WO2021185159A1

WO2021185159A1 - 一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法

Info

Publication number: WO2021185159A1
Application number: PCT/CN2021/080356
Authority: WO
Inventors: 刘屿; 郑小惠; 徐瑞峰; 瞿弘毅; 姚科
Original assignee: 华南理工大学; 广州现代产业技术研究院
Priority date: 2020-03-18
Filing date: 2021-03-12
Publication date: 2021-09-23
Also published as: US20220234198A1; US12017357B2; CN111360830A; CN111360830B

Abstract

一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，包括：根据动力学特征构建柔性机械臂的动力学模型；构建由多个柔性机械臂组成的柔性机械臂组，指定其中一个柔性机械臂作为领导者，其余作为跟随者，跟随者需跟踪领导者的运动轨迹以实现协同工作，结合李雅普诺夫方法，构造基于协同控制的边界控制器，实现柔性机械臂的协同工作，并抑制柔性机械臂的振动；利用李雅普诺夫直接法，构造Lyapunov函数，验证柔性机械臂在控制器作用下的稳定性。该基于协同跟踪的振动控制方法能够有效抑制柔性机械臂的振动，并且跟随者能够跟踪领导者的运动轨迹，实现多个柔性机械臂协同控制效果。

Description

一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法

技术领域

本发明涉及振动控制技术领域，具体涉及一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法。

背景技术

柔性结构有着重量轻、能耗低等优点，因而被广泛地应用于机械臂、机械工程、航天器等工程领域。柔性机械臂在工业领域有着重要的应用，如机器人、机械工程、航空航天等。在柔性机械臂研究中，通常将欧拉-伯努利梁作为基础模型。由于外部扰动的作用产生的弹性形变，会导致柔性机械臂长时间持续的弹性振动，影响***的正常工作。因此减少或消除柔性机械臂的弹性变形与振动，是一个需要解决的问题。柔性机械臂是典型的分布式参数***，即模型参数与工作特性是时间与空间坐标的函数，所以在弹性振动中其动力学响应比较复杂。研究柔性机械臂的振动控制，能够使其在实际工程中获得较高的精度。

协同跟踪指的是多个目标同时跟踪指定目标的运动轨迹，达到协同的效果。在实际工业中，通常有多个柔性机械臂同时工作，如何从控制方面，使得多个柔性机械臂达到协同跟踪的效果，并且能够抑制振动，是一个亟待解决的问题。

目前对于柔性机械臂的振动控制研究大多是采用PID控制、鲁棒控制等方法，关于多个柔性机械臂组成的柔性机械臂组的基于协同跟踪的振动控制方法却鲜少报道。因而本发明的研究，将为柔性机械臂在机器人、机械工程等领域的协同跟踪及振动控制方面提供理论参考。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，提供一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法。

本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：

一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，所述的协同跟踪振动控制方法包括下列步骤：

根据柔性机械臂的动力学特征，构建柔性机械臂的动力学模型；

基于所述的柔性机械臂，构建由多个柔性机械臂构建的柔性机械臂组，指定其中一个柔性机械臂作为领导者，其余作为跟随者，跟随者跟踪领导者的运动轨迹；

基于所述的柔性机械臂，构造基于协同跟踪的边界控制器；

基于所述的柔性机械臂和边界控制器，构建柔性机械臂的Lyapunov函数；

根据所述的Lyapunov函数，验证所述的柔性机械臂的稳定性。

进一步地，所述的动力学特征包括柔性机械臂的动能、势能以及非保守力对所述的柔性机械臂所做的虚功，将动能、势能、虚功代入哈密顿原理，得到柔性机械臂的动力学模型方程为

其中，w _i(x,t)为第i个柔性机械臂在坐标系xoy下的振动偏移量，

分别表示w _i(x,t)对时间的一次导数和二次导数，简写为

和

w′ _i(x,t) _、w″ _i(x,t)、w″′ _i(x,t)、w″″ _i(x,t)分别表示w _i(x,t)对x的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数，简写为w′ _i、w″ _i、w″′ _i、w″″ _i，ρ为柔性机械臂的单位长度均匀质量，m为柔性机械臂的尖端质量，l为机械臂的长度，r为刚性轮毂的半径，I _h为轮毂惯性，θ _i、

分别表示第i个柔性机械臂的姿态角及其对时间的一次导数、二次导数，T为张力，EI为弯曲刚度，γ为粘性阻尼系数 _，w″′ _i(0,t)、w″″ _i(0,t)表示w″′ _i(x,t)、w″″ _i(x,t)在x＝0处的值，w _i(l,t)表示w _i(x,t)在x＝l处的值，u _2i为位于柔性机械臂固定端位置的控制器；

