JPH0776991B2 - Ｎｕｒｂｓデータ変換方法及び装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 A.産業上の利用分野 この発明は、コンピュータ・グラフィックス、特にパラ
メトリック・サーフェスを評価およびレンダリングする
装置及び方法に関するものである。

B.従来技術及びその課題 コンピュータ・テクノロジの評価は、コンピュータによ
って作成されるグラフィカル情報の表現に適用される技
巧を凝らしたテクニカル・アートの創作に依存してい
る。このテクニカル・アートは、コンピュータ・グラフ
ィックスと呼ばれている。近年、サイエンティフィック
・アプリケーション及びエンジニアリング・アプリケー
ションへの３次元コンピュータ・グラフィックスの使用
が、リアリスティックなイメージが要求されるに従っ
て、拡大してきている。

最近のコンピュータ・グラフィックス・ディスプレイ
は、ライン，マーカ，ポリゴンのほうに、パラメトリッ
ク・サーフェスのようなより一般的なジオメトリック・
プリミティブをサポートしている。しかし、コンピュー
タ・グラフィックス・ディスプレイ・システムにおける
そのようなパラメトリック・サーフェスを評価及びレン
ダリングするのに現在用いられている方法は、多くの場
合非能率的であり、複雑で大規模な外部コントロール・
ロジックを必要とする。

パラメトリック・サーフェスはｂ−スプライン・フォー
ムで表すことができ、過去においては、他者がｂ−スプ
ライン・フォームからパラメトリック・サーフェスを評
価及びレンダリングしようと試みたことが知られてい
る。例えば、従来のCAD/CAMアプリケーションは、デー
タベースに蓄積されたｂ−スプライン・サーフェス・フ
ォーム・データよりはむしろ、ホスト・コンピュータの
データベースに蓄積されているオブジェクトを形成する
ポリゴンを送出することによってグラフィックス・ワー
クステーションを使用している。この手法によれば、ホ
スト・コンピュータは、スプライン・サーフェスをフラ
ット・ポリゴンに分解し、ポリゴンをグラフィックス・
ワークステーションに送り、通常の処理を行った後、表
示させている。この手法は非能率的であり、ｂ−スプラ
インの多くの魅力的な性質を利用できない。

1987年10月30日出願の米国特許出願第07/115,465号明細
書は、非一様有理ｂ−スプライン（NURBS:non−uniform
rational b−spline）サーフェスを、次の処理のため
にBezierパッチに分解する並列バイプライン・サーフェ
ス処理システムを開示している。パッチ・アプローチに
るこの処理は、分解ステップのための演算リソースを必
要とし、スクリーンにレンダされたサーフェスにアーテ
ィファクト（例えば、ピンホールあるいはリップ）を発
生させる危険性がある。

公知の従来技術はいずれも、パラメトリック・サーフェ
スの評価及びレンダリングに、NURBSデータを全く利用
していない。したがって、効率的，正確かつ迅速に、パ
ラメトリック・サーフェスを表すNURBSデータを評価及
びレンダリングする方法及び装置が要求されている。既
に提案されている３次元グラフィックスに対するPHIGS
（Programmer's Hierarchical Interactive Graphics S
tandard）PLUS標準は、NURBSによるサーフェスの定義を
サポートしており、したがって前述の要求は、ますます
大きくなってくる。

C.課題を解決するための手段 本発明の原理によれば、直交するu,vパラメトリック座
標に沿って延在するサーフェスを、ｖパラメータのテサ
レイションにより定められる一連のストリップに分割す
るサーフェス評価システムを提供することにより、前記
必要性は満たされ、多くの利点が実現される。各ストリ
ップは、現在の値すなわちトップ値と、前の値すなわち
ボトム値とからなる２つの連続するｖパラメータ値によ
り特徴づけられる。各ストリップのトップは、続くスト
リップのボトムとなる。グラフィックス・コントロール
・プロセッサは、サーフェスの各ｖスパンに対しｖパラ
メータをどのようにテサレイトするかを決定し、各スト
リップのトップ，ボトムに沿ったｖ依存度とｖ導関数を
評価する。各ストリップのトップ及びボトムに対して得
られた斉次座標及びｖ導関数は、４つの並列浮動小数点
プロセッサに送られる。グラフィックス・コントロール
・プロセッサは、ストリップの各ｕスパンに対しｕパラ
メータをどのようにテサレイトするかを決定し、一連の
ｕパラメータ値を浮動小数点プロセッサに送る。各ｕパ
ラメータ値に対し、並列に動作する浮動小数点プロセッ
サは、トップ座標及びボトム座標と、対応するｖ導関数
を評価し、トップ座標及びボトム座標のｕ導関数を得
る。

得られた値は、次段の浮動小数点プロセッサに連続的に
送られる。この浮動小数点プロセッサは、これら値を１
組のジオメトリック座標と１対のポイントに関連する頂
点ベクトルとに変換する。各ｕパラメータに対し、１対
のポイントの一方はストリップのトップにあり、他方は
ストリップのボトムにある。２つの連続する対は、後で
行うレンダリングのための４辺ポリゴンを定める。上述
の処理は、サーフェスの続くストリップのそれぞれに対
し繰り返し行われる。

この発明によれば、グラフィックス・コントロール・プ
ロセッサ手段は、初期ｖスパンを定めるkv行のコントロ
ール・ポイントを格納するために、kv個の行及びNu個の
列（kvはｖパラメータ階数であり、Nuはｕパラメータ次
元である）を有するFIFOコントロール・ポイント・スタ
ックを採用している。連続するｖスパンは、続く個々の
行のコントロール・ポイントをFIFOのトップにロードす
ることにより定められる。続く各ｖスパンは、対応する
連続行のコントロール・ポイントと、直前のkv−１個の
行によって定められる。

またこの発明によれば、サーフェスの初期のｕスパン
は、FIFOスタックの最初のku個の列によって定められ、
続く各ｕスパンは、対応する続く列と、直前のku−１個
の列とによって定められる。

さらにこの発明によれば、グラフィックス・コントロー
ル・プロセッサは、コントロール・ポイント・データを
モデリング座標からビュー座標に変換し、変換された座
標に重みｗを乗算して、斉次座標を得る。

この発明の好適な実施例では、Cox−DeBoorプロセスに
従って評価を行う。並列浮動小数点プロセッサの１つ
は、評価された各ｕパラメータ・ポイントに対し重み出
力を与え、次段の浮動小数点プロセッサは、重みの逆数
を計算し、得られた逆数に残る３つの並列浮動小数点プ
ロセッサの出力を乗算する。クリッピング・プロセッサ
及びフレーム・バッファを、次段の浮動小数点プロセッ
サの出力に直列に接続し、パイプライン処理的に動作さ
せることができる。

この発明のNURBSに基づくパラメトリック・サーフェス
を評価及びレンダリングする方法及び装置は、高性能，
良好な数値安定性，コストの有効性，高速及び精度，既
に提供されているPHIGS PLUS標準とのコンパチビリテ
ィ，データ冗長性の排除，レンダリングされたサーフェ
スにおけるピンホールあるいはリップのようなアーティ
ファクトを避けること、各サーフェスを表すために選択
されたポリゴンの組を、サーフェスの瞬時表示要求に合
致するように最適化することのできるトラバーサル・タ
イム・テサレイションの可能性を含む多くの効果を提供
する。さらに、この発明は、コンピュータ・グラフィッ
クス・ディスプレイ・システムが、低階数のNURBSを用
いて複雑なサーフェスを構成する能力，ローカル・コン
トロール，凸閉包，座標変換及び有効なデータ圧縮に対
する分散に重みを用いて２次サーフェスを正確にレンダ
リングする能力を含む、NURBSの固有の特性及び利点を
十分に利用することを可能にする。

D.実施例 この発明は、高性能を達成するために、並列パイプライ
ン・プロセッサを用いて、非一様有理ｂ−スプライン
（NURBS）に基づくパラメトリック・サーフェスのシェ
ーデッド像を作成するシステムに関するものである。関
連する用語及び数学的表現については、文献“An Intro
duction to Splines for Use in Computer Graphics ＆
Geometric Modelling"by R.H.Bartels,J.C.Beatty,and
B.A.Barsky（Morgan Kaufman,1987）を参照されたい。

簡単に言うと、非一様有理ｂ−スプライン（NURBS）
は、パラメトリック・サーフェスを表するのに用いられ
るパラメトリック関数のクラスである。NURBSサーフェ
スは、折り曲げたり、伸ばしたり、捻じったり３次元形
状を形成することのできる２次元矩形サーフェスにより
構成される。

第１図のうち下側の図は、x,y,z座標空間におけるパラ
メトリック・サーフェスｓを示す図である。第１図の上
側の図は、同一サーフェスｓの内部パラメトリック座標
を示している。

NURBSサーフェスは、サーフェスの一方のエッジから他
方のエッジへ動くに従って単調増加するパラメトリック
座標は、ジオメトリック座標（x.y.z）に変換すること
ができる。すなわち、サーフェスに対し、 ｘ＝Ｘ（u,v） ｙ＝Ｙ（u,v） ｚ＝Ｚ（u,v） ただし、Umin≦ｕ≦Umax Vmin≦ｖ≦Vmax が成り立つ。

パラメトリック・サーフェスは、単純多項式によって定
義することもでき、このようなパラメトリック多項式関
数は、対応するNURBS関数で正確に表すことができる。

NURBSサーフェスは、有理形式あるいは非有理形式によ
って定義できる。非有理形式では、次式のパラメトリッ
ク座標の多項式関数 を評価することによって、NURBSサーフェスの各成分
（x,y,z）を定義することができる。

有理形式では、 で表される重みと呼ばれる追加の関数が存在する。この
場合、ジオメトリック座標は、 Ｘ（u,v）＝WX（u,v）/W（u,v） Ｙ（u,v）＝WY（u,v）/W（u,v） Ｚ（u,v）＝WZ（u,v）/W（u,v） のように多項式の比で定義される。ここに、WX（u,v）,
WY（u,v）,WZ（u,v）は、非有理の場合のＸ（u,v）,Y
（u,v）,Z（u,v）を特定する多項式に類似している。

各NURBSは、パラメトリック座標の最大ベキ数に相当す
る次数mu及びmvと、mu＋１及びmv＋１に等しく、かつ、
次数mu及びmvの多項式において直線的に独立な項の数に
それぞれ相当する階数ku及びkvによって、特徴づけるこ
とができる。したがって例えば、２次関数ax²＋bx＋ｃ
は、次数２及び階数３を有する。

NURBS関数は、それぞれがジオメトリック座標の制限さ
れた範囲に対してのみ有効である多数組の係数によって
表すことができる。したがって、１つのサーフェスは、
それぞれが異なる多項式によって表される１組のパッチ
に分割できる。第１のパッチは、u₀〜u₁のパラメトリッ
ク値ｕと、v₀〜v₁のパラメトリック値ｖによって定めら
れ、サーフェスのこの部分の座標は、多項式 によって定義される。

第２のパッチは、u₁〜u₂のパラメトリック値ｕと、v₀〜
v₁のパラメトリック値ｖとによって定められ、この部分
の座標は、多項式 によって定義される。以下同様にして、定義される。

NURBSは、コントロール・ポイント，重み，ノット・ベ
クトルにより決定される。コントロール・ポイントは、
サーフェスの形状に１次コントロールを与える。サーフ
ェスは、Nu×Nvマトリクスのコントロール・ポイントを
有している。ここで、Nuはｕパラメータの階数kuより大
きいかまたは等しくなければならず、Nvはｖパラメータ
の階数kvよりも大きいか等しくなければならない。サー
フェスは、１セットのパッチにより構成され、各パッチ
はNu×Nvマトリクスのコントロール・ポイントの中のku
×kvのサブセットにより定められる。

