JPH0237383A - 素数生成方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、（ｐ±１）法素因数分解にも強い素数生成技
術に関するものであり、公開鍵暗号の鍵を生成するため
に利用される。

〔従来の技術〕

通信ネットワークを介して、会議や種々の取引を電子的
に行うビジネス通信の時代が始まり、情報セキュリティ
の必要性は増大しつつある。情報セキュリティを確保す
るための暗号技術の一つであるＲ３Ａ暗号方式やＲＡＢ
ＩＮ暗号方式は、データ保護だけでなく、相手認証の機
能を持つことから、有用な暗号方式と考えられている。

また、実用上のネックとされていた多大な暗号処理時間
も、ハードウェア、ソフトウェアの発展によって高速化
が実現し、今後ますますＲ３Ａ暗号方式は注目されると
考えられる。

〔発明が解決しようとする課題〕

Ｒ８Ａ暗号方式は、暗号化鍵とてし、秘密鍵と公開鍵を
必要とするが、公開鍵から秘密鍵を推定するのは計算量
的に困難だとされている。つまり。

Ｒ８Ａ暗号方式の安全性は、公開鍵であるｎ＝ｐ×ｑ（
ｐ＋ｑは素数）の素因数分解の困難さに依存することに
なる。しかし、（ｐ±１）法素因数分解は、（ｐ−１）
あるいは（ｐ　＋　１）が小さな素数の積だけからなる
場合には、有効な素因数分解法があることを示している
。そこで、（ｐ±１）法による素因数分解のアタックを
避けるため、（Ｐ±１）と（ｑ±１）は大きな素数を含
むという条件を充たす手法が必要とされていた。

また、素数Ｐ＋’Ｔの生成においては、上記条件を充た
す素数候補を設定し、素数か否かを判定していく。素数
判定には、指数計算を必要とするフェルマーの定理を利
用するので、大きな素数の判定には計算時間がかかる。

素数判定には、一般にフェルマーの定理を利用したソロ
ベイーストラツセンの方式を用いる。ソロベイーストラ
ツセンの判定方法の概略を示す。

ｍを判定したい数として、ｇｃｄ（ａ　＋　ｍ　）　＝
　１を満たすランダムな数ａ　（１≦ａ≦ｍ−１）を選
ぶ。

ｍが素数であれば、次式は成立する。

Ｊ　（ａ　、　ｍ　）＝　ａ”−１）／２（ｎｏｄ　ｍ
　）　　　　　・＝　（１）ヤコビ関数は１次のように
再帰的関数である６Ｊ　（ａ　、ｍ）＝ ａが１の場合　　１ ａが偶数の場合 Ｊ　（ａ　／　２　、ｍ）ｘ　（−１）（”１）／８ａ
が奇数の場合 Ｊ（ｍ（ｌＩｌｏｄ　ａ）、ａ））Ｘ（１）（ａ−”（
Ｉ−１）７４ｍが十分大きな整数の場合、いくつかの素
数８に対しく１）式が成立すれば、ｍは素数であると判
定するが、上式かられかるように１判定には多量の指数
計算を必要とするので時間がかかる。

そこで、既知の小さな素数の倍数であるか否かを判定す
ることで、予め素数候補となる数の選定を吟味し、素数
生成を高速化する。

これらの素数生成を含むＲ８Ａ暗号鍵生成に関しては、
上記記載の特許出願公表５７−５０２１４５号が出され
ているが、（ｐ　−１）および（ｐ　＋　１）がそれぞ
れ大きな素数を含むという条件を同時に満たすｐの条件
について考慮されていないという問題点がある。

更に上記特許出願公表においては、素数候補の選定を、
既知の素数の積と素数候補の最大公約数の評価によって
行っているが、既知の素数範囲の最適値に関しては評価
されていないという問題点も挙げられる。Ｒ８Ａ暗号や
ＲＡＢＩＮ暗号等では、計算量の多い１２８ビツト、２
５６ビツト等の多倍長素数を必要するため特に、素数候
補の選定を行う必要があること、既知の素数の積は急速
に大きくなるので、既知素数の設定個数に限界があるこ
と、また多倍長計算によるプログラム上の制約があるこ
とから既知素数群の範囲評価は鍵生成実用化の上で不可
欠である。

