JP3344597B2 - グラフィック画像をテッセレーション化する方法および装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明はコンピュータ・グラフィ
ックス表示装置でグラフィック画像を迅速かつ効率的に
表現するための方法および装置に関するものである。更
に詳しくいえば、本発明はコンピュータ・グラフィック
ス表示装置でトリムされたＮＵＲＢＳプリミティブを表
現するための方法および装置に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】過去においては、コンピュータ・グラフ
ィック装置は膨大な表示資源および膨大なコンピュータ
資源を必要としていた。画像を表現するために求められ
る処理時間の長さは非常に長かった。任意の複雑さの画
像を発生するために何時間も処理するために強力なコン
ピュータを必要としていた。今日では、技術は非常に向
上している。三次元（「３Ｄ」）物体の表現はもはや高
性能メインフレーム・コンピュータのために留保されて
いるプロセスではない。複雑なグラフィック物体の表現
は今ではより小型で、あまり強力でないコンピュータで
実現されている。

【０００３】更に、グラフィックス・プロセスはより高
度になっている。とくに、高度なグラフィック・プリミ
ティブの利用が今では普通のことである。しかし、高度
なグラフィック・プリミティブの有用性は、コンピュー
タがプリミティブを表示装置で表現できる速さで部分的
に測られていた。そのようなプリミティブの例がトリミ
ングされたＮＵＲＢＳである。トリムされたＮＵＲＢＳ
は、表面の関連する部分を定めるトリミング・ループを
有する一様でない合理的なＢスプライン表面である。

【０００４】トリムされたＮＵＲＢＳにより表されたグ
ラフィック画像の発生は非常に複雑で、時間がかかり、
グラフィック物体を形成するためにトリムされたＮＵＲ
ＢＳを用いることにより得られる利益の多くを帳消しに
する。今日のコンピュータ・グラフィックスの動的で、
対話的な性質を考えると、表現の問題は複雑である。

【０００５】ＮＵＲＢＳのような湾曲した表面を、表面
を定める湾曲した表面プリミティブから直接表現するた
めの技術が開発されている。たとえば、コミュニケーシ
ョン・オブ・ザＡＣＭ（Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ
ｏｈ ｔｈｅ ＡＣＥ）２３（１）１９８０年１月号、
所載のレーン（Ｊｅｆｆｅｒｙ Ｌａｎｅ）、カーペン
ター（Ｌｏｒｅｎ Ｃａｒｐｅｎｔｅｒ）、ホイッテド
（Ｔｕｒｎｅｒ Ｗｈｉｔｔｅｄ）、ブリン（Ｊａｍｅ
ｓ Ｂｌｉｎｎ）の「双曲線的に定められた表面を表示
するための走査線法（Ｓｃａｎ Ｌｉｎｅ Ｍｅｔｈｏ
ｄｓ ＦｏｒＤｉｓｐｌａｙｉｎｇ Ｐａｒａｍｅｔｒ
ｉｃａｌｌｙ Ｄｅｆｉｎｅｄ Ｓｕｒｆａｃｅ
ｓ）」、コンピュータ・グラフィックス（Ｃｏｍｐｕｔ
ｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ）、２１（４）、１９８７年７
月号、１１１〜１１７ページ所載のシェウエ（Ｓｈｅｕ
ｅ−Ｌｉｎｇ Ｌｉｅｎ）、シャンツ（Ｍｉｃｈａｅｌ
Ｓｈａｎｔｚ）、プラッツ（Ｖａｕｇｈａｎ Ｐｒａ
ｔｔ）の「カーブおよび表面を表現するための適応順方
向相違計算（Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｆｏｒｗａｒｄ Ｄｉ
ｆｆｅｒｅｎｃｉｎｇ Ｆｏｒ Ｒｅｎｄｅｒｉｎｇ
Ｃｕｒｖｅｓ ａｎｄＳｕｒｆａｃｅｓ）」を参照され
たい。しかし、それらの技術は応用が一般的でなく、非
常に制限された種類のＮＵＲＢＳに応用される。更に、
トリミングは一般的なやり方で取扱われることもない。

【０００６】コンピュータ・グラフィックス（Ｃｏｍｐ
ｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ）、２３巻３号、１９８９
年７月号１０７〜１１６ページ所載の、ロックウッド
（Ａｌｙｎ Ｒｏｃｋｗｏｏｄ）、ヒートン（Ｋｕｒｔ
Ｈｅａｔｏｎ）、デービス（Ｔｏｍ Ｄｅｖｉｓ）の
論文「トリムされた表面の実時間表現」（Ｒｅａｌ−Ｔ
ｉｍｅ ＲＥＮＤＥＲＩＮＧ ＯＦ Ｔｒｉｍｍｅｄ
Ｓｕｒｆａｃｅｓ）、プロシーディング・オブ・ザＡＣ
Ｍ ＳＩＧＧＲＡＰＨ（Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｏｆ ｔ
ｈｅ ＡＣＭ ＳＩＧＧＲＡＰＨ）に、複雑なトリムさ
れたＮＵＲＢＳ表面を表現前に三角形に分解する技術が
記述されている。しかし、この技術は画像の表現される
各画面ごとに複雑で、時間のかかるプロセス過程を繰り
返し実行する。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】本発明はより簡単に表
現できるコンピュータ・グラフィック表示技術を提供す
ることを目的とする。

【０００８】

【課題を解決するための手段】この明細書においては、
トリムされたＮＵＲＢＳ表面を表現するために、独特な
グラフィックス・パイプライン、およびそのグラフィッ
クス・パイプラインを利用する方法について説明する。
ＮＵＲＢＳ（一様でない有理ｂスプライン）表面はプリ
ミティブであり、境界を定められた二次元パラメータ空
間から、その表面を構成する点の集まりへのマッピング
として定まる。トリムされたＮＵＲＢＳのようなグラフ
ィックス・プリミティブを表現するために、コンパイル
と称されるステップと、それに続く二相横断（トラバー
サル）ステップおよび表示ステップにより、プリミティ
ブがまず処理される。横断（トラバーサル）の前にグラ
フィックス・プリミティブに対してコンパイルと称され
る処理をすることにより、横断（トラバーサル）中に高
速処理を行える態様へＮＵＲＢＳ表面が変えられる。

【０００９】コンパイルと称される処理により発生され
る情報の重要な特徴は、それがテッセレーション（ｔｅ
ｓｓｅｌｌａｔｉｏｎ）のステップ寸法とは独立してい
ることである。したがって、モデル化のための変換と、
見るための変換との少なくとも一方への大きい変化の下
で有効性を保つ。更に、プリミティブを表現するための
処理の複雑さのかなりの部分がコンパイルと称されるス
テップに吸収され、従って、横断（トラバース）時にお
けるテッセレーションの複雑さを最少にするものであ
る。したがって、同じプリミティブの以後の表現（たと
えば、異なる画面）が、迅速な横断および迅速な表示の
ためにコンパイルと称される処理をされた情報を利用す
る。

【００１０】コンパイルと称される処理時には、トリム
されたＮＵＲＢＳを単調なｖ領域へ細かくする。それら
のｖ領域は、以後の画面および表現に対して有効なまま
である。次に、ＮＵＲＢＳの重要な部分を決定するため
にＮＵＲＢＳが検査される。それからＮＵＲＢＳをベツ
ィエ成分（または「パッチ」）へ変える。ＮＵＲＢＳに
対して定められたトリミング・ループの関連する部分が
その影響を受けるベツィエ成分に組合わされるように、
そのトリミング・ループをベツィエ・レベルへ変える。
各ベツィエ・パッチを、関連するトリミング・ループの
部分により囲まれた、「ｖ領域」と呼ばれる、１つまた
は複数のｕ−ｖ単調領域へ変える。先に述べたように、
それらのステップは１回行う必要があるだけである。同
じプリミティブの種々の画面および表現は発生されるｖ
領域に影響を及ぼさない。

【００１１】コンパイルと称されるステップによりグラ
フィック・プリミティブを処理すると、プリミティブを
横断（トラバーサル）ステップで処理する。最初の段階
はアルゴリズム的に複雑である。したがって、第１の段
階を汎用コンピュータ装置で実行する方が有利である。
第２の段階はアルゴリズム的に簡単で、限られた量のメ
モリを必要とするだけであるが、浮動小数点専用で、反
復処理型である。したがって、第２の段階は浮動小数点
プロセッサのような高速の専用プロセッサで行うことが
好ましい。しかし、プリミティブが単調ｖ領域へ変えら
れるにつれて、画像を発生するという負担を並列処理の
ためにプロセッサの間で分担できる。

【００１２】横断（トラバーサル）の段階I において
は、各パッチに対して一様なステップ・サイズを決定す
る。横断（トラバーサル）の第２の段階II中は、コンパ
イルと称される処理中に決定された各単調ｖ領域をテッ
セレーションにすることにより、トリムされているＮＵ
ＲＢＳを複数の三角形へ変換する。それから照明計算を
行い、トリムされたＮＵＲＢＳを表す画素データをフレ
ーム・バッファに保存する。画素データにより指示され
た色および輝度で各画素を作動させるために表示を制御
する表示制御器によりそのフレーム・バッファはアクセ
スされる。

【００１３】このプロセスにより、トリムされたＮＵＲ
ＢＳを表現するための分布された高速かつ費用効率の高
いシステムが得られる。コンパイルと称される処理中に
行われる複雑な処理はホストシステムで行われる。しか
し、コンパイルと称される処理中に求められる処理は多
数の横断（トラバーサル）において１回行う必要がある
だけである。コンパイルと称される処理中に発生された
情報は、変化するモデル化変換および変化する画面化変
換の下で再び使用でき、しかも表示座標におけるサイズ
しきい値と偏差しきい値の少なくとも一方に常に合致す
る。

【００１４】横断の段階I はホストプロセッサで行うこ
とができ、あるいは、各パッチをテッセレーション化す
るためにステップ・サイズを決定するようにプログラム
された汎用コプロセッサで行うことができる。トリムさ
れたＮＵＲＢＳはベツィエ・パッチへ細分されており、
各パッチはテッセレーション化するために求められる全
ての情報を含んでいるから、各パッチをテッセレーショ
ン化するために、並列に動作して照明計算を行い、各三
角形をフレーム・バッファに保存するために画素データ
へ変換する複数の専用プロセッサにより、横断（トラバ
ーサル）段階IIのステップを実行できる。更に、トリム
された各ベツィエ・パッチはｖ領域へ細分されているか
ら、ｖ領域も並列処理できる。それから、表示制御器は
フレーム・バッファをアクセスし、表示装置中の対応す
る画素を作動させる。

【００１５】

【実施例】 独特なグラフィックス・パイプラインおよびそのグ
ラフィックス・パイプラインを利用する方法が、複雑な
トリムされたＮＵＲＢＳプリミティブを次のように表現
する。 すなわち、長い時間とオーバーヘッドを必要
とする複雑な動作がプリミティブに対して１度処理され
るようにして、 ＮＵＲＢＳを形成するパッチの諸特
徴を保持するトリムされたＮＵＲＢＳの副要素と、各パ
ッチに対するトリミング・ループの部分とを発生する。
それからそれらの要素を、トリムされたＮＵＲＢＳの各
表現ごとに独立して並列に処理して、トリムされたＮＵ
ＲＢＳを高速で、ただし正確に表現する。

