JP4063429B2

JP4063429B2 - 半導体圧力センサの調整方法

Info

Publication number: JP4063429B2
Application number: JP35085198A
Authority: JP
Inventors: 和之加藤
Original assignee: Fuji Electric Device Technology Co Ltd
Current assignee: Fuji Electric Co Ltd
Priority date: 1998-12-10
Filing date: 1998-12-10
Publication date: 2008-03-19
Anticipated expiration: 2018-12-10
Also published as: JP2000180280A

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、自動車や民生機器に広く用いられている半導体圧力センサおよびその調整方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
半導体圧力センサは小型、軽量で、耐環境性がよく、高精度に圧力を検知および計測できるセンサである。そのため、自動車のエンジンに最適条件で燃料を供給するシステムに使用されたり、また各種空気圧やガス圧などを計測するシステムに使用されている。
【０００３】
この半導体圧力センサは、周囲の環境条件に左右されず、センサに加わる圧力に応じて精度良く出力電圧を出力することが求められている。そのために、半導体圧力センサの製造プロセスで、圧力に応じて目標の出力電圧が出力されるように、調整することが重要となる。
【０００４】
図２は従来の半導体圧力センサの要部構成図である。この構成図は主要部の概略図である。半導体圧力センサは、センシング部２１と信号処理回路部２で構成される。センシング部２１は４個の半導体歪みゲージ４でブリッジ回路３が構成されている。このブリッジ回路３の入力点がａ点、ｂ点で、出力点がｃ点、ｄ点である。ａ点、ｂ点には電源電圧のＶCCとＶGND がＶCC端子５およびＶGND 端子７から入力され、ｃ点の電位とｄ点の電位の差の電圧、つまり、ブリッジ回路３の出力電圧がセンシング部２１の出力電圧で信号処理回路部２の入力電圧ＶINとなる。以後、センシング部２１の出力電圧、ブリッジ回路３の出力電圧もＶINと表示する。このセンシング部２１の出力電圧はブリッジ回路３の出力電圧そのものである。また、信号処理回路部２は２個の演算増幅回路ＯＰ１、ＯＰ２および抵抗Ｒ１、抵抗Ｒ２、抵抗Ｒ３および抵抗Ｒ４で構成される。ブリッジ回路３の出力点であるｃ点とＯＰ１の＋入力端子と接続し、ＯＰ１の−入力端子とＯＰ１の出力端子と接続し、インピーダンス変換のバッファ回路となる。ｄ点はＯＰ２の＋入力端子と接続し、−入力端子はＲ４を介して出力端子と接続し、反転増幅回路となる。また、ＯＰ２の出力電圧ＶOUT がＶOUT 端子６から出力される。
【０００５】
ＯＰ１の出力端子とＲ１と接続し、Ｒ１はＲ２とＲ３の接続点に接続する。この接続点はＯＰ２の−入力端子に接続する。またＲ２はＶCCと接続し、Ｒ３はＶGND に接続する。
ブリッジ回路３のｃ点、ｄ点にはリード線２４、２５を介して調整用端子２２、２３と接続する。この調整用端子２２、２３はブリッジ回路３の出力電圧を測定するための端子で、半導体圧力センサの出力電圧が、圧力に対して目標通りの電圧値になるように、調整する場合に用いる調整用端子である。
【０００６】
この半導体圧力センサの調整方法について概略を説明する。センシング部２１の出力電圧ＶINは、Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３、Ｒ４およびＯＰ１、ＯＰ２で構成された信号処理回路部２で増幅され、出力端子からＶOUT として出力される。この信号処理回路部２の増幅度は、Ｒ１の値を変化させることで、おおよそ−（Ｒ４／Ｒ１）という値で調整される。また、信号処理回路部２のオフセット調整はＲ２、Ｒ３の値を変化させて調整される。