边界条件如下：

w _i(0,t)＝w′ _i(0,t)＝w″ _i(l,t)＝0

其中，

分别表示

在x＝l处的值，w′ _i(l,t)、w″ _i(l,t)分别表示w′ _i(x,t)、w″ _i(x,t)在x＝l处的值，w _i(0,t)为w _i(x,t)在x＝0处的值，w′ _i(0,t)表示w′ _i(x,t)在x＝0处的值，u _1i为位于柔性机械臂尖端位置的控制器。

进一步地，构建由多个柔性机械臂组成的柔性机械臂组，指定其中某个柔性机械臂为领导者，其余作为跟随者，构造边界控制器，具体如

定义辅助变量为

其中，a _ij是邻接矩阵A中下标为(i,j)的元素，邻接矩阵A表征各个作为跟随者的柔性机械臂之间的关系，A＝[a _ij]∈R ^k×k是一个非负矩阵，定义为如果两个柔性机械臂之间存在信息交流，则a _ij＞0，否则，a _ij＝0；b _i0是对角矩阵B中下标为(i,j)的元素，对角矩阵B表征各个作为跟随者的柔性机械臂与领导者之间的关系，B＝diag(b ₁₀,b ₂₀,…,b _k0)是一个非负对角矩阵，定义为如果作为跟随者的柔性机械臂与领导者之间存在信息交流，则b _i0＞0，否则，b _i0＝0；ν是一个正常数，θ ₀为作为领导者的柔性机械臂的姿态角，θ _i、θ _j分别为第i个及第j个柔性机械臂的姿态角；

定义广义跟踪误差、第二跟踪误差、虚拟控制量分别为

e _1i＝θ _i-θ _ri，

其中，θ _ri为辅助角，

为θ _ri对时间的一次导数；

定义以下变量

y _ei(x,t)＝(r+x)e _1i+w _i；

将y _ei(x,t)简写为y _ei；

构造边界控制器为

其中，

为y _ei(x,t)对时间的一次导数，

为

在x＝l处的值，S _1i和S _2i分别为

其中，

y _ei(l,t)分别为

y _ei(x,t)在x＝l处的值，α、β、k _m、k _p1、k _p3、k _d均为控制参数且为非负数。

进一步地，基于所述的柔性机械臂和边界控制器，构建柔性机械臂的Lyapunov函数，具体如下：

V _i＝V _1i+V _2i+V _3i；

其中，

进一步地，根据所述的Lyapunov函数，验证所述的柔性机械臂的稳定性，具体如下：

通过验证Lyapunov函数的正定性，得出所述的柔性机械臂具有Lyapunov理论下的稳定；

通过验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，得出所述的柔性机械臂具有渐进稳定。

进一步地，所述的边界控制器配置为抑制柔性机械臂的振动，并且作为跟随者的柔性机械臂能够跟踪作为领导者的柔性机械臂的运动轨迹的方式实现协同控制。

本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：

本发明提出了一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，与传统的控制方法相比，基于协同跟踪的振动控制方法可以实现多个柔性机械臂***组成的柔性机械臂组的协同跟踪效果，且能抑制柔性机械臂自身的振动。本发明所设计的控制方法包含了两个边界控制器，一个主要用于抑制振动，另一个主要用于姿态跟踪，两个边界控制器产生期望输出的控制输入，能有效改善柔性机械臂***的控制质量，同时实现协同跟踪。通过调节增益参数，可以实现柔性机械臂的稳定，说明所设计的边界控制器具有很好的控制效果，有利于提高其在工业中的控制精度及协同跟踪效果。

附图说明

图1是本发明实施例提供的针对柔性机械臂的基于协同跟踪的振动控制方法的流程示意图；

图2是本发明实施例中柔性机械臂的结构示意图；

图3是本发明实施例中柔性机械臂组的网络拓扑示例图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

参阅图1，图1是本发明实施例公开的基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法的流程示图，包括以下步骤：

S101、根据柔性机械臂动力学特征，构建柔性机械臂的动力学模型。

如附图2所示，一种典型的柔性机械臂，其柔性机械臂的左侧边界固定于坐标原点，简称为固定端，右侧边界可搭载负载，简称为尖端，而边界控制器u _1i和u _2i分别作用于柔性机械臂的尖端及左侧位置。柔性机械臂长度为l，其在xoy坐标系的振动偏移量为w _i(x,t)，在XOY坐标系的振动偏移量为y _i(x,t)。