【００１６】本発明の方法および装置はコンピュータ・
グラフィックス装置においてトリミングされたＮＵＲＢ
Ｓ表面を動的に表現する。本発明はトリムされたＮＵＲ
ＢＳの湾曲した表面を、射出瞳に対する表面の空間関係
に応じて、適切な寸法にされた三角形へのテッセレーシ
ョン化する。その関係が対話型グラフィックス用途で大
きく変化する傾向があるので、適切な寸法にされた三角
形を繰り返し選択する必要がある。これはトリムされた
ＮＵＲＢＳ表面の動的なテッセレーション化のための強
力な動機づけを行う。ＮＵＲＢＳは強力な幾何学的プリ
ミティブであって、最近の幾何学に関連する企画および
システム、たとえば、ＰＨＩＧＳ−ｐｌｕｓ、において
極めて一般的になりつつある。

【００１７】ＮＵＲＢＳというのは、円錐表面や自由な
形に湾曲された表面を表すことができる不連続多項式関
数である。ＮＵＲＢＳ（一様でない有理ｂスプライン）
表面が、囲まれた二次元パラメータ空間から、表面

【００１８】

【数１】 を構成する点のセットへのマッピングとして定義され
る。上の式で、Ｓ（ｕ，ｖ）は表面、Ｐi,j はデボーア
（Ｄｅｂｏｏｒ）制御点のｎ＊ｍアレイを表し、Ｂj,k
（ｕ）は、ノット・ベクトル｛Ｕp｝，ｐ＝１〜ｎ＋ｋ
により定められるｋ次のｉ番目のＢスプライン基礎関数
（ｂａｓｉｓｉ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）、Ｂj,l（ｖ）は
ノット・ベクトル｛Ｖｑ｝，ｑ＝１〜ｍ＋ｌにより定め
られるｌ次のｊ番目のＢスプライン基礎関数であり、
ｕ、ｖはそれぞれパラメータＵｋ≦ｕ≦Ｕn+1、 Ｖｌ≦
ｖ≦Ｖm+1 である。したがって、ＮＵＲＢＳ表面は３Ｄ
空間内のデボーア制御点のセットと、２Ｄパラメータ空
間内のＵ方向とＶ方向におけるノット・シーケンスによ
り定められる。

【００１９】ＮＵＲＢＳはローカル制御特性を示し、モ
デル化の融通性を提供するものであって、しかも高度の
多項式の使用を避ける。同時に、ＮＵＲＢＳはベツィエ
表面の諸特性を示す。ベツィエ表面は単一の多項式関数
である。ＮＵＲＢＳは乗算および加算により数値を求め
ることができる。

【００２０】典型的には、Ｂスプラインは長方形トポロ
ジーを有する。表面の一部だけを使用するものとする
と、表面の一部を定めるためにトリミング・ループがパ
ラメータ空間内で定められる。それらのトリミング・ル
ープは端と端が連結された２ＤＮＵＲＢＳカーブであ
る。トリミング・ループの外側の領域は使用されない。
トリミング・ループはいくつかのＮＵＲＢＳ表面の合成
を許し、複合ＮＵＲＢＳプリミティブを本質的に供給す
る。この性能によって、トリムされたＮＵＲＢＳがトリ
ムされないＮＵＲＢＳプリミティブの重要な制限を克服
するから、トリムされたプリミティブは非常に重要にさ
れる。

【００２１】本発明のシステムが図１のブロック図によ
り概念的に示されている。ＣＰＵ１０と、システム・メ
モリ１５と、入力／出力（Ｉ／Ｏ）装置２０と、表示プ
ロセッサ装置２５とがシステム・バス３０を介して結合
される。ＣＰＵ１０は中央プロセッサすなわちホストプ
ロセッサとして機能し、発生された湾曲した表面を発生
するアプリケーション・プログラムを典型的に実行し、
本発明に従って表示する。ＣＰＵ１０は強力な汎用プロ
セッサとして機能し、複雑なプログラムおよびプロセス
を実行するために、システム・メモリ１５、Ｉ／Ｏ装置
２０およびその他の周辺装置（図示せず）のような使用
可能な資源を利用する。ＣＰＵ１０は、システム、たと
えば、アメリカ合衆国カリフォルニア州マウンテン・ビ
ュー（Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ｖｉｅｗ）所在のサン・マイ
クロシステムズ社（Ｓｕｎ Ｍｉｃｒｏｓｙｓｔｅｍ
ｓ，Ｉｎｃ．）により製造されているワークステーショ
ンのようなコンピュータ・ワークステーションへ構成で
きる。

【００２２】後で詳しく説明するように、表示プロセッ
サ装置２５は、湾曲表面を表現するためのプロセスの部
分として求められる、簡単であるが、非常に反復される
計算集中プロセスを実行するためにとくに構成される。
表示プロセッサ装置２５は１つまたは複数の浮動小数点
処理装置（ＦＰＵ）３２，３７，４１、１つまたは複数
のメモリ３５，３８，４２および少なくとも１つの専用
ＶＬＳＩ３３，３４，３６またはある反復プロセスを適
時かつ経費効率的なやり方で実行する類似の部品で構成
される。表示プロセッサ装置２５は表現すべきトリムさ
れたＮＵＲＢＳの視覚表現を表す画素データを発生し、
その画素データをフレーム・バッファ４０に保存する。
画素データは、表示装置５０のｘ−ｙ座標空間で容易に
識別される順序でフレーム・バッファ４１に保存され
る。

【００２３】表示制御器４５は、フレーム・バッファに
保存されている画素データにより定められたトリムされ
たＮＵＲＢＳの表示を発生する。表示制御器４５はそれ
の制御器５５を介してフレーム・バッファを、ラスタ走
査速度、たとえば、１秒間当たり６０回、に従って１つ
の時刻に１本の走査線でフレーム・バッファ内部を周期
的にアクセスする。画素データをアクセスするためにメ
モリアドレスが制御器５５により発生される。画素デー
タはフレーム・バッファから順次読出されて、表示制御
器カラー・ルックアップ・テーブル（ＬＵＴ）６０へ入
力される。ＬＵＴ６０は、表示装置５０における出力、
たとえば、ビームの輝度および色を制御するために用い
られるデジタル制御信号を含む。ＬＵＴ６０による信号
出力はデジタル−アナログ変換器（ＤＡＣ）６５，７０
および７５へ入力される。それらのデジタル−アナログ
変換器は、表示すべき画素の赤成分と、青成分と、緑成
分とのそれぞれの位置と強さとを制御するためのアナロ
グ信号を発生する。表示装置は陰極線管（ＣＲＴ）のよ
うなラスタ走査装置、またはプロッタのようなハードコ
ピー装置とすることができる。説明のために表示装置を
ＣＲＴとする。しかし、本発明のシステムに従って他の
表示装置を利用できることが当業者には明らかである。

【００２４】本発明のプロセスにおいては、トリムされ
たＮＵＲＢＳ表面の処理は４つの一般的なステップに分
割される。次に図２を参照する。第１のステップである
コンパイルと称されるステップ１０３は、トリムされた
ＮＵＲＢＳプリミティブをコンパクトな画面とは独立の
態様へ処理する（以下単にコンパイルすると言う）１回
だけのオペレーションである。トリムされたＮＵＲＢＳ
の処理に含まれている複雑さのほとんどはこのステップ
で吸収される。ＮＵＲＢＳ表面が横断されるたびに、こ
のコンパイルされた態様がテッセレーション処理への入
力として用いられる。第２のステップ１０５は横断（ト
ラバーサル）の第１の段階であって、テッセレーション
のためのステップ寸法決定のようなオペレーションを含
む。このステップはアルゴリズム的には複雑であるが、
演算処理としては集中的なものではない。第３のステッ
プ１０７は横断（トラバーサル）の第２の段階IIであっ
て、表面の実際の評価および三角形へのテッセレーショ
ンを行う段階である。この段階はアルゴリズム的には簡
単であるが、演算処理として集中的である。２つの横断
（トラバーサル）段階の違いは、グラフィックス加速器
の性能を基にしているが、典型的には、第１の段階を処
理するホストプロセッサのような汎用フロントエンド・
プロセッサ、および、並列に動作して第２の段階を処理
する１つまたは複数の浮動小数点プロセッサの性能を基
にしている。このようにして、アルゴリズム的に複雑な
ステップをフロントエンド・プロセッサで実行でき、ア
ルゴリズム的に簡単ではあるが浮動小数点を必要とする
ステップを特殊な浮動小数点プロセッサで並列に実行で
きる。三角形がテッセレーションされると、陰影を含む
ようにそれらの三角形は迅速かつ容易に処理され、フレ
ーム・バッファに保存するための画素データへ変換さ
れ、第４のステップ１０９中に実行されて表示装置へ出
力される。

【００２５】本発明の利点は、トリムされたＮＵＲＢＳ
に関して以前に決定された情報を再使用できることであ
る。たとえば、画面を変更するものとすると（ステップ
１０６）、コンパイル中（ステップ１０３）に発生され
た情報を再使用することにより、時間と費用のかかるコ
ンパイル（すなわちコンパイルと称される処理）の計算
を避けることができる。同様に、ある場合には、行うべ
き表現がある表示パラメータ、たとえば、テッセレーシ
ョンのために用いられるステップサイズ、の変更を求め
ないとすると、横断の段階I １０７中に発生されたある
情報を本発明のプロセスは再利用できる。

【００２６】次に、図３を参照してコンパイル・プロセ
スを説明する。ブロック３１０においては、ＮＵＲＢＳ
を複数のベツィエ・パッチへ変換する。これは処理を簡
単にする。その理由は、各ベツィエ・パッチが処理が容
易である単一の多項式だからである。ＮＵＲＢＳをベツ
ィエ・パッチへ変換するプロセスについての詳細は、た
とえば、雑誌、コンピュータ・エイデッド・ジオメトリ
ック・デザイン（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅ
ｏｍｅｔｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ）１巻（１９８４）１〜
６０ページ所載のボーム（Ｂｏｅｈｍ）、ファリン（Ｆ
ａｒｉｎ）、カフマン（Ｋａｈｍａｎｎ）の「ＣＡＧＤ
におけるカーブおよび表面法の概観（ＡＳｕｒｖｅｙ
ｏｆ Ｃｕｒｖｅ ａｎｄ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｍｅｔｈ
ｏｄｉｎ ＣＡＧＤ）」と題する論文を参照されたい。
この論文には、ノットを挿入し、基礎（ｂａｓｉｓ）を
変更することによりＮＵＲＢＳをベツィエ・パッチへ変
換する方法が記述されている。

【００２７】ＮＵＲＢＳの主な部分はＮＵＲＢＳおよび
それのトリミング・ループにより定められる。各ループ
は閉ループであって、向きを有する。トリムされたＮＵ
ＲＢＳの主な領域は奇数巻き法則または左手の法則で定
めることができる。すなわち、その領域の主な部分はあ
らゆるトリミング・カーブの左側にあるという法則であ
る。これが図４に示されている。図４は３つのトリミン
グ・ループ４００，４１０，４２０を示す。それらのト
リミング・ループは奇数巻き法則と左手の法則に一致す
る。各ループは矢印で示されている向きを有し、たとえ
ば、左手の法則に従うことによりトリミング・ループ４
００，４１０，４２０は２つの主な部分を定める。第１
の部分４３０はトリミング・ループ４００と４１０によ
り挟まれ、第２の主な部分４４０はトリミング・ループ
４２０の内部として定められる。

