JP3886559B2 - 不定形セルパターンを生成する方法および装置 - Google Patents
不定形セルパターンを生成する方法および装置 Download PDFInfo
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、多数の不定形セルからなるパターンをコンピュータを利用して生成するための生成方法および生成装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、コンピュータグラフィックスの技術進歩により、種々の模様やパターンをコンピュータを利用して生成する手法が確立されてきており、手描では到底不可能であった斬新な模様をコンピュータを利用して比較的簡単に生成することが可能になってきている。また、もとになるデジタル画像に対して種々のエフェクトをかけることにより、全く新しいイメージをもった画像を生成する技術も普及しており、グラフィックデザイン用のアプリケーションソフトウエアも様々なものが市販されるに至っている。このような模様やパターンは、チラシやカタログ類などの紙製品への印刷をはじめとして、壁板やドアなどの建材表面への印刷やエンボス加工、家具表面を構成する化粧板への印刷やエンボス加工など、あらゆる分野で広く利用されている。また、最近では、いわゆるマルチメディアの普及により、単にディスプレイ画面に表示することだけを目的として、種々の模様やパターンが利用されることも少なくない。
【０００３】
このように、コンピュータを利用して生成されるパターンの一態様として、多数の不定形セルからなるパターンが用いられている。この不定形セルパターンは、動物の皮膚、植物の細胞や微細組織などを表現するのに適しており、コンピュータグラフィックスの分野において、動植物のモデリングを行う際に表面にマッピングするテクスチャ模様として用いられることが多い。
【０００４】
この不定形セルパターンは、小さな不定形多角形を多数セル状に配置してなるパターンであり、このようなパターンをコンピュータを利用して生成するための手法としては、ボロノイ図（Voronoi diagram ）を利用する方法が一般的である。ボロノイ図は、平面上に多数の母点を定義し、各母点の勢力圏を数学的に定義し、こうして定義された個々の勢力圏からなる多角形によって平面を構成することにより得られ、いわば平面を多数のセルに分割した図ともいうべきものである。予め、母点の分布状態の設定と勢力圏の数学的定義とを行っておけば、コンピュータによる数学的な演算によって、比較的容易にボロノイ図を得ることができる。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
上述したように、現在のコンピュータグラフィックスの分野においては、ボロノイ図を利用して不定形セルパターンを生成するのが一般的である。通常は、平面上に一様乱数を用いて全くランダムに母点を定義し、これらの母点に基づいてボロノイ図を作成して不定形セルパターンを生成する方法が採られている。しかしながら、こうして生成された不定形セルパターンは、確かに、不規則な大きさおよび不規則な形状をもった多数のセルの集合からなるパターンにはなるが、動物の皮膚、植物の細胞や微細組織など、動植物の組織を表現するパターンとしては、不自然さが残り、決して十分なパターンにはなっていないのが実情である。特に、従来の方法では、動植物に特有な「流れ」の要素を表現することができず、動植物としての生命感に乏しいパターンしか得られない。
【０００６】
そこで本発明は、動植物に特有な「流れ」の要素を表現することにより、生命感のある不定形セルパターンを生成する新規な手法を提供することを目的とする。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
(1) 本発明の第１の態様は、多数の不定形セルからなるパターンを生成する方法において、
コンピュータが、個々のセルの核となるべき多数の母点を規則的に配置する第１の段階と、
コンピュータが、空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を用意する第２の段階と、
コンピュータが、配置した多数の母点を、用意したフラクタル場を用いてそれぞれ変位させる第３の段階と、
コンピュータが、変位後の母点に対するボロノイ図を作成する第４の段階と、
を行い、作成したボロノイ図に基づいてパターンを生成するようにしたものである。
【０００８】
(2) 本発明の第２の態様は、上述の第１の態様に係る方法において、
第１の段階で、母点を二次元平面上に配置し、
第２の段階で、所定のスカラー値を自己相似的に二次元平面上の各格子点に定義した二次元フラクタル格子を用意し、
第３の段階で、母点が配置された平面上に二次元フラクタル格子を重ね、各母点と各格子点との相互位置関係に基づいて、各母点に特定の格子点を対応づけ、対応する格子点に定義されたスカラー値に基づいて各母点を所定方向に変位させるようにしたものである。
【０００９】
(3) 本発明の第３の態様は、上述の第２の態様に係る方法において、
第１の段階で、母点をＸＹ平面上に配置し、
第２の段階で、２つのそれぞれ独立した二次元フラクタル格子を用意し、
第３の段階で、各母点を、第１の二次元フラクタル格子の格子点に定義されたスカラー値に基づいてＸ軸方向に移動させ、第２の二次元フラクタル格子の格子点に定義されたスカラー値に基づいてＹ軸方向に移動させるようにしたものである。
【００１０】
(4) 本発明の第４の態様は、上述の第１〜３の態様に係る方法において、
第１の段階で、三角形、四角形もしくは六角形からなるボロノイ多角形が形成されるように、所定平面上に規則的に母点を配置するようにしたものである。
【００１１】
(5) 本発明の第５の態様は、上述の第１〜４の態様に係る方法において、
第４の段階で、任意の点をユークリッド距離が最も小さい母点の勢力圏に所属させることによりボロノイ図を作成するようにしたものである。
【００１２】
(6) 本発明の第６の態様は、多数の不定形セルからなるパターンを生成する装置において、
所定のパラメータを入力するパラメータ入力手段と、
乱数を発生させる乱数発生手段と、
個々のセルの核となるべき多数の母点を、入力したパラメータに基づいて規則的に配置する母点配置手段と、
空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を、入力したパラメータに基づいて発生させるフラクタル場発生手段と、
多数の母点をフラクタル場を用いてそれぞれ変位させる母点変位手段と、
変位後の母点に対するボロノイ図を作成するボロノイ図作成手段と、
ボロノイ図に基づいてパターンを生成し、これを出力するパターン出力手段と、
を設けるようにしたものである。
【００１５】
【発明の実施の形態】
以下、本発明を図示する実施形態に基づいて説明する。はじめに、説明の便宜上、ボロノイ図についての簡単な説明を行うことにする。いま、図１に示すように、平面上に６個の母点Ｍ１〜Ｍ６を定義する。そして、この平面上の任意の点Ｐをどの母点の勢力圏に所属させるかという事項を数学的に定義する。通常、もっとも一般的に行われている定義は、「ユークリッド距離（いわゆる幾何学的な二点間の距離）が最も小さい母点の勢力圏に所属させる」という定義である。図１に示す例では、点Ｐに対して最もユークリッド距離が近い母点は母点Ｍ２であるから、点Ｐは母点Ｍ２の勢力圏に所属することになる。このように、平面上のすべての点を、母点Ｍ１〜Ｍ６のいずれかに所属させると、図２に示すように、各母点の勢力圏を示す多角形が得られる。この図２では、ハッチングを施した多角形が母点Ｍ２の勢力圏に相当する。すなわち、母点Ｍ２は、このハッチング領域内のすべての点に対してユークリッド距離が最も小さい母点となる。こうして得られる多角形はボロノイ多角形と呼ばれ、このボロノイ多角形の集合がボロノイ図（Voronoi diagram ）になる。要するに、ボロノイ図とは、平面上にｎ個の母点Ｍ１，Ｍ２，…，Ｍｉ，…Ｍｎを定義したときの各母点の勢力圏を示す多角形の集合により、平面を分割した状態を示す図ということができる。
【００１６】
このボロノイ図を作成するにあたり、予め規則的に母点を配置しておくようにすると、作成されるボロノイ図が示す平面分割パターンも規則的なものになる。たとえば、図３に示すように、同一の正三角形によって平面を埋め尽くすようにし、個々の正三角形の頂点位置に個々の母点Ｍｉをそれぞれ定義してみる。このように規則的に配置された多数の母点Ｍｉに基づいてボロノイ図を作成すると、図４に示すような多数の正六角形Ｈｉがボロノイ多角形として得られることになり、平面はこの正六角形群によって規則的に分割される。
【００１７】
このように完全に規則的なセルパターンは、動植物の組織を表現するパターンとしては不適当である。そこで、動植物の組織を表現するために、図３に示す規則的な母点配置に対して、予めランダムな変位を与えておく手法が従来から採られている。たとえば、図３に示されている平面をＸＹ平面とし、図示された正三角形の頂点として規則的に配置された個々の母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）に対して、Ｘ軸方向の変位量ΔｘとＹ軸方向の変位量Δｙとをそれぞれ各母点ごとに乱数として発生させ、この変位量Δｘ，Δｙに基づいて各母点の新たな位置をＭｉ（ｘｉ＋Δｘ，ｙｉ＋Δｙ）とする変位（移動）を行う。個々の母点ごとにこのような変位を行えば、全体的にランダムに配置された母点群が得られることになる。このランダム配置された母点群についてボロノイ図を求めると、得られるセルパターンは不定形セルパターンとなり、動植物の組織を表現するパターンとしてより好ましいものになる。図５は、このような従来の手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。すなわち、この図５のパターンは、図３に示すように規則的に配置した母点に対して、一様乱数を用いたランダムな変位を行い、変位後の母点についてボロノイ図を求めることにより得られたパターンである。
【００１８】
この図５に示すパターンは、不定形のセルからなるパターンという意味では、確かに動植物の組織を表現するパターンとして利用可能であるが、動植物に特有な「流れ」の要素が表現されていないため、動植物としての生命感に乏しいパターンと言わざるを得ない。本願発明者は、動植物としての生命感に富んだ表現を行うためには、この「流れ」の要素をパターン中に表現することが不可欠であると考えており、従来の手法によって生成された不定形セルパターンに「流れ」の要素が表現されない理由は、規則的に配置された母点を変位させる過程において、個々の母点の変位量がそれぞれ全く独立して設定されているためであると考えている。すなわち、個々の母点ごとにそれぞれ一様乱数を用いてランダムな変位量を設定したとしても、隣接する母点同士でこの変位量に何ら相関関係がなければ、個々の母点が全く勝手に変位している状態しか得られず、そこには、動植物に特有な「流れ」の要素の入り込む余地はないのである。
【００１９】
本願発明者は、この「流れ」の要素をパターン内に取り込むために、フラクタル場を利用することを見いだした。一般に、「フラクタル場」とは、空間的な自己相似性をもった場を意味し、特に、空間的な自己相似性をもったフラクタル図形が、自然界の多くのものを表現するのに適していることは広く知られている。フラクタル図形の特徴は、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても、その複雑さは常に同じであるという点にある。自然界に見られる海岸線の形状、樹木や葉脈の形状、雪の結晶の形状、などは、いずれもこのフラクタル図形の代表的なものであり、ミクロ的に見てもマクロ的に見ても、入り組んだ独特の形状をしている。このような性質は一般に自己相似性と呼ばれており、フラクタル理論の本質は、この自己相似性にある。
【００２０】
このフラクタル理論を、より一般的に拡張すると、所定のスカラー値を自己相似的に個々の格子点に定義したフラクタル格子を考えることができる。たとえば、二次元フラクタル格子は、二次元平面上に配列された各格子点のそれぞれに、所定のスカラー値を定義したものであり、二次元スカラー場を与えるものである。この二次元スカラー場において、各スカラー値は、自然なゆらぎをもって空間的に変化することになる。別言すれば、この変化のパターンは、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても、その複雑さは常に同じ、すなわち自己相似的になる。また、この二次元スカラー場に定義された個々のスカラー値に方向性を与えることにより、二次元ベクトル場を定義することも可能である。本発明の基本思想は、このように方向性が定義されたフラクタル場に基づいて、規則的な母点を変位させることにより、「流れ」の要素を不定形セルパターン中に取り込む点にある。
