JPH04207516A

JPH04207516A - 補間方法

Info

Publication number: JPH04207516A
Application number: JP2336509A
Authority: JP
Inventors: Norio Akamatsu; 則男赤松
Original assignee: Alpine Electronics Inc
Current assignee: Alpine Electronics Inc
Priority date: 1990-11-30
Filing date: 1990-11-30
Publication date: 1992-07-29
Also published as: US5258938A

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】〈産業上の利用分野〉本発明はデータの補間方法に係わり、特に連続する４個
のデータを用いて、中間の２個のデータ間に２　ｎ−１
個の補間点を内挿する補間方法に関する。

コンパクトディスクではアナログ信号にＡＤ変換を施し
てデジタルで記憶し、再生時に信号処理装置により該デ
ータに所定の処理を施し、ＤＡ変換して音を再生する。

かかるコンパクトディスクにおいては、ＡＤ変換の速度
と記憶容量の大きさ等の制約によりデータ収集のサンプ
リング間隔を短くすることに限界がある。従って、高速
に変化する波形を入力時のサンプリング間隔でそのまま
ＤＡ変換して再生すると、データ数が少ない場合には良
質な音を再生できず、補間法等によりサンプリング点以
外にも多くの点を求める必要がある。

従来より、広く用いられているスプライン関数を用いた
補間法は計算時間を多く必要とするので、リアルタイム
の処理に適しておらず、高速処理が必要な音楽信号の再
生処理に不向である。

コンピュータグラフィックスにおいては数学的な連続性
の条件も重要であるが、離散的な画素に対しては視覚的
に自然な描画データを得ることが最大の課題である。補
間法は本来コンピュータグラフィックスの主役ではなく
１画像を細かく表示するための補助的手段である。従っ
て、従来の補間法のように直交関数を決定し１次に補間
値を求める間接補間法は最適な手法とはいえない。

多項式やフーリエ級数を用いた補間法により曲線を表示
すると、たわみによる振動現象により、不自然な曲線表
示になる場合がある。又、スプライン補間法では、デー
タによっては不自然なオーバシュートが発生する。これ
を改良するために、オフランド（Ａｃｋｌａｎｄ）によ
りオスキュラトリ補間法（Ｏｓｃｕｌａｔｏｒｙ補間法
）が提案されたが、計算時間が長く、振動も少し発生す
る。アキマ（Ａｋｉｍａ）の論文によると、局所的に多
項式の係数を決定することにより、殆ど振動が起きず、
しかも視覚的に自然な結果の得られる補間法が提案され
ている。

しかし、Ａｋｉｍａの方法は浮動小数点演算を必要とす
るので、計算時間を多く必要とする。

以上より、高速処理が可能で、且つ振動が生じない高精
度の補間法が求められている。

〈従来技術〉ＸＹ平面上の描画する曲線をパラメトリンク表示すると
、Ｘ　＝Ｆ　（ｍ）　、　Ｙ　＝Ｇ　（ｍ）となり、Ｘ
ＹＺ空間上の描画する曲面をパラメトリンク表示すると
、　Ｘ＝Ｆ　（ｍ）　、　Ｙ　＝Ｇ　（ｍ）　、　Ｚ＝
Ｈ（ｍ）となる。ただし、ここにｍはパラメータである
。ところで、計算機内で生成されたデータあるいは実測
値等の離散データを順に並べて点列（ｘｉ＋　　ｇ　　
（ｘｔ）　）　　（ｊ＝１．　２！、　　”　Ｉ　　ｎ
）　　を構成する。パラメトリック表示法を適用すると
。任意の点列は一価の点列の集合に変換されるので、−
膜性を失うことなく（ｘｉ９ｇ　（ｘ□））を−価であ
ると仮定する。従って、各点Ｘ工に既知データｇ（ｘｉ
）が対応する。区間Δ１＝［ｘ　１．　ｘ　ｉ＋１］（
ｊ＝１．２．　　・・、ｎ−１）を補間区間とし、補間
区間Δ□にある任意の点をＰｌとする。ｇ（ｘ５）（ｉ
＝１．２．　　・・、ｎ）が与えられたとき、点Ｐ工に
おける補間値ｆ（Ｐ工）を求めることを補間あるいは曲
線創成という。

補間値を決める手法は直接補間法と間接補間法に分類さ
れる。直接補間法の場合は補間すべき点の近傍にある既
知点におけるデータに基づいて補間値を直接算出するこ
とができる。大域的な様子とは関係なく局所的な領域に
あるデータに基づいて補間値を決定するので、並列演算
を行うことも可能である。

間接法を用いると補間値は２段階で決まる。最初に、既
知点を通過する曲線の多項式の係数を算出する。次に、
決定された関数に補間点の座標を代入して補間値を決め
る。多項式の係数を局所的に決定することは困難である
ので、並列演算には適さない。

間接法においては、既知データｇ（ｘｌ）（ｉ＝１．２
．　　・・＋ｎ）に基づいてｍ個のパラメータφ１（ｉ
＝＝１．２．　　・・＋ｍ）を決める。ここに、φｉは
補間関数の各項の係数である。すなわち、ｎ個の方程式％式％）を解く必要がある。間接補間法にはラグランジェ補間法
、スプライン補間法等がある。ラグランジェ補間法の場
合ｍ＝ｎであるが、３次の多項式を用いたスプライン補
間法ではｍ＝ｎ＋２である。