【００２８】図３のステップ３２０において、トリミン
グ・ループで境界上の影響を受けるパッチでループの関
連する部分が識別されるように、トリミング・ループが
区分（セグメント化）される。トリミングされたパッチ
をコンパイルするために以下のプロセスを用いることが
好ましい。しかし、他のプロセスを採用できることが当
業者には明らかである。

【００２９】次に、図５を参照してトリミング・ループ
をコンパイルするための好適な実施例について説明す
る。ステップ４５０において、パッチの二次元アレイを
空に初期化する。このアレイは、コンパイル・プロセス
が終了すると、各パッチのクラスを識別する情報と、各
パッチを形成する単調ｖ領域と、境界交差（とじる操作
を行うために横断中に利用される）についての情報とを
含む。空として分類されたままであるパッチは、主な部
分から完全にトリムされたパッチである。それらのパッ
チは横断中は処理されない。完全であると分類されたパ
ッチは、主な部分内に完全に含まれるパッチである。ト
リムされたと分類されたパッチはパッチを通るトリミン
グ・ループを有する。

【００３０】ステップ４５５においては、各トリミング
・ループに対してトリミング・チエーンが発生される。
トリミング・チエーンは、トリミング・ループを表すセ
グメントのアレイである。各セグメントはチュープル
（ｔｕｐｌｅ）（ｕ，ｖ，ｕｄｉｒ，ｖｄｉｒ）であ
る。ここに、項ｕとｖはそれぞれセグメントのｕ座標お
よびｖ座標であり、ｕｄｉｒ，ｖｄｉｒはセグメントの
座標またはセグメントが増幅大しているか、減少してい
るかを識別する。各セグメントはパラメータ空間内の直
線セグメントまたはベツィエ・カーブとすることができ
る。

【００３１】トリミング・カーブはまずベツィエ多項式
部分へ細分される。トリミング・カーブが最初は不連続
に直線的（区分直線ないし折れ線）であるとすると、そ
れらの部分は直線的なままである。トリミング・カーブ
が最初は不連続に直線的でないセグメントであり、かつ
一定数のステップを用いてトリミング・カーブをテッセ
レーション化することをユーザーが希望したとすると、
それらのベツィエ部分はテッセレーション化され、直線
的なセグメントへ細分される。その結果として、今は各
トリミング・ループは直線セグメントまたはベツィエ・
セグメントで構成されることになる。

【００３２】ステップ４６０においては、チエーンをセ
グメントの単調チエーンへ分解するために、各トリミン
グ・チエーンがセットごとに順次横断される。トリミン
グ・チエーンの第１のセグメントが単調チエーンをスタ
ートさせるために用いられる。トリミング・チエーンが
スタートするパッチはアレイ中にトリムされたとしてラ
ベル付けされる。トリミング・チエーン中の以後の各セ
グメントが検査される。ステップ４６５においては、ト
リミング・チエーン中の端（極値）のｕとｖが識別され
る。セグメントが以前のセグメントとは逆のｕ／ｖの向
きを有するならば、端（極値）のｕ，ｖが生ずる。各端
（極値）においては、「端（極値）の頂点」が形成され
る。

【００３３】ステップ４７０においては、端（極値）の
頂点が分類され、その頂点はパッチに関連する分類され
た頂点リストへ挿入される。この頂点リストは降順ｖ順
序にされる。ここで説明している実施例のために、分類
の種類が図６ａに示されている。頂点が端の型により識
別され、頂点を形成する適切なセグメントに関連して構
成される。後で説明するように、トリムされたＮＵＲＢ
Ｓを表示装置で表現するためにこのプロセスで利用され
るｖ領域を発生するために、段階I 横断プロセス中に、
パッチに関連する頂点リストが参照される。また、端
（極値）が検出されると、その頂点において単調チエー
ンが終らされ、新しい単調チエーンが開始される。

【００３４】ステップ４７５においてセグメントがパッ
チ境界を横切るとすると、その交差点に区切り頂点が形
成される。境界が左または右の境界であるとすると、そ
の頂点は左パッチおよび右パッチに対して分類される。
この実施例のための分類が図６ｂに示されている。区切
り頂点はパッチのための頂点リストに挿入される。ま
た、区切り頂点は、パッチ境界のための区切り頂点の分
類されているリストに挿入される。それらのリストに含
まれる頂点はｖの降順（上から下）で分類される。それ
らのリストはｖ領域を形成するために後で用いられる。
単調チエーンが区切り頂点で終らされ、新しい頂点が開
始される。全てのセットについてこのプロセスが続行さ
れる、ステップ４６５，４７０，４７５，４８０。

【００３５】 以上説明した動作は、トリミング・セグ
メントと、ｕ／ｖアイソ・ライン（ｉｓｏ−ｌｉｎｅ）
との交差（パッチの境界の識別となる）の決定を含む。
トリミング・チエーン中の端（極値）の識別も含む。そ
れらの操作をベツィエ・カーブに対して行うために、根
を求めるアルゴリズムを使用することが好ましい。たと
えば、グラッスナー（Ａｎｄｒｅｗ Ｇｌａｓｓｎｅ
ｒ）編「グラフィックス・ジェムス（Ｇｒａｐｈｉｃｓ
Ｇｅｍｓ）」（アカデミック・プレス（Ａｃａｄｅｍ
ｉｃ Ｐｒｅｓｓ）、１９９０）所載のシュナイダー
（Ｐｈｉｌｉｐ Ｓｃｈｎｅｉｄｅｒ）の「ベツィエ・
カーブを基にした求根器（Ａ Ｂｅｚｉｅｒ Ｃａｒｖ
ｅ Ｂａｓｅｄ Ｒｏｏｔ Ｓｏｌｖｅｒ）」を参照さ
れたい。

【００３６】座標軸へ移動させられたベツィエ・カーブ
の根を求めることにより、アイソ・ライン（同線）との
交差が計算される。ベツィエ・カーブの一次微分の根を
求めることにより極値が求められる。求根器を用いるこ
とにより、極値とパッチの交差とがパラメータ値に関し
て決定される。

【００３７】それからそのパラメータ値においてベツィ
エ・カーブが、そのパラメータ値に共通の終点を持つ２
つのカーブへ分解される。この技術により、カーブを線
分へテッセレーション化することなしに、コンパイルお
よび横断を続行するために必要な情報が提供される。

【００３８】根を求めることは膨大な計算を要すること
であるから、根を決定するための必要性を最少にするた
めに、ベツィエ・カーブの独特の特性が利用される。そ
れらの場合には、求根器を用いる前に制御点に対して予
備検査が行われる。たとえば、制御多角形（ベツィエ・
カーブの制御点を結ぶことにより見出される）が極値を
有する場合にだけ、カーブ自体が極値を有するものと仮
定できる。同様に、制御多角形がパッチ境界と交差する
場合にだけ、カーブは境界と交差する。第３に、ｕ／ｖ
状態の分類と頂点の分類がベツィエ・カーブの終点補間
特性を用いて計算される（すなわち、カーブの勾配が、
多角形の終点における多角形の勾配に等しい）。

【００３９】ノット線により分離された複数のベツィエ
・パッチによりＮＵＲＢＳが形成される。パッチは長方
形に見え、ｕノット線とｖノット線により囲まれた長方
形を有する。パッチの隅がｕノット線とｖノット線の交
差位置に定められる。トリミング・カーブの解析が終わ
ると、パッチ境界のコンパイルが区切り、各パッチのた
めに極値を利用できる。この情報を用いて、全てのトリ
ミング・カーブがひとたび処理されると、ステップ４８
５において、パッチの隅を行ごとに調べて、主な領域の
内側にある各パッチの隅と、主な領域の外側にある各パ
ッチの隅を決定する。奇数巻き法則に表面から光線が延
びて奇数のパッチ境界（すなわち、ノット線）と交差す
るものとすると、そのパッチは主な領域の内部にあるこ
とになる。光線が偶数のパッチ境界と交差するならば、
そのパッチは主な領域の完全に外側にある。これは、ｖ
ノット線が隅の左側に含む区切りの数を調べることによ
り容易に行うことができる。この数が奇数であるとする
と、奇数巻き法則を用いることにより、隅は主な部分の
内側である。この数は、ｖノット線である境界に対する
分類された頂点リストから容易に決定できる。交差の数
は奇数であれば、隅は主な部分の内側である。

【００４０】ステップ４９０においては、パッチの左上
隅がトリミング・ループの内側にあり、トリミング・ル
ープがパッチを通るものとすると、トリミング・ループ
により影響されないパッチが完全であると分類される。
上のステップを実行することにより、ＮＵＲＢＳトリミ
ングがパッチ・レベルへ細分される。したがって、トリ
ミングの以後の処理をパッチごとに独立に行うことがで
きる。

【００４１】トリミング・ループの処理はいくつかの特
殊な場合を考慮にいれることが好ましい。それらは、ト
リミング・チエーンを描く時に守られる規約セットを識
別し、それにより一般的な場合に対する解を提供するこ
とにより特殊な場合の取扱いを避けることによって取り
扱われる。選択される規約は、トリミング・ループが基
にする左手法則により影響を受ける。

【００４２】第１の規約は、水平または垂直のトリミン
グ・セグメントを分類すべきこと、およびそれが左側へ
僅かに回されるかのように取り扱われることを指定す
る。これは、トリミング・セグメントが左手の法則に従
って向けられるならば、良く定められる。この規約は、
トリミング・セグメントが水平方向または垂直方向へ向
けられるにつれてトリミング・セグメントがノット線に
重なり合う場合も取り扱う。

【００４３】第２の規約は、ノット・セグメントで正確
に終わるトリミング・セグメントがセグメントより無限
小だけ短くなるかのように、そのトリミング・セグメン
トが取り扱われることを指定する。したがって、頂点は
パッチ境界リストでは識別されない。その結果、次に連
続するトリミング・セットが隣のパッチへ続くとする
と、１つのセグメントがパッチ境界で識別されるよう
に、それがノット・セットと適切に交差するかのように
取り扱われる。さもないと、連続するトリミング・セグ
メントが隣のセグメントへ続かないとすれば、ノット・
セグメントとの交差は記録されず、境界上の点は、その
点がパッチ境界リスト中の境界上にないかのように取り
扱われる。

【００４４】図７ａは、水平（２）（４）トリミング・
セグメントまたは垂直（１）（３）トリミング・セグメ
ントが、図示の矢印により示されているように、左側へ
僅かに回されるかのように、それらのセグメントを取り
扱うための第１の規約を示す。図７ｂは、境界上の点が
境界より短くなるかのようにその点が取り扱われるよう
な第２の規約を示す。

【００４５】第３の規約は、トリミング・セグメント
が、ノット線の入り組んでいる部分である隅の点と交差
するものとすると、セグメントは、それが左側へ僅かに
移動させられるかのように取り扱われる。これが図７ｃ
に示されている。図７ｃは、左へ僅かに移動されている
第２の隣のセグメントをおのおの有する隅の点と交差す
る逆向きの２つのセグメントを示す。

