JPH1090112A - 干渉計による２次元位相データのアンラップ方法および装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 アンラップ時におけるノイズ等によるエラー
を起こりにくくにする。 【解決手段】 コンピュータ１２は、干渉計１によって
得られた２次元位相データにおける有効な領域を、隣り
合う点同士の位相差がπよりも十分小さい点の集まりで
ある小領域に分割し、各小領域に、それぞれ、アンラッ
プを行うために位相を２πの何倍だけずらせば良いかを
表す変数を割り当て、隣り合う小領域の境界に沿って、
隣り合う点の位相差を２πで割った値を整数に丸めた値
を、隣り合う点の変数の値の差とする第１の方程式を作
成し、隣り合う小領域の境界毎に、同じ境界上について
の第１の方程式を辺々足して第２の方程式を作成し、第
２の方程式を変数について解く。整数解がない場合は解
を整数に丸め、解がない場合は隣り合う小領域の境界を
挟んで隣り合う点の組の個数で重みを付けた最小２乗解
を求める。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、干渉計によって得
られる２次元位相データのアンラップを行う干渉計によ
る２次元位相データのアンラップ方法および装置に関す
る。

【０００２】

【従来の技術】従来より、レンズ等の光学部品の光学特
性を評価するための装置として干渉計がある。干渉計
は、レンズ等の被検体からの被検波面と、基準となる参
照波面とを干渉させて干渉縞を形成させ、この干渉縞の
強度のデータから、被検体の収差を２次元の位相データ
（位相の２次元的分布情報）として求める装置である。

【０００３】収差の数値解析が可能な干渉計は、一般
に、図１１に示すような手順によって、収差の値（２次
元の位相データ）を計算している。この手順では、ま
ず、被検波面と参照波面との干渉による干渉縞の強度分
布を得る（ステップＳ２０１）。次に、干渉縞の強度を
位相情報に変換する（ステップＳ２０２）。次に、測定
領域内で有効な点と無効な点を分類し、有効な領域（以
下、有効領域と言う。）を決定する（ステップＳ２０
３）。次に、有効領域内部で、位相のアンラップを行い
（ステップＳ２０４）、２次元の位相データを得る。な
お、アンラップについては、後で詳しく説明する。次
に、干渉計における光学的調整による収差を取り除くた
めに、ステップＳ２０４で求められた位相データに対し
て、ティルト（傾き）およびデフォーカス成分の引き算
を行って（ステップＳ２０５）、被検体の収差の情報を
得る。

【０００４】干渉縞の強度を位相情報に変換する方法と
しては、ＺＡＰＰ（ＺＹＧＯ社の解析装置の名称）を使
用する方法、フーリエ法、縞走査法（フリンジスキャン
法）、ヘテロダイン法等が用いられる。ところが、いず
れの方法を用いても、強度から位相を求めるので、２π
の整数倍の不定性が存在する。すなわち、強度から位相
を求めるための普通の計算では、その過程においてアー
クタンジェント（ｔａｎ^-1）の計算が含まれ、そのため
ｔａｎ^-1の値域により、求められる２次元の位相データ
は−πから＋πの範囲に折り畳まれる（ラップされる）
ことになる。その結果、求められる位相データのデータ
領域の所々に、２πに近い大きな位相のジャンプが現れ
る。このジャンプを無くし、連続的に変化する本来の位
相のデータを求めることをアンラップ（アンラッピン
グ、２πジャンプ補正等とも呼ばれる。）と言う。

【０００５】従来より、アンラップの方法は種々考案さ
れているが、いずれも、基本的には、本来の位相の変化
は滑らかであるという仮定に基づいている。一般的なア
ンラップの方法は、まず、アンラップを始める点を決
め、以下の手順で行われる。

【０００６】（ｉ）アンラップを始める点を基準の点と
して、その点と隣り合う点との位相を比較する。 （ii）位相のジャンプがある場合は、ジャンプが無くな
るように、隣の点における位相に２πの整数倍のオフセ
ットを加える。 （iii)（ii）の手順が終了したら隣の点を新たに基準と
する点として、（ｉ）の手順に戻る。 （iv）全ての点について（ｉ）〜（ii）の手順を終了し
たら、アンラップを終了する。

【０００７】ここで、図１２を参照して、アンラップに
ついて、更に詳しく説明する。一般的な干渉測定におい
て位相φを求めるのは、次の式（１）の演算を行うとい
うことに集約することができる。

【０００８】

【数１】 φ（ｉ，ｊ）＝ｔａｎ^-1（ｆ｛Ｉ（ｉ，ｊ）｝） …（１）

【０００９】ここで、ｆ｛Ｉ（ｉ，ｊ）｝は、座標
（ｉ，ｊ）上での干渉縞強度のなんらかの関数であり、
縞走査法の場合には、参照波面の位相をπ／２ずつ送っ
て得られる４つの強度データの有理関数となる。元の位
相（収差）はどんな値でもとれるが、式（１）に従って
干渉縞強度から位相データを求めた場合、前述のよう
に、ｔａｎ^-1の値域により、求められる位相データは−
πから＋πの範囲に折り畳まれることになる。その結
果、図１２において符号３０１で示したように、求めら
れる位相データには、所々に、２πに近い大きな位相の
ジャンプが現れる。アンラップは、このジャンプを無く
し、図１２において符号３０２で示すような連続的に変
化する本来の位相のデータを求めることである。

【００１０】アンラップは、隣り合う２点の位相を比較
してジャンプの有無を判断し、ジャンプがある場合は、
ジャンプが無くなるように、すなわち位相の変化が滑ら
かになるように、一方の点における位相に２πの整数倍
のオフセットを加えれば良い。つまり、例えばｊの方向
に関しては、以下の演算を行えば良い。なお、φ
_new（ｉ，ｊ）は、アンラップ後の位相を表している。

【００１１】

【数２】 −３π＜φ（ｉ，ｊ）−φ（ｉ，ｊ−１）≦−πのとき φ_new （ｉ，ｊ）＝φ（ｉ，ｊ）＋２π −π＜φ（ｉ，ｊ）−φ（ｉ，ｊ−１）≦πのとき φ_new （ｉ，ｊ）＝φ（ｉ，ｊ） π＜φ（ｉ，ｊ）−φ（ｉ，ｊ−１）≦３πのとき φ_new （ｉ，ｊ）＝φ（ｉ，ｊ）−２π （以下、同様） …（２）

