JP3518672B2 - 素数生成装置及び暗号システム - Google Patents
素数生成装置及び暗号システムInfo
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- G06F17/10—Complex mathematical operations
-
- H—ELECTRICITY
- H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
- H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
- H04L9/00—Cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communications; Network security protocols
- H04L9/30—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy
- H04L9/3006—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy underlying computational problems or public-key parameters
- H04L9/3033—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy underlying computational problems or public-key parameters details relating to pseudo-prime or prime number generation, e.g. primality test
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、暗号系に使用する
素数を生成する装置、及び、生成した素数を利用する暗
号システムに関する。
素数を生成する装置、及び、生成した素数を利用する暗
号システムに関する。
【０００２】
【従来の技術】高度情報化社会と呼ばれる現代社会で
は、コンピュータネットワークを基盤として、ビジネス
上の重要な文書・画像情報が電子的な情報という形で伝
送通信されて処理される。このような電子情報は、容易
に複写が可能である、複写物とオリジナルとの区別が困
難であるという性質があり、情報保全の問題が重要視さ
れている。特に、「コンピュータリソースの共有」，
「マルチアクセス」，「広域化」の各要素を満たすコン
ピュータネットワークの実現が高度情報化社会の確立に
不可欠であるが、これは当事者間の情報保全の問題とは
矛盾する要素を含んでいる。このような矛盾を解消する
ための有効な手法として、人類の過去の歴史上主として
軍事，外交面で用いられてきた暗号技術が注目されてい
る。
は、コンピュータネットワークを基盤として、ビジネス
上の重要な文書・画像情報が電子的な情報という形で伝
送通信されて処理される。このような電子情報は、容易
に複写が可能である、複写物とオリジナルとの区別が困
難であるという性質があり、情報保全の問題が重要視さ
れている。特に、「コンピュータリソースの共有」，
「マルチアクセス」，「広域化」の各要素を満たすコン
ピュータネットワークの実現が高度情報化社会の確立に
不可欠であるが、これは当事者間の情報保全の問題とは
矛盾する要素を含んでいる。このような矛盾を解消する
ための有効な手法として、人類の過去の歴史上主として
軍事，外交面で用いられてきた暗号技術が注目されてい
る。
【０００３】暗号とは、情報の意味が当事者以外には理
解できないように情報を交換することである。暗号にお
いて、誰でも理解できる元の文（平文）を第三者には意
味がわからない文（暗号文）に変換することが暗号化で
あり、また、暗号文を平文に戻すことが復号であり、こ
の暗号化と復号との全過程をまとめて暗号系と呼ぶ。暗
号化の過程及び復号の過程には、それぞれ暗号化鍵及び
復号鍵と呼ばれる秘密の情報が用いられる。復号時には
秘密の復号鍵が必要であるので、この復号鍵を知ってい
る者のみが暗号文を復号でき、暗号化によって情報の秘
密性が維持され得る。
解できないように情報を交換することである。暗号にお
いて、誰でも理解できる元の文（平文）を第三者には意
味がわからない文（暗号文）に変換することが暗号化で
あり、また、暗号文を平文に戻すことが復号であり、こ
の暗号化と復号との全過程をまとめて暗号系と呼ぶ。暗
号化の過程及び復号の過程には、それぞれ暗号化鍵及び
復号鍵と呼ばれる秘密の情報が用いられる。復号時には
秘密の復号鍵が必要であるので、この復号鍵を知ってい
る者のみが暗号文を復号でき、暗号化によって情報の秘
密性が維持され得る。
【０００４】暗号化鍵と復号鍵とは、等しくても良い
し、異なっていても良い。両者の鍵が等しい暗号系は、
共通鍵暗号系と呼ばれ、米国商務省標準局が採用したＤ
ＥＳ（Data Encryption Standards)はその典型例であ
る。また、両者の鍵が異なる暗号系の一例として、公開
鍵暗号系と呼ばれる暗号系が提案された。この公開鍵暗
号系は、暗号系を利用する各ユーザが暗号化鍵と復号鍵
とを一対ずつ作成し、暗号化鍵を公開鍵リストにて公開
し、復号鍵のみを秘密に保持するという暗号系である。
公開鍵暗号系では、この一対となる暗号化鍵と復号鍵と
が異なり、一方向性関数を利用することによって暗号化
鍵から復号鍵を割り出せないという特徴を持たせてい
る。
し、異なっていても良い。両者の鍵が等しい暗号系は、
共通鍵暗号系と呼ばれ、米国商務省標準局が採用したＤ
ＥＳ（Data Encryption Standards)はその典型例であ
る。また、両者の鍵が異なる暗号系の一例として、公開
鍵暗号系と呼ばれる暗号系が提案された。この公開鍵暗
号系は、暗号系を利用する各ユーザが暗号化鍵と復号鍵
とを一対ずつ作成し、暗号化鍵を公開鍵リストにて公開
し、復号鍵のみを秘密に保持するという暗号系である。
公開鍵暗号系では、この一対となる暗号化鍵と復号鍵と
が異なり、一方向性関数を利用することによって暗号化
鍵から復号鍵を割り出せないという特徴を持たせてい
る。
【０００５】公開鍵暗号系は、暗号化鍵を公開するとい
う画期的な暗号系であって、高度情報化社会の確立に必
要な上述した３つの要素に適合するものであり、情報通
信技術の分野等での利用を図るべく、その研究が活発に
行われ、典型的な公開鍵暗号系としてＲＳＡ暗号系が提
案された。このＲＳＡ暗号系は、一方向性関数として素
因数分解の困難さ（素因数分解問題）を利用して実現さ
れている。また、離散対数を解くことの困難さ（離散対
数問題）を利用した公開鍵暗号系も種々の手法（ElGama
l 暗号系等）が提案されている。
う画期的な暗号系であって、高度情報化社会の確立に必
要な上述した３つの要素に適合するものであり、情報通