この場合には、未知数の数よりも方程式の数が少ないの
で、自然スプライン条件等の端条性を２個導入して、ｍ
個のパラメータφ（（ｉ＝１＋　２ｙ　　・・・ｍ）を
決定する。次に（φ８．φ２．・・・・φ１）によって
決まる関数ψにＰよを代入して、点Ｐ１の補間値はｆ（Ｐ□）＝ψ（Ｐｌ；φ１．φ２．・・・・φ、）に
より求められる。

〈発明が解決しようとする課題〉間接補間法を適用すると１ｍ個の未知数を含む方程式を
解くので、これを解くにはｍ２に比例して演算回数が増
加し、計算時間を多く必要として計算効率は低下する。

又、ＣＡＤプログラム等ではデータ点の最大数に制約が
ある場合もある。

更に、方程式を解く際には浮動小数点演算を行うので、
丸め誤差の影響と計算時間を多く必要とする問題がある
。

又、間接補間法を用いると、不自然な振動が生じ、補間
精度が低下する問題がある。これは、以下の理由による
。即ち、全補間区間のデータに基づいてｍ個のパラメー
タφｉ　（ｉ＝１．２．　　・・・ｍ）が決定されるの
で、補間点から十分に離れたデータ点の影響を受ける。

従って、データが急激に変化する区間があると、ラグラ
ンジェ補間法ではルンゲの現象と呼ばれ、フーリエ級数
を用いた補間法ではギブスの現象と呼ばれる不自然な振
動が発生する。スプライン補間法では、近似多項式の係
数は補間区間毎に決められるので、補間点から十分に離
れたデータ点の影響は受けにくい。しかし、ｎ次のスプ
ライン補間法では（ｎ−１）次の導関数までの連続性を
導入する。従って、導関数を介して振動現象は伝播する
ので、導関数が大きくなる補間区間があると、その前後
の補間区間で振動して補間精度を悪化させることがＡｋ
ｉｍａにより指摘されている。

上記の振動現象の伝播を阻止するために、有理式スプラ
イン補間法、Ａｋｉ＋ａａの補間法等が提唱されている
。局所的に多項式の係数を決める方法をＡｋｉｍａが提
唱し、通常のスプライン補間法では振動が起きるデータ
に対しても有効な結果を得た。

この実験結果は補間値を決定する際には全てのデータを
一度に用いずに、補間点の近傍にあるＭ個のデータを用
いて補間値を決定すると補間精度が向上することを示し
ている。補間値を決定するためのデータ数Ｍの最適値を
実験的に決める必要がある。Ａｋｉｍａは補間区間の端
点の勾配をその周辺の４点を用いて勾配の比例配分によ
り決め、３次多項式により補間値を求めた。その結果１
局所的に補間値を決めることになり、振動の伝播が抑え
られて良好な補間値が得られた。

しかし、Ａｋｉ■ａの補間法では、浮動小数点演算を必
要とし、高速度で補間値を算出できない問題がある。

以上から本発明の目的は、コンパクトディスクの高精度
再生やコンピュータグラフィックス等の描画において、
高精度の補間値を高速度で算出できる補間方法を提供す
ることである。

本発明の別の目的は、整数型演算が可能で、しかも並列
処理が可能な補間方法を提供することである。

本発明の更に別の目的は、補間点近傍のデータのみを用
いることにより補間精度を向上し、不自然な振動等が生
じることがない直接補間法による補間方法を提供するこ
とである。

〈課題を解決するための手段〉上記課題は本発明においては、連続する第１〜第４の４
個の点Ｘ　ｆ−１＋　Ｘ　ｉ＋　Ｘ　ｉｌｌ　ｖ　Ｘ　
ｉ＋２のデータ値をｇ（Ｘ　ｉ−１１−１）ｔ　ｉＬｇ
（ｘｉｔｓ　）ｙｇ（Ｘ　ｉ＋ｚ）とする時、中央の２
点Ｘ　ｉ　＋　Ｘ　ｉ。□の中間点Ｐ□における補間値
ｆ（Ｐ工）を次式％式％）（但し、Ｎは正整数）により演算する手段、第１の点Ｘｊ−□と第２の点ｘｉ
の中間点Ｑｉにおける補間値を求める手段、該中間点Ｑ
ｉ、第２の点Ｘ２、前記求めた中間点ｐｉ、第３の点ｘ
ｉ＋、のデータ値を用いて、第２の点と中間点Ｐｉの中
間の点における補間値を演算する手段、第３の点Ｘ（ｉ
＋１と第４の点ｘｉ＋ｚの中間の点Ｒ，における補間値
を求める手段、第２の点ｘｉ。

前記求めた中間点Ｐｉ、第３の点ｘｉ、ｉ、前記中間点
Ｒｉのデータ値を用いて、中間点ｐｉと第３の点の中間
の点における補間値を演算する手段により達成される。

く作用〉連続する第１〜第４の４個の点ｘ１−０．Ｘ工、ｘｉ。

□ｐ　Ｘ　ｉ　＊２のデータ値をｇ（ｘ　ｉ−８１−８
Ｌ　ｉ）−ｇ（ｘ□や、）。

ｇ（ｘｔ＋ｉ）とする時、中央の２点Ｘ　ｉｙ　Ｘ　ｉ
＋１の中間点Ｐｉにおける補間値ｆ（Ｐｉ）を次式％式
％）］）］（但し、Ｎは正整数）により演算し、また第１の点ＸＬ−ｘと第２の点ｘｉの
中間点Ｑｉにおける補間値を求め、該中間点Ｑｉ、第２
の点ｘｉ、前記求めた中間点ｐｉ、第３の点ｘｉ、１の
データ値を用いて、第２の点と中間点Ｐ１の中間の点に
おける補間値を演算すると共に、第３の点ｘ１．、と第
４の点ｘ　ｉｙｚの中間の点Ｒ１における補間値を求め
、第２の点ｘｉ、前記求めた中間点Ｐ工、第３の点Ｘ□
。８．前記中間点Ｒ，のデータ値を用いて、中間点Ｐ工
と第３の点の中間の点における補間値を演算し、中間の
２点Ｘ工ＩＸ１＋ｘ間に３個の補間点Ｑ工、Ｐ１．．Ｒ
１を内挿する。