【００１２】そして、ｉ方向についても、式（２）と同
様の演算を行えば良う。これらの演算は、隣り合う点の
位相がπ以上離れないように、位相データを繋ぐという
作業と言える。

【００１３】また、図１３に示すように、測定領域３１
１が２次元の場合、有効領域３１２内に、干渉計の光学
系内に付着したごみ等のためにデータの欠落による穴３
１３があって、有効領域３１２が単連結ではない場合も
あり得るが、この場合には、穴３１３を避けて、隣り合
う２点の位相を比較して、上記作業を行う必要がある。
一般には、このために、いわゆる塗りつぶしのアルゴリ
ズムを使用する。すなわち、式（２）では、比較する隣
の点の位置が予め決まっているが、塗りつぶしのアルゴ
リズムでは、上下左右のそれぞれの隣の点のうち、比較
可能な（データが欠落していない）点を探しながら比較
していき、自動的に穴の周りをたどってデータを繋いで
いく。これは、自分自身と交わらない閉曲線で囲まれた
内部を塗りつぶす方法と同じで、プログラム上では関数
の再帰呼び出しで比較的簡単に実現できるので、計算機
（コンピュータ）との相性が良い。

【００１４】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、干渉測
定によって得られる位相データには、以下のような悪い
特徴がある。 （ｉ）微少変位の測定データなので外乱等によりノイズ
が重畳しやすい。 （ii）ごみ等のためにデータの欠落による穴がある場
合、フレネル回折の影響で、その穴の近傍の位相が急激
に変化する。

【００１５】ここで、図１４を参照して、上記（ｉ）の
特徴に起因する問題点について説明する。図１４（ａ）
は、１点だけにノイズ３２１が乗っている位相データの
例を示したものである。図１４（ｂ）は、図１４（ａ）
に示した位相データを、式（２）を用いてアンラップし
た後のデータを符号３２２で示し、本来の位相のデータ
を符号３２３で示したものである。式（２）のような局
所的な判断では、図１４（ａ）に示したように、たった
１点だけにノイズ３２１が乗っている場合でも、そのノ
イズ３２１がちょうどπに近い大きさのときには、図１
４（ｂ）に示したように大きなエラーを引き起こしてし
まうという問題点がある。図１４（ａ）に示したような
ジャンプがπに近いノイズのことを疑点（Ａｍｂｉｇｕ
ｏｕｓＰｏｉｎｔ）と呼ぶことにする。

【００１６】次に、上記（ii）の特徴に起因する問題点
について説明する。塗りつぶしのアルゴリズムでは、穴
の周囲に沿って比較する点を選んでしまうので、フレネ
ル回折の影響で穴の近傍の位相が急激に変化している場
合、大域的なエラーにつながりやすいという問題点があ
る。

【００１７】ここで、図１５（ａ）に、正常なアンラッ
プが行われた場合の位相データの一例を示し、図１５
（ｂ）に、アンラップにおいてエラーが起こった場合の
位相データの一例を示す。これらの図において、Ｘ，Ｙ
はそれぞれ位置の座標軸を表し、Ｐは位相の座標軸を表
している。図１５（ｂ）に示したように、アンラップに
おいてエラーが起こった場合、演算の結果により得られ
た位相のデータは、正しい位相とは全くかけ離れてしま
うことになる。

【００１８】以上の問題点は、演算の結果の確認が難し
い量産現場における自動測定等では大きな問題となる。
この問題を解決するために、文献「Stephnson,Burton＆
Lalor,Data validation techniques in a tiled phase
unwrapping algorithm,Optical Engineering,Vol.33 N
o.11,3703〜3708,Nov.1994 」等で、アルゴリズミック
な種々の方法が考えられているが、本質的な解決はなさ
れていない。

【００１９】更に、式（２）による従来のアンラップの
方法では、ごみ等の影響で有効領域がいくつかの領域に
分割されている場合、一回の走査（有効領域についての
一連の演算処理）では、分割された領域のうちの一つし
かアンラップすることができないので、全ての領域につ
いてアンラップするには、全領域を分割数の回数だけ走
査する必要があるという問題点がある。

【００２０】本発明はかかる問題点を解決するためにな
されたもので、その目的は、ノイズ等によるエラーが起
こりにくく、また、有効領域がいくつかの領域に分割さ
れた場合でも一回の走査で全領域についてのアンラップ
を行うことができるようにした干渉計による２次元位相
データのアンラップ方法および装置を提供することにあ
る。

【００２１】

【課題を解決するための手段】本発明の干渉計による２
次元位相データのアンラップ方法および装置は、２次元
位相データにおける有効な領域を、隣り合う点同士の位
相差がπよりも十分小さい点の集まりである小領域に分
割し、各小領域に、それぞれ、アンラップを行うために
位相を２πの何倍だけずらせば良いかを表す変数を割り
当て、隣り合う小領域の境界に沿って、隣り合う点の位
相差を２πで割った値を整数に丸めた値を、隣り合う点
の変数の値の差とする第１の方程式を作成し、隣り合う
小領域の境界毎に、同じ境界上についての第１の方程式
を辺々足して第２の方程式を作成し、第２の方程式を変
数について解き、整数解がある場合はその整数解をその
まま各小領域毎の変数の値とし、解はあるが整数解では
ない場合はその解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数
の値とし、解がない場合は隣り合う小領域の境界を挟ん
で隣り合う点の組の個数で重みを付けた最小２乗解を求
めてその解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数の値と
し、得られた各小領域毎の変数の値を２π倍した位相だ
け、各小領域内の各点の位相をずらすようにしたもので
ある。

【００２２】本発明の干渉計による２次元位相データの
アンラップ方法および装置では、第２の方程式を解くこ
とで、各小領域に、アンラップを行うために位相を２π
の何倍だけずらせば良いかを表す変数の値が求まり、得
られた各小領域毎の変数の値を２π倍した位相だけ、各
小領域内の各点の位相をずらすことでアンラップが行わ
れる。ここで、第２の方程式に解はあるが整数解ではな
い場合は、その解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数
の値とすることで、多数決決定的に各小領域毎の変数の
値が決定され、その結果、ノイズ等によって位相が大き
く乱れている部分についてはその数があまり多くなけれ
ば無視されることになる。また、第２の方程式に解がな
い場合は、隣り合う小領域の境界を挟んで隣り合う点の
組の個数で重みを付けた最小２乗解を求めてその解を整
数に丸めた値を各小領域毎の変数の値とすることで、ノ
イズ等によって位相が大きく乱れている部分については
それがあまり大きくなければ無視されることになる。