【００４６】次の規約は、トリミング・チエーンの始点
が隅に一致するか、または境界の上にあるとすると、そ
の点はノット線上にあり、その点がノット線から僅かに
移動されるかのように取り扱われる。その点がＢスプラ
イン境界上にあるとすると、空はパッチ内へ移動させら
れるかのように取り扱われる。たとえば、左端の左境界
上の点は、その点が右へ移動させられるかのように取り
扱われる。あるいは、トリミング・チエーンが終わるパ
ッチ内へある点が移動させられるかのようにその点は取
り扱われる。すなわち、そのチエーン内の最後のセグメ
ントが、その点が存在するノット・セグメントと交差す
る必要がないように、その点は移動させられるかのよう
に取り扱われる。これが図７ｄに示されている。

【００４７】一致する端の点を分類されているリストに
挿入できるように、頂点の型の間の序列を定めるために
更に別の規約を使用できる。たとえば、一致している端
の型の２つの頂点２Ｂ，３Ａが与えられると、３Ａ頂点
が属するトリミング・ループ上にきて、最初に処理せね
ばならないから、その３Ａ頂点へ優先順位が与えられる
（図６ａ参照）。これは、種々の態様で生ずることがあ
る種々の頂点型のルックアップ・テーブルを提供し、各
態様に付いての優先順位を識別することにより、行うこ
とが好ましい。

【００４８】それらの規約は組合わされてそれらの場合
のある組合わせへ適用される。たとえば、図７ｅに示す
ように、ノット線に重なり合い、かつある隅に終わるト
リミング・セグメントが左へ回され、それが終端する垂
直ノット線に達しないかのように、そのトリミング・セ
グメントが取り扱われる。

【００４９】トリミング・ループがコンパイル中に処理
された後で、下記の情報を各パッチごとに今利用でき
る。 １）パッチを通って延びるｕ−ｖ単調トリミング・チエ
ーンのリスト。各単調チエーンはスタート頂点と、トリ
ミング・セグメントと、終端頂点とで構成される。 ２）降順ｖ順序で分類されているカウンタにより識別さ
れる端の頂点のリスト。このリストはポインタと、どの
ような型の端であるかについてのセグメント情報と、そ
れが結び付く２つの単調セグメントへのポインタとを含
むことが好ましい。 ３）パッチの４つの境界のための区分頂点の分類された
パッチ境界リスト。それらは、上から下へ、または左か
ら右へ、により分類された頂点のリストを含むことが好
ましい。左／右パッチ境界上の区分頂点は２種類の頂点
型（各パッチに１つ）を有することに注目すべきであ
る。

【００５０】各パッチについての情報を各種のデータ構
造およびフォーマットで維持できる。たとえば、境界お
よび隅情報を、表現すべき全表面に関する境界格子また
は骨格オブジェクトにより所有および維持できる。それ
から、端についての情報は各パッチオブジェクトにより
所有され、維持される。各端頂点または境界頂点の端の
ｕ，ｖ座標と、端の型と、それが結合する２つの単調チ
エーンとを識別する。

【００５１】図３を再び参照する。ステップ３３０にお
いて、パッチはここでｖ領域と呼ぶものへ分割される。
それらの単調ｖ領域は迅速な横断（トラバーサル）を行
えるある特性を有する。単調ｖ領域は水平な向きの上ベ
ース（トップ・ベース）および下ベース（ボトム・ベー
ス）と、左側および右側とで構成される。図８は生ずる
ことがある可能なｕ−ｖ単調ｖ領域型の主セットを示
す。図においてＫはｖノット・セグメントを表し、Ｒは
一定のベースを表し、Ｇは潜在的な間隙を示す型の頂点
を有するベースを表す。左側と右側はｕ−ｖ単調トリミ
ング・セグメントのチエーンでおのおの構成される。そ
れらのセグメントは直線状またはベツィエ・セグメント
とすることができる。側面はｕの降順、ｕの昇順または
境界として分類される。その境界はパッチの左境界また
は右境界を示す。横断時間処理は左側および右側の型に
依存する。したがって、コンパイルにおいては、図８に
示すように各ｖ領域を９種類のうちの１つに分類する。

【００５２】ｖ領域を完結するためのプロセスの流れ図
が図９に示されている。ステップ５００においては、左
パッチ境界と、右パッチ境界と、上パッチ境界とに対す
る区分頂点の分類された境界リストがアクセスされ、重
要な境界隅の内側のパッチがリストに付加される。ステ
ップ５０５においては、左／右境界区分頂点（それらは
上から下へ分類される）がｖ領域の側境界に対応して取
られる。ステップ５１０においては、上の区分頂点対
（それらの対は最大のｖ座標値を有する）がアクティブ
領域の始まりとして識別される。アクティブ領域は、そ
の領域の上のベース（トップ・ベース）が定まっている
が、下のベース（ボトム・ベース）はまだ決定されてい
ないｖ領域である。それから処理が開始されて、アクテ
ィブ領域を完結するために下の境界を決定する。したが
って、ステップ５１５においては、端の頂点の分類され
たリスト中の各頂点が処理される。

【００５３】頂点の型はｖ領域の形成を決定する。たと
えば図６ａと図６ｂを参照して、型１ａと１ｂの頂点が
アクティブなｖ領域の完結と新しいｖ領域の起動を示
す。そのような頂点はアクティブな領域の左側／右側の
下にある。水平線５３２が頂点を通って引かれ、セグメ
ント２つのチエーンとなるようｖ領域の他の側を形成す
るトリミング・セグメントの単調チエーンを切断する。
水平線はｖ領域の下ベース（ボトム・ベース）と、開か
れている新しいｖ領域の上ベース（トップ・ベース）と
を示す。セグメント・チエーンの切断を、交差するため
の正しいセグメントの位置を指定するための２進サーチ
・ルーチンを用いて行うことができる。新しい頂点は交
点に形成される。交差するセグメントがベツィエ・カー
ブであるとすると、根を求めるアルゴリズムを用いて交
点を計算することが好ましい。

【００５４】型２Ａの頂点はアクティブな領域の完成と
２つの新しいアクティブな領域の起動を示す。これは、
この頂点を囲むアクティブなｖ領域を見出すことにより
行われる。水平線５３３が頂点を通って引かれてアクテ
ィブな領域の下と２つの新しい領域の上を描く。それら
２つの新しい領域のうちの１つはその頂点の左側に位置
させられ、他の１つはその頂点の右側に位置させられ
る。

【００５５】頂点のｕ，ｖ座標値は、完成されたｖ領域
の下ベースを識別する情報とともに維持される。後で説
明するように、テッセレーション化の間に続いて生ずる
ことがある潜在的な間隙を避けるためにその情報が利用
される。各作用を受けるｖ領域でその情報を維持するこ
とにより、ｖ領域の間の独立性が達成され、従って横断
中にｖ領域に並列処理を行うことができる。

【００５６】型２Ｂの頂点は新しいｖ領域の起動を示
す。型３Ａの頂点はアクティブなｖ領域の完成を示す。
型３Ｂの頂点は２つのｖ領域の完成と新しいｖ領域の開
始を示す。この頂点で終わるｖ領域は識別され、２つの
新しいｖ領域はその頂点を通って水平線５３４を引くこ
とにより識別される。頂点のこのｕ，ｖ座標値は、新し
いアクティブなｖ領域の上境界で識別される。というの
は横断中にｖ領域の間に可能な間隙が生ずることがある
からである。

【００５７】ステップ５２０においては、下パッチ境界
の部分を下ベースとして識別することにより残りのアク
ティブなｖ領域が完成される。ステップ５２５において
は、以後の横断のためにｖ領域が最適にされ、パッケー
ジされる。たとえば、衰えたｖ領域が無くされる。衰え
たｖ領域というのは、上のベースと下のベースが一致
し、かつ潜在的な間隙を有するものとして識別される頂
点を持たないような領域を指す。区分リストからの区分
頂点であって、左側にある区分頂点の単調対により識別
されるセグメントの順序が逆にされて、ｖ領域の両側が
下から上へ向かうセグメントを有するようにする。ま
た、区分頂点により定められるセグメントはパッチ・パ
ラメータ空間のローカル座標へ変換される。というのは
トリミング・ループがＢスプラインのパラメータ空間内
で定められるからである。ステップ５３０においては、
左側境界と右側境界の上のＱ点の分類されているリスト
が各ｖ領域ごとに発生される。Ｑ点は、１つのｖ領域を
完成し、新しいアクティブなｖ領域をスタートさせる時
に「チョッピング」が生ずるために発生される新しい点
である。区分点およびＱ点の分類されているリストが発
生される。それらのＱ点は、後で説明するように、隣接
するパッチの間の間隙を綴じるために用いられる。

【００５８】ｖ領域がひとたびコンパイルされると、各
ｖ領域をコンパイル中に行われた分類に従って独立して
テッセレーション化できる。そうすると高速の専用プロ
セッサにより並列処理が行われて、トリムされたＮＵＲ
ＢＳのテッセレーション化および表示を迅速に行う。コ
ンパイルが終わると、一定のノットまたは間隙としてお
のおの分類されている上ベースおよび下ベースにより、
各ｖ領域が定められる。各ｖ領域の左側と右側は直線セ
グメントおよびベツィエ・セグメントのｕ−ｖ単調シー
ケンスより成る。それらのセグメントは、側面がトリミ
ング・ループにより形成されるか、パッチの境界の終点
を識別する２つの点より成るのであれば、ｖの昇順およ
びｕの昇順または降順である。

【００５９】図１０はトリムされたＮＵＲＢＳのコンパ
イルの例を示す。とくに、この図はトリムされたＮＵＲ
ＢＳのパッチの１つをコンパイルするためのステップの
詳細を説明するために用いられる。トリミング・ループ
はトリミング・チエーンへまず変換される（ベツィエの
場合にはテッセレーションにはされない）。チエーンは
横断させられ、区分されて、各パッチの端が識別され
る。この結果としてパッチごとのｕ−ｖ単調サブチエー
ンのリストになる。それから、重要な領域の内側のパッ
チ隅が識別される。

【００６０】なお図１０を参照すると、２つのトリミン
グ・ループをコンパイルする結果として、１つのループ
における区切り（Ｉ３／１Ａ）および（Ｉ４／１Ａ）
と、他のループにおける区切り（Ｉ１／２Ｂ）および
（Ｉ２／１Ｂ）と端（Ｐ１／３Ｂ）、（Ｐ２／２Ａ）お
よび（Ｐ３／３Ａ）を識別することになる。上のｖノッ
ト・セグメントまたは下のｖノット・セグメントに無い
頂点は降順ｖの順序で分類される次に順序、すなわち、
（Ｉ３，Ｐ２，Ｉ２，Ｐ３，Ｉ４，Ｐ１，Ｉ１）で頂点
になる。頂点Ｉ１とＰ１が同じｖ値を持つとしても、前
記規約により、Ｉ１はＰ１「より高い」として取り扱わ
れる。上ｖノット・セグメントまたは型が１Ａ，１Ｂ，
２Ａ、または２Ｂである頂点の場合には、後に続く単調
チエーンおよびそれらのチエーンの型が決定される。と
くにＩ３−Ｉ４（Ｄ）、Ｃ３−Ｉ２（Ｂ）、Ｐ２−Ｐ１
（Ｉ）、Ｐ３（Ｉ）、Ｉ１−Ｐ１（Ｄ）、Ｃ２（Ｂ）、
およびＩ４−Ｃ１（Ｂ）である。ｖは減少して、「一定
の」パッチを示すものと仮定しているから、ＤまたはＩ
は向きを示すために十分なラベルであることに注目すべ
きである。したがって、セグメントがｕ方向にどれだけ
向けられているかを示すことが必要なだけである。