この補間法によれば、整数型演算及び並列演算処理が可
能で、しかも各演算をビットシフト演算と加減算処理に
より行えるから、高速度で補間値を算出できる。又、補
間点近傍のデータのみを用いて直接補間法により補間値
を求めるようにしているから、補間精度を向上でき、不
自然な振動等を生じることがない尚、演算された各中間点の補間値を用いて更に補間処理
を行うことにより、前記中間の２点間を２のべき乗個に
分割する（２のべき乗−１）個の補間点を内挿できる。

〈実施例〉皿１里１まず、本発明の補間理論を第１図に従って説明する。

間接補間法では、補間値を直接的に求めることができず
、途中で浮動小数点演算によりパラメータφｉを求める
ので、計算時間を多く必要とすることが欠点である。本
発明の補間法では、Ｍ個のサンプリングデータに基づい
て直接的に補間値ｆ（Ｐｉ）をｆ（Ｐｉ）＝＝Ｆ［ｇ（ｘｘ）、・・・ｇ（ｘ＋）］　
　　（１）によって決定するので、計算時間が大幅に短
縮される。補間区間Δｉ（第１図参照）の端点Ｘ工とＸ
、＋１は補間点Ｐｉの補間値に最も影響をするので、ｇ
（ｘ＋）とｇ（ｘｉ＊１）を主補間データと云い、それ
以外の点”　Ｘｌ−ｚ＊　Ｘｌ−１ｒ　ｘｉ＋ｔｔ　　
・・におけるデータｇ　（ｘｉ−ｚ）　ｒ　　ｇ　（ｘ
ｉ−ｔ）　＋　　ｇ　　（Ｘｌｅｓ）　　”・・・を刷
掃間データという。上式において、補間データ数Ｍ＝２
の場合にはＰｉの属する補間区間Δｉの端点”　ＬＴ　
Ｘ　ｉｓ□における既知データｇ（ｘ工）とｇ（ｘｉ＋
１）すなわち主補間データのみにより補間値が決定され
る。

コンパクトディスクの再生においてこの補間方法を用い
ると、信号が不連続的に変化する場合がある。聴覚的に
自然な再生音を得るためには、刷掃間データの情報を有
効に利用し、高精度の補間を行う必要がある。しかし、
計算時間は補間に用いる既知データの数の二乗に比例し
て長くなり実用性にかける。しかも、補間すべき点から
十分に離れた領域にある情報を聴覚的に取り入れて再生
音の品質を判断することは不可能であるので、刷掃間デ
ータの数を多くすることはむだが多く、高速再生に適さ
ない。

ｘｉ点を含み１１点より左側にあるＬ個のデータ（ｇ　
（ｘｉ）、　ｇ　（ｘｉ−１）、・・・ｇ　（ｘｉ−ｔ
ｅａ）　）に基づく左方向修正子ＤＬ（Ｘｌ）は次式％式％により表現される。さらに、ｘｉ、□点を含みＸｌｅｓ
点より右側にあるＲ個のデータ（ｇ　（ｘｉ＊１）ｔｇ　（ｘｉ＊ｚＬ　”　”　”　
ｇ　（ｘｉ、ａ）　）に基づく右方向修正子をＤＲ（Ｘ
ｌｅｓ）は次式、ＤＲ（Ｘｌｅｓ）　＝　ｒｑ　（ｇ　
（ｘｉ＋ｚＬｇ　（ｘｉ＋ｚＬ　’　”　＠、ｇ　（ｘ
ｉ−ａ）　）　　　　（３）により表現される。　Ａｋ
ｉｍａの指摘によると、補間曲線はその補間区間の周辺
にあるデータ点間の勾配に基づいて決定すると、聴覚的
に自然なデータが得られる。ここでは、高速の数値計算
を目的とするので、補間点の修正量を左方向及び右方向
にあるデータの１次差分の加重和とする。

Ａｋｉｍａと同程度に局所的な領域にあるデータに限定
して補間値を求めるために、次式により左右の修正量を
求める。

ＤＬ　（Ｘ　ｉ）　＝λ［ｇ　（ｘｔ）　−ｇ　（ｘｔ
−、）］　　　　（４）ＤＲ（ｘｉ−８）＝λ［ｇ　（
Ｘｌｅｓ）　　ｇ　（Ｘｔ−ｚ）］　　（５）ここに、
λ（λ１）の最適値は実験的に決められる。ところで、
デジタル計算機では２のべき乗にすると、整数型の割算
はビットをシフトするだけで実行されるので、数値計算
の時間が短縮される。

