JP7327955B2 - 鉛蓄電池状態検出装置および鉛蓄電池状態検出方法 - Google Patents

Description

本発明は、鉛蓄電池状態検出装置および鉛蓄電池状態検出方法に関するものである。

特許文献１には、鉛蓄電池を構成するセル間のばらつきを誘発する使用履歴を有する場合には、鉛蓄電池の劣化状態を示す所定の関数に対して補正を施すことで、より現実に近い劣化状態を得る技術が開示されている。

特開２０１７－１８１２０６号公報

ところで、車載用の鉛蓄電池では、設置する位置や方向により、エンジンまたはモータ等の原動機からの熱が、これらに近い位置にあるセルの温度を上昇させ、セル間の温度のばらつきが生じる場合がある。このような場合には、温度が異なるセル間で内部抵抗の値が異なったり、温度が高いセルの劣化が他のセルよりも早く進行したりする場合がある。

しかしながら、特許文献１に開示された技術では、温度センサが１つであるので、前述したような、温度のばらつきを検出することができないため、鉛蓄電池の状態を正確に検出できないという問題点がある。

本発明は、以上のような状況に鑑みてなされたものであり、鉛蓄電池のセル間の温度のばらつきが存在する場合であっても、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能な鉛蓄電池状態検出装置および鉛蓄電池状態検出方法を提供することを目的としている。

上記課題を解決するために、本発明は、複数のセルに区画された電解槽を有する車載用の鉛蓄電池の状態を検出する鉛蓄電池状態検出装置において、プロセッサと、前記プロセッサによって実行された場合に以下の機能を実現するプログラムを格納するメモリと、を有し、前記鉛蓄電池の端子電圧を検出する電圧センサからの電圧信号と、前記鉛蓄電池の充放電電流を検出する電流センサからの電流信号と、前記電解槽の複数箇所の温度を検出する温度センサからの温度信号を受信し、前記鉛蓄電池の放電中の前記電圧信号と前記電流信号とに基づいて前記鉛蓄電池の等価回路を構成する素子の値を算出し、算出された前記等価回路を構成する素子の値を、前記電解槽の複数箇所の温度を示す温度信号に基づいて素子の値を補正し、補正された素子の値に基づいて、前記鉛蓄電池の状態を検出し、検出された前記鉛蓄電池の状態を出力する、ことを特徴とする。
このような構成によれば、鉛蓄電池のセル間の温度のばらつきが存在する場合であっても、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能になる。

また、本発明は、前記温度センサは、前記電解槽の両端に位置するセルの温度を検出可能に配置され、両端に位置するセルの車両の原動機から発生する熱による温度上昇を検出することを特徴とする。
このような構成によれば、熱源からの影響を低減して、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能になる。

また、本発明は、前記温度センサは、前記電解槽の複数のセルの温度を検出可能に配置され、セルの劣化の進行に起因する温度上昇を検出することを特徴とする。
このような構成によれば、劣化の進行による影響を低減して、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能になる。

また、本発明は、前記温度センサからの温度信号を時間積分した値に基づいて、前記等価回路の素子の値を補正することを特徴とする。
このような構成によれば、温度の過去の履歴に基づいて、等価回路の素子の値を正確に補正することが可能になる。

また、本発明は、前記等価回路の素子の値を、前記温度信号を時間積分して得た値に基づいて、それぞれのセルに分配することを特徴とする。
このような構成によれば、それぞれのセルが有する素子の値を正確に求めることが可能になる。

また、本発明は、各セルに分配された素子の値に基づいて、各セルの放電可能容量を補正することを特徴とする。
このような構成によれば、各セルの放電可能容量を正確に求めることが可能になる。

また、本発明は、各セルに対して１つずつ配置された前記温度センサからの前記温度信号を受信し、前記等価回路の素子の値を各セルからの前記温度信号に基づいて補正することを特徴とする。
このような構成によれば、各セルが有する素子の値を正確に求めることが可能になる。

また、本発明は、前記電解槽の垂直方向に離間して配置された少なくとも２つの前記温度センサからの前記温度信号を受信し、前記温度信号に基づいて前記電解槽の垂直方向の温度差を検出し、検出した温度差に基づいて電解液の成層化の程度を検出し、当該成層化の程度に基づいて素子の値を補正することを特徴とする。
このような構成によれば、成層化の影響を考慮して、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能になる。

また、本発明は、前記温度センサは、前記鉛蓄電池を収容するカバー内に配置されていることを特徴とする。
このような構成によれば、外部の熱源の影響を低減しつつ、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能になる。

また、本発明は、複数のセルに区画された電解槽を有する車載用の鉛蓄電池の状態を検出する鉛蓄電池状態検出方法において、前記鉛蓄電池の端子電圧を検出する電圧センサからの電圧信号と、前記鉛蓄電池の充放電電流を検出する電流センサからの電流信号と、前記電解槽の両端に位置するセルの温度を検出する少なくとも２つの温度センサからの温度信号を、プロセッサを有するシステムによって受信し、前記鉛蓄電池の放電中の前記電圧信号と前記電流信号とに基づいて前記鉛蓄電池の等価回路を構成する素子の値を前記システムによって算出し、算出された前記等価回路を構成する素子の値を、受信された前記両端に位置するセルの温度差に基づいて素子の値を前記システムによって補正し、補正された素子の値に基づいて、前記鉛蓄電池の状態を前記システムによって検出し、検出された前記鉛蓄電池の状態を前記システムによって出力する、ことを特徴とする。
このような方法によれば、鉛蓄電池のセル間の温度のばらつきが存在する場合であっても、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能になる。

本発明によれば、鉛蓄電池のセル間の温度のばらつきが存在する場合であっても、鉛蓄電池の状態を正確に推定することが可能な鉛蓄電池状態検出装置および鉛蓄電池状態検出方法を提供することが可能となる。

