JP6452086B2 - 形状算出装置及び方法、計測装置、物品製造方法、及び、プログラム - Google Patents

Description

本発明は、被検面の形状を算出する形状算出装置及び方法、計測装置、物品製造方法、及び、プログラムに関する。

天文・宇宙観測や、半導体産業などにおいて、使用する光学素子を１−数メートル級に大型化する要求が高まっている。これらの素子の形状計測のために計測装置を大型化すると、計測ダイナミックレンジの増加による精度分解能の低下、及び装置のコスト増加が問題となる。このため、被計測物の部分領域の形状を複数計測し、それら複数の部分領域の形状データを合成することで全体形状を得る、いわゆるスティッチ計測が一般に行われている。

特許文献１は、スティッチ計測の１つの技術を開示する。同文献では、部分領域の形状データを取得し、それぞれの部分領域の姿勢誤差や、全ての部分領域に共通する系統誤差を可変パラメータとし、各部分領域の重複領域での差異を最小とする評価関数を設定している。最小化手法には線形最小二乗法が用いられている。この例では、ｎ個の部分領域に姿勢誤差６自由度を付与すると、６のｎ乗の自由度を計算することになる。一般に、干渉計測などでは、データ自体が傾きを持っていると計測自体が不可能であるため、傾き誤差が非常に小さく、姿勢誤差を線形計算で近似可能である。

このような干渉計測データなどには特許文献１の技術は適用可能である。一方、３次元形状計測装置の計測データなど、姿勢誤差補正を座標回転などの非線形計算で行うことが必要な計測データに対しては、ｎ個の部分領域に姿勢誤差６自由度を付与した場合、計算すべき自由度がｎの６乗となる。この場合、計算量が膨大であるため、現実的な計測用途には適用が困難である。

特許文献２は、スティッチ技術の別の技術を開示する。同文献では、部分領域の形状データの、設計形状に対する差異を評価関数とし、評価関数が最小となるようパラメータを決定している。この例では、ｎ個の部分領域に姿勢誤差６自由度を付与しても、６ｎの自由度を計算することになり、上記したような座標回転などの非線形計算を行う場合であっても、スティッチ計算負荷を抑えることができる。

ただし、上述した各文献においては、部分領域の計測結果に含まれる誤差は、姿勢誤差及び系統誤差のみが挙げられている。すなわち、姿勢誤差は計測結果の並進・回転成分であり、系統誤差は全ての計測結果に共通と仮定している。言い換えれば、部分領域の計測において、各計測ごとに変化するのは光学素子の姿勢のみであり、装置校正値などに由来する系統誤差は計測ごとに常に一定という前提のもとで、合成を行っている。

しかしながら、実際の計測においては、姿勢変化以外にも、各部分領域の計測結果に様々な計測誤差が含まれる。例えば、干渉光を用いる計測を行っている場合、計測環境の温度や圧力の変化に応じて、干渉光の光路が変化し、計測値の誤差となる。また、計測基準と被計測物との相対距離が、装置構造体の温度変形などにより変化した場合にも、同様に計測値の誤差となる。あるいは、被計測物を計測装置上に保持する際、その保持位置や保持点における摩擦力が変化すると、被計測物を変形させ、これも計測値の誤差となる。

これらの誤差は、同じ部分領域を複数回計測した場合に、各計測結果が一致しない程度を示しており、いわゆる計測再現性と表現される。

特開２００４−１２５７６８号公報 特開２００９−２９４１３４号公報

以上のように、形状の計測再現性が良好でない部分領域の形状データを用いたスティッチ計算を行う際に、従来技術では、計算上のパラメータとして姿勢誤差及び系統誤差のみしか設定していない。計測再現性が悪い場合は、重なり合う領域の形状データがそもそも一致しない。この結果、形状データを合成する際に、特に重なり領域近傍での各形状データ同士の不連続性が大きくなる。それに伴い、特に部分領域の接続箇所において、段差状形状やエッジ状形状など、空間周波数的に高次の誤差が大きくなるという課題があった。

本発明では、上記課題を解決し、姿勢誤差及び系統誤差以外の計測誤差を考慮して各部分領域をつなぎ合わせ、より高精度に全体形状を求めることができる。

本発明の一側面によれば、被検面における第１の部分領域の第１の形状の計測データを取得するとともに、前記第１の部分領域と一部が重複する第２の部分領域の第２の形状の計測データを取得する取得部と、前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて共通の誤差である系統誤差と、前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて異なり、形状を維持したままの回転と並進の誤差である姿勢誤差とを補償するパラメータを含む評価関数であって、前記第１の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第１の形状を変える第１の形状補正パラメータと、前記第２の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第２の形状を変える第２の形状補正パラメータとを変数として、前記第１の形状補正パラメータで前記第１の形状の計測データを補正して得られる形状データと前記第２の形状補正パラメータで前記第２の形状の計測データを補正して得られる形状データとを評価する評価関数の値が許容範囲内になるように、前記第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を決定する決定部と、前記決定された第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を用いて前記第１及び第２の形状の計測データを補正し、前記補正して得られた形状データを合成して、前記第１及び第２の部分領域を含む全体領域の形状データを生成する合成部とを有することを特徴とする形状算出装置が提供される。