【０００７】
つぎに、従来の半導体圧力センサにおいて、信号処理回路部２の増幅度を調整する手順ついて具体的に説明する。
１．圧力Ｐ１の場合のブリッジ回路３の出力電圧ＶIN1 と半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT51 を測定する。
２．圧力Ｐ２の場合のブリッジ回路の出力電圧ＶIN2 と半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT52 を測定する。
３．Ｐ１、Ｐ２、ＶIN1 、ＶIN2 、ＶOUT51 、ＶOUT52 の値を基に、圧力Ｐ２において、信号処理回路部２の増幅度を調整し、出力電圧を目標値ＶOAの値にする。その式は次式で表される。
【０００８】
【数１】
ＶOA＝ＶOUT52 −〔（（ＶOUT52 −ＶOUT51 ）／（ＶIN2 −ＶIN1 ））−（ＶSO／（ＶIN2 −ＶIN1 ））×ＶIN2 ・・・・（１）
〔ただし、ＶSOは（ＶOUT52 −ＶOUT51 ）の調整目標値〕
４．上記の目標値ＶOAになるように、（ＶOUT52 −ＶOUT51 ）の値をＶSOとなるように、調整抵抗であるＲ１をトリミングなどの手法で調整する。
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、この調整方法では、直接、ブリッジ回路３の出力電圧ＶINを求める必要がある。これは、調整精度が高いという利点はあるが、つぎのような、問題点もある。
１．ブリッジ回路３の出力信号ＶINを直接測定し、且つ、Ｒ１を調整するために使用される調整用端子２２、２３を設ける必要があり、ブリッジ回路３のＣ点およびＤ点と調整用端子２２、２３とをリード線２４、２５で接続する必要がある。
２．この調整用端子２２、２３とリード線２４、２５を半導体チップ上に設ける必要があるために、半導体チップが大きくなる。また、このリード線２４、２５にノイズが乗り、信号処理回路部２が誤動作して、高精度の圧力測定および検出ができない。
【００１０】
この発明の目的は、前記の課題を解決して、調整用端子を不要とし、チップサイズの小さな、耐ノイズ性の高い半導体圧力センサおよびその調整方法を提供することにある。
【００１１】
【課題を解決するための手段】
前記の目的を達成するために、複数の半導体歪みゲージを半導体ダイヤフラムの表面層に分散形成したセンシング部と、圧力変化に応じて該センシング部から発生する電気信号を増幅し、且つ、増幅度の調整を抵抗体のトリミングにより行う信号処理回路部とを、同一半導体基板に集積し、前記信号処理回路部の出力を外部へ出力する信号出力端子、電源電圧端子およびグランド端子以外の外部接続端子が前記半導体基板上にない半導体圧力センサの調整方法において、値が異なる２つの圧力（Ｐ１、Ｐ２）を前記センシング部に加え、その値の異なる２つの圧力に相当する、１回目の半導体圧力センサの出力電圧（ＶOUT11、ＶOUT12）を測定し、１回目の増幅度の調整を行った後で、再度、前記と同一の値の異なる２つの圧力（Ｐ１、Ｐ２）を前記センシング部に加え、該圧力に相当する２回目の半導体圧力センサの出力電圧（ＶOUT21、ＶOUT22）を測定し、１回目の半導体圧力センサの出力電圧の値と、２回目の半導体圧力センサの出力電圧の値を基に、下記（イ）式より、半導体圧力センサの目標出力電圧を算出し、半導体圧力センサの出力が該目標出力値となるように２回目の増幅度の調整を行う構成とする。
ＶOUT＝ＫＮ×Ｐ＋Ｂ×Ｇ（Ｒ）＋Ｃ・・・（イ）
（ここで、ＶOUTは目標出力電圧、Ｐは既知の圧力、ＫＮは目標感度、Ｂは定数、Ｇ（Ｒ）は増幅度、Ｃはオフセット成分、
Ｂ×Ｇ（Ｒ）＝ＲＳＰ１×Ｂ×Ｇ（Ｒ11）・・・（ロ）
ＲＳＰ１＝ＫＮ×（Ｐ２−Ｐ１）÷（ＶOUT22−ＶOUT21）・・・（ハ）
である。
上記ＣおよびＢ×Ｇ（Ｒ11）については、（ニ．１）式ないし（ニ．４）式から導く。