Nu×Nvコントロール・ポイント・マトリクスは、サーフ
ェスの全体形状を定めるが、サーフェスは通常これらの
コントロール・ポイントを通過しない。

重み値は、NURBSサーフェスの有理形式を定めるのに用
いられる。有理形式では、重み（ｗ）は、コントロール
・ポイントの座標（x,y,z）のそれぞれに関係してい
る。重みと座標とは結合され、斉次座標（wx,wy,wz,w）
を形成する。この斉次座標は、４つのパラメトリック多
項式関数WX（u,v）,WY（u,v）,WZ（u,v）,W（u,v）の組
に対するコントロール・ポイントを定める。その結果と
して得られるジオメトリック座標は、 Ｘ（u,v）＝WX（u,v）/W（u,v） Ｙ（u,v）＝WY（u,v）/W（u,v） Ｚ（u,v）＝WZ（u,v）/W（u,v） の比により定義される。

重みは、正であり、かつ、０より大きいことが要求され
る。重みの値は、通常１に近く、もし重みがすべて等し
ければ、有理形式は非有理形式に変化する。

サーフェスに対するノット・ベクトルは、パラメトリッ
ク座標（u,v）のパラメータ空間の分割を定めている。
サーフェスは、各パラメトリック座標（u,v）に対する
ノット・ベクトル及び一連のスパンを有している。Nu個
のコントロール・ポイントを有するｕ階数（ku）のノッ
ト・ベクトルはNu＋ku個の成分を有し、Nvコントロール
・ポイントを有するｖ階数（kv）のノット・ベクトルは
Nv＋kv個の成分を有している。各ベクトルの最初及び最
終のノット値は、この発明では用いられないが、標準PH
IGS＋により必要とされる。サーフェスにおける各スパ
ンは、2mの連続ノット値に依存する。ここに、ｍ＝ku−
１またはkv−１であり、kuはサーフェスのｕ階数であ
り、kvはサーフェスのｖ階数である。これらのノット値
は、２つのグループに分けられる。すなわち、一方のグ
ループはスパンに先行するｍ個のノット値を有し、他方
のグループはスパンに後続するｍ個のノット値を有して
いる。例えば、ku＝４ならば、各スパンに対し６個のノ
ット値、すなわちスパンの前の３個のノット値とスパン
の後の３個のノット値とが存在する。ｂ−スプラインが
一様または非一様であれば、ノット値が決定される。ノ
ット値が一様な間隔の値をとるならば（例えば、0,1,2,
3というように）、結果は一様ｂ−スプラインである。
非一様ｂ−スプラインに対しては、ノット値を不規則間
隔で分離することができ、ノット値は、すなわちスパン
の前の３個のノット値ノット・ベクトルにおけるよう
に、（0.0,1.2,1.5,1.5,2.7,9.0）繰り返す。

この明細書では、NURBSという用語は総称的に用いられ
ており、非有理（重みは１に等しくセットされる）及び
一様ｂ−スプラインの特殊なケースを包含することを意
味している。

以下、この発明の好適な実施例を説明する。

この発明の原理に基づいて構成されるサーフェス評価及
びレンダリング・システム10を、第２図に示す。このシ
ステムは、 （１）システム・メモリ12 （２）グラフィックス・コントロール・プロセッサ14及
びローカル・メモリ15;パイプライン処理的に動作す
る。

（３）並列に配置された４個のプロセッサ16x,16y,16z,
16wのグループ16 （４）並列の浮動小数点プロセッサに接続された浮動小
数点プロセッサ18 （５）クリッピング・プロセッサ20 （６）フレーム・バッファ22 システム・メモリ12は、各パラメトリック・サーフェス
に関するデータを格納している。データは、有理または
非有理となり得るサーフェス・タイプ；未定義のテサレ
イション・パラメータに対し０、または定義されたテサ
レイション・パラメータに対し１とすることのできるサ
ーフェス・ステータス・フラグ;2〜kmax（kmaxは、種々
のプロセッサによりサポートされる最大階数）の範囲内
の整数であるｕ階数（ku）及びｖ階数（kv）;ku〜Numax
及びkv〜Nvmax（Numax及びNvmaxは、グラフィックス・
コントロール・プロセッサ14に関連するローカル・メモ
リ15るにりサポートされる最大値）の範囲内の整数であ
るｕ次元（Nu）およびｖ次元（Nv）;uノット値（ｕ
（１）…ｕ（Nu＋ku））;uテサレイション・パラメータ
（du（１）…du（Nu−ku＋１）;vノット値（ｖ（１）…
ｖ（Nv＋kv））;vテサレイション・パラメータ（dv
（１）…dv（Nu−kv＋１））;Nv行またはデータ・レコ
ードよりなるコントロール・ポイント・マトリクス、こ
こで各データレコードは、ｉ＝１〜Nuに対しNu組の座標
（xi,yi,zi,wi）を含む；である。

この発明における前記データの使用については、第13図
を参照すれば、最も良く理解できるであろう。第13図
は、ｕ座標方向に連続するｕスパンと、ｖ座標方向に連
続するｖスパンとを有するパラメトリック・サーフェス
を示している。サーフェスは、それぞれがトップ・エッ
ジとボトム・エッジとを有するストリップにテサレイト
される。トップ・エッジ及びボトム・エッジは、連続す
るｖパラメータ・ポイント（パラメータ・インタバル
（dv）で分離される）に対する斉次座標wx,wy,wz,wの評
価により取り出される。各ストリップは、続くｕスパン
のそれぞれに対し連続するｕパラメータ・ポイント（パ
ラメータ・インタバル（du）で分離される）にテサレイ
トされる。

グラフィックス・コントロール・プロセッサ14は、シス
テム・メモリ12に格納されているデータを読み取り、シ
ステム・メモリにデータを書き込むことができる。グラ
フィックス・コントロール・プロセッサ14は、また、第
２図に２方向の矢印で示すように、ローカル・メモリ15
にデータを書き込み、ローカル・メモリからデータを読
み取ることができる。グラフィックス・コントロール・
プロセッサは、コントロール・ポイント・データを、モ
デリング座標からビュー座標に変換し、；各パッチがビ
ジブルであるか否かを決定し；各ｖスパンに対するｖパ
ラメトリック座標をテサレイトし、一連の離間されたｖ
パラメータ・ポイント（Ｖ）を生成する、ｖパラメトリ
ック座標インタバル（Dv）を決定し；変換コントロール
・ポイント・データを斉次座標（wx,wy,wz,w）に変換
し;u座標方向にサーフェスを完全に横切って延在し、初
期ｖパラメータ・ポイント及び連続ｖパラメータ・ポイ
ントによりｖ座標において区切られたストリップに対
し、それぞれ、一連のNu個のボトム座標及びNu個のボト
ムｖ導関数と、一連のNu個のトップ座標及びNu個のトッ
プｖ導関数を与えるwx,wy,wz,wのｖ依存度を評価し;uパ
ラメトリック座標をテサレイトし、ストリップの各ｕス
パンに対し一連の離間されたｕパラメータ・ポイントPC
を生成する、ｕパラメトリック座標インタバル（Du）を
決定し；より詳細に後述するように、４個の並列浮動小
数点プロセッサ16へコマンド及びデータを送る。

プロセッサ16x,16y,16z,16wは、各ｕパラメータ・ポイ
ントPCに対する、斉次座標wx,wy,wz,wの各１つの、トッ
プ座標及びボトム座標と、トップ及びボトムｖ導関数と
を含む４つのｂ−スプライン関数を独立して、同時に、
かつ同期して評価する。各座標に対するトップ及びボト
ム座標と、トップ及びボトムｕ導関数と、トップ及びボ
トムｖ導関数とを含む評価を、ストリップの各ｕパラメ
ータ・ポイントPCに対する各プロセッサ16x,16y,16z,16
wから、浮動小数点プロセッサ16x,16y,16z,16wから、浮
動小数点プロセッサ18に対して与える。プロセッサ18
は、ｗ（u,v）の逆数を計算し、トップ座標及びボトム
座標のそれぞれに、この逆数を乗算し、対応するジオメ
トリック座標を決定し、対応するｕ及びｖ導関数を決定
し、各ｕパラメトリック・ポイントPCに対するストリッ
プ・トップ・ポイントとストリップ・ボトム・ポイント
のジオメトリックｕ及びｖ接線を決定する。ｕ及びｖ接
線とのクロス乗積をとることによって頂点法線と、その
頂点法線の大きさを計算する。連続するｕパラメータ・
ポイントPCの各組に対する、座標及び頂点法線は、３次
元ポリゴンを定め、プロセッサ18によってクリッピング
・プロセッサ20へ送られる。クリッピング・プロセッサ
では、３次元ポリゴンは既知のように処理される（すな
わち、クリッピング・プロセッサは現在の３次元ビュウ
イング・ウィンドウに対してポリゴンをクリップし、ク
リップされたエッジに沿って頂点法線を補間し、頂点法
線を単位ベクトルに変換する）。クリッピング・プロセ
ッサは、ウィンドウ内に残るポリゴンのどの部分に対し
ても、一連の３次元法線座標及び正規化頂点法線を、フ
レーム・バッファ22へ送る。フレーム・バッファ22は、
従来の方法で、コンピュータ・グラフィックス・ディス
プレイのモニタ・スクリーン（図示せず）上のサーフェ
スを、レンダリングする。

次に、この発明の具体例を説明する。システム・メモリ
12は、２〜4Mbyte（またはそれ以上）のランダム・アク
セス・メモリ（RAM）を備えることができる。このシス
テム・メモリ12は、少なくとも１パラメトリック・サー
フェスに対するデータを保持できなければならず、NURB
Sサーフェスを含む、種々のグラフィックス・エレメン
ト、すなわちプリミティブ及びアトリビュートよりなる
ディスプレイ・リストを有している。グラフィックス・
コントロール・プロセッサ14は、浮動小数点乗算器、乗
算器に対するアキュムレータとして用いることもできる
浮動小数点加算器、シーケンサ、少なくとも32kコード
・メモリをアクセスする機能、少なくとも32kデータ・
メモリをアクセスする機能、32個の整数レジスタ、浮動
小数点演算のための32個のレジスタを有している。プロ
セッサ14は、Weitek of Sunnyvale,Californiaから市販
されている10MHz Weitekチップセット（XL−8136プログ
ラマブル・シーケンサ、XL−3132浮動小数点プロセッサ
・ユニット、XL−8137整数プロセシング・ユニット、こ
れらは一緒に動作する）によって構成できる。

ローカル・メモリ15は、グラフィックス・コントロール
・プロセッサ14によりスクラッチ・エリアとして使用さ
れる１ブロックのランダム・アクセス・メモリ（RAM）
である。ローカル・メモリに蓄積されるデータ値の最大
数は、4Nmax（kmax＋７）である。ここに、Nmaxは、最
大次元（Nu及びNv）であり、kmaxは最大階数（ku及びk
v）である。

各浮動小数点プロセッサ16x,16y,16z,16w,18は、32ビッ
ト浮動小数点性能を有するVLSIプロセッサとすることが
できる。各プロセッサは、浮動小数点乗算器、乗算器に
対しアキュムレータとしても用いられる浮動小数点加算
器、単一シーケンサ、マイクロコードのためのRAM、イ
ンタフェースへの入力及び出力のためのFIFO、データを
蓄積するための64個のレジスタを有している。浮動小数
点プロセッサは、当業者間では周知である。1989年３月
28日出願の米国特許出願第331,021号明細書は、この発
明におけるように、効果的な並列及び／またはパイプラ
インによる相互接続のための特殊な入出力FIFOを設ける
技術を開示している。クリッピング・プロセッサ20及び
フレーム・バッファ22は、それぞれ、多数の類似プロセ
ッサと、適切な性能を与える構成とを有することができ
る。

第３図は、この発明のサーフェス評価システムの一般的
な動作を説明するためのフローチャートである。一般的
に、NURBSサーフェスがシステム・メモリ12のディスプ
レイ・リストにあれば、グラフィックス・コントロール
・プロセッサ14は、データを読み取り、ローカル・メモ
リ及び／またはレジスタに格納する（ステップ24）。コ
ントロール・ポイント・マトリクスの行をシステム・メ
モリ12から読み取り、グラフィックス・コントロール・
プロセッサ14で変換し、グラフィックス・コントロール
・プロセッサのローカル・メモリ内のFIFO（first in−
first out）スタック（kv行×Nu列）に格納する（ステ
ップ26）。これを、１つのｖスパンに対し十分な行がス
タックに格納されるまで繰り返す。或るｖスパンに対す
るコントロール・ポイント・スタックの各列内の個々の
座標に対する値を、対応する重みで乗算して、斉次座標
（wx,wy,wz,w）を生成する（ステップ28）。次に、斉次
座標を、現在のｖパラメトリック・ポイントに基づいて
評価する。ｖスパンの各列内の各コントロール・ポイン
トの座標に対し、上記評価が終了すると、一連のトップ
座標及びトップｖ導関数が生成される。前のストリップ
のトップ値はコピーされ、現在のストリップに対するト
ップ座標及び導関数の値として用いられる（ステップ3
0）。