信技術の分野等での利用を図るべく、その研究が活発に
行われ、典型的な公開鍵暗号系としてＲＳＡ暗号系が提
案された。このＲＳＡ暗号系は、一方向性関数として素
因数分解の困難さ（素因数分解問題）を利用して実現さ
れている。また、離散対数を解くことの困難さ（離散対
数問題）を利用した公開鍵暗号系も種々の手法（ElGama
l 暗号系等）が提案されている。
【０００６】以上のように、現代の暗号系には、素因数
分解問題，離散対数問題を利用したものが多く展開され
ており、その暗号系を体系化するためには素数の問題が
極めて重要である。よって、真に素数である整数を短時
間で効率良く生成する手法の開発が望まれている。
分解問題，離散対数問題を利用したものが多く展開され
ており、その暗号系を体系化するためには素数の問題が
極めて重要である。よって、真に素数である整数を短時
間で効率良く生成する手法の開発が望まれている。
【０００７】一般的に素数を生成する場合には、まず、
素数候補を生成し、生成した素数候補が素数であるか否
かを判定（素数判定）し、素数と判定されたものを素数
として生成する。
素数候補を生成し、生成した素数候補が素数であるか否
かを判定（素数判定）し、素数と判定されたものを素数
として生成する。
【０００８】素数判定にかける素数候補を生成するため
の標準的な方法として、次のような試行割算方法が行わ
れている。まず、奇数をランダムに発生させ、発生させ
たその奇数が所定の素数Ｂ以下の各素数で割り切れるか
否かを、小さい素数から順に（３，５，７，…，Ｂの順
に）調べていき、所定の素数Ｄ以下のすべての素数で割
り切れない場合に、その奇数を素数候補とする。
の標準的な方法として、次のような試行割算方法が行わ
れている。まず、奇数をランダムに発生させ、発生させ
たその奇数が所定の素数Ｂ以下の各素数で割り切れるか
否かを、小さい素数から順に（３，５，７，…，Ｂの順
に）調べていき、所定の素数Ｄ以下のすべての素数で割
り切れない場合に、その奇数を素数候補とする。
【０００９】また、素数判定には、Rabin 法等の確率的
素数判定法とPocklington 法等の確定的素数判定法とが
ある。確率的素数判定法と確定的素数判定法とを比較す
ると、前者の判定法は、判定誤差が０ではないが処理時
間は短く、後者の判定法は、処理時間は長いが判定誤差
が０であるという特徴を有している。
素数判定法とPocklington 法等の確定的素数判定法とが
ある。確率的素数判定法と確定的素数判定法とを比較す
ると、前者の判定法は、判定誤差が０ではないが処理時
間は短く、後者の判定法は、処理時間は長いが判定誤差
が０であるという特徴を有している。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】ところで、素因数分解
問題を利用した、例えばＲＳＡ暗号系等の暗号系に素数
を使用する場合、用いる素数が素因数分解法の攻撃に強
い素数であることが望ましいことは勿論である。この素
因数分解法の代表的な方法として、Ｐ−１法，Ｐ＋１法
が知られている。Ｐ−１法とは、Ｎ＝ＰＱ（Ｐ，Ｑ：素
数）で表されるＮについて、Ｐ−１が小さな素数の積の
みからなる場合、素因数分解アルゴリズムによってＮの
素因数分解が比較適容易に解けるという攻撃法である。
また同様に、Ｐ＋１法とは、Ｎ＝ＰＱ（Ｐ，Ｑ：素数）
で表されるＮについて、Ｐ＋１が小さな素数の積のみか
らなる場合、素因数分解アルゴリズムによってＮの素因
数分解が比較適容易に解けるという攻撃法である。
問題を利用した、例えばＲＳＡ暗号系等の暗号系に素数
を使用する場合、用いる素数が素因数分解法の攻撃に強
い素数であることが望ましいことは勿論である。この素
因数分解法の代表的な方法として、Ｐ−１法，Ｐ＋１法
が知られている。Ｐ−１法とは、Ｎ＝ＰＱ（Ｐ，Ｑ：素
数）で表されるＮについて、Ｐ−１が小さな素数の積の
みからなる場合、素因数分解アルゴリズムによってＮの
素因数分解が比較適容易に解けるという攻撃法である。
また同様に、Ｐ＋１法とは、Ｎ＝ＰＱ（Ｐ，Ｑ：素数）
で表されるＮについて、Ｐ＋１が小さな素数の積のみか
らなる場合、素因数分解アルゴリズムによってＮの素因
数分解が比較適容易に解けるという攻撃法である。
【００１１】よって、特に暗号系に使用する素数を生成
する場合には、これらのＰ−１法及びＰ＋１法（以下、
両方を合わせてＰ±１法という）に強い素数を効率的に
発生することが重要である。しかしながら、上述した従
来の素数生成方法では、この点が考慮されずにランダム
に素数候補が生成されるだけであり、Ｐ±１法に強い素
数を効率良く生成できないという問題がある。
する場合には、これらのＰ−１法及びＰ＋１法（以下、
両方を合わせてＰ±１法という）に強い素数を効率的に
発生することが重要である。しかしながら、上述した従
来の素数生成方法では、この点が考慮されずにランダム
に素数候補が生成されるだけであり、Ｐ±１法に強い素
数を効率良く生成できないという問題がある。
【００１２】本発明は斯かる事情に鑑みてなされたもの
であり、Ｐ±１法に強い素数を効率的に生成することが
できる素数生成装置及びその効率的に生成した素数を利
用する暗号システムを提供することを目的とする。
であり、Ｐ±１法に強い素数を効率的に生成することが
できる素数生成装置及びその効率的に生成した素数を利
用する暗号システムを提供することを目的とする。
【００１３】
【課題を解決するための手段】請求項１に係る素数生成
装置は、暗号系に使用する素数を生成する装置におい
て、素数候補を生成する生成手段と、生成した素数候補
が素数であるか否かを判定する判定手段と、所定の素数
以下のある素数ｐについて下記式（Ａ）が成立する数Ａ
を、前記判定手段にて素数判定を行う前に、素数候補か
ら除外する除外手段とを備えることを特徴とする。 Ａ≡１ （ mod ｐ） …（Ａ）
装置は、暗号系に使用する素数を生成する装置におい
て、素数候補を生成する生成手段と、生成した素数候補
が素数であるか否かを判定する判定手段と、所定の素数
以下のある素数ｐについて下記式（Ａ）が成立する数Ａ
を、前記判定手段にて素数判定を行う前に、素数候補か
ら除外する除外手段とを備えることを特徴とする。 Ａ≡１ （ mod ｐ） …（Ａ）
【００１４】
【００１５】
【００１６】請求項２に係る素数生成装置は、暗号系に
使用する素数を生成する装置において、素数候補を生成
する生成手段と、生成した素数候補が素数であるか否か
を判定する判定手段と、所定の素数以下のある素数ｐに
ついて下記式（Ｂ）が成立する数Ａを、前記判定手段に
て素数判定を行う前に、素数候補から除外する除外手段
とを備えることを特徴とする。 Ａ≡−１ （mod ｐ） …（Ｂ）
使用する素数を生成する装置において、素数候補を生成
する生成手段と、生成した素数候補が素数であるか否か
を判定する判定手段と、所定の素数以下のある素数ｐに
ついて下記式（Ｂ）が成立する数Ａを、前記判定手段に