本発明の実施形態に係る鉛蓄電池状態検出装置の構成例を示す図である。 図１に示す鉛蓄電池の構成例を示す図である。 図１の制御部の詳細な構成例を示すブロック図である。 図２に示す鉛蓄電池の等価回路の一例を示す図である。 従来における端子間抵抗と各セルの抵抗値および推定容量の関係を示す図である。 本実施形態における端子間抵抗と各セルの抵抗値および推定容量の関係を示す図である。 本発明の実施形態において、エンジンが始動された場合に実行される処理の一例を説明するためのフローチャートである。 本発明の実施形態において、エンジンが停止された場合に実行される処理の一例を説明するためのフローチャートである。 温度センサの他の配置例を示す図である。 鉛蓄電池の温度の等高線の例を示す図である。 温度センサの他の配置例を示す図である。 温度センサの他の配置例を示す図である。 温度センサの他の配置例を示す図である。 温度センサをカバーに配置する例を示す図である。

次に、本発明の実施形態について説明する。

（Ａ）本発明の実施形態の構成の説明
図１は、本発明の実施形態に係る鉛蓄電池状態検出装置を有する車両の電源系統を示す図である。この図において、鉛蓄電池状態検出装置１は、制御部１０を主要な構成要素とし、電圧センサ１１、電流センサ１２、温度センサ１３－１，１３－２、および、放電回路１５が外部に接続され、鉛蓄電池１４の状態を検出する。なお、制御部１０、電圧センサ１１、電流センサ１２、温度センサ１３－１，１３－２、および、放電回路１５を別々の構成とするのではなく、これらの一部または全てをまとめた構成としてもよい。

ここで、制御部１０は、電圧センサ１１、電流センサ１２、および、温度センサ１３－１，１３－２からの出力を参照し、鉛蓄電池１４の状態を検出して検出結果の情報を外部に出力するとともに、オルタネータ１６の発電電圧を制御することで鉛蓄電池１４の充電状態を制御する。なお、制御部１０がオルタネータ１６の発電電圧を制御することで鉛蓄電池１４の充電状態を制御するのではなく、例えば、図示しないＥＣＵ（Electric Control Unit）が制御部１０からの情報に基づいて充電状態を制御するようにしてもよい。

電圧センサ１１は、鉛蓄電池１４の端子電圧を検出し、制御部１０に電圧信号として供給する。電流センサ１２は、鉛蓄電池１４に流れる電流を検出し、制御部１０に電流信号として供給する。

温度センサ１３－１，１３－２は、鉛蓄電池１４の電解液または鉛蓄電池１４の周囲の温度（例えば、絶対温度）を検出し、制御部１０に温度信号として供給する。温度センサ１３－１，１３－２としては、例えば、サーミスタ、測温抵抗体、熱電対、ＩＣ（Integrated Circuit）温度センサを使用することができる。なお、赤外線を感知する赤外線センサを用いるようにしてもよい。

図２は、鉛蓄電池１４の構成例を示している。図２に示すように、鉛蓄電池１４は、例えば、複数のセル１４１～１４６に区画された電解槽１４０を有している。セル１４１～１４６の内部には、鉛の陰極、セパレータ、二酸化鉛の陽極が積層されて配置されるとともに、電解液が充填されている。電解槽１４０の両端に位置するセル１４１，１４６の面１４ａ，１４ｂには、温度センサ１３－１，１３－２が配置されている。温度センサ１３－１，１３－２は、セル１４１，１４６の温度を検出して温度信号を出力する。

放電回路１５は、例えば、直列接続された半導体スイッチおよび抵抗素子等によって構成され、制御部１０の制御に応じて半導体スイッチをオン／オフすることで、鉛蓄電池１４を所望の波形にて放電させることができる。

オルタネータ１６は、エンジン１７によって駆動され、交流電力を発生して整流回路によって直流電力に変換し、鉛蓄電池１４を充電する。オルタネータ１６は、制御部１０によって制御され、発電電圧を調整することが可能とされている。

エンジン１７は、例えば、ガソリンエンジンおよびディーゼルエンジン等のレシプロエンジンまたはロータリーエンジン等によって構成され、スタータモータ１８によって始動され、トランスミッションを介して駆動輪を駆動し、車両に推進力を与えるとともに、オルタネータ１６を駆動して電力を発生させる。スタータモータ１８は、例えば、直流電動機によって構成され、鉛蓄電池１４から供給される電力によって回転力を発生し、エンジン１７を始動する。なお、エンジン１７の代わりに、電気モータを使用するようにしてもよい。

負荷１９は、例えば、電動ステアリングモータ、デフォッガ、シートヒータ、イグニッションコイル、カーオーディオ、および、カーナビゲーション等によって構成され、鉛蓄電池１４から供給される電力によって動作する。なお、図１の例では、エンジン１７のみが駆動力を出力する構成としたが、例えば、エンジン１７をアシストする電動モータを具備したハイブリッド車であってもよい。ハイブリッド車の場合、鉛蓄電池１４は、リチウム電池等によって構成される高圧システム（電動モータを駆動するシステム）を起動し、高圧システムがエンジン１７を始動する。

図３は、図１に示す制御部１０の詳細な構成例を示す図である。この図に示すように、制御部１０は、プロセッサとしてのＣＰＵ（Central Processing Unit）１０ａ、ＲＯＭ（Read Only Memory）１０ｂ、ＲＡＭ（Random Access Memory）１０ｃ、通信部１０ｄ、Ｉ／Ｆ（Interface）１０ｅ、および、バス１０ｆを有している。ここで、ＣＰＵ１０ａは、ＲＯＭ１０ｂに格納されているプログラム１０ｂａに基づいて各部を制御する。ＲＯＭ１０ｂは、半導体メモリ等によって構成され、プログラム１０ｂａ等を格納している。ＲＡＭ１０ｃは、半導体メモリ等によって構成され、プログラム１０ｂａを実行する際に生成されるデータや、テーブル等のデータ１０ｃａを格納する。通信部１０ｄは、上位の装置であるＥＣＵ（Electronic Control Unit）等との間で通信を行い、検出した情報または制御情報を上位装置に通知する。Ｉ／Ｆ１０ｅは、電圧センサ１１、電流センサ１２、および、温度センサ１３－１，１３－２から供給される電圧信号、電流信号、および、温度信号をデジタル信号に変換して取り込むとともに、放電回路１５、オルタネータ１６、および、スタータモータ１８等に駆動電流を供給してこれらを制御する。バス１０ｆは、ＣＰＵ１０ａ、ＲＯＭ１０ｂ、ＲＡＭ１０ｃ、通信部１０ｄ、および、Ｉ／Ｆ１０ｅを相互に接続し、これらの間で情報の授受を可能とするための信号線群である。

