JPH04207516A - 補間方法 - Google Patents
補間方法Info
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- JPH04207516A JPH04207516A JP2336509A JP33650990A JPH04207516A JP H04207516 A JPH04207516 A JP H04207516A JP 2336509 A JP2336509 A JP 2336509A JP 33650990 A JP33650990 A JP 33650990A JP H04207516 A JPH04207516 A JP H04207516A
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Classifications
-
- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
- G06F17/10—Complex mathematical operations
- G06F17/17—Function evaluation by approximation methods, e.g. inter- or extrapolation, smoothing, least mean square method
Landscapes
- Physics & Mathematics (AREA)
- Engineering & Computer Science (AREA)
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- General Engineering & Computer Science (AREA)
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Abstract
(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。
め要約のデータは記録されません。
Description
【発明の詳細な説明】
〈産業上の利用分野〉
本発明はデータの補間方法に係わり、特に連続する4個
のデータを用いて、中間の2個のデータ間に2 n−1
個の補間点を内挿する補間方法に関する。
のデータを用いて、中間の2個のデータ間に2 n−1
個の補間点を内挿する補間方法に関する。
コンパクトディスクではアナログ信号にAD変換を施し
てデジタルで記憶し、再生時に信号処理装置により該デ
ータに所定の処理を施し、DA変換して音を再生する。
てデジタルで記憶し、再生時に信号処理装置により該デ
ータに所定の処理を施し、DA変換して音を再生する。
かかるコンパクトディスクにおいては、AD変換の速度
と記憶容量の大きさ等の制約によりデータ収集のサンプ
リング間隔を短くすることに限界がある。従って、高速
に変化する波形を入力時のサンプリング間隔でそのまま
DA変換して再生すると、データ数が少ない場合には良
質な音を再生できず、補間法等によりサンプリング点以
外にも多くの点を求める必要がある。
と記憶容量の大きさ等の制約によりデータ収集のサンプ
リング間隔を短くすることに限界がある。従って、高速
に変化する波形を入力時のサンプリング間隔でそのまま
DA変換して再生すると、データ数が少ない場合には良
質な音を再生できず、補間法等によりサンプリング点以
外にも多くの点を求める必要がある。
従来より、広く用いられているスプライン関数を用いた
補間法は計算時間を多く必要とするので、リアルタイム
の処理に適しておらず、高速処理が必要な音楽信号の再
生処理に不向である。
補間法は計算時間を多く必要とするので、リアルタイム
の処理に適しておらず、高速処理が必要な音楽信号の再
生処理に不向である。
コンピュータグラフィックスにおいては数学的な連続性
の条件も重要であるが、離散的な画素に対しては視覚的
に自然な描画データを得ることが最大の課題である。補
間法は本来コンピュータグラフィックスの主役ではなく
1画像を細かく表示するための補助的手段である。従っ
て、従来の補間法のように直交関数を決定し1次に補間
値を求める間接補間法は最適な手法とはいえない。
の条件も重要であるが、離散的な画素に対しては視覚的
に自然な描画データを得ることが最大の課題である。補
間法は本来コンピュータグラフィックスの主役ではなく
1画像を細かく表示するための補助的手段である。従っ
て、従来の補間法のように直交関数を決定し1次に補間
値を求める間接補間法は最適な手法とはいえない。
多項式やフーリエ級数を用いた補間法により曲線を表示
すると、たわみによる振動現象により、不自然な曲線表
示になる場合がある。又、スプライン補間法では、デー
タによっては不自然なオーバシュートが発生する。これ
を改良するために、オフランド(Ackland)によ
りオスキュラトリ補間法(Osculatory補間法
)が提案されたが、計算時間が長く、振動も少し発生す
る。アキマ(Akima)の論文によると、局所的に多
項式の係数を決定することにより、殆ど振動が起きず、
しかも視覚的に自然な結果の得られる補間法が提案され
ている。
すると、たわみによる振動現象により、不自然な曲線表
示になる場合がある。又、スプライン補間法では、デー
タによっては不自然なオーバシュートが発生する。これ
を改良するために、オフランド(Ackland)によ
りオスキュラトリ補間法(Osculatory補間法
)が提案されたが、計算時間が長く、振動も少し発生す
る。アキマ(Akima)の論文によると、局所的に多
項式の係数を決定することにより、殆ど振動が起きず、
しかも視覚的に自然な結果の得られる補間法が提案され
ている。
しかし、Akimaの方法は浮動小数点演算を必要とす
るので、計算時間を多く必要とする。
るので、計算時間を多く必要とする。
以上より、高速処理が可能で、且つ振動が生じない高精
度の補間法が求められている。
度の補間法が求められている。
〈従来技術〉
XY平面上の描画する曲線をパラメトリンク表示すると
、X =F (m) 、 Y =G (m)となり、X
YZ空間上の描画する曲面をパラメトリンク表示すると
、 X=F (m) 、 Y =G (m) 、 Z=
H(m)となる。ただし、ここにmはパラメータである
。ところで、計算機内で生成されたデータあるいは実測
値等の離散データを順に並べて点列(xi+ g
(xt) ) (j=1. 2!、 ” I n
) を構成する。パラメトリック表示法を適用すると
。任意の点列は一価の点列の集合に変換されるので、−
膜性を失うことなく(xi9g (x□))を−価であ
ると仮定する。従って、各点X工に既知データg(xi
)が対応する。区間Δ1=[x 1. x i+1](
j=1.2. ・・、n−1)を補間区間とし、補間
区間Δ□にある任意の点をPlとする。g(x5)(i
=1.2. ・・、n)が与えられたとき、点P工に
おける補間値f(P工)を求めることを補間あるいは曲
線創成という。
、X =F (m) 、 Y =G (m)となり、X
YZ空間上の描画する曲面をパラメトリンク表示すると
、 X=F (m) 、 Y =G (m) 、 Z=
H(m)となる。ただし、ここにmはパラメータである
。ところで、計算機内で生成されたデータあるいは実測
値等の離散データを順に並べて点列(xi+ g
(xt) ) (j=1. 2!、 ” I n
) を構成する。パラメトリック表示法を適用すると
。任意の点列は一価の点列の集合に変換されるので、−
膜性を失うことなく(xi9g (x□))を−価であ
ると仮定する。従って、各点X工に既知データg(xi
)が対応する。区間Δ1=[x 1. x i+1](
j=1.2. ・・、n−1)を補間区間とし、補間
区間Δ□にある任意の点をPlとする。g(x5)(i
=1.2. ・・、n)が与えられたとき、点P工に
おける補間値f(P工)を求めることを補間あるいは曲
線創成という。
補間値を決める手法は直接補間法と間接補間法に分類さ
れる。直接補間法の場合は補間すべき点の近傍にある既
知点におけるデータに基づいて補間値を直接算出するこ
とができる。大域的な様子とは関係なく局所的な領域に
あるデータに基づいて補間値を決定するので、並列演算
を行うことも可能である。
れる。直接補間法の場合は補間すべき点の近傍にある既
知点におけるデータに基づいて補間値を直接算出するこ
とができる。大域的な様子とは関係なく局所的な領域に
あるデータに基づいて補間値を決定するので、並列演算
を行うことも可能である。
間接法を用いると補間値は2段階で決まる。最初に、既