本発明によれば、姿勢誤差及び系統誤差以外の計測誤差を考慮して各部分領域をつなぎ合わせ、より高精度に全体形状を求めることができる。

従来のスティッチ技術を説明する図。 従来のスティッチ技術における課題を説明する図。 第１実施形態に係るスティッチ技術を説明する図。 第２実施形態に係るスティッチ技術を説明する図。 系統誤差パラメータと形状補正パラメータとの干渉を説明する図。 各計測データに含まれる計測誤差を説明する図。 第３実施形態に係るスティッチ技術を説明する図。 第４実施形態に係るスティッチ技術を説明する図。 第５実施形態に係るスティッチ技術を説明する図。 第５実施形態におけるシミュレーション精度評価の結果を示す図。 実施形態における形状計測装置の構成を示す図。 従来のスティッチ技術のフローチャート。 第１実施形態に係るスティッチ技術のフローチャート。 第３実施形態に係るスティッチ技術のフローチャート。 第４実施形態に係るスティッチ技術のフローチャート。 制御部の構成を示す図。

以下、図面を参照して本発明の好適な実施形態について詳細に説明する。なお、本発明は以下の実施形態に限定されるものではなく、本発明の実施に有利な具体例を示すにすぎない。また、以下の実施形態の中で説明されている特徴の組み合わせの全てが本発明の課題解決のために必須のものであるとは限らない。

＜第１実施形態＞
図１は、従来のスティッチ技術を示している。図１２に、従来のスティッチ技術のフローチャートを示す。従来のスティッチ技術は、例えば特許文献１に述べられている。簡単のため、２つの部分領域の形状データを重なり合い領域を利用して接続する場合、特に部分計測データにおいて、任意の断面における接続を説明する。ただし、３つ以上の部分領域の形状データを接続する場合においても、技術の本質に違いがないことは理解されるであろう。

図１（ａ）は、被計測物の被検面Ａの断面形状である。被検面Ａには、その規準となる座標Ｃがあり、Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸が定義されている。本発明の形状算出装置としての形状計測装置は、非計測面Ａについて、第１の部分領域を計測して、その第１の部分領域の第１の形状のデータを取得する（図１２のＳ１、Ｓ２）。形状計測装置はまた、非計測面Ａについて、第１の部分領域と一部が重複する第２の部分領域を計測してその第２の部分領域の第２の形状のデータを取得する（Ｓ１、Ｓ２）。図１（ｂ）は、取得した第１及び第２の形状のデータを示している。第１及び第２の形状のデータは、互いに一部が重複する領域を有するように計測され、それぞれＡ１、Ａ２と定義する。Ａ１、Ａ２は、それぞれの部分領域の形状のデータの座標系Ｃ１、Ｃ２におけるＸ軸、Ｙ軸、Ｚ軸成分を持つデータ点の集合であり、式（１）乃至（４）のように定義できる。

図１（ｃ）では、取得した形状データの姿勢誤差を、姿勢誤差パラメータＴを用いて定義する（Ｓ３）。姿勢誤差パラメータＴは、形状を維持したままデータＡ１、Ａ２の回転及び並進を定義するサブパラメータからなっている。

具体的には、データＡ１については、そのＸ軸、Ｙ軸、Ｚ軸に対する各回転量に相当するθ１、φ１、ψ１、及びＸ軸、Ｙ軸、Ｚ軸に対する各並進量に相当するα１、β１、γ１が、姿勢誤差パラメータＴ１のサブパラメータとなる。同様に、データＡ２については、その各回転量に相当するθ２、φ２、ψ２、及び各並進量に相当するα２、β２、γ２が、姿勢誤差パラメータＴ２のサブパラメータとなる。各姿勢誤差パラメータＴ１、Ｔ２は、例えば座標変換行列として式（５）及び（６）のように定義できる。

ただし、特許文献１に示すように、各軸周りの回転を線形近似計算できる、干渉計で取得した形状データなどでは、回転演算を非線形計算とせず、線形計算で近似してもよい。すなわち、式（５）及び（６）において、ｃｏｓξ＝１、ｓｉｎξ＝ξとしてもよい。

図１（ｄ）では、取得した形状データＡ１、Ａ２に共通する系統誤差を、系統誤差パラメータを用いて、図中の点線のように定義する（Ｓ４）。系統誤差パラメータＳは、Ａ１、Ａ２の任意の座標における値を得るため、式（７）に示すような関数Ｓとして定義されるのが望ましい。

ここで関数Ｓは、任意の入力ｘ、ｙに対して、座標値ｚを返すものであってもよいし、任意の入力ｘ、ｙに対して、座標値ｘ’、ｙ’、ｚを返すものであってもよい。前者は、例えば干渉計の参照面の形状誤差が該当し、後者には、例えば干渉計におけるディストーションのような、面内方向の誤差を有する場合が該当する。

ある計測領域における関数として、直交多項式を用いることは計算を容易にするため、これを関数Ｓとして採用することが望ましい。具体的には、ゼルニケ多項式や、グラムシュミット直交化手法を用いて直交化されたＸＹ多項式などが挙げられる。