なお、図３の例では、ＣＰＵ１０ａを１つ有するようにしているが、複数のＣＰＵによって分散処理を実行するようにしてもよい。また、ＣＰＵ１０ａの代わりに、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）、または、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）等によって構成するようにしてもよい。あるいは、ソフトウエアプログラムを読み込むことで機能を実行する汎用プロセッサまたはクラウドコンピューティングによりサーバー上のコンピュータで処理が行われるようにしてもよい。また、図３では、ＲＯＭ１０ｂおよびＲＡＭ１０ｃを有するようにしているが、例えば、これら以外の記憶装置（例えば、磁気記憶装置であるＨＤＤ（Hard Disk Drive））を用いるようにしてもよい。

（Ｂ）本発明の実施形態の動作の説明
つぎに、本発明の実施形態の動作について説明する。なお、以下では、本発明の実施形態の動作について説明した後、このような動作を実現するためのフローチャートの処理について説明する。

まず、本発明の実施形態の動作の概略について説明する。図示しないイグニッションスイッチがユーザによって操作されることで車両のエンジン１７が始動されると、制御部１０のＣＰＵ１０ａは、Ｉ／Ｆ１０ｅを介して、温度センサ１３－１，１３－２から出力される温度信号を入力する。

ここで、温度センサ１３－１は電解槽１４０のセル１４１の温度を検出し、温度センサ１３－２は電解槽１４０のセル１４６の温度を検出して出力する。ＣＰＵ１０ａは、温度センサ１３－１から供給される温度信号が示す温度θ１を取得するとともに、温度センサ１３－２から供給される温度信号が示す温度θ２を取得する。

つぎに、ＣＰＵ１０ａは、温度θ１，θ２を時間によって積分する。例えば、温度θ１，θ２が所定の周期（ΔＴ）で取得されている場合には、変数Ｃ１に対してθ１×ΔＴの計算結果を累積加算（Ｃ１←Ｃ１＋θ１×ΔＴを計算）し、変数Ｃ２に対してθ２×ΔＴの計算結果を累積加算（Ｃ２←Ｃ２＋θ２×ΔＴを計算）する。そして、ＣＰＵ１０ａは、得られたＣ１，Ｃ２の値をＲＡＭ１０ｃにデータ１０ｃａとして格納する。

以上の動作は、エンジン１７が停止されるか、あるいは、温度センサ１３－１，１３－２の温度が所定の温度になる（例えば、外気温と同じになる）まで繰り返し実行される。

エンジン１７が停止されてから所定の時間（例えば、数時間）が経過すると、ＣＰＵ１０ａは、Ｉ／Ｆ１０ｅを介して放電回路１５に制御信号を供給し、鉛蓄電池１４を、例えば、パルス放電させるとともに、電圧センサ１１および電流センサ１２からの電圧信号および電流信号を受信する。なお、放電回路１５によって放電させるのではなく、例えば、スタータモータ１８によってエンジン１７を始動する際、または、負荷１９に電流が流れる際に、電圧信号および電流信号を取得するようにしてもよい。

つぎに、ＣＰＵ１０ａは、鉛蓄電池１４の等価回路を構成する素子の値を算出する。より詳細には、鉛蓄電池１４の等価回路としては、例えば、図４に示す等価回路がある。図４の例は、等価回路は、鉛蓄電池１４内部の導体要素および電解液抵抗に対応する抵抗成分であるＲｏｈｍと、電極の活物質反応の反応抵抗に対応する抵抗成分であるＲｃｔ１，Ｒｃｔ２と、電極と電解液の界面の電気二重層に対応する容量成分であるＣｄ１，Ｃｄ２とを有している。ＣＰＵ１０ａは、図４に示す鉛蓄電池１４の等価回路を学習処理またはフィッティング処理によって求出し、等価回路を構成する素子の値を算出する。

つぎに、ＣＰＵ１０ａは、エンジン１７の動作時に算出したＣ１，Ｃ２を、ＲＡＭ１０Ｃから取得する。そして、例えば、Ｃ１，Ｃ２が所定の閾値以上異なっているか否かを判定する。

ここで、Ｃ１，Ｃ２が異なるのは、例えば、鉛蓄電池１４がエンジン１７からの熱を受ける場所に配置されている場合であって、セル１４１およびセル１４６の一方がエンジン１７に近くなるように配置されているときである。

より詳細には、例えば、セル１４１がセル１４６よりもエンジン１７に近くなるように配置されている場合であって、エンジン１７の動作中に、セル１４１の方がセル１４６よりも温度が高くなるときである。

このような場合、鉛蓄電池１４は、温度が高いセルが低いセルに比較して劣化の進行が早くなる。具体的には、アレニウスの式によると、温度が１０℃上昇すると寿命が１／２になるとされている。

鉛蓄電池１４は、セルの電極の劣化が進行すると、内部抵抗が増加することが知られている。また、複数のセル１４１～１４６を有する鉛蓄電池１４は、最も劣化が進行したセルの容量が全セルの容量を決定付ける。すなわち、劣化が最も進んだ１つのセルの容量が４０Ａｈであり、他のセルの容量が全て５０Ａｈである場合、４０Ａｈの放電が完了した時点で放電不能になることから、４０Ａｈが全セルとしての容量になる。

ところで、従来においては、図５の上段に示すように、鉛蓄電池１４の端子間抵抗が６Ｙ［Ω］と測定された場合、各セルの内部抵抗は等しいと仮定して、図５の中段に示すように、全てのセルの内部抵抗はＹ［Ω］（６Ｙ／６）と推定されていた。また、各セルの容量についても、図５の下段に示すように、全て等しいと仮定して、Ｘ［Ａｈ］とされていた。

しかしながら、図６の上段に示す鉛蓄電池１４において、図の左側のセルが右側のセルよりもエンジン１７に近い位置になるように配置されている場合であって、劣化が進行した場合には、図６の中段に示すように、各セルの内部抵抗は左から右にその値が小さくなることがある。すなわち、左のセルほど劣化が進んで抵抗値が大きくなっている。また、この場合、図６の下段に示すように、左のセルほど容量が小さくなっている。具体的には、左端のセルの容量はＸ／２［Ａｈ］であり、右端のセルの容量はＸ／０．４［Ａｈ］となっている。