〔課題を解決するための手段〕

上記間層を解決するために、次の手段を用いる。

１、　国の剰余　連判　による　　±１　法数　解に強
い素数候補の効率釣設 ｐ−ｉが含むべき大きな素因数をｒ、ｐ＋１が含むべき
大きな素因数をＳとし、ｒとＳを入力として、ｐ−１は
大きな素因数ｒを含み、かつｐ＋１は大きな素因数Ｓを
含む素数ｐを生成する。

Ｐ−１は大きな素因数ｒを含む。

９　ｐ　＝　１　（ｍａｄ　ｒ）　　　　　　　　　　
−（２）ｐ＋１は大きな素因数Ｓを含む。

ａ　ｐ　＝　−１（ｍｏｄ　ｓ　）　　　　　　　　　
−（３Ｃ（２）式、（３）式を満たすｐを、次の中国の
剰余定理の補題を用いて求める。

ｓ、ｒが互いに索であることから、法ｒにおけるＳの逆
光ｇが存在する。すなわち、 Ｓｅｇ＝１　（ＩＩＩＯｄ　ｒ）　　　　　　　　　　
　　…（４）ここで、上記補題において、ｘ＝＝−１，
ｙ＝１とすれば、 Ｕ＝ｘ＋（ｙ−ｘ）＋ｓ＋　ｇ（ｍｏｄ　ｒｓ）＝−１
＋２＋　Ｓ　″　ｇ（ＩＩｌＯｄｒＳ）とし、 ｐ＝Ｕ＋２ｍｒ　　ｓ　　　　　　　　　　　　・・・
（５）とおくと、ｐは（２）式、（３）式を満たす。こ
こで、ｍはＯを除く任意の整数である。逆に、（４）式
。

（３）式を満たすいかなるｐも、法ｒｓのもとで。

（５）式と等価になる。従って、（４）式、（５）式の
計算により１条件（２）式、（３）式を満足するｐを求
め。

素数候補として設定する。

えユ訓葭蒐上ヌによケ敢ＭｉｊｌＩｊ列叉定既知素数群
｛３、５，７，・・・　、ｉ（ｈ）｝の設定範囲を１期
待値評価を行うことで、最適化する。

オーダーｎの素数を生成する方式において、初期データ
ｋを入力データとして与え、ｋを基に素数候補となる奇
数ｒを設定する。

一方、既知素数群｛３、５，７，・・・、ｉ（ｈ））を
設定する。ここで、ｍ　ｉ　（ｈ）は素数３から数えて
ｈ番目の素数であることを示し、素数設定時間とｒが既
知素数の倍数であるか否かを判定するための処理準備時
間をｔｏ（ｈ）とする、ｒが既知素数の倍数であるか否
かの判定時間をｔａ（ｈ）とし。

フェルマーの定理を利用した方式により、奇数ｒが素数
であるか、否かを判定する時間をｔｂとする。素数でな
かった場合には、次の素数候補ｒを設定し、上記手順を
繰り返し、素数を生成する。

この時、Ｍ＝３・５・７・・・・・１（ｈ）とすると、
奇数ｒが素数（３・５・７・・・・・、ｉ（ｈ）｝の何
れかの倍数でないと判定される確率：　Ｚ（ｈ）は次式
％式％ 但し、φ（Ｍ）はオイラー関数である。

素数（３・５・７・・・・・、ｉ（ｈ）｝の何れかの倍
数でない奇数ｒが得られるまでの平均時間：ｔａ’（ｈ
）は、 となり、オーダーｎあたりでの素数の散らばりの間隔Ｗ
は１次式で与えられる。