ただし、容易に理解される通り、関数Ｓは線形成分を含まないことが望ましい。これは、先に示した姿勢誤差パラメータの回転演算と近似的に同等となり、後の最適化計算が収束しない可能性があるためである。

一般に使用されるゼルニケ多項式においては、その１項ないし３項が線形成分であり、これらを除くことが望ましい。また、ゼルニケ多項式以外の関数においても、同様に定義される線形成分を除くことが望ましい。

図１（ｅ）では、（ｃ）及び（ｄ）に示す工程に対する評価関数ＥＦ１を構築する（Ｓ５）。評価関数ＥＦ１は例えば式（８）で表現される。

式（８）で、・は形状のデータに対してパラメータを作用させることを意味する。作用とは、データとパラメータの積算のみでなく、加減算なども含まれる。すなわち、形状のデータＡ１及びＡ２に姿勢誤差パラメータＴ１、Ｔ２と系統誤差パラメータＳをそれぞれ作用させた後、その差分を取って二乗している。言い換えると、この評価関数は、形状のデータをパラメータで補正して得られる形状データ同士を評価するものである。具体的には、評価関数ＥＦ１は、図１（ｅ）に示すように、補正を含めた形状データ同士の重複した領域におけるＺ値の差に相当する。この評価関数を例えば最小化することにより、各形状データ同士の整合性が最も良くなる、つまり最適なスティッチ解が得られることを意味する。

なお、各形状データＡ１及びＡ２の重複した領域において、それぞれのデータのＸ、Ｙ座標は基本的には一致しないため、これらのデータを補間して任意のＸ、Ｙ座標におけるＺ値を計算し、差分を取ることが一般的である。このときの座標系として、各計測結果に依存しないグローバルな座標系Ｃを定義してもよいし、各計測結果の座標系Ｃ１、Ｃ２のいずれかを使用してもよい。

図１（ｆ）では、前述した評価関数ＥＦ１を最小化する。ここで、図１（ｃ）及び図１（ｄ）に示した各パラメータの値を、ＥＦ１を最小化するように可変とする。この工程では、線形計算であれば線形最小二乗法により、各パラメータの解が一意に求められる（Ｓ６）。また、非線形計算が必要であっても、非線形最小二乗法や、特異値分解を利用した解法などで、各パラメータを決定することが可能である。

図１（ｇ）では、決定された各パラメータに基づいて、第１の部分領域および第２の部分領域の形状データをつないで（合成して）、各部分領域をつなげた面形状のデータ（スティッチ形状データ）ＡＳを算出する（Ｓ７）。ここで、各形状データＡ１及びＡ２に、補正パラメータＴ、Ｓによる補正を加えた後、各データを包含する座標系Ｃ上に、各形状データから補間された、スティッチ計測データを作成する。

以上述べてきた従来のスティッチ技術によれば、複数の領域における形状データを繋ぎ合わせ、より大きい領域の形状データを取得することが可能となる。

しかしながら、図１に示す従来のスティッチ技術においては、各形状データに、系統誤差ではないそれぞれ独立の誤差が含まれていないことが必要とされる。被検面Ａを分割計測した第１及び第２の形状のデータＡ１’及びＡ２’に、それぞれ独立の誤差が含まれている場合を図２に示す。図２（ａ）にて取得したデータには、図２（ｂ）に示すように、計測誤差ｕ１、ｕ２がそれぞれ含まれている。これを式で表すと式（９）及び式（１０）のようになる。

これらの計測誤差ｕ１、ｕ２は、
・計測中の計測環境の温度変化、
・計測装置上での被計測物の位置が変化し重量バランスが変化したことによる装置構造体の変形、
・被計測物の振動、
・被計測物の支持位置変化による自重変形の変化、
・被計測物の支持点の摩擦力変化による変形
などにより発生することが考えられる。

このとき、図１と同様にスティッチ工程を進めると、図２（ｆ）にて評価関数ＥＦ２を最小化する段階で、計測誤差を含んだ状態で最小化が実施される。すなわち、各計測データは、その計測誤差により、そもそも誤差なく繋ぐことが不可能であるという悪条件において、姿勢誤差パラメータ及び系統誤差パラメータを計算されることになる。

具体的に、図２（ｇ）におけるスティッチ形状データＡＳ'は、図２（ａ）に示す本来の被検面Ａに対して、そのデータ中に誤差を多く含んでいる。この誤差の特徴として、計測誤差ｕを有する各計測データの端部における不連続性が明確に現れ、スティッチ結果において段差状の誤差を生成している。

次に、本実施形態のスティッチ技術について、図３と図１３を用いながら説明する。図３は、第１実施形態におけるスティッチ技術を説明する図である。図１３は、第１実施形態におけるスティッチ技術のフローチャートである。本実施形態のスティッチ技術によれば、図２に示したような従来のスティッチ技術の課題が良好に解決される。Ｓ１１〜Ｓ１４は、スティッチ技術のＳ１〜Ｓ４と同様である。

