JP7016559B1

JP7016559B1 - 正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器及びその実現方法

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Publication number: JP7016559B1
Application number: JP2021065061A
Authority: JP
Inventors: 成卓; 闖涛陳; 勳▲ヂャオ▼ 尹
Original assignee: Zhejiang University ZJU
Current assignee: Zhejiang University ZJU
Priority date: 2020-09-15
Filing date: 2021-04-07
Publication date: 2022-02-07
Anticipated expiration: 2041-04-07
Also published as: US20220083313A1; JP2022048965A; CN111930342B; US11429347B2; CN111930342A

Abstract

【課題】ＩＥＥＥ７５４標準下の正規化浮動小数点数の乗法演算を対象とし、精度レベルが制御できる場合に、誤差分布が不偏であるとともに、面積、速度、エネルギー効率の向上が明らかであるので、画像処理、機械学習などの用途に適用できる誤差不偏近似乗算器及びその実現方法にを提供する【解決手段】正規化浮動小数点数に対する差不偏近似乗算器は、符号と指数桁モジュールａ、仮数近似モジュールｂ及び正規化モジュールｃを含む。符号と指数桁モジュールは、浮動小数点数の符号演算と指数桁演算を処理する。仮数近似モジュールは、マルチレベル誤差補正モジュールの結果の求和によって、異なった精度要求下の仮数近似結果を得る。正規化モジュールは、仮数の演算結果に基づいて指数桁を調整するとともに、指数桁のオーバーフローを処理して最終の積結果を得る。【選択図】図１

Description

本発明は、低電力消費設計、近似計算、画像処理、機械学習などの工程技術の分野に関し、特に正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器及びその実現方法に関する。

インターネットオブシングスの機器の急速な発展につれて、インテリジェントモバイルとウェアラブル機器の電力消費は、ビデオ画像処理などの計算集約型応用効果を制限する要因の１つになっている。乗法はビデオ画像処理、畳み込みニューラルネットワークなどの応用内の重要操作であるだけではなく、電力消費を低減するカギでもある。マルチメディア処理、ニューラルネットワークのような特定の応用が誤差を許容する特性を持つのは、計算中の近似の結果への影響が非常に小さいことを意味し、これらの特性により、乗算器の精度を下げて、電力消費、面積を大幅に低減するとともに速度を高めることができる。

近年、近似乗算器の研究の多くは、近似の乗法又は加法モジュールのような近似回路モジュールの設計を対象とし、改めて加法モジュールの論理回路を設計することで回路の複雑さを低下させ、例えば、既存の加法回路の代わりに近似の４－２、１５－４Ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒｓモジュールを使用した。また、ＰａｒａｇＫｕｌｋａｒｎｉらは、２×２近似乗算器を提案し、３ｂｉｔを使用して乗法結果（誤差確率１／１６）を表し、該近似乗算器で補正誤差を生成し、且つシフトを追加してより大きなビット幅の乗算器を構築する。これらの近似乗算器は、その固定の論理設計のために精度を調節できなく、且つ一般に平均誤差が比較的大きい。

他の近似方法、例えばＤＲＵＭ乗算器は、長さがｋである仮数を取り込んで、該部分の仮数の乗法結果を仮数の積に近似し、ｋの値を調節することによって結果精度を調節でき、取り込まれた仮数の後に１を追加して結果誤差を不偏にする。ＣＦＰＵ、ＲＭＡＣは浮動小数点数に対する近似乗算器であり、両者が近似乗算器と精確乗算器を混合する方法を採用し、近似計算が誤差要求を満たせない場合、精確乗法計算を採用し、両者の誤差要求の閾値を調整できるが、近似部分の精度を調整できない。以上の３通りの近似乗算器は依然として精確乗算器を必要とする。ＡｐｐｒｏｘＬＰは、入力された線形反復操作で非線形乗法操作を置換することで、精確乗算器によらずに精度をリアルタイムで調節できる。従来の乗算器に対して、ＡｐｐｒｏｘＬＰは、精度、面積などがいずれも向上したが、厳しい理論的サポートと一般的設計方法が欠けているため、その線形反復方法の精度は最適化を達成できない。

以上をまとめると、低誤差、低面積、低電力消費の近似乗算器の一般的設計方法を提供するのは、インテリジェントモバイルとウェアラブル機器の発展にとって極めて重要である。

本発明は、現在の近似乗算器のエネルギー効率に関する従来技術の不足について、正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器及びその実現方法を提供することを目的とする。理論分析から、平均二乗絶対誤差を標準として、この近似乗算器の線形誤差反復方法は、理論最適性を持ち、且つ相対的誤差が小さく、誤差分布が不偏で、面積の消費が小さく、計算速度が速く、電力消費が小さいという利点を有することがわかる。

本発明の目的は、以下の技術的解決策によって実現される。

正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器において、誤差不偏近似乗算器は、符号と指数桁モジュール、仮数近似モジュール、及び正規化モジュールを備え、
符号と指数桁モジュールは、入力された正規化浮動小数点数の符号桁に対して排他的論理和処理をし、指数桁に対して加法操作をし且つ２^ｎ－１のオフセット量を差し引き、ここでｎは指数桁の桁数であり、
仮数近似モジュールは０級近似モジュールとマルチレベル誤差補正モジュールを含み、０級近似モジュールとマルチレベル誤差補正モジュールはいずれも浮動小数点数の仮数を入力とし、ここで各誤差補正モジュールはさらに許可信号を必要とし、０級近似モジュールは基礎的な近似仮数乗法結果を生成し、即ちα_０＝１．５×（Ｘ＋Ｙ）－２．２５であり、誤差補正モジュールは許可時に漸進的な誤差補正を出力し、該誤差補正は入力仮数のシフトと１つの定数に対して求和を行い、即ち