現在のストリップの各ｕスパンに対し、１組のｕノット
と、各座標（wx,wy,wzまたはｗ）に対する複数組のトッ
プ及びボトム座標と導関数は、４個の並列プロセッサ16
のそれぞれ１つに送られる。各プロセッサ内では、４つ
のｂ−スプライン（トップ座標，トップｖ導関数，ボト
ム座標，ボトムｖ導関数）は、連続するｕパラメータ・
ポイントPCに対して評価され、ストリップ内の各ｕパラ
メータ・ポイントに対し、トップ及びボトム座標と、ト
ップ及びボトムｕ導関数と、トップ及びボトムｖ導関数
に対する値を結果として得る（ステップ32）。各ｕパラ
メータ・ポイントPCに対する各評価後の結果は、プロセ
ッサ18に送られる。プロセッサ18では、各座標から重み
を評価し、頂点ジオメトリック座標、頂点、ｕ及びｖ接
線を決定し、これからストリップの各ｕパラメトリック
・ポイントPCに相当する１対のストリップのトップ及び
ボトム・ポイントに対する頂点法線を決定する。２つの
連続するｕパラメータ・ポイントに対する頂点はポリゴ
ンを定める（ステップ34）。プロセッサ18からの頂点情
報は、クリッピング・プロセッサ20へ送られる。クリッ
ピング・プロセッサは、ポリゴンを従来の方法でクリッ
プし（ステップ36）、結果をフレーム・バッファ22へ送
る（ステップ38）。

サーフェスの初期ｕスパンは、FIFOスタックのコントロ
ール・ポイント・データの最初のku個の列により定めら
れる。このｕスパンは、すぐその後に続くku−１個の列
と共に、続く列のそれぞれによって定められる。

現在のストリップの各ｕスパンが評価された後に、トッ
プ座標及び導関数は、次のストリップのトップ座標及び
導関数にコピーされ、パラメータ・ポイントＶが更新さ
れ、フローは新しいストリップの評価に戻る。これは、
現在のｖスパン及び次のｖスパンに対するパラメータ・
ポイントＶのすべての値に対して繰り返される。続くｖ
スパンのそれぞれは、コントロール・ポイント・マトリ
クスの続く行をFIFOコントロール・ポイント・スタック
のトップにロードすることにより定められる。上述した
ようなNURBSデータの特定の処理は、この発明の多くの
利点を与える。

グラフィックス・コントロール・プロセッサ14の特定の
動作、及びサーフェス評価システム10の他のプロセッサ
の動作を、第4A〜第4J図，第５図，第６図にフローチャ
ートに示し、以下詳細に説明する。

第4A図において、前述したサーフェス・データをシステ
ム・メモリ12から読み取り（ステップ52）、グラフィッ
クス・コントロール・プロセッサ14のレジスタ及び／ま
たはローカル・メモリ15に記憶する。サーフェス・タイ
プ及びステータスフラグを、レジスタに記憶する。ｕパ
ラメータ階数（ku）,u次元（Nu）,Umin,Umax,vパラメー
タ階数（kv）,v次元（Nv）,Vmin,Vmaxを、グラフィック
ス・コントロール・プロセッサ（GCP）内のレジスタ及
びローカル・メモリに記憶する（ステップ54）。ｕノッ
ト値,uテサレイション・パラメータ,vノット値,vテサレ
イション・パラメータ，コントロール・ポイント・マト
リクスを、グラフィックス・コントロール・プロセッサ
のローカル・メモリに記憶する（ステップ56）。ローカ
ル・メモリには、ｕテサレイション・パラメータ及びｕ
ノット値が１つのベクトルとして記憶される。このベク
トルは、それぞれN2ワードを有する２つの行を保持する
のに十分な容量を有している。ここに、N2はローカル・
メモリによってサポートされる最大ｕ次元（例えば64）
に等しい。第１行は、すべてのｕテサレイション・パラ
メータ及びku個のノット値を含んでいる。

次表は、ｕテサレイション及びｕノット・ベクトルを示
す。この表において、行はベクトル内の行を示し、ポジ
ションは特定の行内のロケーションを示している。

この表は、また、ｖテサレイション・パラメータ及びｖ
ノット値に対し真を保持している。次表は、ｖテサレイ
ション及びｖノット・ベクトルを示す。

第4A図において、次のステップは、グラフィックス・コ
ントロール・プロセッサ内のステータス・フラグを調べ
ることである（ステップ58）。ステータス・フラグは、
コントロール・ポイント・マトリクスの各ｕスパンに対
しｕテサレイション・パラメータが計算されたか否かを
識別するために用いられる。ステータス・フラグが０な
らば、これらdU値を計算する必要がある（ステップ6
0）。コントロール・ポイント・マトリクスの各ｕスパ
ンに対し、テサレイション・パラメータを計算するのに
必要なステップは、第５図のフローチャートによって最
も良く理解できるであろう。このフローチャートは、第
４図のステップ60（dUの計算）を詳細に示している。

テサレイション（tessellation）は、曲面をフラット・
ポリゴンで近似できる領域へ分割する処理である。

ｕテサレイション・パラメータの計算は、サーフェスの
ｕ階数（ku）で定まるｕスパン内のポイント数に依存す
る、第7A図及び第7B図に示すように、ｕ階数（ku）のサ
ーフェスは、１個のｕスパン当りku個のコントロール・
ポイントと、Nv個のコントロール・ポイントの各行に対
してku−１個のセクションとを有している。ku個のコン
トロール・ポイントは、２個のエンド・ポイントと、ku
−２個のインターメディエイト・ポイントより構成され
る。したがって、ku＝３ならば、 dU＝|ax|＋|ay|＋|az| を生成する２個のセクションと１個のインターメディエ
イト・ポイントが存在する。ku＝４ならば、 dU＝|ax|＋|bx|＋ |ay|＋|by|＋ |az|＋|bz| を生成する３個のセクションと、２個のインターメディ
エイト・ポイントが存在する。ここに、dUはベクトルａ
及びｂの長さの和における境界である。

第５図において、各ｕスパンに対するすべてのｕテサレ
イション・パラメータは、最初に０に初期化しなければ
ならない（ステップ350）。これは、du（ucount）＝０
にセットすることにより行われる。ここに、スパンの数
であるNu−ku＋１に対しucont＝１である。次に、特定
のdU計算に用いられるコントロール・マトリクス内の現
在のデータ行を表すvcountと呼ばれるレジスタを、０に
セットし（ステップ352）、その直後に、１だけ更新す
る（ステップ354）。次に、コントロール・ポイント・
マトリクスから行（vcount）を読み取る（ステップ35
6）。次に、ucountと呼ばれるレジスタを０にセットし
（ステップ358）、その直後に１だけ更新する（ステッ
プ360）。この例では、ucountは、特定のdU計算に用い
られるコントロール・ポイント・マトリクス内の特定の
データ列を表している。次に、ｕスパンの初めを示すU₁
をuknot（ucount＋ku−１）にセットし、ｕスパンの終
わりを示すU₂をuknot（ucount＋ku）にセットする（ス
テップ361）。

これらの初期ステップが完了した後、次のステップは、
有効なｕスパンがあるか否かを判断することである（ス
テップ362）。ｕスパンは、 U₁＜Umax U₂＞Umin U₂＞U₁ ならば有効である。ここに、U₁及びU₂は、前のステップ
で与えられた値に等しく、Umax及びUminの値は、システ
ム・メモリから読み取られ、グラフィックス・コントロ
ール・プロセッサ内のレジスタ及びローカル・メモリに
記憶されている。

ｕスパンが無効ならば、ライン364を経てステップ376
（ucount＝Nu−ku＋１か？）に進み、次のｕスパンにス
キップする。ｕスパンが有効ならば、最大ｕテサレイシ
ョン・パラメータ（dU）の計算が続けられる（ステップ
366）。

この時点で、dUテサレイション・パラメータ（一時的に
ｄと称する）は、Ｘ（n,vcount）,Y（n,vcount）,Z（n,
vcount）,W（n,vcount）に基づいて計算される。ここ
に、ｎは、vcountの各値に対し、ucount〜ucount＋ku−
１の範囲にある。例えば、ku＝3,vcount＝1,ucount＝１
ならば、ｄは、x₁₁，y₁₁，z₁₁，w₁₁；x₂₁，y₂₁，z₂₁，w
₂₁；x₃₁，y₃₁，z₃₁，w₃₁で表されるコントロール・ポイ
ントの値に基づいて計算される。次に、ｄの計算値は、
dU（ucount）と比較される（ステップ368）。ｄがdU（u
count）により表される値より大きければ、dU（ucoun
t）はｄに等しくなるようにセットされ（ステップ37
0）、グラフィックス・コントロール・プロセッサのロ
ーカル・メモリに記憶される（ステップ372）。

次に、ucountが、ｕスパンの数であるNu−ku＋１に等し
いか否かが判断される（ステップ376）。等しくなけれ
ば、フローはライン378を経てステップ360（ucountを更
新する）に戻る。等しければ、或る行の各ｕスパンに対
する最大ｕテサレイション・パラメータを調べる。次
に、vcountを、コントロール・ポイント・マトリクスの
行の数に相当するNvと比較する（ステップ380）。vcoun
tがNvに等しくなければ、ライン382を経てステップ354
（vcountをインクリメントする）に戻り、新しい行のｕ
スパンに対し上記テサレイション処理を繰り返す。vcou
ntがNvに等しければ、ｕテサレイション・パラメータの
ベクトルは、コントロール・ポイント・マトリクスの各
ｕスパンに対する最大値dUを含む。次に、コントロール
・ポイント・マトリクスに対するポインタをリセット
し、第4A図のステップ62（vcountを初期化する）に戻る
（ステップ384）。

再び第4A図において、vcountは０に初期化され（ステッ
プ62）、次にコントロール・ポイント（CTRL PTS）の１
行が、グラフィックス・コントロール・プロセッサ14に
よりシステム・メモリ12から読み取られる。これらのコ
ントロール・ポイントは、モデリング座標からビュー座
標（x,y,z）に変換される（ステップ64）。この変換
は、従来の方法により、x,y,z座標を所望なように平行
移動し、回転し、スケールする処理である。この処理に
用いられる変換マトリクスは、グラフィックス・コント
ロール・プロセッサに予めロードされている。

変換処理が終了した後、変換座標をローカル・メモリの
スタックに格納する。このスタックは、Nu列及びNv行の
データを保持するのに十分な容量を有し、ファーストイ
ン・ファーストアウト（FIFO）的に動作する。コントロ
ール・ポイントの１行が格納された後のこのスタックの
説明については、第8A図を参照されたい。次に、グラフ
ィックス・コントロール・プロセッサは、vcountが階数
（kv）より小さいか否かを判断する（ステップ70）。vc
ountがkvより小さければ、ライン72を経てステップ64
（コントロール・ポイントの１行を読み込め）に戻る。
vcountがkv以上であれば、これは、ｖスパンに対する十
分なデータ行がコントロール・ポイント・スタックに格
納されたことを示している。次に、ｖスパンの始まりで
あるV₁をvknot（vcount）に等しくなるようにセットし
（ステップ74）、ｖスパンの終わりであるV₂を、vknot
（vcount＋１）に等しくなるようにセットする（ステッ
プ76）。