知点を通過する曲線の多項式の係数を算出する。次に、
決定された関数に補間点の座標を代入して補間値を決め
る。多項式の係数を局所的に決定することは困難である
ので、並列演算には適さない。
知点を通過する曲線の多項式の係数を算出する。次に、
決定された関数に補間点の座標を代入して補間値を決め
る。多項式の係数を局所的に決定することは困難である
ので、並列演算には適さない。
間接法においては、既知データg(xl)(i=1.2
. ・・+n)に基づいてm個のパラメータφ1(i
==1.2. ・・+m)を決める。ここに、φiは
補間関数の各項の係数である。すなわち、n個の方程式 %式%) を解く必要がある。間接補間法にはラグランジェ補間法
、スプライン補間法等がある。ラグランジェ補間法の場
合m=nであるが、3次の多項式を用いたスプライン補
間法ではm=n+2である。
. ・・+n)に基づいてm個のパラメータφ1(i
==1.2. ・・+m)を決める。ここに、φiは
補間関数の各項の係数である。すなわち、n個の方程式 %式%) を解く必要がある。間接補間法にはラグランジェ補間法
、スプライン補間法等がある。ラグランジェ補間法の場
合m=nであるが、3次の多項式を用いたスプライン補
間法ではm=n+2である。
この場合には、未知数の数よりも方程式の数が少ないの
で、自然スプライン条件等の端条性を2個導入して、m
個のパラメータφ((i=1+ 2y ・・・m)を
決定する。次に(φ8.φ2.・・・・φ1)によって
決まる関数ψにPよを代入して、点P1の補間値は f(P□)=ψ(Pl;φ1.φ2.・・・・φ、)に
より求められる。
で、自然スプライン条件等の端条性を2個導入して、m
個のパラメータφ((i=1+ 2y ・・・m)を
決定する。次に(φ8.φ2.・・・・φ1)によって
決まる関数ψにPよを代入して、点P1の補間値は f(P□)=ψ(Pl;φ1.φ2.・・・・φ、)に
より求められる。
〈発明が解決しようとする課題〉
間接補間法を適用すると1m個の未知数を含む方程式を
解くので、これを解くにはm2に比例して演算回数が増
加し、計算時間を多く必要として計算効率は低下する。
解くので、これを解くにはm2に比例して演算回数が増
加し、計算時間を多く必要として計算効率は低下する。
又、CADプログラム等ではデータ点の最大数に制約が
ある場合もある。
ある場合もある。
更に、方程式を解く際には浮動小数点演算を行うので、
丸め誤差の影響と計算時間を多く必要とする問題がある
。
丸め誤差の影響と計算時間を多く必要とする問題がある
。
又、間接補間法を用いると、不自然な振動が生じ、補間
精度が低下する問題がある。これは、以下の理由による
。即ち、全補間区間のデータに基づいてm個のパラメー
タφi (i=1.2. ・・・m)が決定されるの
で、補間点から十分に離れたデータ点の影響を受ける。
精度が低下する問題がある。これは、以下の理由による
。即ち、全補間区間のデータに基づいてm個のパラメー
タφi (i=1.2. ・・・m)が決定されるの
で、補間点から十分に離れたデータ点の影響を受ける。
従って、データが急激に変化する区間があると、ラグラ
ンジェ補間法ではルンゲの現象と呼ばれ、フーリエ級数
を用いた補間法ではギブスの現象と呼ばれる不自然な振
動が発生する。スプライン補間法では、近似多項式の係
数は補間区間毎に決められるので、補間点から十分に離
れたデータ点の影響は受けにくい。しかし、n次のスプ
ライン補間法では(n−1)次の導関数までの連続性を
導入する。従って、導関数を介して振動現象は伝播する
ので、導関数が大きくなる補間区間があると、その前後
の補間区間で振動して補間精度を悪化させることがAk
imaにより指摘されている。
ンジェ補間法ではルンゲの現象と呼ばれ、フーリエ級数
を用いた補間法ではギブスの現象と呼ばれる不自然な振
動が発生する。スプライン補間法では、近似多項式の係
数は補間区間毎に決められるので、補間点から十分に離
れたデータ点の影響は受けにくい。しかし、n次のスプ
ライン補間法では(n−1)次の導関数までの連続性を
導入する。従って、導関数を介して振動現象は伝播する
ので、導関数が大きくなる補間区間があると、その前後
の補間区間で振動して補間精度を悪化させることがAk
imaにより指摘されている。
上記の振動現象の伝播を阻止するために、有理式スプラ
イン補間法、Aki+aaの補間法等が提唱されている
。局所的に多項式の係数を決める方法をAkimaが提
唱し、通常のスプライン補間法では振動が起きるデータ
に対しても有効な結果を得た。
イン補間法、Aki+aaの補間法等が提唱されている
。局所的に多項式の係数を決める方法をAkimaが提
唱し、通常のスプライン補間法では振動が起きるデータ
に対しても有効な結果を得た。
この実験結果は補間値を決定する際には全てのデータを
一度に用いずに、補間点の近傍にあるM個のデータを用
いて補間値を決定すると補間精度が向上することを示し
ている。補間値を決定するためのデータ数Mの最適値を
実験的に決める必要がある。Akimaは補間区間の端
点の勾配をその周辺の4点を用いて勾配の比例配分によ
り決め、3次多項式により補間値を求めた。その結果1
局所的に補間値を決めることになり、振動の伝播が抑え
られて良好な補間値が得られた。
一度に用いずに、補間点の近傍にあるM個のデータを用
いて補間値を決定すると補間精度が向上することを示し
ている。補間値を決定するためのデータ数Mの最適値を
実験的に決める必要がある。Akimaは補間区間の端
点の勾配をその周辺の4点を用いて勾配の比例配分によ
り決め、3次多項式により補間値を求めた。その結果1
局所的に補間値を決めることになり、振動の伝播が抑え
られて良好な補間値が得られた。
しかし、Aki■aの補間法では、浮動小数点演算を必
要とし、高速度で補間値を算出できない問題がある。
要とし、高速度で補間値を算出できない問題がある。
以上から本発明の目的は、コンパクトディスクの高精度
再生やコンピュータグラフィックス等の描画において、
高精度の補間値を高速度で算出できる補間方法を提供す
ることである。
再生やコンピュータグラフィックス等の描画において、
高精度の補間値を高速度で算出できる補間方法を提供す
ることである。
本発明の別の目的は、整数型演算が可能で、しかも並列
処理が可能な補間方法を提供することである。
処理が可能な補間方法を提供することである。
本発明の更に別の目的は、補間点近傍のデータのみを用
いることにより補間精度を向上し、不自然な振動等が生
じることがない直接補間法による補間方法を提供するこ
とである。
いることにより補間精度を向上し、不自然な振動等が生
じることがない直接補間法による補間方法を提供するこ
とである。
〈課題を解決するための手段〉
上記課題は本発明においては、連続する第1〜第4の4
個の点X f−1+ X i+ X ill v X
i+2のデータ値をg(X i−11−1)t iLg
(xits )yg(X i+z)とする時、中央の2
点X i + X i。□の中間点P□における補間値
f(P工)を次式 %式%) (但し、Nは正整数) により演算する手段、第1の点Xj−□と第2の点xi
の中間点Qiにおける補間値を求める手段、該中間点Q
i、第2の点X2、前記求めた中間点pi、第3の点x
i+、のデータ値を用いて、第2の点と中間点Piの中
間の点における補間値を演算する手段、第3の点X(i
+1と第4の点xi+zの中間の点R,における補間値
を求める手段、第2の点xi。
個の点X f−1+ X i+ X ill v X
i+2のデータ値をg(X i−11−1)t iLg
(xits )yg(X i+z)とする時、中央の2
点X i + X i。□の中間点P□における補間値
f(P工)を次式 %式%) (但し、Nは正整数) により演算する手段、第1の点Xj−□と第2の点xi
の中間点Qiにおける補間値を求める手段、該中間点Q
i、第2の点X2、前記求めた中間点pi、第3の点x
i+、のデータ値を用いて、第2の点と中間点Piの中
間の点における補間値を演算する手段、第3の点X(i
+1と第4の点xi+zの中間の点R,における補間値
を求める手段、第2の点xi。
前記求めた中間点Pi、第3の点xi、i、前記中間点
Riのデータ値を用いて、中間点piと第3の点の中間
の点における補間値を演算する手段により達成される。
Riのデータ値を用いて、中間点piと第3の点の中間
の点における補間値を演算する手段により達成される。
く作用〉
連続する第1〜第4の4個の点x1−0.X工、xi。
□p X i *2のデータ値をg(x i−81−8
