TWI775428B - 極座標至球座標轉換方法 - Google Patents

Abstract

一種座標轉換方法，由一處理器或由一配備電腦之裝置實施，至少藉一餘緯角極值、一半徑極值以及一鏡片組之有效焦距f，決定球座標之餘緯角θ與該極座標之半徑r間的關係式，其係包含：決定該餘緯角極值以及對應的該半徑極值；根據該半徑極值與該有效焦距與該餘緯角極值的乘積，決定一轉換常數s；以及使所述餘緯角θ=(r/f)/[1+s．(r/f)²]。

Description

極座標至球座標轉換方法

本創作係關於一種座標轉換方法；特別關於一種使用簡易數學公式之座標轉換方法，特別在於它的高適應性。

隨著消費性電子產品的蓬勃發展，相關攝像裝置亦日趨微型化，例如：原先需多顆鏡頭才能完成全景(panoramic)拼貼的攝像設備，也在魚眼鏡頭(fisheye camera)與數位訊號處理器(Digital Signal Processor,DSP)的搭配下，成功將全景攝像裝置縮小至掌上型的尺寸。

理論上，透過鏡頭立體角(solid angle)與二維影像感測器像素(pixel)座標間的幾何關係，各角度的影像皆可透過三角函數的運算轉換出來。在2006年即有J.Kannala & S.S.Brandt揭示的魚眼鏡頭轉換公式(DOI：10.1109/TPAMI.2006.153)。如「第1圖」所示，立體角的方向係以球座標(spherical coordinate)的餘緯角(colatitude)θ以及方位角(azimuth)Φ表示；此方向的入射光經鏡片組LS以折射角β聚焦於二維影像感測器PX上，其極座標(polar coordinate)上的半徑r=f．tan(β)，其中，f為該鏡片組LS的有效焦距。

因應不同的拍攝需求，所述餘緯角θ與所述半徑r的關係大致可分為三種模型，其中，第I型為正交投影(orthogonal projection)r=f．sinθ；第II型為平射投影(stereographic projection)r=f．2．tan(θ/2)；以及第III型為等立 體角投影(equisolid angle projection)r=f．2．sin(θ/2)。

若鏡頭前兩倍f處放置一方格紙，其上有41×41條的正交直線(間隔為f)，依序套用所述第I、II、III型的投影關係後，於該二維影像感測器PX上即呈現如「第2圖」由左至右的圖形。一般手機附加的魚眼鏡頭多為第I型(最左圖)，雖能在不同角度呈現正交的影像，但是邊緣畫質被嚴重壓縮，不足以一般解析度還原；視訊會議或全景影像常用的魚眼鏡頭多為第II型(中圖)，透過組合高差異性鏡片，雖犧牲一些鏡頭正前方的畫質，但可提升邊緣的解析度；另外，也有在鏡頭前方±60°內(i.e. field angle 120°)盡可能地呈現等大小的第III型(最右圖)。

魚眼鏡頭拍攝的二維影像，一般會經過DSP處理成後級設備能讀取的全景影像格式；或是直接將像素數據送至終端機(例如：個人電腦等計算機設備)，再轉換成各種角度的影像。不論是前期的硬體處理還是後期的軟體處理，都需要將二維影像座標轉換成入射光的方向，或者是反過來，將外部要求的立體角所對應的二維影像切割下來，而其中最為重要且所含誤差最大的就是所述半徑r與所述餘緯角θ間的轉換。

根據J.Kannala & S.S.Brandt所揭示的多項式(polynomial)轉換法，顯示至少需到九階才能將所述半徑r從小角度到大角度完整轉換r(θ)

k₁．θ+k₂．θ³+k₃．θ⁵+k₄．θ⁷+k₅．θ⁹。這五個轉換參數k₁,k₂,...,k₅，加上光軸偏移與球面偏差的兩個校正參數，一共有七個變數要與實際結果作比對，以找出二維影像座標至所述餘緯角θ以及所述方位角Φ的轉換矩陣(matrix)。