次に、ｖスパンが有効であるか否かを判断する（ステッ
プ78）。ｖスパンは、 V₁＜Vmax V₂＞Vmin V₂＞V₁ ならば有効である。ここに、V₁及びV₂は、前のステップ
で与えられた値に等しく、Vmax及びVminの値は、システ
ム・メモリから前に読み取られて、グラフィックス・コ
ントロール・プロセッサ内のレジスタ及びローカル・メ
モリに記憶されている。

ｖスパンが無効ならば、次のｖスパンに続くために、ラ
イン80を経て第4F図のステップ280（vcount＜Nvか）に
行く。ｖスパンが有効ならば、各パッチに対する最小及
び最大座標が決定される。パッチは、ku列及びkv行によ
って決定される。したがって、例えばku＝3,kv＝４な
ら、パッチはコントロール・ポイント・スタック内の12
個のロケーションすなわち“ボックス”によって決定さ
れる。このようなパッチの説明については、第8B図を参
照されたい。パッチに対して最小及び最大座標を計算す
るには、コントロール・ポイント・スタックの各列に対
する最小及び最大座標を、最初に決定しなければならな
い（第4A図のステップ82）。得られる結果の値は、（xm
in（ｉ）,ymin（ｉ）,zmin（ｉ）,vsbl（ｉ）），また
は（xmax（ｉ）,ymax（ｉ）,zmax（ｉ）,Qmin（ｉ））
のいずれかに相当するストーレッジ内に蓄積された行内
に配置される。なお、ｉは現在の列である。

コントロール・ポイント・スタックの各列に対する最小
及び最大座標を決定するためには、１つの列のx,yまた
はｚの各値を、同一列内のx,yまたはｚの残りの値と比
較しなければならない。例えば、コントロール・ポイン
ト・スタックが、次のような２列４行を有するならば、 次に、第１列内の最小及び最大ｘ値を決定するために、
その列（x₁₁，x₁₂，x₁₃，x₁₄）内のすべてのｘ値を、互
いに比較する。その結果得られた最小値は、Xmin（ｉ）
に格納され、最大値はXmax（ｉ）に格納される。ｙ及び
ｚの最小値及び最大値を決定するのに同じ手順を用い
る。その結果は、ymin（ｉ）,ymax（ｉ）,zmin（ｉ）,z
max（ｉ）にそれぞれに格納される。しかし、ｗ座標の
最小及び最大値を計算する必要はない。したがって、Wm
in（ｉ）及びWmax（ｉ）に相当する記憶エリアは、vsbl
（ｉ）及びQmin（ｉ）にそれぞれリザーブされている。
この時点で、レジスタvsbl（ｉ）の各値は、０に初期化
され、レジスタQmin（ｉ）の各値は０に初期化される。
これらレジスタについては、後に詳述する。

列内の各座標に対する最小及び最大値の決定から得られ
る結果は、各ｕスパンに対する最小及び最大値を見つけ
るのに用いられる（ステップ84）。例えば、列数（Nu）
が９に等しい各列に対するｘ座標の最小値の計算が、xm
in1,xmin2,xmin3,xmin4,xmin5,xmin6,xmin7,xmin8,xmin
9のような結果の列を生成するならば、ｕスパンに対す
る最小値は、 Xmin（Ｓ）＝Xmin（ｉ）の最小値 ここにｉ＝ｓ〜ｓ＋ku−１ ｓ＝１〜Nu−ku＋１ のように計算される。Nu−ku＋１はｕスパンの数であ
り、kuはサーフェスのｕ階数である。したがって、Nu＝
9,ku＝３ならば、ｕスパンの数は７に等しく、最初のXm
in値は、Xmin1,Xmin2,Xmin3（この時点においてこの例
では、ｓ＝１（したがってｓ＋ku−１＝３）、及び、ｉ
は行の第１〜第３列に関連する１〜３の範囲にある）を
比較することに決定される。この比較の結果得られる値
は、ローカル・メモリ内のそのロケーションに値を置き
換えているXmin（ｓ）に記憶される。同じ手順が、最大
値を見つけるために行われるが、結果はXmax（ｓ）に記
憶される。この処理がすべての座標（x,y,z）及びすべ
てのｕスパンに対して終了すると、結果は現在のｖスパ
ン内の各パッチに対する最小値及び最大座標になる。

次に、ucountを１に初期化する（ステップ86）。次に、
各パッチに対して決定されたばかりの最小及び最大値と
の間で、ウィンドウ境界に対する比較を行う（第4B図の
ステップ88）。これらがオーバラップするならば（ステ
ップ90）、vsbl（ucount）と称される前述のレジスタ
と、visと称されるステータス・レジスタにおけるビッ
トとが、１に初期化される（ステップ92,94）。次に、
法線しきい値Qmin（ucount）が計算される（ステップ9
6）。Qmin値に必要なストーレッジは早めに記憶されて
いる。

Qminは、 Qmin（ｓ）＝(e・xmax(s)-xmin(s))²＋(ymax(s)-ymin
(s))²＋(zmax(s)-zmin(s))²))² のように計算される。ここに、ｓは１〜Nu−ku＋１（ｕ
スパンの数）を表しており、ｅは10^-5＝0.00001のよう
な小さい値であり、これは座標及び法線ベクトルの計算
に用いられる浮動小数点数の精度を表している。

次に、ucountをｕスパンの数Nu−ku＋１と比較する（ス
テップ98）。これらが等しくなければ、ucountを１だけ
インクリメントし（ステップ100）、ライン102を経てス
テップ88（ｕスパン（ucount）に対する最小と最大とを
比較する）。ステップ98において等しければ、visを０
と比較する（ステップ104）。vis＝０ならば、パッチの
全列はビジブルでなく、ライン105を経て第4F図のステ
ップ280（vcount＜Nvか）に進む。visが０に等しくない
ならば、１以上のパッチがビジブルであり、処理が続け
られる。

次に、ステータス・フラグを０と比較する（ステップ10
6）。ステータス・フラグは、ｖテサレイション・パラ
メータが計算されたか否かを識別する。ステータス・フ
ラグが０に等しくないならば、ｖテサレイション・パラ
メータが決定され、ステップ112（Dvを計算する）にス
キップする。status＝０なら、テサレイション・パラメ
ータdVが計算され、グラフィックス・コントロール・プ
ロセッサのローカル・メモリに記憶される（ステップ11
0）。

ｖテサレイション・パラメータを計算するのに必要なス
テップは、第６図のフローチャートにより良く理解でき
るであろう。このフローチャートは、第4B図のステップ
110（dVを計算する）を詳細に示している。

第６図において、フローチャートは、全ｖスパンに対す
る最大ｖテサレイション・パラメータを計算するのに必
要なステップを示している。この最大dV値を計算するに
は、以下のステップが実行される。まず初めに、dV及び
ucountを０に初期化し（ステップ386,388）、その直後
にucountを１だけインクリメントする（ステップ39
0）。

次に、ｖテサレイション・パラメータを、 ｘ（ucount,vcount1） ｙ（ucount,vcount1） ｚ（ucount,vcount1） ｗ（ucount,vcount1） に基づいて計算する（ステップ392）。ここに、vcount
＝１〜kvであり、ｖはサーフェスの階数である。この計
算の結果は、ｄと称されるレジスタに格納される。次
に、ｄをレジスタdVに格納されている値と比較する（ス
テップ394）。ｄがdVより大きければ、dVはｄに等しく
なるようにセットされる（ステップ396）。ｄがdV以下
であればucountがコントロール・ポイント・マトリクス
の列の数であるNuに等しいか否かを判断する（ステップ
398）。これらが等しくなければ、ライン400を経てステ
ップ390（ucountを１だけインクリメントする）に戻
る。ucountがNuに等しければ、dV（ucount）はdVに等し
くなるようにセットされる（ステップ402）。この時点
では、dV（ucount）は、全ｖスパンに対する最大ｖテサ
レイション・パラメータを含んでいる。そして、第4B図
のステップ112（Dvを計算する）に進む。

第4B図において、次のステップは、ｖパラメトリック座
標インタバルであるDvを計算することである。Dvは、グ
ラフィックス・コントロール・プロセッサによって、 Dv＝（V₂−V₁）/Nvstep のように計算される（ステップ112）。ここに、Nvstep
は、 （ａ）スクリーン（ピクセル）座標／データ座標の比に
等しいスケールｓを計算する、 （ｂ）dv（vcount−kv＋１）にｓを乗じてdV′を生成す
る、デバイス座標であるピクセル・ユニットにdv（vcou
nt−kv＋１）を変換する、 （ｃ）Nvstep＝max（1,Int sqrt（dv'））を計算する、 によって決定される。

ｖパラメトリック座標インタバルを計算した後、ｖスパ
ンの開始及び終了が、Vmin及びVmaxによってセットされ
る境界の外側にないようにするために、V₁及びV₂を次の
ように調整する。VminがV₁とV₂との間にあるならば、V₁
はVminに等しくなるようにセットされ、VmaxがV₁とV₂と
の間にあるならば、V₂はVmaxに等しくなるようにセット
される。

次に、最初のｖスパンの開始を表すvflagと称されるレ
ジスタ、及びｖインタバル・ループを出るときを表すvl
astを称されるレジスタを、０に初期化する（第4C図の
ステップ116,118）。次に、現在のｖパラメータ・ポイ
ントＶを、ｖスパンの始まりであるV₁に等しくなるよう
にセットし（ステップ120）、ucountを０に初期化する
（ステップ122）。次に、vcountを１だけインクリメン
トする（ステップ124）。

初期化が終了した後に、グラフィックス・コントロール
・プロセッサは、ｖパラメータ・ポイントＶの現在の値
に対し、斉次座標（wx,wy,wz,w）を評価する。斉次座標
を得るためにはx,y,zの各値を、対応する重みｗの値で
乗算する。したがって、ｘ（ucount,vcount）,y（ucoun
t,vcount）,z（ucount,vcount）は、ｗ（ucount,vcoun
t）により乗算される（ステップ126）。

好適な実施例では、Cox−DeBoor（またはDeCasteljau）
プロセスとして当業者に知られているプロセスを、評価
に用いる。このプロセスは、コントロール・ポイントの
成分間の直線補間を実行する。Ｖの各値に対し全体でkv
（kv−１）/2個の補間を実行する。

このアルゴリズムを説明するために、kv＝４であるサー
フェスについての例を示す。第9A図は、kvコントロール
・ポイントに対するｘ座標を示している。第9A図におい
て、kv＝４であり、スパンはノット値V₁で始まりノット
値V₂で終了する。V₁及びV₂は、vknot（vcount）及びvkn
ot（vcount＋１）にそれぞれ位置するｖノット及びテサ
レイション・ベクトルにおける値に等しい。Ｖはパラメ
ータ・ポイントであり、スパンの前に３個のノット値
（v₂，v₃，v₄）があり、スパンの後に３個のノット値
（v₅，v₆，v₇）がある。６個のノット値v₂〜v₇は、それ
ぞれvcount−kv＋2,vcount−kv＋3,vcount,vcount＋1,v
count＋2,vcount＋kv−１でのノット・ベクトル内のノ
ット値を示している。

第9B図は、補間される各部分の始まりを示す前ノット
（v₂，v₃，v₄）の配置を示し、第9C図は、補間される各
部分の終わりを示す後ノット（v₅，v₆，v₇）の配置を示
している。したがって、補間は、v₂とv₅との間、v₃とv₆
との間、v₄とv₇との間で行われる。

Cox−Deboorのアルゴリズムは、上述した変数を次式に
用いている。以下の例は、ｖ階数,kv＝４のサーフェス
に対するものである。

f₁＝（（v₅−ｖ）x₁₁＋（ｖ−v₂）X₁₂）／（v₅−v₂） f₂＝（（v₆−ｖ）x₁₂＋（ｖ−v₃）X₁₃）／（v₆−v₃） f₃＝（（v₇−ｖ）x₁₃＋（ｖ−v₄）X₁₄）／（v₇−v₄） これら３つの式は、kv＝４であるサーフェスに対する直
線補間の第１段階で用いられる。補間は、３つのポイン
トを作成するために、v₂とv₅との間、v₃とv₆との間、v₄
とv₇との間で行われる。これら３つのポイントを、第9D
図に○で囲って示す。補間の第２段階は、ノット値の再
配置を必要とする。この段階では、３つのポイントしか
もっていないので、ノットv₃〜v₆を必要とするだけであ
る。ノットv₃，v₄は、新しい前ノットであり、v₅，v₆は
新しい後ノットである。次の２つの式は、kv＝４である
サーフェスに対する直線補間の第２段階の間に用いられ
る。

f₁＝（（v₅−ｖ）f₁＋（ｖ−v₃）f₂）／（v₅−v₃） f₂＝（（v₆−ｖ）f₂＋（ｖ−v₄）f₃）／（v₆−v₄） 補間は、２つのポイントを作成するために、v₃とv₅との
間、v₄とv₆との間で行われる。これら２つのポイント
は、第9E図に○で囲んで示している。

