figure FSB000002519074000928
对于
Figure FSB000002519074000929
其第一下标1表示工作空间性能表，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于
Figure FSB00000251907400101
其第一下标2表示综合强度性能指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于，其第一下标3表示平均控制能量指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计，对于，其第一下标4表示平均控制时间指标，第二下标1表示第一次多目标优化设计；
由第一次多目标优化设计的参考值
Figure FSB00000251907400104
及x1，0、x2，0、x3，0计算得到各广义性能指标的初始值Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0；如果Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0不全部为零，则进入步骤3.1；如果Z1，0、Z2，0、Z3，0、Z4，0全部为零，则设计向量x1、x2、x3的初始值x1，0、x2，0、x3，0即为多目标优化设计参数的值；
步骤3.1对设计变量组成的向量x1、x2、x3进行第一次迭代，迭代次数i＝1：
首先，由控制律1
Figure FSB00000251907400105
及对控制律1产生的调整量v1，1幅度修正方法：
如果 0 < | v 1,1 1 | &le; 0.01 | x 1,0 1 | , v 1,1 1 = sign ( x 1,0 1 ) &times; 0.01 | x 1,0 1 | ,
0 < | v 1,1 2 | &le; 0.01 | x 1,0 2 | , v 1,1 2 = sign ( x 1,0 2 ) &times; 0.01 | x 1,0 2 | ,
如果 | v 1,1 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,0 1 | , v 1,1 1 = sign ( x 1,0 1 ) &times; 0.04 | x 1,0 1 | ,
| v 1,1 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,0 2 | , v 1,1 2 + sign ( x 1,0 2 ) &times; 0.04 | x 1,0 2 | ;
生成对向量x1的第一次迭代的调整值v1，1，再用调整值v1，1调整向量x1，得到向量x1第一次迭代后的值x1，1＝x1，0+v1，1；这里，e1，0为广义工作空间性能指标在初始时刻的值Z1，0与目标值0的误差，e1，0＝0-Z1，0；e2，0为广义综合强度性能指标在初始时刻的值Z2，0与目标值0的误差，e2，0＝0-Z2，0；e3，0为广义平均控制能量指标在初始时刻的值Z3，0与目标值0的误差，e3，0＝0-Z3，0；e4，0为广义平均控制时间指标在初始时刻的值Z4，0与目标值0的误差，e4，0＝0-Z4，0；
Figure FSB000002519074001014
为误差值e1，0相对于设计向量值x1，0的负导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001015
为误差值e2，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001017
Figure FSB000002519074001018
为误差值e3，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400111
Figure FSB00000251907400112
为误差值e4，0相对于设计向量值x1，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400113
其次，由控制律2
Figure FSB00000251907400114
及对控制律2产生的调整量v2，1的幅度修正方法：
如果 0 < | v 2,1 1 | &le; 0.01 | x 2,0 1 | , v 2,1 1 = sign ( x 2,0 1 ) &times; 0.01 | x 2,0 1 | ,
0 < | v 2,1 2 | &le; 0.01 | x 2,0 2 | , v 2,1 2 = sign ( x 2,0 2 ) &times; 0.01 | x 2,0 2 | ,
0 < | v 2,1 3 | &le; 0.01 | x 2,0 3 | , v 2,1 3 = sign ( x 2,0 3 ) &times; 0.01 | x 2,0 3 | ,
0 < | v 2,1 4 | &le; 0.01 | x 2,0 4 | , v 2,1 4 = sign ( x 2,0 4 ) &times; 0.01 | x 2,0 4 | ;
如果 | v 2,1 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 1 | , v 2,1 1 = sign ( x 2,0 1 ) &times; 0.02 | x 2,0 1 | ,
| v 2,1 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 2 | , v 2,1 2 = sign ( x 2,0 2 ) &times; 0.02 | x 2,0 2 | ,
| v 2,1 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 3 | , v 2,1 3 = sign ( x 2,0 3 ) &times; 0.02 | x 2,0 3 | ,