然而實際應用時，七個變數極難取得穩定數值解(numerical solution)，因此J.Kannala & S.S.Brandt最後建議使用三階近似法，r(θ)

k₁．θ+ k₂．θ³，降低不確定性。雖然三階近似法較能得到穩定的數值解，但高階項次造成的過度配適(overfitting)，如何影響座標轉換的還原情形，J.Kannala & S.S.Brandt並沒有多加詳述。

一種座標轉換方法，由一處理器或由一配備電腦之裝置實施，至少藉一餘緯角極值θ_max、一半徑極值r_max以及一鏡片組之有效焦距f，決定球座標之餘緯角(colatitude)θ與該極座標之半徑(radius)r間的關係式，其係包含：決定該餘緯角極值θ_max以及對應的該半徑極值r_max=r(θ_max)；根據該半徑極值r_max與該有效焦距與該餘緯角極值的乘積f．θ_max，決定一轉換常數s；以及使所述餘緯角θ=(r/f)/[1+s．(r/f)²]。所述球座標以及所述極座標實質上係透過該鏡片組LS進行轉換，例如：光線由所述餘緯角θ方向入射，經由該鏡片組LS屈折後，聚焦在該二維影像感測器PX上，以所述極座標(r,Φ)表示。而該有效焦距(effective focal length)f，即該鏡片組LS之光學基本面(principle plane)至成像平面(imaging plane)的距離。

其中，所述決定該餘緯角極值θ_max以及對應的該半徑極值r_max=r(θ_max)之意義，係包含：在大於π/9且小於π間決定該餘緯角極值θ_max；以及以偏移該鏡片組光軸有該餘緯角極值θ_max之入射光，找出投影在所述極座標上的該半徑極值r_max。

實際應用時，該鏡片組LS與該二維影像感測器PX組裝過程中或有誤差，並因此在不同的所述方位角Φ上產生不同的該半徑極值r_max(Φ)=r(θ_max,Φ)；若對應的該轉換常數s差異達10%以上，則不同方向的所述方位角Φ應使用不同的該轉換常數s。

在其一實施例中，係於r_max

f．θ_max，在0至0.08的範圍內決定該轉換常數s；以及於r_max<f．θ_max，在-0.1969至0的範圍內決定該轉換常數s。由於只需要掃描單一參數，且範圍不大，因此可使用習知的最小變異數(variance)找出最適合的該轉換常數s。更進一步地，於r_max<f．θ_max，在-0.1969至-0.0206的範圍內決定該轉換常數s。

更特別的是，該轉換常數s可由一關係因子c與一角度因子n組成，也就是s=c/n²；而且，該關係因子c大致維持在一小範圍內，同時，該角度因子n為一正整數，例如：1,2,3,...。除此之外，該半徑極值與該有效焦距和該餘緯角極值乘積之比例，也就是H_max=r_max/(f．θ_max)，與該角度因子平方倒數1/n²成正比或是反比。故，可以透過H_max找出最合適的該角度因子n以及該關係因子c，簡單以所述半徑r計算出所述餘緯角θ。

當H_max大致大於1時，H_max

0.993+1.096．(1/n²)；反之，H_max

1-0.399．(1/n²)，故能據此找出最接近的該角度因子n。接著，當H_max大致大於1時，在0.2860至0.3149範圍裡決定該關係因子c；反之，在-0.1969至-0.1851範圍裡決定該關係因子c。

