KR100633555B1 - 신호 복구 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 신호에 대한 예측가능한 영향을 나타내는 예측함수와, 예측할 수 없는 노이즈를 나타내는 노이즈 함수를 갖는 주어진 데이터의 세트로부터 신호를 복구하는 방법에 관한 것이다. 이 방법은 감소된 변수의 세트를 갖는 예측함수를 생성하기 위해서, 초기 좌표 기저로부터의 데이터 및 신호의 좌표 기저를 변경하는 단계와, 복구 신호를 생성하기 위해서 포지티브와 네가티브 및 복소수 신호값을 조작할 수 있는 베이스의 복구를 실행하는 단계 및, 복구신호를 초기 좌표 기저로 되돌리게 치환하여 신호를 생성시키는 단계를 구비하는 것이다.

Description

신호 복구 방법{SIGNAL PROCESSING}

본 발명은 신호의 복구에 관한 것이다.

레이더와, 소나, 음향 데이터, 분광학, 지국물리학 및, 이미지신호 처리와 같은 다양한 적용 분야에서는 주어진 신호로부터 신호를 복구하는 것이 요구된다.

이들 경우에 있어서, 신호에 대한 노이즈의 영향과 신호를 생성시키는 시스템의 특성은 공지되거나 적절한 수학적인 모델을 사용하여 근사시킬 수 있다. 이와 같은 경우, 베이스의 복구 방법(Bayesian reconsturction method)이 주로 주어진 데이터로부터 신호를 복구하는데 사용되고 있다. 이들 방법은 기능이 잘 발휘될 수 있다. 예컨대, 최대 엔트로피 방법(MEM;maximum entropy method)으로 공지된 하나의 베이스의 접근이 공지되어 있는데, 이 방법은 기능이 잘 발휘된다. 통상, 최대 엔트로피 방법(MEM)은 엄밀히 비네가티브적이고 복소수가 아닌 신호를 복구하는데만 적용될 수 있다. 이와 같이 주어지면, 소정의 복구동안 데이터를 나타내는 소정의 벡터 공간에서 기저를 교환하는 것은 일반적으로 가능하지 않게된다. 이와 같이 하는 것이 불가능하다는 것은, 결정될 매우 많은 변수를 갖는 매우 큰 계산이 필요하기 때문에 컴퓨터적으로 매우 비싼 복구 처리를 채용하는 것으로 귀결된다.

예컨대, 마이크로스코프로부터의 20개의 이미지 스택에 대한 이러한 MEM의 채용은, 기준 인텔 펜티엄(INTEL^TM Pentium^TM) 200MHz 프로세서를 사용하여 50분의 영역을 취하게 된다.

본 발명은 감소된 시간 프레임 내에서 복구가 수행될 수 있도록 주어진 데이터로부터의 신호 복구를 개선하는 것이다.

본 발명에 따르면, 신호에 대한 예측 가능한 영향을 나타내는 예측함수와 예측할 수 없는 노이즈를 나타내는 노이즈함수로 주어진 세트의 데이터로부터의 신호를 복구하는 방법이 제공되는데, 이 방법은,

감소된 변수의 세트를 갖는 예측함수를 생성하기 위해서, 초기 좌표 기저로부터 데이터 및 신호의 좌표 기저를 변경하는 단계와,

복구 신호를 생성하기 위해서, 포지티브와 네가티브 및 복소수 신호값을 연산할 수 있는데 베이스의 복구를 실행하는 단계 및,

신호를 생성하기 위해서 복구신호를 초기 좌표 기저로 되돌려 변환하는 단계를 구비한다.

베이스의 복구는 퓨리에(Fourier) 기저를 사용하여 수행하거나, 웨이브릿(wavelet) 기저를 사용하여 수행될 수 있다.

베이스의 복구는 최대 엔트로피 방법을 채용할 수 있는데, 이 경우 이 방법은 평가 파라메터

를 채용할 수 있고, 이 파라메터는 이전의 복구로부터 결정되 거나, 고정된 값으로 설정되거나 또는 복구단계 동안 결정될 수 있다.