【００２１】
図６は、本発明に係る不定形セルパターンの生成方法の基本手順を示す流れ図である。まず、ステップＳ１において、個々のセルの核となるべき多数の母点を規則的に配置する。たとえば、図３に示すように、規則的に配置された多数の母点Ｍｉが定義されることになる。続くステップＳ２において、空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場が用意される。具体的には、二次元フラクタルスカラー場を用意し、このスカラー場に方向性を定義することにより、フラクタルベクトル場として利用すればよい。そして、ステップＳ３において、ステップＳ１で配置した多数の母点を、ステップＳ２で用意したフラクタルベクトル場の示す方向へそれぞれ移動させる。これにより、個々の母点は、それぞれ変位することになるが、個々の母点の変位方向および変位量は、フラクタル場に基づいて決定されているため、この変位態様には、全体として自然界の「流れ」の要素が取り込まれていることになる。別言すれば、各母点の規則的な配置に対する変位態様は、自己相似性を有することになる。最後に、ステップＳ４において、この変位後の母点に対するボロノイ図が作成される。すなわち、二次元平面がボロノイ多角形によって分割されることになり、不定形セルパターンが得られる。
【００２２】
図７は、この図６に示す本発明に係る手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。すなわち、この図７のパターンは、図３に示すように規則的に配置した母点に対して、フラクタル場を用いた自己相似的な変位を行い、変位後の母点についてボロノイ図を求めることにより得られたパターンである。図５に示す従来のセルパターンと比較すると、いずれも不定形のセルからなるパターンという点では同じであるが、図７に示すパターンでは、明らかに動植物に特有な「流れ」の要素が表現されていることがわかる。たとえば、コンピュータグラフィックスの分野において、ワニやトカゲなどの爬虫類の皮膚にマッピングするテクスチャ模様として、図５に示すセルパターンと、図７に示すセルパターンとを比較してみれば、後者の方が動物の皮膚としての生命感が感じられることが認識できよう。
【００２３】
【実施例】
続いて、本発明をより具体的な実施例に基づいて説明する。
【００２４】
§１． 一次元フラクタル格子
本発明の根本的な思想は、フラクタル場によって表現される自然なゆらぎを、不定形セルパターンに反映させる点にある。そこで、はじめに、このフラクタル場についての簡単な説明を行うことにする。ここでは、一次元に配列された個々の格子点にスカラー量を定義してなる一次元フラクタル格子について、図を参照しながら説明する。
【００２５】
いま、図８に示すように、１本の線上に所定の距離だけ離して２つの格子点Ａ，Ｂ（図では二重の円で示す）を定義し、これら各格子点Ａ，Ｂにそれぞれスカラー値ａ，ｂを定義する。このように定義した２つの格子点Ａ，Ｂは、初期段階（以下、第０段階と呼ぶ）の格子点であり、スカラー値ａ，ｂは、この２つの格子点Ａ，Ｂに設定されたいわば初期条件である。
【００２６】
続いて、図９に示すように、２つの格子点Ａ，Ｂの中点に、第１段階の格子点Ｃを定義する。このとき、この格子点Ｃに対しても、スカラー値ｃを定義することになるが、このスカラー値ｃはスカラー値ａ，ｂに基づいて、所定の演算によって定義することになる。図９は、格子点Ｃのスカラー値ｃがまだ定まっていない状態を示している。なお、ここでは、スカラー値が未定義の状態の格子点を一重の円で示し、スカラー値が定義された状態の格子点を二重の円で示すことにする。スカラー値ｃは、次のような演算式
ｃ＝（ａ＋ｂ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (1)
によって計算される。ここで、ａおよびｂは、格子点ＡおよびＢについて定義されたスカラー値であり、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。このように、スカラー値ｃの定義には、乱数が用いられており、偶然の要素が左右することになる。ただし、スカラー値ｃとしては、全くデタラメな値が定義されるわけではなく、両隣の格子点Ａ，Ｂのスカラー値ａ，ｂと、最大半振幅値Ｔと、によって制限を受けることになる。すなわち、上述の式(1) に示されているように、スカラー値ａ，ｂの平均値に、−Ｔ〜＋Ｔの範囲内の任意の値（乱数によって定まる）を加えた値が、スカラー値ｃの値となる。したがって、最大半振幅値Ｔは、平均値からずれるゆらぎの程度を制限するパラメータとなる。
【００２７】
こうして、第１段階の格子点Ｃについてのスカラー値ｃが定義できたら、続いて、図１０に示すように、格子点Ａ，Ｃの中点および格子点Ｃ，Ｂの中点に、それぞれ第２段階の格子点Ｄ，Ｅを定義する。そして、これら格子点Ｄ，Ｅに対して、それぞれスカラー値ｄ，ｅを、
ｄ＝（ａ＋ｃ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (2)
ｅ＝（ｃ＋ｂ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (3)
なる式によって計算する。ここで、上述したように、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。式(2) ，(3) は、式(1) と非常に似ているが、最大半振幅値Ｔに（１／２）なる係数がかかっている点は留意すべきである。
【００２８】
続いて、第２段階までで定義された５つの格子点Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｂのそれぞれ中点に、第３段階の格子点を定義し、これらの格子点にもスカラー値を計算して定義する。たとえば、格子点Ａ，Ｄの中点として定義された格子点Ｆ（図示されていない）についてのスカラー値ｆは、
ｆ＝（ａ＋ｄ）／２ ＋ （１／４）・Ｔ・ＲＮＤ (4)
なる式によって計算される。この式(4) では、最大半振幅値Ｔに（１／４）なる係数がかかっている。
【００２９】
理解を容易にするために、以上のステップを実際の数値を用いて説明してみる。たとえば、図１１に示すように、第０段階の格子点Ａ，Ｂに対して、それぞれスカラー値「５０」，「８０」を初期条件として設定した場合を考える。このような２つの格子点Ａ，Ｂの中点として、図１２に示すように、第１段階の格子点Ｃが定義されることになるが、この場合、この格子点Ｃについて定義されるスカラー値ｃは、前述の式(1) により、
ｃ＝（５０＋８０）／２＋Ｔ・ＲＮＤ (1)
なる演算で与えられる。ここでは、ゆらぎの最大半振幅値Ｔ＝５と設定し、上式の演算時には、たまたま乱数ＲＮＤ＝＋０．６になったものとしよう。この場合、演算により求まるスカラー値ｃ＝６８となる。
【００３０】
続いて、格子点Ａ，Ｃおよび格子点Ｃ，Ｂの中点として、図１３に示すように、第２段階の格子点Ｄおよび格子点Ｅが定義されることになるが、この場合、これらの格子点Ｄ，Ｅについて定義されるスカラー値ｄ，ｅは、前述の式(2) ，(3) により、
ｄ＝（５０＋６８）／２＋（１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (2)
ｅ＝（６８＋８０）／２＋（１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (3)
なる演算で与えられる。ここで、上各式の演算時に、たまたま乱数ＲＮＤ＝−０．４、ＲＮＤ＝＋０．８になったものとすると、演算により求まるスカラー値ｄ＝５８、ｅ＝７６となる。結局、第２段階の格子点についてのスカラー値が求まった段階では、図１４に示すように、５つの格子点Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｂについて、それぞれスカラー値が定義されたことになる。
【００３１】
同様にして、これらの５つの格子点Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｂのそれぞれ中点に、第３段階の格子点を定義し、これらの格子点にもスカラー値を計算して定義し、更に、第４段階、第５段階、…、と同じ操作を繰り返し実行してゆく。このような操作を所定の有限回数ｎだけ繰り返し行ってゆけば、第０段階の格子点Ａ，Ｂの間に多数の格子点が定義され、これら各格子点には所定のスカラー値が定義されることになる。なお、第ｎ段階の格子点についてのスカラー値ｓの計算方法を一般式で示せば、
ｓ＝（α＋β）／２＋（１／２（ｎ−１））・Ｔ・ＲＮＤ (5)
となる。ここで、αおよびβは、その格子点の両隣の格子点のスカラー値（第（ｎ−１）段階で計算されている）であり、上述したように、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。
【００３２】
このような方法によって、所定のスカラー値をもった格子点を多数定義すると、これらの格子点は一次元フラクタル格子を構成することになる。このようなフラクタル格子の発生方法は、一般にランダム中点変位法と呼ばれている方法である。上述の具体例では、この一次元フラクタル格子の左端点に「５０」、右端点に「８０」、というスカラー値が定義され、これら両端点の間に定義された多数の格子点にも、それぞれ特有のスカラー値が定義される。いま、こうして求まった一次元フラクタル格子の配列方向を横軸にとり、個々のスカラー値を縦軸にとると、図１５に示すようなグラフが描かれることになる。このようなグラフは、たとえば、自然界の海岸線の形状に似た性質をもつ。すなわち、個々のスカラー値は、部分的に大きくなったり小さくなったりと、様々な分布をとることになるが、この分布パターンの複雑さは、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても同じになることが知られている。この性質をより具体的に説明すれば、図１５において、格子点ＡＢ間のグラフの複雑さも、格子点ＡＤ間のグラフの複雑さも、同じであり、また、この格子点ＡＤの間のごく微小区間を虫めがねで拡大して見た場合も、やはり同じ複雑さをもっているということである。別言すれば、個々のスカラー値は自己相似的に個々の格子点に定義されており、自然なゆらぎをもって空間的に増減変化していることになる。
【００３３】
§２． 二次元フラクタル格子
以上、単純な一次元のフラクタル格子をランダム中点変位法によって発生させる方法を、具体例を掲げながら説明を行ったが、後述する実施例において実際に用いられるフラクタル格子は、格子点が平面的に配列された二次元フラクタル格子である。そこで、ここでは、上述の一次元フラクタル格子で説明したランダム中点変位法を二次元に適用した方法の一例を述べておく。二次元フラクタル格子を発生させるには、第０段階の格子点として、図１６に示すように、正方形の４頂点に格子点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを配置し、それぞれスカラー値ａ，ｂ，ｃ，ｄを定義する。ここで、この正方形は、最終的に生成された二次元フラクタル格子の外形を形成する外形矩形である。
【００３４】
続いて、図１７に示すように、格子点ＡＢ間、ＢＣ間、ＣＤ間、ＤＡ間のそれぞれ中点に、第１段階の格子点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈを定義するとともに、４つの格子点ＡＢＣＤの対角線の交点に、もうひとつの第１段階の格子点Ｉを定義する。そして、これら５つの格子点について、それぞれスカラー値ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉを定義するが、これは次のような演算式
ｅ＝（ａ＋ｂ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (6)
ｆ＝（ｂ＋ｃ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (7)
ｇ＝（ｃ＋ｄ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (8)
ｈ＝（ｄ＋ａ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (9)
ｉ＝ (a+b+c+d)／４ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (10)