c:關係因子

H:無單位半徑

H_max:無單位半徑極值

f:鏡片組有效焦距

k₁:一階項次係數

k₂:三階項次係數

k₃:五階項次係數

k₄:七階項次係數

k₅:九階項次係數

LS:鏡片組

n:角度因子

PX:二維影像感測器

r:半徑

r_max:半徑極值

s:轉換常數

T:無單位角

α:餘緯角除以角度因子

β:折射角

Φ:方位角

θ:餘緯角

θ_max:餘緯角極值

1096:依投影關係r(θ)=n．f．tan(θ/n)計算出的回歸直線

1851:以3．f．sin(θ/3)推算出之(7-2)變化曲線

1856:(6)等式右側之曲線

1916:第III型投影關係依(7-2)得出的最配適曲線

1969:第I型投影關係依(7-2)得出的最配適曲線

2860:第II型投影關係依(7-2)得出的最配適曲線

3149:以4．f．tan(θ/4)推算出之(7-2)之變化曲線

399:依投影關係r(θ)=n．f．sin(θ/n)計算出的回歸直線

4:(3-1)等號右側之曲線

490:(3-3)等號右側之曲線

63:(3-2)等號右側之曲線

第1圖係座標轉換之立體示意圖

第2圖係習知立體座標至二維座標三種投影模型示意圖

第3圖係本創作之公式(3-1)、(3-2)、(3-3)與(6)之關係圖

第4圖係本創作之公式(7-2)依第I、II、III投影關係之關係圖

第5圖係本創作以4．ftan(θ/4)與3．f．tan(θ/3)投影關係分別推算出之(7-2) 之變化曲線

第6圖係本創作以n．f．tan(θ/n)與n．f．tan(θ/n)投影關係計算出的無單位半徑極值H_max與1/n²的關係圖

本創作使用數學方式證明，從極座標系統到球座標系統可經由簡單運算公式轉換，同時具有高準確率以及普適性。本說明書係以常見的第I、II及III型投影關係，以及球座標上餘緯角0到π/2作為示範，該餘緯角極值θ_max=π/2且對應的該半徑極值r_max=r(θ_max)，但不能以此限定本創作之實施範圍。

首先，利用連續的倍角公式(double-angle formula)，可以得到第III型投影關係中的sin(θ/2)=8．sin(θ/16)．cos(θ/4)．cos(θ/8)．cos(θ/16)...(1)。由於θ/16

π/32<0.1，8．sin(θ/16)結果近似θ/2(θ的單位在此說明書中為弧度)；故，(1)可改寫為sin(θ/2)

(θ/2)．cos(θ/4)．cos(θ/8)．cos(θ/16)...(2)。

接著，利用畢氏定理cos²α+sin²α=1，加上在α<20°的範圍內，正弦函數四次方遠小於正弦函數二階多項式，(1/4)．sin⁴α<<1-sin²α；故，在上述範圍內，餘弦函數可以近似成正弦函數二階多項式cosα

[1-sin²α+(1/4)sin⁴α]=(1-0.5sin²α)...(3)。

請參照「第3圖」，點線由上至下分別為cos(θ/16)、cos(θ/8)與cos(θ/4)隨所述餘緯角θ的關係；而虛線4、63、490則為(3)中正弦函數二階多項式的變化，分別為cos(θ/16)

1-0.5sin²(θ/16)...(3-1)、cos(θ/8)

1-0.5sin²(θ/8)...(3-2)以及cos(θ/4)

1-0.52sin²(θ/4)...(3-3)。由於四分之一餘緯角中有部分角度大於20°，故其正弦函數二階係數由-0.5調整為 -0.52，以使其正弦函數二階多項式與餘弦函數差距的平方之算術平均值，也就是所謂的變異數(variance)是最小的。前述近似關係(3-1)、(3-2)以及(3-3)的變異數，其開根號後分別為百萬分之4、63與490，顯見餘弦函數與其正弦函數二階多項式之近似關係(3)，在α小於20°的範圍內，近似程度相當高。

前述近似關係(3-1)、(3-2)以及(3-3)，亦可再利用倍角公式cos(2α)=1-2sin²(α)，進一步地得到餘弦函數與其倍角餘弦函數的近似關係，也就是cos(θ/16)

1-0.25．[1-cos(θ/8)]、cos(θ/8)

1-0.25．[1-cos(θ/4)]以及cos(θ/4)

1-0.26．[1-cos(θ/2)]。再將等號右側餘緯角相關函數全部替換為cos(θ/2)，則變成cos(θ/16)

1-0.25．0.25．0.26．[1-cos(θ/2)]...(4-1)；cos(θ/8)

