JP2007198866A - 広義サドルコーンビームｃｔ装置および３次元再構成法 - Google Patents

Abstract

【課題】実用上の制限を解消した広義サドル曲線を利用した実用的なＸ線ＣＴ・再構成方法の提供
【解決手段】広義サドルＣＴ撮像・再構成方法は、下記の特徴を含む。
（ａ）下記の条件により規定される広義サドル曲線に関連して測定対象を置くこと、
（ｂ）該広義サドル曲線に沿ってＸ線源を相対移動させ、かつ検出面に投影した測定対象のＸ線投影像データを検出すること：
但し、広義サドル曲線とは、３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足するものを言う：
（１）平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する、
（２）この四つの異なる交点は、長方形を構成する、
（３）平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である、
（ｃ）投影データを広義サドル曲線の２つの主軸方向の一つと平行な所定のフィルタリング平面に沿ってフィルタリングを施すこと、
（ｄ）逆投影を行うことにより測定対象の３次元再構成を行うこと。
【選択図】図２

Description

本発明は、Ｘ線ＣＴ(computed tomography)法及び装置に関し、特に広義サドル（general saddle）コーンビームを用いて撮影された投影データから測定対象を３次元再構成する方法および装置並びにそのためのプログラムに関する。

従来からＸ線ＣＴ（断層撮影）装置が知られており、その代表例として円軌道コーンビームＣＴ装置、ヘリカルコーンビームCT装置等があり、さらに、標準サドル(Standard Saddle)曲線の特性の考察と報告(非特許文献1)や、サドル軌道を用いたＣＴについての提案(非特許文献２)があったが、いずれも、なお相応の欠点を有し、さらに革新的かつ実用的な方法及び装置の実現が待望されている。

G. L. Zeng, G.. T. Gullberg, S. A. Foresti, "Eigen-analysis of cone-beam scanning geometries", Proceedings of the 1995 Fully 3D Meeting (International Meeting on Fully Three-Dimensional Image Reconstruction in Radiography and Nuclear Medicine) p.261-265 J. D. Pack, F. Noo, H. Kudo, "Investigation of saddle trajectory for cardiac CT imaging in cone-beam geometry", Proceedings of the 2003 Fully 3D meeting. Phys. Med. Biol. 49, 2317-36, 2004 Katsevich, A., "A general scheme for constructing inversion algorithms for cone beam CT", Int. J. Math. Math. Sci. 21, 1305-21, 2003 以上の文献１〜３の開示内容は、引照をもって本書に繰込まれる。

従来のＣＴは以下の方面で問題がある。
１．円軌道のコーンビームＣＴ装置：コーンビームＣＴのデータの完全性条件（Ｔｕｙ’ｓ条件）を満足しないため、再構成画像の画質が下降する。
２．ヘリカル軌道のコーンビームＣＴ装置：オーバースキャン（ｏｖｅｒｓｃａｎ）を必要とするため、測定時間の増加と対象物体に対しての被爆量の多い問題点が存在する。また、一回転後、元の位置へ戻らないため、データの連続撮影は困難である。
３．１９９５年、標準サドル曲線の特性についてＺｅｎｇらが初めて考察した（非特許文献１）。その後、２００３年から、Ｐａｃｋらにより曲面Ｓ_１とＳ_２の交線で定義したサドル軌道を用いた心臓病検査のＣａｒｄｉａｃ ＣＴについてその利点や性質が研究されて来た（非特許文献２）。しかし、Ｐａｃｋらによる軌道の定義が厳格であるため、用いることが望まれる様々な曲線軌道が該サドル軌道の定義から除外されていた。また、Ｐａｃｋらが提案したシフト・バリアント（Ｓｈｉｆｔ−Ｖａｒｉａｎｔ）ＣＢ−ＦＢＰ画像再構成法は実装が非常に複雑で、フィルタリングの掛け方が一次元の畳み込み関数でなかったため、難しくて計算量も多かったのである。

すなわち、従来、簡単・有効な再構成アルゴリズムが提案されていなかったこともあり、サドル軌道でＣＴ画像を得ることは非常に困難であり、実際のＣＴ検査装置として実用化されていないのが現状である。