図３（ａ）にて取得した第１及び第２の形状のデータＡ１'及びＡ２'には、式（９）及び式（１０）に示したように、計測誤差ｕ１、ｕ２がそれぞれ含まれている。ここで、図３（ｄ）では、各単面に与えるパラメータとして、姿勢誤差パラメータＴ、系統誤差パラメータＳに加えて、第１及び第２の補正パラメータＰ１及びＰ２を、図中の一点鎖線として表現する（Ｓ１５）。なお、第１及び第２の補正パラメータは例えば、計測誤差を補償するために計測された形状を変えるパラメータである。具体的には、第１の形状補正パラメータは、第１の部分領域で計測された第１の形状に含まれる計測誤差を補償するために第１の形状を変えるパラメータである。第２の形状補正パラメータは、第１の形状補正パラメータとは異なり、第２の部分領域で計測された第２の形状に含まれる計測誤差を補償するために第２の形状を変えるパラメータである。第１及び第２の形状補正パラメータはそれぞれ、関数として式（１１）及び式（１２）のように表される。

ここで関数Ｐ１及びＰ２は、任意の入力ｘ、ｙに対して、座標値ｚを返すものであってもよいし、任意の入力ｘ、ｙに対して、座標値ｘ’、ｙ’、ｚを返すものであってもよい。前者は、例えば干渉計の参照面の形状誤差が該当し、後者には、例えば干渉計におけるディストーションのような、面内方向の誤差を有する場合が該当する。

ある計測領域における関数として、直交多項式を用いることは計算を容易にするため、これを関数Ｐとして採用することが望ましい。具体的には、ゼルニケ多項式や、グラムシュミット直交化手法を用いて直交化されたＸＹ多項式などが挙げられる。

指摘するまでもなく、形状補正パラメータを用いることにより、各形状データＡ１’及びＡ２’に含まれる計測誤差を個別に補正することが可能となる。これにより図３（ｅ）に示すような評価関数ＥＦ３が、式（１３）のように定義される（Ｓ１６）。

上記の評価関数ＥＦ３は、第１の形状のデータＡ１と第２の形状のデータＡ２との重み付け二乗誤差である。ここで、第１の形状のデータＡ１の重みは第１の形状補正パラメータＰ１を含み、第２の形状のデータＡ２の重みは第２の形状補正パラメータＰ２を含むことが理解されよう。最適化の工程では、変数としての形状補正パラメータＰ１及びＰ２が、以下の式（１４）及び式（１５）に示す関係を満たすように設定されうる。

繰り返しになるが、式（１３）で、・は形状データに対してパラメータを作用させることを意味し、作用とは、データとパラメータの積算のみでなく、加減算なども含まれる。これにより、式（１３）を式（８）のように解くことが可能となる。また重要な点として、最適化の工程では、これらのパラメータは全て同時に決定することができる。

図３（ｆ）では、前述の評価関数ＥＦ３の値が許容範囲内になるように各パラメータを決定する（Ｓ１７）。例えば、評価関数ＥＦ３を、各パラメータの値を可変として最小化する。この工程では、線形計算であれば線形最小二乗法により、各パラメータの解が一意に求められる。また、非線形計算が必要であっても、非線形最小二乗法や、特異値分解を利用した解法などで、各パラメータを決定することが可能である。

図３（ｇ）では、決定された各パラメータに基づいて、スティッチ形状データＡＳ’を算出する（Ｓ１８）。ここで、決定された各パラメータを用いて各形状データを補正し、補正された形状データを合成して、第１及び第２の部分領域を含む全体領域の形状を表す全体形状データを生成する。具体的には例えば、各形状データＡ１’及びＡ２’に、補正パラメータＴ、Ｓ、Ｐによる補正を加える。その後、各データを包含する座標系Ｃ上に、各形状データから補間されたスティッチ形状データを作成する。

以上述べてきた本実施形態のスティッチ技術によれば、各部分領域の形状データにそれぞれ異なる計測誤差が含まれていたとしても、複数の領域における形状データを良好に繋ぎ合わせ、より大きい領域のデータを高精度に取得することが可能となる。

図４は、第２実施形態に係るスティッチ技術を説明する図。である。図４では、特に特許文献２に示されるようなスティッチ技術において、実施形態１の形状補正パラメータを適用したものである。図４（ｄ）及び（ｅ）は、特許文献２に示されるパラメータ設定工程であり、ここで、図中の破線で示される被検面の設計形状データＤ、及び二点鎖線で示される全体形状パラメータＧが設定される。設計形状データＤは、本実施形態では簡明のため平面形状として表現しているが、任意の球面、非球面及び自由曲面であってもよい。

全体形状パラメータＧは、Ａ１"、Ａ２"の任意の座標における値を得るため、式（１６）に示すような関数Ｇとして定義されるのが望ましい。

ここで関数Ｇは、任意の入力ｘ、ｙに対して、座標値ｚを返すものであり、第１の部分領域および第２の部分領域を含む全体領域Ａ"における近似的な誤差形状である。このパラメータによって、実際にＡ"が誤差を含む形状である場合に、その形状も、設計値に連続的な関数を足したものとして表現することで、計測データから全体形状パラメータＧを差し引くことができる。この結果、扱う計測データはスティッチ計算上のダイナミックレンジが小さくなり、計算負荷を低減することができる。