복구되는 신호는 이미지신호가 될 수 있고, 또한 래이더나, 소나 또는 음향 데이터 신호일 수 있다. 한편, 분광학적인 신호나 지구 물리학적인 신호일 수 있다.

본 발명에 따른 방법을 채용함으로써, 예컨대 20개의 마이크로스코프 이미지의 스택이 기준 인텔 팬티엄 프로세서를 사용하여 복구하기 위해서 대략 45초를 취한다.

베이스의 복구 방법은 넓은 분야의 다수의 문제에 적용된다. 그런데, 그 기준형태에 있어서, 베이스의 복구방법은 많은 변수의 복잡한 함수의 수치 극대화를 일반적으로 요구하므로, 계산적으로 매우 집약적이 될 수 있다. 예컨대, 이미지 복구 문제에 있어서, 10⁶개 까지의 변수는 드물지 않다. 더욱이, 가장 인기 있는 베이스의 복구 알고리즘 중 하나는 최대 엔트로피 방법(MEM)인데, 이 방법은 엄밀히 비-네가티브적인 신호(아래를 보라)의 복구에만 적용될 수 있다. 그런데, 이 방법은 포지티브와 네가티브값 모두를 택할 수 있는 신호로 확장될 수 있다. 포지티브나 네가티브 및 복소수 값을 취할 수 있는 신호 복구에 적용할 수 있는 MEM접근을 개발한다. 결과적으로, 이 MEM접근은 복구 알고리즘에서 유사성 변환의 사용을 가능하게 하므로 계산이 대안적인 "기저"에서 수행될 수 있게 하는데, 이는 고려되는 문제에 대해 보다 적합하다. 특히, 높은 차원성의 단일의 극대화 보다 낮은 차원성의 다수의 수치 극대화를 수행함으로써 신호가 복구되도록 기저가 선택된다. 이는 속도의 중대한 증가로 귀결된다. 실제로, 이하에 기술되는 예에 있어서는, 복구 알고리즘의 속도는 대략 100의 펙터로 증가된다.

상기된 기준 베이스의 복구 기술은, 몇몇 근본적인 신호 s(x)를 복구하기 위해서 주어진 데이터 세트 d(y)에 적용된다. 여기서, y는 데이터가 정의된 공간을 나타내고, x는 신호공간을 나타내는데, y는 일반적으로 x와 다르고, 동일한 수의 차원을 가질 필요가 없다. 예컨대, 시간 t의 함수로서 몇몇 량의 측정값으로 이루어지는 몇몇 데이터 스트림 d(t)이 주어지면, 몇몇 다른 양(또는 신호) s(x,y)의 2차원 공간 변화를 복구하기를 원하게 된다.

대부분의 측정에 있어서, (예컨대, 데이터 및 신호가 디지털 컴퓨터에서 기억/분석된다면) 데이터 및 신호를 디지털화하는 것이 편리하다 (또는 필요하다). 그러므로, 데이터를 N_d성분을 갖는 벡터 d로 나타낼 수 있는데, 여기서 N_d는 데이터 샘플의 수이다. 유사하게, 신호를 길이 N_s의 벡터 s로 나타내는데, 여기서 N_s는 신호가 복구되기 바라는 지점의 수이다.

일반적으로, 데이터 벡터를 신호벡터의 함수 θ로 표현할 수 있다. 예컨대,

d=θ(s)

로 표현할 수 있다.

이 함수 θ는 비선형일 수 있고, 복구되기 원하는 신호에 대한 측정장치의 영향을 명기한다. 일반적으로, 이 함수는 신호에 대한 측정장치의 예측가능한 영 향과 측정 과정의 고유한 부정확성에 기인하는 확률론적인 노이즈부분으로 나누어진다. 이 경우, 데이터 벡터는,

d=Φ(s)+ε (1)

로 표현할 수 있다.