L i)−g(x□や、)。
L i)−g(x□や、)。
g(xt+i)とする時、中央の2点X iy X i
+1の中間点Piにおける補間値f(Pi)を次式%式
%) ] )] (但し、Nは正整数) により演算し、また第1の点XL−xと第2の点xiの
中間点Qiにおける補間値を求め、該中間点Qi、第2
の点xi、前記求めた中間点pi、第3の点xi、1の
データ値を用いて、第2の点と中間点P1の中間の点に
おける補間値を演算すると共に、第3の点x1.、と第
4の点x iyzの中間の点R1における補間値を求め
、第2の点xi、前記求めた中間点P工、第3の点X□
。8.前記中間点R,のデータ値を用いて、中間点P工
と第3の点の中間の点における補間値を演算し、中間の
2点X工IX1+x間に3個の補間点Q工、P1..R
1を内挿する。
+1の中間点Piにおける補間値f(Pi)を次式%式
%) ] )] (但し、Nは正整数) により演算し、また第1の点XL−xと第2の点xiの
中間点Qiにおける補間値を求め、該中間点Qi、第2
の点xi、前記求めた中間点pi、第3の点xi、1の
データ値を用いて、第2の点と中間点P1の中間の点に
おける補間値を演算すると共に、第3の点x1.、と第
4の点x iyzの中間の点R1における補間値を求め
、第2の点xi、前記求めた中間点P工、第3の点X□
。8.前記中間点R,のデータ値を用いて、中間点P工
と第3の点の中間の点における補間値を演算し、中間の
2点X工IX1+x間に3個の補間点Q工、P1..R
1を内挿する。
この補間法によれば、整数型演算及び並列演算処理が可
能で、しかも各演算をビットシフト演算と加減算処理に
より行えるから、高速度で補間値を算出できる。又、補
間点近傍のデータのみを用いて直接補間法により補間値
を求めるようにしているから、補間精度を向上でき、不
自然な振動等を生じることがない 尚、演算された各中間点の補間値を用いて更に補間処理
を行うことにより、前記中間の2点間を2のべき乗個に
分割する(2のべき乗−1)個の補間点を内挿できる。
能で、しかも各演算をビットシフト演算と加減算処理に
より行えるから、高速度で補間値を算出できる。又、補
間点近傍のデータのみを用いて直接補間法により補間値
を求めるようにしているから、補間精度を向上でき、不
自然な振動等を生じることがない 尚、演算された各中間点の補間値を用いて更に補間処理
を行うことにより、前記中間の2点間を2のべき乗個に
分割する(2のべき乗−1)個の補間点を内挿できる。
〈実施例〉
皿1里1
まず、本発明の補間理論を第1図に従って説明する。
間接補間法では、補間値を直接的に求めることができず
、途中で浮動小数点演算によりパラメータφiを求める
ので、計算時間を多く必要とすることが欠点である。本
発明の補間法では、M個のサンプリングデータに基づい
て直接的に補間値f(Pi)を f(Pi)==F[g(xx)、・・・g(x+)]
(1)によって決定するので、計算時間が大幅に短
縮される。補間区間Δi(第1図参照)の端点X工とX
、+1は補間点Piの補間値に最も影響をするので、g
(x+)とg(xi*1)を主補間データと云い、それ
以外の点” Xl−z* Xl−1r xi+tt
・・におけるデータg (xi−z) r g (x
i−t) + g (Xles) ”・・・を刷
掃間データという。上式において、補間データ数M=2
の場合にはPiの属する補間区間Δiの端点” LT
X is□における既知データg(x工)とg(xi+
1)すなわち主補間データのみにより補間値が決定され
る。
、途中で浮動小数点演算によりパラメータφiを求める
ので、計算時間を多く必要とすることが欠点である。本
発明の補間法では、M個のサンプリングデータに基づい
て直接的に補間値f(Pi)を f(Pi)==F[g(xx)、・・・g(x+)]
(1)によって決定するので、計算時間が大幅に短
縮される。補間区間Δi(第1図参照)の端点X工とX
、+1は補間点Piの補間値に最も影響をするので、g
(x+)とg(xi*1)を主補間データと云い、それ
以外の点” Xl−z* Xl−1r xi+tt
・・におけるデータg (xi−z) r g (x
i−t) + g (Xles) ”・・・を刷
掃間データという。上式において、補間データ数M=2
の場合にはPiの属する補間区間Δiの端点” LT
X is□における既知データg(x工)とg(xi+
1)すなわち主補間データのみにより補間値が決定され
る。
コンパクトディスクの再生においてこの補間方法を用い
ると、信号が不連続的に変化する場合がある。聴覚的に
自然な再生音を得るためには、刷掃間データの情報を有
効に利用し、高精度の補間を行う必要がある。しかし、
計算時間は補間に用いる既知データの数の二乗に比例し
て長くなり実用性にかける。しかも、補間すべき点から
十分に離れた領域にある情報を聴覚的に取り入れて再生
音の品質を判断することは不可能であるので、刷掃間デ
ータの数を多くすることはむだが多く、高速再生に適さ
ない。
ると、信号が不連続的に変化する場合がある。聴覚的に
自然な再生音を得るためには、刷掃間データの情報を有
効に利用し、高精度の補間を行う必要がある。しかし、
計算時間は補間に用いる既知データの数の二乗に比例し
て長くなり実用性にかける。しかも、補間すべき点から
十分に離れた領域にある情報を聴覚的に取り入れて再生
音の品質を判断することは不可能であるので、刷掃間デ
ータの数を多くすることはむだが多く、高速再生に適さ
ない。
xi点を含み11点より左側にあるL個のデータ(g
(xi)、 g (xi−1)、・・・g (xi−t
ea) )に基づく左方向修正子DL(Xl)は次式 %式% により表現される。さらに、xi、□点を含みXles
点より右側にあるR個のデータ (g (xi*1)tg (xi*zL ” ” ”
g (xi、a) )に基づく右方向修正子をDR(X
les)は次式、DR(Xles) = rq (g
(xi+zLg (xi+zL ’ ” @、g (x
i−a) ) (3)により表現される。 Ak
imaの指摘によると、補間曲線はその補間区間の周辺
にあるデータ点間の勾配に基づいて決定すると、聴覚的
に自然なデータが得られる。ここでは、高速の数値計算
を目的とするので、補間点の修正量を左方向及び右方向
にあるデータの1次差分の加重和とする。
(xi)、 g (xi−1)、・・・g (xi−t
ea) )に基づく左方向修正子DL(Xl)は次式 %式% により表現される。さらに、xi、□点を含みXles
点より右側にあるR個のデータ (g (xi*1)tg (xi*zL ” ” ”
g (xi、a) )に基づく右方向修正子をDR(X
les)は次式、DR(Xles) = rq (g
(xi+zLg (xi+zL ’ ” @、g (x
i−a) ) (3)により表現される。 Ak
imaの指摘によると、補間曲線はその補間区間の周辺
にあるデータ点間の勾配に基づいて決定すると、聴覚的
に自然なデータが得られる。ここでは、高速の数値計算
を目的とするので、補間点の修正量を左方向及び右方向
にあるデータの1次差分の加重和とする。
Akimaと同程度に局所的な領域にあるデータに限定
して補間値を求めるために、次式により左右の修正量を
求める。
して補間値を求めるために、次式により左右の修正量を
求める。
DL (X i) =λ[g (xt) −g (xt
−、)] (4)DR(xi−8)=λ[g (
Xles) g (Xt−z)] (5)ここに、
λ(λ1)の最適値は実験的に決められる。ところで、
デジタル計算機では2のべき乗にすると、整数型の割算
はビットをシフトするだけで実行されるので、数値計算
の時間が短縮される。
−、)] (4)DR(xi−8)=λ[g (
Xles) g (Xt−z)] (5)ここに、
λ(λ1)の最適値は実験的に決められる。ところで、
デジタル計算機では2のべき乗にすると、整数型の割算
はビットをシフトするだけで実行されるので、数値計算
の時間が短縮される。
従って。
λ=1/2”=1/A (6)として、
補間の誤差が最小となるNを決定する。
補間の誤差が最小となるNを決定する。
以上を総合すると、補間区間の中間点Piにおける補間
値は f(Pi)= [g(x t)−g(x 1−0)”g(xi*、)−
g(xi−z)]/2”+[g(x t)+g(x t
、x)]/ 2 (7)(但し、Nは正
整数) により求まる。
値は f(Pi)= [g(x t)−g(x 1−0)”g(xi*、)−
g(xi−z)]/2”+[g(x t)+g(x t
、x)]/ 2 (7)(但し、Nは正
整数) により求まる。