であり、α_ｉは第ｉ級の誤差補正モジュールの出力結果であり、Ｘ、Ｙは入力浮動小数点数仮数で代表された実際値を表し、正規化された浮動小数点数に対して、その範囲は［１，２)であり、Ａ、Ｂは右シフトの桁数であり、Ｃは浮動小数点数のオフセット値であり、仮数近似モジュールは０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果を出力して求和を行って、近似の仮数積結果を得、
正規化モジュールは近似の仮数積結果を調整してそれを正規化して、その範囲を［１，２)にするとともに、符号と指数桁モジュールの出力に対して対応した調整を行って、出力される予定の指数結果を得、最後に出力される予定の指数結果に対してオーバーフロー判断を行い、指数桁が上方へオーバーフローすると、結果にＩＥＥＥ７５４標準下の無限大の値を与え、指数桁が下方へオーバーフローすると、結果にＩＥＥＥ７５４標準下のゼロの値を与え、オーバーフローが発生しないと、現在の符号桁、出力される予定の指数結果、及び近似の仮数積結果を出力として、両正規化浮動小数点数近似乗法の最終の結果を得る。

さらに、指数桁に対して２^ｎ－１のオフセット量を差し引くことについて、具体的に、ＩＥＥＥ７５４標準下の３２ビットの浮動小数点数に対して、ｎ＝８であり、６４ビット浮動小数点数に対して、ｎ＝１１である。

さらに、誤差不偏近似乗算器は、異なった数量の誤差補正モジュールを許可することによって、計算中に近似精度をリアルタイムで調整する。

さらに、符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は、入力された正規化浮動小数点数の指数桁に対して求和を行い、オフセット値２^ｎ－１を差し引き、指数桁が上位へ２桁拡張して、上方と下方へのオーバーフローを判断することであり、上方へのオーバーフローが発生する時、最上の２桁は０１であり、この場合Ｚ_ｅ－（２^ｎ－１）＞（２^ｎ－１）になり、符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は大きすぎて表示できない数、即ち正負無限大であり、ここでＺ_ｅは出力される予定の指数結果を表し、下方へのオーバーフローが発生する時、最上の２桁は１１であり、この場合Ｚ_ｅ－（２^ｎ－１）＜０になり、符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は小さすぎて表示できない数、即ち正負ゼロであり、オーバーフローが発生しない時、最上の２桁は００である。

さらに、仮数近似モジュールにおいてデフォルトで入力浮動小数点数は正規化浮動小数点数であり、仮数の前に１を追加して、［１，２)の範囲の仮数実際値を得、且つ最上位に桁拡張をして、即ち０を追加して、仮数の表示範囲を［０，４)にし、０級近似モジュールは基礎的な近似仮数乗法結果を生成し、誤差補正モジュールは、仮数に対して線形処理を行う方法を採用し、誤差補正モジュール内の符号、シフト桁数及びオフセット値は、モジュールレベル、入力仮数の所属範囲によって決定される。

さらに、誤差補正モジュールは両入力浮動小数点数の仮数区間に対して方形区分を行い、第ｋ級の誤差補正モジュールは仮数の範囲［１，２)を２^ｋ個の等しい区間に区分し、仮数の最初のｋ桁で仮数の所属区間を判断する必要があり、両入力仮数の所属区間の区分は互いに独立しており、即ちモジュールは［１，２)×［１，２)の入力区間を４^ｋ個の同じ方形に区分するとともに、異なったレベルの誤差補正モジュールは互いに独立しており、即ち、各モジュールの操作は他のモジュールの結果に依存していない。

さらに、誤差補正モジュールの線形化近似法は、線形代数の極小化問題原理に基づいて、方形区分の場合における最低の平均二乗誤差結果及び不偏の誤差分布を得る。

さらに、正規化モジュールは、仮数近似モジュールの出力結果及び符号と指数桁モジュールの出力結果に対して処理を行い、具体的に、仮数近似モジュールの出力結果に２を乗ずるか、それを２で除するか又はそれをそのままにすることによって、その数値を［１，２)の範囲にし、仮数近似モジュールの出力結果が２以上の場合、仮数近似モジュールの出力結果を右シフトさせ、符号と指数桁モジュールが出力した指数結果部分から１を差し引き、仮数近似モジュールの出力結果が１未満の場合、仮数近似モジュールの出力結果を左シフトさせ、符号と指数桁モジュールが出力した指数部分に１を追加し、仮数近似モジュールの出力結果が［１，２)の範囲にある場合、仮数近似モジュール及び符号と指数桁モジュールの出力結果をそのままにし、正規化モジュールは、仮数近似モジュールの出力結果及び符号と指数桁モジュールの出力結果に対して処理を行った後、処理後の仮数近似モジュールの出力結果を出力される予定の仮数結果とし、処理後の符号と指数桁モジュールの指数部分を出力される予定の指数結果とする。