図６の場合、最も容量が小さいセルの容量がセル全体の容量の容量となるので、Ｘ／２［Ａｈ］がセル全体の容量となる。

なお、セル間の温度差が少ない場合（例えば、エンジン１７から十分に離れた位置に鉛蓄電池１４が配置されている場合、または、エンジン１７の近くに配置された場合であって、全てのセルが略同じ温度分布になるように配置されているとき）には、図５に示すように、全てのセルの温度が略同じであり、温度に起因する劣化は均等に進行することから、そのような場合には、従来と同様の方法によってセルの内部抵抗および容量を求めることができる。

Ｃ１，Ｃ２の比較により、これらが所定の閾値以上異なっていない場合、例えば、ＡＢＳ（）を括弧内の絶対値を求める関数であり、閾値をＴｈとするとき、ＡＢＳ（１－Ｃ１／Ｃ２）＜Ｔｈ（例えば、Ｔｈ＝０．１）を満たす場合には、所定の閾値以上異なっていないと判定し、セル間の温度は略一定であると判断する。この場合、セル全体の内部抵抗が６Ｙである場合に、各セルの内部抵抗はＹと判定する。

一方、セル間の温度が一定でない（温度のばらつきがある）と判定した場合であって、セル全体の内部抵抗が６Ｙであるとき、セル１４１～１４６の内部抵抗をＲ１～Ｒ６とすると、内部抵抗Ｒ１～Ｒ６は、以下の式によって求めることができる。なお、ｆ１（Ｃ１，Ｃ２）～ｆ６（Ｃ１，Ｃ２）は、Ｃ１，Ｃ２を変数とする所定の関数である。より詳細には、ｆ１（）～ｆ６（）は、Ｃ１＝Ｃ２の場合にはｆ１（）＝ｆ２（）＝ｆ３（）＝ｆ４（）＝ｆ５（）＝ｆ６（）＝１／６となり、Ｃ１＞Ｃ２の場合にはｆ１（）＞ｆ２（）＞ｆ３（）＞ｆ４（）＞ｆ５（）＞ｆ６（）となり、Ｃ１＜Ｃ２の場合にはｆ１（）＜ｆ２（）＜ｆ３（）＜ｆ４（）＜ｆ５（）＜ｆ６（）となる関数である。なお、これらの関数については、例えば、実測によって求めることができる。あるいは、鉛蓄電池１４の熱的な等価回路（対象物を熱抵抗と熱容量によってモデリングした回路）を用いて求めることができる。

Ｒ１＝６Ｙ×ｆ１（Ｃ１，Ｃ２） ・・・（１）
Ｒ２＝６Ｙ×ｆ２（Ｃ１，Ｃ２） ・・・（２）
Ｒ３＝６Ｙ×ｆ３（Ｃ１，Ｃ２） ・・・（３）
Ｒ４＝６Ｙ×ｆ４（Ｃ１，Ｃ２） ・・・（４）
Ｒ５＝６Ｙ×ｆ５（Ｃ１，Ｃ２） ・・・（５）
Ｒ６＝６Ｙ×ｆ６（Ｃ１，Ｃ２） ・・・（６）

つぎに、ＣＰＵ１０ａは、Ｒ１～Ｒ６のうち、値が最も大きいものを選択し、選択した内部抵抗の値に基づいて、セルの容量を推定するとともに、当該セルの容量を鉛蓄電池１４の容量として推定する。例えば、セル毎の内部抵抗に基づいてセル毎のＯＣＶ（Open Circuit Voltage）を計算し、ＯＣＶからセル毎の容量（ＳＯＣ：State of Charge）を求めることができる。

ＣＰＵ１０ａは、このようにして計算したセルの容量に基づいて、オルタネータ１６の発電電圧を調整し、鉛蓄電池１４が満充電またはそれに近い状態になるように制御を行う。あるいは、ＣＰＵ１０ａは、通信部１０ｄを介して、図示しないＥＣＵに対して、このようにして計算したセルの容量を通知し、ＥＣＵは、セルの容量を参照してオルタネータ１６の発電電圧を調整し、鉛蓄電池１４が満充電またはそれに近い状態になるように制御を行う。

これにより、鉛蓄電池１４のセル間の温度が異なることに起因して、劣化の進行がセル間で異なる場合であっても、セルの状態を知ることができるとともに、セル間のばらつきを考慮して、鉛蓄電池１４の充電／放電制御を行うことができる。これにより、鉛蓄電池１４の容量が低下して、エンジン１７の始動ができなくなることを防止することができる。また、鉛蓄電池１４の容量が低い状態が続くことで、劣化が進行することを抑制できる。

つぎに、図７および図８を参照して、本発明の実施形態において実行される処理の一例について説明する。

図７は、エンジン１７が始動された場合に実行されるフローチャートである。図７に示すフローチャートの処理が開始されると、以下のステップが実行される。

ステップＳ１０では、ＣＰＵ１０ａは、例えば、イグニッションキーがユーザによって操作されてエンジン１７が始動されたか否かを判定し、エンジン１７が始動されたと判定した場合（ステップＳ１０：Ｙ）にはステップＳ１１に進み、それ以外の場合（ステップＳ１０：Ｎ）には処理を終了する。

ステップＳ１１では、ＣＰＵ１０ａは、温度センサ１３－１から出力される温度信号をＩ／Ｆ１０ｅを介して受信し、温度θ１を取得する。例えば、図２に示す温度センサ１３－１からセル１４１の温度θ１を取得する。

ステップＳ１２では、ＣＰＵ１０ａは、温度センサ１３－２から出力される温度信号をＩ／Ｆ１０ｅを介して受信し、温度θ２を取得する。例えば、図２に示す温度センサ１３－２からセル１４６の温度θ２を取得する。

ステップＳ１３では、ＣＰＵ１０ａは、ステップＳ１１で取得した温度θ１と、温度のサンプリング周期ΔＴの積（θ１×ΔＴ）を求め、変数Ｃ１に累積加算（Ｃ１←Ｃ１＋θ１×ΔＴを計算）する。これにより、温度θ１の時間積分に該当する値が変数Ｃ１に順次格納される。