【００２３】

【発明の実施の形態】以下、本発明の実施の形態につい
て図面を参照して詳細に説明する。図１は本発明の一実
施の形態に係るアンラップ装置を含む光学部品評価シス
テムの構成を示す説明図である。この評価システムは、
干渉計１と、この干渉計１に接続された信号処理回路１
１と、この信号処理回路１１に接続されたコンピュータ
１２と、このコンピュータ１２に接続されたモニタ１３
とを備えている。コンピュータ１２が、本実施の形態に
係るアンラップ装置（演算手段）に対応する。

【００２４】図１には、干渉計１としてトワイマン・グ
リーン干渉計の例を示している。また、干渉計１は、縞
走査法によって、光学部品の収差を測定できるように構
成されている。干渉計１は、平行光束のレーザ光を出射
する光源装置２と、この光源装置２からのレーザ光が入
射され、入射光の一部を反射し、残りの一部を透過する
ビームスプリッタ３と、光源装置２から出射されビーム
スプリッタ３を透過した光を反射して参照波面を生成す
る基準反射鏡４と、例えばピエゾ素子を用いて基準反射
鏡４を光軸方向に移動するための駆動部５と、基準反射
鏡４で反射され、更にビームスプリッタ３で反射された
光の光路上に配設された結像レンズ６と、この結像レン
ズ６によって結像される像を撮像するためのカメラ７と
を備えている。カメラ７には、例えばＣＣＤ（電荷結合
素子）が用いらる。光源装置２から出射されビームスプ
リッタ３で反射した光の光路上には、被検体における被
測定面８が配置され、この被測定面８からの戻り光がビ
ームスプリッタ３に入射するようになっている。なお、
図１では、ビームスプリッタ３からの光が被測定面８で
反射して、ビームスプリッタ３に戻るように描いている
が、被検体が例えばレンズの場合には、ビームスプリッ
タ３からの光を、レンズを通過させて球面波とし、この
球面波を、凹面鏡等によって波面形状を保ったまま反射
して、再度レンズを通過させてビームスプリッタ３に戻
るようにしても良い。

【００２５】図１に示した干渉計１では、光源装置２か
ら出射された平行光束のレーザ光は、ビームスプリッタ
３に入射して一部が反射し、残りの一部が透過する。ビ
ームスプリッタ３で反射した光は、被測定面８に入射
し、被測定面８からの戻り光が再度ビームスプリッタ３
に入射して一部が透過して結像レンズ６を介してカメラ
７に入射する。一方、光源装置２から出射され、ビーム
スプリッタ３を透過した光は、基準反射鏡４で反射し、
再度ビームスプリッタ３に入射して一部が反射して結像
レンズ６を介してカメラ７に入射する。その結果、カメ
ラ７上では、被測定面８からの光による被検波面と基準
反射鏡４からの光による参照波面との干渉による干渉縞
が形成され、この干渉縞がカメラ７によって撮像され
る。

【００２６】カメラ７の出力は、信号処理回路１１に入
力され、ここで、増幅、アナログ−ディジタル変換等の
信号処理が行われ、２次元の各位置（画素）毎の干渉縞
強度データが生成され、この干渉縞強度データがコンピ
ュータ１２に入力されるようになっている。縞走査動作
時、コンピュータ１２は、駆動部５を制御して、基準反
射鏡４をλ／４（ただし、λは光の波長）ずつ光軸方向
に４段階に移動させ、各位置毎に、信号処理回路１１か
らの干渉縞強度データを取り込み、縞走査法に基づい
て、干渉縞強度データから位相データを生成するように
なっている。コンピュータ１２は、更に、後で詳しく説
明するように、位相のアンラップ等の演算処理を行うと
共に、必要に応じて、モニタ１３にデータや特性図等を
表示するようになっている。

【００２７】ここで、縞走査法について簡単に説明す
る。今、被検波面の形状をｈ（ｘ，ｙ）とし、基準反射
鏡４を移動させることによって変化させる光路長をｌと
すると、カメラ７によって撮像される干渉縞の強度分布
Ｉ（ｘ，ｙ，ｌ）は次の式（３）で表される。

【００２８】

【数３】 Ｉ（ｘ，ｙ，ｌ）＝ａ（ｘ，ｙ）＋ｂ（ｘ，ｙ）ｃｏｓ｛２π／λ［ｈ（ｘ， ｙ）−ｌ］｝ …（３）

【００２９】ここで、ａ（ｘ，ｙ）は干渉縞の強度分布
のバイアス成分、ｂ（ｘ，ｙ）は干渉縞のコントラスト
変化を表す項である。この式（３）は変数ｌに関して周
期関数になっているので、ｌに対してフーリエ変換を行
い、その結果から、フーリエ級数の１次の項に対応した
実部と虚部とを取り出し、これを変形すると、次の式
（４）が得られる。

【００３０】

【数４】 ｈ（ｘ，ｙ）＝（λ／２π）・ｔａｎ^-1｛ΣＩ（ｘ，ｙ，ｌ_n ）ｓｉｎ（２π ｎ／Ｎ₀ ）／ΣＩ（ｘ，ｙ，ｌ_n ）ｃｏｓ（２πｎ／Ｎ₀ ）｝ ……（４）

【００３１】ここで、ｌ_n ＝ｎ／Ｎ₀ （ｎ＝０，１，
２，……，Ｎ₀ −１）であり、Σはｎ＝０からｎ＝Ｎ₀
−１までの総和を表す。

【００３２】ここで、Ｎ₀ ＝４とすると、式（４）から
次の式（５）が得られる。

【００３３】

【数５】 ｈ（ｘ，ｙ）＝（λ／２π）・ｔａｎ^-1｛（Ｉ₁ −Ｉ₃ ）／（Ｉ₀ −Ｉ₂ ）｝ ……（５）

【００３４】ここで、Ｉ₀ 〜Ｉ₃ はそれぞれＩ（ｘ，
ｙ，ｌ₀ ）〜Ｉ（ｘ，ｙ，ｌ₃ ）を意味し、基準反射鏡
４をそれぞれ０，λ／４，λ／２，３λ／４だけ移動さ
せたときの各段階において得られる干渉縞強度分布を表
す。この式（５）から、被検波面の形状ｈ（ｘ，ｙ）が
得られ、このｈ（ｘ，ｙ）に基づいて、被検体における
収差が求められる。