によって計算される。なお、一次元フラクタル格子の例と同様に、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。
【００３５】
こうして、第１段階の格子点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉについてのスカラー値ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉが定義できたら、続いて、図１８に示すように、隣接する各格子点の中点および４つの格子点の対角線の交点に、それぞれ第２段階の格子点Ｊ，Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ，…を定義する（繁雑になるのを避けるため、図１８では、格子点Ｊ，Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎのみ格子点名を表示してある）。そして、これらの各格子点について、それぞれスカラー値ｊ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ，…を定義するが、これは次のような演算式（ｊ〜ｎまでについての演算式のみを示す）
ｊ＝（ａ＋ｅ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (11)
ｋ＝（ｅ＋ｉ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (12)
ｌ＝（ｉ＋ｈ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (13)
ｍ＝（ｈ＋ａ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (14)
ｎ＝ (a+e+i+h)／４ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (15)
によって計算する。この第２段階の格子点のスカラー値を求める式では、前述した一次元フラクタル格子の場合と同様に、最大半振幅値Ｔに（１／２）なる係数がかかっている。
【００３６】
以下、同様に、第３段階、第４段階、…、第ｎ段階の処理を繰り返し実行してゆけば、二次元平面上に配列された多数の格子点について、スカラー値が定義されることになる。
【００３７】
以上の処理を、一般論として説明すると、まず、第０段階において、外形矩形のそれぞれ４隅位置に４つの格子点を定義し、各格子点にそれぞれ所定のスカラー値を定義する。そして、以下、第ｉ段階の処理として、次のような処理を順次実行すればよい。すなわち、まず、第（ｉ−１）段階までに定義された格子点を内部に含まない現段階での最小矩形を認識する。たとえば、ｉ＝１の第１段階の場合は、図１６に示す矩形ＡＢＣＤが最小矩形（第０段階までに定義された格子点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを内部に含まない矩形）であり、ｉ＝２の第２段階の場合は、図１７に示す４つの矩形ＡＥＩＨ，ＥＢＦＩ，ＨＩＧＤ，ＩＦＣＧがそれぞれ最小矩形（第１段階までに定義された格子点Ａ〜Ｉをいずれも内部に含まない矩形）である。
【００３８】
そして、この最小矩形の各辺の中点およびこの最小矩形の中心点に、第ｉ段階に定義すべき格子点を生成する（たとえば、ｉ＝１の第１段階の場合は、図１７に示すように、最小矩形ＡＢＣＤの各辺の中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈおよび中心点Ｉに、定義すべき格子点が生成されている）。更に、これらの格子点のうち、各辺の中点に生成した格子点については、その辺の端点に存在する第（ｉ−１）段階までに定義された２つの格子点のもつスカラー値に乱数を作用させることによって得られるスカラー値を与える。たとえば、図１７に示す格子点Ｅについては、２つの格子点Ａ，Ｂのもつスカラー値ａ，ｂに乱数ＲＮＤを作用させることによって得られたスカラー値ｅが与えられている。一般に、第ｎ段階において隣接する格子点の中点として定義される格子点についてのスカラー値ｓ１の計算方法を式で示せば、
ｓ１＝（α＋β）／２＋（１／２（ｎ−１））・Ｔ・ＲＮＤ (16)
となる。ここで、αおよびβは、その格子点の両隣の格子点のスカラー値（第（ｎ−１）段階で計算されている）である。
【００３９】
一方、最小矩形の中心点に生成した格子点については、その最小矩形の４隅位置に存在する第（ｉ−１）段階までに定義された４つの格子点のもつスカラー値に乱数を作用させることによって得られるスカラー値を与える。たとえば、図１７に示す格子点Ｉについては、４つの格子点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのもつスカラー値ａ，ｂ，ｃ，ｄに乱数ＲＮＤを作用させることによって得られたスカラー値ｉが与えられている。一般に、第ｎ段階において最小矩形の中心点として定義される格子点についてのスカラー値ｓ２の計算方法を式で示せば、
ｓ２＝ (α＋β＋γ＋δ）／４＋（１／２（ｎ−１））・Ｔ・ＲＮＤ (17)
となる。ここで、α，β，γ，δは、その最小矩形の４つの隅にある格子点のスカラー値（第（ｎ−１）段階で計算されている）である。
【００４０】
このような方法によって生成された二次元フラクタル格子は、結局、二次元平面的に広がったスカラー場を与えるものになる。そこで、この二次元フラクタル格子の面を水平面上にとり、各スカラー値を垂直方向の高さ（標高）としてグラフにプロットすれば山岳の***構造のような凹凸パターンが表現できる。このような***構造は、自然界に存在する実際の山岳の***構造の凹凸パターンと似た性質をもつことが知られている。すなわち、凹凸構造の複雑さは、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても同じになり、この凹凸構造の一部を虫めがねで拡大して見た場合も、やはり同じ複雑さをもっている。別言すれば、二次元平面上に分布した個々のスカラー値は自己相似的に配置されており、自然なゆらぎをもって空間的に増減変化していることになる。
【００４１】
§３． 不定形セルパターンの生成
さて、上述の§２において、二次元フラクタル格子を発生させる具体的な方法を例示したが、ここでは、この二次元フラクタル格子を用いて、不定形セルパターンを生成する具体的な手順を説明する。
【００４２】
本発明に係る方法は、図６の流れ図に示されているように、ステップＳ１〜Ｓ４の４つの段階から構成される。まず、ステップＳ１において、母点が規則的に配置される。この実施例では、図３に示すように、二次元平面上を埋め尽くすように多数の同一の正三角形を定義し、これら正三角形の頂点として母点の配置を行っている。このように、平面を埋め尽くす正三角形の頂点として母点配置を行い、この規則的な配置のままで「ユークリッド距離が最小」となる母点の勢力圏を定義するようにしてボロノイ図を作成すると、図４に示すように、平面を埋め尽くす正六角形からなるボロノイ多角形が形成されることになる。もっとも、平面を埋め尽くすことができる多角形としては、六角形の他に、三角形や四角形も存在し、五角形と六角形との組み合わせによっても平面を埋め尽くすことが可能である。そこで、このステップＳ１の処理では、規則性をもった多数のボロノイ多角形が形成されるように、所定平面上に規則的に母点を配置すれば十分であり、母点配置は、図３に示すような正三角形の頂点位置に限定されるものではない。具体的には、たとえば、平面上に整列させた正方形の頂点位置、天地が交互になるように平面上に並べた二等辺三角形の頂点位置、平面上に整列させた六角形の頂点位置、平面上に整列させた平行四辺形の頂点位置などに母点を配置することもできる。ただ、図３に示すような正三角形の頂点位置に母点を配置すれば、正六角形（円に近い図形）からなるボロノイ多角形が得られるので、動物の皮膚や植物の細胞を表現する上では最も好ましい。
【００４３】
続いて、ステップＳ２において、フラクタル場が用意される。この実施例では、２組の独立した二次元フラクタル格子を、§２で述べた方法で発生させている。そして、ステップＳ３において、この２組の二次元フラクタル格子を用いた母点の変位が行われる。図１９は、この母点変位処理の概念図である。図の上段に示されているＸＹ平面は、ステップＳ１において、母点が規則的に配置された平面であり、所定の座標値ｘｉ，ｙｉで示される位置に配置された母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）が多数定義されている。一方、図の中段に示されている二次元フラクタル格子Ｌ１および図の下段に示されている二次元フラクタル格子Ｌ２は、いずれもステップＳ２において用意された格子であり、図１８に示すように、二次元平面上に行列状に定義された多数の格子点を有し、各格子点には所定のスカラー値が定義されている。前述したように、このスカラー値の分布は、自己相似的になっている。なお、図１８に示されている二次元フラクタル格子は、５行５列の２５個の格子点しかもたない非常に小さな格子であるが、実際に用いる二次元フラクタル格子Ｌ１，Ｌ２は、より多数の格子点をもち、少なくともＸＹ平面上に定義された母点Ｍｉの密度と同程度の密度で格子点が定義されている必要がある。したがって、ステップＳ２では、ステップＳ１で定義した母点密度を考慮して、十分な格子点密度をもった大きさの二次元フラクタル格子を用意する必要がある。
【００４４】
ステップＳ３の母点変位処理は、ＸＹ平面上に定義された母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）を、ＸＹ平面上において、Ｘ軸方向に変位量Δｘだけ移動させ、Ｙ軸方向に変位量Δｙだけ移動させ、変位処理後の母点Ｍｉ（ｘｉ＋Δｘ，ｙｉ＋Δｙ）を得る処理である。ここで、変位量Δｘ，Δｙは、図１９に矢印で示すように、母点Ｍｉの位置座標（ｘｉ，ｙｉ）に対応する格子点に基づいて決定される。すなわち、変位量Δｘは、二次元フラクタル格子Ｌ１の位置座標（ｘｉ，ｙｉ）に対応する位置に配置された格子点Ｑ１ｉのもつスカラー値Ｓ１に基づいて決定され、変位量Δｙは、二次元フラクタル格子Ｌ２の位置座標（ｘｉ，ｙｉ）に対応する位置に配置された格子点Ｑ２ｉのもつスカラー値Ｓ２に基づいて決定される。このように、二次元フラクタル格子Ｌ１，Ｌ２は、いずれもそれ自身はスカラー値を与えるフラクタル場であるが、二次元フラクタル格子Ｌ１はＸ軸方向の変位量Δｘを示し、二次元フラクタル格子Ｌ２はＹ軸方向の変位量Δｙを示す、というように方向性を定義することにより、ベクトル場の表現が可能になる。なお、この実施例では、各格子点に定義されたスカラー値Ｓ１，Ｓ２をそのままΔｘ，Δｙの値として用いている。別言すれば、母点の変位量としてそのまま用いるのに適当なスカラー値をもった二次元フラクタル格子が得られるように、ステップＳ２の過程において、初期条件および最大半振幅値Ｔを設定しておくことになる。
【００４５】
図２０は、このステップＳ３の母点変位処理の手順を詳細に示した流れ図である。まず、ステップＳ３１において、１つの母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）を選択し、ステップＳ３２において、選択した母点Ｍｉの座標（ｘｉ，ｙｉ）を抽出する。そして、ステップＳ３３において、第１の二次元フラクタル格子Ｌ１内の座標（ｘｉ，ｙｉ）に近接する格子点Ｑ１ｉを決定し、この格子点Ｑ１ｉのもつスカラー値Ｓ１を抽出する。同様に、ステップＳ３４において、第２の二次元フラクタル格子Ｌ２内の座標（ｘｉ，ｙｉ）に近接する格子点Ｑ２ｉを決定し、この格子点Ｑ２ｉのもつスカラー値Ｓ２を抽出する。そして、ステップＳ３５において、母点Ｍｉの新座標（ｘｉ´，ｙｉ´）を、ｘｉ´＝ｘｉ＋Ｓ１、ｙｉ´＝ｙｉ＋Ｓ２なる演算によって求め、変位後の母点Ｍｉ（ｘｉ´，ｙｉ´）を得る。結局、図２１に示すように、選択された母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）は、Ｘ軸方向にΔｘ（＝Ｓ１）、Ｙ軸方向にΔｙ（＝Ｓ２）だけ図の矢印の方向に移動し、変位後の母点Ｍｉ（ｘｉ´，ｙｉ´）が得られることになる。以上の処理を、全母点が選択されるまで、ステップＳ３６からステップＳ３１へと戻ることにより繰り返し実行する。
【００４６】