間接補間法においては固定小数点の既知データを基に浮
動小数点演算により中間パラメータφiを算出し、次に
固定小数点の補間データを生成する。φiの変化量は非
常に大きいので、これらの全てを固定小数点で処理する
と十分の精度が得られず再生音が不自然になる場合があ
る。ところが、本発明の補間方法においては浮動小数点
演算を用いなくても、整数型の既知データから整数型の
補間データを生成することができるので、聴覚的にも自
然な再生音を得ることができる。従って、この補間方法
をハードウェア化すると、高速であるので、コンパクト
ディスクの再生には好都合である。
動小数点演算により中間パラメータφiを算出し、次に
固定小数点の補間データを生成する。φiの変化量は非
常に大きいので、これらの全てを固定小数点で処理する
と十分の精度が得られず再生音が不自然になる場合があ
る。ところが、本発明の補間方法においては浮動小数点
演算を用いなくても、整数型の既知データから整数型の
補間データを生成することができるので、聴覚的にも自
然な再生音を得ることができる。従って、この補間方法
をハードウェア化すると、高速であるので、コンパクト
ディスクの再生には好都合である。
が2 の への ゛
第2図は補間の段数を2段にした場合における本発明の
補間方法の説明図である。第2図に示す点列において、
y b−4L y (x)、y (1”4)及びy(i
÷8)の各点にデータY(i−4L y(i)、Y(i
+4LY (i+Jl)が与えられているとする。その
他の中間の点を本発明の補間方法を適用して補間値を求
める。
補間方法の説明図である。第2図に示す点列において、
y b−4L y (x)、y (1”4)及びy(i
÷8)の各点にデータY(i−4L y(i)、Y(i
+4LY (i+Jl)が与えられているとする。その
他の中間の点を本発明の補間方法を適用して補間値を求
める。
第2図に示す既知データ点y (i)およびy (i+
4)の中間の点y (i+2)の補間値Y (i+2)
は、(7)式に基づいて次式で与えられる。但し、(7
)式におけるNを4とする。
4)の中間の点y (i+2)の補間値Y (i+2)
は、(7)式に基づいて次式で与えられる。但し、(7
)式におけるNを4とする。
Y (i+2)=+(1/21+1/2’)・Y (i
)+(l/21+1/24)・Y (i+4)−(1/
2’)・Y (i+8) −(1/2’)・Y (i−4) (g)こ
の(8)式により補間段数1段目の補間が行われる。
)+(l/21+1/24)・Y (i+4)−(1/
2’)・Y (i+8) −(1/2’)・Y (i−4) (g)こ
の(8)式により補間段数1段目の補間が行われる。
さらに、データ点y(i−2L y(i)、 y(i+
2)、 y(i+4)に対し本発明の方法を適用すると
、点y(i)と点y(i+2)の中間点y(i+1)の
補間値Y (i+1)を次式%式%() により求めることができる。但し、 Y 1−2)は既
知データy(i−1)、 y(i〜4)、 y(i)、
y(ユ+4)のデータY (i−8) 、 Y (i
−4)、 Y (i) 、 Y (1+4)を用いて次
式%式%(4) により求めることができる。 (9a)式に(8)式及
び(9b)式を代入すると Y (i+1)=+(1/22+1/2’)・Y (i
+4)−(1/2’+1/27)・Y (i−4)+(
1/2”+1/22+1/2’+1/2s)・Y (i
)−(1/2’+1/2″)・Y(i÷8)+(1/2
”)・Y (i−8) (9c)となる。(
9C)式において、Y (i−8)の係数172は他の
係数より小さいから無視すると、 Y (i+1)は次
式で Y (i+1)=+(1/2”+1/2’)・Y (i
+4)−(1/2’+1/27)・Y (i−4)+(
1/21+1/2”+1/2’+1/2’)・Y (i
)−(1/2’+1/2”)・Y (i+8)
(9)で与えられる。
2)、 y(i+4)に対し本発明の方法を適用すると
、点y(i)と点y(i+2)の中間点y(i+1)の
補間値Y (i+1)を次式%式%() により求めることができる。但し、 Y 1−2)は既
知データy(i−1)、 y(i〜4)、 y(i)、
y(ユ+4)のデータY (i−8) 、 Y (i
−4)、 Y (i) 、 Y (1+4)を用いて次
式%式%(4) により求めることができる。 (9a)式に(8)式及
び(9b)式を代入すると Y (i+1)=+(1/22+1/2’)・Y (i
+4)−(1/2’+1/27)・Y (i−4)+(
1/2”+1/22+1/2’+1/2s)・Y (i
)−(1/2’+1/2″)・Y(i÷8)+(1/2
”)・Y (i−8) (9c)となる。(
9C)式において、Y (i−8)の係数172は他の
係数より小さいから無視すると、 Y (i+1)は次
式で Y (i+1)=+(1/2”+1/2’)・Y (i
+4)−(1/2’+1/27)・Y (i−4)+(
1/21+1/2”+1/2’+1/2’)・Y (i
)−(1/2’+1/2”)・Y (i+8)
(9)で与えられる。
さらに、既知データ点y (i) + y (i+2)
* y (i+4)t y(x”6)に対し本発明を
適用すると、点y (i+2)と点y (i+4)の中
間点であるy (i+3)の補間値Y(i÷3)を次式 %式%(2) により求めることができる。ただし、Y (i+6)は
既知データ点y (1) t y (1÷4L y b
”8L y (i”12)のデータY (i) 、 Y
(i+4) 、 Y (i+8) 、 Y (i+1
2)を用いて次式 %式%(4) で与えられる。(10a)式に(8)式及び(]Ob)
式を代入すると Y (i+3) =+(1/2”+1/27)・Y (
i)−(1/2’+1/2’)・Y (i+8)+(1
/21+1/22+1/2’+1/25)・Y (j+
4)−(]/2’+1/2”)・Y (i−4)”(1
/2’)・Y (i+12) (10c)となる
。(10c)式において−Y (i+12)の係数17
2@は他の係数より小さいから無視すると、 Y (i
+3)は次式で Y (i+3) =+(1/22+1/2’)・Y(1
)−(]/2’+1/2’)・Y (i+8)+(1/
21+1/2”+1/2’+1./25)・Y (i+
4)−(1/2’+1/2”)・Y (i−4)
(10)で与えられる。 (9)、(10)式により
補間段数2段目の補間が行われる。
* y (i+4)t y(x”6)に対し本発明を
適用すると、点y (i+2)と点y (i+4)の中
間点であるy (i+3)の補間値Y(i÷3)を次式 %式%(2) により求めることができる。ただし、Y (i+6)は
既知データ点y (1) t y (1÷4L y b
”8L y (i”12)のデータY (i) 、 Y
(i+4) 、 Y (i+8) 、 Y (i+1
2)を用いて次式 %式%(4) で与えられる。(10a)式に(8)式及び(]Ob)
式を代入すると Y (i+3) =+(1/2”+1/27)・Y (
i)−(1/2’+1/2’)・Y (i+8)+(1
/21+1/22+1/2’+1/25)・Y (j+
4)−(]/2’+1/2”)・Y (i−4)”(1
/2’)・Y (i+12) (10c)となる
。(10c)式において−Y (i+12)の係数17
2@は他の係数より小さいから無視すると、 Y (i
+3)は次式で Y (i+3) =+(1/22+1/2’)・Y(1
)−(]/2’+1/2’)・Y (i+8)+(1/
21+1/2”+1/2’+1./25)・Y (i+
4)−(1/2’+1/2”)・Y (i−4)
(10)で与えられる。 (9)、(10)式により
補間段数2段目の補間が行われる。
これらの計算式(8)〜(10)は加算と減算及び2の
べき乗の割算を含む。このうち加算と減算は整数型であ
るので、高速に求めることができる。さらに、2のべき
乗の割算はビットを右ヘシフトすることにより求められ
るので、ハードウェアでは結線により実施される。従っ
て、この計算式をハードウェアで構成することは容易で
あり、補間段数を多くすると、高速で高精度の補間点が
連続して得られる。
べき乗の割算を含む。このうち加算と減算は整数型であ
るので、高速に求めることができる。さらに、2のべき
乗の割算はビットを右ヘシフトすることにより求められ
るので、ハードウェアでは結線により実施される。従っ
て、この計算式をハードウェアで構成することは容易で
あり、補間段数を多くすると、高速で高精度の補間点が
連続して得られる。
木Vの−
第3図乃至第7図は補間の段数を2段にした場合におけ