ｄｎ　　Ｉｎ　　ｎ　　　（ｉｎ　　ｎ）２既知素数の
倍数でない素数候補が得られる確率：ｐ（ｈ）は、次式
となる。

ｐ（ｈ）＝　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（
９）ｚ（ｈ）・−・Ｗ 素数が得られるまでの期待時間Ｔ（ｈ）は、Ｔ（ｈ）＝
ｔｏ（ｂ）＋Ｐ（ｈ）　（ｔａ（ｈ）＋ｔｂ）＋（Ｉ　
Ｐ（ｈ））’Ｐ（ｈ）　・２　・（ｔ　ａ（ｈ）＋ｔ　
ｂ）＋（１−Ｐ（ｈ））２・Ｐ（ｈ）　・３　・（ｔ、
　ａ　（ｈ）＋　ｔ　ｂ）＋・・・・・・・・・ ＋（１−Ｐ（ｈ））’Ｐ（ｈ）（ｊ＋１）（ｔ　ａ（ｈ
）十ｔ　ｂ）＋・・・・・・・・・ ＝ｔｏ（ｈ）＋（ｔ　ｂ＋ｔ　ａ　（ｈ））”Ｆ！（ｈ
）・・・（１０） で表わし５期待値Ｔ（ｈ）の値が小さくなるようなｈを
予め求め、最適な素数群（３・５・７・・・白、ｉ（ｈ
）｝を設定する。

〔作用〕

前記技術的手段により、次の作用が生じる。

Ｐ−１が含むべき大きな素因数をｒ、ｐ＋ｌが含むべき
大きな素因数をＳとし、ｒとＳを久方とじて、 ｓ−ｇ＝１（＋１０ｄ　ｒ）となるｇを求め、Ｕ＝−１
＋２　・ｓ−ｇ（＋ｉｏｄ　　ｒ　ｓ）　とし、ｐ＝Ｕ
＋２ｍ　＋　ｒ　―ｓ となるｐを求めることにより、ｐ−１は大きな素因数ｒ
を含み、かつＰ＋１は大きな素因数Ｓを含む素数候補ｐ
を生成する。

従来、ジエー・ゴートン（Ｊ、Ｇｏｒｄｏｎ）によって
示されていたＵを求める計算式は、 Ｕ　＝　ｓ　「−１−ｒ’−”（ｓｏｄ　ｒ　ｓ　）で
あり、これは指数計算を行うので本手段と比較して計算
量が多い。

従って、（Ｐ＋１）法素因数分解に強い素数候補ｐを効
果的に得ることができる。

２、素数生成の高速化 上記（１０）式で与えられる評価式により、最適素数群
（３・５・７・・・・・、ｉ（ｈ）｝の設定を行うこと
ができる。

これにより、素数生成において、フエルマー定理利用の
素数判定を行う前に、素数（３・５・７・・・・・、ｉ
（ｈ）｝の倍数であるか、否かの判定によって、素数候
補となる数を最適に絞り込むことができ、素数生成の効
率化を実現する。

〔実施例〕

第１〜５図により、本発明の詳細な説明する。

第１図は本発明による最適素数群設定方式を実施するハ
ードウェア構成を示し、キーボード１０２から入力した
初期データを基に、計算機１０１上で、メモリ１０４に
格納されているプログラムを用いて、ＣＰＵ１０３が非
対称暗号鍵を生成する。生成した非対称鍵は、秘密鍵と
公開鍵であるから、鍵の管理を十分に行う必要がある。

そこで、秘密鍵（８）はフロッピー・ディスク１０５に
フロッピー・ディスク・リーダ・ライタ１０６を通して
格納、あるいは、ＩＣカード１０７にＩＣカード・リー
ダ・ライタ１０８を通して格納し、メモリ１０４には保
管しない、また、公開鍵（ｄ、ｎ）はメモリ１０４に一
時保管し、オンラインで公開鍵の配布するか、あるいは
秘密鍵格納用とは別のフロッピー・ディスクやＩＣカー
ドに格納し、配布する。