1-0.25．0.26．[1-cos(θ/2)]...(4-2)以及cos(θ/4)

1-0.26．[1-cos(θ/2)]...(4-3)。如此，(2)中連乘的餘弦函數即能全部近似為二分之一餘緯角的函數，也就是cos(θ/4)．cos(θ/8)．cos(θ/16)

1-(1+0.25+0.25²)．0.26．[1-cos(θ/2)]...(5)

從餘弦函數和正弦函數二階多項式的近似關係(3)，可以知道(5)中cos(θ/2)應該也能近似到正弦函數二階多項式，儘管二分之一餘緯角有超過一半的範圍係大於20°，仍可依最小變異數的方法找出(3)中正弦函數的二階係數為-0.59，也就是說cos(θ/2)

1-0.59sin²(θ/2)...(3-4)，且其變異數開根號為百萬分之8,838。繼續將(3-4)代入(5)以及(2)，可以得出sin(θ/2)

(θ/2)．[1-0.2013．sin²(θ/2)]...(6)。請參照「第3圖」之插圖，點線為sin(θ/2)函數而虛線1856則為(6)等式右側結果，且(6)左右兩側之最小變異數開根號為百萬分之1,856。

儘管二分之一餘緯角的餘弦函數與其正弦函數二階多項式 (3-4)之變異數開根號達百萬分之8,838，但此誤差並沒有遞延至(6)中；反而，得到五分之一的變異數。這是因為(4-1)、(4-2)與(4-3)中，二分之一餘緯角的餘弦函數的係數都小於0.26，在連乘後能大幅減少誤差值之關係。

傳統的座標轉換，僅有給定球座標方向以切割所屬像素之單方向轉換，而無該二維影像感測器上像素到球座標的反向轉換。然而，本創作之近似關係(6)，應用在第III型投影關係r(θ)=f．2．sin(θ/2)，則可進一步寫成θ

(r/f)/[1+c．(1/n)²．(r/f)²]...(7-1)；或是無單位形式T

H(T)/[1+c．(θ_max/n)²．H(T)²]...(7-2)，其中，無單位角T=θ/θ_max以及無單位半徑H=r(θ)/(f．θ_max)，且設c為一關係因子以及n為一角度因子(在第III型投影關係中c=-0.2013以及n=2)。其中，c．(1/n)²也能統稱為一轉換常數s，實施時，若有已知的若干個該無單位角T以及對應的無單位半徑H，就能透過掃描該轉換常數s，來得到最小變異數時的結果。這使像素到球座標的轉換，變得相當方便與也無須大量記憶體存取。

關於第II型投影關係，只需將(2)除以餘弦函數，tan(θ/2)

(θ/2)．cos(θ/2)．cos(θ/4)．cos(θ/8)．cos(θ/16)÷cos²(θ/2)；接著，一樣利用近似結果不佳的(3-4)，求得近似結果不錯的tan(θ/2)

(θ/2)．[1+0.2701．tan²(θ/2)]...(8)。第II型投影關係的無單位形式(7-2)中，該關係因子c為0.2701以及該角度因子n為2。

請參照「第4圖」，本創作藉由掃描該關係因子c分別找出最小變異數所對應的第I、II與III型投影關係中c=-0.1969、0.2860，以及-0.1916之變化曲線(虛線1969、2860以及1916)；且其變異數開根號，分別為百萬分之63,024、3,051以及1,357。圖中點線分別(7-2)左側該無單位角T，隨橫軸該 無單位半徑H在第I、II、III中的變化。

當投影關係變更為r(θ)=n．f．sin(θ/n)時，該關係因子c係趨近於-0.1851(n

3)；當投影關係變更為r(θ)=n．f．tan(θ/n)時，該關係因子c係趨近於0.3149(n

4)。實施時，在r_max<f．θ_max的案例中，該關係因子c應可從-0.1969至-0.1851中尋找到；在r_max>f．θ_max的案例中，該關係因子c應可從0.2860至0.3149中尋找到；當然，在r_max=f．θ_max的案例中，該關係因子c應可從-0.1851至0.2860中尋找到。