ステップＳ１４では、ＣＰＵ１０ａは、ステップＳ１２で取得した温度θ２と、温度のサンプリング周期ΔＴの積（θ２×ΔＴ）を求め、変数Ｃ２に累積加算（Ｃ２←Ｃ２＋θ２×ΔＴを計算）する。これにより、温度θ２の時間積分に該当する値が変数Ｃ２に順次格納される。

ステップＳ１５では、ＣＰＵ１０ａは、ステップＳ１３およびステップＳ１４で求めたＣ１，Ｃ２の値を、ＲＡＭ１０ｃにデータ１０ｃａとして格納する。

ステップＳ１６では、ＣＰＵ１０ａは、サンプリング時間であるΔＴが経過したか否かを判定し、ΔＴが経過したと判定した場合（ステップＳ１６：Ｙ）にはステップＳ１７に進み、それ以外の場合（ステップＳ１６：Ｎ）には同様の処理を繰り返す。

ステップＳ１７では、ＣＰＵ１０ａは、例えば、ユーザによってイグニッションキーが操作され、エンジン１７が停止されたか否かを判定し、エンジン１７が停止されたと判定した場合（ステップＳ１７：Ｙ）には処理を終了し、それ以外の場合（ステップＳ１７：Ｎ）にはステップＳ１１に戻って、前述の場合と同様の処理を繰り返す。なお、エンジン１７が停止された場合に処理を終了するのではなく、エンジン１７の温度が周囲温度と等しくなった場合、または、周囲温度との差が所定の閾値以下になった場合に処理を終了するようにしてもよい。

つぎに、図８を参照して、エンジンが停止された後に実行される処理の一例について説明する。図８に示すフローチャートの処理が開始されると、以下のステップが実行される。

ステップＳ３０では、ＣＰＵ１０ａは、例えば、ユーザによってイグニッションキーが操作され、エンジン１７が停止されたか否かを判定し、エンジン１７が停止されたと判定した場合（ステップＳ３０：Ｙ）にはステップＳ３１に進み、それ以外の場合（ステップＳ３０：Ｎ）には処理を終了する。

ステップＳ３１では、ＣＰＵ１０ａは、エンジン１７が停止されてから所定の時間（例えば、鉛蓄電池１４の成層化等が解消される数時間）が経過したか否かを判定し、所定の時間が経過したと判定した場合（ステップＳ３１：Ｙ）にはステップＳ３２に進み、それ以外の場合（ステップＳ３１：Ｎ）には同様の処理を繰り返す。

ステップＳ３２では、ＣＰＵ１０ａは、放電回路１５に制御信号を供給し、鉛蓄電池１４のパルス放電を開始させる。なお、放電回路１５によって放電させるのではなく、例えば、スタータモータ１８または負荷１９による放電を利用するようにしてもよい。

ステップＳ３３では、ＣＰＵ１０ａは、電圧センサ１１から電圧信号を受信し、鉛蓄電池１４の端子電圧Ｖを検出する。

ステップＳ３４では、ＣＰＵ１０ａは、電流センサ１２から電流信号を受信し、鉛蓄電池１４に流れる電流Ｉを検出する。

ステップＳ３５では、ＣＰＵ１０ａは、所定の時間（例えば、１００ｍ秒～数秒）が経過したか否かを判定し、所定の時間が経過したと判定した場合（ステップＳ３５：Ｙ）にはステップＳ３６に進み、それ以外の場合（ステップＳ３５：Ｎ）にはステップＳ３３に戻って同様の処理を繰り返す。なお、ステップＳ３３～ステップＳ３５の繰り返しによって、鉛蓄電池１４が繰り返しパルス放電され、そのときの電圧および電流が測定される。

ステップＳ３６では、ＣＰＵ１０ａは、放電回路１５に制御信号を供給し、鉛蓄電池１４のパルス放電を終了させる。

ステップＳ３７では、ＣＰＵ１０ａは、例えば、図４に示す鉛蓄電池１４の等価回路を構成する素子の値を算出する。例えば、ＣＰＵ１０ａは、図４に示す鉛蓄電池１４の等価回路を学習処理またはフィッティング処理によって求出し、等価回路の素子の値を算出するとともに最適化を行う。最適化の方法としては、例えば、特許第４５３２４１６号に記載されているように、拡張カルマンフィルタ演算により最適な状態ベクトルＸを推定し、推定された状態ベクトルＸから等価回路の調整パラメータ（成分）を最適なものに更新する。より詳細には、ある状態における状態ベクトルＸから得られる調整パラメータを用いた等価回路に基づき、所定の電流パターンで二次電池に放電させたときの電圧降下ΔＶを計算し、これが実測値に近づくように状態ベクトルＸを更新する。そして、更新により最適化された状態ベクトルＸから、最適な調整パラメータを算出する。あるいは、ＷＯ２０１４／１３６５９３に記載されるように、鉛蓄電池１４のパルス放電時に、電圧値の時間的変化を取得し、得られた電圧値の変化を、時間を変数とする所定の関数によってフィッティングすることで所定の関数のパラメータを算出し、算出された所定の関数のパラメータに基づいて、鉛蓄電池１４の等価回路の成分を求めることができる。もちろん、これら以外の方法でもよい。

ステップＳ３８では、ＣＰＵ１０ａは、図７に示す処理によってＲＡＭ１０ｃに格納されたＣ１，Ｃ２の値を読み出す。

ステップＳ３９では、ＣＰＵ１０ａは、ステップＳ３８で読み出したＣ１，Ｃ２に基づいて、セル毎の内部抵抗を補正する処理を実行する。例えば、図４に示すＲｏｈｍ，Ｒｃｔ１，Ｒｃｔ２の合計値としての内部抵抗の値（６Ｙ）を、式（１）～（６）によって、Ｃ１，Ｃ２に基づいて、セル毎の内部抵抗を補正する。