ＶOUT11＝Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ１＋Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・（ニ．１）
ＶOUT12＝Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ２＋Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・（ニ．２）
ＶOUT21＝Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ１＋Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＋Ｃ・・・（ニ．３）
ＶOUT22＝Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ２＋Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＋Ｃ・・・（ニ．４）
ここで、Ａ×Ｇ（Ｒ10）は１回目の感度、Ａ×Ｇ（Ｒ11）は２回目の感度、Ｇ（Ｒ10）は１回目の増幅度、Ｇ（Ｒ11）は２回目の増幅度、
上記（ニ．１）式から（ニ．４）式より、
Ａ×Ｇ（Ｒ10）＝（ＶOUT12−ＶOUT11）÷（Ｐ２−Ｐ１）・・・（ホ．１）
Ａ×Ｇ（Ｒ11）＝（ＶOUT22−ＶOUT21）÷（Ｐ２−Ｐ１）・・・（ホ．２）
ここでスパン比率ＲＳＰ＝（ＶOUT22−ＶOUT21）／（ＶOUT12−ＶOUT11）であるため、Ｇ（Ｒ11）は次式で表される。
Ｇ（Ｒ11）＝Ｇ（Ｒ10）×ＲＳＰ・・・（へ）
また、（ホ．１）式を（ホ．１）式に、（ニ．２）式を（ニ．３）式に代入すると、圧力Ｐに関係しない項Ｚ（Ｒ10）、Ｚ（Ｒ11）は次式で求められる。
Ｚ（Ｒ10）＝（ＶOUT11−Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ１）＝Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・（ト）
Ｚ（Ｒ11）＝（ＶOUT21−Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ１）＝Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＋Ｃ・・・（チ）
さらに、（ヘ）式、（ト）式、（チ）式を連立することにより、次式が得られる。
Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＝（Ｚ（Ｒ10）―Ｚ（Ｒ10）÷（ＲＳＰ−１）・・・（リ）
Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＝Ｂ×Ｇ（Ｒ10）×ＲＳＰ・・・（ヌ）
Ｃ＝Ｚ（Ｒ10）−（Ｚ（Ｒ11）−Ｚ（Ｒ10））÷ＲＳＰ−１）・・・（ル））
【００１３】
前記の調整方法を採用することで、調整端子を削除できる。また、調整端子を削除することで、半導体チップの大きさを小型化でき、また、耐ノイズ性を高めることができる。
【００１４】
【発明の実施の形態】
図１は、この発明の第１実施例の半導体圧力センサの要部構成図である。この構成図は主要部の概略図である。半導体圧力センサは、センシング部１と信号処理回路部２で構成される。センシング部１は４個の半導体歪みゲージ４でブリッジ回路３が構成されている。このブリッジ回路３の入力点がａ点、ｂ点で、出力点がｃ点、ｄ点である。ａ点、ｂ点には電源電圧のＶCCとＶGND がＶCC端子５およびＶGND 端子７から入力され、ｃ点の電位とｄ点の電位の差の電圧がセンシング部１の出力電圧となり、この出力電圧が信号処理回路部２の入力電圧ＶINとなる。尚、この信号処理回路部２の入力電圧ＶINは、センシング部１の出力電圧やブリッジ回路３の出力電圧と同一となるために、以後、これらの出力電圧もＶINと表示する。また、信号処理回路部２は２個の演算増幅回路ＯＰ１、ＯＰ２と抵抗Ｒ１、抵抗Ｒ２、抵抗Ｒ３および抵抗Ｒ４で構成される。ブリッジ回路３の一方の出力点であるｃ点とＯＰ１の＋入力端子と接続し、ＯＰ１の−入力端子とＯＰ１の出力端子と接続し、インピーダンス変換のバッファ回路９とする。ｄ点とＯＰ２の＋入力端子と接続し、ＯＰ２の−入力端子と出力端子とを、Ｒ４を介して接続する。Ｒ１、Ｒ４およびＯＰ２で反転増幅回路８を構成し、ＯＰ２の出力電圧ＶOUT が信号処理回路部２の出力電圧として、ＶOUT 端子６から出力される。