【００３５】次に、図２の流れ図を参照して、図１にお
けるコンピュータ１２が被検体における収差の情報を求
める際の処理内容について説明する。コンピュータ１２
は、まず、基準反射鏡４の位置を表す変数ｎを０とし
（ステップＳ１０１）、次に、駆動部５を制御して基準
反射鏡４を所定の位置に配置し、そのときにカメラ７お
よび信号処理回路１１によって得られる干渉縞強度Ｉ_n
を取り込む（ステップＳ１０２）。次に、コンピュータ
１２は、ｎ＝３か否かを判断し（ステップＳ１０３）、
ｎ＝３ではない場合（Ｎ）は、ｎを１インクリメントし
て（ステップＳ１０４）、基準反射鏡４をλ／４だけ移
動させ（ステップＳ１０５）、ステップＳ１０２に戻
る。ステップＳ１０２〜Ｓ１０５が縞走査動作である。
ｎ＝３となったとき（ステップＳ１０３；Ｙ）には、式
（５）におけるＩ₀ 〜Ｉ₃ が得られており、コンピュー
タ１２は、干渉縞の各点（各位置）毎に、式（５）にお
けるｔａｎ^-1｛（Ｉ₁ −Ｉ₃ ）／（Ｉ₀ −Ｉ₂ ）｝等を
計算して、２次元の位相データを生成する（ステップＳ
１０６）。次に、コンピュータ１２は、得られた２次元
の位相データの変調度等から、測定領域内における有効
領域を同定し（ステップＳ１０７）、更に、有効領域の
形状、中心位置等を同定する（ステップＳ１０８）。次
に、コンピュータ１２は、有効領域内部で、位相のアン
ラップを行う（ステップＳ１０９）。次にコンピュータ
１２は、干渉計１における光学的調整による収差を取り
除くために、ステップＳ１０９で求められた位相データ
に対して、ティルトおよびデフォーカス成分の引き算を
行って（ステップＳ１１０）、被検体における収差の情
報を得て、処理を終了する。

【００３６】次に、本実施の形態に係る位相のアンラッ
プの方法について詳しく説明する。従来のアンラップの
方法で用いられる式（２）は、漸化式風の逐次処理に向
いた表現になっているが、これは計算機（コンピュー
タ）を使うことを暗黙の前提としていることによる。式
（２）を代数的表現（並列表現）に書き換えた場合、ア
ンラップは、次の式（６）においてμを求める問題と言
える。

【００３７】

【数６】 φ_new （ｉ，ｊ）＝φ（ｉ，ｊ）−２πμ（ｉ，ｊ） …（６）

【００３８】なお、μ（ｉ，ｊ）は、点（ｍ，ｎ）を点
（ｉ，ｊ）に隣り合う点、つまり、｜ｉ−ｍ｜＝１また
は｜ｊ−ｎ｜＝１として、次の式（７）が成り立つよう
な整数である。すなわち、μは、アンラップを行うため
に位相を２πの何倍ずらせば良いかを表す変数である。

【００３９】

【数７】 −π＜φ_new （ｉ，ｊ）−φ_new （ｍ，ｎ）＜π …（７）

【００４０】本実施の形態では、μをクラスと呼ぶこと
にする。このμは、次の式（８）によって求めることが
できる。

【００４１】

【数８】 μ（ｉ，ｊ）−μ（ｍ，ｎ）＝ｒｏｕｎｄ［｛φ（ｉ，ｊ）−φ（ｍ，ｎ）｝ ／２π］ …（８）

【００４２】なお、“ｒｏｕｎｄ”は、丸めを意味し、
具体的には“ｒｏｕｎｄ”の後に続く数値を四捨五入し
て近い整数にする処理である。

【００４３】また、以下、式（８）における右辺をρ
（ｉ，ｊ：ｍ，ｎ）と書くことにする。μを求めるに
は、式（８）を、有効な点（ｉ，ｊ）と、この有効な点
それぞれについて可能な隣り合う点（ｍ，ｎ）について
の方程式と見て、この方程式を解けば良い。ここで、有
効な点がＮ個あり、式（２）と同様に、隣り合う点とし
て左右方向と上下方向とを考慮するとすれば、有効な各
点についてのμを求めることは、Ｎ変数のＭ（ただし、
Ｍは隣り合う点の組の数であり、Ｍ＜２Ｎ）個の方程式
からなる線型連立方程式の整数解を求める問題とみなす
ことができる。この線型連立方程式を行列表現で表す
と、次の式（９）となる。

【００４４】

【数９】ＡΦ＝ｂ …（９）

【００４５】ここで、Φは次の（１０）で表される変数
のベクトルである。

【００４６】

【数１０】

【００４７】また、Ａは、隣り合う点の組毎に式（８）
における左辺を作るための係数の行列、ｂは、式（８）
における右辺の値のベクトルである。

【００４８】ここで、Ａは、要素に０以外の値としては
１か−１を取るだけのスパースなＮ×Ｍ行列で、次の式
（１１）が成り立つ。

【００４９】

【数１１】ｒａｎｋ（Ａ）≦Ｎ−１ …（１１）

【００５０】なお、ｒａｎｋ（Ａ）は、行列Ａの階数で
あり、変数のうち求めることの可能な解の数を表すとみ
ることができる。従って、式（１１）は、変数のうち未
知数が最小でも１つは残るということを表している。な
ぜならば、問題の性質から、全ての点について定数（オ
フセット）を加えても式（９）を満たすはず、すなわ
ち、少なくとも次の式（１２）が成り立つはずだからで
ある。

【００５１】

【数１２】

【００５２】従って、次の式（１３）で表されるｒの値
を求めると、このｒは、有効領域が、領域間では隣り合
う点を持たないいくつの領域に分割されているかを表す
分割数を示すことになる。

【００５３】

【数１３】 ｒ＝Ｎ−ｒａｎｋ（Ａ）＝Ｄｉｍ（Ｎｕｌｌ（Ａ）） …（１３）

【００５４】ここで、Ｎｕｌｌ（Ａ）は、行列Ａの右零
空間（Ｎｕｌｌ Ｓｐａｃｅ）を表す。また、Ｄｉｍは
空間の次元を表す。

【００５５】また、前述の疑点を含む行同士では式
（９）が矛盾する（解がない）場合があり得る。つま
り、連立方程式（９）は、不定で且つ不能の方程式系で
ある。従って、式（９）のままでは、あまり意味のある
表現にはならない。また、行列のサイズも大きすぎて実
用的ではない。