この補間は、導関数を計算するのに用いられる接線をも
作成する。接線を得るために、Ｂでの値からＡでの値を
減算する。A,Bは第9E図に示されている。

補間の最終段階では、再びノット値の再配置を必要とす
る。この段階では、２つのポイントしかもっていないの
で、ノットv₄及びv₅を必要とするだけである。次式は、
サーフェス上のポイントのｘ座標を作成するのに用いら
れる。

ｆ（ｖ）＝（（v₅−ｖ）f₁＋（ｖ−v₄）f₂）／（v₅−
v₄） このポイントは、第9F図に○で囲って示す。接線の計算
を含む上述のアルゴリズムは、wx,wxv,wy,wyv,wz,wzv,
w,wv（ｖはｖ導関数を示している）を作成するために、
グラフィックス・コントロール・プロセッサ内の各座標
（wx,wy,wz,w）上で実行される（第4C図のステップ12
8）。

wx,wy,wz,wの評価後、結果として得られるポイント及び
導関数は、トップ座標TC（第4D図のステップ130）及び
トップｖ導関数TVD（ステップ132）としてｖインタバル
・スタックに格納される。ｖインタバル・スタックは、
２行と８×N2までの幅とを有している。ここにN2は、グ
ラフィックス・コントロール・プロセッサのローカル・
メモリによりサポートされる最大ｕ次元（例えば64）で
ある。スタックのトップ行はトップ座標TC及びトップｖ
導関数TVDを有し、次行はボトム座標BC及びボトムｖ導
関数BVDを有している。ｖインタバル・スタックの説明
は、第10A図を参照されたい。

１列のwx,wy,wz,wに対する評価が終了した後に、ucount
をｕ次元Nuと比較する（第4D図のステップ134）。ucoun
tがNuに等しくなければ、ライン135を経て第4C図のステ
ップ124（ucountをインクリメントする）に戻り、コン
トロール・ポイント・スタックの各列内のすべての要素
が評価されるまで評価処理を続ける。各列内のすべての
要素が評価されると、ucountはNuに等しくなり、ストリ
ップのトップ・エッジが定められる。トップ・エッジ及
びボトム・エッジを有するストリップについては、第13
図を参照されたい。

次に、vflagを０と比較する（ステップ136）。vflagが
０に等しければ、それは最初のスパンの開始であり、ラ
イン138を経て第4F図のステップ258（vflag＝１）へス
キップする。実行される次のステップが、取り出された
トップ座標及びｖ導関数のみならず、この時点ではまだ
取り出されていないボトム座標及びｖ導関数をも必要と
するので、前記スキップが必要となる。vflagが０に等
しくないならば、トップ及びボトム座標及びｖ導関数が
計算され、処理が続けられる。この時点では、ストリッ
プはすでに定められている。第13図を参照されたい。

次に、コマンド“パラメトリック・サーフェスをスター
ト”及び階数（ku）が各並列浮動小数点プロセッサ16に
送られる（ステップ140,142）。次に、ku−１個のｕノ
ットがグラフィックス・コントロール・プロセッサのロ
ーカル・メモリから読み取られて、各並列浮動小数点プ
ロセッサへ送られる（ステップ144）。各プロセッサ内
では、これらｕノットをスタックに格納する。各スタッ
クは、2ku−２行のデータを保持するに十分な容量を有
し、ファーストイン・ファーストアウト（FIFO）的に動
作する。各並列プロセッサ内のノット・スタックの説明
については、第11図を参照されたい。第11図の各スタッ
クは、格納されたばかりのku−１個のｕノットを示して
いる。

次に、ucountは０に初期化され（ステップ146）、コマ
ンド“サーフェス・スパンをスタート”が各並列浮動小
数点プロセッサに送られる（ステップ148）。次に、uco
untは１だけインクリメントされ（ステップ150）、ｕ階
数（ku）及びｕノット（ku＋ucount−１）が、各浮動小
数点プロセッサ16に送られる（ステップ152）。各並列
浮動小数点プロセッサ16がｕノット値を受け取ると、こ
の値は前述したように各プロセッサのスタックに格納さ
れる（ステップ154）。

次に、各座標（x,y,z,w）に対し、ｖインタバル・スタ
ックの列（ucount）内の、対応するトップ座標，トップ
ｖ導関数，ボトム座標，ボトムｖ導関数が、グラフィッ
クス・コントロール・プロセッサから対応する浮動小数
点プロセッサに送られる（ステップ156）。例えば、ｘ
座標に対応する情報はプロセッサ16xに送られ、ｙ座標
に対応する情報はプロセッサ16yに送られる等である。
データが対応するプロセッサにより受け取られると、プ
ロセッサは、データをスタックに格納する（ステップ15
8）。このデータ・スタックは、４列幅及びku行の深さ
を有し、FIFO的に動作する。１データ行が格納された後
の、各プロセッサ内の各スタックの状態は第11図を参照
されたい。

次のステップは、ucountがkuより小さいか否かを決定す
るステップである（第4E図のステップ160）。小さいな
らば、ｕスパンは終了せず、ライン161を経て第4D図の
ステップ150（ucountをインクリメント）へ戻り、さら
に多くのデータを各並列プロセッサに送る。ucountがku
以上ならば、ｕスパンは終了する。

ｕスパンが終了した後、U₁をuknot（ucount）に等しく
なるようにセットし（ステップ162）、U₂をuknot（ucou
nt＋１）に等しくなるようにセットする（ステップ16
4）。

次のステップでは、ｕスパンが有効か否かを決定する
（ステップ166）。ｕスパンは、 U₁＜Umax U₂＞Umin U₂＞U₁ ならば、有効である。ここに、U₁及びU₂は、前のステッ
プで与えられた値に等しく、Umax及びUminはローカル・
メモリに前に記憶されている値に等しい。ｕスパンが無
効であるならば、ライン168を経て第4F図のステップ255
（ucount＜Nuか）に進み、次のｕスパンを処理する。ｕ
スパンが有効なら、vsbl（ucount−ku＋１）を１と比較
する（ステップ170）。１に等しくなければｕスパンは
ビジブルでなく、ライン171を経て再びステップ255（uc
ountをインクリメント）へ進む。１に等しければ、Qmin
（ucount−ku＋１）を各並列プロセッサに送る（ステッ
プ172）。各並列プロセッサ16がQminを受け取ると、Qmi
nをプロセッサ18に送る（ステップ174）。プロセッサ18
は、Qminをレジスタに格納する。

次に、ｕパラメトリック座標インタバルDuは、グラフィ
ックス・コントロール・プロセッサ内で、 Du＝（U₂−U₁）/Nustep のように計算される（ステップ176）。ここに、Nustep
は、 （ａ）スクリーン（ピクセル）座標／データ座標の比に
等しいスケールｓを計算する、 （ｂ）dU（ucount−ku＋１）を、ピクセル・ユニットに
変換する。ピクセル・ユニットは、dU（ucount−ku＋
１）にｓを乗じてdU′を生成するデバイス座標である、 （ｃ）Nustepを計算する、Nustep＝Max（1,Intsqrt（d
u′））である、 によって決定される。

ｕパラメトリック座標インタバルが計算された後、ｕス
パンの初め及び終わりがUmin及びUmaxによって設定され
る境界の外側にないことを確保するために、U₁及びU₂を
次のように調整する。（ステップ178）。UminがU₁とU₂
との間にあれば、U₁はUminに等しくなるように設定さ
れ、UmaxがU₁とU₂との間にあれば、U₂はUmaxに等しくな
るように設定される。

次に、コマンド“パラメトリック・サーフェスを評価せ
よ”が、各並列プロセッサ16に送られる（ステップ20
0）。並列プロセッサがこのコマンドを受け取ると、プ
ロセッサは同じコマンドをプロセッサ18に送る（第4G図
のステップ206）。プロセッサ18は、一連のポリゴンの
開始を指示する、vflag＝０及びPREV＝NONEをセットす
る（ステップ208,210）。これらの動作が実行されてい
る間、グラフィックス・コントロール・プロセッサは動
作し続ける。第4E図のライン202は、グラフィックス・
コントロール・プロセッサにおいて動作が実行されると
同時に、他のプロセッサにおいても動作が実行されるこ
とを示している。次に、グラフィックス・コントロール
・プロセッサは、ｕ階数（ku）を、各並列浮動小数点プ
ロセッサに送る（ステップ212）。

次に、PCと称されるレジスタが、最初のｕパラメトリッ
ク・ポイントを示すU₁に等しくなるようにセットされる
（ステップ214）。PCは、各並列プロセッサに送られる
（ステップ216）。

並列プロセッサ16x,16y,16z,16w及び次段のプロセッサ1
8で行われる動作は、第4H図のフローチャートにより理
解できるであろう。第4H図のフローチャートにおけるタ
スクは、グラフィックス・コントロール・プロセッサの
動作と同時に行われる。これは、第4E図にライン218に
よって示されている。

プロセスのこの段階では、トップ及びボトム座標及びｖ
導関数より成るストリップが存在している。このストリ
ップは、サーフェスの全長に対しｕ座標方向に延在し、
連続する２個のｖパラメトリック・ポイントによりｖ座
標において境界が定められている。次のステップは、ｂ
−スプライン関数を評価することである。ｂ−スプライ
ン関数は、ストリップ、すなわち続くｕスパンのそれぞ
れに対する連続ｕパラメータ・ポイントに基づく、トッ
プ座標，トップｖ導関数，ボトム座標，ボトムｖ導関数
を定義している。第13図は、ストリップと、連続するｕ
個のインタバルに分割された連続ｕスパンを示してい
る。

第4H図において、並列浮動小数点プロセッサがパラメー
タ・ポイント（PG）を受け取った後は、各プロセッサ
は、コントロール・ポイント座標の組（wx,wy,wz,w）の
１つの要素に対し、ｂ−スプライン関数の評価を開始す
る（ステップ224）。例えば、第１の並列浮動小数点プ
ロセッサ16xは、ｘ座標に対する評価を行い、第２並列
浮動小数点ポイント・プロセッサ16yは、ｙ座標に対す
る評価を行う等である。すべての４個の並列浮動小数点
プロセッサは、それぞれの座標を同時に評価する。各座
標に対し、各プロセッサは、４つのｂ−スプライン関
数、すなわちトップ座標，トップ導関数，ボトム座標，
ボトムｖ導関数を評価する。これら４つのｂ−スプライ
ン関数から、上述した値に加えて、トップｕ導関数及び
ボトムｕ導関数を含む６個の値が生成される。

前述したCox−DeBoorアルゴリズムは、４つのｂ−スプ
ライン関数のそれぞれを評価するのに用いられている。
トップ及びボトムｕ導関数は、トップ及びボトムｖ導関
数と同様に計算される。すなわち、トップ及びボトムｕ
導関数は、トップ及びボトム座標から導き出される。

各並列プロセッサからの６つの値は、同時にプロセッサ
18に送られる（ステップ226）。これらの値は、１組の
トップ座標（TWX,TWY,TWZ,TW）と、１組のトップｕ導関
数（TWXU,TWYU,TWZU,TWU）と、１組のトップｖ導関数
（TWXV,TWYV,TWZV,TWV）と、１組のボトム座標（BWX,BW
Y,BWZ,BW）と、１組のボトムｕ導関数（BWXU,BWYU,BWZ
U,BWU）と、１組のボトムｖ導関数（BWXV,BWYV,TWZV,TW
V）とを含んでいる。

