JP2957572B1

JP2957572B1 - 地震応答スペクトル演算装置

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Publication number: JP2957572B1
Application number: JP25106198A
Authority: JP
Inventors: 正徳齋藤
Original assignee: KINKEI SHISUTEMU KK
Current assignee: KINKEI SHISUTEMU KK
Priority date: 1998-09-04
Filing date: 1998-09-04
Publication date: 1999-10-04
Anticipated expiration: 2018-09-04
Also published as: JP2000081485A

Abstract

【要約】【課題】地震応答スペクトルをリアルタイムで計算
し、被害想定のできる演算装置を提供する。【解決手段】Ｕ（ω），Ｖ（ω），Ｗ（ω）などの応
答スペクトルをｚ変換で近似して高精度で高速に計算で
きるようにすることにより、リアルタイムで被害想定を
行える演算装置を提供する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、地震動による応
答スペクトルを演算するための地震応答スペクトル演算
装置に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】これまで地震が発生した際の被害想定に
は、地表面加速度や震度などが用いられていた。

【０００３】ところが、地表面加速度や震度などは、地
震動の規模や大きさを表すベクトルやスカラー量であ
る。そのため、近年、建物被害と相関関係のある「地震
応答スペクトル」の評価が高まりつつある。

【０００４】地震応答スペクトルは、地震波入力に対す
る構造物の１質点系の応答を示すもので、地面の加速度
をα（ｔ）、地面に対する構造物の変位をｙ（ｔ）とす
ると、数式（２）で示すように、α（ｔ）が与えられた
ときに、変位ｙ（ｔ）

【０００５】

【数２】

【０００６】

【数３】

【０００７】の最大値をω₀の関数として表したもので
ある。

【０００８】

【数４】

【０００９】ここで、ω₀は構造物の固有振動数、ｈは
減衰定数である。

【００１０】そのため、応答スペクトルを見れば、構造
物がどのような周期の地震波でどの程度揺れるかを知る
ことができ、発生した地震による建物の被害を推定でき
る。

【００１１】また、固有周期の異なる構造物ごとに応答
スペクトルを取っておけば、固有周期の異なる建物ごと
の被害も推定できる。

【００１２】したがって、地震発生とともに、応答スペ
クトルが算出できれば、的確な被害想定ができ、迅速な
救助が行える。

【００１３】ところで、従来、応答スペクトルの解析は
二つの方法で行われてきた。第１の方法は、フーリエ変
換を用いる方法である。

【００１４】ｙ（ｔ），α（ｔ）のフーリエ変換をそれ
ぞれ、

【００１５】

【数５】

【００１６】とすると、式（２）から、

【００１７】

【数６】

【００１８】が得られるので、

【００１９】

【数７】

【００２０】と定義すれば、変位、速度、加速度応答の
フーリエ逆変換は、

【００２１】

【数８】

【００２２】で与えられる。

【００２３】（４），（５）式は厳密解であるが、実際
の計算は次のように行う。まず、観測波形α（ｔ）から
スペクトルＡ（ω）を計算する。データの数がＮ個のと
き、周波数軸上をＮ等分して式（３）の時間積分を台形
則で計算すると、加速度スペクトルは、

【００２４】

【数９】

【００２５】となる。Ｕ（ｋΔω）は定義式（４）から
計算し、例えば、変位スペクトルを求めるための逆変換
は、

【００２６】

【数１０】

【００２７】とすればよい。

【００２８】ところが、式（６）をすべてのｊについて
計算するには、三角関数の計算を除いてＮ²の積和の計
算をしなければならない。しかし、ＦＦＴを用いればＮ
²の計算回数をＮｌｏｇ₂Ｎの積和で済ますことができ
る。