なお、上述の実施例では、格子点から得たスカラー値Ｓ１，Ｓ２をそれぞれＸ軸方向の変位量ΔｘおよびＹ軸方向の変位量Δｙとして用いて母点Ｍｉの変位を行っているが、母点Ｍｉのもとの位置を原点とした極座標値として、スカラー値Ｓ１，Ｓ２を用いるようにしてもよい。すなわち、図２２に示すように、母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）の位置を原点として極座標系を定義し、変位後の母点Ｍｉ（ｘｉ´，ｙｉ´）の位置を極座標値（ｒ，θ）で表わすことにする。そして、二次元フラクタル格子Ｌ１から得たスカラー値Ｓ１および二次元フラクタル格子Ｌ２から得たスカラー値Ｓ２を、それぞれｒ＝Ｓ１、θ＝Ｓ２として用いるのである。この場合、二次元フラクタル格子Ｌ１のもつフラクタル場は変位量に自然なゆらぎを与える役目を果たし、二次元フラクタル格子Ｌ２のもつフラクタル場は変位方向に自然なゆらぎを与える役目を果たすことになる。
【００４７】
こうして、ＸＹ平面上に定義したすべての母点Ｍｉについての変位が完了したら、図６に示す流れ図の最後の段階、すなわち、ステップＳ４におけるボロノイ図の作成が行われる。この実施例では、「任意の点をユークリッド距離が最も小さい母点の勢力圏に所属させる」という条件によりボロノイ図を作成している。図７に示す不定形セルパターンは、二次元フラクタル格子を用いて変位させた母点について、このような条件で作成したボロノイ図のパターンである。このパターンを構成する個々のセルは、フラクタル場に基づく揺らぎをもって分布した核を有しており、この核に対して生成されたボロノイ図により不定形セルが表現されていることになる。
【００４８】
なお、特定の配置をもった多数の母点に基づいてボロノイ図を作成するための条件としては、上述の実施例では、「ユークリッド距離が最小」という条件を用いていた。通常、「ボロノイ図」と言えば、このように「ユークリッド距離が最小」という条件を用いて作成されたものを指すのが一般的であるが、本発明では、ボロノイ図を作成するための条件として、この他にも種々の条件を設定することができる。たとえば、図２３に示すＸＹ座標系では、母点Ｍと任意の点Ｐとの間の「ユークリッド距離」は、（ｄｘ２＋ｄｙ２）１／２で表わされるが、この「ユークリッド距離」の代わりに、たとえば、（ｋ１・ｄｘ２＋ｋ２・ｄｙ２）１／２で表される特殊な距離を定義し、「この特殊な距離が最小」という条件を設定してもよい。この場合、パラメータｋ１，ｋ２の値を変えることにより、いろいろ異なるボロノイ図を得ることができる。
【００４９】
あるいは、「四隣接距離」あるいは「八隣接距離」なるものを定義し、「この隣接距離が最小」という条件を設定してもよい。ここで、「四隣接距離」あるいは「八隣接距離」は、次のような距離をいう。いま、図２４(a) に示すような画素配列を定義し、中央の画素Ｐに対して、その上下左右に隣接するハッチングを施して示す４個の画素を「四隣接画素」と呼ぶことにする。同様に、図２４(b) に示すような画素配列を定義し、中央の画素Ｐに対して、その上下左右および斜めに隣接するハッチングを施して示す８個の画素を「八隣接画素」と呼ぶことにする。ここで、図２５に示すような画素配列を考えれば、画素Ｍ（図２３の母点Ｍに対応）と画素Ｐ（図２３の点Ｐに対応）との間の「四隣接距離」は、「必ず四隣接画素のいずれか１つに移動する、という移動条件に従って画素Ｐから画素Ｍへ到達するために必要な最小移動回数」として定義され、同様に、画素Ｍと画素Ｐとの間の「八隣接距離」は、「必ず八隣接画素のいずれか１つに移動する、という移動条件に従って画素Ｐから画素Ｍへ到達するために必要な最小移動回数」として定義される。この図２５に示す例では、画素Ｐと画素Ｍとの間の「四隣接距離」は８となり、「八隣接距離」は５となる。
【００５０】
この他にも種々の条件でボロノイ図を作成することが可能である。要するに、本明細書における「ボロノイ図」とは、母点の空間的な勢力圏を何らかの形で数学的に定義することにより得られる勢力分布図であれば、どのような定義によって得られたものでもかまわない。数学的には、たとえば、「裁口ボロノイ図」、「最遠点ボロノイ図」、「円のボロノイ図」など種々のボロノイ図が知られている。また、これまで説明してきたボロノイ図は、いずれも二次元平面上に定義された勢力分布図であったが、三次元空間もしくはそれ以上の多次元空間に定義された勢力分布図を用いてもかまわない。たとえば、ステップＳ１において、三次元空間内に母点配置を行い、ステップＳ２において、三次元フラクタル格子を３組用意し、この３組の三次元フラクタル格子によって各軸方向の変位量Δｘ，Δｙ，Δｚを決定して変位を行えば、この三次元空間内に分布した母点に基づいて三次元ボロノイ図を作成することができる。この三次元ボロノイ図を二次元平面に投影すれば、二次元の不定形セルパターンが生成できる。
【００５１】
§４． 不定形セルパターンの生成装置
図２６は、この実施例に用いる装置構成を示すブロック図である。ここでは説明の便宜上、個々の機能ごとに異なるブロック構成要素として示してあるが、実際には、これらの各構成要素は、コンピュータハードウエアおよびソフトウエアの有機的な結合により実現される。
【００５２】
パラメータ入力手段１は、他の手段における処理で利用される種々のパラメータを入力するための装置であり、最終的に生成すべき不定形セルパターン画像のサイズ、母点の数、母点の初期配置パターン（ステップＳ１における規則的配置を決めるためのパターン）、母点の変動量（ステップＳ３における変位処理による最大変位量）などのパラメータが入力される。乱数発生手段２は、たとえば、一様分布の乱数を発生させる装置で、ここで発生させた乱数はフラクタル場を発生させる際に利用される。母点配置手段３は、パラメータ入力手段１によって入力された画像のサイズ、母点の数、母点の初期配置パターンに基づいて、個々のセルの核となるべき多数の母点を規則的に配置する機能を有する。たとえば、画像のサイズとして所定の縦横寸法が入力され、母点の数：２８、母点の初期配置パターン：正三角形の頂点位置、というパラメータが入力されていた場合、この母点配置手段３によって、図３に示すような母点の規則的配置が得られることになる。
【００５３】
一方、フラクタル場発生手段４は、パラメータ入力手段１によって入力されたパラメータに基づいて、空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を発生させる装置であり、乱数発生装置２で発生させた乱数を用いて、たとえば、図１８に示すような二次元フラクタル格子が発生されることになる。ここで、最終的に得られる格子点の密度や数は、パラメータとして入力された画像のサイズや母点の数に基づいて決定され、最大半振幅値Ｔはパラメータとして入力された母点の変動量に基づいて決定される。
【００５４】
母点変位手段５は、母点配置手段３によって規則的に配置された多数の母点のそれぞれを、フラクタル場発生手段４で発生したフラクタル場を用いて変位させる処理を行う手段であり、ボロノイ図作成手段６は、変位後の母点に対するボロノイ図を作成する処理を行う手段である。これらの各処理の内容は、既に述べたとおりである。こうして、ボロノイ図が作成されると、パターン出力手段７によって、このボロノイ図によって示されている不定形セルパターンが出力される。コンピュータグラフィックス用のテクスチャパターンとして利用するのであれば、コンピュータの外部記憶装置へデジタルパターンデータとして出力することになるし、印刷物として利用するのであれば、コンピュータから刷版装置などへ出力し、印刷工程を行えばよい。
【００５５】
このように、パラメータ入力手段１によって種々のパラメータ設定を行うことができるような構成にしておけば、魚類の鱗、爬虫類の皮膚、植物の繊維質など、生成したい不定形セルパターンの種類に応じて適宜パラメータ設定を変更することにより、最適なパターンの生成が可能になる。
【００５６】
なお、本発明によって生成された不定形セルパターンは、いわゆる平面的な画面表示や印刷物に利用されるだけではなく、立体的な印刷（たとえば、エンボス加工）にも利用することができる。本明細書における「印刷」なる文言は、いわゆる「エンボス加工」といった立体加工をも含む意味で用いており、「印刷物」なる文言は、「立体的な印刷物」ともいうべきエンボス加工品をも含む広い意味で用いている。
【００５７】
【発明の効果】
以上のとおり本発明によれば、動植物に特有な「流れ」の要素を表現することができ、生命感のある不定形セルパターンを生成することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【図１】平面上に６個の母点Ｍ１〜Ｍ６を定義した状態を示す図である。
【図２】図１に示す各母点の勢力圏を示すボロノイ多角形を示す図である。
【図３】平面を埋め尽くす正三角形の各頂点として規則的な母点Ｍｉを定義した例を示す図である。
【図４】図３に示すように規則的に配置された母点Ｍｉに基づいて作成されたボロノイ図を示す図である。
【図５】従来のボロノイ図を用いた手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。
【図６】本発明に係る不定形セルパターンの生成方法の基本手順を示す流れ図である。
【図７】本発明に係る手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。
【図８】一次元フラクタル格子を発生させる第０段階の状態を示す図である。
【図９】一次元フラクタル格子を発生させる第１段階の状態を示す図である。
【図１０】一次元フラクタル格子を発生させる第２段階の状態を示す図である。
【図１１】一次元フラクタル格子を発生させる第０段階において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１２】一次元フラクタル格子を発生させる第１段階において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１３】一次元フラクタル格子を発生させる第２段階において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１４】５つの格子点からなる一次元フラクタル格子において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１５】多数の格子点からなる一次元フラクタル格子の自然なゆらぎを示すグラフである。
【図１６】二次元単位フラクタル格子を発生させる第０段階の状態を示す図である。
【図１７】二次元単位フラクタル格子を発生させる第１段階の状態を示す図である。
【図１８】二次元単位フラクタル格子を発生させる第２段階の状態を示す図である。
【図１９】図６のステップＳ３に示す母点変位処理の概念図である。
【図２０】図６のステップＳ３の母点変位処理の手順を詳細に示した流れ図である。
【図２１】ＸＹ直交座標系におけるＸ軸方向の移動量ΔｘとＹ軸方向の移動量Δｙとを用いて母点Ｍｉを変位した例を示す図である。
【図２２】ｒθ極座標系における距離ｒと角度θとを用いて母点Ｍｉを変位した例を示す図である。
【図２３】ボロノイ図を作成する際に定義する母点Ｍと任意の点Ｐとの間の距離の定義方法の一例を示す図である。
【図２４】所定の画素Ｐに対する「四隣接画素」および「八隣接画素」を示す図である。
【図２５】「四隣接距離」あるいは「八隣接距離」を説明するための図である。
【図２６】本発明の一実施例に係る装置構成を示すブロック図である。
【符号の説明】
１…パラメータ入力手段
２…乱数発生手段
３…母点配置手段
４…フラクタル場発生手段
５…母点変位手段
６…ボロノイ図作成手段
７…パターン出力手段
Ｈｉ…正六角形状のボロノイ多角形
Ｌ１，Ｌ２…二次元フラクタル格子
Ｍ１〜Ｍ６，Ｍｉ…母点
Ｐ…任意の点
Ｑ１ｉ、Ｑ２ｉ…フラクタル格子の格子点
Ｓ１，Ｓ２…フラクタル格子で定義されたスカラー値
ＸＹ…ＸＹ平面
ｘｉ，ｙｉ…座標値
Δｘ，Δｙ…変位量
ｄｙ，ｄｙ…距離
【発明の属する技術分野】
本発明は、多数の不定形セルからなるパターンをコンピュータを利用して生成するための生成方法および生成装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、コンピュータグラフィックスの技術進歩により、種々の模様やパターンをコンピュータを利用して生成する手法が確立されてきており、手描では到底不可能であった斬新な模様をコンピュータを利用して比較的簡単に生成することが可能になってきている。また、もとになるデジタル画像に対して種々のエフェクトをかけることにより、全く新しいイメージをもった画像を生成する技術も普及しており、グラフィックデザイン用のアプリケーションソフトウエアも様々なものが市販されるに至っている。このような模様やパターンは、チラシやカタログ類などの紙製品への印刷をはじめとして、壁板やドアなどの建材表面への印刷やエンボス加工、家具表面を構成する化粧板への印刷やエンボス加工など、あらゆる分野で広く利用されている。また、最近では、いわゆるマルチメディアの普及により、単にディスプレイ画面に表示することだけを目的として、種々の模様やパターンが利用されることも少なくない。