る本発明の一実施例構成図であり、第2図に示す4つの
既知データ点y (j−4)+ y (lL y(i+
4)及びy (i+8)のデータY (i−4)、 Y
(i)、 Y (i”) + Y (j、+8)を用
いて中間の2つの点y(i)、y(i+4)間に3つの
補間点y (1”lL y (1”2) + y (1
”3)を内挿する場合の例である。
る本発明の一実施例構成図であり、第2図に示す4つの
既知データ点y (j−4)+ y (lL y(i+
4)及びy (i+8)のデータY (i−4)、 Y
(i)、 Y (i”) + Y (j、+8)を用
いて中間の2つの点y(i)、y(i+4)間に3つの
補間点y (1”lL y (1”2) + y (1
”3)を内挿する場合の例である。
第3図は(8)〜(10)式におけるデータY (i)
の係数を演算する演算回路であり、1ビツト右シフト回
路11〜13と、3ビツト右シフト回路14と、5ビツ
ト右シフト回路15と、加算回N16〜18により構成
され、 (8)式の右辺第1項 (1/2”+1/2’)・Y (i)−(9)式の右辺
第3項 (1/21+1/22+1/2’+1/2J・Y(1)
、(10)式の右辺第1項 (1/2”+1/27)・Y (i) を演算する。
の係数を演算する演算回路であり、1ビツト右シフト回
路11〜13と、3ビツト右シフト回路14と、5ビツ
ト右シフト回路15と、加算回N16〜18により構成
され、 (8)式の右辺第1項 (1/2”+1/2’)・Y (i)−(9)式の右辺
第3項 (1/21+1/22+1/2’+1/2J・Y(1)
、(10)式の右辺第1項 (1/2”+1/27)・Y (i) を演算する。
第4図は(8)〜(10)式におけるデータY (i+
4)に関連する部分を演算する演算回路であり、1ビツ
ト右シフト回路21〜23と、3ビツト右シフト回路2
4と、5ビツト右シフト回路25と、加算回路26〜2
8により構成され、 (8)式の右辺第2項 <1/21+1/2’)・Y (i+4)、(9)式の
右辺第1項 (1/2”+1./27)・Y (i+4)(10)式
の右辺第3項 (1/21+1/2”+1/2’+1/25)・Y (
i+4)、を演算する。
4)に関連する部分を演算する演算回路であり、1ビツ
ト右シフト回路21〜23と、3ビツト右シフト回路2
4と、5ビツト右シフト回路25と、加算回路26〜2
8により構成され、 (8)式の右辺第2項 <1/21+1/2’)・Y (i+4)、(9)式の
右辺第1項 (1/2”+1./27)・Y (i+4)(10)式
の右辺第3項 (1/21+1/2”+1/2’+1/25)・Y (
i+4)、を演算する。
第5図は(8)〜(10)式におけるデータY (i−
4)に関連する部分を演算する演算回路であり、1ビツ
ト右シフト回路31と、3ビツト右シフト回路32と、
4ビツト右シフト回路33と、加算回路34により構成
され。
4)に関連する部分を演算する演算回路であり、1ビツ
ト右シフト回路31と、3ビツト右シフト回路32と、
4ビツト右シフト回路33と、加算回路34により構成
され。
(8)式の右辺第4項
(1/2’)・Y (i−4)、
(9)式の右辺第2項
(1/2’+1./2’)・Y (i−4)(10)式
の右辺第4項 (1/2s+1/2’)・Y (i−4)、を演算する
。
の右辺第4項 (1/2s+1/2’)・Y (i−4)、を演算する
。
第6図は(8)〜(10)式におけるデータY (i+
8)に関連する部分を演算する演算回路であり、1ビツ
ト右シフト回路41と、3ビツト右シフト回路42と、
4ビツト右シフト回路43と、加算回路44により構成
され、 (8)式の右辺第3項 (1/2’)・Y (i+1)、 (9)式の右辺第4項 (1/2’+1/2”)・Y (i+1)、(10)式
の右辺第2項 (1/2’+1/2’ )・Y (i+8)を演算する
。
8)に関連する部分を演算する演算回路であり、1ビツ
ト右シフト回路41と、3ビツト右シフト回路42と、
4ビツト右シフト回路43と、加算回路44により構成
され、 (8)式の右辺第3項 (1/2’)・Y (i+1)、 (9)式の右辺第4項 (1/2’+1/2”)・Y (i+1)、(10)式
の右辺第2項 (1/2’+1/2’ )・Y (i+8)を演算する
。
第7図におて51.52.53はそれぞれY (i+1
)加減算回路、 Y (i+2)加減算回路、 Y (
i+3)加減算回路であり、第3図乃至第6図で演算さ
れた演算結果を用いて(8) 、 (9) 、 (10
)式の加減算を行って3つの補間点Y (i+1) +
Y (i+2) 、 Y (i+3)の補間値を演算
する。
)加減算回路、 Y (i+2)加減算回路、 Y (
i+3)加減算回路であり、第3図乃至第6図で演算さ
れた演算結果を用いて(8) 、 (9) 、 (10
)式の加減算を行って3つの補間点Y (i+1) +
Y (i+2) 、 Y (i+3)の補間値を演算
する。
尚、同じアルゴリズムになる部分をスイッチで切り換え
て簡略化することも考えられる。結果的には、(y (
i−4)、 y (i)、 y (i+4)+ y (
i+8))の4点のデータを入れることによって3点(
y (i+1)+ y (x”2) + y Cx”3
) )の補間値が得られるので、効率が良い。
て簡略化することも考えられる。結果的には、(y (
i−4)、 y (i)、 y (i+4)+ y (
i+8))の4点のデータを入れることによって3点(
y (i+1)+ y (x”2) + y Cx”3
) )の補間値が得られるので、効率が良い。
がn の場ムの
以上は、補間の段数を2段にした場合であるが、補間演
算により得られた補間値を用いて(8) 、 (9)
。
算により得られた補間値を用いて(8) 、 (9)
。
(10)式の演算を順次繰り返すことにより任意の段数
の補間を行うことができる。一般にn段の補間を行うこ
とにより、連続する4個のデータの内の両端の2個のデ
ータを除いた中間の2個のデータの間に2″個に略等分
割する2″″1個の補間点を内挿することかできる。
の補間を行うことができる。一般にn段の補間を行うこ
とにより、連続する4個のデータの内の両端の2個のデ
ータを除いた中間の2個のデータの間に2″個に略等分
割する2″″1個の補間点を内挿することかできる。
本発明の補朝方春−Q11価□
あるサンプリング間隔で採取あるいは算出したデータに
基づいて生成した補間値の真値は未知であるので、補間
法の精度を評価することは困難である。例として、Ak
imaのデータを3次のスプライン関数で補間するとル
ンゲの現象が起こり、曲線がオーバシュートして振動的
になるので、高精度の補間データを得ることができず、
高精度の再生音出力や画像表示が困難になる。CAD/
CAMにおいては急激に変化する曲線もあり、高次のス
プライン関数を用いて補関しなければ高精度に表示する
ことが困難な場合もある。数学的には補間曲線に高次の
導関数の連続性を導入することは容易であるが、計算時
間は非常に長くなる。
基づいて生成した補間値の真値は未知であるので、補間
法の精度を評価することは困難である。例として、Ak
imaのデータを3次のスプライン関数で補間するとル
ンゲの現象が起こり、曲線がオーバシュートして振動的
になるので、高精度の補間データを得ることができず、
高精度の再生音出力や画像表示が困難になる。CAD/
CAMにおいては急激に変化する曲線もあり、高次のス
プライン関数を用いて補関しなければ高精度に表示する
ことが困難な場合もある。数学的には補間曲線に高次の
導関数の連続性を導入することは容易であるが、計算時
間は非常に長くなる。
補間方法の目的はスムーズで自然なデータを求めること
である。補間法により求められた点列を表示した場合に
視覚的な不自然さが表れないようにするには、滑らかな
曲線と比較する必要がある。
である。補間法により求められた点列を表示した場合に
視覚的な不自然さが表れないようにするには、滑らかな
曲線と比較する必要がある。
高次の連続性のある曲線を用いて補間点を求め、該補間
点の点列と本発明の補間法により求めた点列との差によ
り補間法の精度を評価する。
点の点列と本発明の補間法により求めた点列との差によ
り補間法の精度を評価する。
コンピュータグラフィックスにおいては、ピクセルに対
応するメモリに蓄えられたデータを逐次的に読み出して
表示する。通常の画像メモリの内容は8ビツトから32
ビツトの整数型のデータである。コンピュータグラフィ
ックスにおける描画方法とは、間隔の広い格子に対応す
る整数型の既知データに基づいて細かい格子に対応する
整数型データを決定することである。従って、描画デー