従って。

λ＝１／２”＝１／Ａ　　　　　　　　（６）として、
補間の誤差が最小となるＮを決定する。

以上を総合すると、補間区間の中間点Ｐｉにおける補間
値はｆ（Ｐｉ）＝［ｇ（ｘ　ｔ）−ｇ（ｘ　１−０）”ｇ（ｘｉ＊、）−
ｇ（ｘｉ−ｚ）］／２”＋［ｇ（ｘ　ｔ）＋ｇ（ｘ　ｔ
、ｘ）］／　２　　　　　　　　（７）（但し、Ｎは正
整数）により求まる。

間接補間法においては固定小数点の既知データを基に浮
動小数点演算により中間パラメータφｉを算出し、次に
固定小数点の補間データを生成する。φｉの変化量は非
常に大きいので、これらの全てを固定小数点で処理する
と十分の精度が得られず再生音が不自然になる場合があ
る。ところが、本発明の補間方法においては浮動小数点
演算を用いなくても、整数型の既知データから整数型の
補間データを生成することができるので、聴覚的にも自
然な再生音を得ることができる。従って、この補間方法
をハードウェア化すると、高速であるので、コンパクト
ディスクの再生には好都合である。

が２　の　への　　゛第２図は補間の段数を２段にした場合における本発明の
補間方法の説明図である。第２図に示す点列において、
ｙ　ｂ−４Ｌ　ｙ　（ｘ）、ｙ　（１”４）及びｙ（ｉ
÷８）の各点にデータＹ（ｉ−４Ｌ　ｙ（ｉ）、Ｙ（ｉ
＋４ＬＹ　（ｉ＋Ｊｌ）が与えられているとする。その
他の中間の点を本発明の補間方法を適用して補間値を求
める。

第２図に示す既知データ点ｙ　（ｉ）およびｙ　（ｉ＋
４）の中間の点ｙ　（ｉ＋２）の補間値Ｙ　（ｉ＋２）
は、（７）式に基づいて次式で与えられる。但し、（７
）式におけるＮを４とする。

Ｙ　（ｉ＋２）＝＋（１／２１＋１／２’）・Ｙ　（ｉ
）＋（ｌ／２１＋１／２４）・Ｙ　（ｉ＋４）−（１／
２’）・Ｙ　（ｉ＋８） −（１／２’）・Ｙ　（ｉ−４）　　　　　　（ｇ）こ
の（８）式により補間段数１段目の補間が行われる。

さらに、データ点ｙ（ｉ−２Ｌ　ｙ（ｉ）、　ｙ（ｉ＋
２）、　ｙ（ｉ＋４）に対し本発明の方法を適用すると
、点ｙ（ｉ）と点ｙ（ｉ＋２）の中間点ｙ（ｉ＋１）の
補間値Ｙ　（ｉ＋１）を次式％式％（）により求めることができる。但し、　Ｙ　１−２）は既
知データｙ（ｉ−１）、　ｙ（ｉ〜４）、　ｙ（ｉ）、
　ｙ（ユ＋４）のデータＹ　（ｉ−８）　、　Ｙ　（ｉ
−４）、　Ｙ　（ｉ）　、　Ｙ　（１＋４）を用いて次
式％式％（４）により求めることができる。　（９ａ）式に（８）式及
び（９ｂ）式を代入するとＹ　（ｉ＋１）＝＋（１／２２＋１／２’）・Ｙ　（ｉ
＋４）−（１／２’＋１／２７）・Ｙ　（ｉ−４）＋（
１／２”＋１／２２＋１／２’＋１／２ｓ）・Ｙ　（ｉ
）−（１／２’＋１／２″）・Ｙ（ｉ÷８）＋（１／２
”）・Ｙ　（ｉ−８）　　　　　　（９ｃ）となる。（
９Ｃ）式において、Ｙ　（ｉ−８）の係数１７２は他の
係数より小さいから無視すると、　Ｙ　（ｉ＋１）は次
式でＹ　（ｉ＋１）＝＋（１／２”＋１／２’）・Ｙ　（ｉ
＋４）−（１／２’＋１／２７）・Ｙ　（ｉ−４）＋（
１／２１＋１／２”＋１／２’＋１／２’）・Ｙ　（ｉ
）−（１／２’＋１／２”）・Ｙ　（ｉ＋８）　　　　
　　　（９）で与えられる。

さらに、既知データ点ｙ　（ｉ）　＋　ｙ　（ｉ＋２）
　＊　ｙ　（ｉ＋４）ｔ　ｙ（ｘ”６）に対し本発明を
適用すると、点ｙ　（ｉ＋２）と点ｙ　（ｉ＋４）の中
間点であるｙ　（ｉ＋３）の補間値Ｙ（ｉ÷３）を次式％式％（２）により求めることができる。ただし、Ｙ　（ｉ＋６）は
既知データ点ｙ　（１）　ｔ　ｙ　（１÷４Ｌ　ｙ　ｂ
”８Ｌ　ｙ　（ｉ”１２）のデータＹ　（ｉ）　、　Ｙ
　（ｉ＋４）　、　Ｙ　（ｉ＋８）　、　Ｙ　（ｉ＋１
２）を用いて次式％式％（４）で与えられる。（１０ａ）式に（８）式及び（］Ｏｂ）
式を代入するとＹ　（ｉ＋３）　＝＋（１／２”＋１／２７）・Ｙ　（
ｉ）−（１／２’＋１／２’）・Ｙ　（ｉ＋８）＋（１
／２１＋１／２２＋１／２’＋１／２５）・Ｙ　（ｊ＋
４）−（］／２’＋１／２”）・Ｙ　（ｉ−４）”（１
／２’）・Ｙ　（ｉ＋１２）　　　　（１０ｃ）となる
。（１０ｃ）式において−Ｙ　（ｉ＋１２）の係数１７
２＠は他の係数より小さいから無視すると、　Ｙ　（ｉ
＋３）は次式でＹ　（ｉ＋３）　＝＋（１／２２＋１／２’）・Ｙ（１
）−（］／２’＋１／２’）・Ｙ　（ｉ＋８）＋（１／
２１＋１／２”＋１／２’＋１．／２５）・Ｙ　（ｉ＋
４）−（１／２’＋１／２”）・Ｙ　（ｉ−４）　　　
　（１０）で与えられる。　（９）、（１０）式により
補間段数２段目の補間が行われる。