以下５第２図において、計算機１０１上で行うＲＡＳ暗
号鍵生成処理手順について説明する。

５ｔｅｐ２０１　：始め。

５ｔｏｐ２０２　：　　（ｐ±１）法素因数分解に強い
素数ｐを生成する。

５ｔｅｐ２０３　：　　（Ｐ±１）法素因数分解に強い
素数ｑを生成する。

５ｔｅｐ２０４　：鍵ｄを生成する。

５ｔａｐ２０５　：　Ｐｐ　Ｃ１＊　ｄから鍵ｅ、ｎを
生成する。

５ｔｏｐ２０６　：終り。

上記手順において、ｎは素数ｐと素数ｑの積になってい
る。素数ｐおよびｑが持つべき条件、つまり（ｐ±１）
法素因数分解に困難な素数ｐ、およびｑの生成処理（ｓ
ｔｅｐ　２　Ｑ　２、および５ｔｅｐ２　Ｑ　３の処理
）の詳細手順を第３図のフローチャートにより説明する
。

ここでは、（ｐ−１）および（ｐ　＋　１）が持つべき
大きな素数を、それぞれｒ、ｓとして、素数ｐの生成に
ついて示す、ｑも同様の処理を行う。

５ｔｅｐ３０１　：始め。

５ｔｅｐ３０２　：素数ｒを生成する。

５ｔａｐ３０３　：素数Ｓを生成する。

５ｔｅｐ３０４　：素数ｒ、ｓから、ｓｏｄ　ｒにおけ
るＳの逆元ｇを求める。

５ｔｅｐ３０５　：Ｕ＝−１＋２　Ｔｓ　ｊｇ　（＋ａ
ｏｄ　ｒｓ）として、Ｕを求める。

５ｔｅｐ３０６　：乱数ｍを生成する。（ただし、ｍ＞
ｓｔｅｐ３０７　：　ｐ＝：Ｕ’＋２ｍｒ　　ｓ　　と
して、ｐを求める。

５ｔｅｐ３０８　：既知素数群｛３、５，７，−、ｉ（
ｈ）｝を設定する。

５ｔｅｐ３０９　：　Ｐが素数｛３、５，７，・＝ｉ（
ｈ））の何れかの倍数であるか、否かを判 定する６倍数であれば、５ｔｅｐ３１１へ、倍数でなけ
れば５ｔａｐ３１０に進む。

５ｔｅｐ３１０　：　Ｐが素数であるか、否かを判定す
る。

素数であれば、　５ｔａｐ３１２へ、素数でなければ５
ｔａｐ３１１に進む。

５ｔａｐ３１１　：　Ｐに２ｒｓを加え、５ｔｅｐ３０
９に進む。

５ｔａｐ３１２　：終了。

次に第３図における、素数ｒ、およびＳの生成処理（ｓ
ｔｅｐ３　Ｑ　２、および５ｔａｐ３０３の処理）の詳
細手順を第４図のフローチャー１−により説明する。こ
こでは、素数ｒの生成について示すが、Ｓについても同
様である。