【０００３】
このように、コンピュータを利用して生成されるパターンの一態様として、多数の不定形セルからなるパターンが用いられている。この不定形セルパターンは、動物の皮膚、植物の細胞や微細組織などを表現するのに適しており、コンピュータグラフィックスの分野において、動植物のモデリングを行う際に表面にマッピングするテクスチャ模様として用いられることが多い。
【０００４】
この不定形セルパターンは、小さな不定形多角形を多数セル状に配置してなるパターンであり、このようなパターンをコンピュータを利用して生成するための手法としては、ボロノイ図（Voronoi diagram ）を利用する方法が一般的である。ボロノイ図は、平面上に多数の母点を定義し、各母点の勢力圏を数学的に定義し、こうして定義された個々の勢力圏からなる多角形によって平面を構成することにより得られ、いわば平面を多数のセルに分割した図ともいうべきものである。予め、母点の分布状態の設定と勢力圏の数学的定義とを行っておけば、コンピュータによる数学的な演算によって、比較的容易にボロノイ図を得ることができる。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
上述したように、現在のコンピュータグラフィックスの分野においては、ボロノイ図を利用して不定形セルパターンを生成するのが一般的である。通常は、平面上に一様乱数を用いて全くランダムに母点を定義し、これらの母点に基づいてボロノイ図を作成して不定形セルパターンを生成する方法が採られている。しかしながら、こうして生成された不定形セルパターンは、確かに、不規則な大きさおよび不規則な形状をもった多数のセルの集合からなるパターンにはなるが、動物の皮膚、植物の細胞や微細組織など、動植物の組織を表現するパターンとしては、不自然さが残り、決して十分なパターンにはなっていないのが実情である。特に、従来の方法では、動植物に特有な「流れ」の要素を表現することができず、動植物としての生命感に乏しいパターンしか得られない。
【０００６】
そこで本発明は、動植物に特有な「流れ」の要素を表現することにより、生命感のある不定形セルパターンを生成する新規な手法を提供することを目的とする。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
(1) 本発明の第１の態様は、多数の不定形セルからなるパターンを生成する方法において、
コンピュータが、個々のセルの核となるべき多数の母点を規則的に配置する第１の段階と、
コンピュータが、空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を用意する第２の段階と、
コンピュータが、配置した多数の母点を、用意したフラクタル場を用いてそれぞれ変位させる第３の段階と、
コンピュータが、変位後の母点に対するボロノイ図を作成する第４の段階と、
を行い、作成したボロノイ図に基づいてパターンを生成するようにしたものである。
【０００８】
(2) 本発明の第２の態様は、上述の第１の態様に係る方法において、
第１の段階で、母点を二次元平面上に配置し、
第２の段階で、所定のスカラー値を自己相似的に二次元平面上の各格子点に定義した二次元フラクタル格子を用意し、
第３の段階で、母点が配置された平面上に二次元フラクタル格子を重ね、各母点と各格子点との相互位置関係に基づいて、各母点に特定の格子点を対応づけ、対応する格子点に定義されたスカラー値に基づいて各母点を所定方向に変位させるようにしたものである。
【０００９】
(3) 本発明の第３の態様は、上述の第２の態様に係る方法において、
第１の段階で、母点をＸＹ平面上に配置し、
第２の段階で、２つのそれぞれ独立した二次元フラクタル格子を用意し、
第３の段階で、各母点を、第１の二次元フラクタル格子の格子点に定義されたスカラー値に基づいてＸ軸方向に移動させ、第２の二次元フラクタル格子の格子点に定義されたスカラー値に基づいてＹ軸方向に移動させるようにしたものである。
【００１０】
(4) 本発明の第４の態様は、上述の第１〜３の態様に係る方法において、
第１の段階で、三角形、四角形もしくは六角形からなるボロノイ多角形が形成されるように、所定平面上に規則的に母点を配置するようにしたものである。
【００１１】
(5) 本発明の第５の態様は、上述の第１〜４の態様に係る方法において、
第４の段階で、任意の点をユークリッド距離が最も小さい母点の勢力圏に所属させることによりボロノイ図を作成するようにしたものである。
【００１２】
(6) 本発明の第６の態様は、多数の不定形セルからなるパターンを生成する装置において、
所定のパラメータを入力するパラメータ入力手段と、
乱数を発生させる乱数発生手段と、
個々のセルの核となるべき多数の母点を、入力したパラメータに基づいて規則的に配置する母点配置手段と、
空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を、入力したパラメータに基づいて発生させるフラクタル場発生手段と、
多数の母点をフラクタル場を用いてそれぞれ変位させる母点変位手段と、
変位後の母点に対するボロノイ図を作成するボロノイ図作成手段と、
ボロノイ図に基づいてパターンを生成し、これを出力するパターン出力手段と、
を設けるようにしたものである。
【００１５】
【発明の実施の形態】
以下、本発明を図示する実施形態に基づいて説明する。はじめに、説明の便宜上、ボロノイ図についての簡単な説明を行うことにする。いま、図１に示すように、平面上に６個の母点Ｍ１〜Ｍ６を定義する。そして、この平面上の任意の点Ｐをどの母点の勢力圏に所属させるかという事項を数学的に定義する。通常、もっとも一般的に行われている定義は、「ユークリッド距離（いわゆる幾何学的な二点間の距離）が最も小さい母点の勢力圏に所属させる」という定義である。図１に示す例では、点Ｐに対して最もユークリッド距離が近い母点は母点Ｍ２であるから、点Ｐは母点Ｍ２の勢力圏に所属することになる。このように、平面上のすべての点を、母点Ｍ１〜Ｍ６のいずれかに所属させると、図２に示すように、各母点の勢力圏を示す多角形が得られる。この図２では、ハッチングを施した多角形が母点Ｍ２の勢力圏に相当する。すなわち、母点Ｍ２は、このハッチング領域内のすべての点に対してユークリッド距離が最も小さい母点となる。こうして得られる多角形はボロノイ多角形と呼ばれ、このボロノイ多角形の集合がボロノイ図（Voronoi diagram ）になる。要するに、ボロノイ図とは、平面上にｎ個の母点Ｍ１，Ｍ２，…，Ｍｉ，…Ｍｎを定義したときの各母点の勢力圏を示す多角形の集合により、平面を分割した状態を示す図ということができる。
【００１６】
このボロノイ図を作成するにあたり、予め規則的に母点を配置しておくようにすると、作成されるボロノイ図が示す平面分割パターンも規則的なものになる。たとえば、図３に示すように、同一の正三角形によって平面を埋め尽くすようにし、個々の正三角形の頂点位置に個々の母点Ｍｉをそれぞれ定義してみる。このように規則的に配置された多数の母点Ｍｉに基づいてボロノイ図を作成すると、図４に示すような多数の正六角形Ｈｉがボロノイ多角形として得られることになり、平面はこの正六角形群によって規則的に分割される。
【００１７】
このように完全に規則的なセルパターンは、動植物の組織を表現するパターンとしては不適当である。そこで、動植物の組織を表現するために、図３に示す規則的な母点配置に対して、予めランダムな変位を与えておく手法が従来から採られている。たとえば、図３に示されている平面をＸＹ平面とし、図示された正三角形の頂点として規則的に配置された個々の母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）に対して、Ｘ軸方向の変位量ΔｘとＹ軸方向の変位量Δｙとをそれぞれ各母点ごとに乱数として発生させ、この変位量Δｘ，Δｙに基づいて各母点の新たな位置をＭｉ（ｘｉ＋Δｘ，ｙｉ＋Δｙ）とする変位（移動）を行う。個々の母点ごとにこのような変位を行えば、全体的にランダムに配置された母点群が得られることになる。このランダム配置された母点群についてボロノイ図を求めると、得られるセルパターンは不定形セルパターンとなり、動植物の組織を表現するパターンとしてより好ましいものになる。図５は、このような従来の手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。すなわち、この図５のパターンは、図３に示すように規則的に配置した母点に対して、一様乱数を用いたランダムな変位を行い、変位後の母点についてボロノイ図を求めることにより得られたパターンである。
【００１８】
この図５に示すパターンは、不定形のセルからなるパターンという意味では、確かに動植物の組織を表現するパターンとして利用可能であるが、動植物に特有な「流れ」の要素が表現されていないため、動植物としての生命感に乏しいパターンと言わざるを得ない。本願発明者は、動植物としての生命感に富んだ表現を行うためには、この「流れ」の要素をパターン中に表現することが不可欠であると考えており、従来の手法によって生成された不定形セルパターンに「流れ」の要素が表現されない理由は、規則的に配置された母点を変位させる過程において、個々の母点の変位量がそれぞれ全く独立して設定されているためであると考えている。すなわち、個々の母点ごとにそれぞれ一様乱数を用いてランダムな変位量を設定したとしても、隣接する母点同士でこの変位量に何ら相関関係がなければ、個々の母点が全く勝手に変位している状態しか得られず、そこには、動植物に特有な「流れ」の要素の入り込む余地はないのである。
【００１９】
本願発明者は、この「流れ」の要素をパターン内に取り込むために、フラクタル場を利用することを見いだした。一般に、「フラクタル場」とは、空間的な自己相似性をもった場を意味し、特に、空間的な自己相似性をもったフラクタル図形が、自然界の多くのものを表現するのに適していることは広く知られている。フラクタル図形の特徴は、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても、その複雑さは常に同じであるという点にある。自然界に見られる海岸線の形状、樹木や葉脈の形状、雪の結晶の形状、などは、いずれもこのフラクタル図形の代表的なものであり、ミクロ的に見てもマクロ的に見ても、入り組んだ独特の形状をしている。このような性質は一般に自己相似性と呼ばれており、フラクタル理論の本質は、この自己相似性にある。
【００２０】
このフラクタル理論を、より一般的に拡張すると、所定のスカラー値を自己相似的に個々の格子点に定義したフラクタル格子を考えることができる。たとえば、二次元フラクタル格子は、二次元平面上に配列された各格子点のそれぞれに、所定のスカラー値を定義したものであり、二次元スカラー場を与えるものである。この二次元スカラー場において、各スカラー値は、自然なゆらぎをもって空間的に変化することになる。別言すれば、この変化のパターンは、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても、その複雑さは常に同じ、すなわち自己相似的になる。また、この二次元スカラー場に定義された個々のスカラー値に方向性を与えることにより、二次元ベクトル場を定義することも可能である。本発明の基本思想は、このように方向性が定義されたフラクタル場に基づいて、規則的な母点を変位させることにより、「流れ」の要素を不定形セルパターン中に取り込む点にある。
【００２１】
図６は、本発明に係る不定形セルパターンの生成方法の基本手順を示す流れ図である。まず、ステップＳ１において、個々のセルの核となるべき多数の母点を規則的に配置する。たとえば、図３に示すように、規則的に配置された多数の母点Ｍｉが定義されることになる。続くステップＳ２において、空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場が用意される。具体的には、二次元フラクタルスカラー場を用意し、このスカラー場に方向性を定義することにより、フラクタルベクトル場として利用すればよい。そして、ステップＳ３において、ステップＳ１で配置した多数の母点を、ステップＳ２で用意したフラクタルベクトル場の示す方向へそれぞれ移動させる。これにより、個々の母点は、それぞれ変位することになるが、個々の母点の変位方向および変位量は、フラクタル場に基づいて決定されているため、この変位態様には、全体として自然界の「流れ」の要素が取り込まれていることになる。別言すれば、各母点の規則的な配置に対する変位態様は、自己相似性を有することになる。最後に、ステップＳ４において、この変位後の母点に対するボロノイ図が作成される。すなわち、二次元平面がボロノイ多角形によって分割されることになり、不定形セルパターンが得られる。