また、一般曲線軌道から導かれた再構成法（非特許文献3）は、ヘリカル軌道や、円周＋円弧、円周＋直線軌道などに対してその適用例を示したが、サドル軌道に対しては討論しなかった。その理由は、サドル軌道に対して、この手法の重みに関する関係式の検証は非常に困難であり、簡単な重みを使って再構成の実装を行うことは非常に困難であるからである。更に、この手法はトランケーション(物体がカメラに入るか否か)において、その適用性は不明である。現在に至るまで、この手法を用いて、サドル軌道に対しての再構成を行った論文や報告はないのである。

本発明は、一視点において、Ｐａｃｋの定義によるサドル軌道の厳格さによる実用上の制限を解消した広義サドル曲線を利用した実用的なＣＴ方法及び装置、特にコーンビームＣＴ方法及び装置を提供することを課題とする。又、他の視点において本発明は撮像された投影データ（特にサドル曲線を用い撮像された投影データ）から測定対象を３次元再構成する正確・有効かつ簡単な方法及び装置を提供することを、課題とする。また、そのためのプログラムの提供も一課題である。

本発明は、その一視点において新型Ｘ線ＣＴ方法及び装置を提供する。本新型Ｘ線ＣＴ方法及び装置において、Ｘ線源の（相対）軌道は、コーンビームＣＴのデータ完全性条件（Ｔｕｙ’ｓ条件）を満足する広義サドル曲線である。本発明の他の視点において本発明は、この方法又は装置で撮影された投影データに対して、正確・有効・簡単な３次元画像再構成法を提供する。

本発明では、短物体のＣＴ画像化および長物体の部分的ＣＴ画像化問題に対して、新型Ｘ線ＣＴ装置−広義サドルコーンビームＣＴ（以下「広義サドルＣＴ」と呼ぶ）装置を提供する。本広義サドルＣＴ装置において、Ｘ線源−検出系におけるＸ線源の（相対）軌道は、コーンビームＣＴのデータ完全性条件（Ｔｕｙ’ｓ条件）を満足する広義サドル曲線である。

本発明の第１の視点によれば、広義サドルＣＴ撮像方法が提供される。即ち、広義サドルＣＴ撮像方法は、
（ａ）下記の条件により規定される広義サドル曲線に関連して測定対象を置くこと、
（ｂ）該広義サドル曲線に沿ってＸ線源を測定対象に対して相対移動させ、かつ検出面に投影した測定対象のＸ線投影像データを検出すること：
但し、広義サドル曲線とは、３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足するものを言う：
（１）平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する、
（２）この四つの異なる交点は、長方形を構成する、
（３）平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である。（形態１）

本発明の第２の視点によれば、広義サドルＣＴ撮像・再構成方法が提供される。即ち、広義サドルＣＴ撮像・再構成方法は、上述の（ａ）〜（ｂ）に加え、下記の（ｃ）、（ｄ）を含むことを特徴とする。即ち、
（ｃ）投影データを広義サドル曲線の２つの主軸方向の一つと平行な所定のフィルタリング平面に沿ってフィルタリングを施すこと、
（ｄ）逆投影を行うことにより投影像データの３次元再構成を行うこと、
を含むことを特徴とする。（形態２）
以下、「広義サドル曲線」とは、後述の定義に従う曲線を言う。

本発明の第３の視点によれば、広義サドルＣＴ撮像装置が提供される。即ち、広義サドルＣＴ撮像装置は、
（ａ）下記の条件により規定される広義サドル曲線に関連して測定対象を保持する保持ユニット、
（ｂ）該広義サドル曲線に沿ってＸ線源と検出面を測定対象に対して相対移動させるＸ線源−測定対象−検出系駆動ユニット、
（ｃ）該Ｘ線源から放射され測定対象を透過したＸ線の投影像データを検出する検出装置、
但し、広義サドル曲線とは、３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足するものを言う：
（１）平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する、
（２）この四つの異なる交点は、長方形を構成する、
（３）平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である。（形態３）