ある計測領域における関数として、直交多項式を用いることは計算を容易にするため、これを関数Ｇとして採用することが望ましい。具体的には、ゼルニケ多項式や、グラムシュミット直交化手法を用いて直交化されたＸＹ多項式などが挙げられる。

ただし、容易に理解される通り、関数Ｇは線形成分を含まないことが望ましい。これは、先に示した姿勢誤差パラメータの回転演算と近似的に同等となり、後の最適化計算が収束しない可能性があるためである。

また、本実施形態でも、図４（ｆ）に示す通り、形状補正パラメータＰ１及びＰ２が定義される。

図４（ｇ）では、評価関数ＥＦ４を式（１７）のように定義する。

上記の評価関数ＥＦ４は、全体領域の設計形状データと第１及び第２の形状データとの重み付け二乗誤差である。ここで、設計形状データＤの重みは全体形状パラメータＧを含み、第１及び第２の形状データＡ１，Ａ２の重みはそれぞれ第１及び第２の形状補正パラメータＰ１，Ｐ２を含むことが理解されよう。評価関数ＥＦ４は、被検面の設計形状に対する各形状データの乖離を最小にすることを意図している。すなわち、設計形状データＤに、全体形状パラメータＧによる誤差を加えたものを基準とし、それと計測データＡｉ"を各補正パラメータＰ、Ｔ、Ｓで補正したものとの差分を取る。その処理を各形状データに対して行い、最終的に評価関数ＥＦ４を最小化するパラメータを決定する。各パラメータは、線形二乗法や非線形二乗法などで求めることが可能である。

このとき、各計測データにそれぞれ計測誤差uが含まれていても、形状補正パラメータＰを用いることで、計測誤差を補正することができる。

図４（ｈ）は、決定された各パラメータに基づいて、算出したスティッチ形状データＡＳ"を示している。ここでは、スティッチ結果は、設計形状データＤと全体形状Ｇとの和として表現されており、その誤差は極めて小さくできる。

以上述べた本実施形態のスティッチ技術によれば、設計形状への各部分領域の形状データにそれぞれ異なる計測誤差が含まれていたとしても、複数の領域における形状データを良好に繋ぎ合わせ、より大きい領域の形状データを高精度に取得可能となる。

なお、本実施形態では形状補正パラメータに加え、姿勢誤差パラメータ、系統誤差パラメータをともに用いたスティッチ計算例を示したが、現実には少なくとも形状補正パラメータを含んだパラメータを設定することのみを特徴としてもよい。これは、例えば系統誤差あるいは姿勢誤差が精度良く補正できており、部分形状のみしか誤差が発生しない場合などを指している。

以上の実施形態では、設定した各パラメータ同士が干渉しないことを前提としている。すなわち、姿勢誤差パラメータ、系統誤差パラメータ、全体形状パラメータ、形状補正パラメータが独立である場合には、評価関数ＥＦの最小値を大局的に探索することが可能である。

しかしながら、これらのパラメータが独立でない場合には、評価関数ＥＦを最小化する際にパラメータ同士の干渉が発生し、探索されたのが局所的な最小値であるか、そもそも評価関数が収束しないという事態が発生する。

一例として、図５を参照しながら説明する。図５では、系統誤差パラメータＳと、形状補正パラメータＰが干渉するケースを示している。系統誤差パラメータＳが、部分領域Ａ１において、形状補正パラメータＰ１に対して独立でない場合、各パラメータ同士の関係は式（１８）のように表現できる。

すなわち、ＳとＰとを含む方程式は不定であり、対象とする形状が、系統誤差によるものなのか、実在する形状なのかを分離することができない。図５では、曲率で表現される誤差を有するケースを示している。計測領域Ａの形状は、任意の系統誤差パラメータを、例えばＳ１と仮定しても、形状補正パラメータは式（１８）を満たすようにＰ１１と設定されればよい。また、系統誤差パラメータをＳ２と定義した場合には、形状補正パラメータをＰ１２と設定されればよい。したがって求めるべきパラメータは一意に定まらない。

このようなケースでは、各パラメータが干渉、あるいは近似的に干渉しないように、独立となるようにパラメータを選択することで、課題を解決できる。

計測誤差ｕの性質を検討したものが図６である。先に挙げた計測誤差の要因が、具体的に各計測データにどのように影響するかを検討したものである。例えば、被計測物が装置上での支持状態の影響で応力を受ける場合に、その形状は、ｕ１１に示すような空間周波数の低い凸形状に変形する。あるいは、被測定物の装置上での温度が低下した場合、その形状は、ｕ１２に示すような、全体が収縮するような空間周波数の低い形状に変形する。

この変形形状を、一般的なゼルニケ多項式で表現した場合、その変形形状は、ゼルニケ４項乃至９項までの形状（低次形状）が支配的であることが多い。換言すれば、この場合の形状補正パラメータは、ゼルニケ４項乃至９項成分を設定することが適当であるといえる。