タの生成過程において全ての演算を整数型で行うと、計
算時間を大幅に短縮することができるので、浮動小数点
演算を用いない方が望ましい。
応するメモリに蓄えられたデータを逐次的に読み出して
表示する。通常の画像メモリの内容は8ビツトから32
ビツトの整数型のデータである。コンピュータグラフィ
ックスにおける描画方法とは、間隔の広い格子に対応す
る整数型の既知データに基づいて細かい格子に対応する
整数型データを決定することである。従って、描画デー
タの生成過程において全ての演算を整数型で行うと、計
算時間を大幅に短縮することができるので、浮動小数点
演算を用いない方が望ましい。
本発明の補間方法のアルゴリズムから明らかなように、
この補間方法は加算及び減算とビットシフトにより多く
の補間点が求められる。従って、この演算により高速に
補間値を求めることが可能である。また、局所的なデー
タにより補間値を求めるので、並列処理に適しており、
更に高速化が可能である。特に、ピクセルに対応するメ
モリからブロック転送する間に演算を並列処理するグラ
フィックプロセッサ等には本発明の補間方法は適してい
る。
この補間方法は加算及び減算とビットシフトにより多く
の補間点が求められる。従って、この演算により高速に
補間値を求めることが可能である。また、局所的なデー
タにより補間値を求めるので、並列処理に適しており、
更に高速化が可能である。特に、ピクセルに対応するメ
モリからブロック転送する間に演算を並列処理するグラ
フィックプロセッサ等には本発明の補間方法は適してい
る。
スプライン関数を用いた補間法においては、その係数を
決めるためには与えられたデータの個数の方程式を解か
なければならない。計算量はデータの二乗に比例して増
加し、しかも計算時間を多く必要とする掛は算の回数が
増加する。従って、データ数が多くなると、計算時間が
極めて長くなり、高速の補間法に適さない。
決めるためには与えられたデータの個数の方程式を解か
なければならない。計算量はデータの二乗に比例して増
加し、しかも計算時間を多く必要とする掛は算の回数が
増加する。従って、データ数が多くなると、計算時間が
極めて長くなり、高速の補間法に適さない。
本発明の補間法、は局所的に補間点の値を決定するので
、データ数が多くなっても、計算時間が急激に増加する
ことはない。
、データ数が多くなっても、計算時間が急激に増加する
ことはない。
実際の計算時間を以下に示す。C言語を用いて、これま
でに主として用いられている3次スプライン補間法を適
用して1点の補間値を求めるのに約6.5m秒を必要と
するが、16ビツトの整数型演算を用いて本発明の補間
方法を適用すると約012m秒であり、300倍以上の
高速化が可能である。計算時間の大幅な差異はスプライ
ン関数による補間法が浮動小数点演算を用いるのに対し
て、本発明の補間方法が整数型演算であることによる。
でに主として用いられている3次スプライン補間法を適
用して1点の補間値を求めるのに約6.5m秒を必要と
するが、16ビツトの整数型演算を用いて本発明の補間
方法を適用すると約012m秒であり、300倍以上の
高速化が可能である。計算時間の大幅な差異はスプライ
ン関数による補間法が浮動小数点演算を用いるのに対し
て、本発明の補間方法が整数型演算であることによる。
その上に、直接補間法は並列演算に適したアルゴリズム
であるので、並列性を利用して計算時間を更に短縮する
ことも可能である。スプライン関数を用いた補間法の計
算時間を専用のハードウェアを用いて実行するには余り
にも複雑であり実用性に乏しい。しかし、本発明の補間
方法のアルゴリズムは加減算とシフトにより実行される
ので、専用ハードウェアも簡単に構成できる。結論的に
は、並列性を利用してハードウェア化を試みることによ
って非常に高速化された補間法を開発することができる
。
であるので、並列性を利用して計算時間を更に短縮する
ことも可能である。スプライン関数を用いた補間法の計
算時間を専用のハードウェアを用いて実行するには余り
にも複雑であり実用性に乏しい。しかし、本発明の補間
方法のアルゴリズムは加減算とシフトにより実行される
ので、専用ハードウェアも簡単に構成できる。結論的に
は、並列性を利用してハードウェア化を試みることによ
って非常に高速化された補間法を開発することができる
。
既知データが等間隔に与えられると、本発明の補間方法
のアルゴリズムは簡単になり、全ての計算を整数型演算
で行っても十分の精度が得られる。
のアルゴリズムは簡単になり、全ての計算を整数型演算
で行っても十分の精度が得られる。
種々の描画データにあてはめ検討した結果、データ点が
完全に等間隔でない場合でも、略等間隔であれば、すな
わち準周期的データであれば整数型演算を適用しても補
間精度は殆ど変わらない63 スプライン′と本 明の
方法の比較以下に、具体的な3次スプライン法と本発明
の補間方法との比較を次に示す。
完全に等間隔でない場合でも、略等間隔であれば、すな
わち準周期的データであれば整数型演算を適用しても補
間精度は殆ど変わらない63 スプライン′と本 明の
方法の比較以下に、具体的な3次スプライン法と本発明
の補間方法との比較を次に示す。
補間曲線を3次のスプライン関数で構成すると、局所的
には二次までの導関数の連続性は満たされる。しかし、
導関数の連続性と表示画面の品質は完全に一致しない。
には二次までの導関数の連続性は満たされる。しかし、
導関数の連続性と表示画面の品質は完全に一致しない。
視覚的に自然であり、しかもスムーズな画像を表示する
ためには各ビクセル間の連続的変化を考察する必要があ
る。実際には変化率の大きい曲面を3次のスプライン関
数を用いて表示する場合には振動現象が発生して、画像
の大域的様相を乱す可能性がある。
ためには各ビクセル間の連続的変化を考察する必要があ
る。実際には変化率の大きい曲面を3次のスプライン関
数を用いて表示する場合には振動現象が発生して、画像
の大域的様相を乱す可能性がある。
画像のピクセルに対応する補間点のみを計算するので、
高速画像表示に最適である。コンピュータグラフィック
スでは画像メモリはピクセルと1対1の対応があるので
、ピクセルに対応するデータを直接的に生成することが
必要十分条件である。
高速画像表示に最適である。コンピュータグラフィック
スでは画像メモリはピクセルと1対1の対応があるので
、ピクセルに対応するデータを直接的に生成することが
必要十分条件である。
この観点からすれば、スプライン補間は間接法である。
すなわち、節点における高次の連続性に基づいてスプラ
イン関数の係数を求め、決定された関数にピクセルの位
置情報を入れてピクセルのデータを生成する。実際にス
プラインの係数が求まると、無限に細かいピクセルに対
するデータを生成することができる。離散的に配置する
ピクセルのデータを生成するだけで十分であるので、計
算の中途で十分過ぎる計算過程を経由して、必要以上の
情報量を求めたことに相当する。各ピクセルに対応する
補間点のデータのみを直接求めて、計算過程の簡略化を
試みることにより、高速描画の画像表示を実現する。更
に、数学的に高次の連続性を満たすには浮動小数点演算
は避けられない。
イン関数の係数を求め、決定された関数にピクセルの位
置情報を入れてピクセルのデータを生成する。実際にス
プラインの係数が求まると、無限に細かいピクセルに対
するデータを生成することができる。離散的に配置する
ピクセルのデータを生成するだけで十分であるので、計
算の中途で十分過ぎる計算過程を経由して、必要以上の
情報量を求めたことに相当する。各ピクセルに対応する
補間点のデータのみを直接求めて、計算過程の簡略化を
試みることにより、高速描画の画像表示を実現する。更
に、数学的に高次の連続性を満たすには浮動小数点演算
は避けられない。
浮動小数点演算はコプレッサ(コプロセッサ)により実
行することも可能であるが、固定小数点演算とは比較に
ならない程に多くの計算時間を必要とする。しかも、ビ
ットを十分に長くしないと桁落ちにより精度の高い補間
結果は得られない。
行することも可能であるが、固定小数点演算とは比較に
ならない程に多くの計算時間を必要とする。しかも、ビ
ットを十分に長くしないと桁落ちにより精度の高い補間
結果は得られない。
補間された値に対応する真値が不明であるので。
補間結果の精度を評価することは困難である。従って、
既知の関数で記述される曲線によって算出された一次元
格子上の点列(X、)を与えられたデータとして、各格
子間にある点の値を補間法により求め、もとの関数値に
よらて決まる値と比較して精度を評価する。
既知の関数で記述される曲線によって算出された一次元