| v 2,1 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,0 4 | , v 2,1 4 = sign ( x 2,0 4 ) &times; 0.02 | x 2,0 4 | ;
生成对臂厚设计向量x2的第一次迭代的调整值v2，1，用调整值v2，1调整臂厚设计向量x2，得到向量x2的第一次迭代后的值x2，1＝x2，0+v2，1；这里，
Figure FSB000002519074001121
为误差值e2，0相对于设计向量值x2，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001122
Figure FSB000002519074001123
为误差值e3，0相对于设计向量值x2，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001124
再次，由控制律3
Figure FSB000002519074001125
及对控制律3产生的调整量v3，1的幅度修正方法：
如果 0 < | v 3,1 1 | &le; 0.01 | x 3,0 1 | , v 3,1 1 = sign ( x 3,0 1 ) &times; 0.01 | x 3,0 1 | ,
0 < | v 3,1 2 | &le; 0.01 | x 3,0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3,0 2 ) &times; 0.01 | x 3,0 2 | ,
0 < | v 3,1 3 | &le; 0.01 | x 3,0 3 | , v 3,1 3 = sign ( x 3,0 3 ) &times; 0.01 | x 3,0 3 | ,
0 < | v 3,1 4 | &le; 0.01 | x 3,0 4 | , v 3,1 4 = sign ( x 3,0 4 ) &times; 0.01 | x 3,0 4 | ,
0 < | v 3,1 5 | &le; 0.01 | x 3,0 5 | , v 3,1 5 = sign ( x 3,0 5 ) &times; 0.01 | x 3,0 5 | ,
0 < | v 3,1 6 | &le; 0.01 | x 3,0 6 | , v 3,1 6 = sign ( x 3,0 6 ) &times; 0.01 | x 3,0 6 | ;
如果 | v 3,1 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 1 | , v 3,1 1 = sign ( x 3,0 1 ) &times; 0.1 | x 3,0 1 | ,
| v 3,1 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 2 | , v 3,1 2 = sign ( x 3,0 2 ) &times; 0.1 | x 3,0 2 | ,
| v 3,1 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 3 | , v 3,1 3 = sign ( x 3,0 3 ) &times; 0.1 | x 3,0 3 | ,
| v 3,1 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 4 | , v 3,1 4 = sign ( x 3,0 4 ) &times; 0.1 | x 3,0 4 | ,
| v 3,1 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 5 | , v 3,1 5 = sign ( x 3,0 5 ) &times; 0.1 | x 3,0 5 | ,
| v 3,1 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,0 6 | , v 3,1 6 = sign ( x 3,0 6 ) &times; 0.1 | x 3,0 6 | ;
生成对关节运动学能力设计向量x3的第一次调整值v3，1，用调整值v3，1调整关节运动学能力设计向量x3，得到设计向量x3的第一次迭代后的值x3，1＝x3，0+v3，1；这里，
Figure FSB000002519074001219
为误差值e2，0相对于x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001220
Figure FSB000002519074001221
为误差值e3，0相对于设计向量值x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001222
Figure FSB000002519074001223
为误差值e4，0相对于设计向量值x3，0的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001224
最后，在得到设计向量x1、x2、x3的第一次迭代后的向量值x1，1、x2，1、x3，1之后，计算第一次调整后各广义性能的值Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1，如果Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1不全部为零，则进入步骤3.2；如果Z1，1、Z2，1、Z3，1、Z4，1全部为零，则所得到的向量x1、x2、x3的第一次迭代的值x1，1、x2，1、x3，1为多目标优化设计参数；
步骤3.2对设计变量组成的向量x1、x2、x3进行第二次迭代，迭代次数i＝2：
首先，由控制律1
Figure FSB000002519074001225