여기서, Φ는 신호에 대한 장치의 예측가능한 응답이고, ε는 데이터에 대한 소정의 확률론적인 노이즈 기여를 포함하는 길이 N_d의 벡터이다.

신호를 복구하기 위한 베이스의 접근은 이후의 확률 Pr(s｜d)을 극대화시키는 평가자

를 계산하게 한다. 이는 다음과 같은 베이스의 정리에 의해 주어진다.

여기서, Pr(d｜s)는 신호를 주는 데이터를 얻는 가능도이고, Pr(s)는 이전의 확률이며, 에비던스(evidence) Pr(d)는 단지 정규화된 상수로 고려될 수 있다. 따라서, 신호벡터의 베이스의 평가자를 얻기 위해서, 가능도 함수와 이전의 확률의 곱, Pr(d｜s) Pr(s)를 극대화해야 한다. 베이스의 분석 기술의 전체적인 논의는 시비아(Sivia, 1996)에 의해 주어진다.

가능도 함수는 데이터에 대한 노이즈 기여 ε의 통계를 묘사한다. 이 함수는 노이즈 통계에 적합한 소정 형태를 취할 수 있다. Log-가능도 함수 L(s)=In[Pr(d｜s)]를 정의하는 것이 편리한데, 가능도 함수는 Pr(d｜s)=exp[L(s)]로 쓰여질 수 있다. 실시예로서, 데이터 상의 노이즈가 가우스-분포이고 노이즈 공분산 매트릭스 N에 의해 분포되면, 가능도 함수는,

(2)

의 형태를 취하게 된다.

여기서, (2)식의 두번째 줄의 표현은 (1)식을 대입한 표현식이다. 이 경우, Log-가능도 함수는 간단히 기준 χ² 미스핏 통계의 -1/2이다. 예컨대,

이다.

이전의 분포 Pr(s)는 데이터를 획득하기 전에 근원적인 신호에 대한 지식을 성문화한다. 신호의 통계적인 성질에 대한 몇몇 앞서가는 지식을 갖고 있다면, 이는 이전의 분포에 포함된다. 예컨대, 신호를 공분산 매트릭스 C로 가우스의 랜덤 필드에 의해 묘사되는 신호를 가정 하면, 이전의 분포는,

의 형태를 취하게 된다.

실제로, 이전의 분포가 이 형태를 갖고 가능도가 (2)식에서와 같이 가우스의 분포를 갖는다면, 그들의 곱을 극대화시킴으로써 얻어진 베이스의 평가자

는 기준 비에너 필터(Wiener filter) 해결책과 동일하게 된다. 비에너 필터 기술에 대 한 소개는 프레스(Press, 1994) 등에 의해 주어진다.

그런데, 데이터에 대한 노이즈 기여 ε가 흔히 가우스의 분포로 될 수 있음에도 불구하고, 이전의 분포에 대한 가우스의 형태의 가정은 일반적인 신호에 대해 유효하지 않는 것은 명백하다. 신호벡터 요소의 결합 확률 분포가 알려지면, 이는 이전의 분포로서 사용될 수 있다. 그런데, 이는 거의 불가능하고, 대신 정보-이론상의 고려만을 기초로 하는 일반적인 신호에 대해 적용할 수 있는 이전의 분포 배정을 조사한다.

부분집합 독립성과 좌표 불변성 및 시스템 독립성의 매우 일반적인 개념을 사용하면, 이전의 확률 Pr(s)는,

(3)

의 형태를 취하게 된다.

여기서, 차원상수

는 문제의 스케일링에 의존하고, 파라메터를 정규화시키는 것으로서 고려될 수 있으며, m은 소정 데이터의 부재하에서 베이스의 복구가 이행되지 않은 모델로 통상 작은 상수값으로 설정된다. 함수 S(s,m)은 신호와 모델벡터의 크로스 -엔트로피로서,

(4)

로 주어진다.