ステップＳ４０では、ＣＰＵ１０ａは、補正されたセル毎の内部抵抗の値に基づいて、ＳＯＣおよびＳＯＨを算出する。より詳細には、セル毎の内部抵抗に基づいてセル毎のＯＣＶを計算し、ＯＣＶからセル毎のＳＯＣを求めることができる。また、セル毎の内部抵抗の値と、劣化特性との関係を示す式またはテーブルを参照することで、セル毎のＳＯＨを求めることができる。もちろん、これら以外の方法で、ＳＯＣおよびＳＯＨを求めるようにしてもよい。なお、内部抵抗に基づいて、エンジン１７の始動性能を示すＳＯＦ（State of Function）を算出するようにしてもよい。

ステップＳ４１では、ＣＰＵ１０ａは、ステップＳ４０で求めたセル毎のＳＯＣおよびＳＯＨに基づく制御を実行する。例えば、最小のＳＯＣに基づいて充電制御を実行することで、充電状態を適正に保つことができる。また、最小のＳＯＨに基づいて、劣化状態を判定することで、鉛蓄電池１４の交換時期を正確にユーザに通知することができる。また、最小のＳＯＦに基づいて、充電制御を実行することで、エンジン１７の再始動ができなくなることを防止できる。なお、ステップＳ４１は、ＣＰＵ１０ａによって実行するのではなく、ステップＳ４０で求めたセル毎のＳＯＣおよびＳＯＨをＣＰＵ１０ａが上位の制御装置（例えば、ＥＣＵ）に供給し、上位の制御装置がＳＯＣおよびＳＯＨに基づいて、前述した処理を実行するようにしてもよい。

以上に説明したように、本発明の実施形態によれば、鉛蓄電池１４のセル１４１～１４６の間に温度のばらつきが存在する場合であっても、鉛蓄電池１４の状態を正確に検出することができる。これにより、鉛蓄電池１４の充放電を確実に制御することができるので、車両の動作を安定化させることができる。

（Ｃ）変形実施形態の説明
以上の実施形態は一例であって、本発明が上述したような場合のみに限定されるものでないことはいうまでもない。例えば、以上の実施形態では、図２に示すように、２つの温度センサ１３－１，１３－２を、鉛蓄電池１４の電解槽１４０の面１４ａ，１４ｂにそれぞれ設けるようにしたが、例えば、図９に示すように、面１４ａ，１４ｂの２カ所に加えて、面１４ｃ（ＹＺ平面に平行な手前側の面）、面１４ｄ（ＹＺ平面に平行な奥側の面）、面１４ｅ（電解槽１４０の上面）、および、面１４ｆ（電解槽１４０の底面）の６カ所に丸印で示す温度センサを設けるようにしてもよい。このように、６つの温度センサを用いる場合、対向する面の温度を参照することで、熱源が存在する方向を予測することができるため、セル１４１～１４６の温度をより正確に推定することができる。

図１０は、様々な方向に熱源が存在する場合における鉛蓄電池１４の熱分布の一例を示す図である。なお、図１０において、鉛蓄電池１４に記載した線は、熱の等高線を示している。また、太線は熱源に最も近い、最も温度が高い等高線を示している。ここで、図１０（Ａ）は、熱源が電解槽１４０の頂点Ｖ１の近傍に存在する場合の等高線を示している。また、図１０（Ｂ）は、熱源がＸ軸に平行な辺Ｓ１の近傍に存在する場合を示している。また、図１０（Ｃ）は、熱源がＹ軸に平行な辺Ｓ２の近傍に存在する場合を示している。例えば、図９に示すように、複数のセンサを設けることで、図１０に示すように、様々な位置に熱源が存在する場合でも、セル１４１～１４６の温度をより正確に推定することができる。

図１１は、セル１４１～１４６のそれぞれに対して温度センサを設けた場合の実施形態を示している。図１１の例では、面１４ｃのセル１４１～１４６のそれぞれのＹ軸方向の中心付近であって、Ｚ軸方向の中心付近に、丸印で示す温度センサを設けている。このような実施形態によれば、それぞれのセルの温度を検出することができるので、両端のセル１４１，１４６の温度から、中間のセル１４２～１４５の温度を推定する場合に比較して、中間のセル１４２～１４５の温度を正確に求めることができる。

なお、図１１の例では、セル１４１～１４６の温度の時間積分を行って得られる値をＣ１～Ｃ６とするとき、前述した式（１）～式（６）は、例えば、以下の式（７）～式（１２）に置換することができる。なお、ｆ１１（）～ｆ１６（）は、Ｃ１＝Ｃ２＝Ｃ３＝Ｃ４＝Ｃ５＝Ｃ６の場合には、ｆ１１（）～ｆ１６（）＝１／６となり、Ｃ１～Ｃ６の相対的な大小関係によってその値が変化する（例えば、Ｃ１がＣ２～Ｃ６よりも相対的に大きい場合にはｆ１１（）の値がｆ１２（）～ｆ１６（）の値よりも相対的に大きくなる）関数である。

Ｒ１＝６Ｙ×ｆ１１（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６） ・・・（７）
Ｒ２＝６Ｙ×ｆ１２（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６） ・・・（８）
Ｒ３＝６Ｙ×ｆ１３（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６） ・・・（９）
Ｒ４＝６Ｙ×ｆ１４（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６） ・・・（１０）
Ｒ５＝６Ｙ×ｆ１５（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６） ・・・（１１）
Ｒ６＝６Ｙ×ｆ１６（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６） ・・・（１２）

また、以上の実施形態では、鉛蓄電池１４の外部に存在する熱源からの熱によって、セルの温度が上昇する場合を例に挙げて説明したが、鉛蓄電池１４自身が発生する熱によってセルの温度が上昇する場合もある。より詳細には、鉛蓄電池１４が発生する熱には、２種類がある。１つは、内部抵抗に電流が通じることで生じるジュール熱で、もう１つは、電気化学反応によって生じる熱である。ここで、セルの内部抵抗は、劣化が進行すると値が大きくなるので、劣化が進行したセルほどジュール熱の発生が多くなる。

外部の熱源からの熱によって、セルの温度が上昇する場合、熱源に近いセルから熱が伝達されて温度が上昇するので、一般的には熱源に近い端部のセルの温度が最も高くなる。しかしながら、鉛蓄電池１４自身から発生する熱の場合、特に、ジュール熱については、劣化に応じて発生する熱の量が異なることから、端部以外のセルの温度が最も高くなる場合もあり得る。