５ｔｅｐ４０１　：始め。

５ｔｅｐ４０２　：乱数生成のための初期値ｋ、および
生成素数のビット長ｍを設定する。

５ｔｅｐ４０３　：　ｋとｍを基に、乱数を生成し、素
数候補ｒを設定する。

５ｔｏｐ４　Ｑ　４　：小さな既知素数群を設定する。

５ｔｅｐ４０５　：　ｒが既知素数の倍数であるか、否
かを判定する。もし、ｒが既知素数の 倍数であれば、５ｔｏｐ４　Ｑ　７、倍数でなければ５
ｔｏｐ４０６に進む。

５ｔｅｐ４０６　：　ｒが素数であるか、否かを判定す
る。

もし素数であれば、５ｔａｐ４０８、素数でなければ５
ｔｅｐ４０７に進む。

５ｔｅｐ４０７　：次の素数候補ｒを設定し、５ｔｅｐ
４０５に進む。

５ｔｏｐ４０８　：　１４数ｒを出力して終了する。

上記手順において、５ｔａｐ４０４　、５ｔｅｐ４０５
、あるいは５ｔａｐ３０８　、５ｔｅｐ３０９の処理を
付加することで、５ｔｅｐ４０６　、あるいは５ｔｏｐ
３１０の処理回数を減らすことができる。そこで、５ｔ
ｅｐ４０４あるいは、ｓｔｅρ３０８での小さな既知素
数群の大きさをどの程度にすることが最適であるかを予
め評価しておく。

次に、第５図のフローチャートにより、第３図および第
４図における既知製数群設定（ｓｔｅｐ３０８、および
５ｔｅｐ４０４の処理）のための既知素数群の範囲評価
について説明する。

５ｔｅｐ５０１　：始め。

５ｔｓｐ５０２　：乱数生成のための初期値に′、およ
び生成素数のビット長ｍ′を設定す る。

５ｔｅｐ５０３　：　ｋ’　とｍ′を基に、乱数を生成
し。

素数候補ｎ′を設定する。

５ｔｅｐ５０４　：　ｎあたりでの素数の散らばりの間
隔Ｗを次式により求める。

ｉ　　　　ｎ’　　　　ｌｎｎ’、−１ｄｎ　　ｉｎ　
　ｎ’　　（ｉｎ　　ｎ’）”５ｔａｐ５０５　：　ｈ
　、　Ｔ（ｈ）の初期値設定をする。

５ｔｓｐ５０６　：　ｈに１を加算する。

５ｔａｐ５０７　：　３がら始まるｈ個の既知素数群を
設定する。また、５ｔｏｐ　３０９、あるいは５ｔａｐ
４０５で必要な前処理に必要な処理も行う、ここでの処
理時間を ｔｏ（ｈ）とする。