【００６１】頂点がひとたび識別されると、ｖ領域が構
成される。上のｖノットにおける頂点はアクセスされ、
下のｖ各頂点ノット線に達するまで、各頂点セットが調
べられる。したがって、ｖ領域が起動させられて上のｖ
ノット・セグメントの検査を基にして（Ｉ３−Ｉ４
（Ｄ），Ｃ３−Ｉ２（Ｂ），Ｒ）を識別する。次の頂点
（Ｐ２／２Ａ）（すなわち、２Ａ型の点Ｐ２における頂
点）が処理される。Ｐ２は２Ａ型であるからＰ２はアク
ティブな領域の内側である。それからＱ１，Ｑ２が決定
され、ｖ領域Ｔ１：（Ｉ３−Ｑ１（Ｄ），Ｃ３−Ｑ２
（Ｂ），Ｇ（Ｐ２），Ｒ）を形成する。それから、新し
いｖ領域が起動させられ、（Ｑ１−Ｉ４（Ｄ），Ｐ２−
Ｐ１（Ｉ），Ｒ）および（Ｐ２−Ｐ３（Ｉ），Ｑ２−Ｉ
２（Ｂ），Ｒ）により最初に識別される。それから次の
頂点Ｉ２が処理される。Ｉ２は１Ｂ型であるから、アク
ティブなｖ領域の右側の下にある。Ｑ点Ｑ３が決定さ
れ、ｖ領域は閉じられる。これはＴ２：（Ｐ２−Ｑ３
（Ｉ），Ｑ２−Ｉ２（Ｂ），Ｒ，Ｒ）として識別され
る。

【００６２】次の頂点Ｐ３が処理される。Ｐ３は３Ａ型
で、アクティブなｖ領域Ｔ３：（Ｐ３−Ｑ３（Ｉ），Ｉ
２−Ｐ３（Ｄ），Ｒ，Ｐ）を閉じる。次の頂点がリスト
から処理される。Ｉ４は１Ａ型であるから、アクティブ
なｖ領域の左側の下にある。水平線を横切って引かれ、
点ＰＱが決定され、ｖ領域Ｔ４が閉じられる：（Ｑ１−
Ｉ４（Ｄ），Ｐ２−Ｑ４（Ｉ），Ｒ，Ｒ）。ｖ領域Ｔ４
が閉じられるから、点（Ｉ４−ＣＩ（Ｂ），Ｑ４−Ｐ１
（Ｉ），Ｒ）を用いて新しいｖ領域が開かれる。次の頂
点Ｉ１が処理される。この頂点は２Ｂ型である。したが
って、点（Ｉ１−Ｐ１（Ｄ），Ｉ１−Ｃ２（Ｂ），Ｐ）
により形成された第２のｖ領域が開かれる。それから次
の頂点Ｐ１が処理される。Ｐ１は２つのアクティブなｖ
領域の右あと継ぎおよび左あと継ぎである。すなわち、
２つのアクティブなｖ領域の右側と左側が点Ｐ１に収束
する。点Ｑ５とＱ６が決定されて次のｖ領域を発生し、
かつ閉じる。

【００６３】Ｔ５：（Ｉ４−Ｑ５（Ｂ），Ｑ４−Ｐ１
（Ｉ），Ｒ，Ｒ，） Ｔ６：（Ｉ１−Ｐ１（Ｄ），Ｉ１−Ｑ６（Ｂ），Ｐ，
Ｒ）

【００６４】最適化手順の部分として、領域Ｔ６は高さ
が零であるから、以後の処理では無視される。それから
点（Ｑ５−ＣＩ（Ｂ），Ｑ６−Ｃ２（Ｂ），Ｇ（Ｐ
１））を用いて新しいｖ領域が起動される。それから、
任意のｖ領域の下のベースを変更するものが他に無いと
ラベル付けすることによりそのｖ領域が完成される。こ
の結果として領域Ｔ７：（Ｑ５−ＣＩ（Ｂ），Ｑ６−Ｃ
２（Ｂ），Ｑ（Ｐ１），Ｋ）が得られる。したがって、
コンパイル中は、７つの領域Ｔ１〜Ｔ７がパッチにおい
て識別される。

【００６５】コンパイルが終了した時に段階Ｉ横断プロ
セスが開始される。ここで図１１を参照して段階Ｉ横断
プロセスの概観について説明する。ステップ６００にお
いては、座標系の間の変換が決定される。本発明のプロ
セスにおいては、図１１を参照して、オブジェクト座標
系またはモデル化（ＭＣ）系において図形オブジェクト
が定められる。オブジェクトはモデル化変換「Ｍ」によ
り世界座標（ＭＣ）系へ変換される。世界座標系は、図
形オブジェクトをコンピュータにおいて表すような座標
系である。変換「Ｖ」によりＷＣ系における図形オブジ
ェクトが装置座標（ＤＣ）系へ変換される。それはコン
ピュータ表示装置のスクリーン空間に対応する。付加座
標系、すなわち、ライティング（ｌｉｇｈｔｉｎｇ）座
標（ＬＣ）系が設けられる。ＷＣ系から、厳密である
が、計算集中的である変換「Ｅ」を介してＬＣ系に到達
し、ＬＣ系から希薄な（ｓｐａｒｓｅ）「Ｎ」変換を介
して１ＬＣ系に到達する。ＬＣ空間およびそれのための
変換の詳細については、雑誌「コンピュータおよびグラ
フィックス（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｇｒａｐｈｉ
ｃｓ）」１５巻２号（１９９１）、２４９〜２５８ペー
ジ所載のサリム・アビーエッジ（Ｓａｌｉｍ Ａｂｉ−
Ｅｚｚｉ）、ウズニー（Ｍｉｃｈａｅｌ Ｗｏｚｎｙ）
の「より効率的なグラフィックス・パイプラインのため
の一様な変換を解析する（８Ｆａｃｔｏｒｉｎｇ ａ
Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏ
ｎ ｆｏｒ ａ Ｍｏｒｅ Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｇｒ
ａｐｈｉｃｓ Ｐｉｐｅｌｉｎｅ）」と題する論文を参
照されたい。

【００６６】先に述べたように、テッセレーションにす
る基準はＤＣ系で一般に指定される。ＤＣ空間において
テッセレーション化が行われるならば、結果として得ら
れた三角形をしきい値と比較し、テッセレーション化ス
テップ・サイズ・パラメータを必要に応じて調整するた
めに応用技術を容易に適用できる。テッセレーション化
はＤＣ系で行うことができるが、結果として得られる三
角形は以後の照明計算を行うためには不適切である。グ
ラフィックス・オブジェクトをＷＣ空間からＤＣ空間へ
変換する「Ｖ」変換は厳密でない変換である。したがっ
て、ＤＣ空間における三角形はＭＣ空間およびＷＣ空間
で指定される全ての寸法特性を維持しない。歪んでいる
三角形に対して行われた照明計算の結果として照明が歪
まされ、かつ陰影が歪んでいる歪んだ画像が得られるこ
とになる。また、Ｖ変換は４×４の一様なマトリックス
を採用する。このマトリックスは計算に費用がかかる。
更に、三角形がＷＣ空間でテッセレーション化され、Ｄ
Ｃ空間へ変換されたとすると、結果としての費用は非常
に高くなる。計算オーバーヘッドにおける費用（それら
の表面のテッセレーション化中に発生されたサンプル点
の大きいボリュームを、テッセレーション化の前に、変
換するコスト）をさけ、画像の制御点を変換するだけで
あることが好ましい。

【００６７】パッチの表現の効率を最高にし、しかも偏
差基準に適合するようにすることによって、ステップサ
イズをＬＣ空間で決定できる。したがって、ステップ６
０５においてはテッセレーション化のしきい値およびパ
ッチについての情報、とくに微分の範囲および制御点が
ＬＣ空間へ変換される。テッセレーション化のしきい値
は、Ｎ変換の最大スケールに従ってＤＣ空間からＬＣ空
間へ逆変換される。同様に、パッチの制御点がＭＥ変換
およびＭ′変換を用いてＭＣ空間からＬＣ空間へ変換さ
れ、パッチの微分範囲（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｂｏｕ
ｎｄ）がＭ′変換の基準（ｎｏｒｍ）を用いてＬＣ空間
へマップされる。

【００６８】表現すべきパッチの微分範囲をＬＣ空間へ
変換されたテッセレーション化しきい値に確実に合致さ
せることにより、後でテッセレーション化される三角形
はＤＣ空間内のテッセレーション化しきい値に合致す
る。ＤＣ空間からＬＣ空間への求められている変換
「Ｎ」は稀である、すなわち変換を行うために要求され
る計算は最少である。したがって偏差しきい値ＬＣ空間
へもたらすために要するオーバーヘッドは最低である。
また、表現すべきパッチの制御点および微分範囲だけが
ＭＣ空間からＬＣ空間へ変換される。

【００６９】再び図１１を参照する。ステップ６１０に
おいては、一様なステップ・サイズが決定される。これ
は、グラフィック・オブジェクト、すなわち、トリムさ
れたＮＵＲＢＳ、をＭＥ変換を介して照明座標ＬＣ空間
へ変換し、それから、Ｎ変換の最大スケールを用いて、
ＤＣ空間からＬＣ空間へ、後で見る変換しきい値を翻訳
することにより、行うことが好ましい。それから次式に
従って一様なステップ・サイズを決定できる。

【００７０】

【数２】

【００７１】ｎ_ｄ ^ｕはｕ方向に一様に隔てられたステッ
プの数、ｎ_ｄ ^ｖはｖ方向に一様に隔てられたステップの
数、Ｄ_ｕｕとＤ_ｖｖは二次微分範囲をそれぞれ表し、ｔ
_ｄは偏差しきい値を表す。一様なステップ・サイズの詳
細については、ユーログラフィックス・アソシェーショ
ン（Ｅｕｒｏｇｒａｐｈｉｃｓ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏ
ｎ）、ポスト（Ｆ．Ｈ．Ｐｏｓｔ）、バース（Ｗ．Ｂａ
ｒｔｈ）編「プロシーディングス・ユーログラフィック
ス９１（Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ Ｅｕｒｏｇｒａｐｈｉ
ｃｓ９１）」、（エルスビア・サイエンス・パブリッシ
ャース（Ｅｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｕｂｌ
ｉｓｈｅｒｓ），Ｂ．Ｖ．北オランダ、１９９１）所載
の、サリム・アッビーエッジ（Ｓａｌｉｍ Ａｂｂｉ−
Ｅｚｚｉ）、レオン・シャーマン（Ｌｅｏｎ Ｓｈｉｒ
ｍａｎ）の「大きく変化する変換の下における湾曲した
表面のテッセレーション（Ｔｈｅ Ｔｅｓｓｅｌｌａｔ
ｉｏｎ ｏｆ Ｃｕｒｖｅｄ Ｓｕｒｆａｃｅｓ Ｕｎ
ｄｅｒ ＨｉｇｈｌｙＶａｒｙｉｎｇ Ｔｒａｎｓｆｏ
ｒｍａｔｉｏｎ）」と題する論文、１９９２年８月１２
日付の未決の米国特許出願Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．０７／
９２９，８１９（米国特許第５，２６１，０２９号）を
参照されたい。ステップ６２０においては、ベツィエ・
トリミング・セグメントがステップ・サイズに従って直
線セグメントへテッセレーション化される。