図２に示す実施形態では、外部の熱源から熱が両端の一方のセルに伝達し、両端の他方のセルに熱が伝わるモデルである。このため、中間のセルの発熱が他のセルよりも相対的に大きい場合には、各セルの温度を正確に求めることが困難となる。

一方、図１１に示す実施形態の場合には、セルが発熱する場合であっても、各セルの温度を正確に測定することができる。例えば、中間のセルであるセル１４３の劣化が進行し、セル１４３の発熱量が最も多い場合であっても、セル１４３の温度が高いことを求めるとともに、それ以外のセル１４１～１４２，１４４～１４６の温度についても正確に求めることができる。なお、図１１に示す例では、面１４ｃに対してのみ温度センサを設けるようにしたが、裏面である面１４ｄに対しても、面１４ｃと同様に各セルに対して温度センサを設けるようにしてもよい。そのような構成によれば、セル毎に２つの温度センサで温度を求め、求めた温度の平均値を求めることで、セルの温度をより正確に検出することができる。

図１２は、温度センサをさらに増やした実施形態を示している。図１２の例では、面１４ｃ，１４ｄのそれぞれのセルに対してＺ軸方向に３つの温度センサが並置されている。また、面１４ａ，１４ｂに対しても、Ｘ軸方向に３つ、Ｚ軸方向に３つのセンサが並置されている。

このように多数の温度センサを配置することで、例えば、図１０に示すような温度分布を正確に検出することが可能になる。また、上下方向（Ｚ軸方向）に複数の温度センサを配置することで、成層化を検出することが可能になる。すなわち、成層化が生じている場合には、濃度が高い電解液（硫酸）がＺ軸方向の下方に貯まっているので、この部分における化学反応熱の発生が相対的に多くなる。このため、上下方向の温度を検出して比較することで、成層化の状態を検出することができる。そして、成層化の状態を考慮して、セル毎の内部抵抗の値（式（７）～式（１２）で求めたＲ１～Ｒ６の値）を補正することで、より正確な内部抵抗の値を得ることができる。

なお、図１２では、面１４ａ，１４ｂ，１４ｃ，１４ｄの全ての面に温度センサを設けるようにしたが、対向する面１４ａ，１４ｂおよび面１４ｃ，１４ｄの一方のみに設けるようにしてもよい。また、面１４ａ，１４ｂには設けないようにしてもよい。また、１つのセルには、１つの温度センサを最下部（成層化の影響が現れやすい部位）のみに設けるようにしてもよい。

図１３は、他の実施形態を示している。図１３に示す例では、面１４ｃおよび面１４ｂの中央に１つの温度センサが配置されるとともに、面の四隅付近に４つの温度センサがそれぞれ配置されている。

図１３に示す実施形態では、面１４ｃのセル１４１，１４６の上下方向に２つずつ温度センサを配置するとともに、面１４ａおよび面１４ｂに５つずつの温度センサを配置することで、外部の熱源の影響を受けやすい両端のセル１４１，１４６の温度を正確に検出することができる。また、両端のセル１４１，１４６の上下方向に２つの温度センサを配置するとともに、面１４ａおよび面１４ｂにも上下に２つずつの温度センサを配置することで成層化を正確に検出することができる。さらに、面１４ｃの中央付近に温度センサを配置しているので、中間のセル１４３，１４４の温度を検出し、外部の熱源以外の影響が生じていないかを知ることができる。

図１４は、他の実施形態を示している。図１４の例では、鉛蓄電池１４を収容するカバー２０（例えば、鉛蓄電池１４を高温／低温から保護するためのカバー）の内部に、温度センサを配置している。より詳細には、図１４の例では、カバー２０の内側には、セル１４１～１４６の位置に対応するように６つの温度センサが配置されている。また、鉛蓄電池１４の面１４ａに対応する位置には、３つの温度センサが配置されている。このようにカバー２０の内部に温度センサを設けることで、熱源からの熱の伝達を抑制し、各セルの状態を検出することができる。なお、図１４の例では、面１４ｃに接する面には６つの温度センサを設け、面１４ａに接する面には３つの温度センサを設けるようにしたが、これ以外の個数を配置するようにしてもよい。

なお、以上の実施形態では、図４に示す等価回路を用いるようにしたが、これ以外の等価回路を用いるようにしてもよい。例えば、Ｒｃｔ１，Ｃｄ１およびＲｃｔ２，Ｃｄ２が１つだけの等価回路であったり、３つ以上の等価回路であったりしてもよい。また、抵抗Ｒｏｈｍ，Ｒｃｔ１，Ｒｃｔ２だけの等価回路であったり、これらの３つの抵抗を１つの抵抗としたりする等価回路であってもよい。

また、以上の実施形態では、セルの温度の時間積分値を参照して内部抵抗を求めるようにしたが、図４に示す電気二重層容量Ｃｄ１，Ｃｄ２を求めるようにしてもよい。また、温度センサ１３－１，１３－２によって検出された温度を時間積分するのではなく、単に加算するようにしてもよい。

また、図７および図８に示すフローチャートは一例であって、本発明がこれらのフローチャートの処理のみに限定されるものではない。

１ 鉛蓄電池状態検出装置
１０ 制御部
１０ａ ＣＰＵ
１０ｂ ＲＯＭ
１０ｃ ＲＡＭ
１０ｄ 通信部
１０ｅ Ｉ／Ｆ
１１ 電圧センサ
１２ 電流センサ
１３－１，１３－２ 温度センサ
１４ 鉛蓄電池
１５ 放電回路
１６ オルタネータ
１７ エンジン
１８ スタータモータ
１９ 負荷

Claims (5)