前述したように各組の座標及び導関数を受けると（ステ
ップ227）、プロセッサ18は種々のステップを実行す
る。まず初めに、TW＝1/TWを計算し、この値を、それぞ
れトップ座標及び導関数に対するライト頂点座標及びラ
イト頂点接線の連続する計算に用いる（ステップ22
9）。

トップ・ライト頂点座標は、 TRX＝TWX・TW TRY＝TWY・TW TRZ＝TWZ・TW のように計算されている。したがって、トップ座標TC＝
（TRX,TRY,TRZ）となる。

トップ・ライト頂点ｕ接線は、 TRXU＝（TWXU−TRX・TWU）TW TRYU＝（TWYU−TRY・TWU）TW TRZU＝（TWZU−TRZ・TWU）TW のように計算される。

トップ・ライト頂点ｖ接線は、 TRXV＝（TWXV−TRX・TWV）TW TRYV＝（TWYV−TRY・TWV）TW TRZV＝（TWZV−TRZ・TWV）TW のように計算される。

次に、トップ・ライト頂点法線を、対応するトップｕ及
びｖ接線のクロス乗積をとることによって計算する（ス
テップ230）。例えば TNX＝TRYU・TRZV−TRZU・TRYV TNY＝TRZU・TRZV−TRXU・TRZV TNZ＝TRXU・TRYV−TRYU・TRXV のように計算される−したがって、サーフェス法線ベク
トルTN＝（TNX,TNY,TNZ）となる。

次に、頂点法線の大きさを、 TMP＝TNX・TNX＋TNY・TNY＋TNZ・TNZ のようにx,y,z座標の２乗の和をとることによって計算
する。

次に、TMPの値を、Qminと比較する（ステップ231）。TM
PがQminより小さければ、レジスタのビットをフェイル
（fail）にセットする（ステップ232）。TMPがQmin以上
であれば、ビットをパスに等しくなるようにセットする
（ステップ233）。

次に、他のパスまたはフェイルを生成するために、ボト
ム値に対し上述の手順を繰り返す。BW＝1/BWを計算し、
ボトム・ライト頂点座標を、 BRX＝BWX・BW BRY＝BWY・BW BRZ＝BWZ・BW のように計算する（第4I図のステップ234）、したがっ
て、ボトム座標BC＝（BRX,BRY,BRZ）となる。

次に、ボトム・ライト頂点ｕ接線を、 BRXU＝（BWXU−BRX・BWU）BW BRXY＝（BWYU−BRY・BWU）BW BRXZ＝（BWZU−BRZ・BWU）BW のように計算する。

ボトム・ライト頂点ｖ接線は、 BRXV＝（BWXV−BRX・BWV）BW BRYV＝（BWYV−BRY・BWV）BW BRZV＝（BWZV−BRZ・BWV）BW のように計算される。

次に、対応するボトムｕ及びｖ接線のクロス乗積をとる
ことによって、ボトム・ライト頂点法線を計算する（ス
テップ235）。例えば BNX＝BRYU・BRZV−BVZU・BRYV BNY＝BRZU・BRZV−BRXU・BRZV BNZ＝BRXU・BRYV−BRYU・BRXV のように計算される。したがって、サーフェス法線ベク
トルBN＝（BNX,BNY,BNZ）となる。

次に、BMPの値を、Qminと比較する（ステップ236）。BM
PがQminより小さければ、レジスタのビットをフェイル
にセットする（ステップ237）。BMPがQmin以上であれ
ば、ビットをパスに等しくなるようにセットする（ステ
ップ238）。

次に、上述のテストの２つの結果及びPREVの値に基づい
て、２つのベクトルV1及びV2に、特定の値を割り当て
る。これらベクトルの値は、現在の法線ベクトルのトッ
プ及びボトムが法線しきい値テストに失敗したならば使
用されるように、蓄積される。次表は、或る条件の下
で、V1,V2,PREBがセットされる状態を示している。トッ
プ（Top）はサーフェス法線ベクトルのトップを示し、
ボトム（Bottom）はサーフェス法線ベクトルのボトムを
示し、PREVはPREVの現在の値を示し、コピー（Copy）は
或る条件の下で何がコピーされるかを示し、蓄積（Sav
e）はV1及びV2に何が蓄積されるかを示し、セット（Se
t）はPREVが或る条件の下でどのようにセットされるか
を示している（ステップ239）。

次に、vflagのステータスを調べる（ステップ240）。vf
lagが０に等しければ、vflagは１に等しくなるようにセ
ットされ（ステップ241）、ステップ245（より多くのデ
ータを待て）にスキップする。vflagが０に等しけれ
ば、ボトム座標BC,ボトム法線BN,トップ座標TC,トップ
法線TNは、クリッピング・プロセッサ20に送られる（ス
テップ242）。続いて、コマンド“ポリゴンの終了”が
送られる（ステップ243）。クリッピング・プロセッサ
は、いくつかの動作を実行する。これらのステップは、
プロセッサ18で実行されるワークと同時に実行される。
これを、第4I図にライン246で示す。

クリッピング・プロセッサにおける動作は、第4J図によ
り理解されるであろう。クリッピング・プロセッサは、
現在の３次元ビュウイング・ウィンドウに対し、プロセ
ッサ18から丁度受け取ったポリゴンをクリップし、クリ
ップされたエッジに沿って頂点法線を補間し、得られた
頂点法線を通常の方法で単位ベクトルに変換する（ステ
ップ247）。

次に、クリッピング処理が終了した後に、元のポリゴン
のどこか一部がビュウイング・ウィンドウ内に残ると、
プロセッサ18はコマンド“3dポリゴンをシェーディング
でレンダせよ”をフレーム・バッファ22に送る。プロセ
ッサ18は、また、得られた頂点座標及び頂点法線を送る
（ステップ248）。

次に、フレーム・バッファはポリゴンのシェーデッド像
を生成する（ステップ249）。

クリッピング・プロセッサ及びフレーム・バッファで動
作が実行されている間、プロセッサ18は処理をし続け
る。プロセッサ18がコマンド“ポリゴンの終了”をクリ
ッピング・プロセッサ20に送った後は、クリッピング・
プロセッサ20はより多くのデータを待つことになる（ス
テップ244）。次に、より多くのデータが到来すると、
プロセッサ18はコマンド“ポリゴンをスタート”を、続
いてトップ座標（TC），トップ法線（TN），ボトム座標
（BC），ボトム法線（BN）をクリッピング・プロセッサ
に送る（ステップ245）。

次に、第4H図のステップ227（プロセッサ18はデータを
受け取る）に戻り、データがなくなるか、あるいはプロ
セッサ18がなんらかのコマンドを受け取るまで、処理が
繰り返される。

再び第4E図において、並列浮動小数点プロセッサ16及び
他のプロセッサにおいて評価及び他の処理が実行されて
いる間、グラフィックス・コントロール・プロセッサ14
は、パラメトリック・ポイントを計算し続ける。第4E図
のステップ220で、PCはDuだけインクリメントされる。
次に、PCをU₂と比較し（ステップ222）、PCがU₂より小
さければ、各並列浮動小数点プロセッサにPCが送られ
る。PCがU₂以上であれば、PCはU₂に等しくなるようにセ
ットされ（第4F図のステップ252）、各並列プロセッサ
に送られる。この値が並列浮動小数点プロセッサに送ら
れ評価された後は、或るｕスパンに対してすべてのｕパ
ラメータが評価される。次のステップで、多くのｕスパ
ンがあるか否かを決定する（ステップ255）。ucountがN
uより小さければ、多くのｕスパンが存在し、ライン257
を経て第4D図のステップ150に戻る。ucountがNuに等し
ければ、多くのｕスパンは存在しない。

この時点で、vflagを１にセットする（ステップ258）。
これは、状態が現在のｖスパンの開始状態にないことを
示している。次に、ｖインタバル・スタックの値をプッ
シュ・ダウンする（スタック260）。このスタックは、
前述したように、ｕ次元（Nu）の各x,y,z,w座標に対す
るトップ座標，トップｖ導関数，ボトム座標，ボトムｖ
導関数を格納している。この時点でのｖインタバル・ス
タックについては、第10B図を参照されたい。この時点
で、トップ座標及び導関数の全体は、対応するボトム値
に等しい。

次に、ｖパラメトリック・インタバルをDvだけインクリ
メントして（ステップ262）、V₂と比較する（ステップ2
68）。ＶがV₂より小さければ、次のｖインタバルが評価
され、ストリップの他のトップ・エッジを生成し、ライ
ン270を経て第4C図のステップ122（ucountをインクリメ
ントする）に戻る。ＶがV₂以上ならば、vlastを判断す
る（ステップ272）。vlastが１に等しくなければ、Ｖは
V₂に等しくなるようにセットされる（ステップ274）、v
lastが１に等しければ、これはｖインタバル・ループの
終わりを示し（ステップ276）、ライン278を経てステッ
プ122（ucountをインクリメントする）に戻る。ステッ
プ272でvlastが１に等しければ、vcountをNvと比較する
（ステップ280）。vcountがNvより小さければ、次のス
パンを評価し、ライン282を経て第4A図のステップ64
（コントロール・ポイントの１行を読み込む）に戻る。
vcountがNv以上であれば、コマンド“パラメトリック・
サーフェスを終了せよ”を、各並列浮動小数点プロセッ
サ16に送る（ステップ284）。

次のステップは、ステータス・フラグのチェックである
（ステップ286）。ステータス・フラグが０に等しけれ
ば、すべてのｕ及びｖテサレイション・パラメータを、
グラフィックス・コントロール・プロセッサのローカル
・メモリ（LM）からシステム・メモリ（SM）へコピーす
る（ステップ288,290）。次に、ステータス・フラグを
１に更新し（ステップ292）、システム・メモリに記憶
する（ステップ294）。これは、dU及びdVパラメータ値
がすでに計算されており、このサーフェスが再び評価お
よびレンダリングされても、再計算されないことを示し
ている。ステータス・フラグが０に等しくなければ、も
はやいかなる動作も実行されない。

以上で、並列及びパイプライン処理プロセッサを用い
て、非一様有理ｂ−スプライン（NURBS）に基づくパラ
メトリック・サーフェスの評価及びレンダリング方法及
び装置について説明した。プロセッサを並列及びパイプ
ライン処理的に使用することにより、サーフェスを従来
技術に比べてより高速に評価しレンダリングすることが
可能となった。また、この発明による方法は、データ冗
長性を排除し、データの効率的処理を可能にした。

NURBSは、その固有の特性の故に、多くの利点を与え、
この発明は、これらの利点を十分に利用している。NURB
Sによれば、サーフェスをパッチ・アレイに分割するこ
とが可能になる。各パッチは、異なるパラメトリック多
項式の組によって表される。NURBSサーフェスの隣接パ
ッチを記述するパラメトリック多項式は、特定の連続度
を与えている。連続度を、滑らかなサーフェスあるいは
シャープなコーナを有するサーフェスを描画できるよう
に制御することができる。連続スパンを特定の連続度に
マッチさせる能力は、複雑なサーフェスの構成が低階数
のNURBSを用いる多くのポイントを通過することを可能
にする。この特性は、評価コストが高くなり数値的に不
安定な高次関数を避けることを可能にするので極めて価
値がある。

ローカル・コントロールは、NURBSの１つの特徴であ
る。NURBSは、コントロール・ポイント，重み，ノット
・ベクトルで規定されるので、全部のパッチに作用する
ことなくコントロール・ポイントを移動することによっ
て、サーフェスのパッチを変更することが可能である。
階数がku及びkvのサーフェスに対する各コントロール・
ポイントは、ku×kvまでのパッチに作用する。