格子上の点列(X、)を与えられたデータとして、各格
子間にある点の値を補間法により求め、もとの関数値に
よらて決まる値と比較して精度を評価する。
既知関数が低次であり、しかもデータ点の間隔が狭い場
合には線形補間法でも相当に高精度の結果が得られる。
合には線形補間法でも相当に高精度の結果が得られる。
従って、補間法の精度を評価するには既知の関数として
比較的高次の関数を用いる必要がある。尚、数値実験の
結果から、高次の関数を高精度に表示することができる
補間法は低次の関数より高精度に表示することができる
。視覚的考察が最も重要である。視覚的には右方向から
決まる条件と左方向から決まる条件を差別する条件はな
いので、両者を対等に取り入れる。このためには左右両
方向から条件で決まる点を加算平均することにより補間
値を求める。
比較的高次の関数を用いる必要がある。尚、数値実験の
結果から、高次の関数を高精度に表示することができる
補間法は低次の関数より高精度に表示することができる
。視覚的考察が最も重要である。視覚的には右方向から
決まる条件と左方向から決まる条件を差別する条件はな
いので、両者を対等に取り入れる。このためには左右両
方向から条件で決まる点を加算平均することにより補間
値を求める。
〈発明の効果〉
以上本発明の補間方法によれば、加算と減算およびビッ
トシフトだけの整数型演算により補間値を求めることが
でき、しかも並列処理が可能であるため、高速に補間値
を求めることができる。例えば、浮動小数点演算を用い
た補間法よりも数百倍の高速処理が可能であり、ハード
ウェア化と並列処理により千倍以上の高速処理も可能で
ある。
トシフトだけの整数型演算により補間値を求めることが
でき、しかも並列処理が可能であるため、高速に補間値
を求めることができる。例えば、浮動小数点演算を用い
た補間法よりも数百倍の高速処理が可能であり、ハード
ウェア化と並列処理により千倍以上の高速処理も可能で
ある。
又、本発明によれば、従来のスプライン補間法の欠点で
ある低速性と振動現象による補間精度の低下を生じない
新しい補間方法を提供することができる。特に、急激に
変化するデータに対しても振動を起こさないように局所
的データに基づいて補間曲線を求めることができる。
ある低速性と振動現象による補間精度の低下を生じない
新しい補間方法を提供することができる。特に、急激に
変化するデータに対しても振動を起こさないように局所
的データに基づいて補間曲線を求めることができる。
そして、これらの特徴を生かし、以下の分野に適用する
と従来の手法では得られない程の高速及び高精度の補間
処理が可能となる。
と従来の手法では得られない程の高速及び高精度の補間
処理が可能となる。
(1)コンパクトディスクの補間値を求めることへの利
用 本発明の補間方法を集積回路などのハードウェアで構成
し、これを用いて再生する装置を構成すれば、オーディ
オ信号のサンプリング点とサンプリング点の間に多くの
補間点を高速に、高精度で求めることができ、極めて短
時間で高品質の音を再生することができる。
用 本発明の補間方法を集積回路などのハードウェアで構成
し、これを用いて再生する装置を構成すれば、オーディ
オ信号のサンプリング点とサンプリング点の間に多くの
補間点を高速に、高精度で求めることができ、極めて短
時間で高品質の音を再生することができる。
(2)コンピュータグラフィックスへの利用本発明の補
間方法は、高速に画像を処理して描画する場合、例えば
画像を拡大して表示する場合に適用できる。すなわち、
4倍に拡大して細かい部分を見ようとする場合に、本発
明の補間方法を2度適用しく2段の補間)、中間点と更
に中間点を求めることにより、高速かつ高精度の画面の
描画が可能となる。
間方法は、高速に画像を処理して描画する場合、例えば
画像を拡大して表示する場合に適用できる。すなわち、
4倍に拡大して細かい部分を見ようとする場合に、本発
明の補間方法を2度適用しく2段の補間)、中間点と更
に中間点を求めることにより、高速かつ高精度の画面の
描画が可能となる。
脳波や心電図等の分布状態を等電位線で医療画像として
表示する場合、これらの画像は動的に変化する。このた
め、高速の画像処理技術が必要となるが、かかる画像処
理に本発明は好適である。
表示する場合、これらの画像は動的に変化する。このた
め、高速の画像処理技術が必要となるが、かかる画像処
理に本発明は好適である。
工業計測の分野では温度や圧力等の分布のリアルタイム
表示が必要となるが、かかるリアルタイム表示に本発明
方法を適用できる。
表示が必要となるが、かかるリアルタイム表示に本発明
方法を適用できる。
(3)CAD/CAMへの応用
画像の一部分を拡大して描画すれば高精度の画面が表示
できる。単純に画面を拡大すると画素が荒くなり、画質
が劣化する。この劣化を防ぐために本発明の補間方法を
適用すると、高速にしかも高精度の拡大図を描画するこ
とができる。
できる。単純に画面を拡大すると画素が荒くなり、画質
が劣化する。この劣化を防ぐために本発明の補間方法を
適用すると、高速にしかも高精度の拡大図を描画するこ
とができる。
又、複雑な形状の場合には、多数の点の座標(x、y、
z)をデジタイザや3次元測定器を用いて測定し、それ
らの点を本発明の補間方法を用いて滑らかに結ぶことに
より、形状を忠実に表現することができる。更に、複数
個の点を与えてワイヤフレームモデルを作成し、それに
この補間方法を適用することによりサーフエース機能を
付加して自由曲面を構築し、射出成形のための加工デー
タを生成することができる。
z)をデジタイザや3次元測定器を用いて測定し、それ
らの点を本発明の補間方法を用いて滑らかに結ぶことに
より、形状を忠実に表現することができる。更に、複数
個の点を与えてワイヤフレームモデルを作成し、それに
この補間方法を適用することによりサーフエース機能を
付加して自由曲面を構築し、射出成形のための加工デー
タを生成することができる。
(4)数値制御への利用
既知点間にいくつかの補間点を内挿し、これら既知点及
び補間点をつなぐ曲線に沿って工具を移動させてワーク
を加工するためのNCテープの作成に際して本発明の補
間方法を適用できる。
び補間点をつなぐ曲線に沿って工具を移動させてワーク
を加工するためのNCテープの作成に際して本発明の補
間方法を適用できる。
(5)画像等のデータ圧縮への利用
画像等の描画データを圧縮して伝送あるいは記憶して、
後に本発明の補間方法を適用して描画データを高速に復
元することができる。
後に本発明の補間方法を適用して描画データを高速に復
元することができる。
第1図は本発明の詳細な説明図、
第2図は本発明の2段の補間演算方法説明図、第3図乃
至第7図は本発明の一実施例構成図であり、 第3図はデータY (i)の係数演算回路、第4図はデ
ータY (i+4)の係数演算回路、第5図はデータY
(i−4)の係数演算回路、第6図はデータY (i
+8)の係数演算回路、第7図はY (i+1) 、
Y (i+2) 、 Y (i+3)加減算回路である
。 y(i−4)、 y(i)、 y(i+4)、
y(i+8)・・・・連続する4つの既知データ点 yb)、 yb+1)+ y(x+2)内挿された3つ
の補間点 特許出願人 赤松側力 (ほか1名)代理
人 弁理士 齋藤千幹第3図 加減算回路へ 第4図 YII+llへ 第6図 Yll←2Iへ
至第7図は本発明の一実施例構成図であり、 第3図はデータY (i)の係数演算回路、第4図はデ
ータY (i+4)の係数演算回路、第5図はデータY
(i−4)の係数演算回路、第6図はデータY (i
+8)の係数演算回路、第7図はY (i+1) 、
Y (i+2) 、 Y (i+3)加減算回路である
。 y(i−4)、 y(i)、 y(i+4)、
y(i+8)・・・・連続する4つの既知データ点 yb)、 yb+1)+ y(x+2)内挿された3つ
の補間点 特許出願人 赤松側力 (ほか1名)代理
人 弁理士 齋藤千幹第3図 加減算回路へ 第4図 YII+llへ 第6図 Yll←2Iへ
Claims (7)
- (1)連続する4個のデータの内の両端の2個のデータ
を除いた中間の2個のデータの間を4個にほとんど等分
割する3個の補間点の値を、上記連続する4個のデータ
からビットシフト演算と加算減算の演算を用いて算出す
ることを特徴とする補間方法。 - (2)連続する4個のデータの内の両端の2個のデータ
を除いた中間の2個のデータの間を2のべき乗個にほと
んど等分割する(2のべき乗−1)個の補間点の値を、
上記連続する4個のデータからビットシフト演算と加算
減算の演算を用いて求めることを特徴とする補間方法。 - (3)連続する第1〜第4の4個の点x_i_−_1、