【００２２】
図７は、この図６に示す本発明に係る手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。すなわち、この図７のパターンは、図３に示すように規則的に配置した母点に対して、フラクタル場を用いた自己相似的な変位を行い、変位後の母点についてボロノイ図を求めることにより得られたパターンである。図５に示す従来のセルパターンと比較すると、いずれも不定形のセルからなるパターンという点では同じであるが、図７に示すパターンでは、明らかに動植物に特有な「流れ」の要素が表現されていることがわかる。たとえば、コンピュータグラフィックスの分野において、ワニやトカゲなどの爬虫類の皮膚にマッピングするテクスチャ模様として、図５に示すセルパターンと、図７に示すセルパターンとを比較してみれば、後者の方が動物の皮膚としての生命感が感じられることが認識できよう。
【００２３】
【実施例】
続いて、本発明をより具体的な実施例に基づいて説明する。
【００２４】
§１． 一次元フラクタル格子
本発明の根本的な思想は、フラクタル場によって表現される自然なゆらぎを、不定形セルパターンに反映させる点にある。そこで、はじめに、このフラクタル場についての簡単な説明を行うことにする。ここでは、一次元に配列された個々の格子点にスカラー量を定義してなる一次元フラクタル格子について、図を参照しながら説明する。
【００２５】
いま、図８に示すように、１本の線上に所定の距離だけ離して２つの格子点Ａ，Ｂ（図では二重の円で示す）を定義し、これら各格子点Ａ，Ｂにそれぞれスカラー値ａ，ｂを定義する。このように定義した２つの格子点Ａ，Ｂは、初期段階（以下、第０段階と呼ぶ）の格子点であり、スカラー値ａ，ｂは、この２つの格子点Ａ，Ｂに設定されたいわば初期条件である。
【００２６】
続いて、図９に示すように、２つの格子点Ａ，Ｂの中点に、第１段階の格子点Ｃを定義する。このとき、この格子点Ｃに対しても、スカラー値ｃを定義することになるが、このスカラー値ｃはスカラー値ａ，ｂに基づいて、所定の演算によって定義することになる。図９は、格子点Ｃのスカラー値ｃがまだ定まっていない状態を示している。なお、ここでは、スカラー値が未定義の状態の格子点を一重の円で示し、スカラー値が定義された状態の格子点を二重の円で示すことにする。スカラー値ｃは、次のような演算式
ｃ＝（ａ＋ｂ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (1)
によって計算される。ここで、ａおよびｂは、格子点ＡおよびＢについて定義されたスカラー値であり、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。このように、スカラー値ｃの定義には、乱数が用いられており、偶然の要素が左右することになる。ただし、スカラー値ｃとしては、全くデタラメな値が定義されるわけではなく、両隣の格子点Ａ，Ｂのスカラー値ａ，ｂと、最大半振幅値Ｔと、によって制限を受けることになる。すなわち、上述の式(1) に示されているように、スカラー値ａ，ｂの平均値に、−Ｔ〜＋Ｔの範囲内の任意の値（乱数によって定まる）を加えた値が、スカラー値ｃの値となる。したがって、最大半振幅値Ｔは、平均値からずれるゆらぎの程度を制限するパラメータとなる。
【００２７】
こうして、第１段階の格子点Ｃについてのスカラー値ｃが定義できたら、続いて、図１０に示すように、格子点Ａ，Ｃの中点および格子点Ｃ，Ｂの中点に、それぞれ第２段階の格子点Ｄ，Ｅを定義する。そして、これら格子点Ｄ，Ｅに対して、それぞれスカラー値ｄ，ｅを、
ｄ＝（ａ＋ｃ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (2)
ｅ＝（ｃ＋ｂ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (3)
なる式によって計算する。ここで、上述したように、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。式(2) ，(3) は、式(1) と非常に似ているが、最大半振幅値Ｔに（１／２）なる係数がかかっている点は留意すべきである。
【００２８】
続いて、第２段階までで定義された５つの格子点Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｂのそれぞれ中点に、第３段階の格子点を定義し、これらの格子点にもスカラー値を計算して定義する。たとえば、格子点Ａ，Ｄの中点として定義された格子点Ｆ（図示されていない）についてのスカラー値ｆは、
ｆ＝（ａ＋ｄ）／２ ＋ （１／４）・Ｔ・ＲＮＤ (4)
なる式によって計算される。この式(4) では、最大半振幅値Ｔに（１／４）なる係数がかかっている。
【００２９】
理解を容易にするために、以上のステップを実際の数値を用いて説明してみる。たとえば、図１１に示すように、第０段階の格子点Ａ，Ｂに対して、それぞれスカラー値「５０」，「８０」を初期条件として設定した場合を考える。このような２つの格子点Ａ，Ｂの中点として、図１２に示すように、第１段階の格子点Ｃが定義されることになるが、この場合、この格子点Ｃについて定義されるスカラー値ｃは、前述の式(1) により、
ｃ＝（５０＋８０）／２＋Ｔ・ＲＮＤ (1)
なる演算で与えられる。ここでは、ゆらぎの最大半振幅値Ｔ＝５と設定し、上式の演算時には、たまたま乱数ＲＮＤ＝＋０．６になったものとしよう。この場合、演算により求まるスカラー値ｃ＝６８となる。
【００３０】
続いて、格子点Ａ，Ｃおよび格子点Ｃ，Ｂの中点として、図１３に示すように、第２段階の格子点Ｄおよび格子点Ｅが定義されることになるが、この場合、これらの格子点Ｄ，Ｅについて定義されるスカラー値ｄ，ｅは、前述の式(2) ，(3) により、
ｄ＝（５０＋６８）／２＋（１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (2)
ｅ＝（６８＋８０）／２＋（１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (3)
なる演算で与えられる。ここで、上各式の演算時に、たまたま乱数ＲＮＤ＝−０．４、ＲＮＤ＝＋０．８になったものとすると、演算により求まるスカラー値ｄ＝５８、ｅ＝７６となる。結局、第２段階の格子点についてのスカラー値が求まった段階では、図１４に示すように、５つの格子点Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｂについて、それぞれスカラー値が定義されたことになる。
【００３１】
同様にして、これらの５つの格子点Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｂのそれぞれ中点に、第３段階の格子点を定義し、これらの格子点にもスカラー値を計算して定義し、更に、第４段階、第５段階、…、と同じ操作を繰り返し実行してゆく。このような操作を所定の有限回数ｎだけ繰り返し行ってゆけば、第０段階の格子点Ａ，Ｂの間に多数の格子点が定義され、これら各格子点には所定のスカラー値が定義されることになる。なお、第ｎ段階の格子点についてのスカラー値ｓの計算方法を一般式で示せば、
ｓ＝（α＋β）／２＋（１／２（ｎ−１））・Ｔ・ＲＮＤ (5)
となる。ここで、αおよびβは、その格子点の両隣の格子点のスカラー値（第（ｎ−１）段階で計算されている）であり、上述したように、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。
【００３２】
このような方法によって、所定のスカラー値をもった格子点を多数定義すると、これらの格子点は一次元フラクタル格子を構成することになる。このようなフラクタル格子の発生方法は、一般にランダム中点変位法と呼ばれている方法である。上述の具体例では、この一次元フラクタル格子の左端点に「５０」、右端点に「８０」、というスカラー値が定義され、これら両端点の間に定義された多数の格子点にも、それぞれ特有のスカラー値が定義される。いま、こうして求まった一次元フラクタル格子の配列方向を横軸にとり、個々のスカラー値を縦軸にとると、図１５に示すようなグラフが描かれることになる。このようなグラフは、たとえば、自然界の海岸線の形状に似た性質をもつ。すなわち、個々のスカラー値は、部分的に大きくなったり小さくなったりと、様々な分布をとることになるが、この分布パターンの複雑さは、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても同じになることが知られている。この性質をより具体的に説明すれば、図１５において、格子点ＡＢ間のグラフの複雑さも、格子点ＡＤ間のグラフの複雑さも、同じであり、また、この格子点ＡＤの間のごく微小区間を虫めがねで拡大して見た場合も、やはり同じ複雑さをもっているということである。別言すれば、個々のスカラー値は自己相似的に個々の格子点に定義されており、自然なゆらぎをもって空間的に増減変化していることになる。
【００３３】
§２． 二次元フラクタル格子
以上、単純な一次元のフラクタル格子をランダム中点変位法によって発生させる方法を、具体例を掲げながら説明を行ったが、後述する実施例において実際に用いられるフラクタル格子は、格子点が平面的に配列された二次元フラクタル格子である。そこで、ここでは、上述の一次元フラクタル格子で説明したランダム中点変位法を二次元に適用した方法の一例を述べておく。二次元フラクタル格子を発生させるには、第０段階の格子点として、図１６に示すように、正方形の４頂点に格子点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを配置し、それぞれスカラー値ａ，ｂ，ｃ，ｄを定義する。ここで、この正方形は、最終的に生成された二次元フラクタル格子の外形を形成する外形矩形である。
【００３４】
続いて、図１７に示すように、格子点ＡＢ間、ＢＣ間、ＣＤ間、ＤＡ間のそれぞれ中点に、第１段階の格子点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈを定義するとともに、４つの格子点ＡＢＣＤの対角線の交点に、もうひとつの第１段階の格子点Ｉを定義する。そして、これら５つの格子点について、それぞれスカラー値ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉを定義するが、これは次のような演算式
ｅ＝（ａ＋ｂ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (6)
ｆ＝（ｂ＋ｃ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (7)
ｇ＝（ｃ＋ｄ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (8)
ｈ＝（ｄ＋ａ）／２ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (9)
ｉ＝ (a+b+c+d)／４ ＋ Ｔ・ＲＮＤ (10)
によって計算される。なお、一次元フラクタル格子の例と同様に、Ｔはゆらぎの最大半振幅値、ＲＮＤは、−１≦ＲＮＤ≦＋１なる任意の乱数である。
【００３５】
こうして、第１段階の格子点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉについてのスカラー値ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉが定義できたら、続いて、図１８に示すように、隣接する各格子点の中点および４つの格子点の対角線の交点に、それぞれ第２段階の格子点Ｊ，Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ，…を定義する（繁雑になるのを避けるため、図１８では、格子点Ｊ，Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎのみ格子点名を表示してある）。そして、これらの各格子点について、それぞれスカラー値ｊ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ，…を定義するが、これは次のような演算式（ｊ〜ｎまでについての演算式のみを示す）
ｊ＝（ａ＋ｅ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (11)
ｋ＝（ｅ＋ｉ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (12)