柔性机械臂的动能为

其中，E _ki为第i个柔性机械臂的动能，ρ为柔性机械臂的单位长度均匀质量，y _i(x,t)、

分别为第i个柔性机械臂在XOY坐标系下在时间t位置为x时的弹性形变及其对时间的导数，简写为y _i和

为y _i(x,t)在x＝l处的值，m为柔性机械臂的尖端质量，l为机械臂的长度，r为刚性轮毂的半径，I _h为轮毂惯性，θ _i、

分别表示姿态角及其对时间的导数。

柔性机械臂的势能为

其中，w _i(x,t)为第i个柔性机械臂在坐标系xoy下的振动偏移量，简写为w _i，w′ _i(x,t)、w″ _i(x,t)分别表示w _i(x,t)对x的一次导数、二次导数，简写为w′ _i、w″ _i，T为张力，EI为弯曲刚度。

以及非保守力对所述的柔性机械臂所做的虚功表示为

其中，δ为变分符号，γ为粘性阻尼系数，u _1i、u _2i分别表示位于柔性机械臂尖端及固定端位置的控制器，y _i(l,t)为y _i(x,t)在x＝l处的值。

将动能、势能、虚功代入哈密顿原理，得到柔性机械臂的动力学模型方程为：

其中，

分别表示w _i(x,t)对时间的一次导数和二次导数，简写为

和

w″′ _i(x,t)、w″″ _i(x,t)分别表示w _i(x,t)对x的三次导数和四次导数，简写为w″′ _i、w″″ _i，

表示姿态角θ _i对时间的二次导数，w″′ _i(0,t)、w″″ _i(0,t)表示w″′ _i(x,t)、w″″ _i(x,t)在x＝0处的值，w _i(l,t)表示w _i(x,t)在x＝l处的值，

边界条件如下：

w _i(0,t)＝w′ _i(0,t)＝w″ _i(l,t)＝0 (7)

其中，

分别表示

在x＝l处的值,w′ _i(l,t)、w″ _i(l,t)分别表示w′ _i(x,t) _、w″ _i(x,t)在x＝l处的值，u _1i为位于柔性机械臂尖端位置的控制器，w _i(0,t)为w _i(x,t)在x＝0处的值，w′ _i(0,t)表示w′ _i(x,t)在x＝0处的值。

S102、基于所述的柔性机械臂，构建由多个柔性机械臂组成的柔性机械臂组，指定其中的领导者及跟随者，构造基于协同跟踪的柔性机械臂的边界控制器。

如附图3所示，指定编号为0的柔性机械臂为领导者，其余编号的柔性机械臂为跟随者，跟随者需跟踪领导者的运动轨迹，实现多个柔性机械臂协同工作的效果，其箭头符号表示各个柔性机械臂的信息交流关系，用邻接矩阵A及对角矩阵B进行表示。邻接矩阵A表示作为跟随者的柔性机械臂之间的信息交流关系，对角矩阵B表示作为追随者的柔性机械臂与领导者之间的信息交流关系。

为了减少或消除柔性机械臂的振动并实现多个柔性机械臂协同跟踪，构造基于协同跟踪的边界控制器。具体为：

定义辅助变量为

其中，A＝[a _ij]∈ ^k×k是一个非负矩阵，定义为如果两个柔性机械臂之间存在信息交流，则a _ij＞0，否则，a _ij＝0；B＝diag(b ₁₀,b ₂₀,…,b _k0)是一个非负对角矩阵，定义为如果作为跟随者的柔性机械臂与领导者之间存在信息交流，则b _i0＞0，否则，b _i0＝0；ν是一个正常数，θ ₀为作为领导者的柔性机械臂的姿态角，θ _i、θ _j为第i个及第j个柔性机械臂的姿态角。

定义广义跟踪误差、第二跟踪误差、虚拟控制量分别为

e _1i＝θ _i-θ _ri (9)

其中，

为θ _ri对时间的一次导数；

定义以下变量

y _ei(x,t)＝(r+x)e _1i+w _i (12)