x_i、x_i_+_1、x_i_+_2のデータ値を
g(x_i_−_1)、g(x_i)、g(x_i_+
_1)、g(x_i_+_2)とする時、中央の2点x
_i、x_i_+_1の中間点P_iにおける補間値f
(P_i)を次式f(P_i)= [g(x_i)−g(x_i_−_1)+g(x_i_
+_1)−g(x_i_+_2)]/2^N+[g(x
_i)+g(x_i_+_1)]/2(但し、Nは正整
数) により演算することを特徴とする補間方法。 - (4)第1の点x_i_−_1と第2の点x_iの中間
点Q_iにおける補間値を求め、該中間点Q_i、第2
の点x_i、前記求めた中間点P_i、第3の点x_i
_+_1のデータ値を用いて、第2の点と中間点P_i
の中間の点における補間値を演算すると共に、第3の点
x_i_+_1と第4の点x_i_+_2の中間の点R
_iにおける補間値を求め、第2の点x_i、前記求め
た中間点P_i、第3の点x_i_+_1、前記中間点
R_iのデータ値を用いて、中間点P_iと第3の点の
中間の点における補間値を演算することを特徴とする請
求項3記載の補間方法。 - (5)ビットシフト演算と加減算処理により補間値を演
算することを特徴とする請求項3又は4記載の補間方法
。 - (6)前記演算された各中間点の補間値を用いて更に補
間処理を行い、第2、第3の点間を2のべき乗個に分割
する(2のべき乗−1)個の補間点の値を演算すること
を特徴とする請求4記載の補間方法。 - (7)連続する4個の点y(i−4)、y(i)、y(
i+4)y(i+8)のデータをY(1−4)、Y(i
)、Y(i+4)、Y(i+8)とするとき、既知デー
タ点y(i)およびy(i+4)の中間の点y(i+2
)の補間値Y(i+2)を次式Y(i+2)=+{1/
2^1+1/2^4}・Y(i)+{1/2^1+1/
2^4}・Y(i+4)−{1/2^4}・Y(1+8
) −{1/2^4}・Y(i−4) により演算し、点y(i)と点y(i+2)の中間の点
であるy(i+1)の補間値Y(i+1)を次式Y(i
+1)=+{1/2^2+1/2^7}・Y(i+4)
−{1/2^4+1/2^7}・Y(i−4)+{1/
2^1+1/2^2+1/2^4+1/2^5}・Y(
i)−{1/2^5+1/2^8}・Y(i+8)によ
り演算し、点y(i+2)と点y(i+4)の中間点で
あるy(i+3)の補間値Y(i+3)を次式Y(i+
3)=+{1/2^2+1/2^7}・Y(i)−{1
/2^4+1/2^7}・Y(i+8)+{1/2^1
+1/2^2+1/2^4+1/2^5}・Y(i+4
)−{1/2^5+1/2^8}・Y(i−4)により
演算することを特徴とする補間方法。
Priority Applications (2)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
JP2336509A JPH04207516A (ja) | 1990-11-30 | 1990-11-30 | 補間方法 |
US07/799,098 US5258938A (en) | 1990-11-30 | 1991-11-27 | Interpolating method using bit-shift and addition/subtraction operations |
Applications Claiming Priority (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
JP2336509A JPH04207516A (ja) | 1990-11-30 | 1990-11-30 | 補間方法 |
Publications (1)
Publication Number | Publication Date |
---|---|
JPH04207516A true JPH04207516A (ja) | 1992-07-29 |
Family
ID=18299868
Family Applications (1)
Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
---|---|---|---|
JP2336509A Pending JPH04207516A (ja) | 1990-11-30 | 1990-11-30 | 補間方法 |
Country Status (2)
Country | Link |
---|---|
US (1) | US5258938A (ja) |
JP (1) | JPH04207516A (ja) |
Cited By (1)
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---|---|---|---|---|
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US5379241A (en) * | 1993-12-23 | 1995-01-03 | Genesis Microchip, Inc. | Method and apparatus for quadratic interpolation |
DE4406300C2 (de) * | 1994-02-26 | 1997-10-30 | Itt Ind Gmbh Deutsche | Lineares Interpolationsverfahren |
TW267228B (en) * | 1994-06-02 | 1996-01-01 | Matsushita Electric Ind Co Ltd | Data sample series access apparatus |
US5812983A (en) * | 1995-08-03 | 1998-09-22 | Kumagai; Yasuo | Computed medical file and chart system |
FR2751105B1 (fr) * | 1996-07-12 | 1998-12-18 | Thomson Csf | Procede et dispositif de calcul approche de la moyenne exponentielle d'une suite de nombres codes dans le format a virgule flottante |
JPH1132287A (ja) * | 1997-07-08 | 1999-02-02 | Fuji Photo Film Co Ltd | 画像ファイル作成方法および装置 |
JPH1139289A (ja) * | 1997-07-17 | 1999-02-12 | Nec Corp | 演算回路 |
JP4384813B2 (ja) * | 1998-06-08 | 2009-12-16 | マイクロソフト コーポレーション | 時間依存ジオメトリの圧縮 |
KR100311482B1 (ko) * | 1999-10-21 | 2001-10-18 | 구자홍 | 보간 영상의 화질 개선을 위한 필터링 제어방법 |
JP3899797B2 (ja) * | 2000-09-25 | 2007-03-28 | 日本精工株式会社 | 電動パワーステアリング装置の制御装置 |
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JPH02131009A (ja) * | 1988-11-10 | 1990-05-18 | Mitsubishi Electric Corp | データ補間装置 |
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-
1990
- 1990-11-30 JP JP2336509A patent/JPH04207516A/ja active Pending
-
1991
- 1991-11-27 US US07/799,098 patent/US5258938A/en not_active Expired - Lifetime
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Also Published As
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---|---|
US5258938A (en) | 1993-11-02 |
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