【００１５】
ＯＰ１の出力端子とＲ１と接続し、Ｒ１はＲ２とＲ３の接続点に接続する。この接続点はＯＰ２の−入力端子に接続する。またＲ２はＶCC端子５と接続し、Ｒ３はＶGND 端子７に接続する。前記のブリッジ回路３のｃ点、ｄ点には、従来のように、リード線２４、２５を介して接続される調整用端子２２、２３は設置していない。
【００１６】
つぎに、この発明の第２実施例で、半導体圧力センサの調整方法について説明する。半導体圧力センサの調整とは、図１における信号処理回路部２の増幅度を調整することである。
１．既知の異なる圧力Ｐ１、Ｐ２を与えて、半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT1、ＶOUT2を測定する。
２．増幅度の調整用であるＲ１をトリミングなどで粗調整する。この粗調整は小さなトリミング量にして、目標値に達する前（Ｒ１の目標値より小さな値）で止める。
３．再度、前記した圧力Ｐ１、Ｐ２を与えて、半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT3、ＶOUT4を測定する。
４．測定されたＰ１、Ｐ２、ＶOUT1、ＶOUT2、ＶOUT3、ＶOUT4のデータを用いて、下記の式に基づいて、半導体圧力センサの出力電圧の目標値ＶO を求める。
半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT は一般的に次式で求められる。
【００１７】
【数２】
ＶOUT ＝ＶIN×Ｇ（Ｒ１）＋Ｃ・・・・（２）
ここで、ＶINはブリッジ回路の出力電圧、Ｇ（Ｒ１）はＲ１の関数となる信号処理回路部２の増幅度、ＣはＲ１に依存しないオフセット成分である。
さらに、前記のＶINは次式で表される。
【００１８】
【数３】
ＶIN＝Ａ×Ｐ＋Ｂ・・・・・・・・・・（３）
ここで、Ｐは圧力で、Ｂは定数である。
（３）式を（２）式に代入すると、半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT は次式で表される。
【００１９】
【数４】
ＶOUT ＝Ａ×Ｇ（Ｒ１）×Ｐ＋Ｂ×Ｇ（Ｒ１）＋Ｃ・・・・（４）
第１調整前の抵抗Ｒ１の値をＲ10とし、第１調整後の抵抗をＲ11とすると、第１調整前と第１調整後の半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT1, ＶOUT2は次式で表される。また、値の異なる２つの圧力Ｐ１、Ｐ２を与えた場合の第１調整前の出力電圧をＶOUT11 、ＶOUT12 、第１調整後の出力電圧をＶOUT21 、ＶOUT22 とする。
【００２０】
【数５】
ＶOUT11 ＝Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ１＋Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・・（５．１）
ＶOUT12 ＝Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ２＋Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・・（５．２）
ＶOUT21 ＝Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ１＋Ｂ×Ｇ（Ｒ11) ＋Ｃ・・・・（５．３）