将y _ei(x,t)简写为y _ei；

构造边界控制器为

其中，

为y _ei(x,t)对时间的一次导数，

为

在x＝l处的值，S _1i和S _2i分别为

其中，

y _ei(l,t)分别为

y _ei(x,t)在x＝l处的值，α、β、k _m、k _p1、k _p3、k _d为所述边界控制器的增益参数且值均大于0。

现有的关于柔性机械臂的振动控制研究大多是针对单个柔性机械臂***的，而且很多采用的是PID控制、鲁棒控制等方式。在本实施例中，通过辅助变量表示各个柔性机械臂之间的信息交流关系，进一步构造两个分别位于固定端及尖端位置的边界控制器，不仅能实现振动抑制效果，还能实现多个柔性机械臂协同跟踪的效果。以上所有信号均可通过传感器或计算得到。

S103、基于柔性机械臂和边界控制器，构建柔性机械臂的Lyapunov函数；

构建Lyapunov函数为

V _i＝V _1i+V _2i+V _3i (16)

其中，V _1i、V _2i、V _3i分别为

S104、根据Lyapunov函数，验证柔性机械臂的稳定性；该步骤利用李雅普诺夫直接法验证柔性机械臂的稳定性。

本实施例中，柔性机械臂满足预设要求，即通过验证Lyapunov函数的正定性，得出柔性机械臂具有Lyapunov理论下的稳定；

通过验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，得出柔性机械臂具有渐进稳定。

本实施例中，验证Lyapunov函数的正定性，方法如下：

根据不等式

可以得到

根据式(16)可以得到Lyapunov函数为正定的，即

其中，

Lyapunov函数V _i(t)的正定性得证。

验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，具体为

求V _i(t)对时间的导数为

分别对式(6)中的V _1i、V _2i和V _3i求时间的导数，可得

与

最终相加得到

为

其中，η和σ为正常数。

选择合适的参数如下

可得

即

是半负定的。

由式(21)可得

λ ₁(V _1i+V _2i+V _3i)≤V _i≤λ ₂(V _1i+V _2i+V _3i) (25)

其中，

当λ满足下列条件

将式(25)两边同时乘以e ^λt，经过整理计算可得

因而，当

时，

成立。

根据以上的分析，基于协同跟踪的柔性机械臂的稳定性得证。

需要说明的是，请参阅图2和图3，图2为本发明实施例中的柔性机械臂示意图。图3为柔性机械臂组的网络拓扑示例图，主要表示各个柔性机械臂的信息交流关系。如图3所示，考虑一个由6个柔性机械臂组成的柔性机械臂组，其中，编号为0的柔性机械臂作为领导者，其余编号的柔性机械臂为跟随者，编号为1和2的跟随者与编号为0的领导者存在信息交流，编号为3、4、5的跟随者分别与编号1、2、3的跟随者存在信息交流。各个柔性机械臂之间的信息交流关系采用邻接矩阵A和对角矩阵B进行表示，其中，邻接矩阵A表示作为跟随者的柔性机械臂之间的信息交流关系，对角矩阵B表示作为追随者的柔性机械臂与领导者之间的信息交流关系。A＝[a _ij]∈R ^k×k是一个非负矩阵，定义为如果两个柔性机械臂之间存在信息交流，则a _ij＞0，否则，a _ij＝0。B＝diag(b ₁₀,b ₂₀,…,b _k0)是一个非负对角矩阵，定义为如果作为跟随者的柔性机械臂与领导者之间存在信息交流，则b _i0＞0，否则，b _i0＝0。

选择合适的增益参数，验证所述Lyapunov函数的正定性和Lyapunov函数一阶导数的负定性。

在本实施例中，可利用MATLAB仿真软件对所述柔性机械臂进行数字仿真，得到所述仿真结果；根据仿真结果，验证对柔性机械臂施加控制作用后的控制效果是否符合预期；若符合，则可结束该操作，若不符合，则修正边界控制器的增益参数，重新进行数字仿真。

综上所述，本实施例提供了一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，包括构建柔性机械臂的动力学模型；构建由多个柔性机械臂组成柔性机械臂组，指定其中的领导者及追随者，确定信息交流关系，构造基于协同跟踪的边界控制器，分别位于柔性机械臂的固定端及尖端位置；在控制作用下验证柔性机械臂的稳定性；本发明能够实现柔性机械臂更稳定、精确的控制，并能实现柔性机械臂协同跟踪的效果。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims

一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，所述的协同跟踪振动控制方法包括下列步骤：

根据柔性机械臂的动力学特征，构建柔性机械臂的动力学模型；

基于所述的柔性机械臂，构建由多个柔性机械臂构建的柔性机械臂组，指定其中一个柔性机械臂作为领导者，其余作为跟随者，跟随者跟踪领导者的运动轨迹；

基于所述的柔性机械臂，构造基于协同跟踪的边界控制器；

基于所述的柔性机械臂和边界控制器，构建柔性机械臂的Lyapunov函数；

根据所述的Lyapunov函数，验证所述的柔性机械臂的稳定性。
根据权利要求1所述的一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，所述的动力学特征包括柔性机械臂的动能、势能以及非保守力对所述的柔性机械臂所做的虚功，将动能、势能、虚功代入哈密顿原理，得到柔性机械臂的动力学模型方程为

其中，w _i(x,t)为第i个柔性机械臂在坐标系xoy下的振动偏移量，

分别表示w _i(x,t)对时间的一次导数和二次导数，简写为
和
w′ _i(x,t)、w″ _i(x,t)、w″′ _i(x,t)、w″″ _i(x,t)分别表示w _i(x,t)对x的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数，简写为w′ _i、w″ _i、w″′ _i、w″″ _i，ρ为柔性机械臂的单位长度均匀质量，m为柔性机械臂的尖端质量，l为机械臂的长度，r为刚性轮毂的半径，I _h为轮毂惯性，θ _i、
分别表示第i个柔性机械臂的姿态角及其对时间的一次导数、二次导数，T为张力，EI为弯曲刚度，γ为粘性阻尼系数，w″′ _i(0,t)、w″″ _i(0,t)表示w″′ _i(x,t)、w″″ _i(x,t)在x＝0处的值，w _i(l,t)表示w _i(x,t)在x＝l处的值，u _2i为位于柔性机械臂固定端位置的控制器；

边界条件如下：

w _i(0,t)＝w′ _i(0,t)＝w″ _i(l,t)＝0

其中，
分别表示
在x＝l处的值，w′ _i(l,t)、w″ _i(l,t)分别表示w′ _i(x,t)、w″ _i(x,t)在x＝l处的值，w _i(0,t)为w _i(x,t)在x＝0处的值，w′ _i(0,t)表示w′ _i(x,t)在x＝0处的值，u _1i为位于柔性机械臂尖端位置的控制器。
根据权利要求1所述的一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，构建由多个柔性机械臂组成的柔性机械臂组，指定其中某个柔性机械臂为领导者，其余作为跟随者，构造边界控制器，具体如

定义辅助变量为

其中，a _ij是邻接矩阵A中下标为(i,j)的元素，邻接矩阵A表征各个作为跟随者的柔性机械臂之间的关系，A＝[a _ij]∈R ^k×k是一个非负矩阵，定义为如果两个柔性机械臂之间存在信息交流，则a _ij＞0，否则，a _ij＝0；b _i0是对角矩阵B中下标为(i,j)的元素，对角矩阵B表征各个作为跟随者的柔性机械臂与领导者之间的关系，B＝diag(b ₁₀,b ₂₀,…,b _k0)是一个非负对角矩阵，定义为如果作为跟随者的柔性机械臂与领导者之间存在信息交流，则b _i0＞0，否则，b _i0＝0；ν是一个正常数，θ ₀为作为领导者的柔性机械臂的姿态角，θ _i、θ _j分别为第i个及第 j个柔性机械臂的姿态角；

定义广义跟踪误差、第二跟踪误差、虚拟控制量分别为

e _1i＝θ _i-θ _ri，

其中，θ _ri为辅助角，
为θ _ri对时间的一次导数；

定义以下变量

y _ei(x,t)＝(r+x)e _1i+w _i；

将y _ei(x,t)简写为y _ei；

构造边界控制器为

其中，
为y _ei(x,t)对时间的一次导数，
为
在x＝l处的值，S _1i和S _2i分别为

其中，
y _ei(l,t)分别为
y _ei(x,t)在x＝l处的值，α、β、k _m、k _p1、k _p3、k _d均为控制参数且为非负数。
根据权利要求3所述的一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，基于所述的柔性机械臂和边界控制器，构建柔性机械臂的Lyapunov函数，具体如下：

V _i＝V _1i+V _2i+V _3i；

其中，
根据权利要求1所述的一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，根据所述的Lyapunov函数，验证所述的柔性机械臂的稳定性，具体如下：

通过验证Lyapunov函数的正定性，得出所述的柔性机械臂具有Lyapunov理论下的稳定；

通过验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，得出所述的柔性机械臂具有渐进稳定。
根据权利要求1所述的一种基于协同跟踪的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，

所述的边界控制器配置为抑制柔性机械臂的振动，并且作为跟随者的柔性机械臂能够跟踪作为领导者的柔性机械臂的运动轨迹的方式实现协同控制。