これらの計算式（８）〜（１０）は加算と減算及び２の
べき乗の割算を含む。このうち加算と減算は整数型であ
るので、高速に求めることができる。さらに、２のべき
乗の割算はビットを右ヘシフトすることにより求められ
るので、ハードウェアでは結線により実施される。従っ
て、この計算式をハードウェアで構成することは容易で
あり、補間段数を多くすると、高速で高精度の補間点が
連続して得られる。

木Ｖの− 第３図乃至第７図は補間の段数を２段にした場合におけ
る本発明の一実施例構成図であり、第２図に示す４つの
既知データ点ｙ　（ｊ−４）＋　ｙ　（ｌＬ　ｙ（ｉ＋
４）及びｙ　（ｉ＋８）のデータＹ　（ｉ−４）、　Ｙ
　（ｉ）、　Ｙ　（ｉ”）　＋　Ｙ　（ｊ、＋８）を用
いて中間の２つの点ｙ（ｉ）、ｙ（ｉ＋４）間に３つの
補間点ｙ　（１”ｌＬ　ｙ　（１”２）　＋　ｙ　（１
”３）を内挿する場合の例である。

第３図は（８）〜（１０）式におけるデータＹ　（ｉ）
の係数を演算する演算回路であり、１ビツト右シフト回
路１１〜１３と、３ビツト右シフト回路１４と、５ビツ
ト右シフト回路１５と、加算回Ｎ１６〜１８により構成
され、（８）式の右辺第１項（１／２”＋１／２’）・Ｙ　（ｉ）−（９）式の右辺
第３項（１／２１＋１／２２＋１／２’＋１／２Ｊ・Ｙ（１）
、（１０）式の右辺第１項（１／２”＋１／２７）・Ｙ　（ｉ）を演算する。

第４図は（８）〜（１０）式におけるデータＹ　（ｉ＋
４）に関連する部分を演算する演算回路であり、１ビツ
ト右シフト回路２１〜２３と、３ビツト右シフト回路２
４と、５ビツト右シフト回路２５と、加算回路２６〜２
８により構成され、（８）式の右辺第２項＜１／２１＋１／２’）・Ｙ　（ｉ＋４）、（９）式の
右辺第１項（１／２”＋１．／２７）・Ｙ　（ｉ＋４）（１０）式
の右辺第３項（１／２１＋１／２”＋１／２’＋１／２５）・Ｙ　（
ｉ＋４）、を演算する。

第５図は（８）〜（１０）式におけるデータＹ　（ｉ−
４）に関連する部分を演算する演算回路であり、１ビツ
ト右シフト回路３１と、３ビツト右シフト回路３２と、
４ビツト右シフト回路３３と、加算回路３４により構成
され。

（８）式の右辺第４項（１／２’）・Ｙ　（ｉ−４）、（９）式の右辺第２項（１／２’＋１．／２’）・Ｙ　（ｉ−４）（１０）式
の右辺第４項（１／２ｓ＋１／２’）・Ｙ　（ｉ−４）、を演算する
。

第６図は（８）〜（１０）式におけるデータＹ　（ｉ＋
８）に関連する部分を演算する演算回路であり、１ビツ
ト右シフト回路４１と、３ビツト右シフト回路４２と、
４ビツト右シフト回路４３と、加算回路４４により構成
され、（８）式の右辺第３項（１／２’）・Ｙ　（ｉ＋１）、（９）式の右辺第４項（１／２’＋１／２”）・Ｙ　（ｉ＋１）、（１０）式
の右辺第２項（１／２’＋１／２’　）・Ｙ　（ｉ＋８）を演算する
。

第７図におて５１．５２．５３はそれぞれＹ　（ｉ＋１
）加減算回路、　Ｙ　（ｉ＋２）加減算回路、　Ｙ　（
ｉ＋３）加減算回路であり、第３図乃至第６図で演算さ
れた演算結果を用いて（８）　、　（９）　、　（１０
）式の加減算を行って３つの補間点Ｙ　（ｉ＋１）　＋
　Ｙ　（ｉ＋２）　、　Ｙ　（ｉ＋３）の補間値を演算
する。

尚、同じアルゴリズムになる部分をスイッチで切り換え
て簡略化することも考えられる。結果的には、（ｙ　（
ｉ−４）、　ｙ　（ｉ）、　ｙ　（ｉ＋４）＋　ｙ　（
ｉ＋８））の４点のデータを入れることによって３点（
ｙ　（ｉ＋１）＋　ｙ　（ｘ”２）　＋　ｙ　Ｃｘ”３
）　）の補間値が得られるので、効率が良い。