【００２９】第２の方法は畳み込みを用いる方法であ
る。

【００３０】Ｕ（ω）のフーリエ逆変換は、

【００３１】

【数１１】

【００３２】である。畳み込みの定理を用いると、周波
数軸上の解（５）は次式のように書き換えることができ
る。

【００３３】

【数１２】

【００３４】ここで、ｔ＜０でα（ｔ）＝０と仮定して
いる。

【００３５】上記式（８）は厳密解である。畳み込み積
分の式（８）を最も簡単な積分公式である台形則で近似
すれば、例えば、変位応答に対しては、

【００３６】

【数１３】

【００３７】が得られる。ここで、Δｔはサンプル間
隔、’はｋ＝０，ｊのときに１／２を掛けることを示し
ている。

【００３８】上式（９）でα（ｊΔｔ）は観測データそ
のものである。ｕ（ｋΔｔ）は、式（７）によって計算
しなければならない。データの長さがＮのとき、（９）
式の計算におよそＮ²／２の積和の計算を必要とする。

【００３９】

【発明が解決しようとする課題】従来用いられた計算式
（６），（９）は厳密解に基づいた式であるが、計算量
が多くなるという問題があった。

【００４０】そのため、応答スペクトルは、地震波形を
入手した後に、ワークステーションなどで時間をかけて
計算しなければならず、地震後の建物の耐力診断などに
しか用いる事ができなかった。

【００４１】したがって、上述したようにリアルタイム
で被害想定を行おうとすると、膨大な地震波形データに
対する応答スペクトル演算を高速で行わなければなら
ず、数値演算用の高価な専用コンピュータでも準備しな
ければ困難であった。

【００４２】そこで、この発明の課題は、専用コンピュ
ータを用いなくとも地震応答スペクトルを演算できる高
速な地震応答スペクトル演算装置を提供することであ
る。

【００４３】

【課題を解決するための手段】上記の課題を解決するた
め、請求項１では、地震計の観測信号をサンプリング
し、そのサンプリングデータから地動の加速度αを算出
し、算出した加速度αを下記の数式（１）のＺ変換Ｕ
（ｚ），Ｖ（ｚ），Ｗ（ｚ）のいずれか一つ、あるいは
二つまたは全部を用いて地震応答スペクトルを算出する
という構成を採用したのである。

【００４４】

【数１４】

【００４５】このような構成を採用することにより、式
（１）によって応答スペクトルを近似し、高速で処理で
きるようにする。応答スペクトルという考え方がそもそ
も粗い近似であるから、このようなリアルタイムで被害
想定を行うような地震解析においては、それなりの精度
で高速に応答が計算できれば十分である。

【００４６】そこで、Ｕ（ω），Ｖ（ω），Ｗ（ω）な
どの周波数応答を次式によってｚ変換に変換し、近似し
たのである。

【００４７】

【数１５】

【００４８】ここでｚは遅延演算子である。アナログデ
ータの角周波数ωと区別するため、デジタルデータの角
周波数をσとすれば、

【００４９】

【数１６】

【００５０】であるから、上式より

【００５１】

【数１７】

【００５２】の関係が得られる。

【００５３】したがって、｜σΔｔ｜≪１のときには、
ω≒σとなってアナログフィルタとデジタルフィルタの
周波数応答が等しくなる。いいかえれば、ナイキスト周
波数よりも十分低い周波数ではこの変換は許されること
になる。また、この変換は複素ｚ平面の単位円の内部を
複素ω平面の上半平面に射影するから変換によって最小
位相性は保存される。この変換を行うと、Ｕ（ω），Ｖ
（ω），Ｗ（ω）などは（１）式のｚ変換になる。

【００５４】実際の計算はｚ変換ではＹ（ｚ）＝−Ｕ（ｚ）Ａ（ｚ）で表される。ｚ変換は再帰型（ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ）に
なっているので、差分形式に変形できる。

【００５５】例えば変位応答スペクトルの場合、

【００５６】

【数１８】

【００５７】となり、あるｊに対して４回の積和で解を
求めることができる。データがＮ個の場合は、４Ｎの積
和で変位応答スペクトルの算出ができる。速度応答スペ
クトルＶ（ｚ）、加速度応答スペクトルＷ（ｚ）につい
ても同様である。