여기서, N_s는 (디지털화된) 신호벡터의 길이이다. 이 결과의 유도는 스킬링(Skilling, 1988)에 의해 주어진다. 엔트로피적인 이전의 확률을 가능도 함수와 조합시킴으로써, 신호의 베이스의 평가자는 S에 대해서 이후의 확률을 극대화함으로써 발견되는데, 이 이후의 확률은,

의 형태를 취한다.

따라서, 이 확률 분포를 극대화 하는 것은, 함수

F(s)=L(s)+

S(s,m) (5)

을 극대화는 것과 등가이고, 이는 최대 엔트로피 방법(MEM)의 기초를 형성한 다.

최대-엔트로피 방법은 넓은 범위의 신호 복구 문제에 적용된다. 그런데, 그 기준 형태에 있어서는, 계산적으로 매우 집약적으로 행해질 수 있다. 일반적으로, 함수 F(s)는 신호벡터의 성분 S_n의 복잡한 함수이므로, F(s)의 수치 극대화가 이 N_s차원 공간에 걸쳐 수행되야 한다. 특히, 이미지 복구 문제에 있어서, N_s가 N_s ^~10⁶차수로 되는 것은 드물지 않다. 더욱이, 엔트로피에 대한 (4) 표현식의 대수항의 존재로부터 명백한 바와 같이, 기준 MEM접근은 엄밀히 비네가티브적인 신호에 대해서만 적용할 수 있다.

그럼에도 불구하고, MEM을 확장시키는 것이 가능하므로, 포지티브 및 네가티브 값 모두를 취할 수 있는 신호의 복구에 적용될 수 있다. 소정의 성질을 갖는 포지티브/네가티브 신호에 대한 엔트로피의 정의는 걸과 스킬링(Gull & Skilling, 1990)에 의해 처음 소개되었다. 이 경우, 임의의 포지티브/네가티브 신호에 대한 일반화 및 이전 확률의 유도는 홉슨과 라센비(Hobson & Lasenby, 1998)에 의해 주어진다. 이전의 확률은 식(3)으로 주어지는 동일한 형태를 갖지만 엔트로피 S(s,m)에 대한 표현식은 변경되어야 한다. 중심적인 생각은, 엄밀히 비-네가티브한 분포만을 포함하는 2개의 벡터 u와 v의 편차로서 일반적인 (포지티브/네가티브) 신호벡터 s를 표현하는 것이다. 예컨대,

s=u-v

이다.

연속성 제한을 엔트로피 함수에 적용함으로써, 포지티브/네가티브 신호 s에 대한 엔트로피의 표현식이,

(6)

으로 주어지는 것이 가능하다.

여기서, m_u와 m_v는 각각 u와 v에 대한 분리 모델이고, 여기서

이다. 이러한 분포는 더 이상 완전한 측정으로서 고려될 수 없으므로, 모델 m_u와 m_v를 단일의 포지티브/네가티브 모델 m_s (say)로 대체하는 것이 바람직할 수는 없다. 그럼에도 불구하고, 편차 m_u-m_v를 신호 s에 대한 모델로서 여전히 고려될 수 있다. 걸과 스킬링(Gull & Skilling, 1990)에 의해 유도된 포지티브/네가티브 엔트로피의 형태가 m_u=m_v를 요구하는 것에 주의하자.

일반적인 포지티브/네가티브 신호에 대한 엔트로피적인 이전의 확률이 주어진다면, 복소수 신호에 대한 이전의 확률은, 상기 분석을 실수와 허수부로 분리하여 적용함으로써 간단하게 바로 정의된다. 이 경우, 모델 m_u 와 m_v가 또한 복소수로 취해진다. m_u의 실수 및 허수부는 각각 S의 실수 및 허수부의 포지티브 부분에 대한 모델이다. 유사하게, m_v의 실수 및 허수부는 이미지의 실수 및 허수부의 네가티브부분에 대한 모델이다. 그러면, 복소수 신호의 전체 엔트로피는 우선 s와 m_u 및 m_v의 실수부 그 다음 허수부를 사용하여 합(6)을 평가하고, 그 결과를 더함으로써 얻어진다.