さらに、正規化モジュールは出力される予定の指数結果に対してオーバーフロー判断をし、出力される予定の指数結果の上２桁が０１の場合は、上方へのオーバーフローが発生することを表し、結果にＩＥＥＥ７５４標準に該当する無限大の値を与え、即ち指数桁はすべて１であり、仮数桁はすべて０であり、出力される予定の指数結果の上２桁が１１の場合は、下方へのオーバーフローが発生することを表し、結果にＩＥＥＥ７５４標準のゼロの値を与え、即ち指数桁と仮数桁はすべて０であり、出力される予定の指数結果の上２桁が００の場合、オーバーフローが発生することはなく、符号と指数桁モジュール出力内の符号桁を出力符号桁とし、出力される予定の指数結果の上２桁を削除したものを出力される指数桁とし、出力される予定の仮数結果の上２桁を削除したものを出力される仮数桁とする。

本発明はまた、正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器の実現方法を提供し、該方法は、具体的に以下のステップによって実現される。

（１）符号と指数桁モジュールは、入力された正規化浮動小数点数内の乗数と被乗数の符号桁に対して排他的論理和処理をし、指数桁に対して上位へ２桁拡張して、乗数と被乗数の指数桁に対して求和を行い、２^ｎ－１のオフセット量を差し引いて、符号と指数桁モジュールの指数桁結果を得る。

（２）仮数近似モジュール内の０級近似モジュールとマルチレベル誤差補正モジュールはいずれも浮動小数点数の仮数を入力とし、各誤差補正モジュールはさらに１つの許可信号を必要とし、０級近似モジュールの出力はα_０＝１．５×（Ｘ＋Ｙ）－２．２５であり、第ｉ級の誤差補正モジュールの出力は

であり、仮数近似モジュールは、０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果出力に対して求和を行って、近似の仮数積結果を得る。

（３）正規化モジュールは符号と指数桁モジュール、仮数近似モジュールの出力を入力とし、仮数近似モジュールの出力結果に２を乗ずるか、それを２で除するか又はそれをそのままにすることによって、その数値を［１，２)の範囲にし、仮数近似モジュールの出力を２で除する場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分に１を追加し、仮数近似モジュールの出力に２を乗ずる場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分から１を差し引き、仮数近似モジュールの出力をそのままにする場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分もそのままにし、正規化モジュールは、出力される予定の仮数結果と出力される予定の指数結果を得る。

（４）出力される予定の指数結果の上２桁に対してオーバーフロー判断をし、上２桁が０１の場合、上方へオーバーフローし、結果にＩＥＥＥ７５４標準下の無限大の値を与え、上２桁が１１の場合、下方へオーバーフローし、結果にＩＥＥＥ７５４標準下のゼロの値を与え、上２桁が００の場合、結果にはオーバーフローが発生することはなく、符号と指数桁モジュール出力内の符号桁を出力符号桁とし、出力される予定の指数結果の上２桁を削除したものを出力される指数桁とし、出力される予定の仮数結果の上２桁を削除したものを出力される仮数桁とする。

本発明の有利な効果は次のとおりである。

１）本発明は、規約形式の浮動小数点数に対する近似乗算器を実現しており、精度レベルを制御して、面積、速度、エネルギー効率を著しく向上させることができ、画像処理、機械学習などの用途に適用できる。

２）シフトと加法で誤差に対して反復補正を行うことにより、計算中に近似誤差をリアルタイムで調節できる。

３）線形代数の極小化問題で反復過程における係数を得ることにより、独立した判断を入力する場合の最適化近似を達成するとともに、誤差の不偏の分布を確保する。

図１は、本発明が提案した、ａ）符号と指数桁モジュールと、ｂ）仮数近似モジュールと、ｃ）正規化モジュールとを含む、正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器の全体構造の模式図である。図２は、本発明が提案した近似乗算器とＡｐｐｒｏｘＬＰとの仮数近似部分における構造的な違いを示す図であり、この図において、ａ）はＡｐｐｒｏｘＬＰの仮数近似モジュールの構造図であり、ｂ）は本発明が提案した近似乗算器の仮数近似モジュールの構造図である。図３は、均一に分布したランダム浮動小数点数入力の場合の、本発明が提案した近似乗算器の異なった近似レベルでの平均二乗誤差ＭＳＥ、平均絶対誤差ＭＡＥ、及び最大誤差ＭａｘＥｒｒｏｒを示す模式図である。

以下、図面と具体的な実施例を参照して、本発明を詳細に説明する。

図１に示すように、本発明が提案した正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器は、以下のモジュールを含む。

（１）符号と指数桁モジュール：入力された正規化浮動小数点数の符号桁に対して次の排他的論理和操作をする。

ｘ_ｓとｙ_ｓはそれぞれ、入力された両乗数の符号桁を表し、ｚ_ｓは、符号桁への排他的論理和操作の結果である。

入力指数桁に対して求和操作をし、そしてオフセット値を差し引いて、符号桁と指数桁の指数結果ｔ_ｅを得る。

ｔ_ｅ＝ｘ_ｅ＋ｙ_ｅ－（２^ｎ－１）

ｘ_ｅとｙ_ｅはそれぞれ、両乗数の入力指数桁を表し、結果をｎ＋２桁に拡張して次のオーバーフロー判断を行う。上方へのオーバーフローが発生し、即ちｘ_ｅ＋ｙ_ｅ－（２^ｎ－１）＞（２^ｎ－１）である場合、最上の２桁は０１になり、下方へのオーバーフローが発生し、即ちｘ_ｅ＋ｙ_ｅ－（２^ｎ－１）＜０である場合、最上の２桁は１１になる。ここで、ｎは指数桁の桁数であり、ＩＥＥＥ７５４標準下の３２ビット浮動小数点数に対して、ｎ＝８であり、６４ビット浮動小数点数に対して、ｎ＝１１である。