ｌ＝（ｉ＋ｈ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (13)
ｍ＝（ｈ＋ａ）／２ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (14)
ｎ＝ (a+e+i+h)／４ ＋ （１／２）・Ｔ・ＲＮＤ (15)
によって計算する。この第２段階の格子点のスカラー値を求める式では、前述した一次元フラクタル格子の場合と同様に、最大半振幅値Ｔに（１／２）なる係数がかかっている。
【００３６】
以下、同様に、第３段階、第４段階、…、第ｎ段階の処理を繰り返し実行してゆけば、二次元平面上に配列された多数の格子点について、スカラー値が定義されることになる。
【００３７】
以上の処理を、一般論として説明すると、まず、第０段階において、外形矩形のそれぞれ４隅位置に４つの格子点を定義し、各格子点にそれぞれ所定のスカラー値を定義する。そして、以下、第ｉ段階の処理として、次のような処理を順次実行すればよい。すなわち、まず、第（ｉ−１）段階までに定義された格子点を内部に含まない現段階での最小矩形を認識する。たとえば、ｉ＝１の第１段階の場合は、図１６に示す矩形ＡＢＣＤが最小矩形（第０段階までに定義された格子点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを内部に含まない矩形）であり、ｉ＝２の第２段階の場合は、図１７に示す４つの矩形ＡＥＩＨ，ＥＢＦＩ，ＨＩＧＤ，ＩＦＣＧがそれぞれ最小矩形（第１段階までに定義された格子点Ａ〜Ｉをいずれも内部に含まない矩形）である。
【００３８】
そして、この最小矩形の各辺の中点およびこの最小矩形の中心点に、第ｉ段階に定義すべき格子点を生成する（たとえば、ｉ＝１の第１段階の場合は、図１７に示すように、最小矩形ＡＢＣＤの各辺の中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈおよび中心点Ｉに、定義すべき格子点が生成されている）。更に、これらの格子点のうち、各辺の中点に生成した格子点については、その辺の端点に存在する第（ｉ−１）段階までに定義された２つの格子点のもつスカラー値に乱数を作用させることによって得られるスカラー値を与える。たとえば、図１７に示す格子点Ｅについては、２つの格子点Ａ，Ｂのもつスカラー値ａ，ｂに乱数ＲＮＤを作用させることによって得られたスカラー値ｅが与えられている。一般に、第ｎ段階において隣接する格子点の中点として定義される格子点についてのスカラー値ｓ１の計算方法を式で示せば、
ｓ１＝（α＋β）／２＋（１／２（ｎ−１））・Ｔ・ＲＮＤ (16)
となる。ここで、αおよびβは、その格子点の両隣の格子点のスカラー値（第（ｎ−１）段階で計算されている）である。
【００３９】
一方、最小矩形の中心点に生成した格子点については、その最小矩形の４隅位置に存在する第（ｉ−１）段階までに定義された４つの格子点のもつスカラー値に乱数を作用させることによって得られるスカラー値を与える。たとえば、図１７に示す格子点Ｉについては、４つの格子点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのもつスカラー値ａ，ｂ，ｃ，ｄに乱数ＲＮＤを作用させることによって得られたスカラー値ｉが与えられている。一般に、第ｎ段階において最小矩形の中心点として定義される格子点についてのスカラー値ｓ２の計算方法を式で示せば、
ｓ２＝ (α＋β＋γ＋δ）／４＋（１／２（ｎ−１））・Ｔ・ＲＮＤ (17)
となる。ここで、α，β，γ，δは、その最小矩形の４つの隅にある格子点のスカラー値（第（ｎ−１）段階で計算されている）である。
【００４０】
このような方法によって生成された二次元フラクタル格子は、結局、二次元平面的に広がったスカラー場を与えるものになる。そこで、この二次元フラクタル格子の面を水平面上にとり、各スカラー値を垂直方向の高さ（標高）としてグラフにプロットすれば山岳の***構造のような凹凸パターンが表現できる。このような***構造は、自然界に存在する実際の山岳の***構造の凹凸パターンと似た性質をもつことが知られている。すなわち、凹凸構造の複雑さは、ミクロ的に見ても、マクロ的に見ても同じになり、この凹凸構造の一部を虫めがねで拡大して見た場合も、やはり同じ複雑さをもっている。別言すれば、二次元平面上に分布した個々のスカラー値は自己相似的に配置されており、自然なゆらぎをもって空間的に増減変化していることになる。
【００４１】
§３． 不定形セルパターンの生成
さて、上述の§２において、二次元フラクタル格子を発生させる具体的な方法を例示したが、ここでは、この二次元フラクタル格子を用いて、不定形セルパターンを生成する具体的な手順を説明する。
【００４２】
本発明に係る方法は、図６の流れ図に示されているように、ステップＳ１〜Ｓ４の４つの段階から構成される。まず、ステップＳ１において、母点が規則的に配置される。この実施例では、図３に示すように、二次元平面上を埋め尽くすように多数の同一の正三角形を定義し、これら正三角形の頂点として母点の配置を行っている。このように、平面を埋め尽くす正三角形の頂点として母点配置を行い、この規則的な配置のままで「ユークリッド距離が最小」となる母点の勢力圏を定義するようにしてボロノイ図を作成すると、図４に示すように、平面を埋め尽くす正六角形からなるボロノイ多角形が形成されることになる。もっとも、平面を埋め尽くすことができる多角形としては、六角形の他に、三角形や四角形も存在し、五角形と六角形との組み合わせによっても平面を埋め尽くすことが可能である。そこで、このステップＳ１の処理では、規則性をもった多数のボロノイ多角形が形成されるように、所定平面上に規則的に母点を配置すれば十分であり、母点配置は、図３に示すような正三角形の頂点位置に限定されるものではない。具体的には、たとえば、平面上に整列させた正方形の頂点位置、天地が交互になるように平面上に並べた二等辺三角形の頂点位置、平面上に整列させた六角形の頂点位置、平面上に整列させた平行四辺形の頂点位置などに母点を配置することもできる。ただ、図３に示すような正三角形の頂点位置に母点を配置すれば、正六角形（円に近い図形）からなるボロノイ多角形が得られるので、動物の皮膚や植物の細胞を表現する上では最も好ましい。
【００４３】
続いて、ステップＳ２において、フラクタル場が用意される。この実施例では、２組の独立した二次元フラクタル格子を、§２で述べた方法で発生させている。そして、ステップＳ３において、この２組の二次元フラクタル格子を用いた母点の変位が行われる。図１９は、この母点変位処理の概念図である。図の上段に示されているＸＹ平面は、ステップＳ１において、母点が規則的に配置された平面であり、所定の座標値ｘｉ，ｙｉで示される位置に配置された母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）が多数定義されている。一方、図の中段に示されている二次元フラクタル格子Ｌ１および図の下段に示されている二次元フラクタル格子Ｌ２は、いずれもステップＳ２において用意された格子であり、図１８に示すように、二次元平面上に行列状に定義された多数の格子点を有し、各格子点には所定のスカラー値が定義されている。前述したように、このスカラー値の分布は、自己相似的になっている。なお、図１８に示されている二次元フラクタル格子は、５行５列の２５個の格子点しかもたない非常に小さな格子であるが、実際に用いる二次元フラクタル格子Ｌ１，Ｌ２は、より多数の格子点をもち、少なくともＸＹ平面上に定義された母点Ｍｉの密度と同程度の密度で格子点が定義されている必要がある。したがって、ステップＳ２では、ステップＳ１で定義した母点密度を考慮して、十分な格子点密度をもった大きさの二次元フラクタル格子を用意する必要がある。
【００４４】
ステップＳ３の母点変位処理は、ＸＹ平面上に定義された母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）を、ＸＹ平面上において、Ｘ軸方向に変位量Δｘだけ移動させ、Ｙ軸方向に変位量Δｙだけ移動させ、変位処理後の母点Ｍｉ（ｘｉ＋Δｘ，ｙｉ＋Δｙ）を得る処理である。ここで、変位量Δｘ，Δｙは、図１９に矢印で示すように、母点Ｍｉの位置座標（ｘｉ，ｙｉ）に対応する格子点に基づいて決定される。すなわち、変位量Δｘは、二次元フラクタル格子Ｌ１の位置座標（ｘｉ，ｙｉ）に対応する位置に配置された格子点Ｑ１ｉのもつスカラー値Ｓ１に基づいて決定され、変位量Δｙは、二次元フラクタル格子Ｌ２の位置座標（ｘｉ，ｙｉ）に対応する位置に配置された格子点Ｑ２ｉのもつスカラー値Ｓ２に基づいて決定される。このように、二次元フラクタル格子Ｌ１，Ｌ２は、いずれもそれ自身はスカラー値を与えるフラクタル場であるが、二次元フラクタル格子Ｌ１はＸ軸方向の変位量Δｘを示し、二次元フラクタル格子Ｌ２はＹ軸方向の変位量Δｙを示す、というように方向性を定義することにより、ベクトル場の表現が可能になる。なお、この実施例では、各格子点に定義されたスカラー値Ｓ１，Ｓ２をそのままΔｘ，Δｙの値として用いている。別言すれば、母点の変位量としてそのまま用いるのに適当なスカラー値をもった二次元フラクタル格子が得られるように、ステップＳ２の過程において、初期条件および最大半振幅値Ｔを設定しておくことになる。
【００４５】
図２０は、このステップＳ３の母点変位処理の手順を詳細に示した流れ図である。まず、ステップＳ３１において、１つの母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）を選択し、ステップＳ３２において、選択した母点Ｍｉの座標（ｘｉ，ｙｉ）を抽出する。そして、ステップＳ３３において、第１の二次元フラクタル格子Ｌ１内の座標（ｘｉ，ｙｉ）に近接する格子点Ｑ１ｉを決定し、この格子点Ｑ１ｉのもつスカラー値Ｓ１を抽出する。同様に、ステップＳ３４において、第２の二次元フラクタル格子Ｌ２内の座標（ｘｉ，ｙｉ）に近接する格子点Ｑ２ｉを決定し、この格子点Ｑ２ｉのもつスカラー値Ｓ２を抽出する。そして、ステップＳ３５において、母点Ｍｉの新座標（ｘｉ´，ｙｉ´）を、ｘｉ´＝ｘｉ＋Ｓ１、ｙｉ´＝ｙｉ＋Ｓ２なる演算によって求め、変位後の母点Ｍｉ（ｘｉ´，ｙｉ´）を得る。結局、図２１に示すように、選択された母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）は、Ｘ軸方向にΔｘ（＝Ｓ１）、Ｙ軸方向にΔｙ（＝Ｓ２）だけ図の矢印の方向に移動し、変位後の母点Ｍｉ（ｘｉ´，ｙｉ´）が得られることになる。以上の処理を、全母点が選択されるまで、ステップＳ３６からステップＳ３１へと戻ることにより繰り返し実行する。
【００４６】
なお、上述の実施例では、格子点から得たスカラー値Ｓ１，Ｓ２をそれぞれＸ軸方向の変位量ΔｘおよびＹ軸方向の変位量Δｙとして用いて母点Ｍｉの変位を行っているが、母点Ｍｉのもとの位置を原点とした極座標値として、スカラー値Ｓ１，Ｓ２を用いるようにしてもよい。すなわち、図２２に示すように、母点Ｍｉ（ｘｉ，ｙｉ）の位置を原点として極座標系を定義し、変位後の母点Ｍｉ（ｘｉ´，ｙｉ´）の位置を極座標値（ｒ，θ）で表わすことにする。そして、二次元フラクタル格子Ｌ１から得たスカラー値Ｓ１および二次元フラクタル格子Ｌ２から得たスカラー値Ｓ２を、それぞれｒ＝Ｓ１、θ＝Ｓ２として用いるのである。この場合、二次元フラクタル格子Ｌ１のもつフラクタル場は変位量に自然なゆらぎを与える役目を果たし、二次元フラクタル格子Ｌ２のもつフラクタル場は変位方向に自然なゆらぎを与える役目を果たすことになる。
【００４７】
こうして、ＸＹ平面上に定義したすべての母点Ｍｉについての変位が完了したら、図６に示す流れ図の最後の段階、すなわち、ステップＳ４におけるボロノイ図の作成が行われる。この実施例では、「任意の点をユークリッド距離が最も小さい母点の勢力圏に所属させる」という条件によりボロノイ図を作成している。図７に示す不定形セルパターンは、二次元フラクタル格子を用いて変位させた母点について、このような条件で作成したボロノイ図のパターンである。このパターンを構成する個々のセルは、フラクタル場に基づく揺らぎをもって分布した核を有しており、この核に対して生成されたボロノイ図により不定形セルが表現されていることになる。
【００４８】
なお、特定の配置をもった多数の母点に基づいてボロノイ図を作成するための条件としては、上述の実施例では、「ユークリッド距離が最小」という条件を用いていた。通常、「ボロノイ図」と言えば、このように「ユークリッド距離が最小」という条件を用いて作成されたものを指すのが一般的であるが、本発明では、ボロノイ図を作成するための条件として、この他にも種々の条件を設定することができる。たとえば、図２３に示すＸＹ座標系では、母点Ｍと任意の点Ｐとの間の「ユークリッド距離」は、（ｄｘ２＋ｄｙ２）１／２で表わされるが、この「ユークリッド距離」の代わりに、たとえば、（ｋ１・ｄｘ２＋ｋ２・ｄｙ２）１／２で表される特殊な距離を定義し、「この特殊な距離が最小」という条件を設定してもよい。この場合、パラメータｋ１，ｋ２の値を変えることにより、いろいろ異なるボロノイ図を得ることができる。