本発明の第４の視点によれば、広義サドルＣＴ撮像・再構成装置が提供される。この広義サドルＣＴ撮像・再構成装置は、上記第３の視点の（ａ）〜（ｃ）に加え、下記の（ｄ）、（ｅ）を有することを特徴とする。即ち、
（ｄ）投影データを広義サドル曲線の２つの主軸方向の一つと平行な所定のフィルタリング平面に沿ってフィルタリングを施す手段、及び
（ｅ）逆投影を行うことにより投影像データの再構成を行う逆投影・再構成手段、
を有することを特徴とする。（形態４）

本発明の第５の視点によれば、上記方法（形態１、２）をコンピュータを介して実行するためのコンピュータ読取り可能なプログラムが提供される。（形態５）

以下に本発明の好ましい実施形態を示す。
［形態６］
上記第２の視点（形態２）において、前記フィルタリング平面と検出面との交線に沿ってフィルタリングを施すことを特徴とする。

［形態７］
広義サドル曲線上のＸ線源点
に対して，前記フィルタリング平面
を次の条件を満足するように選ぶこと：
（１）フィルタリング平面が前記点
を通過する、
（２）フィルタリング平面が前記点
から検出面上の点に至るベクトル
と平行である、
（３）フィルタリング平面がベクトル
と平行である、
但し、ベクトル
は、次の条件を満足するように選ぶ：

［形態８］
前記フィルタリングは、次式に従って行うことを特徴とする：


但し、


ここで、
は投影データである。

［形態９］
前記逆投影は次式を用いて行うことを特徴とする：

ここで、
は測定対象の各点においてのCT値を表す。

［形態１０］
前記広義サドル曲線として、下記の条件により規定される良設計広義サドル曲線を用いることを特徴とする：
但し、良設計広義サドル曲線とは、
対象物体が長い物体であり、その再構成領域ＦＯＶが物体を横切る二つの水平平面に囲まれている場合、前記広義サドル曲線が次の条件を満足する：
（１）第１の水平平面の上側において、与えた広義サドル曲線上の一方の左（又は右）部分は、再構成領域ＦＯＶの左（又は右）側にある、
（２）第２の水平平面の下側において、与えた広義サドル曲線上の一方の前（又は後）部分は、再構成領域ＦＯＶの前（又は後）平面の前（又は後）側にある。

［形態１１］
前記ステップ（ｃ）〜（ｄ）を前記パラメータ（λ）の各値毎に繰り返し、投影像データから測定対象の３次元再構成を行うことを特徴とする。

［形態１２］
前記フィルタリングに際し、投影データに対し、広義サドル曲線のパラメータ（λ）に関し微分すること、
前記微分の後重み掛けを行い、
フィルタリング前の補間を行うこと、
次いで、該補間後のデータに対し一次元ヒルベルト変換を行うこと、を特徴とする。

［形態１３］
形態９において、前記一次元ヒルベルト変換後のデータに、さらにフィルタリング後の座標変換を施すことを特徴とする。

［形態１４］
形態９において、前記一次元ヒルベルト変換後のデータに対するフィルタリング後の座標変換したデータを用いて逆投影を行うことを特徴とする。

［形態１５］
前記フィルタリングに際し、投影データに対し２つの重みを掛けたデータを定義し、これを用いて広義サドル曲線のパラメータ（λ）に関する微分を施すことなく再構成を行うことを特徴とする。

［形態１６］
Ｃ−アーム幾何系又はリング幾何系の２つの回転軸について、一方の回転軸の値を他の回転軸の値で制限することにより、良設計広義サドル曲線を与えることを特徴とする。

［形態１７］
測定対象を回転軸を中心に回転しつつＸ線源と検出面の間の一方を固定して両者間の相対的位置関係を制御して、広義サドル曲線を構成することを特徴とする。

［形態１８］
Ｘ線源及び検出面を固定配置すると共に、測定対象を回転軸を中心に回転しつつ測定対象を所定の式に従って回転軸の方向に往復移動して、広義サドル曲線を構成することを特徴とする。