（２）仮数近似モジュール：０級近似モジュールとマルチレベル誤差補正モジュールが含まれており、これらのモジュールはいずれも浮動小数点数の仮数を入力とし、各誤差補正モジュールはさらに１つの許可信号を必要とし、誤差不偏近似乗算器は、異なった数量の誤差補正モジュールを許可することで、計算中に近似精度をリアルタイムで調整する。仮数近似モジュールは、入力仮数への線形操作により、非線形の乗法操作に近似する。線形操作は、

を指し、ここでＡ′、Ｂ′、Ｃ′は定数であり、Ｚは近似結果であり、Ｘ、Ｙは入力浮動小数点数の仮数で代表された実際値を表し、規約化された浮動小数点数に対して、その範囲は［１，２)である。定数の再導入と入力された乗法操作を回避するために、最初の２つの係数は２のべき乗または比較的少ない数量の２のべき乗の組み合わせでなければならなく、且つ乗法操作を、入力に対するシフトと加法操作に変換する。仮数近似モジュールは、０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果出力に対して求和を行って、近似の仮数積結果を得る。

本発明が提案した近似乗算器について、第ｋ級の近似は、入力仮数の範囲［１，２)を２^ｋ個の等しい区間に区分し、その所属区間の必要とされる仮数の最初のｋ桁を判断し、両入力仮数の所属区間の区分は互いに独立しており、即ちモジュールは、［１，２)×［１，２)の入力区間を４^ｋ個の同じ方形に区分し、最初のｋ桁で代表された実際値をＸ_ｋとＹ_ｋとして表すと、その所属区間の中点値はＸ_ｋ＋（１／（２^ｋ＋１））とＹ_ｋ＋（１／（２^ｋ＋１））になり、即ち第ｋ＋１位の小数において追加を行い、

、

と表記する。例えば、入力仮数Ｘ＝１．１０１０１１・・・（二進化十進表現）、第４級近似の場合、Ｘの小数位の最初の４桁を必要とし、Ｘ_４＝１．１０１０になり、Ｘの所属区間は［１．１０１０，１．１０１１)であり、この区間の中点値は

である。第ｋ級近似の近似乗法結果はｓ_ｋと表記し、極小化問題に基づいて次式を得ることができる。

特に、０級近似モジュールがｋ＝０の場合、α_０＝１．５ｘ＋１．５ｙ－２．２５になる。ｋ≠０の場合、α_ｋ＝ｓ_ｋ－ｓ_ｋ＋１になって、各級モジュール結果の求和

を確保する。また、計算α_ｉの式は次のとおりである。

各級の誤差補正モジュールは、入力仮数のシフト操作のみに関し、第ｉ級の誤差補正モジュールは、入力をｉ＋１桁右シフトさせ、Ｘ［ｉ］？（１）：（－１）の式について、Ｘ［ｉ］が１の場合、この式の結果は１になり、Ｘ［ｉ］が０の場合、この式の結果は－１になり、即ち正負記号は、他方の入力された第ｉ位の値によって決定される。

のオフセット項は、入力された所属区間に関連付けられ、ｉが大きくない場合、それを定数として予め計算することにより、論理ユニットを省くことができる。

例えば、第１級誤差補正モジュールでは、入力区間が｛［１，１．５］，［１．５，２)｝×｛［１，１．５］，［１．５，２)｝の４つの区間に区分され、異なった区間のオフセット項の値は次のとおりである。

図２は、本発明が提案した近似乗算器とＡｐｐｒｏｘＬＰとの仮数近似部分における構造的な違いを示す模式図である。図２のａ）はＡｐｐｒｏｘＬＰの仮数近似モジュールの構造図であり、高レベルの誤差補正モジュールは、低レベルの誤差補正モジュールの判断結果に依存している。図２のｂ）は本発明が提案した近似乗算器の仮数近似モジュールの構造図であり、異なったレベルのモジュールの間に依存関係がない。ＡｐｐｒｏｘＬＰ近似乗算器に比べて、本発明が提案した近似乗算器は、両浮動小数点数入力に対して独立した判断をし、且つ異なったレベルのモジュールの判断は互いに独立しており、高レベルの誤差補正モジュールは低レベルの誤差補正モジュールの判断結果に依存せず、各モジュールの領域に対する判断はすべての桁を使用する必要がないため、判断論理と回路延時を単純化している。加えて、図３に示すように、均一に分布したランダム浮動小数点数入力について、近似レベルによって、本発明が提案した近似乗算器は、近似レベルが多ければ多いほど、平均二乗誤差ＭＳＥ、平均絶対誤差ＭＡＥ、及び最大誤差ＭａｘＥｒｒｏｒが小さくなる。

区間数のそれぞれには、１つの予め設定されたオフセット値が要求されるため、低レベルのモジュールでは非常に便利で簡潔であるが、この数量はモジュールレベルの複雑さとともに指数関数的に増大するため、高レベルの誤差補正モジュールに対して、以下の最適化方法を提案する。