【００５６】そこで、本実施の形態では、有効領域を、
明らかにμが同じ値を持つ小領域、言い換えると、明ら
かに位相のジャンプのない小領域に分割し、一つの小領
域に一つの変数μ_k を割り当てる。以下、この小領域を
リージョンと呼ぶことにする。「明らかにμが同じ値を
持つ」とは、隣り合う点同士の位相差がπよりも十分小
さい（疑点を含まない）点の集まりであるとする。リー
ジョン間には、位相のジャンプがあってもなくても良
く、ジャンプがあるか否か怪しい部分では分割してお
く。疑点は、孤立し、単独でリージョンを形成すること
になりやすいはずである。ここで、Ｒ_k をあるリージョ
ンとしたとき、ν（Ｒ_k ）をＲ_k に隣り合うリージョン
の集合を表すものとする。

【００５７】図３は、複数のリージョンに分割された有
効領域の一部の例を示したものである。この例では、隣
り合うリージョンＲ_k およびリージョンＲ_l と、疑点２
１とが示されている。なお、この例では、２次元のリー
ジョンを設定しているが、１次元のリージョンを設定す
るようにしても良い。

【００５８】上述のように、有効領域を複数のリージョ
ンに分割すると、式（８）は、リージョンの境界をまた
いで隣り合う点同士についての式、すなわち次の式（１
４）とすることができる。

【００５９】

【数１４】 μ_k −μ_l ＝ρ（ｉ，ｊ：ｍ，ｎ） …（１４） ただし、（ｉ，ｊ）∈Ｒ_k （ｍ，ｎ）∈Ｒ_l （Ｒ_l ∈ν（Ｒ_k ））

【００６０】ここで、Ｒ_k はクラスμ_k を持つリージョ
ン、Ｒ_l はクラスμ_l を持つリージョンである。なお、
式（１４）は、隣り合うリージョン間では、隣り合う点
の組の数だけ存在する。

【００６１】隣り合う２つのリージョンＲ_k ，Ｒ_l 間の
単一の境界上において隣り合う点が複数組ある場合、各
組についての式（１４）は、左辺は全て同じになるが、
右辺は、疑点を含んでいれば異なる可能性がある。そこ
で、本実施の形態では、同じ式（１４）の左辺を持つ、
すなわち、同じ境界上についての式（１４）を辺々足し
て、次の式（１５）を作成する。

【００６２】

【数１５】 ｗ（μ_k −μ_l ）＝Σρ（ｉ，ｊ：ｍ，ｎ） …（１５）

【００６３】なお、式（１５）において、Σは、隣り合
うリージョンＲ_k ，Ｒ_l 間の境界を挟んで隣り合う点
（ｉ，ｊ），（ｍ，ｎ）の組の全てについての総和を意
味する。また、式（１５）において、ｗは、隣り合うリ
ージョンＲ_k ，Ｒ_l 間の境界を挟んで隣り合う点の組の
個数である。もし、疑点がなければ、式（１５）は、ｗ
で割り切れるはずである。なお、有効領域全体では、式
（１５）は、隣り合うリージョンの境界の数だけ存在す
る。

【００６４】ここで、式（８）を行列表現で表して式
（９）としたのと同様に、式（１５）を行列表現で表し
て、次の式（１６）とする。

【００６５】

【数１６】Ａ′Φ′＝ｂ′ …（１６）

【００６６】ここで、Φ′は、変数であるリージョン毎
のクラス（μ_k ，μ_l 等）のベクトル、ｂ′は、式（１
５）における右辺の値のベクトルである。Ａ′は、隣り
合うリージョンの組毎に式（１５）における左辺を作る
ための係数のＫ×Ｌ行列である。なお、Ｋはリージョン
の個数であり、Ｋ<<Ｎである。また、Ｌはあるリージョ
ンに隣り合うリージョンの組み合わせの数の総数であ
り、次の（１７）式で表される。

【００６７】

【数１７】 Ｌ＝｛Σσ（ν（Ｒ_k ））｝／２ …（１７）

【００６８】なお、式（１７）において、σ（Ｎ）は集
合Ｎの要素を数を表している。また、Σは、全てのｋ、
すなわち全てのリージョンについての総和を意味する。

【００６９】式（１６）は、明らかに、式（９）と同様
に、式（１１），式（１２）および式（１３）で表され
る性質は変わらないが、行列の大きさは式（９）に比べ
て小さい。ここで、式（１３）におけるＮの代わりにＫ
（係数行列Ａ′の列の次元）、式（１３）におけるＡの
代わりにＡ′として、次の式（１８）によってｒを求め
れば、このｒにより領域の分割数が分かる。

【００７０】

【数１８】 ｒ＝Ｋ−ｒａｎｋ（Ａ′）＝Ｄｉｍ（Ｎｕｌｌ（Ａ′）） …（１８）

【００７１】各リージョンについてのμを求めるには、
式（１６）の特解を求めれば良いことになる。有効領域
が連結（単連結でなくても良い。）であり、且つ疑点を
含まなければ、式（１６）は整数解を持つはずである。

【００７２】しかしながら、有効領域が連結であるが、
疑点を含む場合には、以下の２つの場合があり得る。 式（１５）の右辺がｗで割り切れない。すなわち、式
（１６）に整数解がない。 式（１６）に解がない。

【００７３】本実施の形態では、の場合には、式（１
５）の代わりに、次の式（１９）を用いて、その解を求
める。

【００７４】

【数１９】 μ_k −μ_l ＝ｒｏｕｎｄ［｛Σρ（ｉ，ｊ：ｍ，ｎ）｝／ｗ］ …（１９）

【００７５】式（１９）の右辺の和（Σ）の中におい
て、隣り合う点の少なくとも一方が疑点である組が、隣
り合う点が共に疑点ではない組よりも十分少なければ、
隣り合う点の少なくとも一方が疑点である組におけるρ
の値は、式（１９）における丸めの過程で無視されるこ
とになる。これは、多数決決定的に解を求めていると言
える。そして、式（１９）を解くことによって求められ
た各リージョンについてのμの値は、式（１５）を解く
ことによって求められた有理解を丸めたものと一致す
る。

【００７６】ここで、図４を参照して、式（１９）の意
味について具体的に説明する。図４には、リージョンＲ
_k ，Ｒ_l が隣り合い、このリージョンＲ_k ，Ｒ_l 間の境
界を挟んで隣り合う点の組が４組ある例を示している。
また、この例では、４組ある隣り合う点の組のそれぞれ
におけるρ（ｉ，ｊ：ｍ，ｎ）の値が、１，１，１およ
び０であるものとしている。ρ（ｉ，ｊ：ｍ，ｎ）の値
が０である点の組における少なくとも一方の点が疑点で
ある。この場合、式（１９）におけるΣρ（ｉ，ｊ：
ｍ，ｎ）の値は３、ｗの値は４となる。従って、式（１
９）における右辺の値は、ｒｏｕｎｄ（３／４）＝１と
なり、少なくとも一方が疑点である組におけるρの値０
は、丸めの過程で無視されることとなる。