がｎ　の場ムの以上は、補間の段数を２段にした場合であるが、補間演
算により得られた補間値を用いて（８）　、　（９）　
。

（１０）式の演算を順次繰り返すことにより任意の段数
の補間を行うことができる。一般にｎ段の補間を行うこ
とにより、連続する４個のデータの内の両端の２個のデ
ータを除いた中間の２個のデータの間に２″個に略等分
割する２″″１個の補間点を内挿することかできる。

本発明の補朝方春−Ｑ１１価□ あるサンプリング間隔で採取あるいは算出したデータに
基づいて生成した補間値の真値は未知であるので、補間
法の精度を評価することは困難である。例として、Ａｋ
ｉｍａのデータを３次のスプライン関数で補間するとル
ンゲの現象が起こり、曲線がオーバシュートして振動的
になるので、高精度の補間データを得ることができず、
高精度の再生音出力や画像表示が困難になる。ＣＡＤ／
ＣＡＭにおいては急激に変化する曲線もあり、高次のス
プライン関数を用いて補関しなければ高精度に表示する
ことが困難な場合もある。数学的には補間曲線に高次の
導関数の連続性を導入することは容易であるが、計算時
間は非常に長くなる。

補間方法の目的はスムーズで自然なデータを求めること
である。補間法により求められた点列を表示した場合に
視覚的な不自然さが表れないようにするには、滑らかな
曲線と比較する必要がある。

高次の連続性のある曲線を用いて補間点を求め、該補間
点の点列と本発明の補間法により求めた点列との差によ
り補間法の精度を評価する。

コンピュータグラフィックスにおいては、ピクセルに対
応するメモリに蓄えられたデータを逐次的に読み出して
表示する。通常の画像メモリの内容は８ビツトから３２
ビツトの整数型のデータである。コンピュータグラフィ
ックスにおける描画方法とは、間隔の広い格子に対応す
る整数型の既知データに基づいて細かい格子に対応する
整数型データを決定することである。従って、描画デー
タの生成過程において全ての演算を整数型で行うと、計
算時間を大幅に短縮することができるので、浮動小数点
演算を用いない方が望ましい。

本発明の補間方法のアルゴリズムから明らかなように、
この補間方法は加算及び減算とビットシフトにより多く
の補間点が求められる。従って、この演算により高速に
補間値を求めることが可能である。また、局所的なデー
タにより補間値を求めるので、並列処理に適しており、
更に高速化が可能である。特に、ピクセルに対応するメ
モリからブロック転送する間に演算を並列処理するグラ
フィックプロセッサ等には本発明の補間方法は適してい
る。

スプライン関数を用いた補間法においては、その係数を
決めるためには与えられたデータの個数の方程式を解か
なければならない。計算量はデータの二乗に比例して増
加し、しかも計算時間を多く必要とする掛は算の回数が
増加する。従って、データ数が多くなると、計算時間が
極めて長くなり、高速の補間法に適さない。

本発明の補間法、は局所的に補間点の値を決定するので
、データ数が多くなっても、計算時間が急激に増加する
ことはない。

実際の計算時間を以下に示す。Ｃ言語を用いて、これま
でに主として用いられている３次スプライン補間法を適
用して１点の補間値を求めるのに約６．５ｍ秒を必要と
するが、１６ビツトの整数型演算を用いて本発明の補間
方法を適用すると約０１２ｍ秒であり、３００倍以上の
高速化が可能である。計算時間の大幅な差異はスプライ
ン関数による補間法が浮動小数点演算を用いるのに対し
て、本発明の補間方法が整数型演算であることによる。

その上に、直接補間法は並列演算に適したアルゴリズム
であるので、並列性を利用して計算時間を更に短縮する
ことも可能である。スプライン関数を用いた補間法の計
算時間を専用のハードウェアを用いて実行するには余り
にも複雑であり実用性に乏しい。しかし、本発明の補間
方法のアルゴリズムは加減算とシフトにより実行される
ので、専用ハードウェアも簡単に構成できる。結論的に
は、並列性を利用してハードウェア化を試みることによ
って非常に高速化された補間法を開発することができる
。

既知データが等間隔に与えられると、本発明の補間方法
のアルゴリズムは簡単になり、全ての計算を整数型演算
で行っても十分の精度が得られる。

種々の描画データにあてはめ検討した結果、データ点が
完全に等間隔でない場合でも、略等間隔であれば、すな
わち準周期的データであれば整数型演算を適用しても補
間精度は殆ど変わらない６３　スプライン′と本　明の
方法の比較以下に、具体的な３次スプライン法と本発明
の補間方法との比較を次に示す。

補間曲線を３次のスプライン関数で構成すると、局所的
には二次までの導関数の連続性は満たされる。しかし、
導関数の連続性と表示画面の品質は完全に一致しない。

視覚的に自然であり、しかもスムーズな画像を表示する
ためには各ビクセル間の連続的変化を考察する必要があ
る。実際には変化率の大きい曲面を３次のスプライン関
数を用いて表示する場合には振動現象が発生して、画像
の大域的様相を乱す可能性がある。

画像のピクセルに対応する補間点のみを計算するので、
高速画像表示に最適である。コンピュータグラフィック
スでは画像メモリはピクセルと１対１の対応があるので
、ピクセルに対応するデータを直接的に生成することが
必要十分条件である。

この観点からすれば、スプライン補間は間接法である。

すなわち、節点における高次の連続性に基づいてスプラ
イン関数の係数を求め、決定された関数にピクセルの位
置情報を入れてピクセルのデータを生成する。実際にス
プラインの係数が求まると、無限に細かいピクセルに対
するデータを生成することができる。離散的に配置する
ピクセルのデータを生成するだけで十分であるので、計
算の中途で十分過ぎる計算過程を経由して、必要以上の
情報量を求めたことに相当する。各ピクセルに対応する
補間点のデータのみを直接求めて、計算過程の簡略化を
試みることにより、高速描画の画像表示を実現する。更
に、数学的に高次の連続性を満たすには浮動小数点演算
は避けられない。