凸閉包特性は、さらに他の利点を与える。NURBSサーフ
ェスは、それらのコントロール・ポイントの凸閉包内に
含まれている。凸閉包は、最小の凸ポリゴン（２次元の
場合）あるいは一組のポイントを含む最小凸多面体（３
次元の場合）である。サーフェスの各パッチは、そのパ
ッチを規定するku×kvコントロール・ポイントの凸閉包
内に存在しなければならない。この特徴は、ポイントを
評価することなく、NURBSサーフェスのサイズ及びロケ
ーションを評価し及びサイズ及びロケーションに境界を
設定することを可能にする。これは、トリビアル・リジ
ェクション・テスト（trivial rejection testing）に
は特に重要である。換言すれば、凸閉包が現在のスクリ
ーンとオーパラップしなければ、サーフェスは評価され
ず、リジェクトされる。このことは、複雑な情景または
対象の小さな部分の詳細なビューに対してユーザがズー
ムインするときに、システムの性能に大きな影響を与え
る。サーフェスの評価がリジェクトされなければ、凸閉
包はサーフェスが評価されるポイントを規定するのに用
いることができる。これは、パラメトリック関数を評価
するのに数台のプロセッサが用いられるパイプライン化
アーキテクチャに最も有用であり、評価のためのポイン
トを選択するプロセッサは、この評価の結果はアクセス
しない。

コントロール・ポイントに関連する重みは、柱体，錐
体，球のような幾何形状を含む２次曲面の正確な表示を
与える。これは、これらの種類のサーフェスはジオメト
リック・モデリングに対し主要なものであるので、特に
重要な効果である。

この発明の他の効果は、サーフェスを表すのに用いられ
るポリゴンの頂点よりはむしろコントロール・ポイント
を用いることによって、変換を行うことができることで
ある。通常、コントロール・ポイントの数はポリゴン頂
点の数より少ないので、この方法は経済的である。ま
た、変換されたコントロール・ポイントは、前述した凸
閉包特性に基づくトリビアル・リジェクションに用いる
ことができる。

この発明で用いられる評価技術は、コントロール・ポイ
ントを直接使用している。その結果、フォワート・ディ
ファレンス（forward difference）法に基づく方法のよ
うな他の方法に比べて、セットアップ・コストが低くな
る。補間式はNURBS関数の数値安定性を与え、また各ポ
イントは独立に演算されるので、各スパンにわたり計算
が行われる場合の累積エラーが存在しない。したがっ
て、サーフェス上の最終ポイントは、最初のポイントと
同様に正確であり、各スパンは次のスパンに最大精度で
マッチする。これにより、サーフェスの表示は、パッチ
境界でのホールや他のエラーを有さないことが保証され
る。

この発明で用いられるテサレイション技術、すなわち各
サーフェスを単一のエンティティとしてシステマティッ
クにテサレイトすることは、サーフェス内のピンホール
（独立した消失ピクセル）またはリップ（消失ピクセル
の連続）の生成を避ける。

さらに、トラバーサル・タイム・テサレイションと共に
NURBS形式を用いることは、スクリーン上で更新される
１秒あたりの非常に多数のオブジェクトを生成する。ポ
リゴンをファイルし得る速度に匹敵する速度で、サーフ
ェスを評価しポリゴンに変換することができるので、変
換されたポリゴンをシステム・メモリ，マス・ストレー
ジあるいは他のいずれかに、蓄積する必要がない。スク
リーンが更新される毎に、各サーフェスはポリゴンに変
換される。変換された各ポリゴンは、シェーディング，
ライティング，陰面消去が行われ、廃棄される。このこ
とは、各サーフェスを表すのに選ばれたポリゴンの組
を、サーフェスの各インスタンスの瞬時的条件に合致す
るように最適化することのできる、トラバーサル・タイ
ム・テサレイションを有することを可能にする。

NURBSサーフェスは、非常にコンパクトなデータ構成を
形成するので、従来のポリゴン・データに比べて、デー
タ転送レートがかなり改善され、システム・リソースを
良好に利用でき、より複雑なグラフィックスをサポート
することを可能にする。例えば、オブジェクトをNURBS
で表すのに必要なデータ量は、同じオブジェクトをポリ
ゴンで表すのに必要とされるデータ量よりも10〜100倍
小さい。これらの利点は、NURBSデータをオリジナルな
形式で処理することにより保持され、またこの発明のス
パン・シェアリング・データ・シーケンシング・アプロ
ーチにより高められる。

E.発明の効果 以上から明らかなように、NURBSに基づいてパッチ・サ
ーフェスを評価しレンダリングする方法及び装置は、高
性能，良好な数値安定性，トラバーサル・タイム・テサ
レイション，コストの有効性，高速性及び精度，サーフ
ェスに対する十分な制御，対話型３次元グラフィックス
用に既に提供されているPHIGS PLUS標準とのコンパチビ
リティ，データ冗長性の排除を含むなどの多くの利点を
有している。

【図面の簡単な説明】

第１図はx,y,z座標空間およびパラメトリック空間にお
けるNURBSサーフェスを示す図である。 第２図は、この発明の原理に従って構成されたサーフェ
ス評価及びレンダリングの構成要素及び接続を示すブロ
ック線図である。 第３図は、この発明のサーフェス評価装置の一般的な動
作を示すフローチャートである。 第4A図〜第4G図は、この発明の原理に基づくサーフェス
評価装置の動作を示すフローチャートである。 第4H図〜第4J図は、この発明に基づく並列浮動小数点プ
ロセッサ及びこれらに接続されたプロセッサの動作を示
すフローチャートである。 第５図は、ｕテサレイション・パラメータを計算する動
作を示すフローチャートである。 第６図は、ｖテサレイション・パラメータを計算する動
作を示すフローチャートである。 第7A図及び第7B図は、この発明に用いられるテサレイシ
ョン・パラメータをどのように計算するかを理解するの
に参考となる図である。 第8A図及び第8B図は、種々の動作段階でのコントロール
・ポイント・スタックを示す図である。 第9A図〜第9F図は、この発明に好適に用いられるCox−D
eBoorの評価方法の適用を示す図である。 第10A図及び第10B図は、種々の動作段階でのｖインタバ
ル・スタックを示す図である。 第11図は、各並列プロセッサ内のｕノット・スタックを
示す図である。 第12図は、各並列プロセッサ内の、トップ及びボトム座
標と導関数とを含むデータ・スタックを示す図である。 第13図は、この発明の原理に基づき、ｕ及びｖ座標に沿
ったテサレイションを示すパラメトリック・サーフェス
の図である。 10……サーフェス評価及びレンダリング装置 12……システム・メモリ 14……グラフィックス・コントロール・プロセッサ 15……ローカル・メモリ 16x,16y,16z,16w……浮動小数点プロセッサ 18……浮動小数点プロセッサ 20……クリッピング・プロセッサ 22……フレーム・バッファ