て素数判定を行う前に、素数候補から除外する除外手段
とを備えることを特徴とする。 Ａ≡−１ （mod ｐ） …（Ｂ）
【００１７】請求項３に係る素数生成装置は、暗号系に
使用する素数を生成する装置において、暗号系に使用す
る素数を生成する装置において、素数候補を生成する生
成手段と、生成した素数候補が素数であるか否かを判定
する判定手段と、所定の素数以下のある素数ｐについて
下記式（Ｃ）が成立する数Ａを、前記判定手段にて素数
判定を行う前に、素数候補から除外する除外手段とを備
えることを特徴とする。 Ａ≡０，±１ （mod ｐ） …（Ｃ）
使用する素数を生成する装置において、暗号系に使用す
る素数を生成する装置において、素数候補を生成する生
成手段と、生成した素数候補が素数であるか否かを判定
する判定手段と、所定の素数以下のある素数ｐについて
下記式（Ｃ）が成立する数Ａを、前記判定手段にて素数
判定を行う前に、素数候補から除外する除外手段とを備
えることを特徴とする。 Ａ≡０，±１ （mod ｐ） …（Ｃ）
【００１８】請求項４に係る素数生成装置は、暗号系に
使用する素数を生成する装置において、奇数乱数を用い
て素数候補Ｐ′を生成する生成手段と、Ｐ′＋１，Ｐ′
−１が８の倍数であるか９の倍数であるかを判断する判
断手段と、Ｐ′＋１及びＰ′−１が何れも８，９の何れ
の倍数でもない場合に、その素数候補Ｐ′に対してｐ3
〜ｐn （ｐn ：ｎ番目の素数）までの素数での割算を行
う割算手段と、割算の結果下記式（Ｄ）が成立する素数
候補Ｐ′に対して素数判定を行う判定手段とを備えるこ
とを特徴とする。
使用する素数を生成する装置において、奇数乱数を用い
て素数候補Ｐ′を生成する生成手段と、Ｐ′＋１，Ｐ′
−１が８の倍数であるか９の倍数であるかを判断する判
断手段と、Ｐ′＋１及びＰ′−１が何れも８，９の何れ
の倍数でもない場合に、その素数候補Ｐ′に対してｐ3
〜ｐn （ｐn ：ｎ番目の素数）までの素数での割算を行
う割算手段と、割算の結果下記式（Ｄ）が成立する素数
候補Ｐ′に対して素数判定を行う判定手段とを備えるこ
とを特徴とする。
【００１９】
【数３】
【００２０】請求項５に係る素数生成装置は、暗号系に
使用する素数を生成する装置において、奇数乱数を用い
て素数候補Ｐ′を生成する生成手段と、素数候補Ｐ′に
対してｐ1 〜ｐn （ｐn ：ｎ番目の素数）までの素数で
の割算を行う割算手段と、ｐi ＜ｐm （ｉ：３≦ｉ≦ｎ
の整数，ｍ：３＜ｍ＜ｎの所定の整数）であるｐi につ
いては下記式（Ｅ）が成立し、しかも、ｐi ＞ｐm であ
るｐi については下記式（Ｆ）が成立する素数候補Ｐ′
に対して素数判定を行う判定手段とを備えることを特徴
とする。
使用する素数を生成する装置において、奇数乱数を用い
て素数候補Ｐ′を生成する生成手段と、素数候補Ｐ′に
対してｐ1 〜ｐn （ｐn ：ｎ番目の素数）までの素数で
の割算を行う割算手段と、ｐi ＜ｐm （ｉ：３≦ｉ≦ｎ
の整数，ｍ：３＜ｍ＜ｎの所定の整数）であるｐi につ
いては下記式（Ｅ）が成立し、しかも、ｐi ＞ｐm であ
るｐi については下記式（Ｆ）が成立する素数候補Ｐ′
に対して素数判定を行う判定手段とを備えることを特徴
とする。
【００２１】
【数４】
【００２２】
【００２３】請求項６に係る暗号システムは、平文を暗
号化鍵を用いて暗号文に変換する暗号化器と、前記暗号
文を復号鍵を用いて前記平文に変換する復号器とを備
え、前記暗号化鍵及び／または復号鍵に素数を利用する
暗号システムにおいて、前記素数として、請求項１〜５
の何れかに記載の装置により生成した素数を用いるよう
に構成したことを特徴とする。
号化鍵を用いて暗号文に変換する暗号化器と、前記暗号
文を復号鍵を用いて前記平文に変換する復号器とを備
え、前記暗号化鍵及び／または復号鍵に素数を利用する
暗号システムにおいて、前記素数として、請求項１〜５
の何れかに記載の装置により生成した素数を用いるよう
に構成したことを特徴とする。
【００２４】本発明では、ランダムに奇数を発生した
後、その発生した奇数を小さな素数で割って割り切れる
か否かを検証して割り切れる場合には素数候補としない
が、同時にその素数で割った際の余りが１または−１で
ある場合にも素数候補としない。このような処理を、１
つの発生した奇数に対して、所定の素数以下であって５
以上であるすべての素数について行い、そのすべての素
数について、割り切れない、かつ、余りが１または−１
にならないような奇数を素数候補として生成する。そし
て、このようにして生成した素数候補に対して素数判定
を行って、素数を生成する。よって、Ｐ±１法に強い素
数とはなりえない素数候補を、素数判定前の素数生成の
段階で除去するようにしたので、無駄な素数判定の時間
を省けて、Ｐ±１法に強い素数を極めて効率よく生成す
ることができる。
後、その発生した奇数を小さな素数で割って割り切れる
か否かを検証して割り切れる場合には素数候補としない
が、同時にその素数で割った際の余りが１または−１で
ある場合にも素数候補としない。このような処理を、１
つの発生した奇数に対して、所定の素数以下であって５
以上であるすべての素数について行い、そのすべての素
数について、割り切れない、かつ、余りが１または−１
にならないような奇数を素数候補として生成する。そし
て、このようにして生成した素数候補に対して素数判定
を行って、素数を生成する。よって、Ｐ±１法に強い素
数とはなりえない素数候補を、素数判定前の素数生成の
段階で除去するようにしたので、無駄な素数判定の時間
を省けて、Ｐ±１法に強い素数を極めて効率よく生成す
ることができる。
【００２５】
【発明の実施の形態】以下、本発明をその実施の形態を
示す図面を参照して具体的に説明する。図１は、本発明
における暗号システムの一例を示す構成図であり、図１
は前述した公開鍵暗号系の１つであるＲＳＡ暗号系の構
成を示している。暗号化器１が平文Ｍを暗号化鍵（ｅ，
Ｎ）を用いて暗号化して暗号文Ｃを作成し、復号器２が
この暗号文Ｃを元の平文Ｍに復号鍵（ｄ，Ｎ）を用いて
復号する状態を示している。
示す図面を参照して具体的に説明する。図１は、本発明
における暗号システムの一例を示す構成図であり、図１
は前述した公開鍵暗号系の１つであるＲＳＡ暗号系の構
成を示している。暗号化器１が平文Ｍを暗号化鍵（ｅ，
Ｎ）を用いて暗号化して暗号文Ｃを作成し、復号器２が
この暗号文Ｃを元の平文Ｍに復号鍵（ｄ，Ｎ）を用いて
復号する状態を示している。
【００２６】ここで、暗号化Ｅと復号Ｄとのアルゴリズ
ムは、べき乗剰余演算を用いて次のように表される。 Ｃ＝Ｅ（Ｍ）＝Ｍe （mod Ｎ） Ｍ＝Ｄ（Ｃ）＝Ｃd （mod Ｎ） 但し、ｅ・ｄ≡１（mod lcm(Ｐ−１，Ｑ−１)) Ｎ＝Ｐ・Ｑ（Ｐ，Ｑは大きな素数） ｅ，Ｎ：公開鍵 ｄ：秘密鍵 lcm(Least Common Multiple ）：最小公倍数