1. 複数のセルに区画された電解槽を有する車載用の鉛蓄電池の状態を検出する鉛蓄電池状態検出装置において、
   プロセッサと、
   前記プロセッサによって実行された場合に以下の機能を実現するプログラムを格納するメモリと、を有し、
   前記鉛蓄電池の端子電圧を検出する電圧センサからの電圧信号と、前記鉛蓄電池の充放電電流を検出する電流センサからの電流信号と、前記電解槽の両端に位置する前記セルの温度をそれぞれ検出する２つの温度センサからの温度信号を受信し、
   前記鉛蓄電池の放電中の前記電圧信号と前記電流信号とに基づいて前記鉛蓄電池の等価回路を構成する素子の値を算出し、
   前記２つの温度センサから受信した温度信号が示す温度を、前記鉛蓄電池が搭載された車両のエンジンが停止されるか、あるいは前記２つの温度センサからの温度信号が外気温と同じになるまで前記温度センサ毎に累積加算し、当該累積加算して得られた値に所定の閾値を超える差があると判定された場合、算出された各前記セルについての前記等価回路を構成する素子の値を、前記累積加算して得られた値を用いた以下式（１）に基づいて補正し、補正された素子の値に基づいて、前記鉛蓄電池の状態を推定し、
   推定された前記鉛蓄電池の状態を出力する、
   ことを特徴とする鉛蓄電池状態検出装置。
   Ｒｋ＝ｎ×Ｙ×ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）・・・式（１）
   ただし、式（１）において、ｋ（１≦ｋ≦ｎ）は、電解槽における各セルを示す識別番号であり、前記電解槽の一端に位置する前記セルから前記電解槽の他端に向かって１ずつ増える自然数である。前記電解槽の一端に位置する前記セルはｋが１となり、前記電解槽の他端に位置する前記セルはｋがｎとなり、ｎがセル数に等しくなる。Ｒｋは各セルの内部抵抗であり、ｎ×Ｙは前記セル全体の内部抵抗であり、ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）はＣ１，Ｃ２を変数とする各セルの所定の関数である。Ｃ１は前記２つの温度センサのうち前記電解槽の一端に位置する前記セルの温度を検出する前記温度センサから受信した温度信号が示す温度を累積加算して得られた値であり、Ｃ２は前記２つの温度センサのうち前記電解槽の他端に位置する前記セルの温度を検出する温度センサから受信した温度信号が示す温度を累積加算して得られた値である。またｆ１（Ｃ１，Ｃ２）～ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）は、Ｃ１＝Ｃ２の場合にはｆ１（Ｃ１，Ｃ２）＝・・＝ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）＝・・＝ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）＝１／ｎとなり、Ｃ１＞Ｃ２の場合にはｆ１（Ｃ１，Ｃ２）＞・・＞ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）＞・・＞ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）となり、Ｃ１＜Ｃ２の場合にはｆ１（Ｃ１，Ｃ２）＜・・＜ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）＜・・＜ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）となる関数である。
2. 補正された各セルの素子の値としての内部抵抗のうち、値が最大のものを選択し、選択した内部抵抗の値に基づいて、各セルの放電可能容量を推定することを特徴とする請求項１に記載の鉛蓄電池状態検出装置。
3. 前記２つの温度センサそれぞれは、前記電解槽の垂直方向に離間して配置され、少なくとも一対の温度センサとして構成され、
   前記温度信号が示す温度に基づいて前記電解槽の垂直方向の温度差を検出し、検出した温度差に基づいて電解液の成層化の程度を検出し、当該成層化の程度に基づいて素子の値を補正することを特徴とする請求項１または２に記載の鉛蓄電池状態検出装置。
4. 前記温度センサは、前記鉛蓄電池を収容するカバー内に配置されていることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載の鉛蓄電池状態検出装置。
5. 複数のセルに区画された電解槽を有する車載用の鉛蓄電池の状態を検出する鉛蓄電池状態検出方法において、
   前記鉛蓄電池の端子電圧を検出する電圧センサからの電圧信号と、前記鉛蓄電池の充放電電流を検出する電流センサからの電流信号と、前記電解槽の両端に位置する前記セルの温度をそれぞれ検出する２つの温度センサからの温度信号を、プロセッサを有するシステムによって受信し、
   前記鉛蓄電池の放電中の前記電圧信号と前記電流信号とに基づいて前記鉛蓄電池の等価回路を構成する素子の値を前記システムによって算出し、
   前記２つの温度センサから受信した温度信号が示す温度を、前記鉛蓄電池が搭載された車両のエンジンが停止されるか、あるいは前記２つの温度センサからの温度信号が外気温と同じになるまで前記温度センサ毎に累積加算し、当該累積加算して得られた値に所定の閾値を超える差があると判定された場合、算出された各前記セルについての前記等価回路を構成する素子の値を、前記累積加算して得られた値を用いた以下式（１）に基づいて前記システムによって補正し、補正された素子の値に基づいて、前記鉛蓄電池の状態を前記システムによって推定し、
   推定された前記鉛蓄電池の状態を前記システムによって出力する、
   ことを特徴とする鉛蓄電池状態検出方法。
   Ｒｋ＝ｎ×Ｙ×ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）・・・式（１）
   ただし、式（１）において、ｋ（１≦ｋ≦ｎ）は、電解槽における各セルを示す識別番号であり、前記電解槽の一端に位置する前記セルから前記電解槽の他端に向かって１ずつ増える自然数である。前記電解槽の一端に位置する前記セルはｋが１となり、前記電解槽の他端に位置する前記セルはｋがｎとなり、ｎがセル数に等しくなる。Ｒｋは各セルの内部抵抗であり、ｎ×Ｙは前記セル全体の内部抵抗であり、ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）はＣ１，Ｃ２を変数とする各セルの所定の関数である。Ｃ１は前記２つの温度センサのうち前記電解槽の一端に位置する前記セルの温度を検出する前記温度センサから受信した温度信号が示す温度を累積加算して得られた値であり、Ｃ２は前記２つの温度センサのうち前記電解槽の他端に位置する前記セルの温度を検出する温度センサから受信した温度信号が示す温度を累積加算して得られた値である。またｆ１（Ｃ１，Ｃ２）～ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）は、Ｃ１＝Ｃ２の場合にはｆ１（Ｃ１，Ｃ２）＝・・＝ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）＝・・＝ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）＝１／ｎとなり、Ｃ１＞Ｃ２の場合にはｆ１（Ｃ１，Ｃ２）＞・・＞ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）＞・・＞ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）となり、Ｃ１＜Ｃ２の場合にはｆ１（Ｃ１，Ｃ２）＜・・＜ｆｋ（Ｃ１，Ｃ２）＜・・＜ｆｎ（Ｃ１，Ｃ２）となる関数である。

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