ｓｔｅρ５０８：ｒが既知素数の倍数であるが、否かを
判定する。ここでの処理時間を ｔａ（）１）とする。

５ｔａｐ５０９　：　ｒが素数であるが、否かを判定す
る。

ここでの処理時間をｔｂとする。

ｓｔｅρ５１０：素数生成までの期待値時間を以下の手
順で求める。

（１）奇数ｎが素１１候捕になる確率ｚ（ｈ）は、Ｍ＝
３・５・７・・・・・１（ｈ）とすると（６）式で与え
られる。

（２）上記５ｔｅｐ３１１、すなわち倍数除去用の素数
り個のいずれの倍数でないＡが得られるまでの平均時間
ｔａ’（ｈ）は（７）式で与えられる。

（３）　５ｔｅｐ３１１が終了した時点でのｎ′が素数
である確率ｐ（ｈ）は、（９）式で与えられる。

（４）素数が得られるまでの期待値時間Ｔ（ｈ）は（１
０）式で与えられる。

５ｔｅｐ５１１　：　Ｔ（ｈ　−１）　　Ｔ（ｈ）＞０
であれば、５ｔｅｐ５０６に戻り、Ｔ（ｈ　−１）−Ｔ
（ｈ）≦０であれば、５ｔｅｐ５１２に進む。

５ｔｏｐ５１２　：　Ｔ（ｈ）が最小値となる。３から
始まるｈ個までの素数を最適素数群とし て出力する。

５ｔａｐ５１３　：終了。

実施例の変形例１ 第３図において、５ｔｏｐ３０４　、５ｔｅｐ３０５を
次の式に置き換えて、素数候補Ｕの設定を行う。ｑも同
様の処理を行う。

５ｔｅｐ３０４　：素数ｒ、ｓから、ｌｌｌ０ｄｓにお
けるｒの逆光ｇ′を求める。

５ｔｅｐ３０５　：Ｕ＝１−２　＋ｒ　参ｇ’　　（ｎ
ｏｄ　ｒｓ）として、Ｕを求める。

実施例の変形例２ Ｓｔｅｐ５１０では期待値計算を行っているが、評価方
式はこの限りではない。

例えば、上記実施例において、５ｔｅｐ５１０における
Ｔ（ｈ）を以下の式に置き換えて処理する。

実施例の変形例３ 実施例、および変形例１で示したｈの値は、生成する素
数の大きさ、計算機に依存して設定される。ｈの評価に
ある程度の処理時間を必要とするので、運用機決定後、
予めｈを、計算機１０２上で、メモリ１０４に格納され
たプログラムによって評価し、生成素数の大きさとｈと
の関係をメモリに格納しておく。

実施例の変形例４ 上記実施例と同様手順で、ＲＡＢＩＮ暗号化鍵生成を行
う。

ＲＡＢＩＮ暗号化鍵は、２つの大きな素数ｐ。

ｑを選び、その積ｎ”ｐ　’　ｑを計算する。次にＯ≦
ｂ　（ｎになるｂを定める。この時、公開鍵は（ｎ、ｂ
）であり、秘密鍵は（ｐ、ｑ）となる。

従って、第２図の５ｔｅｐ　２０４〜５ｔｅｐ　２０６
は次の５ｔｅｐ２０４　’　、　５ｔｅｐ２０５　’　
に置き換えＲＡＢＩＮ暗号化鍵を生成を行う。

５ｔｅｐ２０４’　　：乱数すを生成する。

５ｔｅｐ２０５’　　：終わり。

実施例の変形例５ 生成する素数のビット長を要求に合わせることを考慮し
、各乱数の生成（ｓｔｅｐ３０６　、５ｔｅｐ４０３）
、素数候補の選定（ｓｔｅｐ　３０７　＋　５ｔｅｐ　
３１１　、５ｔｅｐ４０７）において、ビット長調整機
能を付加する。

実施例の変形例６ 以上は、計算機上のプログラムによる処理を前・提とし
ているが、第２図〜第５図の演算の一部、あるいは全部
を専用ハードウェア化することで実現することもできる
。

〔効果〕

本発明によれば以下の効果がある。

（１）従来発表されている Ｊ、Ｇｏｒｄｏｎの式Ｕ＝　ｓｒ″″”　−ｒ”−”　
（ｍａｄ　ｒ　ｓ　）に比べ、計算量が少なく、効率的
に（ｐ±１）私製因数分解に強い素数候補ｐを得ること
ができる。

（２）フエルマー定理利用の素数判定を行う前に、素数
（３・５・７・・・・・、ｉ（ｈ）｝の倍数であるか。

否かの判定によって、素数候補となる数を最適に絞り込
むことにより、素数生成を効率化できる。

【図面の簡単な説明】

第１図は、本発明による、最適製数群設定方式を実施す
るハードウェア構成図、第２図は１本発明を含むＲ８Ａ
暗号鍵生成手順のフローチャート、第３図は１本発明の
（ｐ±１）私製因数分解に強い素数の生成処理手順のフ
ローチャート、第４図は、素数生成処理手順のフローチ
ャート、第５図は、第３図、第４図に示す本発明の既知
素数群設第　１　図 Ｆ３の 茅２［２］