ムは、べき乗剰余演算を用いて次のように表される。 Ｃ＝Ｅ（Ｍ）＝Ｍe （mod Ｎ） Ｍ＝Ｄ（Ｃ）＝Ｃd （mod Ｎ） 但し、ｅ・ｄ≡１（mod lcm(Ｐ−１，Ｑ−１)) Ｎ＝Ｐ・Ｑ（Ｐ，Ｑは大きな素数） ｅ，Ｎ：公開鍵 ｄ：秘密鍵 lcm(Least Common Multiple ）：最小公倍数
【００２７】図２は、例えば図１に示すようなＲＳＡ暗
号系で使用されるＰ±１法に強い素数（Ｐ，Ｑ）を効率
良く生成する本発明の素数生成装置の構成図、図３は、
その素数生成の動作手順を示すフローチャートである。
図２に示すように、素数生成装置10は、素数候補Ｐ′を
生成する素数候補生成器３と、入力される素数候補Ｐ′
に対して確率的素数判定法または確定的素数判定法によ
る素数判定を行ってその判定結果を出力する素数判定器
４とを有する。
号系で使用されるＰ±１法に強い素数（Ｐ，Ｑ）を効率
良く生成する本発明の素数生成装置の構成図、図３は、
その素数生成の動作手順を示すフローチャートである。
図２に示すように、素数生成装置10は、素数候補Ｐ′を
生成する素数候補生成器３と、入力される素数候補Ｐ′
に対して確率的素数判定法または確定的素数判定法によ
る素数判定を行ってその判定結果を出力する素数判定器
４とを有する。
【００２８】素数候補生成器３は、後述する方式に従っ
て素数候補Ｐ′を生成し（ステップＳ１）、生成した素
数候補Ｐ′を素数判定器４へ出力する（ステップＳ
２）。素数判定器４は、確率的素数判定法または確定的
素数判定法に基づいて、入力された素数候補Ｐ′が素数
であるか否かを判定する（ステップＳ３）。その判定の
結果、素数である場合には（Ｓ４：ＹＥＳ）、その素数
候補Ｐ′を素数として出力し（ステップＳ５）、素数で
ない場合には（Ｓ４：ＮＯ）、その素数候補Ｐ′を非素
数として出力する（ステップＳ６）。
て素数候補Ｐ′を生成し（ステップＳ１）、生成した素
数候補Ｐ′を素数判定器４へ出力する（ステップＳ
２）。素数判定器４は、確率的素数判定法または確定的
素数判定法に基づいて、入力された素数候補Ｐ′が素数
であるか否かを判定する（ステップＳ３）。その判定の
結果、素数である場合には（Ｓ４：ＹＥＳ）、その素数
候補Ｐ′を素数として出力し（ステップＳ５）、素数で
ない場合には（Ｓ４：ＮＯ）、その素数候補Ｐ′を非素
数として出力する（ステップＳ６）。
【００２９】上述の処理において、本発明は、素数候補
Ｐ′を生成する方法に特徴があり、Ｐ±１法に強い素数
となり得ない素数候補Ｐ′は生成しないようにして、Ｐ
±１法に強い素数となり得る素数候補Ｐ′のみを生成す
ることにより、Ｐ±１法に強い素数を効率的に生成でき
るようにしている。なお、素数判定は、一般的な判定法
を利用するので、その説明は省略する。
Ｐ′を生成する方法に特徴があり、Ｐ±１法に強い素数
となり得ない素数候補Ｐ′は生成しないようにして、Ｐ
±１法に強い素数となり得る素数候補Ｐ′のみを生成す
ることにより、Ｐ±１法に強い素数を効率的に生成でき
るようにしている。なお、素数判定は、一般的な判定法
を利用するので、その説明は省略する。
【００３０】以下、本発明の特徴部分である素数候補生
成の方法について詳述する。まず、本発明の記述におい
て以下のことを定義する。 〔定義１〕Ｍを素数の集合と定義する。 〔定義２〕ｐn をｎ番目の素数とする。 〔定義３〕生成した素数候補が素数となる確率を素数の
生成率と定義する。
成の方法について詳述する。まず、本発明の記述におい
て以下のことを定義する。 〔定義１〕Ｍを素数の集合と定義する。 〔定義２〕ｐn をｎ番目の素数とする。 〔定義３〕生成した素数候補が素数となる確率を素数の
生成率と定義する。
【００３１】〔定理１：基本素数定理〕ｐi ≦ｘを満た
す素数ｐi の個数π（ｘ）は下記式（１）で近似され
る。
す素数ｐi の個数π（ｘ）は下記式（１）で近似され
る。
【００３２】
【数５】
【００３３】奇数乱数を用いて生成した素数候補Ｐ′が
素数となる確率は、下記式（２）のように概ね見積もる
ことができる。
素数となる確率は、下記式（２）のように概ね見積もる
ことができる。
【００３４】
【数６】
【００３５】大きな素数候補Ｐ′が素数になる確率を上
記式（２）に従って計算することは困難である。よっ
て、素数候補Ｐ′がｎビットである場合には、定理１を
用いて式（２）の近似式として下記式（３）を用いる。
記式（２）に従って計算することは困難である。よっ
て、素数候補Ｐ′がｎビットである場合には、定理１を
用いて式（２）の近似式として下記式（３）を用いる。
【００３６】
【数７】
【００３７】素数ＰがＰ±１法に強い素数であるために
は、Ｐ±１が大きな素因数を持つことが必要である。こ
こで、Ｐ±１法への強度を評価するため、以下のような
指標関数を定義する。
は、Ｐ±１が大きな素因数を持つことが必要である。こ
こで、Ｐ±１法への強度を評価するため、以下のような
指標関数を定義する。
【００３８】〔定義４：指標関数〕Ｐ−１とＰ＋１とを
掛け合わせた下記式（４）で示される関数Ｆ（Ｐ）を指
標関数と定義する。 Ｆ（Ｐ）＝（Ｐ−１）（Ｐ＋１） …（４）
掛け合わせた下記式（４）で示される関数Ｆ（Ｐ）を指
標関数と定義する。 Ｆ（Ｐ）＝（Ｐ−１）（Ｐ＋１） …（４）
【００３９】素数Ｐについて、Ｐ−１，Ｐ＋１は連続す
る偶数であるので、そのうちの何れか一方が４の倍数で
あって他方が２の倍数である。また、Ｐ−１，Ｐ，Ｐ＋
１は連続する３数であってＰが３の倍数ではないので、
Ｐ−１，Ｐ＋１の何れか一方が３の倍数である。従っ
て、任意の素数Ｐについて24｜Ｆ（Ｐ）となる。これに
よりＰ±１法に対して最も強い素数（最強素数）Ｐを以
下のように定義することができる。
る偶数であるので、そのうちの何れか一方が４の倍数で
あって他方が２の倍数である。また、Ｐ−１，Ｐ，Ｐ＋
１は連続する３数であってＰが３の倍数ではないので、
Ｐ−１，Ｐ＋１の何れか一方が３の倍数である。従っ
て、任意の素数Ｐについて24｜Ｆ（Ｐ）となる。これに
よりＰ±１法に対して最も強い素数（最強素数）Ｐを以
下のように定義することができる。
【００４０】〔定義５：最強素数〕素数Ｐについて、ｐ
- ，ｐ+ をそれぞれＰ−１，Ｐ＋１の素因数とする。指
標関数が下記式（５）で表される素数を最強素数と定義
する。 Ｆ（Ｐ）＝24・ｐ- ・ｐ+ …（５）
- ，ｐ+ をそれぞれＰ−１，Ｐ＋１の素因数とする。指
標関数が下記式（５）で表される素数を最強素数と定義
する。 Ｆ（Ｐ）＝24・ｐ- ・ｐ+ …（５）
【００４１】〔定義６〕最強素数の集合をＭbestと定義
する。奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成した場合、
最強素数の生成率Prob（Ｐ′∈Ｍbest）は下記式（６）
のように見積もることができる。
する。奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成した場合、
最強素数の生成率Prob（Ｐ′∈Ｍbest）は下記式（６）