及对控制律1产生的调整量v1，2幅度修正方法：
如果 0 < | v 1,2 1 | &le; 0.01 | x 1,1 1 | , v 1,2 1 = sign ( x 1,1 1 ) &times; 0.01 | x 1,1 1 | ,
0 < | v 1,2 2 | &le; 0.01 | x 1,1 2 | , v 1,2 2 = sign ( x 1,1 2 ) &times; 0.01 | x 1,1 2 | ,
如果 | v 1,2 1 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,1 1 | , v 1,2 1 = sign ( x 1,1 1 ) &times; 0.04 | x 1,1 1 | ,
| v 1,2 2 | &GreaterEqual; 0.04 | x 1,1 2 | , v 1,2 2 = sign ( x 1,1 2 ) &times; 0.04 | x 1,1 2 | ;
生成对向量x1的第二次迭代的调整值v1，2，再用调整值v1，2调整向量x2，得到第二次迭代后设计向量x1的值x1，2＝x1，1+v1，2；这里，e1，1为广义工作空间性能指标在第一次迭代后的值Z1，1与目标值0的误差，e1，1＝0-Z1，1；e2，1为广义综合强度性能指标在第一次迭代后的值Z2，1与目标值0的误差，e2，1＝0-Z2，1；e3，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z3，1与目标值0的误差，e3，1＝0-Z3，1；e4，1为广义平均控制能量性能指标在第一次迭代后的值Z4，1与目标值0的误差，e4，1＝0-Z4，1；
Figure FSB00000251907400137
为误差值e1，1相对于设计向量值x1，1的负导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400138
Figure FSB00000251907400139
为误差值e2，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001310
Figure FSB000002519074001311
为误差值e3，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001312
Figure FSB000002519074001313
为误差值e4，1相对于设计向量值x1，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001314
其次，由控制律2
Figure FSB000002519074001315
及对控制律2产生的调整量v2，2的幅度修正方法：
如果 0 < | v 2,2 1 | &le; 0.01 | x 2,1 1 | , v 2,2 1 = sign ( x 2,1 1 ) &times; 0.01 | x 2,1 1 | ,
0 < | v 2,2 2 | &le; 0.01 | x 2,1 2 | , v 2,2 2 = sign ( x 2,1 2 ) &times; 0.01 | x 2,1 2 | ,
0 < | v 2,2 3 | &le; 0.01 | x 2,1 3 | , v 2,2 3 = sign ( x 2,1 3 ) &times; 0.01 | x 2,1 3 | ,
0 < | v 2,2 4 | &le; 0.01 | x 2,1 4 | , v 2,2 4 = sign ( x 2,1 4 ) &times; 0.01 | x 2,1 4 | ;
如果 | v 2,2 1 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 1 | , v 2,2 1 = sign ( x 2,1 1 ) &times; 0.02 | x 2,1 1 | ,
| v 2,2 2 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 2 | , v 2,2 2 = sign ( x 2,1 2 ) &times; 0.02 | x 2,1 2 | ,
| v 2,2 3 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 3 | , v 2,2 3 = sign ( x 2,1 3 ) &times; 0.02 | x 2,1 3 | ,
| v 2,2 4 | &GreaterEqual; 0.02 | x 2,1 4 | , v 2,2 4 = sign ( x 2,1 4 ) &times; 0.02 | x 2,1 4 | ;
生成设计向量x2进行第二次迭代的调整值
Figure FSB00000251907400143
再用调整值v2，2调整设计向量x2的值，得到第二次迭代后设计向量x2的值x2，2＝x2，1+v2，2；这里，为误差值e2，1相对于设计向量值x2，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400145
为误差值e3，1相对于设计向量值x2，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400147
再次，由控制律3
Figure FSB00000251907400148
及对控制律3产生的调整量v3，2的幅度修正方法：
如果 0 < | v 3,2 1 | &le; 0.01 | x 3,1 1 | , v 3 , 2 1 = sign ( x 3,1 1 ) &times; 0.01 | x 3,1 1 | ,
0 < | v 3,2 2 | &le; 0.01 | x 3,1 2 | , v 3 , 2 2 = sign ( x 3,1 2 ) &times; 0.01 | x 3,1 2 | ,