Claims (26)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】パラメトリック・サーフェスを表すNURBS
   データを、後で行うコンピュータ・グラフィックス・デ
   ィスプレイ・システムのスクリーン上でのレンダリング
   のためのポリゴンの頂点のジオメトリック座標と関連サ
   ーフェス法線ベクトルとに変換する方法であり、サーフ
   ェスはNuをｕ座標方向における次元、kuをｕ座標方向に
   おける階数としたとき、Nu−ku＋１個の連続するｕスパ
   ン分パラメトリック座標方向に延在する第１のエッジ
   と、Nvをｕ座標方向に直交するｖ座標方向における次
   元、kvをｖ座標方向における階数としたとき、Nv−kv＋
   １個の連続するｖスパン分パラメトリック座標方向に延
   在する第２のエッジとを有し、サーフェスの全体形状
   が、コントロール・ポイントのNv行×Nu列マトリクスに
   より規定されるNURBSデータ変換方法であって、 （ａ）前記マトリクスの最初の連続kv行×Nu列のコント
   ロール・ポイントに対するビュー座標の組みを、初期ｖ
   スパンに対するすべてのコントロール・ポイントを含む
   ように、kv行×Nu列のコントロール・ポイント・スタッ
   クに格納するステップと、 （ｂ）ビュー座標を斉次座標に変換し、初期ｖパラメー
   タ・ポイント及び続くｖパラメータ・ポイントに対する
   前記スタックの各列における座標の組のｂ−スプライン
   関数を評価して、前記初期ｖパラメータ・ポイント及び
   続くｖパラメータ・ポイントによってｖ座標において区
   切られ、ｕ座標方向にサーフェスを完全に横切って延在
   する第１ストリップに対し、それぞれ、一連のNu個のボ
   トム座標及びNu個のボトムｖ導関数と、一連のNu個のト
   ップ座標及びNu個のトップｖ導関数とを得るステップ
   と、 （ｃ）前記第１ストリップの連続するｕスパンのそれぞ
   れに対して、連続ｕパラメータ・ポイントでのトップ座
   標，トップｖ導関数，ボトム座標，ボトムｖ導関数のｂ
   −スプライン関数を評価して、連続ｕパラメータ・ポイ
   ントでのトップ及びボトムｕ導関数を得るステップと、 （ｄ）前記連続ｕパラメータ・ポイントでのトップ座
   標，トップｖ導関数，ボトム座標，ボトムｖ導関数及
   び、前記連続ｕパラメータ・ポイントでのトップ及びボ
   トムｕ導関数を、各ｕパラメータ・ポイントに対する前
   記ストリップのトップ・ポイント及びボトム・ポイント
   に対する頂点法線とに変換するステップと、 （ｅ）前記初期ｖスパンの後続ｖパラメータ・ポイント
   に対してステップ（ｂ）〜（ｄ）を繰り返し、サーフェ
   スの連続ｖスパンに対してステップ（ａ）〜（ｄ）を繰
   り返すステップと、 を含むNURBSデータ変換方法。
2. 【請求項２】ストリップのトップ座標及びトップｖ導関
   数を、直後のストリップに対する前記評価ステップ
   （ｃ）におけるボトム座標及びボトムｖ導関数として用
   いる請求項１記載のNURBSデータ変換方法。
3. 【請求項３】サーフェスの初期ｕスパンを前記スタック
   のku個の列により定め、連続するｕスパンのそれぞれを
   続く列及び直前のku−１個の列により定め、 サーフェスの初期ｖスパンを前記マトリクスの最初のkv
   個の連続行により定め、連続するｖスパンのそれぞれを
   前記マトリクスの対応する続く行及び直前のkv−１個の
   行により定め、 前記スタックを、ファーストイン・ファーストアウト方
   式に動作し、 前記マトリックスの対応する連続行を、連続するｖスパ
   ンのそれぞれに対する前記スタックのトップに格納する
   ステップをさらに含む請求項１又は請求項２記載のNURB
   Sデータ変換方法。
4. 【請求項４】前記マトリクスのコントロール・ポイント
   を、モデリング座標で表し、各コントロール・ポイント
   は、モデリング座標に関連した重みｗを有する請求項１
   乃至請求項３のいずれかに記載のNURBSデータ変換方法
   であって、 コントロール・ポイント・モデリング座標をビュー座標
   に変換するステップと、 コントロール・ポイントの変換座標に関連重みを乗算し
   て、新しい座標を各コントロール・ポイントに対する斉
   次座標の組に変換するステップと、 各ｖスパンに対するｖパラメトリック座標インタバルを
   計算し、これからｖスパンに対する前記ｖパラメトリッ
   ク座標インタバルだけ離間されている一連のｖパラメー
   タ・ポイントを生成するステップと、 をさらに含むNURBSデータ変換方法。
5. 【請求項５】ストリップの各ｕスパンに対するｕパラメ
   トリック座標インタバルを計算し、これから前記ｕスパ
   ンに対する前記ｕインタバルだけ離隔されている一連の
   ｕパラメータ・ポイントを生成するステップと、 ４個の並列浮動小数点プロセッサで前記評価ステップ
   （ｃ）を実行し、各プロセッサは、wx,wy,wz,wの座標の
   組のうちのそれぞれ１つの座標に対するｂ−スプライン
   関数を同時に評価するステップと、 をさらに含む請求項１乃至請求項４のいずれかに記載の
   NURBSデータ変換方法。
6. 【請求項６】前記変換ステップが（ｄ）、 前記評価ステップ（ｃ）で得られた値から重みｗを除去
   して、ｕパラメータ・ポイントのそれぞれに対する前記
   ストリップのトップ・ポイント及びボトム・ポイントに
   対して、ジオメトリック座標の組とｕ接線とｖ接線とを
   生成するステップと、 前記トップ・ポイント及びボトム・ポイントのそれぞれ
   に対して、ｕ接線とｖ接線とのクロス乗積をとることに
   より頂点法線を計算するステップと、 前記頂点法線の大きさを計算するステップと、 を含む請求項１乃至請求項５のいずれかに記載のNURBS
   データ変換方法。
7. 【請求項７】前記評価ステップ（ｂ）及び（ｃ）がCox
   −DeBoorのプロセスを用いる請求項１乃至請求項６のい
   ずれかに記載のNURBSデータ変換方法。
8. 【請求項８】各トップ及びボトム・ポイントでの頂点法
   線の大きさを法線しきい値と比較し、前記大きさが前記
   しきい値より小さい場合には、そのポイントでの頂点法
   線ベクトルを、隣接ポイントでの法線ベクトルで置き換
   えるステップをさらに含む請求項６または請求項７記載
   のNURBSデータ変換方法。
9. 【請求項９】各ｖスパン内の各ｕスパンのビジビリティ
   を決定するステップをさらに含む請求項１乃至請求項８
   のいずれかに記載のNURBSデータ変換方法。
10. 【請求項１０】現在の３次元ビューイング・ウインドウ
    に対して前記ステップ（ｄ）の各ポリゴンをクリッピン
    グするステップと、 クリップされたエッジに沿って頂点法線を補間するステ
    ップと、 補間された頂点法線を、後で行うレンダリングのための
    単位ベクトルに変換するステップをさらに含む請求項１
    乃至請求項９のいずれかに記載のNURBSデータ変換方
    法。
11. 【請求項１１】前記パラメトリック・サーフェスはトリ
    ム曲線によりNURBSデータの境界がセットされていない
    ことを特徴とする請求項１乃至請求項10のいずれかに記
    載のNURBSデータ変換方法。
12. 【請求項１２】前記ジオメトリック座標及び前記サーフ
    ェス法線ベクトルから前記ポリゴンのイメージを発生す
    るステップを含むことを特徴とする請求項１乃至請求項
    11のいずれかに記載のNURBSデータ変換方法。
13. 【請求項１３】パラメトリック・サーフェスを表すNURB
    Sデータを、後で行うコンピュータ・グラフィクス・デ
    ィスプレイ・システムのスクーン上でのレンダリングの
    ためのポリゴンの頂点のジオメトリック座標と関連サー
    フェス法線ベクトルとに変換する方法であり、サーフェ
    スはNuをｕ座標方向における次元、kuをｕ座標方向にお
    ける階数としたとき、Nu−ku＋１個の連続するｕスパン
    分パラメトリック座標方向に延在する第１のエッジと、
    Nvをｕ座標方向に直交するｖ座標方向における次元、kv
    をｖ座標方向における階数としたとき、Nv−kv＋１個の
    連続するｖスパン分パラメトリック座標方向に延在する
    第２のエッジとを有し、サーフェスの全体形状が、コン
    トロール・ポイントのNv行×Nu列マトリクスにより規定
    されるNURBSデータ変換方法であって、 サーフェスを連続する平行なストリップにテレサイトす
    るステップを含み、各ストリップはボトムｖパラメータ
    値に位置するボトム・エッジ及びトップｖパラメータ値
    に位置するトップ・エッジを有し、これらのエッジはサ
    ーフェスを完全に横切りｕ座標方向に延在し、ストリッ
    プのトップ・エッジは直後のストリップのボトム・エッ
    ジに一致し、各ｖスパンは多数のこのようなストリップ
    を有し、 各ストリップの各ｕスパンをテレサイトして、ストリッ
    プのトップ・エッジ上の一方のポイントとボトム・エッ
    ジ上の他方のポイントとから成り、前記ｕパラメータ値
    の各々と関連する１対のポイントを定めるステップと、 ｂ−スプライン関数の評価によって、各ポイント対の各
    ポイントに対するジオメトリック座標及びサーフェス法
    線ベクトルを決定し、ストリップの各ポイント対及びス
    トリップの直後のポイント対が、後で行うレンダリング
    のためのポリゴンの頂点を定めるステップと、 を含むNURBSデータ変換方法。
14. 【請求項１４】各ｖスパンに対するｖパラメトリック座
    標インタバルを決定し、これにより前記ｖパラメトリッ
    ク座標インタバルで離隔されている一連のｖパラメータ
    値を生成するステップと、 各ストリップの各ｕスパンに対するｕパラメトリック座
    標インタバルを決定し、これにより前記ｕパラメトリッ
    ク座標インタバルで離隔されている一連のｕパラメータ
    値を生成するステップと、 をさらに含む請求項13記載のNURBSデータ変換方法。
15. 【請求項１５】サーフェスの全体形状がコントロール・
    ポイントのNv行×Nu列マトリクスによって定められる請
    求項13又は請求項14に記載のNURBSデータ変換方法であ
    って、 ジオメトリック座標及びサーフェス法線ベクトルの決定
    ステップが、 ストリップのボトムｖパラメータ値で、前記マトリクス
    のkv行の各列におけるコントロール・ポイントについて
    のｂ−スプライン関数を評価することによって、特定ｖ
    スパンのストリップのボトム・エッジに対する一連のボ
    トム座標及びボトムｖ導関数を決定するステップを含
    み、前記kv行は前記特定ｖスパンに関連しており、 ストリップのトップｖパラメータ値で、前記特定のｖス
    パンに関連した前記kv行の各列におけるコントロール・
    ポイントについてのｂ−スプライン関数を評価すること
    によって、前記ストリップのトップ・エッジに対する一
    連のトップ座標及びトップｖ導関数を決定するステップ
    と、 ストリップの連続するｕスパンのそれぞれにおいて、ト
    ップ座標、トップｖ導関数，ボトム座標、ボトムｖ導関
    数のｂ−スプライン関数を評価して、連続ｕパラメータ
    値でのトップ及びボトムｕ導関数の値を得るステップ
    と、 前記トップ座標、トップｖ導関数，ボトム座標、ボトム
    ｖ導関数及び前記評価ステップにより得られたトップ及
    びボトムｕ導関数の値を、各ｕパラメータ値に対するス
    トリップのトップ・ポイント及びボトム・ポイントに対
    する頂点法線に変換するステップと、 を含むNURBSデータ変換方法。
16. 【請求項１６】前記ジオメトリック座標及びサーフェス
    法線ベクトルを決定ステップが隣接するストリップのｕ
    パラメータ値に対して行われる前に、ストリップのすべ
    てのｕパラメータ値に対して行われることを特徴とする
    請求項13乃至請求項15のいずれかに記載のNURBSデータ
    変換方法。
17. 【請求項１７】前記ｂ−スプライン関数の評価が前記連
    続するｕスパンに関連するｕノット値の組により決定さ
    れた１組のポリゴン方程式を使用することを特徴とする
    請求項13乃至請求項16のいずれかに記載のNURBSデータ
    変換方法。
18. 【請求項１８】前記パラメトリック・サーフェスはトリ
    ム曲線によりNURBSデータの境界がセットされていない
    ことを特徴とする請求項13乃至請求項17のいずれかに記
    載のNURBSデータ変換方法。
19. 【請求項１９】前記ジオメトリック座標及び前記スクリ
    ーン上でのレンダリングのためのポリゴンを定義する点
    の前記サーフェス法線ベクトルから前記ポリゴンのイメ
    ージを発生するステップを含むことを特徴とする請求項
    13乃至請求項18のいずれかに記載のNURBSデータ変換方
    法。
20. 【請求項２０】パラメトリック・サーフェスを表すNURB
    Sデータを、後で行うコンピュータ・グラフィックス・
    ディスプレイ・システムのスクリーン上でのレンダリン
    グのためのポリゴンの頂点のジオメトリック座標と関連
    サーフェス法線ベクトルとに変換する装置であり、サー
    フェスはNuをｕ座標方向における次元、kuをｕ座標方向
    における階数としたとき、Nu−ku＋１個の連続するｕス
    パン分パラメトリック座標方向に延在する第１のエッジ
    と、Nvをｕ座標方向に直交するｖ座標方向における次
    元、kvをｖ座標方向における階数としたとき、Nv−kv＋
    １個の連続するｖスパン分パラメトリック座標方向に延
    在する第２のエッジとを有し、サーフェスの全体形状
    が、コントロール・ポイントのNv行×Nu列マトリクスに
    より規定されるNURBSデータ変換装置であって、 レンダリングされるパラメトリック・サーフェスを表
    し、前記マトリクスの各制御ポイントに対するモデリン
    グ座標及び関連重みｗを含むNURBSデータを格納する第
    １のメモリ手段と、 コントロール・ポイント・モデリング座標をビュー座標
    に変換し、変換座標を斉次座標に変換し、連続するｖパ
    ラメータ値で、前記斉次座標のｂ−スプライン関数を評
    価して、現在のｖパラメータ値に対するトップ座標及び
    トップｖ導関数と、直前のｖパラメータ値に対するボト
    ム座標及びボトムｖ導関数を得るグラッフィクス・コン
    トロール・プロセッサ手段と、 前記グラッフィクス・コントロール・プロセッサ手段か
    らデータ及びコマンドを受け取り、トップ及びボトム座
    標とトップ及びボトムｖ導関数のｂ−スプライン関数を
    同時に評価して、トップ及びボトムｕ導関数の値を得る
    複数の並列浮動小数点プロセッサと、 前記複数の並列浮動小数点プロセッサによって、得られ
    た値を受け取り、これらの値を、ジオメトリック座標の
    組と、レンダリングされるポイントの頂点に対する頂点
    法線とに変換する他の浮動小数点プロセッサと、 を含むNURBSデータ変換装置。
21. 【請求項２１】前記グラフィックス・コントロール・プ
    ロセッサ手段と、前記複数の並列浮動小数点プロセッサ
    と、前記他の浮動小数点プロセッサとが、パイプライン
    処理的に動作する請求項20記載のNURBSデータ変換装
    置。
22. 【請求項２２】前記複数の並列浮動小数点プロセッサ
    は、それぞれが前記各ｕパラメータ値に対する重みを表
    す出力を与える４個のプロセッサを有し、 前記他の浮動小数点プロセッサは、前記複数の並列浮動
    小数点プロセッサのうちの１つのプロセッサの出力の逆
    数を、他のプロセッサの出力に乗算することを特徴とす
    る請求項20又は請求項21に記載のNURBSデータ変換装
    置。
23. 【請求項２３】前記複数の並列浮動小数点プロセッサ及
    び前記グラフィックス・コントロール・プロセッサ手段
    は、評価の為にCox−DeBoorのプロセスを用い、前記複
    数の並列浮動小数点プロセッサの出力を、前記他の浮動
    小数点プロセッサに連続的に与えることを特徴とする請
    求項20乃至請求項22のいずれかに記載のNURBSデータ変
    換装置。
24. 【請求項２４】前記グラフィックス・コントロール・プ
    ロセッサ手段に関連し、ｖスパンを定めるマトリクスの
    コントロール・ポイントにkv行を収容するkv行×Nu列を
    有するFIFOコントロール・ポイント・スタックをさらに
    有し、 前記グラフィックス・コントロール・プロセッサ手段
    は、前記マトリマトリクスの続く行のそれぞれを、サー
    フェスに続くｖスパンのそれぞれを定める前記スタック
    の頂部にロードすることを特徴とする請求項20乃至請求
    項23のいずれかに記載のNURBSデータ変換装置。
25. 【請求項２５】前記グラフィックス・コントロール・プ
    ロセッサ手段は、 各ｖスパンに対するｖパラメトリック座標インタバルを
    決定し、これから前記ｖインタバルにより離隔される一
    連の連続ｖパラメータ値を生成し、 各ｕスパンに対するｕパラメトリック座標インタバルを
    決定し、これから前記ｕインタバルにより離隔される一
    連の連続ｕパラメータ値を生成することを特徴とする請
    求項20乃至請求項24のいずれかに記載のNURBSデータ変
    換装置。
26. 【請求項２６】前記他の浮動小数点プロセッサの出力に
    直列に接続され、パイプライン処理的に動作するクリッ
    ピング・プロセッサ及びフレーム・バッファを含むこと
    を特徴とする請求項20乃至請求項25のいずれかに記載の
    NURBSデータ変換装置。