のように見積もることができる。
【００４２】
【数８】
【００４３】Ｐ′及びＰ′の指標関数Ｆ（Ｐ′）をＰ′
1/2 以下の素数ｐi が割り切る確率を考えることによ
り、式（６）を導出する。 （ｉ）ｐi ＝２の場合 Ｐ′−１，Ｐ′＋１は連続する偶数であるので式（７）
を満たす。また、式（８）が成立し、Ｐ′は奇数である
ので、式（９）のように見積もることができる。
1/2 以下の素数ｐi が割り切る確率を考えることによ
り、式（６）を導出する。 （ｉ）ｐi ＝２の場合 Ｐ′−１，Ｐ′＋１は連続する偶数であるので式（７）
を満たす。また、式（８）が成立し、Ｐ′は奇数である
ので、式（９）のように見積もることができる。
【００４４】
【数９】
【００４５】（ii）ｐi ＝３の場合
Ｐ′−１，Ｐ′，Ｐ′＋１は連続する３数であるので、
式（10）を満たす。また、式（11）が成立するので、式
（12）のように見積もることができる。
式（10）を満たす。また、式（11）が成立するので、式
（12）のように見積もることができる。
【００４６】
【数１０】
【００４７】（iii)ｐi ≧５の場合
下記式（13）を満たす。また、Ｐ′mod ｐi は等頻度で
０，１，…，ｐi −１の値をとるので、式（14）が成立
する。
０，１，…，ｐi −１の値をとるので、式（14）が成立
する。
【００４８】
【数１１】
【００４９】従って、以上のことから、最強素数の生成
率を上記式（６）と見積もることができる。
率を上記式（６）と見積もることができる。
【００５０】大きな素数候補Ｐ′については、式（６）
を計算することは困難であるので、式（６）を変形し式
（３）を用いて近似することで最強素数の生成率を導出
する。
を計算することは困難であるので、式（６）を変形し式
（３）を用いて近似することで最強素数の生成率を導出
する。
【００５１】一般に下記式（15）が成立するので、式
（６）は下記式（16）のように変形できる。
（６）は下記式（16）のように変形できる。
【００５２】
【数１２】
【００５３】但し、ｐi ＜Ｐ′1/2 を満たす最大のｉを
ｎとし、αn ，βn はそれぞれ式（17），（18）を満た
すものとする。
ｎとし、αn ，βn はそれぞれ式（17），（18）を満た
すものとする。
【００５４】
【数１３】
【００５５】まず、αn が収束することをはさみうち法
を用いて示す。ｉ＞２となる任意のｉについて、ｐi −
ｐi-1 ≧２より、下記式（19）が明らかに成立し、下記
式（20）も成立する。
を用いて示す。ｉ＞２となる任意のｉについて、ｐi −
ｐi-1 ≧２より、下記式（19）が明らかに成立し、下記
式（20）も成立する。
【００５６】
【数１４】
【００５７】ここで、ｓn を式（21）のように設定し、
αn 及び式（21）を用いて式（20）を書き換えると、式
（22）及び（23）が成立する。
αn 及び式（21）を用いて式（20）を書き換えると、式
（22）及び（23）が成立する。
【００５８】
【数１５】
【００５９】ここで、ζ（・）をゼータ関数とすると、
それは下記式（24）で定義され、これを用いると、ζ
（２）＝π2 ／６より、下記式（25）が成立する。
それは下記式（24）で定義され、これを用いると、ζ
（２）＝π2 ／６より、下記式（25）が成立する。
【００６０】
【数１６】
【００６１】また、式（23）において、αk ／ｓk-1 は
単調に増加し、αk ／ｓk は単調に減少するので、はさ
みうち法によって、式（17）で示されるαn は収束す
る。
単調に増加し、αk ／ｓk は単調に減少するので、はさ
みうち法によって、式（17）で示されるαn は収束す
る。
【００６２】上限と下限との比は下記式（26）で示さ
れ、ｋの値を増やすと高速に１に近づきその収束速度は
非常に速い。式（23）について例えばｋ＝10000 まで計
算した結果、下記式（27）で示すような値を得た。
れ、ｋの値を増やすと高速に１に近づきその収束速度は
非常に速い。式（23）について例えばｋ＝10000 まで計
算した結果、下記式（27）で示すような値を得た。
【００６３】
【数１７】
【００６４】また、βn についても同様に、ｉ＞２とな
る任意のｉについて、ｐi −ｐi-1≧２となるので、下
記式（28）が明らかに成立する。また、αk の場合と同
様に、下記式（29）の関係を導くことができる。
る任意のｉについて、ｐi −ｐi-1≧２となるので、下
記式（28）が明らかに成立する。また、αk の場合と同
様に、下記式（29）の関係を導くことができる。
【００６５】
【数１８】
【００６６】よって、βn も急速に収束し、式（29）に
ついて例えばｋ＝10000 まで計算した結果、下記式（3
0）で示すような値を得た。
ついて例えばｋ＝10000 まで計算した結果、下記式（3
0）で示すような値を得た。
【００６７】
【数１９】
【００６８】従って、式（６）を以下の式（31）のよう
に近似することができる。
に近似することができる。
【００６９】
【数２０】
【００７０】上述のように定義した最強素数は、Ｐ±１
法に対して非常に強度は高いが、数が少なくて、必ずし
も生成が容易であるとは言えず、実用的ではない。そこ
で、Ｐ±１の因数に比較的小さな素数を許す場合には、
Ｐ±１法に対して十分な強度を保ちつつ、しかも最強素
数に比べて容易に素数を生成できる。このように、実用
的に生成されるＰ±１法に強い素数（強素数）について
説明する。
法に対して非常に強度は高いが、数が少なくて、必ずし
も生成が容易であるとは言えず、実用的ではない。そこ
で、Ｐ±１の因数に比較的小さな素数を許す場合には、
Ｐ±１法に対して十分な強度を保ちつつ、しかも最強素
数に比べて容易に素数を生成できる。このように、実用
的に生成されるＰ±１法に強い素数（強素数）について
説明する。
【００７１】Ｐ±１の因数が、大きな１つの素数と一定
値以下の小さな素数とでのみ構成される以下の素数を定
義する。 〔定義７：ｐm −強素数〕素数Ｐについて、ｐ- ，ｐ+
をそれぞれＰ−１，Ｐ＋１のｐm より大きな素因数とす
る。指標関数が下記式（32）で表される素数をｐm −強
素数と定義する。
値以下の小さな素数とでのみ構成される以下の素数を定
義する。 〔定義７：ｐm −強素数〕素数Ｐについて、ｐ- ，ｐ+
をそれぞれＰ−１，Ｐ＋１のｐm より大きな素因数とす
る。指標関数が下記式（32）で表される素数をｐm −強
素数と定義する。
【００７２】
【数２１】
【００７３】〔定義８〕ｐm −強素数の集合をＭbetter
(m) と定義する。素数候補を奇数乱数を用いて生成した
場合、強素数の生成率は、最強素数と同様にして、下記
式（33）のように見積もることができる。
(m) と定義する。素数候補を奇数乱数を用いて生成した
場合、強素数の生成率は、最強素数と同様にして、下記
式（33）のように見積もることができる。
【００７４】
【数２２】