図７は、第３実施形態に係るスティッチ技術を説明する図である。図１４は、第３実施形態におけるスティッチ技術のフローチャートである。Ｓ２１からＳ２３は、Ｓ１１からＳ１３と同様である。図７（ａ）では、系統誤差パラメータに用いられる関数Ｓを、低次成分を除いたものとして設定している（Ｓ２４）。一方、図７（ｂ）では、形状補正パラメータに用いられる関数Ｐ１及びＰ２を、低次成分のみとして設定している（Ｓ２５）。Ｓ２６からＳ２８は、Ｓ１６からＳ１８と同様である。この結果、図７（ｃ）において評価関数ＥＦ７を最小化する際に、各パラメータの干渉を防ぎ、結果として接続性の良い計測結果を得ることができる。

図８は、第４実施形態に係るスティッチ技術を説明する図である。図８（ａ）では、全体形状パラメータに用いられる関数Ｇを、低次成分を除いたものとして設定している。一方、図８（ｂ）では、形状補正パラメータに用いられる関数Ｐ１及びＰ２を、低次成分のみとして設定している。この結果、図８（ｃ）において評価関数ＥＦ８を最小化する際に、各パラメータの干渉を防ぎ、結果として接続性の良い計測結果を得ることができる。

以上述べた実施形態では、形状補正パラメータを用いて、計測誤差を補正することによって、各部分領域の不連続性を低減できることを示してきた。しかしながら、被検面が実際に誤差形状を有しており、その誤差形状を含んで形状補正パラメータを作用させた場合、実際の誤差形状をも補正してしまうおそれがある。すなわち、実際よりも誤差の小さい計測結果を得てしまう。また、評価関数の取り方によっては、実際の誤差形状が一意に定まらず、発散してしまうこともあり得る。これは、被検面を正確に計測できていないということであり、計測上の問題となる。

この課題を解決するために、図９を参照して説明する。図９は、第５実施形態に係るスティッチ技術を説明する図である。図１５は、第５実施形態におけるスティッチ技術のフローチャートである。Ｓ３１からＳ３４は、Ｓ１１からＳ１４と同様である。まず、図９（ａ）に示されるような、低次及び高次形状を含む面形状Ａを計測し、図９（ｂ）に示すような部分領域Ａ１及びＡ２のそれぞれの形状の計測データを得る。

これに対して、Ｓ５からＳ７と同様に、Ｓ３６１、Ｓ３７１及びＳ３８１のように姿勢誤差パラメータ、系統誤差パラメータを用いた従来のスティッチ結果は、図９（ｃ）に示される通り、高次形状成分の誤差を多く含む結果となる（Ｓ３８１）。図９（ｄ）及び（ｅ）は、それぞれスティッチ結果を低次及び高次空間周波数成分に、それぞれ独立に分離したグラフである。ここでは、低次形状は十分に精度良く計算されているのに対して、高次形状には、スティッチによる明らかな誤差が含まれている。

一方、Ｓ１５からＳ１８と同様に、Ｓ３５、Ｓ３６２、Ｓ３７２及びＳ３８２のように評価関数に形状補正パラメータを含めて計算したスティッチ結果が図９（ｆ）に示される。ここで、面形状Ａが持っている低次形状成分が、形状補正パラメータによって補正された結果、合成結果の面形状Ａ’においては低次形状自体が失われている（Ｓ３８２）。図９（ｇ）及び（ｈ）は、それぞれ合成結果を低次及び高次空間周波数成分に、それぞれ独立に分離したグラフである。ここでは、低次形状が明らかに失われているのに対して、高次形状は十分に精度良く再現されている。

そこで、本実施形態として、図９（ｉ）では、図９（ｄ）に示される低次形状成分と、図９（ｈ）に示される高次形状成分とを、それぞれ抽出し（Ｓ３９１、Ｓ３９２）、１つの面形状Ａ"に合成している（Ｓ４０）。ここでは、それぞれの低次及び高次形状成分が、独立かつ、全空間周波数領域を包含していることが望ましい。これにより、各空間周波数領域を統合する際に、独立な成分同士を足し合わせるため、特殊な演算が必要なくなることは明らかなためである。

上記の制御をまとめる。まず、上述のとおり、式（１３）あるいは（１７）に示したような評価関数を用いて全体形状データが生成される（Ｓ３５〜Ｓ３８２）。その後、その全体形状データの高次空間周波数成分Ｈが生成される（図９（ｈ）、Ｓ３９２）。次に、上述の式（１３）又は（１７）に示したような評価関数に代えて形状補正パラメータを含まない従来の評価関数（第２の評価関数）が使用される（Ｓ３６１）。次に、これにより得られる全体形状データの低次空間周波数成分Ｌが生成される（図９（ｄ）、Ｓ３７１〜Ｓ３９１）。そして、高次空間周波数成分Ｈと低次空間周波数成分Ｌとを合成した全体形状データが生成される（図９（ｉ）、Ｓ４０）。

本実施形態によれば、合成により高次成分誤差が生じにくい実施形態１の長所を維持したまま、評価関数の選び方によっては低次形状成分に誤差が含まれるという短所を、従来手法を利用することによって回避することが可能となる。

なお、本実施形態では、各パラメータの取り方を２パタンに分けて説明したが、このパタン分けは、２パタンに限定されるわけではなく、計測対象に応じて、パタンをさらに多くしてもよいことは容易に理解されるであろう。