コーンビームＣＴのデータ完全性条件を満足しない従来の円軌道コーンビームＣＴ装置と比較して、本発明に係る広義サドルＣＴ装置は対象物体をより正確に再構成することができる（理論上正確である）。また、短物体のＣＴ画像化および長物体の部分的ＣＴ画像化問題に対して、ヘリカルコーンビームＣＴ装置と比較して、本広義サドルＣＴ装置はオーバースキャンの問題を避けることができ、撮影時間の短縮と対象物体に対しての被爆量を低減することができる。さらに、本発明によれば、この広義サドルＣＴ装置で撮影された投影データに対して、正確・有効・簡単な３次元画像再構成法を提供する。この再構成手法は、従来の実装が容易なＦＤＫ法と同じように、ＦＢＰ（フィルタ補正逆投影）型再構成法にカテゴリー上分類され、本発明では、初めて簡単に実装できるＦＢＰ型再構成法を提案して、Ｘ線源の軌道が広義サドル曲線の場合に対してのＣＴ画像化の問題を解決した。

広義サドル曲線ないし軌道は、主に、短物体のＣＴ画像化および長物体の部分的ＣＴ画像化問題を解決するため、本発明のＣＴ装置に用いるＸ線源のスキャン方式を与える。

［用語の定義］
本発明は、「広義サドル曲線」、「再構成領域」ＦＯＶ及び「その前、後、左、右の各平面」、さらに「良設計広義サドル曲線」という全く新しい概念を用いて、記述される。これらは、全く新しい概念であるので、次のとおり定義して用いる。

（１）広義サドル曲線（軌道）の定義
３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接（Ｓｉｎｇｌｅ−Ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ）閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足する時、「広義サドル曲線」と呼ぶ。
(1) 平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する。
(2) この四つの異なる交点は、長方形を構成する。
(3) 平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である。

（２）再構成領域ＦＯＶ(Field of View)およびその前平面、後平面、左平面、右平面の定義
再構成領域ＦＯＶ：対象物体が（長い円柱のような）長い物体の場合、再構成領域ＦＯＶは、図１で示したような二つの（水平）平行平面（Ａ，Ｂ）に囲まれている部分である。
再構成領域ＦＯＶの前平面：対象物体の前（Ｙ軸の負方向）にある縦平面（Ｙ軸と直交する平面）の集合の中で、対象物体と一番距離が近い平面。
再構成領域ＦＯＶの後平面：対象物体の後（Ｙ軸の正方向）にある縦平面（Ｙ軸と直交する平面）の集合の中で、対象物体と一番距離が近い平面。
再構成領域ＦＯＶの左平面：対象物体の左（Ｘ軸の負方向）にある縦平面（Ｘ軸と直交する平面）の集合の中で、対象物体と一番距離が近い平面。
再構成領域ＦＯＶの右平面：対象物体の右（Ｘ軸の正方向）にある縦平面（Ｘ軸と直交する平面）の集合の中で、対象物体と一番距離が近い平面。

（３）良設計広義サドル曲線（軌道）の定義
良設計広義サドル曲線の集合は、再構成領域ＦＯＶ(Filed of View)に関して定義されたもので、広義サドル曲線集合の子集合でもある。
対象物体が長い物体であり、その再構成領域ＦＯＶが物体を横切る二つの（水平）平面に囲まれている場合、前記広義サドル曲線が次の条件を満足するとき、良設計広義サドル曲線と呼ぶ：
(1) 第１の（水平）平面（Ａ）の上側において、与えた広義サドル曲線上の一方の左（又は右）部分は、再構成領域ＦＯＶの左（又は右）平面の左（又は右）側にある。
(2) 第２の（水平）平面（Ｂ）の下側において、与えた広義サドル曲線上の一方の前（又は後）部分は、再構成領域ＦＯＶの前（又は後）平面の前（又は後）側にある。

１．本発明では広義サドルスキャン方式を採用する。これは、新型Ｘ線ＣＴスキャン方式である。本発明で提案した広義サドル曲線集合は、従来のサドル曲線集合を含むもっと広範囲の曲線集合であり、様々なハードウェアの実現に適用できる利点を持つ。
注：本発明では、Ｘ線源、検出器、対象物体の移動・回転の組み合わせが、画像再構成空間において、広義サドル軌道の幾何系と同じ場合も含む。