【００７５】計算機を用いて実際に64ビットから128 ビ
ットまで２ビット毎に1000000 個の奇数乱数を生成し、
それが最強素数になる確率及びｐ9 −強素数になる確率
を計算した。その測定結果を図４に示す。なお、図４に
は、上記式（６）及び式（33）に従って算出した理論的
な予測値も併せて示す。最強素数については予測値と実
験値とがほとんど一致する結果が得られ、また、ｐ9 −
強素数についても予測値と実験値とがほぼ一致する結果
が得られた。
ットまで２ビット毎に1000000 個の奇数乱数を生成し、
それが最強素数になる確率及びｐ9 −強素数になる確率
を計算した。その測定結果を図４に示す。なお、図４に
は、上記式（６）及び式（33）に従って算出した理論的
な予測値も併せて示す。最強素数については予測値と実
験値とがほとんど一致する結果が得られ、また、ｐ9 −
強素数についても予測値と実験値とがほぼ一致する結果
が得られた。
【００７６】素数Ｐが最強素数または強素数になるため
には、Ｐ±１が小さな素因数ｐi を持たないことが必要
である。即ち、下記式（34）が成立することが必要であ
る。
には、Ｐ±１が小さな素因数ｐi を持たないことが必要
である。即ち、下記式（34）が成立することが必要であ
る。
【００７７】
【数２３】
【００７８】よって、素数候補Ｐ′を素数判定する前
に、試行割算を行い、Ｐ′≡０，±１（mod ｐi ）とな
る素数候補を予め除去することにより、最強素数及び強
素数を効率的に生成することができる。以下、このよう
な生成法について具体的に説明する。
に、試行割算を行い、Ｐ′≡０，±１（mod ｐi ）とな
る素数候補を予め除去することにより、最強素数及び強
素数を効率的に生成することができる。以下、このよう
な生成法について具体的に説明する。
【００７９】（第１実施の形態：最強素数の効率的生
成） 奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成し、Ｐ′±１が何
れも、８の倍数でなく、しかも９の倍数でないことを検
査した後、そのＰ′に対してｐ3 〜ｐn までの素数につ
いて試行割算を実行する。Ｐ′≡０，±１（mod ｐi ）
となった場合は別の素数候補を再生成して最初からやり
直す。全ての検査を通過したもののみについて最強素数
か否かの判定を行う。oddrandom( )を奇数乱数生成関
数、isbestprime(Ｐ′）をＰ′に対して最強素数判定を
行う関数として、以下に第１実施の形態のアルゴリムを
示す。
成） 奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成し、Ｐ′±１が何
れも、８の倍数でなく、しかも９の倍数でないことを検
査した後、そのＰ′に対してｐ3 〜ｐn までの素数につ
いて試行割算を実行する。Ｐ′≡０，±１（mod ｐi ）
となった場合は別の素数候補を再生成して最初からやり
直す。全ての検査を通過したもののみについて最強素数
か否かの判定を行う。oddrandom( )を奇数乱数生成関
数、isbestprime(Ｐ′）をＰ′に対して最強素数判定を
行う関数として、以下に第１実施の形態のアルゴリムを
示す。
【００８０】〈第１実施の形態のアルゴリム〉
ＬＯＯＰ：
Ｐ′←oddrandom( )；
if Ｐ′mod ８＝１ or ７
then goto ＬＯＯＰ；
if Ｐ′mod ９＝０ or １ or ３ or ６ or ８
then goto ＬＯＯＰ；
for ｉ＝３ to ｎ do
begin
if Ｐ′mod ｐi ＝１ or ０ or ｐi ＝−１
then goto ＬＯＯＰ；
end
if isbestprime(Ｐ′）＝ＴＲＵＥ
then print Ｐ′，exit；
else goto ＬＯＯＰ；
【００８１】この第１実施の形態では、最強素数となり
得ない素数候補を素数判定前に除去するので、無駄な素
数判定の時間が省け、高速に効率良く最強素数を生成で
きる。
得ない素数候補を素数判定前に除去するので、無駄な素
数判定の時間が省け、高速に効率良く最強素数を生成で
きる。
【００８２】第１実施の形態及び従来の試行割算方法に
おいて、88ビットから160 ビットまで８ビット毎に最強
素数を100 個生成する時間を測定した。何れの方法にお
いてもｐ3 〜ｐ500 までの素数で試行割算による検査を
実行した。この測定結果を図５に示す。例えば120 ビッ
トの素数において、第１実施の形態では、従来の試行割
算方法と比べて16倍程度の生成速度を示しており、最強
素数を極めて効率良く生成できていることが分かる。
おいて、88ビットから160 ビットまで８ビット毎に最強
素数を100 個生成する時間を測定した。何れの方法にお
いてもｐ3 〜ｐ500 までの素数で試行割算による検査を
実行した。この測定結果を図５に示す。例えば120 ビッ
トの素数において、第１実施の形態では、従来の試行割
算方法と比べて16倍程度の生成速度を示しており、最強
素数を極めて効率良く生成できていることが分かる。
【００８３】（第２実施の形態：強素数の効率的生成）
奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成し、Ｐ′に対して
ｐ1 〜ｐn までの素数で試行割算を実行する。ｐi ＜ｐ
m となるｐi では、Ｐ′≡０（mod ｐi ）となる場合の
み素数候補を再生成する。ｐi ＞ｐm となるｐi につい
ては、第１実施の形態と同様に、Ｐ′≡０，±１（mod
ｐi ）となった場合に素数候補を再生成する。全ての検
査を通過したもののみについて強素数か否かの判定を行
う。isbetterprime(Ｐ′）をＰ′に対して強素数判定を
行う関数として、以下に第２実施の形態のアルゴリムを
示す。
奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成し、Ｐ′に対して
ｐ1 〜ｐn までの素数で試行割算を実行する。ｐi ＜ｐ
m となるｐi では、Ｐ′≡０（mod ｐi ）となる場合の
み素数候補を再生成する。ｐi ＞ｐm となるｐi につい
ては、第１実施の形態と同様に、Ｐ′≡０，±１（mod
ｐi ）となった場合に素数候補を再生成する。全ての検
査を通過したもののみについて強素数か否かの判定を行
う。isbetterprime(Ｐ′）をＰ′に対して強素数判定を
行う関数として、以下に第２実施の形態のアルゴリムを
示す。
【００８４】〈第２実施の形態のアルゴリム〉
ＬＯＯＰ：
Ｐ′←oddrandom( )；
for ｉ＝２ to ｎ do
begin
if Ｐ′mod ｐi ＝０
then goto ＬＯＯＰ；
if ｉ＞ｍ
then
if Ｐ′mod ｐi ＝１ or ｐi ＝−１
then goto ＬＯＯＰ；
end
if isbetterprime(Ｐ′）＝ＴＲＵＥ
then print Ｐ′，exit；
else goto ＬＯＯＰ；