図１０は、第５実施形態を適用した実際の合成結果について行ったシミュレーションの結果である。図１０（ａ）に示す六角形上の被計測物を、６分割して各部分領域を合成する。このとき、各領域には図１０（ｂ）に示すようなゼルニケ４項―９項成分に相当する低次形状誤差を、計測誤差としてランダムに加えている。この各部分領域データに対して合成を行い、合成結果と図１０（ａ）との面形状差分を評価した。面形状差分とは、すなわちスティッチによる合成誤差であり、小さいほど良い。

図１０（ｃ）及び（ｄ）は、形状補正パラメータを用いない合成結果であり、低次成分（ゼルニケ４項―９項成分）は５．７ｎｍＲＭＳであるのに対し、高次成分（ゼルニケ１０項以降成分）は１９ｎｍＲＭＳである。一方、図１０（ｅ）及び（ｆ）は、部分形状パラメータをゼルニケ４項―９項とした合成結果であり、低次成分は４８ｎｍＲＭＳであるのに対し、高次成分は２．９ｎｍＲＭＳである。

このシミュレーション結果から、低次成分については、形状補正パラメータを使用する場合に対する、使用しない場合の誤差が１：０．１２程度であり、使用しない方が有利である。一方、高次成分については、形状補正パラメータを使用する場合に対する、使用しない場合の誤差が１：０．１５程度であり、使用する方が有利である。

このシミュレーションにおいては、低次成分をゼルニケ４項―９項と定義しているが、これは計測誤差として与えた誤差が低次形状であったためである。異なるデータにおいても、その形状成分、及び想定される計測誤差に応じて、空間周波数成分を分割するパタンを決定することが望ましい。

また、本シミュレーションでは空間周波数成分を２領域に分けて説明したが、このパタン分けは２領域に限定されるものではなく、計測対象に応じて、パタンを更に多くしてもよいことは容易に理解されるであろう。

以上述べた部分形状を合成する計測方法によれば、各部分計測における計測再現性が良好でない被計測物に対しても、合成による誤差、特に空間周波数的に高次の誤差を低減して、全体形状を精度良く計算することが可能となる。

図１１は、上述の実施形態に係る形状計測方法を実現する形状計測装置の構成例を示す図である。装置本体５に、被測定物１が搭載される。ＸＹＺの３軸方向に移動可能なスライド７にはプローブ６が取り付けられている。被測定物１の表面にプローブ６を押し当てることで、被測定物１の表面をスキャンすることができる。この形状計測装置は、この時のプローブ６の動きをメトロロジフレーム８に固定された参照ミラー９を計測の基準に使って測定を行う。この参照ミラー９の形状誤差が、この装置における系統誤差の主要な原因となりうる。

形状計測装置は、制御部１０を有する。制御部の構成を図１６に示す。制御部１０は、各種演算を行うＣＰＵなどのプロセッサを含みうる。例えば、制御部１０は、プロセッサ１０１と、プログラムやデータを格納する記憶部１０２と、主メモリ１０３とを含む。制御部１０は更に、キーボードやマウスなどの入力装置１０４と、ディスプレイなどの表示装置１０５と、記録媒体１０７を読み取る読み取り装置１０６とを含む。記憶部１０２、主メモリ１０３、入力装置１０４、表示装置１０５及び読み取り装置１０６は、いずれもプロセッサ１０１に接続されている。上述した実施形態の機能を実現するプログラムを格納した記録媒体１０７が読み取り装置１０６に装着され、読み取り装置１０６が記録媒体１０７からプログラムを読み出して記憶部１０２にプログラムが格納される。制御部１０は、形状データを取得する取得部、形状補正パラメータを決定する決定部、第１及び第２の形状データの補正及び合成を行い全体形状データを生成する合成部として機能することができる。制御部１０は、記憶部１０２に格納された、上述した実施形態の機能を実現するソフトウェア（プログラム）を実行することにより、ステッィチ技術によって面形状を求める。例えば、実施形態１では、制御部１０は、プローブ６によって計測された被測定物１の各部分領域における面形状の計測データを取得し、図１３のフローチャートのＳ１２〜Ｓ１８を実行して、被測定物１の全体の面形状を求める。なお、実施形態１に限らず、他の実施形態も適用できる。なお、記憶部１０２には、ネットワーク又は各種記憶媒体を介して、上述した実施形態の機能を実現するソフトウェア（プログラム）が供給されてもよい。また、制御部１０が、形状計測装置の外部にあってもよく、プロセッサ等が形状計測装置とは独立したコンピュータを構成していてもよい。

＜物品の製造方法の実施形態＞
本実施形態における物品の製造方法は、例えば、金属部品や光学素子等の物品を製造する際に用いられる。本実施形態の物品の製造方法は、上記の形状計測装置を用いて被検物の形状を計測する工程と、かかる工程における計測結果に基づいて被検物を加工する工程とを含む。例えば、被検物の形状を計測装置を用いて計測し、その計測結果に基づいて、被検物の形状が設計値になるように当該被検物を加工（製造）する。本実施形態の物品の製造方法は、計測装置により高精度に被検物の形状を計測できるため、従来の方法に比べて、物品の性能・品質・生産性・生産コストの少なくとも１つにおいて有利である。

Claims (8)