ＶOUT22 ＝Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ２＋Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＋Ｃ・・・・（５．４）
（５．１）式から（５．４）式により、第１調整前後におけるはっ導体圧力センサの出力感度Ａ×Ｇ（Ｒ10）、Ａ×Ｇ（Ｒ11）は次式で求められる。
【００２１】
【数６】
Ａ×Ｇ（Ｒ10）＝（ＶOUT12 −ＶOUT11 ）÷（Ｐ２−Ｐ１）・・・（６．１）
Ａ×Ｇ（Ｒ11）＝（ＶOUT22 −ＶOUT21 ）÷（Ｐ２−Ｐ１）・・・（６．２）
ここでスパン比率ＲＳＰ＝（ＶOUT22 −ＶOUT21 ）／（ＶOUT12 −ＶOUT11 ）であるため、Ｇ（Ｒ11) は次式で表される。
【００２２】
【数７】
Ｇ（Ｒ11) ＝Ｇ（Ｒ10) ×ＲＳＰ・・・・・・（７）
また、（６．１）式を（５．１）式に、（６．２）式を（５．３）式に代入すると、圧力Ｐに関係しない項であるＺ（Ｒ10）、Ｚ（Ｒ11) は次式で求められる。
【００２３】
【数８】

更に（７）式、（８）式、（９）式を連立することにより、次式が得られる。
【００２４】
【数９】
Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＝（Ｚ（Ｒ11) −Ｚ（Ｒ10））÷（ＲＳＰ−１）・・・（10)
Ｂ×Ｇ（Ｒ11) ＝Ｂ×Ｇ（Ｒ10）×ＲＳＰ・・・・・・・・・・・・・（11)
Ｃ＝Ｚ（Ｒ10）−（Ｚ（Ｒ11) −Ｚ（Ｒ10））÷（ＲＳＰ−１）・・・（12)
となり、（５．１）式から（５．４）式の全ての項を求めることができる。
【００２５】
さらに、この後、抵抗Ｒ１を再調整、つまり第２調整をして抵抗をＲ12とすると、半導体圧力センサの感度を最終値ＫＮ（目標感度）にしたときの、半導体圧力センサの出力値ＶOUT31 を求めると、次式のようになる。
【００２６】
【数１０】
ＶOUT31 ＝ＫＮ×Ｐ１＋Ｂ×Ｇ（Ｒ12）＋Ｃ・・・（１３）
ここで、
【００２７】
【数１１】
Ｂ×Ｇ（Ｒ12）＝ＲＳＰ１×Ｂ×Ｇ（Ｒ11）・・・・（１４）
ＲＳＰ１＝ＫＮ×（Ｐ２−Ｐ１）÷（ＶOUT22−ＶOUT21）・・・（１５）
である。５．圧力Ｐ１をかけた状態で、半導体圧力センサの出力電圧ＶOUT が（１３）式のＶOUT31 になるように抵抗Ｒ１の調整をする。つまり、Ｒ１をＲ12になるように調整する。
【００２８】
こうすることで、ブリッジ回路３の出力電圧、つまり、ｃ点およびｄ点の電位を直接測定しなくても半導体圧力センサの信号処理回路部２の増幅度の調整が可能となる。その結果、図２の回路で必要とした調整用端子２２、２３を削除できて、ノイズに強く、また、チップサイズの小さな半導体圧力センサと製作することができる。
【００２９】
【発明の効果】
この発明によれば、値の異なる２つの圧力を半導体圧力センサに与えて、信号処理回路の抵抗Ｒ１の値を調整し、調整前後の半導体圧力センサの出力電圧の電圧値から、信号処理回路の増幅度を目標値を決定し、この目標値になるように、再度、抵抗Ｒ１の値を調整することで、信号処理回路の増幅度を的確に調整できる。この一連の操作では、センシング部の出力電圧を直接測定する必要がないために、調整端子が削除できる。その結果、半導体チップの大きさを小さくでき、且つ、耐ノイズ性を高めることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明の一実施例の半導体圧力センサの要部構成図
【図２】従来の半導体圧力センサの要部構成図
【符号の説明】
１センシング部
２信号処理回路部
３ブリッジ回路
４半導体歪みゲージ
５ＶCC端子
６ＶOUT 端子
７ＶGND 端子
８反転増幅回路
９バッファ回路
２１センシング部
２２、２３調整用端子
２４、２５リード線

Claims