【００７２】パラメータ空間内でベツィエ・カーブをテ
ッセレーション化するために、ステップ・サイズ基準が
用いられる。これは、パッチのステップ・サイズにより
定められた単一の長方形セルの対角線を、線分の長さが
超えるべきでないことを定める。したがって、線分の長
さを下式のように決定できる。

【００７３】

【数３】

【００７４】ここに、ｋはテッセレーション化されたト
リミング・カーブの分解能を、それが乗っている表面に
関連して指定する定数、ｄはカーブの一次微分の範囲、
Ｓ_u，Ｓ_v はパッチのｕ／ｖステップ・サイズである。

【００７５】処理のこの点において、各ｖ領域は、処理
続行のために必要な情報を独立に保持する。したがっ
て、段階IIは、各ｖ領域を独立に処理できる１台または
複数台の専用プロセッサで実行できる。このシステム
は、処理時間を一層短縮するために段階II横断を並列に
実行できるように、複数のプロセッサで構成することが
好ましい。

【００７６】図１３は段階II横断プロセスについて述べ
た流れ図である。ステップ６５０において、各ｖ領域に
一様な（セルの）格子を重畳する（すなわち関連づけ
る）。ｖ領域に適合させるために、その格子はｖ方向で
適応させられる。パッチについて決定されたｕステップ
・サイズとｖステップ・サイズに従って一様な格子が発
生される。それから、ステップ６６０において、各ｖ領
域に対して三角形を発生する。それらの三角形に対して
照明計算を行い、三角形をＤＣ空間へ変換する。次に、
ステップ６７０において、フレーム・バッファに保存す
べき画素データを発生するために、各三角形について走
査線変換を行う。ステップ６８０において、表示制御器
はフレーム・バッファをアクセスし画素データにより指
示された輝度と、色との画素場所を起動させる制御信号
を発生させる。それによりトリムされたＮＵＲＢＳの視
覚表現を発生させる。

【００７７】各ｖ領域の上に一様な格子を重畳し、ｖ領
域を三角形にテッセレーション化するステップは、図１
４を参照して以下に説明するプロセスに従って行うこと
が好ましい。ステップ７００においては、ｖ領域の１番
上（トップ）と１番下（ボトム）、パッチのためのｕス
テップ・サイズとｖステップ・サイズ、および領域を通
る「やっかいな（ｓｔｉｃｋｙ）」線を考慮することに
より、ｕとｖの格子線を計算するために初期設定をまず
行う。

【００７８】グラフィックス規格（たとえばＰＨＩＧ
Ｓ）においては、ＮＵＲＢＳ表面の属性の１つが、三角
形の１番上に表現せねばならない「やっかいな線（ｓｔ
ｉｃｋｙ ｌｉｎｅｓ）」と呼ばれる、ある数のｕとｖ
のアイソパラメトリック（ｉｓｏｐａｒａｍｅｔｒｉ
ｃ）線の仕様である。これは、表面の表示を強調するた
め、またはハードウェアによる陰影づけがない場合には
ワイヤ・フレーム表現を行うために有用である。それら
の線は表面全体にわたって一様な間隔とすることがで
き、またはあらゆるパッチ内で一様にな間隔とすること
ができる。

【００７９】やっかいな線に対処するために、横断の段
階Ｉの間にこの属性を検査し、各パッチを通るやっかい
な線についての情報を各パッチへ供給する。段階IIの横
断中に、それらのやっかいな線が三角形内に入らないよ
うにするために、隣接する２本のやっかいな線（また
は、やっかいな線とパッチまたはｖ領域境界）を利用し
て、２本の線の間の領域に対する新しいステップ・サイ
ズをコンパイルし、その間にパラメータ空間中で格子を
発生する。新しいステップ・サイズは、パッチについて
計算された動的なステップ・サイズと、線の間の距離と
を基にしている。２本の線の間の距離がｄ，パッチのた
めのステップ・サイズをＳと仮定すると、新しいステッ
プ・サイズＳ′は Ｓ′＝ｄ／（ｄ／Ｓ） である。

【００８０】「やっかいな線」のないｖ領域では、ｄを
ｖ領域の高さへセットすることにより同じ公式が用いら
れる。Ｓ′≦Ｓであるから、テッセレーション化基準は
いぜんとして満たされる。その結果として、やっかいな
線は三角形の辺に常に沿う。

【００８１】それから格子点に従って表面が評価され
る。パッチの式を評価することにより、パラメータ空間
内の格子点にパッチの表面上のサンプル点が発生され
る。評価をより効率的に行うために、パッチ（ベツィエ
・ベース内にある）はパワー・ベースへ変換される。単
一の行における格子点の数を求めるために、その行の一
変動（ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ）式が、二変動（ｂｉｖａ
ｒｉａｔｅ）パッチ式にホーナーの定理を用いて決定さ
れる。それから、その行上の点が、特定の格子間隔で解
くことにより、計算される。行式に対して「対称的な」
パワー・ベースを用いることにより（この場合にはパラ
メータ値は０から１までの代わりに−０．５から＋０．
５までである）、式の対称的な性質を利用することによ
り、行の上の格子点を対として求めることができる。こ
の高速解法の詳細については、グラッスナー（Ａｎｄｒ
ｅｗ Ｇｌａｓｓｎｅｒ）編「グラフィックス・ジェム
ス（Ｇｒａｐｈｉｃｓ Ｇｅｍｓ）」「多項式の対称的
な解法（ＳｙｍｍｅｔｒｉｃＥｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏ
ｆ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ）」（アカデミックス・プ
レス（Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ）、１９９０）を
参照されたい。

【００８２】正規化され、かつ決定された法線を、２つ
の正接をｕとｖで解き、交差積を計算し、逆平方根ルッ
クアップテーブルを用いて結果を正規化することによ
り、決定することが好ましい。しかし、表面の形が単純
である（たとえば、平面、円筒、円錐または球面）であ
ることが既知であれば、その形状に適切な別の方法を用
いて法線を一層効率的に計算することが好ましい。たと
えば、球面状のＮＵＲＢＳ表面の場合には、法線は単
に、中心と表面上の点を結ぶ正規化されたベクトルであ
る。

【００８３】好適な実施例においては、トリミング・チ
ェーン上の各点は自立点として求められる。あるいは、
一様な格子上にない、トリミング・カーブ上の点は「自
立点」として求められる。それらの自立点およびそれら
の自立点への法線は、コンパイル時に、モデル化座標
（ＭＣ）中のパワーベースを用いて計算される。その理
由は、このプロセスが計算集中的だからである。そのよ
うな点（ｕ，ｖ）のおのおのに対して、カーブの一変動
式がｖ値で解かれ、それからこのカーブはｕ値で解かれ
る。ｕ，ｖの２つの正接表面を評価し、交差積を計算
し、正規化することにより、正規化された表面が計算さ
れる。もちろん、表面の形状が単純であれば、より最適
な方法を使用できる。したがって、横断時には、それら
の点はＭＣからＬＣへ単に変換されるだけである。プロ
セスの一層の最適化として、動的にテッセレーション化
されるベツィエ・トリミング・カーブの場合には、テッ
セレーション化された（および評価された）直線セグメ
ントが多数のテッセレーションにわたって保存され、パ
ッチのステップ・サイズが変わらない限り、以後の各テ
ッセレーションに対して再使用される。

【００８４】図１４に示されているテッセレーション化
のプロセスを継続する。プロセス７０５において、領域
の１番下の行が、格子により定められた行及び表面のそ
れらの点の法線に沿って、ＷＣ内の点を計算することに
より求められる。ステップ７０７，７１０，７０９にお
いては、各行対に対して、１番上の行が同様に評価され
て、点と法線を決定する。それから、点の１番上の行と
１番下の行により定められたストリップが三角形にされ
る。

【００８５】テッセレーション中は、いくつかの型のケ
ースを考慮せねばならない。図１５ａと図１５ｂを参照
すると、各ストリップは３つまでの領域またはセル群よ
り成る。各ストリップは左のトリムされた領域と、トリ
ムされていない領域または二重にトリムされた領域と、
右のトリムされた領域とで構成できる。後で説明するよ
うに、それらの領域は相互に独立して処理される。更
に、コンパイル中に１番上のベースと１番下のベースが
型Ｇａｐとして分類されたとすると、間隙点を評価して
ＬＣ内で間隙点を発生し、その点における表面の法線を
発生し、行の格子点を用いて三角形を発生し、その間隙
をふさぐ（ステップ７１５）。間隙点をコンパイル時に
ＭＣ空間内で評価し、それからＬＣ空間へ変換されるこ
とが好ましい。１番上のベースまたは１番下のベースが
ノット型（すなわち、ベースが完全なパッチ境界にまた
がる）であるとすると、境界ストリップを三角形にする
ために隣接するストリップが用いられる。この場合に
は、付近のパッチ・ステップ・サイズを用いて境界行が
三角形にされる。ステップ７３０において、ベースがノ
ット線でないか、やっかいな線が存在する場合に、綴じ
ストリップも発生される。

【００８６】セルを形成する評価された格子の２つの行
と、セル行に対する左トリム側および右トリム側を用い
て三角形化が行われる。それらの側はｖ領域側に沿う点
である。先に述べたように、ストリップは３つまでの領
域、すなわち、セルを通って交差する左のトリムされた
辺を有する左トリムされたセルと、セルを通って交差す
るトリムされた辺を持たないトリムされないセルと、セ
ルを通って交差する左と右のトリムされた辺を有する二
重にトリムされたセルと、セルを貫通する右のトリムさ
れた辺だけを有する右のトリムされたセルと、で構成さ
れる。行は上の領域のおのおのを持つこともできれば、
持たないことをもできる。たとえば、単一の行はトリム
されていないセルと二重にトリムされたセルの両方を持
つことはできない。両方の辺が型境であるようなｖ領域
はトリムされないセルのみを持つ。

【００８７】辺が減少するならば右下隅を用いることに
より、および辺が増大するならば右上隅を用いることに
より、トリムされたセルのシーケンスが三角形にされ
る。たとえば、図１６ａを参照されたい。図１６ａは、
右下隅が用いられるように、辺が減少するトリムされた
セルのシーケンスのテッセレーション化を示す。点が発
生されて、テッセレーション化のための機構へ供給され
る順序は数列により示されている。

【００８８】二重にトリムされたセルをテッセレーショ
ンとするための２つの場合がある。図１６ｂに示すよう
に、第１の場合は、セル内の２つの辺のｕ範囲が重なり
合わないような場合である。セルが重なり合わないこと
は、２つの辺が逆向きである場合に起きる。この場合に
は、セルは左のトリムされたセルと右のトリムされたセ
ルへ垂直に分割される。それらのセルは、個々にテッセ
レーション化されている。２つの辺が同じ向きを有する
場合に生ずることであるが、２つの辺のｕ範囲が重なり
合うものとすると、三角形化のためにより多くの一般的
なやり方が利用される。この結果としての効果が図１６
ｃに視覚的に示されている。