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、（ｐ±１）法素因数分解に強い素数ｒとｓ（ｒは（
   ｐ−１）が含むべき大きな素因数 ｓは（ｐ＋１）が含むべき大きな素因数）を入力として
   、素数ｐを計算機を用いて生成する方式において、ｉ、
   ｊを整数、ｍは正整数とし、法ｒにおけるｓの逆元ｇ、
   すなわち ｓ・ｇ＝１（ｍｏｄ　ｒ） となるｇを求め、 Ｕ＝（−１＋ｉ・ｓ）＋（２＋ｊ・ｒ−ｉ・ｓ）ｓ・ｇ
   （ｍｏｄ　ｒｓ）とし、 Ｐ＝Ｕ＋２ｍｒ　ｓ となるｐを素数候補として出力することを特徴とする素
   数生成方式。 ２、（ｐ±１）法素因数分解に強い素数ｒとｓ（ｒは（
   ｐ−１）が含むべき大きな素因数、ｓは（ｐ＋１）が含
   むべき大きな素因数）を入力として、素数ｐを計算機を
   用いて生成する方式において、ｉ、ｊを整数、ｍを正整
   数とし、法ｓにおけるｒの逆元ｇ′、すなわち ｒ・ｇ′＝１（ｍｏｄ　ｓ） となるｇ′を求め、 Ｕ＝（１＋ｊ・ｒ）＋（−２＋ｉ・ｓ−ｊ・ｒ）ｓ・ｇ
   ′（ｍｏｄ　ｒｓ）とし、 ｐ＝Ｕ＋２ｍｒ　ｓ となるｐを素数候補とすることを特徴とする素数生成方
   式。 ３、計算機を用いて所定の奇数ｎと同程度の大きさを持
   つ素数を生成する方式であつて、素数３から始めて、小
   さい順に並べたｈ個の素数の集合、すなわち｛３、５、
   ７、・・・、ｉ（ｈ）｝を計算機に設定するとともに、
   ｎが｛３、５、７、・・・、ｉ（ｈ）｝の各素数の倍数
   であるか否かを判定するための準備処理に必要な処理時
   間をｔｏ（ｈ）とし、前記奇数ｎに対し、ｎが｛３、５
   、７、・・・、ｉ（ｈ）｝の各素数の倍数であるか否か
   を判定する時間をｔａ（ｈ）とし、前記ｎが素数である
   か否かをフエルマー定理を利用した方式により計算機で
   判定する時間をｔｂとし、Ｚ（ｈ）＝２／３・４／５・
   ……・ｉ（ｈ）−１／ｉ（ｈ）ｔａ′（ｈ）＝ｔａ（ｈ
   ）／Ｚ（ｈ）、 ▲数式、化学式、表等があります▼、▲数式、化学式、
   表等があります▼ とした時、 Ｔ（ｈ）＝ｔ＿０（ｈ）＋（ｔｂ＋ｔａ′（ｈ））・｛
   Ｐ（ｈ）−１＋〔１／Ｐ（ｈ）〕｝ として、Ｔ（ｈ）の値が小さくなるようなｈの値に対し
   て、素数３から始めてｈ個の素数の集合を予め求めてお
   き、前記ｎと同程度の大きさの奇数の素数候補Ｒが素数
   であるかどうかを判定する場合に、先ず、前記Ｒが前記
   素数｛３、５、７、・・・、ｉ（ｈ）｝のいずれかの倍
   数でないかどうかを判定し、いずれの倍数でもないこと
   が判定された後に、フエルマー定理を利用した素数判定
   を行うことを特徴とする素数生成方式。 ４、前記Ｔ（ｈ）を、 Ｔ（ｈ）＝ｔ＿０（ｈ）＋ｔａ（ｈ）・１／２Ｗ＋ｔｂ
   ・ｚ（ｈ）・１／２・Ｗ とする第３項の素数生成方式。 ５、前記奇数の素数候補Ｒが前記素数｛３、５、７、・
   ・・、ｉ（ｈ）｝のいずれかの倍数であると判定された
   場合、該Ｒは素数でないと判定する第３項の素数生成方
   式。 ６、前記奇数の素数候補Ｒが前記素数｛３、５、７、・
   ・・、ｉ（ｈ）｝の何れかの倍数であると判定された場
   合、あるいはフエルマーの定理によつて合成数だと判断
   された場合、該Ｒを基に、次の素数候補を算出した後、
   新たなＲとして設定する第３項の素数生成方式。 ７、前記奇数の素数候補Ｒが前記素数｛３、５、７、・
   ・・、ｉ（ｈ）｝の何れかの倍数であるか否かの判定は
   、該Ｒと前記各素数のｍｏｄ計算によつておこなう第３
   項の素数生成方式。