MEM 접근을 사용하여 포지티브/네가티브 및 복소수 분포를 복구하는 능력은 MEM기술의 속도와 정확성 모두를 크게 개선시키기 위한 충분한 결과를 갖는다. 이들 개선은 신호 및 데이터공간 모두에서 기저의 변화를 만들고, 이 새로운 기저에서 베이스의 복구를 수행한다는 생각에 기초한다. 새로운 기저를 적절히 선택함으로써, 복구의 계산을 중대하게 촉진시키는 것이 가능한데, 이 복구의 계산은 신호의 최종 복구를 달성하기 위해서 신호공간에서의 초기 기저로 쉽게 되돌려질 수 있다. 예컨대, 복소수 신호를 복구하는 능력은 복소수 지수함수의 퓨리에 기저에서 복구를 수행하도록 허용하는데, 이는 공간적으로 변하는 포인트-스프레드 함수와 콘볼브(convolve)된 디-블러링(de-blurring) 이미지의 계산적인 복잡성을 크게 감소시킨다 (이하를 보자).

기저의 일반적인 변화가 어떻게 수행되는 지를 이해하기 위해서, 우선 선형 대수 및 벡터에서 몇몇 기본적인 결과를 상기 해야한다. 예컨대, 릴레이와 홉슨 및 벤스(Riley, Hobson & Bence, 1997)를 보자. 신호벡터의 N_s-차원공간에 대한 완전한 기저를 형성하는 선형 독립벡터 e⁽ⁿ⁾ (n=1,...N_s)가 존재한다면, 신호벡터를 이들 벡터의 가중된 합으로서 기재할 수 있다. 정식으로, e⁽ⁿ⁾을 n번째 요소가 1(unity)이고 그 밖에는 제로인 열벡터로 취하면, 신호벡터는,

로 기재할 수 있다.

따라서, 신호벡터를 복구하기 위해서, 이 자명한 기저에서 그 계수를 복구하는 것을 알 수 있다. 그런데, 신호벡터를 그 밖의 선형인 독립집합 벡터

(n=1,..., N_s)의 항으로 동일하게 잘 확장할 수 있다.

유사한 과정을 N_d-차원 데이터공간에서 수행할 수 있는데, 이 공간은 일반적으로 신호공간과 구별된다. 이 공간에서의 자명한 기저벡터 f⁽ⁿ⁾ (n=1,..., N_d)가, n번째 요소가 1이고 그 밖에는 제로이면, 데이터벡터는,

로 주어진다.

데이터 공간에서의 기저를 몇몇 다른 기저 f^(n)'로 변화시킴으로써, 이 데이터 벡터는,

로 된다.

또한, 노이즈벡터 ε가 데이터 공간에 속하므로, 기저의 유사한 변화가 노이즈벡터에 적용될 수 있다. 즉,

로 된다.

초기 기저에서 신호벡터의 요소 S_n이 엄밀히 비-네가티브라도, 새로운 기저에서의 요소 S^' _n는 일반적으로 포지티브 및 네가티브 값 모두를 취하게 된다. 더욱이, 새로운 기저 벡터가 복소수 성분을 갖는 경우, 계수 S^' _n 자체는 복소수로 될 수 있다. 그러므로, 이러한 양의 복구에 대한 MEM기술의 확장은 이 접근이 취해지도록 허용한다.

데이터와 신호공간에서 기저의 변화를 수행할 때, 성분 S^' _n 을 갖는 벡터를 S'로 나타내고, 유사하게 벡터 d'과 ε^'를 요소 d^' _n과 ε^' _n 를 각각 포함하는 것으로 정의한다. 신호공간에 있어서, 2개의 기저 e⁽ⁿ⁾과 e^{' (n)} (n=1,..., N_s)를,

로 연관시킬 수 있다.