第ｉ級の誤差補正結果は以下の形式に等しい。

上記の形式を採用する近似モジュールは、加法操作を２回、シフトと排他的論理和操作を１回追加しているが、予めオフセット値を算出する必要がないので、近似レベルが比較的高い場合に回路の複雑さを大幅に低減できる。

（３）正規化モジュール：正規化モジュールは、仮数近似モジュールの出力結果の範囲に対して、それが正規化要求を満たすように調整を行う。正規化浮動小数点数の仮数範囲は［１，２)であり、近似計算のために、両仮数の近似積の範囲は（０．５，４）であり、仮数積結果が（０．５，１）の範囲にある場合、最上の２桁は００になり、結果を１桁左シフトさせて出力される予定の仮数結果とし、仮数積結果が［２，４)の範囲にある場合、最上位は１であり、結果を１桁右シフトさせて出力される予定の仮数結果とし、符号桁と指数桁の指数結果に１を足して出力される予定の指数結果とし、仮数積結果が［１，２)の範囲にある場合、最上の２桁は０１になり、シフトすることなく直接出力される予定の仮数結果とし、且つ直接指数桁の指数結果を出力される予定の指数結果とする。

上記操作後、出力される予定の指数結果に対して以下の判断を行う。出力される予定の指数結果の上２桁が０１の場合は、上方へのオーバーフローが発生することを表し、即ち大きすぎて表示できない表示数となり、結果にＩＥＥＥ７５４標準に該当する無限大の値を与え、即ち指数桁はすべて１であり、仮数桁はすべて０であり、最終の指数結果の上２桁が１１の場合は、下方へのオーバーフローが発生することを表し、即ち小さすぎて表示できない数であり、結果にＩＥＥＥ７５４標準のゼロの値を与え、即ち指数桁と仮数はすべて０である。オーバーフローが発生しないと、符号と指数桁モジュール出力内の符号桁を出力符号桁とし、出力される予定の指数結果の上２桁を削除したものを出力される指数桁とし、仮数近似モジュールの出力される小数部分を出力した仮数桁とする。

本発明はまた、正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器の実現方法を提供し、それを実現する具体的なステップは次のとおりである。

であり、Ｘ、Ｙは入力浮動小数点数仮数で代表された実際値を表し、正規化された浮動小数点数に対して、その範囲は［１，２)であり、Ａ、Ｂは右シフトの桁数であり、Ｃは浮動小数点数のオフセット値であり、プラスマイナス記号とＡ、Ｂ、Ｃの値は、入力した浮動小数点数の仮数区間に対して方形区分分割後、線形代数極小化問題を用いて決定される。前記方形区分は、具体的には、第ｋ段階の誤差補正モジュールが仮数の範囲［１，２)を２^ｋ個の等しい区間に区分し、仮数の上位ｋビットが端数の所属区間を判断する必要があり、仮数近似モジュールは、０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果出力に対して求和を行って、近似の仮数積結果を得る。

本特許は、上述した最良の実施形態に限定されなく、誰でも本特許に開示された実施形態から他の様々な形式の配置可能な近似乗算器及びその実現方法を得ることができ、本発明の請求範囲により行った同等な変化と修飾の全ては本特許の範囲内に含まれる。

（付記）
（付記１）
誤差不偏近似乗算器は、符号と指数桁モジュール、仮数近似モジュール、及び正規化モジュールを備え、
前記符号と指数桁モジュールは、入力された正規化浮動小数点数の符号桁に対して排他的論理和処理をし、指数桁に対して加法操作をし且つ２^ｎ－１のオフセット量を差し引き、ここでｎは指数桁の桁数であり、
前記仮数近似モジュールは０級近似モジュールとマルチレベル誤差補正モジュールを含み、前記０級近似モジュールとマルチレベル誤差補正モジュールはいずれも浮動小数点数の仮数を入力とし、ここで各誤差補正モジュールはさらに許可信号を必要とし、０級近似モジュールは基礎的な近似仮数乗法結果を生成し、即ちα_０＝１．５×（Ｘ＋Ｙ）－２．２５であり、誤差補正モジュールは許可時に漸進的な誤差補正を出力し、該誤差補正は入力仮数のシフトと１つの定数に対して求和を行い、即ち