1. 被検面における第１の部分領域の第１の形状の計測データを取得するとともに、前記第１の部分領域と一部が重複する第２の部分領域の第２の形状の計測データを取得する取得部と、
   前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて共通の誤差である系統誤差と、前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて異なり、形状を維持したままの回転と並進の誤差である姿勢誤差とを補償するパラメータを含む評価関数であって、前記第１の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第１の形状を変える第１の形状補正パラメータと、前記第２の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第２の形状を変える第２の形状補正パラメータとを変数として、前記第１の形状補正パラメータで前記第１の形状の計測データを補正して得られる形状データと前記第２の形状補正パラメータで前記第２の形状の計測データを補正して得られる形状データとを評価する評価関数の値が許容範囲内になるように、前記第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を決定する決定部と、
   前記決定された第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を用いて前記第１及び第２の形状の計測データを補正し、前記補正して得られた形状データを合成して、前記第１及び第２の部分領域を含む全体領域の形状データを生成する合成部と、
   を有することを特徴とする形状算出装置。
2. 前記評価関数は、前記第１の形状の計測データと前記第２の形状の計測データとの重み付け二乗誤差であり、前記第１の形状の計測データの重みは前記第１の形状補正パラメータを含み、前記第２の形状の計測データの重みは前記第２の形状補正パラメータを含むことを特徴とする請求項１に記載の形状算出装置。
3. 前記評価関数は、前記全体領域の設計形状データと前記第１及び第２の形状の計測データとの重み付け二乗誤差であり、前記設計形状データの重みは前記全体領域の形状を補正するためのパラメータを含み、前記第１及び第２の形状の計測データの重みはそれぞれ前記第１及び第２の形状補正パラメータを含むことを特徴とする請求項１に記載の形状算出装置。
4. 前記合成部で生成された前記全体領域の形状データの高次空間周波数成分と、前記評価関数に代えて前記第１及び第２の形状補正パラメータを含まない第２の評価関数を用いた際に前記合成部で得られる前記全体領域の形状データの低次空間周波数成分とを合成した形状データを生成する制御部を更に有することを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載の形状算出装置。
5. 被検面の形状を計測する計測装置であって、
   前記計測装置は、請求項１乃至４のいずれか１項に記載の形状算出装置を有し、
   前記計測装置は、前記被検面における第１の部分領域の形状を計測し、第２の部分領域に形状を計測し、
   前記形状算出装置は、計測された前記第１の部分領域の第１の形状の計測データを取得するとともに、計測された前記第２の部分領域の第２の形状の計測データを取得する
   ことを特徴とする計測装置。
6. 被検面における第１の部分領域の第１の形状の計測データを取得するとともに、前記第１の部分領域と一部が重複する第２の部分領域の第２の形状の計測データを取得する取得工程と、
   前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて共通の誤差である系統誤差と、前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて異なり、形状を維持したままの回転と並進の誤差である姿勢誤差とを補償するパラメータを含む評価関数であって、前記第１の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第１の形状を変える第１の形状補正パラメータと、前記第２の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第２の形状を変える第２の形状補正パラメータとを変数として、前記第１の形状補正パラメータで前記第１の形状の計測データを補正して得られる形状データと前記第２の形状補正パラメータで前記第２の形状の計測データを補正して得られる形状データとを評価する評価関数の値が許容範囲内になるように、前記第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を決定する決定工程と、
   前記決定された第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を用いて前記第１及び第２の形状の計測データを補正し、前記補正して得られた形状データを合成して、前記第１及び第２の部分領域を含む全体領域の形状データを生成する合成工程と、
   を有することを特徴とする形状算出方法。
7. 被検面の第１の部分領域および第２の部分領域の形状を計測する計測工程と、
   請求項６に記載の形状算出方法を用いて、前記第１及び第２の部分領域を含む全体領域の形状を求める算出工程と、
   該算出された全体領域の形状に基づいて前記全体領域の面を加工する工程と、
   を含むことを特徴とする物品製造方法。
8. コンピュータに、
   被検面における第１の部分領域の第１の形状の計測データを取得するとともに、前記第１の部分領域と一部が重複する第２の部分領域の第２の形状の計測データを取得する取得工程と、
   前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて共通の誤差である系統誤差と、前記第１の部分領域と前記第２の部分領域とにおいて異なり、形状を維持したままの回転と並進の誤差である姿勢誤差とを補償するパラメータを含む評価関数であって、前記第１の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第１の形状を変える第１の形状補正パラメータと、前記第２の形状の計測データに含まれる計測誤差を補償するために前記第２の形状を変える第２の形状補正パラメータとを変数として、前記第１の形状補正パラメータで前記第１の形状の計測データを補正して得られる形状データと前記第２の形状補正パラメータで前記第２の形状の計測データを補正して得られる形状データとを評価する評価関数の値が許容範囲内になるように、前記第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を決定する決定工程と、
   前記決定された第１の形状補正パラメータ及び前記第２の形状補正パラメータの値を用いて前記第１及び第２の形状の計測データを補正し、前記補正して得られた形状データを合成して、前記第１及び第２の部分領域を含む全体領域の形状データを生成する合成工程と、
   を実行させるためのプログラム。