【００８５】この第２実施の形態においても、第１実施
の形態と同様に、強素数となり得ない素数候補を素数判
定前に除去するので、無駄な素数判定の時間が省け、高
速に効率良く強素数を生成できる。
の形態と同様に、強素数となり得ない素数候補を素数判
定前に除去するので、無駄な素数判定の時間が省け、高
速に効率良く強素数を生成できる。
【００８６】第２実施の形態及び従来の試行割算方法に
おいて、88ビットから160 ビットまで８ビット毎にｐ4
−強素数を100 個生成する時間を測定した。何れの方式
においてもｐ3 〜ｐ500 までの素数で試行割算による検
査を実行した。この測定結果を図６に示す。例えば120
ビットの素数において、第２実施の形態では、従来の試
行割算方法と比べて８倍程度の生成速度を示しており、
強素数を極めて効率良く生成できていることが分かる。
おいて、88ビットから160 ビットまで８ビット毎にｐ4
−強素数を100 個生成する時間を測定した。何れの方式
においてもｐ3 〜ｐ500 までの素数で試行割算による検
査を実行した。この測定結果を図６に示す。例えば120
ビットの素数において、第２実施の形態では、従来の試
行割算方法と比べて８倍程度の生成速度を示しており、
強素数を極めて効率良く生成できていることが分かる。
【００８７】（第３実施の形態）ところで、最強素数ま
たは強素数程の強度は必要なく、Ｐ±１法に比較的強い
素数を高速に生成したいという要求も考えられる。この
ような場合には、第１実施の形態で用いた最強素数判定
関数isbestprime(Ｐ′）または第２実施の形態で用いた
強素数判定関数isbetterprime(Ｐ′）を、素数判定関数
isprime(Ｐ′）に置換するようにすれば、従来の試行割
算方法によって生成した素数よりもＰ±１法に強い素数
を非常に高速に生成することができる。
たは強素数程の強度は必要なく、Ｐ±１法に比較的強い
素数を高速に生成したいという要求も考えられる。この
ような場合には、第１実施の形態で用いた最強素数判定
関数isbestprime(Ｐ′）または第２実施の形態で用いた
強素数判定関数isbetterprime(Ｐ′）を、素数判定関数
isprime(Ｐ′）に置換するようにすれば、従来の試行割
算方法によって生成した素数よりもＰ±１法に強い素数
を非常に高速に生成することができる。
【００８８】図７は、第３実施の形態と従来の試行割算
方法とに従って、100 ビットから300 ビットまで20ビッ
ト毎に1000個の素数を生成する際に要した時間を示すグ
ラフである。図７において、×は従来の試行割算方法に
よる素数生成の所要時間を表しており、1000番目までの
各素数で割り切れるか否かを検査した後に、素数判定を
施している。また、図７において、○は第３実施の形態
による素数生成の所要時間を表しており、従来と同様に
99番目までの各素数で割り切れるか否かを検査し、100
番目から1000番目の各素数まで第３実施の形態による検
査を行った後に、素数判定を施している。
方法とに従って、100 ビットから300 ビットまで20ビッ
ト毎に1000個の素数を生成する際に要した時間を示すグ
ラフである。図７において、×は従来の試行割算方法に
よる素数生成の所要時間を表しており、1000番目までの
各素数で割り切れるか否かを検査した後に、素数判定を
施している。また、図７において、○は第３実施の形態
による素数生成の所要時間を表しており、従来と同様に
99番目までの各素数で割り切れるか否かを検査し、100
番目から1000番目の各素数まで第３実施の形態による検
査を行った後に、素数判定を施している。
【００８９】確かに、第３実施の形態では従来例に比べ
て素数生成の所要時間は長くなっているが、従来例では
単に素数を生成しているだけであるのに対して、第３実
施の形態では、Ｐ±１法に対して比較的強い素数を生成
できる点を考えれば、この程度の増加は問題ではない。
また、ビット数が大きくなっても、その素数生成の所要
時間の増加率が、第３実施の形態では従来例とほとんど
変わらない。
て素数生成の所要時間は長くなっているが、従来例では
単に素数を生成しているだけであるのに対して、第３実
施の形態では、Ｐ±１法に対して比較的強い素数を生成
できる点を考えれば、この程度の増加は問題ではない。
また、ビット数が大きくなっても、その素数生成の所要
時間の増加率が、第３実施の形態では従来例とほとんど
変わらない。
【００９０】なお、上述した実施の形態では、ある整数
を素数で割った際の余りが０，±１の何れでもない場合
にその整数を素数候補とすることとしたが、ある整数を
素数で割った際の余りが１である場合にその整数を素数
候補とするようにしても良く、また、ある整数を素数で
割った際の余りが−１である場合にその整数を素数候補
とするようにしても良い。
を素数で割った際の余りが０，±１の何れでもない場合
にその整数を素数候補とすることとしたが、ある整数を
素数で割った際の余りが１である場合にその整数を素数
候補とするようにしても良く、また、ある整数を素数で
割った際の余りが−１である場合にその整数を素数候補
とするようにしても良い。
【００９１】
【発明の効果】以上のように、本発明では、Ｐ±１法に
強い素数とはなり得ない素数候補を素数判定の前に除去
するようにしたので、Ｐ±１法に強い素数を効率良く生
成することが可能となる。よって、素因数問題，離散対
数問題を利用した暗号系の発展に本発明は寄与できる。
強い素数とはなり得ない素数候補を素数判定の前に除去
するようにしたので、Ｐ±１法に強い素数を効率良く生
成することが可能となる。よって、素因数問題，離散対
数問題を利用した暗号系の発展に本発明は寄与できる。
【図１】ＲＳＡ暗号系の構成を示す模式図である。
【図２】本発明の素数生成装置の構成図である。
【図３】本発明における素数生成の動作手順を示すフロ
ーチャートである。
ーチャートである。
【図４】最強素数または強素数になる確率（予測値と実
験値）を示すグラフである。
験値）を示すグラフである。
【図５】第１実施の形態と従来例とにおける最強素数の
生成時間を示すグラフである。
生成時間を示すグラフである。
【図６】第２実施の形態と従来例とにおける強素数の生
成時間を示すグラフである。
成時間を示すグラフである。
【図７】第３実施の形態と従来例とにおける素数生成の
所要時間を示すグラフである。
所要時間を示すグラフである。
１ 暗号化器
２ 復号器
３ 素数候補生成器
４ 素数判定器
10 素数生成装置
フロントページの続き
(56)参考文献 特開 平２−37383（ＪＰ，Ａ)
特開 平９−73269（ＪＰ，Ａ)
特開 平10−207363（ＪＰ，Ａ)
特開 平10−144829（ＪＰ，Ａ)
特開 平11−52852（ＪＰ，Ａ)
特開 平11−52853（ＪＰ，Ａ)
特殊な素数の分布に関する二，三の考
察，電子情報通信学会技術研究報告,
1997年 ７月18日，Ｖｏｌ．97 Ｎｏ.