여기서, U_in은 초기 (언프라임드) 기저에 대한 성분 e^{' (n)}의 i번째 성분이다.

그러면, 벡터 s^'과 s는,

s=Us^' (7)

로 연관된다.

유사한 결과가 데이터 공간의 기저 f⁽ⁿ⁾와 f^{' (n)} (n=1,..., N_d)에 대해,

d=Vd^' (8)

로 유지된다.

여기서, 요소 V_in은 언프라임된 기저에 대한 f^' _n의 성분이다. 노이즈 벡터 ε^'과 ε를 연관시키는 유사한 표현식이 있다. (7)과 (8)을 (1)에 대입하면,

d^'=Φ'(s')+ε^' (9)

를 얻게 된다.

여기서, Φ^'는 새로운 기저에서 신호와 데이터벡터를 연관시키는 새로운 함수이다.

확실히, 본 발명의 목적은 관계식 (9)가 가장 단순한 형태를 취하도록 데이터 및 신호공간에서 새로운 기저를 선택하는 것이다. 보다 형식적으로는, 각 공간을 매우 작은 차원성의 다수의 (유사의) 서로 소인(disjoint) 아공간으로 분리하는 데이터 및 신호공간에서 유사성 변환을 실행하는 것이 바람직하다. 그 다음, 이러한 기저에서, 각 아공간에서 수치 극대화를 분리하여 수행함으로써, 회전된 신호벡터의 평가

^'을 계산할 수 있다. 따라서, 새로운 베이스내의 각 아공간에 걸친 다수의 낮은 차원성 극대화에 의해 초기 기저에서 N_s-차원 신호공간에 걸친 단일의 극대화를 교체한다. 이는 복구 실행 속도의 상당한 증가를 이끈다. 그 다음, 이 새로운 기저에서 베이스의 복구가 계산되면, 초기 신호공간 기저로 회전시킴으로써 요구된 신호 복구

^'가 달성될 수 있다. 새로운 기저에서의 요소 S_m이 일반적으로 포지티브나 네가티브 또는 복소수 값을 취할 수 있으므로, 이 접근이 취해지도록 허락하는 이러한 양의 복구에 대한 MEM기술의 확장을 반복시킨다.

실시예로서, 공간적으로 불변하는 포인트 스프레드 함수(PSF)에 의해 블러(blurred)되고 몇몇 노이즈 기여를 포함할 수 있는 이미지의 디콘벌루션에 대 한 상기 베이스의 복구 기술의 적용을 고려하자. 단순성을 위해서, 일반적인 기술이 요구되지 않음에도 불구하고, 디블러된 복구가 이미지로서 동일한 픽셀화에서 생성되는 것으로 가정된다. 이 단순한 경우에 있어서, 데이터 및 신호공간은 일치된다.

공간적으로 불변하는 PSF로 기초를 이루는 이미지를 콘볼루션 하는 것은 그들의 퓨리에 변환과 함께 다중화하고, 역퓨리에변환을 실행하는 것과 등가라는 것이 공지되어 있다. 그러므로, 퓨리에 영역에 있어서, 각 퓨리에 모드는 다른 것에 독립적인 것으로 고려될 수 있다. 이는 퓨리에 기저에서 베이스의 복구를 수행하도록 제안한다. 즉,

데이터벡터 d^'과 d 및 노이즈벡터 ε과 ε^'의 성분을 연관시키는 유사한 표현식이 있다 (데이터 및 신호공간이 일치하므로). 따라서, 이 경우, N_s차원 신호(및 데이터) 공간은 N_s의 분리되고 서로 소인 공간(예컨대, 각 퓨리에 모드에 대해서 하나로)으로 분할된다.