であり、α_ｉは第ｉ級の誤差補正モジュールの出力結果であり、Ｘ、Ｙは入力浮動小数点数仮数で代表された実際値を表し、正規化された浮動小数点数に対して、その範囲は［１，２)であり、Ａ、Ｂは右シフトの桁数であり、Ｃは浮動小数点数のオフセット値であり、仮数近似モジュールは０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果を出力して求和を行って、近似の仮数積結果を得、
前記正規化モジュールは近似の仮数積結果を調整してそれを正規化して、その範囲を［１，２)にするとともに、符号と指数桁モジュールの出力に対して対応した調整を行って、出力される予定の指数結果を得、最後に出力される予定の指数結果に対してオーバーフロー判断を行い、指数桁が上方へオーバーフローすると、結果にＩＥＥＥ７５４標準下の無限大の値を与え、指数桁が下方へオーバーフローすると、結果にＩＥＥＥ７５４標準下のゼロの値を与え、オーバーフローが発生しないと、現在の符号桁、出力される予定の指数結果、及び近似の仮数積結果を出力として、両正規化浮動小数点数近似乗法の最終の結果を得ることを特徴とする、
正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記２）
指数桁に対して２^ｎ－１のオフセット量を差し引くことについて、具体的に、ＩＥＥＥ７５４標準下の３２ビットの浮動小数点数に対して、ｎ＝８であり、６４ビット浮動小数点数に対して、ｎ＝１１であることを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記３）
誤差不偏近似乗算器は、異なった数量の誤差補正モジュールを許可することによって、計算中に近似精度をリアルタイムで調整することを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記４）
符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は、入力された正規化浮動小数点数の指数桁に対して求和を行い、オフセット値２^ｎ－１を差し引き、指数桁が上位へ２桁拡張して、上方と下方へのオーバーフローを判断することであり、上方へのオーバーフローが発生する時、最上の２桁は０１であり、この場合Ｚ_ｅ－（２^ｎ－１）＞（２^ｎ－１）になり、符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は大きすぎて表示できない数、即ち正負無限大であり、ここでＺ_ｅは出力される予定の指数結果を表し、下方へのオーバーフローが発生する時、最上の２桁は１１であり、この場合Ｚ_ｅ－（２^ｎ－１）＜０になり、符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は小さすぎて表示できない数、即ち正負ゼロであり、オーバーフローが発生しない時、最上の２桁は００であることを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記５）
前記仮数近似モジュールにおいてデフォルトで入力浮動小数点数は正規化浮動小数点数であり、仮数の前に１を追加して、［１，２)の範囲の仮数実際値を得、且つ最上位に桁拡張をして、即ち０を追加して、仮数の表示範囲を［０，４)にし、０級近似モジュールは基礎的な近似仮数乗法結果を生成し、誤差補正モジュールは、仮数に対して線形処理を行う方法を採用し、誤差補正モジュール内の符号、シフト桁数及びオフセット値は、モジュールレベル、入力仮数の所属範囲によって決定されることを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記６）
誤差補正モジュールは両入力浮動小数点数の仮数区間に対して方形区分を行い、第ｋ級の誤差補正モジュールは仮数の範囲［１，２)を２^ｋ個の等しい区間に区分し、仮数の最初のｋ桁で仮数の所属区間を判断する必要があり、両入力仮数の所属区間の区分は互いに独立しており、即ちモジュールは［１，２)×［１，２)の入力区間を４^ｋ個の同じ方形に区分するとともに、異なったレベルの誤差補正モジュールは互いに独立していることを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記７）
誤差補正モジュールの線形化近似法は、線形代数の極小化問題原理に基づいて、方形区分の場合における最低の平均二乗誤差結果及び不偏の誤差分布を得ることを特徴とする、
付記６に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記８）
正規化モジュールは、仮数近似モジュールの出力結果及び符号と指数桁モジュールの出力結果に対して処理を行い、具体的に、仮数近似モジュールの出力結果に２を乗ずるか、それを２で除するか又はそれをそのままにすることによって、その数値を［１，２)の範囲にし、仮数近似モジュールの出力結果が２以上の場合、仮数近似モジュールの出力結果を右シフトさせ、符号と指数桁モジュールが出力した指数結果部分から１を差し引き、仮数近似モジュールの出力結果が１未満の場合、仮数近似モジュールの出力結果を左シフトさせ、符号と指数桁モジュールが出力した指数部分に１を追加し、仮数近似モジュールの出力結果が［１，２)の範囲にある場合、仮数近似モジュール及び符号と指数桁モジュールの出力結果をそのままにし、正規化モジュールは、仮数近似モジュールの出力結果及び符号と指数桁モジュールの出力結果に対して処理を行った後、処理後の仮数近似モジュールの出力結果を出力される予定の仮数結果とし、処理後の符号と指数桁モジュールの指数部分を出力される予定の指数結果とすることを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記９）
正規化モジュールは出力される予定の指数結果に対してオーバーフロー判断をし、出力される予定の指数結果の上２桁が０１の場合は、上方へのオーバーフローが発生することを表し、結果にＩＥＥＥ７５４標準に該当する無限大の値を与え、即ち指数桁はすべて１であり、仮数桁はすべて０であり、出力される予定の指数結果の上２桁が１１の場合は、下方へのオーバーフローが発生することを表し、結果にＩＥＥＥ７５４標準のゼロの値を与え、即ち指数桁と仮数桁はすべて０であり、出力される予定の指数結果の上２桁が００の場合、オーバーフローが発生することはなく、符号と指数桁モジュール出力内の符号桁を出力符号桁とし、出力される予定の指数結果の上２桁を削除したものを出力される指数桁とし、出力される予定の仮数結果の上２桁を削除したものを出力される仮数桁とすることを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。

（付記１０）
（１）符号と指数桁モジュールは、入力された正規化浮動小数点数内の乗数と被乗数の符号桁に対して排他的論理和処理をし、指数桁に対して上位へ２桁拡張して、乗数と被乗数の指数桁に対して求和を行い、２^ｎ－１のオフセット量を差し引いて、符号と指数桁モジュールの指数桁結果を得るステップと、
（２）仮数近似モジュール内の０級近似モジュールとマルチレベル誤差補正モジュールはいずれも浮動小数点数の仮数を入力とし、各誤差補正モジュールはさらに１つの許可信号を必要とし、０級近似モジュールの出力はα_０＝１．５×（Ｘ＋Ｙ）－２．２５であり、第ｉ級の誤差補正モジュールの出力は