180，ｐ．13−18
Ｆａｓｔ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏ
ｆ Ｓｅｃｕｒｅ ＲＳＡ−Ｍｏｄｕｌ
ｉ ｗｉｔｈ Ａｌｍｏｓｔ Ｍａｘｉ
ｍａｌ Ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｅｃｔ
ｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕ
ｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，1991年 ２月
４日，Ｖｏｌ．434，ｐ．636−647
Ｆａｓｔ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏ
ｆ Ｐｒｉｍｅ Ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎ
ｄ Ｓｅｃｕｒｅ Ｐｕｂｌｉｃ−Ｋｅ
ｙ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｉｃ Ｐａ
ｒａｍｅｔｅｒｓ，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏ
ｆ ＣＲＹＰＴＯＬＯＧＹ，1995年10月
30日，Ｖｏｌ．８ Ｎｏ．３，ｐ．123
−155
(58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名)
G09C 1/00 650
G06F 17/10
ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)
Claims (6)
- 【請求項１】 暗号系に使用する素数を生成する装置に
おいて、素数候補を生成する生成手段と、生成した素数
候補が素数であるか否かを判定する判定手段と、所定の
素数以下のある素数ｐについて下記式（Ａ）が成立する
数Ａを、前記判定手段にて素数判定を行う前に、素数候
補から除外する除外手段とを備えることを特徴とする素
数生成装置。Ａ≡１ （ mod ｐ） …（Ａ） - 【請求項２】 暗号系に使用する素数を生成する装置に
おいて、素数候補を生成する生成手段と、生成した素数
候補が素数であるか否かを判定する判定手段と、所定の
素数以下のある素数ｐについて下記式（Ｂ）が成立する
数Ａを、前記判定手段にて素数判定を行う前に、素数候
補から除外する除外手段とを備えることを特徴とする素
数生成装置。Ａ≡−１ （ mod ｐ） …（Ｂ） - 【請求項３】 暗号系に使用する素数を生成する装置に
おいて、素数候補を生成する生成手段と、生成した素数
候補が素数であるか否かを判定する判定手段と、所定の
素数以下のある素数ｐについて下記式（Ｃ）が成立する
数Ａを、前記判定手段にて素数判定を行う前に、素数候
補から除外する除外手段とを備えることを特徴とする素
数生成装置。 Ａ≡０，±１ （mod ｐ） …（Ｃ） - 【請求項４】 暗号系に使用する素数を生成する装置に
おいて、奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成する生成
手段と、Ｐ′＋１，Ｐ′−１が８の倍数であるか９の倍
数であるかを判断する判断手段と、Ｐ′＋１及びＰ′−
１が何れも８，９の何れの倍数でもない場合に、その素
数候補Ｐ′に対してｐ 3 〜ｐ n （ｐ n ：ｎ番目の素数）
までの素数での割算を行う割算手段と、割算の結果下記
式（Ｄ）が成立する素数候補Ｐ′に対して素数判定を行
う判定手段とを備えることを特徴とする素数生成装置。 【数１】 - 【請求項５】 暗号系に使用する素数を生成する装置に
おいて、奇数乱数を用いて素数候補Ｐ′を生成する生成
手段と、素数候補Ｐ′に対してｐ 1 〜ｐ n （ｐ n ：ｎ番
目の素数）までの素数での割算を行う割算手段と、ｐ i
＜ｐ m （ｉ：３≦ｉ≦ｎの整数，ｍ：３＜ｍ＜ｎの所定
の整数）であるｐ i については下記式（Ｅ）が成立し、
しかも、ｐ i ＞ｐ m であるｐ i については下記式（Ｆ）
が成立する素数候補Ｐ′に対して素数判定を行う判定手
段とを備えることを特徴とする素数生成装置。 【数２】 - 【請求項６】 平文を暗号化鍵を用いて暗号文に変換す
る暗号化器と、前記暗号文を復号鍵を用いて前記平文に
変換する復号器とを備え、前記暗号化鍵及び／または復
号鍵に素数を利用する暗号システムにおいて、前記素数
として、請求項１〜５の何れかに記載の装置により生成
した素数を用いるように構成したことを特徴とする暗号
システム。
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| WO2005064843A1 (ja) * | 2003-12-26 | 2005-07-14 | Matsushita Electric Industrial Co.,Ltd. | 素数算出装置及び方法並びに鍵発行システム |
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| JP2011123356A (ja) * | 2009-12-11 | 2011-06-23 | Oki Semiconductor Co Ltd | 素数生成装置、素数生成方法、及び素数生成プログラム |
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| KR102200132B1 (ko) * | 2018-12-31 | 2021-01-08 | 한양대학교 산학협력단 | 오일러체를 이용한 소수 검사 방법 및 장치 |
| US20220085998A1 (en) * | 2020-09-11 | 2022-03-17 | Cryptography Research, Inc. | System and method to generate prime numbers in cryptographic applications |
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|---|---|---|---|---|
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-
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Non-Patent Citations (3)
| Title |
|---|
| Ｆａｓｔ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｒｉｍｅ Ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ Ｓｅｃｕｒｅ Ｐｕｂｌｉｃ−Ｋｅｙ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｉｃ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＣＲＹＰＴＯＬＯＧＹ，１９９５年１０月３０日，Ｖｏｌ．８ Ｎｏ．３，ｐ．１２３−１５５ |
| Ｆａｓｔ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｃｕｒｅ ＲＳＡ−Ｍｏｄｕｌｉ ｗｉｔｈ Ａｌｍｏｓｔ Ｍａｘｉｍａｌ Ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９１年 ２月 ４日，Ｖｏｌ．４３４，ｐ．６３６−６４７ |
| 特殊な素数の分布に関する二，三の考察，電子情報通信学会技術研究報告，１９９７年 ７月１８日，Ｖｏｌ．９７ Ｎｏ．１８０，ｐ．１３−１８ |
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