浮動小数点演算はコプレッサ（コプロセッサ）により実
行することも可能であるが、固定小数点演算とは比較に
ならない程に多くの計算時間を必要とする。しかも、ビ
ットを十分に長くしないと桁落ちにより精度の高い補間
結果は得られない。

補間された値に対応する真値が不明であるので。

補間結果の精度を評価することは困難である。従って、
既知の関数で記述される曲線によって算出された一次元
格子上の点列（Ｘ、）を与えられたデータとして、各格
子間にある点の値を補間法により求め、もとの関数値に
よらて決まる値と比較して精度を評価する。

既知関数が低次であり、しかもデータ点の間隔が狭い場
合には線形補間法でも相当に高精度の結果が得られる。

従って、補間法の精度を評価するには既知の関数として
比較的高次の関数を用いる必要がある。尚、数値実験の
結果から、高次の関数を高精度に表示することができる
補間法は低次の関数より高精度に表示することができる
。視覚的考察が最も重要である。視覚的には右方向から
決まる条件と左方向から決まる条件を差別する条件はな
いので、両者を対等に取り入れる。このためには左右両
方向から条件で決まる点を加算平均することにより補間
値を求める。

〈発明の効果〉以上本発明の補間方法によれば、加算と減算およびビッ
トシフトだけの整数型演算により補間値を求めることが
でき、しかも並列処理が可能であるため、高速に補間値
を求めることができる。例えば、浮動小数点演算を用い
た補間法よりも数百倍の高速処理が可能であり、ハード
ウェア化と並列処理により千倍以上の高速処理も可能で
ある。

又、本発明によれば、従来のスプライン補間法の欠点で
ある低速性と振動現象による補間精度の低下を生じない
新しい補間方法を提供することができる。特に、急激に
変化するデータに対しても振動を起こさないように局所
的データに基づいて補間曲線を求めることができる。

そして、これらの特徴を生かし、以下の分野に適用する
と従来の手法では得られない程の高速及び高精度の補間
処理が可能となる。

（１）コンパクトディスクの補間値を求めることへの利
用本発明の補間方法を集積回路などのハードウェアで構成
し、これを用いて再生する装置を構成すれば、オーディ
オ信号のサンプリング点とサンプリング点の間に多くの
補間点を高速に、高精度で求めることができ、極めて短
時間で高品質の音を再生することができる。

（２）コンピュータグラフィックスへの利用本発明の補
間方法は、高速に画像を処理して描画する場合、例えば
画像を拡大して表示する場合に適用できる。すなわち、
４倍に拡大して細かい部分を見ようとする場合に、本発
明の補間方法を２度適用しく２段の補間）、中間点と更
に中間点を求めることにより、高速かつ高精度の画面の
描画が可能となる。

脳波や心電図等の分布状態を等電位線で医療画像として
表示する場合、これらの画像は動的に変化する。このた
め、高速の画像処理技術が必要となるが、かかる画像処
理に本発明は好適である。

工業計測の分野では温度や圧力等の分布のリアルタイム
表示が必要となるが、かかるリアルタイム表示に本発明
方法を適用できる。

（３）ＣＡＤ／ＣＡＭへの応用画像の一部分を拡大して描画すれば高精度の画面が表示
できる。単純に画面を拡大すると画素が荒くなり、画質
が劣化する。この劣化を防ぐために本発明の補間方法を
適用すると、高速にしかも高精度の拡大図を描画するこ
とができる。

又、複雑な形状の場合には、多数の点の座標（ｘ、ｙ、
ｚ）をデジタイザや３次元測定器を用いて測定し、それ
らの点を本発明の補間方法を用いて滑らかに結ぶことに
より、形状を忠実に表現することができる。更に、複数
個の点を与えてワイヤフレームモデルを作成し、それに
この補間方法を適用することによりサーフエース機能を
付加して自由曲面を構築し、射出成形のための加工デー
タを生成することができる。

（４）数値制御への利用既知点間にいくつかの補間点を内挿し、これら既知点及
び補間点をつなぐ曲線に沿って工具を移動させてワーク
を加工するためのＮＣテープの作成に際して本発明の補
間方法を適用できる。

（５）画像等のデータ圧縮への利用画像等の描画データを圧縮して伝送あるいは記憶して、
後に本発明の補間方法を適用して描画データを高速に復
元することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の詳細な説明図、第２図は本発明の２段の補間演算方法説明図、第３図乃
至第７図は本発明の一実施例構成図であり、第３図はデータＹ　（ｉ）の係数演算回路、第４図はデ
ータＹ　（ｉ＋４）の係数演算回路、第５図はデータＹ
　（ｉ−４）の係数演算回路、第６図はデータＹ　（ｉ
＋８）の係数演算回路、第７図はＹ　（ｉ＋１）　、　
Ｙ　（ｉ＋２）　、　Ｙ　（ｉ＋３）加減算回路である
。ｙ（ｉ−４）、　　ｙ（ｉ）、　　ｙ（ｉ＋４）、　　
ｙ（ｉ＋８）・・・・連続する４つの既知データ点ｙｂ）、　ｙｂ＋１）＋　ｙ（ｘ＋２）内挿された３つ
の補間点特許出願人　　　　　　　赤松側力　（ほか１名）代理
人　　　　　　　　　弁理士　　齋藤千幹第３図加減算回路へ第４図ＹＩＩ＋ｌｌへ第６図Ｙｌｌ←２Ｉへ