請參照「第5圖」，點線由左至右分別為該無單位角T隨橫軸之該無單位半徑H在r(θ)=4．f．tan(θ/4)與r(θ)=3．f．sin(θ/3)變化，而虛線3149以及1851則(7-2)分別以n=4與c=0.3149以及n=3與c=-0.1851為係數之變化曲線。在(7-2)中，當該關係因子c為正值，該無單位角T隨該無單位半徑H增大而呈凹向上增加；當該關係因子c為負值，該無單位角T隨該無單位半徑H增大而呈凸向下增加；以及當該角度因子n愈來愈大，該無單位角與該無單位半徑關係愈呈線性T

H，r也愈趨近於f．θ。

請參照「第6圖」，三角形以及圓形分別標示在投影關係r(θ)=n．f．tan(θ/n)以及r(θ)=n．f．sin(θ/n)中，H_max=r_max/(f．θ_max)隨橫軸1/n²=1/10²,1/9³,...,1/2²之變化；以及n=2至10間的回歸直線1096、399。投影關係r(θ)=n．f．tan(θ/n)的回歸直線斜率為1.096以及截距為0.993；以及投影關係r(θ)=n．f．sin(θ/n)的回歸直線斜率為-0.399以及截距為1。實施時，先根據該二維影像感測器PX上量測到的r_max與f．θ_max得出該無單位半徑極值H_max；再以H_max落於「第6圖」中何區間來決定最接近的該角度因子n，其中n為正整數。

得到了該角度因子n後，即能針對該無單位半徑極值H_max是 否大於1來決定該關係因子c的數值，例如：當H_max>1，0.2860

c

0.3149，或是當H_max<1，-0.1969

c

-0.1851，而其他，則是-0.1851

c

0.2860。實施時，在H_max>1時，n=2傾向選擇0.2860、n=3傾向選擇0.3134以及n

4傾向選取0.3149為該關係因子c；在H_max<1時，n=1傾向選擇-0.1969、n=2傾向選擇-0.1916以及n

3傾向選取-0.1851為該關係因子c。

在其一實施例中，得到了該角度因子n後，當H_max>1，將實際得到的複數個該無單位角T與對應的無單位半徑H代入(7-2)，並在0.2860到0.3149的範圍內掃描該關係因子c以求得最小變異數時的結果；以及當H_max<1，將實際得到的複數個該無單位角T與對應的無單位半徑H代入(7-2)，並在-0.1969到-0.1851的範圍內掃描該關係因子c以求得最小變異數時的結果。由於只有一個參數，掃描的範圍也很小，故掃描所花的時間並不算多。

在其一實施例中，使用兩個以上範圍的所述餘緯角極值θ_max以及對應的所述半徑極值r_max，計算出該等無單位半徑極值H_max=r_max/(f．θ_max)；接著，找出H_max在「第6圖」回歸直線上的位置，再選擇此位置最接近的正整數作為該等角度因子n，以便在不同的該無單位角T的範圍內，各自選擇其對應的該等關係因子c以及該等角度因子n，以實施(7-2)的轉換關係。

本創作透過數學方法，將所述半徑與所述餘緯角的投影關係經簡單公式計算出來，毋須費時費力進行掃描測試；特別在於，藉由該等無單位半徑極值H_max可將極座標至球座標轉換關係(7-2)中的該角度因子n得出。因此，即使該鏡片組LS與該二維影像感測器PX組裝發生誤差，也能使 用本創作之座標轉換方法，做為該轉換矩陣的初始化參數，節省搜尋及運算時間。本說明書係以無單位變數之關係式(7-2)說明，但任何以單位變數替換之變形關係式亦不脫本創作之範疇。

綜上所述，本創作之座標轉換方法，確已符合專利申請之要件，爰依法提出專利申請。惟以上所述者，僅為本創作之較佳實施例，當不能以此限定本創作實施之範圍；故，凡依本創作申請專利範圍及說明書內容所作之簡單的等效變化與修飾，皆應仍屬本創作專利涵蓋之範圍內。