【００７７】一方、の場合には、式（１６）の方程式
の最小２乗解を求める問題と見なして、解を求める。こ
の場合は、まず、式（１６）におけるＡ′を、次の式
（２０）のように変形する。

【００７８】

【数２０】

【００７９】ここで、Ｗは、式（１５）に現れた隣り合
うリージョンの境界を挟んで隣り合う点の組の個数ｗ
（式（２０）では、ｗ₁ ，ｗ₂ ，ｗ₃ ，…と記す。）を
対角要素に持つ行列である。従って、式（２０）におけ
るＡ''は、０，１あるいは−１の３通りの要素を持つ行
列になる。式（２０）を用いると、式（１６）は、次の
式（２１）のように書ける。

【００８０】

【数２１】ＷＡ''Φ′＝Ｗｂ'' …（２１）

【００８１】ただし、ｂ''は、式（１５）における右辺
の値を、それぞれｗ（ｗ₁ ，ｗ₂ ，ｗ₃ ，…）で割った
値のベクトルであり、次の式（２２）で表される。

【００８２】

【数２２】

【００８３】式（２１）の形で最小２乗解を求める問題
は、次の式（２３）の方程式に、Ｗなる重みを付けて最
小２乗解を求めることに等しい。

【００８４】

【数２３】Ａ''Φ′＝ｂ'' …（２３）

【００８５】式（２３）は、式（１９）において丸め
（ｒｏｕｎｄ）を取る前と同じである。式（２１）を解
く問題は、式（１６）において厳密解が存在しない場合
に、隣り合うリージョンの境界を挟んで隣り合う点の組
の個数ｗ（ｗ₁ ，ｗ₂ ，ｗ₃ ，…）で重みを付けた最小
２乗解を求める問題とみなすことができる。この場合、
重みｗが大きい方程式ほど矛盾が少なくなるように解が
求められる。ノイズ等による疑点は、たいてい孤立する
（すなわち、隣り合うリージョンの境界を挟んで隣り合
う点の組の個数ｗが少なく）ので、式（２１）におい
て、疑点を含む方程式を表す行にはあまり重みは付か
ず、境界の長い正常なリージョン同士を含む行には、境
界を挟んで隣り合う点の個数の分だけ重みが付くことに
なる。

【００８６】式（２１）の最小２乗解を求めたら、その
解を丸めて整数値としてのμを求める。以上の演算によ
り、疑点が正常な点に比べてある程度少なく、またあま
り大きくない場合には、上述のように最小２乗解を求
め、それを丸めることで、疑点は無視されることにな
る。従って、式（２１）の最小２乗解を求めることも、
多数決決定的に解を求めていると言える。

【００８７】なお、式（１６）や式（２１）を解く際に
は、ＱＲ分解等、一般的な線型代数の数値計算テクニッ
クを使うことができる。

【００８８】以上の各手順により、各リージョン毎に、
整数値としてのμが求められたら、式（６）に従って、
各リージョン毎のμを２π倍した位相だけ、各リージョ
ン内の各点の位相をずれせば、アンラップ後の位相が得
られる。

【００８９】また、本実施の形態に係る位相のアンラッ
プの方法では、有効領域が、領域間では隣り合う点を持
たないいくつかの領域に分割されている場合でも、一回
の走査で全領域についてのアンラップを行うことができ
る。また、式（１８）によってｒを求めることにより、
分割数を知ることができる。

【００９０】図１におけるコンピュータ１２は、上述し
た本実施の形態に係る位相のアンラップの方法を用い
て、位相のアンラップ（図２におけるステップＳ１０
９）を行う。

【００９１】ここで、図５および図６の流れ図を参照し
て、位相のアンラップを行う際のコンピュータ１２にお
ける処理の手順について説明する。この手順では、ま
ず、有効領域をリージョンに分割し（ステップＳ１２
１）、各リージョンにそれぞれ、変数となるクラスμを
割り当てる（ステップＳ１２２）。なお、疑点も、独立
したリージョンとする。隣り合う点同士の位相差がどの
程度の場合に一つのリージョンとするかや、どの程度の
位相差がある場合に疑点とするか等の基準は、例えば外
部からパラメータとしてコンピュータ１２に与える。次
に、隣り合うリージョンの境界に沿って、隣り合う点の
位相φを比較し、隣り合う点間におけるクラスμと位相
φの関係を表す式（１４）を作成する（ステップＳ１２
３）。次に、同じ境界上についての式（１４）を辺々足
して式（１５）を作成する（ステップＳ１２４）。次
に、式（１５）を行列表現で表す式（１６）を作成する
（ステップＳ１２５）。次に、式（１６）における係数
行列Ａ′の列の次元から係数行列Ａ′の階数（ｒａｎ
ｋ）を引いて、すなわち式（１８）により、有効領域の
分割数ｒを求める（ステップＳ１２６）。

【００９２】次に、式（１６）を解く（ステップＳ１２
７）。次に、式（１６）の解があるか否かを判断する
（ステップＳ１２８）。解がある場合（Ｙ）は、整数解
であるか否かを判断する（ステップＳ１２９）。整数解
である場合（Ｙ）は、その整数解をそのまま各リージョ
ン毎のクラスμの値とし、式（６）に基づいて、リージ
ョン毎のクラスμを２π倍した位相だけ、各リージョン
内の各点の位相をずらして（ステップＳ１３３）、アン
ラップの処理を終了する。整数解ではない場合（ステッ
プＳ１２９；Ｎ）は、解を整数に丸め（ステップＳ１３
０）、その値を各リージョン毎のクラスμの値としてス
テップＳ１３３に進む。

【００９３】式（１６）の解がない場合（ステップＳ１
２８；Ｎ）は、式（２１）を作成し、隣り合うリージョ
ンの境界を挟んで隣り合う点の組の個数で重みを付けた
最小２乗解を求める（ステップＳ１３１）。次に、得ら
れた解を整数に丸め（ステップＳ１３２）、その値を各
リージョン毎のクラスμの値としてステップＳ１３３に
進む。