【００５８】

【発明の実施の形態】以下、この発明の実施の形態を示
す。

【００５９】本実施形態では、まず、演算速度の評価実
験を行った。

【００６０】評価には、ワークステーションによるシュ
ミレーションを行った。準備したワークステーション
に、この発明による方法と従来の方法とをプログラミン
グして実行時間を測定することにした。

【００６１】その際、従来の方法には、（９）式の「畳
み込み」による方法と、（６）式の「ＦＦＴ」による方
法との二つの方法があるため、まず、最初に、各応答を
計算するのに必要な計算量とメモリーを算出した。その
結果を図１に示す。

【００６２】ここで、Ｎはデータの個数を表している
が、ＦＦＴの場合には、十分な０を加えた上で２の羃に
した数を表している。また、畳み込みのときのｕ（ｔ）
の計算やＦＦＴのときのＵ（ω）などの計算量はここに
は含めていない。

【００６３】計算量比はデータの長さがＮ＝１６３８４
＝２¹⁴（実時間で８２秒）のときの本願発明（以下、リ
カーシブフィルタ）の計算量を１として他の方法を示し
てある。

【００６４】この結果から、畳み込みはリカーシブフィ
ルタの２０４８倍となるので、圧倒的にパフォーマンス
の低いことがわかる。ＦＦＴはリカーシブフィルタの数
倍となっているが、この見積りには三角関数の計算など
が含まれていないので、この比はさらに何倍かになる可
能性がある。これは実際に計算してみなければわからな
いので、ＦＦＴとリカーシブフィルタとの演算を行うこ
とにした。

【００６５】この結果をもとに、ワークステーション
に、変位応答スペクトルのｚ変換したリカーシブフィル
タの式（９）とＦＦＴした式（６）をプログラミングし
た。

【００６６】そして、それぞれのプログラムを読み出し
て、同一のコンピュータを用いて同じ入力条件で演算さ
せた。演算結果を図２に示す。

【００６７】この結果から明らかなように、計算時間は
平均してリカーシブフィルタの方が１０倍程度早かっ
た。

【００６８】これは上式のリカーシブフィルタの動特性
は、Ｕ（ｚ）の状態方程式と出力方程式で示され、図３
に示すようなアナログシュミレーション回路で示される
ことからも明らかである。つまり、図３に示すように、
遅延演算子ｚによる再帰演算を行うため、積和演算が少
なくて済むからである。

【００６９】このように、リカーシブフィルタの演算速
度が優位であることは証明されたが、計算の精度が悪け
れば使えない。

【００７０】そのため、必要とする精度が得られるかど
うかを、次に検証することにした。この検証は、時間軸
上と周波数軸上とで比較して確かめることにした。

【００７１】そこで、今度は、ｚ変換した速度応答スペ
クトルＶ（ｚ）にΔｔ＝５ｍｓとしてサンプリングした
地震波に対する応答Ｖ（σ）を求めたものと、フーリエ
変換した速度応答スペクトルＶ（ω）に、Δｔ＝５ｍｓ
としてサンプリングした同地震波に対する応答Ｖ（ω）
結果をプロットして比較した。

【００７２】その結果を図４〜６に示す。

【００７３】各図の（ａ）は、リカーシブフィルタによ
って演算したもの、（ｂ）はＶ（ω）Ａ（ω）のフーリ
エ逆変換で求めたもの、（ｃ）が、両者の誤差である。
また、（ｄ）は振幅、（ｅ）は位相を示している。

【００７４】図４と図５からわかるように、二つの応答
の振幅、位相ともほとんど一致している。二つの応答は
全く見分けがつかない。両者の振幅の差は、図４（ｃ）
で平均１．６％となり、図５（ｃ）では、１．３％であ
った。