【００４９】
あるいは、「四隣接距離」あるいは「八隣接距離」なるものを定義し、「この隣接距離が最小」という条件を設定してもよい。ここで、「四隣接距離」あるいは「八隣接距離」は、次のような距離をいう。いま、図２４(a) に示すような画素配列を定義し、中央の画素Ｐに対して、その上下左右に隣接するハッチングを施して示す４個の画素を「四隣接画素」と呼ぶことにする。同様に、図２４(b) に示すような画素配列を定義し、中央の画素Ｐに対して、その上下左右および斜めに隣接するハッチングを施して示す８個の画素を「八隣接画素」と呼ぶことにする。ここで、図２５に示すような画素配列を考えれば、画素Ｍ（図２３の母点Ｍに対応）と画素Ｐ（図２３の点Ｐに対応）との間の「四隣接距離」は、「必ず四隣接画素のいずれか１つに移動する、という移動条件に従って画素Ｐから画素Ｍへ到達するために必要な最小移動回数」として定義され、同様に、画素Ｍと画素Ｐとの間の「八隣接距離」は、「必ず八隣接画素のいずれか１つに移動する、という移動条件に従って画素Ｐから画素Ｍへ到達するために必要な最小移動回数」として定義される。この図２５に示す例では、画素Ｐと画素Ｍとの間の「四隣接距離」は８となり、「八隣接距離」は５となる。
【００５０】
この他にも種々の条件でボロノイ図を作成することが可能である。要するに、本明細書における「ボロノイ図」とは、母点の空間的な勢力圏を何らかの形で数学的に定義することにより得られる勢力分布図であれば、どのような定義によって得られたものでもかまわない。数学的には、たとえば、「裁口ボロノイ図」、「最遠点ボロノイ図」、「円のボロノイ図」など種々のボロノイ図が知られている。また、これまで説明してきたボロノイ図は、いずれも二次元平面上に定義された勢力分布図であったが、三次元空間もしくはそれ以上の多次元空間に定義された勢力分布図を用いてもかまわない。たとえば、ステップＳ１において、三次元空間内に母点配置を行い、ステップＳ２において、三次元フラクタル格子を３組用意し、この３組の三次元フラクタル格子によって各軸方向の変位量Δｘ，Δｙ，Δｚを決定して変位を行えば、この三次元空間内に分布した母点に基づいて三次元ボロノイ図を作成することができる。この三次元ボロノイ図を二次元平面に投影すれば、二次元の不定形セルパターンが生成できる。
【００５１】
§４． 不定形セルパターンの生成装置
図２６は、この実施例に用いる装置構成を示すブロック図である。ここでは説明の便宜上、個々の機能ごとに異なるブロック構成要素として示してあるが、実際には、これらの各構成要素は、コンピュータハードウエアおよびソフトウエアの有機的な結合により実現される。
【００５２】
パラメータ入力手段１は、他の手段における処理で利用される種々のパラメータを入力するための装置であり、最終的に生成すべき不定形セルパターン画像のサイズ、母点の数、母点の初期配置パターン（ステップＳ１における規則的配置を決めるためのパターン）、母点の変動量（ステップＳ３における変位処理による最大変位量）などのパラメータが入力される。乱数発生手段２は、たとえば、一様分布の乱数を発生させる装置で、ここで発生させた乱数はフラクタル場を発生させる際に利用される。母点配置手段３は、パラメータ入力手段１によって入力された画像のサイズ、母点の数、母点の初期配置パターンに基づいて、個々のセルの核となるべき多数の母点を規則的に配置する機能を有する。たとえば、画像のサイズとして所定の縦横寸法が入力され、母点の数：２８、母点の初期配置パターン：正三角形の頂点位置、というパラメータが入力されていた場合、この母点配置手段３によって、図３に示すような母点の規則的配置が得られることになる。
【００５３】
一方、フラクタル場発生手段４は、パラメータ入力手段１によって入力されたパラメータに基づいて、空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を発生させる装置であり、乱数発生装置２で発生させた乱数を用いて、たとえば、図１８に示すような二次元フラクタル格子が発生されることになる。ここで、最終的に得られる格子点の密度や数は、パラメータとして入力された画像のサイズや母点の数に基づいて決定され、最大半振幅値Ｔはパラメータとして入力された母点の変動量に基づいて決定される。
【００５４】
母点変位手段５は、母点配置手段３によって規則的に配置された多数の母点のそれぞれを、フラクタル場発生手段４で発生したフラクタル場を用いて変位させる処理を行う手段であり、ボロノイ図作成手段６は、変位後の母点に対するボロノイ図を作成する処理を行う手段である。これらの各処理の内容は、既に述べたとおりである。こうして、ボロノイ図が作成されると、パターン出力手段７によって、このボロノイ図によって示されている不定形セルパターンが出力される。コンピュータグラフィックス用のテクスチャパターンとして利用するのであれば、コンピュータの外部記憶装置へデジタルパターンデータとして出力することになるし、印刷物として利用するのであれば、コンピュータから刷版装置などへ出力し、印刷工程を行えばよい。
【００５５】
このように、パラメータ入力手段１によって種々のパラメータ設定を行うことができるような構成にしておけば、魚類の鱗、爬虫類の皮膚、植物の繊維質など、生成したい不定形セルパターンの種類に応じて適宜パラメータ設定を変更することにより、最適なパターンの生成が可能になる。
【００５６】
なお、本発明によって生成された不定形セルパターンは、いわゆる平面的な画面表示や印刷物に利用されるだけではなく、立体的な印刷（たとえば、エンボス加工）にも利用することができる。本明細書における「印刷」なる文言は、いわゆる「エンボス加工」といった立体加工をも含む意味で用いており、「印刷物」なる文言は、「立体的な印刷物」ともいうべきエンボス加工品をも含む広い意味で用いている。
【００５７】
【発明の効果】
以上のとおり本発明によれば、動植物に特有な「流れ」の要素を表現することができ、生命感のある不定形セルパターンを生成することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【図１】平面上に６個の母点Ｍ１〜Ｍ６を定義した状態を示す図である。
【図２】図１に示す各母点の勢力圏を示すボロノイ多角形を示す図である。
【図３】平面を埋め尽くす正三角形の各頂点として規則的な母点Ｍｉを定義した例を示す図である。
【図４】図３に示すように規則的に配置された母点Ｍｉに基づいて作成されたボロノイ図を示す図である。
【図５】従来のボロノイ図を用いた手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。
【図６】本発明に係る不定形セルパターンの生成方法の基本手順を示す流れ図である。
【図７】本発明に係る手法により得られた不定形セルパターンの一例を示す図である。
【図８】一次元フラクタル格子を発生させる第０段階の状態を示す図である。
【図９】一次元フラクタル格子を発生させる第１段階の状態を示す図である。
【図１０】一次元フラクタル格子を発生させる第２段階の状態を示す図である。
【図１１】一次元フラクタル格子を発生させる第０段階において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１２】一次元フラクタル格子を発生させる第１段階において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１３】一次元フラクタル格子を発生させる第２段階において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１４】５つの格子点からなる一次元フラクタル格子において、各格子点に定義された具体的なスカラー値を示す図である。
【図１５】多数の格子点からなる一次元フラクタル格子の自然なゆらぎを示すグラフである。
【図１６】二次元単位フラクタル格子を発生させる第０段階の状態を示す図である。
【図１７】二次元単位フラクタル格子を発生させる第１段階の状態を示す図である。
【図１８】二次元単位フラクタル格子を発生させる第２段階の状態を示す図である。
【図１９】図６のステップＳ３に示す母点変位処理の概念図である。
【図２０】図６のステップＳ３の母点変位処理の手順を詳細に示した流れ図である。
【図２１】ＸＹ直交座標系におけるＸ軸方向の移動量ΔｘとＹ軸方向の移動量Δｙとを用いて母点Ｍｉを変位した例を示す図である。
【図２２】ｒθ極座標系における距離ｒと角度θとを用いて母点Ｍｉを変位した例を示す図である。
【図２３】ボロノイ図を作成する際に定義する母点Ｍと任意の点Ｐとの間の距離の定義方法の一例を示す図である。
【図２４】所定の画素Ｐに対する「四隣接画素」および「八隣接画素」を示す図である。
【図２５】「四隣接距離」あるいは「八隣接距離」を説明するための図である。
【図２６】本発明の一実施例に係る装置構成を示すブロック図である。
【符号の説明】
１…パラメータ入力手段
２…乱数発生手段
３…母点配置手段
４…フラクタル場発生手段
５…母点変位手段
６…ボロノイ図作成手段
７…パターン出力手段
Ｈｉ…正六角形状のボロノイ多角形
Ｌ１，Ｌ２…二次元フラクタル格子
Ｍ１〜Ｍ６，Ｍｉ…母点
Ｐ…任意の点
Ｑ１ｉ、Ｑ２ｉ…フラクタル格子の格子点
Ｓ１，Ｓ２…フラクタル格子で定義されたスカラー値
ＸＹ…ＸＹ平面
ｘｉ，ｙｉ…座標値
Δｘ，Δｙ…変位量
ｄｙ，ｄｙ…距離
Claims (6)
- 多数の不定形セルからなるパターンを生成する方法であって、
コンピュータが、個々のセルの核となるべき多数の母点を規則的に配置する第１の段階と、
コンピュータが、空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を用意する第２の段階と、
コンピュータが、前記多数の母点を前記フラクタル場を用いてそれぞれ変位させる第３の段階と、
コンピュータが、変位後の母点に対するボロノイ図を作成する第４の段階と、
を有し、前記ボロノイ図に基づいてパターンを生成することを特徴とする不定形セルパターンを生成する方法。 - 請求項１に記載の方法において、
第１の段階で、母点を二次元平面上に配置し、
第２の段階で、所定のスカラー値を自己相似的に二次元平面上の各格子点に定義した二次元フラクタル格子を用意し、
第３の段階で、母点が配置された平面上に前記二次元フラクタル格子を重ね、各母点と各格子点との相互位置関係に基づいて、各母点に特定の格子点を対応づけ、対応する格子点に定義されたスカラー値に基づいて各母点を所定方向に変位させることを特徴とする不定形セルパターンを生成する方法。 - 請求項２に記載の方法において、
第１の段階で、母点をＸＹ平面上に配置し、
第２の段階で、２つのそれぞれ独立した二次元フラクタル格子を用意し、
第３の段階で、各母点を、第１の二次元フラクタル格子の格子点に定義されたスカラー値に基づいてＸ軸方向に移動させ、第２の二次元フラクタル格子の格子点に定義されたスカラー値に基づいてＹ軸方向に移動させることを特徴とする不定形セルパターンを生成する方法。 - 請求項１〜３のいずれかに記載の方法において、
第１の段階で、三角形、四角形もしくは六角形からなるボロノイ多角形が形成されるように、所定平面上に規則的に母点を配置することを特徴とする不定形セルパターンを生成する方法。 - 請求項１〜４のいずれかに記載の方法において、
第４の段階で、任意の点をユークリッド距離が最も小さい母点の勢力圏に所属させることによりボロノイ図を作成することを特徴とする不定形セルパターンを生成する方法。 - 多数の不定形セルからなるパターンを生成する装置であって、
所定のパラメータを入力するパラメータ入力手段と、
乱数を発生させる乱数発生手段と、
個々のセルの核となるべき多数の母点を前記パラメータに基づいて規則的に配置する母点配置手段と、
空間的に自己相似的なベクトルを表現することができるフラクタル場を前記パラメータに基づいて発生させるフラクタル場発生手段と、
前記多数の母点を前記フラクタル場を用いてそれぞれ変位させる母点変位手段と、
変位後の母点に対するボロノイ図を作成するボロノイ図作成手段と、
前記ボロノイ図に基づいてパターンを生成し、これを出力するパターン出力手段と、
を備えることを特徴とする不定形セルパターンを生成する装置。
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