【００８９】一般的な場合に対して三角形化を行うため
には、ガレイ（Ｇａｒｅｙ）他による「Ｏ（ｎ）アルゴ
リズム（Ｏ（ｎ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）」の適応が単調
多角形の三角形化のために利用される。このアルゴリズ
ムにおいては、多角形は２つの単調な側に分類され、点
を１つずつ送るためにスタックを用い、付随する辺およ
び角度を調べることにより、三角形が発生される。辺は
単調であるから、点はいずれかの辺で既に分類されてい
ることが好ましい。詳細については、たとえば雑誌「情
報処理レター（Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓ
ｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒ）」第７巻４号（１９７８）、
１７５〜１８０ページ所載のガレイ（Ｇａｒｅｙ）、ジ
ョンソン（Ｊｏｈｎｓｏｎ）、プレパラータ（Ｐｒｅｐ
ａｒａｔａ）、タージャン（Ｔａｒｊａｎ）の「単純な
多角形を三角形にする（Ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｎｇ
ａ Ｓｉｍｐｌｅ Ｐｏｌｙｇｏｎ）」と題する論文を
参照されたい。

【００９０】下記のプロセスを三角形化のために使用す
ることが好ましい。三角形化すべき領域を定める２本の
精密な直線（それらの直線は決定された現在の１番上と
１番下の行対に対応する）に「Ａ」線および「Ｂ」線と
ラベル付けされる。このプロセスにおいては３つのレジ
スタＡ，Ｂ，Ｃが利用される。横断中は、２本の線が横
断させられ、セルはルーチン「Ｉｎｉｔ」と「Ｓｅｎｄ
（Ａ／Ｂ）」にされる。Ｉｎｉｔは三角形にすべきスト
リップをスタートさせるためのプロセスである。Ｓｅｎ
ｄルーチンは、線Ａまたは線Ｂにある点をレジスタへ送
る。ｅｄｇｅ＿ｆｌａｇとｏｔｈｅｒ＿ｅｄｇｅ＿ｆｌ
ａｇは、新しい点と、それが交換する点またはそれが交
換しない点との間に線を引くべきかどうかを指示する。
三角形化のための疑似コードの例は次の通りである。

【００９１】１．Ｉｎｉｔ（ａ＿ｂ＿ｎｅｗ＿ｃｗ＿ｆ
ｌａｇ）：ｃｏｕｎｔ←０ ２．Ｓｅｎｄ（ＲｅｇＡ／Ｂ，Ｐｎｔ，ｅｄｇｅ＿ｆｌ
ａｇ，ｏｔｈｅｒ＿ｅｄｇｅ＿ｆｌａｇ）：Ｃｏｕｎｔ
＋＋； ＲｅｇＣ←Ｐｎｔ； Ｉｆ Ｃｏｎｕｔ≧３，（ＲｅｇＡ，ＲｅｇＢ，Ｒｅｇ
Ｃ）； ＲｅｇＡ／Ｂ←ＲｅｇＣ；

【００９２】ＮＵＲＢＳ表面を表現する時は、表面に間
隙が生ずる可能性がある。隣接するパッチは、共通縁部
に間隙を生じさせる種々のステップ・サイズとなる結果
となることがある。これが図１７ａに示されている。簡
単な解が図１７ｂに示されている。図１７ｂは、図１７
ａに示されている間隙を埋めるために形成される隣接ス
トリップを示す。

【００９３】本発明においては、パッチが段階IIにおい
て独立に横断させられた時に間隙を避けることができる
ように、コンパイルおよび横断プロセスの段階Ｉの間に
間隙についての情報が発生される。２つの与えられたパ
ッチの間の境界に沿う間隙についての情報がパッチの１
つとともに供給される。２つのパッチの間に共通の境界
が存在するが、２つのパッチのうちの１つが間隙状況を
取り扱う必要があるだけである。共通境界に沿うステッ
プ・サイズがより大きいようなパッチが、間隙を避ける
情報を発生するものであることが好ましい。

【００９４】実効される間隙発生技術に依存して利用さ
れる、間隙を避ける２種類の情報が存在する。第１の技
術は隣接ストリップである。与えられた２つのパッチが
両方ともトリムされていないが、異なるステップ・サイ
ズを有するものとすると、大きいステップ・サイズを有
するパッチが隣接ストリップを発生して、隣のものとの
間の間隙を避ける。トリムされたパッチの場合には、１
番上のベースまたは１番下のベースがノット・セグメン
トであるならば、隣接ストリップをいぜんとして使用で
きる。横断プロセスの段階Ｉの間に、近くのステップ・
サイズおよび境界の型（たとえば、１番上、１番下、
左、右）が各パッチに維持されて、近くのものとは独立
にパッチを処理できるようにする。横断プロセスの段階
IIの間に三角形化が行われ、隣接する任意の必要なスト
リップが発生される。隣接ストリップの発生のためのア
ルゴリズムの例が図１８ａに示されている。ここで説明
する隣接技術、図１８ｂ、を用いて、より大きいステッ
プ・サイズを持つパッチＢを三角形にし、パッチＡから
の点で、ストリップが発生される。

【００９５】綴じるストリップは、ステップ・サイズが
異なる２つのパッチの間の間隙を埋めるためのより一般
的な機構である。隣接ストリップを使用できない時にそ
れを用いることが好ましい。というのは、それの効率が
低いからである。綴じるストリップの幅はパラメータ空
間内では零であるから、モデル化空間内の縮減する三角
形で構成される（図２０ａ参照）。横断の段階Ｉの間に
綴じるストリップの描写が発生され、段階IIの間に利用
される。綴じるストリップの描写は、境界の区切り頂点
と、境界の両側におけるｖ領域区切りと、境界に沿うパ
ッチのステップ・サイズとを基にしている。この情報を
基にして、各隣接境界に対する２つのスカラー列、すな
わち、第１のパッチ（Ａ）に対するスカラー列と第２の
パッチ（Ｂ）に対するスカラー列が発生される。パッチ
に対するスカラーの列が、パッチ境界サンプル点が昇順
で生ずるようなパラメトリック値を含む。それからスカ
ラーの２つの列が１つの列にまとめられ、その１つの列
からは二重のものが除去される。各スカラーにはスカラ
ーの原点を識別するためにラベル付けされる。たとえ
ば、スカラーがパッチＡの列、パッチＢの列または両方
のパッチの列から来るかどうかを示すために、ラベルは
「Ａ」，「Ｂ」または「Ｃ」とすることができる。スカ
ラーの列とラベルは綴じる点と呼ばれ、横断プロセスの
段階II中に綴じるストリップを発生するためのものとさ
れる。

【００９６】図２０ｂはオブジェクト空間内の図２０ａ
の綴じるストリップを示す。図２１は、綴じる点から綴
じるストリップを発生するアルゴリズムの例を示す。綴
じるストリップと隣接ストリップの間の主な違いは、前
者が、間隙を埋めるために新しい三角形を付加すること
を含むのに、図２０ａ，図２０ｂに示すように、後者は
間隙を避けるために隣接ストリップの三角形を選択する
ことを含むことである。隣接ストリップ法は、余分の三
角形の発生を要しないから、より効率的であるが、隣接
ストリップは、トリミングまたは「やっかいな」線がな
い簡単な場合にのみ作動する。したがって、簡単な場合
には隣接ストリップを使用し、複雑な場合いには綴じる
ストリップを用いることが好ましい。

【００９７】三角形がテッセレーション化されると、決
定された点と各ｖ領域の法線とはグラフィックス装置す
なわちサブシステムへ送られる。ＬＣ空間内で各三角形
について照明計算が、法線と、表面特性と、光源と、射
出瞳とを基にして頂点当たりの色を計算するグーラウド
（Ｇｏｕｒａｕｄ）陰影プロセスを用いることが好まし
い。あるいは、照明計算を行うためにフォン（Ｐｈｏｎ
ｇ）陰影プロセスを使用できる。このフォン陰影プロセ
スは法線を補間し、各画素に対する色を計算する。

【００９８】照明特徴を含むために三角形が修正された
後で、三角形はＬＣ空間からＤＣ空間へ変換される。Ｉ
Ｃ空間からのオブジェクトをＤＣ空間へ変換するＮ変換
は稀な変換であって、実現には費用がほとんどかからな
い。ＤＣで三角形を発生するよりも、湾曲した表面を表
すテッセレーション化された全ての三角形を変換するた
めにはより多くの変換を必要とするが、変換回数が少な
いことと、正確に陰影づけられた湾曲表面の結果として
の効果は、コストの増大を補って余りある。

【００９９】表示装置を制御するために用いられる画素
データを発生するために三角形は走査変換される。ＤＣ
空間内で発生された画素データは、表示すべきオブジェ
クトの、形、場所、色、輝度を含めた種々の属性を定め
る。発生された画素データはフレーム・バッファの、表
示装置上の所定位置に対応する場所に保存される。走査
変換の詳細については、フォレイ（Ｆｏｌｅｙ）、バン
・ダム（ｖａｎ Ｄａｍ）、フェイナー（Ｆｅｉｎｅ
ｒ）、ヒューズ（Ｈｕｇｈｅｓ）著、「コンピュータ・
グラフィックス、原理と実際（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒ
ａｐｈｉｃｓ，Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ａｎｄ Ｐｒａ
ｃｔｉｃｅ）」第２版、９４５〜９６５ページ（１９９
０、Ａｄｄｉｓｏｎ−Ｗｅｓｌｅｙ Ｐｕｂｌｉｓｈｉ
ｎｇ）を参照されたい。この時に、グラフィック・オブ
ジェクトのディメンジョン深さキューイング（ｃｕｅｉ
ｎｇ）を行うために、Ｚバッファリングを実行すること
が好ましい。

【０１００】発生された画素データに従って湾曲表面が
表示装置上に発生される。フレーム・バッファに保存さ
れている画素データを復号して、表示制御器と表示装置
を制御し、画素データにより指定された場所、色および
輝度の画素を起動させて、可視湾曲表面を表示装置上に
発生させる。

【０１０１】上述のプロセスは、複雑なプロセスを実行
するための資源を有するホストプロセッサにおけるコン
パイル中に、それらの複雑なプロセスを実行するシステ
ムも提供する。それから、高速で安価な専用処理装置
で、簡単ではあるが、反復せねばならないオペレーショ
ンを実行できる。更に、上述のプロセスは、横断中に求
められる情報のほとんどを含むためにコンパイル中に各
ｖ領域を構成し、段階IIの横断を各ｖ領域とは独立かつ
並列に実行できるから、システムを一層高速にし、効率
を向上させるために並列処理を利用できる。

【０１０２】次に図２２を参照して本発明の装置を詳し
く説明する。十分な資源を必要とする複雑なプロセスお
よび計算を行うためにホストコンピュータ８１０が利用
される。このホストコンピュータへ入力８００が供給さ
れる。コプロセッサ８２０は、直線的であるが、非常に
多くの反復を必要とするプロセスを実行する専用プロセ
ッサである。たとえば、三角形の画素への走査変換のよ
うな指定された機能を実行するために構成されたＶＬＳ
Ｉチップに関連して、浮動小数点処理装置（ＦＰＵ）を
使用できる。本発明のプロセスにより、表現パイプライ
ンの効率を最高にするために工程を細分する。とくに、
ホストプロセッサはコンパイル・プロセスを行う。