【００７５】この近似の誤差は共振周波数ｆ₀が大きく
なるほど、また、減衰定数ｈが小さくなるほど大きくな
り、また、高周波では誤差が大きくなるのがわかった。
特に、インパルスに対する応答は両者で大きく異なるこ
とがわかる。

【００７６】ところが、図５では、誤差の時系列を見れ
ば分かるように、応答が大きなところでの誤差はむしろ
小さくなっている。これは入力データをある時刻から突
然始めたために図５（ｃ）のフィルタのインパルス応答
の特性がそのまま現れたものである。このようなことは
フィルタのバンド幅が狭くなると起こりやすい。

【００７７】そこで、入力データの最初と最後の時間１
／ｆ₀の間に線型のテーパー処理を行って出力を計算し
た。その結果を図６に示す。

【００７８】図６の（ｃ）の誤差はテーパーを掛けない
時の１／２になっている。しかし、テーパーを掛けても
初めの誤差が大きいことには変わりがない。実際の運用
に当たっては、注目する波群より十分長い助走期間をと
り、テーパーを掛けるようにすれば、これも改善でき
る。

【００７９】以上のように応答スペクトルを必要とする
精度で短時間に算出できる事がわかった。

【００８０】このように、応答スペクトルを短時間で算
出できるようにしたので、応答スペクトルを地震発生と
同時に算出して的確な被害想定のできる演算装置を提供
できる。

【００８１】また、その際、計算量も少なくなっている
ので、安価な機器組み込み用数値演算プロセッサ（以
下、ＤＳＰ）でも短時間で処理させることができる。

【００８２】このため、図７に被害想定をリアルタイム
で行うようにした地震観測システム１を示す。

【００８３】この観測システム１は、複数の地震計３を
広範囲に高密度で設置し、センターコンピュータ４と通
信回線５で接続して震度データから被害想定を行うよう
にしたものである。各観測点には、データ収録装置２を
設置する。

【００８４】この各観測点の収録装置２は、図８に示す
ように、データ処理用のＤＳＰ６を内蔵し、Ａ／Ｄ変換
器７によって変換された地震計３からの観測信号を処理
して送信するというものである。そのため、この収録装
置２に、前記リカーシブフィルタによる処理を追加し、
観測点側で応答スペクトルを算出させ、演算結果をセン
ターコンピュータ４に送信する。

【００８５】このようにすることにより、各観測点にお
ける応答スペクトルを地震発生後短時間（１分以内）で
センターコンピュータ４が入手して、被害想定をリアル
タイムで行うというものである。

【００８６】なお、実施形態では、演算装置をプログラ
ム手段により構成する方法を示したが、これに限定され
るものではない。プログラム手段に代えてサンプラーと
パルス伝達関数を有する回路手段によりハードウエアに
より構成するようにしても良いことは明白である。

【００８７】

【発明の効果】この発明は、以上のように構成し、応答
スペクトルを近似し、高速で処理できるようにしたの
で、リアルタイムで被害想定を行なえる高速な地震応答
スペクトル演算装置を提供することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】実施形態の演算結果の表

【図２】実施形態の演算結果の表

【図３】実施形態のシュミレーション回路図

【図４】実施形態の演算結果を示す表

【図５】実施形態の演算結果を示す表

【図６】実施形態の演算結果を示す表

【図７】実施形態の使用形態を示すブロック図

【図８】実施形態の使用形態を示すブロック図

【符号の説明】

１地震観測システム２データ収録装置３地震計４センターコンピュータ５通信回線６ＤＳＰ７Ａ／Ｄ変換器

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】地震計の観測信号をサンプリングし、そ
のサンプリングデータから地動の加速度αを算出し、算
出した加速度αを下記の数式（１）のＺ変換Ｕ（ｚ），
Ｖ（ｚ），Ｗ（ｚ）のいずれか一つ、あるいは二つまた
は全部を用いて地震応答スペクトルを算出する演算装
置。【数１】