２．本発明では、広義サドルＣＴ装置について、新型フィルタ補正逆投影再構成法を用いることが出来る。この再構成手法は、正確・計算性能が高い・実装しやすいという利点がある。本再構成手法の再構成ステップをまとめると、主に次の三ステップで行われる。
Step 1: 測定した投影データに対して、広義サドル曲線に沿って微分を行う。
Step 2: 微分した投影データに対して、本発明で与えた特定方向（所定のフィルタリング平面）に沿ってフィルタをかける。
Step 3: フィルタをかけた投影データに対して、逆投影を行う。
本発明の再構成アルゴリズムの主な特徴点は、フィルタ方向を広義サドル曲線の二つの主軸方向の一つ（直交座標系）と平行する平面で決めたことである。

３．本発明では、いくつかの異なる広義サドル特例に対して、その幾何配置に応じる再構成アルゴリズムの詳細なステップを与える。さらに、本再構成法のいくつかの変形アルゴリズムを示すが、これらの変形アルゴリズムは、広義サドル曲線に沿う微分を行わないため、数値計算がより安定で、再構成画像のアーチファクトが少なくなる。

４．本発明では、いくつかの特殊の広義サドルＣＴのハードウェア実施方法と適用領域を考える。

１．［広義サドル曲線の定義］
［定義］前掲用語の定義（１）で概念的な定義を示したが広義サドル曲線（軌道）は、さらに厳密には数学的に次のとおり、定義される。
３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接（Ｓｉｎｇｌｅ−Ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ）閉曲線Ｃがある連続的な平行平面の集合

に対して次の条件を満足する時、広義サドル曲線と呼ぶ。

２．［座標系の構成およびパラメータ化］
2.1


2.2 座標系(x,y,z)において、平行平面の集合

は、変数

によって、パラメータ化できるため、本発明では、平行平面の集合を

で表示する。
2.3 座標系(x,y,z)において、広義サドル曲線Cは次式のようにパラメータ化できる。

2.4 上述のようにパラメータ化した広義サドル曲線Cに対して、変数zの値を与えた場合


本発明において、x軸とy軸を広義サドル曲線の主軸と呼ぶ。
2.5 本発明において、次のような性質を持つ点集合を考える。





この点集合Ω⁰(C)は、コーンビームデータの完全性条件（Ｔｕｙ’ｓ条件）を満足する。また、再構成領域ＦＯＶ（Ｆｉｌｅｄ ｏｆ Ｖｉｅｗ）を

で定義すると、本発明では、ＦＯＶはΩ⁰(C)の子集合であることが仮定される。
＜良設計広義サドル曲線の定義＞
ＦＯＶに関して良設計である広義サドル曲線−良設計広義サドル曲線とは、次式を満足する広義サドル曲線である。
すなわち、

が成り立つ広義サドル曲線が、良設計広義サドル曲線である。

３．［広義サドル曲線集合はサドル曲線を含む］
3.1 サドル曲線とは、ある性質を満足する一種類の曲線の集合である。この集合の曲線は、次の性質を満足する二つの曲面(S₁,S₂)の交線である。


ここで、s₁(x),s₂(y)は次式を満足する。


は広義サドル曲線の定義の条件を満足するため、上述で定義したサドル曲線は広義サドルの特例である。サドル曲線は、全部良設計広義サドル曲線である。
3.3 広義サドル曲線であるが、サドル曲線ではない例:
球面上の曲線

に対して、

と定義すると、0<k<0.5の場合、上述の曲線はサドル曲線である。しかし、0.5<k<1の場合、サドル曲線にはならないが、広義サドル曲線になる。なお且つ、0.5<k<1の場合、この曲線は良設計広義サドル曲線でもある。