複数の半導体歪みゲージを半導体ダイヤフラムの表面層に分散形成したセンシング部と、圧力変化に応じて該センシング部から発生する電気信号を増幅し、且つ、増幅度の調整を抵抗体のトリミングにより行う信号処理回路部とを、同一半導体基板に集積し、前記信号処理回路部の出力を外部へ出力する信号出力端子、電源電圧端子およびグランド端子以外の外部接続端子が前記半導体基板上にない半導体圧力センサの調整方法において、値が異なる２つの圧力（Ｐ１、Ｐ２）を前記センシング部に加え、その値の異なる２つの圧力に相当する、１回目の半導体圧力センサの出力電圧（ＶOUT11、ＶOUT12）を測定し、１回目の増幅度の調整を行った後で、再度、前記と同一の値の異なる２つの圧力（Ｐ１、Ｐ２）を前記センシング部に加え、該圧力に相当する２回目の半導体圧力センサの出力電圧（ＶOUT21、ＶOUT22）を測定し、１回目の半導体圧力センサの出力電圧の値と、２回目の半導体圧力センサの出力電圧の値を基に、下記（イ）式より、半導体圧力センサの目標出力電圧を算出し、半導体圧力センサの出力が該目標出力値となるように２回目の増幅度の調整を行うことを特徴とする半導体圧力センサの調整方法。
ＶOUT＝ＫＮ×Ｐ＋Ｂ×Ｇ（Ｒ）＋Ｃ・・・（イ）
（ここで、ＶOUTは目標出力電圧、Ｐは既知の圧力、ＫＮは目標感度、Ｂは定数、Ｇ（Ｒ）は増幅度、Ｃはオフセット成分、
Ｂ×Ｇ（Ｒ）＝ＲＳＰ１×Ｂ×Ｇ（Ｒ11）・・・（ロ）
ＲＳＰ１＝ＫＮ×（Ｐ２−Ｐ１）÷（ＶOUT22−ＶOUT21）・・・（ハ）
である。
上記ＣおよびＢ×Ｇ（Ｒ11）については、（ニ．１）式ないし（ニ．４）式から導く。
ＶOUT11＝Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ１＋Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・（ニ．１）
ＶOUT12＝Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ２＋Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・（ニ．２）
ＶOUT21＝Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ１＋Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＋Ｃ・・・（ニ．３）
ＶOUT22＝Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ２＋Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＋Ｃ・・・（ニ．４）
ここで、Ａ×Ｇ（Ｒ10）は１回目の感度、Ａ×Ｇ（Ｒ11）は２回目の感度、Ｇ（Ｒ10）は１回目の増幅度、Ｇ（Ｒ11）は２回目の増幅度、
上記（ニ．１）式から（ニ．４）式より、
Ａ×Ｇ（Ｒ10）＝（ＶOUT12−ＶOUT11）÷（Ｐ２−Ｐ１）・・・（ホ．１）
Ａ×Ｇ（Ｒ11）＝（ＶOUT22−ＶOUT21）÷（Ｐ２−Ｐ１）・・・（ホ．２）
ここでスパン比率ＲＳＰ＝（ＶOUT22−ＶOUT21）／（ＶOUT12−ＶOUT11）であるため、Ｇ（Ｒ11）は次式で表される。
Ｇ（Ｒ11）＝Ｇ（Ｒ10）×ＲＳＰ・・・（へ）
また、（ホ．１）式を（ホ．１）式に、（ニ．２）式を（ニ．３）式に代入すると、圧力Ｐに関係しない項Ｚ（Ｒ10）、Ｚ（Ｒ11）は次式で求められる。
Ｚ（Ｒ10）＝（ＶOUT11−Ａ×Ｇ（Ｒ10）×Ｐ１）＝Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＋Ｃ・・・（ト）
Ｚ（Ｒ11）＝（ＶOUT21−Ａ×Ｇ（Ｒ11）×Ｐ１）＝Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＋Ｃ・・・（チ）
さらに、（ヘ）式、（ト）式、（チ）式を連立することにより、次式が得られる。
Ｂ×Ｇ（Ｒ10）＝（Ｚ（Ｒ10）―Ｚ（Ｒ10）÷（ＲＳＰ−１）・・・（リ）
Ｂ×Ｇ（Ｒ11）＝Ｂ×Ｇ（Ｒ10）×ＲＳＰ・・・（ヌ）
Ｃ＝Ｚ（Ｒ10）−（Ｚ（Ｒ11）−Ｚ（Ｒ10））÷ＲＳＰ−１）・・・（ル））