0 < | v 3,2 3 | &le; 0.01 | x 3,1 3 | , v 3 , 2 3 = sign ( x 3,1 3 ) &times; 0.01 | x 3,1 3 | ,
0 < | v 3,2 4 | &le; 0.01 | x 3,1 4 | , v 3 , 2 4 = sign ( x 3,1 4 ) &times; 0.01 | x 3,1 4 | ,
0 < | v 3,2 5 | &le; 0.01 | x 3,1 5 | , v 3 , 2 5 = sign ( x 3,1 5 ) &times; 0.01 | x 3,1 5 | ,
0 < | v 3,2 6 | &le; 0.01 | x 3,1 6 | , v 3 , 2 6 = sign ( x 3,1 6 ) &times; 0.01 | x 3,1 6 | ;
如果 | v 3,2 1 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 1 | , v 3,2 1 = sign ( x 3,1 1 ) &times; 0.1 | x 3,1 1 | ,
| v 3 , 1 2 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3 , 0 2 | , v 3 , 1 2 = sign ( x 3 , 0 2 ) &times; 0.1 | x 3 , 0 2 | ,
| v 3,2 3 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 3 | , v 3,2 3 = sign ( x 3,1 3 ) &times; 0.1 | x 3,1 3 | ,
| v 3,2 4 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 4 | , v 3,2 4 = sign ( x 3,1 4 ) &times; 0.1 | x 3,1 4 | ,
| v 3,2 5 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 5 | , v 3,2 5 = sign ( x 3,1 5 ) &times; 0.1 | x 3,1 5 | ,
| v 3,2 6 | &GreaterEqual; 0.1 | x 3,1 6 | , v 3,2 6 = sign ( x 3,1 6 ) &times; 0.1 | x 3,1 6 | ;
生成设计向量x3的第二次迭代的调整值，再用调整值v3，2调整设计向量x3的值，得到第二次迭代后向量x3的值x3，2＝x3，1+v3，2；这里，
Figure FSB000002519074001433
为e2，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB000002519074001434
Figure FSB000002519074001435
为误差值e3，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400151
为误差值e4，1相对于设计向量值x3，1的负偏导数对应的符号向量，
Figure FSB00000251907400153
最后，用得到的设计向量x1、x2、x3第二次迭代后的值x1，2、x2，2、x3，2，计算第二次迭代后各广义性能的值Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2，如果Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2不全部为零，则进入步骤3.3；如果Z1，2、Z2，2、Z3，2、Z4，2全部为零，则所得到的向量x1、x2、x3的第二次迭代的值x1，2、x2，2、x3，2即为多目标优化设计参数的值；
步骤3.3依此类推，通过控制律1及对控制律1产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x1进行第j次迭代的调整值v1，j；通过控制律2及对控制律2产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x2进行第j次迭代的调整值v2，j；通过控制律3及对控制律3产生的调整量幅度的修正方法，生成设计向量x3进行第j次迭代的调整值v3，j；重复上述迭代，如果在100次迭代内通过调整臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的值可以使广义工作空间性能指标Z1、广义综合强度性能指标Z2、广义平均控制能量指标Z3、广义平均控制时间指标Z4的值同时为零，则获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的设计值；如果在100次迭代内无法使得广义工作空间性能指标Z1、广义综合强度性能指标Z2、广义平均控制能量指标Z3、广义平均控制时间指标Z4的值同时为零，则进入步骤3.4，直到各广义性能在100次迭代内使得广义性能指标Z1、Z2、Z3、Z4的值同时为零，获得最终获得使各性能同时得到优化的臂长设计向量x1、臂厚设计向量x2、运动学能力设计向量x3的最终设计值；
步骤3.4对各性能指标期望值
Figure FSB00000251907400154
的期望值进行第n-1次调整后进行第n次优化设计，令
Figure FSB00000251907400155
Figure FSB00000251907400156
Figure FSB00000251907400157
n为优化设计的次数，对设计向量x1、x2、x3进行第n次优化设计，重复步骤3.1～步骤3.3。
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