1096:依投影關係r(θ)=n．f．tan(θ/n)計算出的回歸直線

399:依投影關係r(θ)=n．f．sin(θ/n)計算出的回歸直線

Claims (5)

1. 一種座標轉換方法，用以提供全景格式影像，其係包含以下步驟：提供一鏡片組及一二維影像感測器組合之鏡頭模組，用以聚焦入射光在該鏡片組之成像平面(imaging plane)，其中，該鏡片組光軸係通過該成像平面極座標(r,Φ)之原點，而該二維影像感測器係設於該成像平面上，且代表該入射光與該鏡片組光軸夾角之餘緯角(colatitude)θ最大值係大於(π/9)以及小於π；從該二維影像感測器傳送二維影像，至一處理器或一配備電腦之裝置，其中，該處理器或該裝置儲存有該鏡頭模組有關資訊，其係包含：代表該鏡片組光學基本面(principle plane)至該成像平面距離之有效焦距(effective focal length)f、代表該餘緯角最大值之餘緯角極值θ_max以及代表從θ_max角度入射後聚焦在該極座標之半徑極值r_max；利用該處理器或該裝置，決定一轉換常數s以及轉換該二維影像為該全景格式影像；以及輸出該全景格式影像，其中，該處理器或該裝置，係根據該鏡頭模組有關資訊決定該轉換常數s，以及依關係式θ=(r/f)/[1+s．(r/f)²]轉換該二維影像為該全景格式影像。
2. 如請求項1所述之座標轉換方法，其中，所述利用該處理器或該裝置決定一轉換常數s之意義，係包含：根據r_max與f．θ_max的比例，決定一角度因子n，且該角度因子為正整數；在r_max大致大於f．θ_max時，在0.2860至0.3149範圍裡決定一關係因子c；根在r_max大致小於f．θ_max時，在-0.1969至-0.1851範圍裡決定該關係因 子c；在上述二者以外的範圍時，在-0.1851至0.2860範圍裡決定該關係因子c；以及使該轉換常數s=c．(1/n)²。
3. 如請求項2所述之座標轉換方法，其中，所述決定一角度因子n以及一關係因子c之意義，其係包含：於r_max小於f．θ_max時，找出1-0.399．(1/n²)值最接近r_max/(f．θ_max)之該角度因子n，並令c=-0.1969在n=1、c=-0.1916在n=2以及c=-0.1851在n

   

   3；於r_max大於f．θ_max時，找出0.993+1.096．(1/n²)值最接近r_max/(f．θ_max)之該角度因子n，並令c=0.2860在n=2、c=0.3134在n=3以及c=0.3149在n

   

   4；以及以上之除外情形，令該角度因子n為大於等於4之正整數，並隨n由小到大在-0.1851至0.2860範圍選擇該關係因子c。
4. 如請求項2所述之座標轉換方法，其中，所述決定一角度因子n以及一關係因子c之意義，其係包含：於r_max小於0.993．f．θ_max時，找出1-0.399．(1/n²)值最接近r_max/(f．θ_max)之該角度因子n，並令c=-0.1969在n=1、c=-0.1916在n=2以及c=-0.1851在n

   

   3；於r_max大於f．θ_max時，找出0.993+1.096．(1/n²)值最接近r_max/(f．θ_max)之該角度因子n，並令c=0.2860在n=2、c=0.3134在n=3以及c=0.3149在n

   

   4；以及以上之除外情形，令該角度因子n為大於等於4之正整數，並隨n由小到大在-0.1851至0.2860範圍選擇該關係因子c。
5. 如請求項1所述之座標轉換方法，其中，所述利用該處理器或該裝置決定一轉換常數s之意義，係包含：於r_max大致大於f．θ_max，在0至0.08的範圍內決定該轉換常數s；以及於其他情形下，在-0.1969至0的範圍內決定該轉換常數s。

Images