であり、仮数近似モジュールは、０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果出力に対して求和を行って、近似の仮数積結果を得るステップと、
（３）正規化モジュールは符号と指数桁モジュール、仮数近似モジュールの出力を入力とし、仮数近似モジュールの出力結果に２を乗ずるか、それを２で除するか又はそれをそのままにすることによって、その数値を［１，２)の範囲にし、仮数近似モジュールの出力を２で除する場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分に１を追加し、仮数近似モジュールの出力に２を乗ずる場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分から１を差し引き、仮数近似モジュールの出力をそのままにする場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分もそのままにし、正規化モジュールは、出力される予定の仮数結果と出力される予定の指数結果を得るステップと、
（４）出力される予定の指数結果の上２桁に対してオーバーフロー判断をし、上２桁が０１の場合、上方へオーバーフローし、結果にＩＥＥＥ７５４標準下の無限大の値を与え、上２桁が１１の場合、下方へオーバーフローし、結果にＩＥＥＥ７５４標準下のゼロの値を与え、上２桁が００の場合、結果にはオーバーフローが発生することはなく、符号と指数桁モジュール出力内の符号桁を出力符号桁とし、出力される予定の指数結果の上２桁を削除したものを出力される指数桁とし、出力される予定の仮数結果の上２桁を削除したものを出力される仮数桁とするステップとによって実現されることを特徴とする、
付記１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器に基づく実現方法。

Claims

誤差不偏近似乗算器は、符号と指数桁モジュール、仮数近似モジュール、及び正規化モジュールを備え、
前記符号と指数桁モジュールは、入力された正規化浮動小数点数の符号桁に対して排他的論理和処理をし、指数桁に対して加法操作をし且つ２^ｎ－１のオフセット量を差し引き、ここでｎは指数桁の桁数であり、
前記仮数近似モジュールは０級近似モジュールとマルチレベルの誤差補正モジュールを含み、前記０級近似モジュールとマルチレベルの誤差補正モジュールはいずれも浮動小数点数の仮数を入力とし、ここで各誤差補正モジュールはさらに許可信号を必要とし、０級近似モジュールは基礎的な近似仮数乗法結果を生成し、即ちα_０＝１．５×（Ｘ＋Ｙ）－２．２５であり、誤差補正モジュールは許可時に漸進的な誤差補正を出力し、該誤差補正は入力仮数のシフトと１つの定数に対して求和を行い、即ち