Claims

【特許請求の範囲】

（１）連続する４個のデータの内の両端の２個のデータ
を除いた中間の２個のデータの間を４個にほとんど等分
割する３個の補間点の値を、上記連続する４個のデータ
からビットシフト演算と加算減算の演算を用いて算出す
ることを特徴とする補間方法。
（２）連続する４個のデータの内の両端の２個のデータ
を除いた中間の２個のデータの間を２のべき乗個にほと
んど等分割する（２のべき乗−１）個の補間点の値を、
上記連続する４個のデータからビットシフト演算と加算
減算の演算を用いて求めることを特徴とする補間方法。
（３）連続する第１〜第４の４個の点ｘ＿ｉ＿−＿１、
ｘ＿ｉ、ｘ＿ｉ＿＋＿１、ｘ＿ｉ＿＋＿２のデータ値を
ｇ（ｘ＿ｉ＿−＿１）、ｇ（ｘ＿ｉ）、ｇ（ｘ＿ｉ＿＋
＿１）、ｇ（ｘ＿ｉ＿＋＿２）とする時、中央の２点ｘ
＿ｉ、ｘ＿ｉ＿＋＿１の中間点Ｐ＿ｉにおける補間値ｆ
（Ｐ＿ｉ）を次式ｆ（Ｐ＿ｉ）＝［ｇ（ｘ＿ｉ）−ｇ（ｘ＿ｉ＿−＿１）＋ｇ（ｘ＿ｉ＿
＋＿１）−ｇ（ｘ＿ｉ＿＋＿２）］／２＾Ｎ＋［ｇ（ｘ
＿ｉ）＋ｇ（ｘ＿ｉ＿＋＿１）］／２（但し、Ｎは正整
数）により演算することを特徴とする補間方法。
（４）第１の点ｘ＿ｉ＿−＿１と第２の点ｘ＿ｉの中間
点Ｑ＿ｉにおける補間値を求め、該中間点Ｑ＿ｉ、第２
の点ｘ＿ｉ、前記求めた中間点Ｐ＿ｉ、第３の点ｘ＿ｉ
＿＋＿１のデータ値を用いて、第２の点と中間点Ｐ＿ｉ
の中間の点における補間値を演算すると共に、第３の点
ｘ＿ｉ＿＋＿１と第４の点ｘ＿ｉ＿＋＿２の中間の点Ｒ
＿ｉにおける補間値を求め、第２の点ｘ＿ｉ、前記求め
た中間点Ｐ＿ｉ、第３の点ｘ＿ｉ＿＋＿１、前記中間点
Ｒ＿ｉのデータ値を用いて、中間点Ｐ＿ｉと第３の点の
中間の点における補間値を演算することを特徴とする請
求項３記載の補間方法。
（５）ビットシフト演算と加減算処理により補間値を演
算することを特徴とする請求項３又は４記載の補間方法
。
（６）前記演算された各中間点の補間値を用いて更に補
間処理を行い、第２、第３の点間を２のべき乗個に分割
する（２のべき乗−１）個の補間点の値を演算すること
を特徴とする請求４記載の補間方法。
（７）連続する４個の点ｙ（ｉ−４）、ｙ（ｉ）、ｙ（
ｉ＋４）ｙ（ｉ＋８）のデータをＹ（１−４）、Ｙ（ｉ
）、Ｙ（ｉ＋４）、Ｙ（ｉ＋８）とするとき、既知デー
タ点ｙ（ｉ）およびｙ（ｉ＋４）の中間の点ｙ（ｉ＋２
）の補間値Ｙ（ｉ＋２）を次式Ｙ（ｉ＋２）＝＋｛１／
２＾１＋１／２＾４｝・Ｙ（ｉ）＋｛１／２＾１＋１／
２＾４｝・Ｙ（ｉ＋４）−｛１／２＾４｝・Ｙ（１＋８
） −｛１／２＾４｝・Ｙ（ｉ−４）により演算し、点ｙ（ｉ）と点ｙ（ｉ＋２）の中間の点
であるｙ（ｉ＋１）の補間値Ｙ（ｉ＋１）を次式Ｙ（ｉ
＋１）＝＋｛１／２＾２＋１／２＾７｝・Ｙ（ｉ＋４）
−｛１／２＾４＋１／２＾７｝・Ｙ（ｉ−４）＋｛１／
２＾１＋１／２＾２＋１／２＾４＋１／２＾５｝・Ｙ（
ｉ）−｛１／２＾５＋１／２＾８｝・Ｙ（ｉ＋８）によ
り演算し、点ｙ（ｉ＋２）と点ｙ（ｉ＋４）の中間点で
あるｙ（ｉ＋３）の補間値Ｙ（ｉ＋３）を次式Ｙ（ｉ＋
３）＝＋｛１／２＾２＋１／２＾７｝・Ｙ（ｉ）−｛１
／２＾４＋１／２＾７｝・Ｙ（ｉ＋８）＋｛１／２＾１
＋１／２＾２＋１／２＾４＋１／２＾５｝・Ｙ（ｉ＋４
）−｛１／２＾５＋１／２＾８｝・Ｙ（ｉ−４）により
演算することを特徴とする補間方法。