【０１０３】一実施例においては、湾曲面を表す三角形
のテッセレーション、照明決定、フレーム・バッファ８
３０に保存すべき画素データへの三角形の走査変換のよ
うな、非常に多く反復される計算を実行するために、湾
曲表面の一様なステップ・サイズと制御点がコプロセッ
サ８２０へ送られる。この実施例においては、コプロセ
ッサは浮動小数点処理装置（ＦＰＵ）と、メモリ、およ
び三角形に画素データを発生させるように構成されたＶ
ＬＳＩで構成される。メモリを利用するＦＰＵは湾曲面
を三角形へテッセレーション化し、照明決定を行い、三
角形をＩＣ空間からＤＣ空間へ変換する。ＶＳＬＩは各
三角形を画素データへ変換し、その画素データをフレー
ム・バッファに保存する。あるいは、ホストプロセッサ
８１０は湾曲表面を三角形へテッセレーション化し、コ
プロセッサは走査変換を単に行って各三角形のための画
素データを発生する。コプロセッサ８２０は、処理速度
を最高にするために専用ハードウェアで構成することが
好ましい。グラフィックス・コプロセッサ８２０の一例
が、サン・マイクロシステムズ社（Ｓｕｎ Ｍｉｃｒｏ
ｓｙｓｔｅｍ，Ｉｎｃ．）製のＳＰＡＲＣステーション
２／ＧＴグラフィックス・アクセラレータである。

【０１０４】第２の専用プロセッサである表示制御器８
４０は画素データをフレーム・バッファから読出し、表
示装置８５０上で対応する画素を起動させる。前記した
ように、画素データはフレーム・バッファ内の所定の場
所に保存されて、フレーム・バッファ内の画素データの
場所と、その画素データに従って表示装置上で画素を起
動させることの間に所定の関係が存在するようにする。
データはＤＣ空間内の画素のＸＹ座標場所に従って保存
することが好ましい。表示制御器８４０は画素データを
フレーム・バッファから順次読出し、電子ビーム、した
がって、各画素の色、輝度および場所を制御するための
制御信号を表示装置へ供給する。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の装置の好適な実施例の概念的なブロッ
ク図である。

【図２】全体のプロセスを示す流れ図である。

【図３】コンパイル・プロセスの流れ図である。

【図４】奇数巻き法則および左手の法則に従うパラメー
タ空間内のトリミング・ループを示す。

【図５】コンパイル・プロセスの詳細のいくらかを示す
流れ図である。

【図６】端の頂点の型と区分け頂点の型を示す。

【図７】トリミング・チェーンのある最適化を示す。

【図８】生ずることがある可能なｕ−ｖ単調ｖ領域を示
す。

【図９】本発明に従ってｖ領域を決定するプロセスを示
す流れ図である。

【図１０】本発明に従ってｖ領域が決定されたトリムさ
れたＮＵＲＢＳの例である。

【図１１】段階Ｉ横断プロセスを示す流れ図である。

【図１２】表現プロセス中に利用される種々の座標空間
を示す。

【図１３】段階II横断プロセスを示す流れ図である。

【図１４】利用されるテッセレーション化プロセスを示
す流れ図である。

【図１５】トリムされていないセル、右がトリムされた
セル、および左がトリムされたセルと二重にトリムされ
たセルを示す。

【図１６】三角形のテッセレーション化の例を示す。

【図１７】間隙及び間隙を埋める隣接するストリップを
示す。

【図１８】隣接するストリップを示す。

【図１９】隣接するストリップを発生するための疑似コ
ードの例を示す。

【図２０】綴じるストリップを示す。

【図２１】綴じるストリップを発生するための疑似コー
ドの例を示す。

【図２２】システム中の処理部品の間におけるプロセス
の配分を示す。

【符号の説明】 １０ ＣＰＵ １５ システム・メモリ ２０ 入力／出力装置 ２５ 表示プロセッサ装置 ３０ システム・バス ３２，３７，４１ 浮動小数点処理装置 ３３，３４，３６ 専用ＶＬＳＩ ３５，３８，４２ メモリ ４０ フレーム・バッファ ４５ 表示制御器 ５０ モニタ ５５ 制御器 ６０ 表示制御器カラールックアップ・テーブル ６５，７０，７５ デジタル−アナログ変換器 ８１０ ホストプロセッサ ８２０ コプロセッサ ８３０ フレーム・バッファ ８４０ 表示制御器 ８５０ 表示装置

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 スリカンス・スブラマニアム アメリカ合衆国 94025 カリフォルニ ア州・メンロ パーク・ウィロウ ロー ド・183 (56)参考文献 特開 平１−201777（ＪＰ，Ａ) 特開 平４−127378（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 17/30

Claims (3)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 中央処理装置（ＣＰＵ）と、メモリと、
   装置座標（ＤＣ）空間を持つグラフィック表示装置に結
   合されるグラフィック表示制御器を含んでいる入力／出
   力装置とを備えたコンピュータ装置にあって、グラフィ
   ック表示装置に描出されるトリムされた非一様有理ｂ−
   スプライン（ＮＵＲＢＳ）表面を含む画像のテッセレー
   ションを行う方法であって、前記トリムされたＮＵＲＢ
   Ｓ表面のそれぞれには、表面を定める第１の制御点セッ
   トと、当該表面を通る少なくとも１つのトリミング・ル
   ープを定める第２の制御点セットとが含まれ、それらの
   制御点がモデル座標（ＭＣ）空間内で定められものであ
   り； トリムされたＮＵＲＢＳ表面を、少なくとも１つのｖ領
   域を含む少なくとも１つのパッチへと処理する過程を備
   え、各ｖ領域は、トップ・ベースとボトム・ベースおよ
   び左側と右側を含む境界で構成され、前記トップ・べー
   スとボトム・ベースはｕ軸に沿ったアイソパラメトリッ
   ク線で定まり、前記右側と左側はｕ，ｖ単調線で定まる
   ものであり； 各ｖ領域をトラバーサルする過程を備え、そのｖ領域を
   トラバーサルする過程には、 各ｖ領域を複数の三角形へテッセレーション化する過程
   と、 グラフィック表示装置上に表示すべき画素の輝度をおの
   おの指定して、各三角形を表す画素データを発生する過
   程と、 各画素データを、フレーム・バッファ内に、ＤＣ空間内
   の画素の場所に対応する場所に保存する過程とが備えら
   れ； 前記グラフィック表示制御器によって、前記フレーム・
   バッファに保存されている画素データが読出されて、画
   素データにより指示される場所におけるグラフィック表
   示装置の画素を、画素データにより指示される輝度に作
   動させる制御信号が発生され； トリムされたＮＵＲＢＳ表面をグラフィック表示装置上
   に発生することを特徴とする、グラフィック画像のテッ
   セレーションを行う方法。
2. 【請求項２】 中央処理装置（ＣＰＵ）と、メモリと、
   装置座標（ＤＣ）空間を持つグラフィック表示装置に結
   合されるグラフィック表示制御器を含んでいる入力／出
   力装置とを備えたコンピュータ装置において、グラフィ
   ック表示装置に描出されるトリムされた非一様有理ｂ−
   スプライン（ＮＵＲＢＳ）表面を含む画像のテッセレー
   ションを行う装置であって、前記トリムされたＮＵＲＢ
   Ｓ表面のそれぞれには、表面を定める第１の制御点セッ
   トと、当該表面を通る少なくとも１つのトリミング・ル
   ープを定める第２の制御点セットとが含まれ、それらの
   制御点がモデル座標（ＭＣ）空間内で定められものであ
   り； トリムされたＮＵＲＢＳ表面を、少なくとも１つのｖ領
   域を含む少なくとも１つのパッチへと処理するコンパイ
   ラを備え、各ｖ領域は、トップ・ベースとボトム・ベー
   スおよび左側と右側を含む境界で構成され、前記トップ
   ・べースとボトム・ベースはｕ軸に沿ったアイソパラメ
   トリック線で定まり、前記右側と左側はｕ，ｖ単調線で
   定まるものであり； 各ｖ領域を複数の三角形へテッセレーション化する手
   段、および、グラフィック表示装置上に表示すべき画素
   の輝度をおのおの指定して、各三角形を表す画素データ
   を発生する手段を含んでいる、各ｖ領域をトラバーサル
   する手段を備え； 前記画素データを発生する手段に結合されたフレーム・
   バッファ・メモリにして、各画素データを、装置座標空
   間内の画素の場所に対応する場所に保存するフレーム・
   バッファ・メモリを備え； 前記グラフィック表示制御器によって、前記フレーム・
   バッファに保存されている画素データが読出されて、画
   素データにより指示される場所における画素を、画素デ
   ータにより指示される輝度に作動させる制御信号が発生
   され； トリムされたＮＵＲＢＳ表面をグラフィック表示装置上
   に発生することを特徴とする、グラフィック画像のテッ
   セレーションを行う装置。
3. 【請求項３】 装置座標（ＤＣ）空間を持つグラフィッ
   ク表示装置に描出されるトリムされた非一様有理ｂ−ス
   プライン（ＮＵＲＢＳ）表面を含む画像のテッセレーシ
   ョンを行うコンピュータ・システムであって、前記トリ
   ムされたＮＵＲＢＳ表面のそれぞれには、表面を定める
   第１の制御点セットと、当該表面を通る少なくとも１つ
   のトリムをするループを定める第２の制御点セットとが
   含まれ、それらの制御点がモデル座標（ＭＣ）空間内で
   定められものであり； ホストプロセッサであって、(a) ＮＵＲＢＳ表面を少な
   くとも１つのベツィエ・パッチへ変え、トリミング・ル
   ープから単調のトリミング・チェーンへの分割を、当該
   のトリミング・ループの部分で境界が定まるパッチに従
   って行い、そして、各パッチを少なくとも１つのｖ領域
   へと分割することによって、前記トリムされたＮＵＲＢ
   Ｓ表面を、少なくとも１つのｖ領域を含む少なくとも１
   つのパッチへと処理すること、ここで、前記ｖ領域は、
   トップ・ベースとボトム・ベースおよび左側と右側を含
   む境界で構成され、前記トップ・べースとボトム・ベー
   スはｕ軸に沿ったアイソパラメトリック線で定まり、前
   記右側と左側は、トリミング・チェーンないしパッチの
   境界定まるｕ，ｖ単調線で定まるものであり、並びに、
   (b) 各パッチを複数の三角形へテッセレーション化する
   ために用いられる、一様なステップ寸法を決定すること
   によって、各パッチをトラバースすること、を実行する
   ホストプロセッサと； 前記ホストプロセッサに結合されたグラフィックス処理
   サブシステムであって、セルの一様な格子を、前記ｖ領
   域の境界と一様なステップ寸法とに関連づけ、セルの各
   行をテッセレーション化し、グラフィック表示装置で表
   示すべき画素の輝度をそれぞれ指定して、各三角形を表
   す画素データを発生する、グラフィックス処理サブシス
   テムと； 前記グラフィックス処理サブシステムに結合されたフレ
   ームバッファであって、各画素データをＤＣ空間内の画
   素の場所に対応する場所に保存するフレームバッファ
   と； 前記フレームバッファおよび前記グラフィック表示装置
   に結合されたグラフィック表示制御器であって、前記フ
   レーム・バッファに保存されている画素データを読出
   し、画素データにより指示される場所における画素を、
   画素データにより指示される輝度に作動させる制御信号
   を発生する、グラフィック表示制御器とを備え； トリムされたＮＵＲＢＳ表面をグラフィック表示装置上
   に発生することを特徴とする、グラフィック画像のテッ
   セレーションを行う装置。