【００９４】以上説明したように、本実施の形態に係る
アンラップ方法および装置によれば、多数決決定的に各
リージョン毎のクラスμが決定されるので、孤立したノ
イズ（疑点）による影響を受けにくく、ノイズ等による
アンラップエラーが起こりにくくなる。また、本実施の
形態によれば、有効領域がいくつかの領域に分割された
場合でも一回の走査で全領域についてのアンラップを行
うことができる。更に、本実施の形態によれば、有効領
域がいくつの領域に分割されているかを、全領域を走査
し直さなくも知ることができる。

【００９５】また、本実施の形態では、行列を用いて各
リージョン毎のクラスμを決定するので、行列を作成し
た後は、一般的な線型代数の数値計算テクニックを使う
ことができ、そこで使うＱＲ分解等は、干渉測定を行う
上で収差展開等でも使用されており、その場合には、新
しくコーディング（プログラミング）する必要がない。
また、本実施の形態における演算処理は、並列処理に向
いている。

【００９６】以下、本実施の形態に係るアンラップ方法
と従来の塗りつぶし法を用いたアンラップ方法とを、計
算機上で比較した結果について、図７ないし図１０を用
いて説明する。ここでは、簡単のために、２５×２５ポ
イントの測定領域の中に円形の有効領域を持つデータを
数値的に作成している。また、リージョンは、簡単のた
めに、２次元ではなく、横方向にのみ連続する１次元と
した。また、図７ないし図１０において、水平方向の２
軸が領域の位置を表し、垂直方向の軸が位相を表し、単
位はラジアンである。

【００９７】まず、図７を用いて、有効領域がティルト
のみで、ノイズがない場合の非常に理想的な場合につい
て比較した結果について説明する。図７において、
（ａ）は元のデータ、（ｂ）はラップされた（折り畳ま
れた）データ、（ｃ）は本実施の形態に係る方法によっ
てアンラップした後のデータ、（ｄ）は従来の方法によ
ってアンラップした後のデータを表している。これらか
ら、非常に理想的な場合においては、本実施の形態に係
る方法でも従来の方法でも、正確にアンラップされてい
るのが分かる。なお、本実施の形態に係る方法におい
て、リージョンの数は、有効領域の行の数（２３）に一
致した。

【００９８】次に、図８を用いて、図７の場合と同じテ
ィルトの上に３％の確率でちょうどπの大きさのノイズ
を与えた場合について比較した結果について説明する。
これは、最もアンラップエラーの起きやすいパターンで
ある。図８において、（ａ）は元のデータ、（ｂ）はラ
ップされた（折り畳まれた）データ、（ｃ）は本実施の
形態に係る方法によってアンラップした後のデータ、
（ｄ）は従来の方法によってアンラップした後のデータ
を表している。（ｄ）に示したように、従来の方法によ
ってアンラップした場合には、アンラップエラーが発生
し、位相の変化が段々畑状になっているが、（ｃ）に示
したように、本実施の形態に係る方法によってアンラッ
プした場合には、きれいにアンラップされていることが
分かる。本実施の形態に係る方法において、リージョン
の数は４６となった。なお、リージョンの数は、ノイズ
の数と分布による。

【００９９】次に、図９を用いて、ノイズはないが、有
効領域の真ん中を十文字状に割って４つの領域に分けた
場合について比較した結果について説明する。図９にお
いて、（ａ）は元のデータ、（ｂ）は本実施の形態に係
る方法によってアンラップした後のデータ、（ｃ）は従
来の方法によってアンラップした後のデータを表してい
る。（ｂ）に示したように、本実施の形態に係る方法に
よってアンラップした場合には、４つの領域内でそれぞ
れきれいにアンラップされていることが分かる。なお、
リージョンの数は４０となった。また、式（１８）によ
る分割数ｒの値は４となり、実際の分割数と一致した。
ただし、４つの領域間では、位相にずれが生じている
が、元々これをつなぐ方法はない。一方、（ｃ）に示し
たように、従来の方法では、４つの領域のうちの一つだ
けが正しくアンラップされた。従来の方法では、アンラ
ップを始める点をどこにするかで、どの領域が正しくア
ンラップされるかが違ってくる。全ての領域を正しくア
ンラップするためには、全領域を一度走査し、残されて
いる領域を見つける必要がある。この走査は、分割数だ
け行わなければならない。

【０１００】次に、図１０を用いて、より現実的な例と
して、ランダムなノイズが乗り、穴（データの欠落）と
その周りでの位相のジャンプとがある場合について比較
した結果について説明する。元のデータは、ティルトと
球面収差の上にランダムに穴を開け、その周りの４ポイ
ントにランダムなノイズを乗せて作成した。図１０にお
いて、（ａ）は元のデータがラップされた状態のデー
タ、（ｂ）は本実施の形態に係る方法によってアンラッ
プした後のデータ、（ｃ）は従来の方法によってアンラ
ップした後のデータを表している。（ａ）から分かるよ
うに、ラップされた状態のデータは、かなり状態が悪
く、（ｃ）に示したように、従来の方法では、大きなジ
ャンプが残っているが、（ｂ）に示したように、本実施
の形態に係る方法では、きれいにアンラップされてい
る。

【０１０１】以上、図７ないし図１０に示した例から
も、本実施の形態に係る方法が、従来の方法に比べて優
れていることが分かる。

【０１０２】なお、本発明は上記実施の形態に限定され
ず、例えば、実施の形態で挙げた各式は、等価な限り種
々変形可能である。また、本発明における２次元位相デ
ータは、トワイマン・グリーン干渉計によって得られる
ものに限らず、フィゾー干渉計等の他の種類の干渉計に
よって得られるものでも良い。

【０１０３】

【発明の効果】以上説明したように、請求項１または２
記載の干渉計による２次元位相データのアンラップ方
法、または請求項３または４記載の干渉計による２次元
位相データのアンラップ装置によれば、２次元位相デー
タにおける有効な領域を、隣り合う点同士の位相差がπ
よりも十分小さい点の集まりである小領域に分割し、各
小領域に、それぞれ、アンラップを行うために位相を２
πの何倍だけずらせば良いかを表す変数を割り当て、隣
り合う小領域の境界に沿って、隣り合う点の位相差を２
πで割った値を整数に丸めた値を、隣り合う点の変数の
値の差とする第１の方程式を作成し、隣り合う小領域の
境界毎に、同じ境界上についての第１の方程式を辺々足
して第２の方程式を作成し、第２の方程式を変数につい
て解き、整数解がある場合はその整数解をそのまま各小
領域毎の変数の値とし、解はあるが整数解ではない場合
はその解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数の値と
し、解がない場合は隣り合う小領域の境界を挟んで隣り
合う点の組の個数で重みを付けた最小２乗解を求めてそ
の解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数の値とし、得
られた各小領域毎の変数の値を２π倍した位相だけ、各
小領域内の各点の位相をずらして位相をアンラップを行
うようにしたので、ノイズ等によって位相が大きく乱れ
ている部分についてはその数があまり多くなく、また、
あまり大きくなければ無視されることとなり、ノイズ等
によるエラーが起こりにくく、また、有効領域がいくつ
かの領域に分割された場合でも一回の走査で全領域につ
いてのアンラップを行うことができるという効果を奏す
る。