이제, n의 다른 값에 대한 요소에 독립적으로 n(또는 퓨리에 모드)의 각 값에 대해서, 요소 d^' _n과 S^' _n 및 ε^' _n 을 고려할 수 있다. 이는 주어진 이미지를 디블러하는데 요구되는 CPU시간의 실질적인 감소를 이끈다. 간단하게, 선택한 퓨리에 모드에서, d^'과 S^' 및 ε^'각각에 의해 d^' _n 과 S^' _n 및 ε^' _n 를 나타낸다. 양 d^'은 진짜의 기초를 이루는 이미지의 퓨리에 계수, 또는 S'에 의해 간단하게 주어지고, PSF의 퓨리에 계수, 또는 응답 R에 의해 다중화된다. 더욱이, 퓨리에 영역에서의 노이즈 기여 ε^' 가 나타날 수 있다. 주어진 장치에서 기계적인 오차가 없으면, 컴퓨터에 저장하기 위해서 이미지를, 예컨대 디지털화함으로써 "노이즈"를 도입하는 것이 여전히 가능하다. 따라서, 데이터 값은,

d^'=Rs^'+ (10)

로 주어진다.

퓨리에 기저에서 복구를 수행하므로, 각 퓨리에 모드의 노이즈는 넓은 스케일범위의 기여를 포함하게 된다. 그러므로, 이미지상에 제공된 노이즈가 통계적으로 균등한 방법으로 분포되면, 그것상의 중심적인 제한으로부터 퓨리에 영역내의 노이즈가 가우스의 분포에 의해 알맞게 기술되는 것이 기대된다. 그러므로, 가능도 함수는,

로 주어진다.

여기서,

는 고려되는 특정 퓨리에 모드에서 노이즈 기여의 변화이다. 표현식 (6)으로부터, 이 복소수 "이미지" 의 엔트로피 S(s^',m)는,

로 주어진다 (여기서, m_u=m_u=m로 설정된다).

여기서,

과

는 각각 복소수의 실수 또는 허수부를 나타내고, 또한

이고, 유사한 표현식이

에 대해 존재한다.

가능도 및 이전의 확률에 대해 상기 표현식을 사용하고, 식(5)의 정규화된 파라미터

에 대한 특정 값을 가정하면, 각 퓨리에 모드에서 독립적으로 신호벡터의 평가자

를 얻기 위한 이후의 확률을 수치 극대화하는 것이 가능하다. 이들 평가자가 모든 퓨리에 모드에 대해 계산되면, 디블러된 이미지를 복구하기 위해 역 퓨리에 변환을 간단히 실행할 수 있다. 예컨대,

이다.

복구 알고리즘에서 사용되는

의 값은 3가지 다른 방법으로 설정될 수 있다. 우선,

는 관찰된 데이터와 복구로부터 예측된 데이터 사이의 미스핏 통계

가 그 기대값, 예컨대 맞춰지는 다수의 데이터 점과 동일하도록 설정될 수 있다. 통상, 이 선택은 "역사적인" MEM으로서 언급된다. 한편, 전제 공간에서 다른 파라메터로 간단하게 다룸으로써 완전하게 베이스의 방법(스킬링(skilling, 1988))에서

에 대한 적합한 값을 결정하는 것이 가능하다. 이는 추천되는 선택이고, 통상 "고전적인 " MEM으로서 간주된다. 최종적으로, 가장 단순한 옵션은 미리 몇몇 값에 대해

를 고정시키는 것이다. 이 옵션은 최적의 결과를 만드는 것 갖지는 않다. 그런데,

에 대한 역사적인 또는 고전적인 값이 이미 이전의 경우에서 특정 문제에 대해 결정되면, 빠른 해결책을 얻는데 사용될 수 있다.

상기 기술은 공간적으로 불변하는 포인트-스프레드함수로 콘볼브(convolve)되는 이미지의 몇몇 다른 데이터 세트에 적용될 수 있다. 예컨대, 폴런 그레인(pollen grain)의 마이크로스코프 이미지 섹션의 "고전적인" 디블러링이 있다. 이 섹션은 128x128의 크기를 갖고, 이러한 20개의 이미지의 3차원 "스택"으로부터 취해진다. 초기 스택은 공간적으로 불변하는 3차원 PSF에 의해 블러되고, 전체 스택의 디블러 복구는 인텔 펜티엄 200MHz 프로세서에서 대략 45초가 요구된다. 또한, 유사한 변환기술을 사용하지 않는 기준 MEM 알고리즘이 이 이미지 스택에 적용된다. 이는 본 발명을 사용하여 얻어진 품질과 유사한 품질의 복구를 만들었지만, 동일 장치에 대해, 대략 50분의 CPU시간을 요구했다.