であり、α_ｉは第ｉ級の誤差補正モジュールの出力結果であり、Ｘ、Ｙは入力浮動小数点数仮数で代表された実際値を表し、正規化された浮動小数点数に対して、その範囲は［１，２)であり、Ａ、Ｂは右シフトの桁数であり、Ｃは浮動小数点数のオフセット値であり、仮数近似モジュールは０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果を出力して求和を行って、近似の仮数積結果を得、
前記正規化モジュールは近似の仮数積結果を調整してそれを正規化して、その範囲を［１，２)にするとともに、符号と指数桁モジュールの出力に対して対応した調整を行って、出力される予定の指数結果を得、最後に出力される予定の指数結果に対してオーバーフロー判断を行い、指数桁が上方へオーバーフローすると、結果にＩＥＥＥ７５４標準下の無限大の値を与え、指数桁が下方へオーバーフローすると、結果にＩＥＥＥ７５４標準下のゼロの値を与え、オーバーフローが発生しないと、現在の符号桁、出力される予定の指数結果、及び近似の仮数積結果を出力として、２つの正規化浮動小数点数の近似乗法の最終の結果を得ることを特徴とする、
正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
指数桁に対して２^ｎ－１のオフセット量を差し引くことについて、具体的に、ＩＥＥＥ７５４標準下の３２ビットの浮動小数点数に対して、ｎ＝８であり、６４ビット浮動小数点数に対して、ｎ＝１１であることを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
誤差不偏近似乗算器は、異なった数量の誤差補正モジュールを許可することによって、計算中に近似精度をリアルタイムで調整することを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は、入力された正規化浮動小数点数の指数桁に対して求和を行い、オフセット値２^ｎ－１を差し引き、指数桁が上位へ２桁拡張して、上方と下方へのオーバーフローを判断することであり、上方へのオーバーフローが発生する時、最上の２桁は０１であり、この場合Ｚ_ｅ－（２^ｎ－１）＞（２^ｎ－１）になり、符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は大きすぎて表示できない数、即ち正負無限大であり、ここでＺ_ｅは出力される予定の指数結果を表し、下方へのオーバーフローが発生する時、最上の２桁は１１であり、この場合Ｚ_ｅ－（２^ｎ－１）＜０になり、符号と指数桁モジュールの指数桁出力結果は小さすぎて表示できない数、即ち正負ゼロであり、オーバーフローが発生しない時、最上の２桁は００であることを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
前記仮数近似モジュールにおいてデフォルトで入力浮動小数点数は正規化浮動小数点数であり、仮数の前に１を追加して、［１，２)の範囲の仮数実際値を得、且つ最上位に桁拡張をして、即ち０を追加して、仮数の表示範囲を［０，４)にし、０級近似モジュールは基礎的な近似仮数乗法結果を生成し、誤差補正モジュールは、仮数に対して線形処理を行う方法を採用し、誤差補正モジュール内の符号、シフト桁数及びオフセット値は、モジュールレベル、入力仮数の所属範囲によって決定されることを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
誤差補正モジュールは両入力浮動小数点数の仮数区間に対して方形区分を行い、第ｋ級の誤差補正モジュールは仮数の範囲［１，２)を２^ｋ個の等しい区間に区分し、仮数の最初のｋ桁で仮数の所属区間を判断する必要があり、両入力仮数の所属区間の区分は互いに独立しており、即ちモジュールは［１，２)Ｘ［１，２)の入力区間を４^ｋ個の同じ方形に区分するとともに、異なったレベルの誤差補正モジュールは互いに独立していることを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
誤差補正モジュールの線形化近似法は、線形代数の極小化問題原理に基づいて、方形区分の場合における最低の平均二乗誤差結果及び不偏の誤差分布を得ることを特徴とする、
請求項６に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
正規化モジュールは、仮数近似モジュールの出力結果及び符号と指数桁モジュールの出力結果に対して処理を行い、具体的に、仮数近似モジュールの出力結果に２を乗ずるか、それを２で除するか又はそれをそのままにすることによって、その数値を［１，２)の範囲にし、仮数近似モジュールの出力結果が２以上の場合、仮数近似モジュールの出力結果を右シフトさせ、符号と指数桁モジュールが出力した指数結果部分から１を差し引き、仮数近似モジュールの出力結果が１未満の場合、仮数近似モジュールの出力結果を左シフトさせ、符号と指数桁モジュールが出力した指数部分に１を追加し、仮数近似モジュールの出力結果が［１，２)の範囲にある場合、仮数近似モジュール及び符号と指数桁モジュールの出力結果をそのままにし、正規化モジュールは、仮数近似モジュールの出力結果及び符号と指数桁モジュールの出力結果に対して処理を行った後、処理後の仮数近似モジュールの出力結果を出力される予定の仮数結果とし、処理後の符号と指数桁モジュールの指数部分を出力される予定の指数結果とすることを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
正規化モジュールは出力される予定の指数結果に対してオーバーフロー判断をし、出力される予定の指数結果の上２桁が０１の場合は、上方へのオーバーフローが発生することを表し、結果にＩＥＥＥ７５４標準に該当する無限大の値を与え、即ち指数桁はすべて１であり、仮数桁はすべて０であり、出力される予定の指数結果の上２桁が１１の場合は、下方へのオーバーフローが発生することを表し、結果にＩＥＥＥ７５４標準のゼロの値を与え、即ち指数桁と仮数桁はすべて０であり、出力される予定の指数結果の上２桁が００の場合、オーバーフローが発生することはなく、符号と指数桁モジュール出力内の符号桁を出力符号桁とし、出力される予定の指数結果の上２桁を削除したものを出力される指数桁とし、出力される予定の仮数結果の上２桁を削除したものを出力される仮数桁とすることを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器。
（１）符号と指数桁モジュールは、入力された正規化浮動小数点数内の乗数と被乗数の符号桁に対して排他的論理和処理をし、指数桁に対して上位へ２桁拡張して、乗数と被乗数の指数桁に対して求和を行い、２^ｎ－１のオフセット量を差し引いて、符号と指数桁モジュールの指数桁結果を得るステップと、
（２）仮数近似モジュール内の０級近似モジュールとマルチレベルの誤差補正モジュールはいずれも浮動小数点数の仮数を入力とし、各誤差補正モジュールはさらに１つの許可信号を必要とし、０級近似モジュールの出力はα_０＝１．５×（Ｘ＋Ｙ）－２．２５であり、第ｉ級の誤差補正モジュールの出力は

であり、仮数近似モジュールは、０級近似モジュールと許可された誤差補正モジュールの結果出力に対して求和を行って、近似の仮数積結果を得るステップと、
（３）正規化モジュールは符号と指数桁モジュール、仮数近似モジュールの出力を入力とし、仮数近似モジュールの出力結果に２を乗ずるか、それを２で除するか又はそれをそのままにすることによって、その数値を［１，２)の範囲にし、仮数近似モジュールの出力を２で除する場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分に１を追加し、仮数近似モジュールの出力に２を乗ずる場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分から１を差し引き、仮数近似モジュールの出力をそのままにする場合、符号と指数桁モジュール出力内の指数部分もそのままにし、正規化モジュールは、出力される予定の仮数結果と出力される予定の指数結果を得るステップと、
（４）出力される予定の指数結果の上２桁に対してオーバーフロー判断をし、上２桁が０１の場合、上方へオーバーフローし、結果にＩＥＥＥ７５４標準下の無限大の値を与え、上２桁が１１の場合、下方へオーバーフローし、結果にＩＥＥＥ７５４標準下のゼロの値を与え、上２桁が００の場合、結果にはオーバーフローが発生することはなく、符号と指数桁モジュール出力内の符号桁を出力符号桁とし、出力される予定の指数結果の上２桁を削除したものを出力される指数桁とし、出力される予定の仮数結果の上２桁を削除したものを出力される仮数桁とするステップとによって実現されることを特徴とする、
請求項１に記載の正規化浮動小数点数に対する誤差不偏近似乗算器に基づく実現方法。