【０１０４】また、請求項３記載の干渉計による２次元
位相データのアンラップ方法、または請求項４記載の干
渉計による２次元位相データのアンラップ装置によれ
ば、第２の方程式を行列表現で表した式を作成し、その
式における係数行列の列の次元から係数行列の階数を引
いて、有効な領域の分割数を求めるようにしたので、上
記効果に加え、一回の走査で有効な領域の分割数を知る
ことができるという効果を奏する。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施の形態に係るアンラップ装置を
含む光学部品評価システムの構成を示す説明図である。

【図２】図１におけるコンピュータが被検体における収
差の情報を求める際の処理内容を示す流れ図である。

【図３】本発明の一実施の形態に係るアンラップ方法に
よって複数のリージョンに分割された有効領域の一部の
例を示す説明図である。

【図４】本発明の一実施の形態に係るアンラップ方法に
ついて説明するための説明図である。

【図５】図１におけるコンピュータが位相のアンラップ
を行う際の処理の手順を示す流れ図である。

【図６】図１におけるコンピュータが位相のアンラップ
を行う際の処理の手順を示す流れ図である。

【図７】本発明の一実施の形態に係るアンラップ方法と
従来のアンラップ方法とを比較した結果を示す説明図で
ある。

【図８】本発明の一実施の形態に係るアンラップ方法と
従来のアンラップ方法とを比較した結果を示す説明図で
ある。

【図９】本発明の一実施の形態に係るアンラップ方法と
従来のアンラップ方法とを比較した結果を示す説明図で
ある。

【図１０】本発明の一実施の形態に係るアンラップ方法
と従来のアンラップ方法とを比較した結果を示す説明図
である。

【図１１】一般的な干渉計において収差の値を計算する
際の手順を示す流れ図である。

【図１２】位相のアンラップについて説明するための説
明図である。

【図１３】位相データの有効領域内にデータの欠落によ
る穴がある例を示す説明図である。

【図１４】アンラップにおけるエラーについて説明する
ための説明図である。

【図１５】正常なアンラップが行われた場合の位相デー
タとアンラップにおいてエラーが起こった場合の位相デ
ータの一例を示す説明図である。

【符号の説明】

１…干渉計、２…光源装置、３…ビームスプリッタ、４
…基準反射鏡、５…駆動部、６…結像レンズ、７…カメ
ラ、１１…信号処理回路、１２…コンピュータ

Claims (4)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 干渉計によって得られる２次元位相デー
   タのアンラップを行う干渉計による２次元位相データの
   アンラップ方法であって、 ２次元位相データにおける有効な領域を、隣り合う点同
   士の位相差がπよりも十分小さい点の集まりである小領
   域に分割する手順と、 各小領域に、それぞれ、アンラップを行うために位相を
   ２πの何倍だけずらせば良いかを表す変数を割り当てる
   手順と、 隣り合う小領域の境界に沿って、隣り合う点の位相差を
   ２πで割った値を整数に丸めた値を、隣り合う点の変数
   の値の差とする第１の方程式を作成する手順と、 隣り合う小領域の境界毎に、同じ境界上についての第１
   の方程式を辺々足して第２の方程式を作成する手順と、 第２の方程式を変数について解き、整数解がある場合は
   その整数解をそのまま各小領域毎の変数の値とし、解は
   あるが整数解ではない場合はその解を整数に丸めた値を
   各小領域毎の変数の値とし、解がない場合は隣り合う小
   領域の境界を挟んで隣り合う点の組の個数で重みを付け
   た最小２乗解を求めてその解を整数に丸めた値を各小領
   域毎の変数の値とする手順と、 得られた各小領域毎の変数の値を２π倍した位相だけ、
   各小領域内の各点の位相をずらす手順とを備えたことを
   特徴とする干渉計による２次元位相データのアンラップ
   方法。
2. 【請求項２】 前記第２の方程式を行列表現で表した式
   を作成し、その式における係数行列の列の次元から係数
   行列の階数を引いて、有効な領域の分割数を求める手順
   を備えたことを特徴とする請求項１記載の干渉計による
   ２次元位相データのアンラップ方法。
3. 【請求項３】 干渉計によって得られる２次元位相デー
   タのアンラップを行う干渉計による２次元位相データの
   アンラップ装置であって、 ２次元位相データにおける有効な領域を、隣り合う点同
   士の位相差がπよりも十分小さい点の集まりである小領
   域に分割し、各小領域に、それぞれ、アンラップを行う
   ために位相を２πの何倍だけずらせば良いかを表す変数
   を割り当て、隣り合う小領域の境界に沿って、隣り合う
   点の位相差を２πで割った値を整数に丸めた値を、隣り
   合う点の変数の値の差とする第１の方程式を作成し、隣
   り合う小領域の境界毎に、同じ境界上についての第１の
   方程式を辺々足して第２の方程式を作成し、第２の方程
   式を変数について解き、整数解がある場合はその整数解
   をそのまま各小領域毎の変数の値とし、解はあるが整数
   解ではない場合はその解を整数に丸めた値を各小領域毎
   の変数の値とし、解がない場合は隣り合う小領域の境界
   を挟んで隣り合う点の組の個数で重みを付けた最小２乗
   解を求めてその解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数
   の値とし、得られた各小領域毎の変数の値を２π倍した
   位相だけ、各小領域内の各点の位相をずらす演算手段を
   備えたことを特徴とする干渉計による２次元位相データ
   のアンラップ装置。
4. 【請求項４】 前記演算手段は、第２の方程式を行列表
   現で表した式を作成し、その式における係数行列の列の
   次元から係数行列の階数を引いて、有効な領域の分割数
   を求めることを特徴とする請求項３記載の干渉計による
   ２次元位相データのアンラップ装置。