새로운 기저에서 데이터와 신호 및 노이즈벡터의 결과적인 계수의 상관 매트릭스가 비교적 조밀하지 않는 한, 속도에서의 유사한 이득은 주어진 문제에 대해 적합한 다른 기저의 신호를 확장함으로써 얻어질 수 있다. 예컨대, 유사한 결과는 상기 사용된 퓨리에 확장에 대향하는 것으로서 신호의 웨이브릿 확장(Daubechie 1992)에서 계수를 복구함으로써 얻어질 수 있다. 이 경우는, 계수가 항상 실수인 장점이 있다. 더욱이, 웨이브릿 변환의 스케일링/트랜스레이션 성질은 신호벡터의 자동 다중 해상 복구를 허락한다.

확실히, 상기된 일반적인 방법은 임의 차원성을 갖는 다수의 다른 복구문제에 적용할 수 있다. 예로서는 음향 데이터나, 레이더, 해저 소나, 지구 물리학, 지리학적인 데이터, 오일 탐사 및, 의학적인 이미지의 분석을 포함한다. 공간적인 차원에 더해서, 시간과 스펙트럼 특성 및 편광과 같은 부가적인 차원이 쉽게 수용된다.

Claims (15)

1. 신호에 대한 예측가능한 영향을 나타내는 예측함수와, 예측할 수 없는 노이즈를 나타내는 노이즈 함수로 주어진 세트의 데이터로부터 신호를 복구하는 방법으로서, 이 방법이,

   감소된 변수의 세트를 갖는 예측함수를 생성하기 위해서, 초기 좌표 기저로부터 데이터 및 신호의 좌표 기저를 변경하는 단계와,

   복구 신호를 생성하기 위해서, 포지티브와 네가티브 및 복소수 신호값을 연산할 수 있는 베이스의 복구를 실행하는 단계 및,

   신호를 생성하기 위해서, 복구신호를 초기 좌표 기저로 되돌려 변환하는 단계를 구비하는 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
2. 제1항에 있어서, 베이스의 복구는 퓨리에 기저를 사용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
3. 제1항에 있어서, 베이스의 복구는 웨이브릿 기저를 사용하여 수행된 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
4. 제1항에 있어서, 베이스의 복구는 최대 엔트로피 방법을 채용하는 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
5. 제4항에 있어서, 상기 최대 엔트로피 방법에 채용되는 평가 파라메터

   

   는 이전의 복구로부터 결정되는 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
6. 제4항에 있어서, 상기 최대 엔트로피 방법에 채용되는 평가 파라메터

   

   는 고정된 값에서 설정되는 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
7. 제4항에 있어서, 상기 최대 엔트로피 방법에 채용되는 평가 파라메터

   

   는 복구 단계동안 결정되는 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
8. 제1항에 있어서, 복구되는 신호는 이미지 신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
9. 제8항에 있어서, 이미지 신호는 의학용의 이미지 신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
10. 제1항에 있어서, 복구되는 신호는 레이더 신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
11. 제1항에 있어서, 복구되는 신호는 음향 데이터 신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
12. 제11항에 있어서, 음향 데이터 신호는 해저의 소나 신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
13. 제11항에 있어서, 음향 데이터 신호는 지구 물리학적인 데이터 신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
14. 제1항에 있어서, 복구되는 신호는 분광기로부터의 신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.
15. 제1항에 있어서, 신호는 시간 급수 신호와 같은 통신신호인 것을 특징으로 하는 신호 복구 방법.