４．［コーンビーム投影データの定義］


ここで、S²は単位球面である。

５．［フィルタ補正逆投影演算子の定義］
5.1 微分を取る。


5.2 フィルタを掛ける。フィルタ平面は三つの要素で構成されている。すなわち、Ｘ

また、フィルタ演算子は、次式のように定義される。

本質的に言うと、この演算子は、フィルタ平面と検出面の交線上の一次元ヒルベルト（Ｈｉｌｂｅｒｔ）変換である。
5.3 上述のフィルタ処理を行った後の結果に対して、重みを掛けた後、逆投影を行う。

６．［再構成公式］
ＦＯＶ内の点

に対して、平面z=z₀と広義サドル曲線の交点は、次式のように四つある。

７．［再構成手法のＦＢＰ型実現および体軸トランケーションデータへの適用性］
表面的に見ると、上述の再構成式において、フィルタ平面は再構成しようとする点
従って、再構成に必要な数値計算は非常に複雑で、ＦＢＰ型計算模式とは全然違うように見える。
しかし、良設計広義サドル曲線において、投影角度λを固定した場合、上述の再構成式において、フィルタ平面は次にように一次元でパラメータ化できる。

すなわち、フィルタ平面とｚ軸の交点が(0,0,z)^Tで、z>a_z(λ)の場合はｘ軸と平行し、ｚ＜ａ_z（λ）の場合はｙ軸と平行する、点(0,0,z)^Tと

を通過するフィルタ平面を考慮する。また、このようなフィルタ平面の集合をπ(z)で表示する。
広義サドル曲線に対しての座標系の定義によって、再構成式の全てのフィルタ平面がπ(z)に含まれていることが分かる。そのため、本発明では、逆投影を行う前に、フィルタを行うことができる。このフィルタ過程は、再構成しようとする点
と関係がないため、従来のＦＢＰ型アルゴリズムの基本特性と同じ特性を持つ。
そのほか、良設計広義サドル曲線は、π(z)中の任意の平面もｚ軸と平行していないため、良設計広義サドル曲線に対して、本発明のアルゴリズムは体軸トランケーションデータにも適用できるのである。

８．［特例１（詳細な再構成ステップ）］
8.1 定義：次のようにパラメータ化できる良設計広義サドル曲線を考慮する。

ここで、λはｘｙ平面上の極角度であり、極座標半径をＲ(λ)とするとR(λ)>0である。
8.2 検出器の幾何配置：再構成空間において、検出器の座標系は次のようになる。

本発明において、Ｘ線源から検出面までの距離はＤ(λ)>0とし、検出面上の投影データはg_f(λ,u,w)で表示する。
8.3 再構成は次のステップで行われる。
STEP 1：フィルタを掛ける。
各投影データ
は、下記のフィルタ工程によって
に変形される。
ＦＦ１：微分を取る。(derivative at constant direction)


ＦＦ２：重みを掛ける。（距離Ｄの修正重み）

ＦＦ３：フィルタリング前の補間を行う。
g₃(λ,u,z)=g₂(λ,u,w(u,z))
ここで、zはフィルタ平面π(z)のパラメータであり、w(u,z)はフィルタ平面π(z)と検出面の交線の方程式である。
ＦＦ４：一次元ヒルベルト変換を行う。

ここで、h_Hはヒルベルト変換のインパルス応答(kernel)である。
ＦＦ５：フィルタリング後の変換を行う。

ここで、z(u,w)は検出面上の点(u,w)を通るフィルタ平面のパラメータ値である。
STEP 2：逆投影を行う。
フィルタした投影

を逆投影して、ＦＯＶの各点

について下記式に従ってｆを構成する。


［注］上述の再構成ステップにおいて、ＳＴＥＰ １のＦＦ５手順を行わないで、その操作をＳＴＥＰ ２の逆投影を行う際に取り込むことによって、再構成画像の解像度を上げることができる。
8.4 上述の８．３の再構成ステップには、広義サドル曲線のパラメータλに対しての微分が必要であるが、この微分演算は、サンプリング誤差や離散化誤差を増加する問題点がある。８．３の再構成式から、λに対しての微分演算を除去する幾つかの変形式があるが、ここでは、その一例を示す。まず、次の二つの重みを掛けたデータを定義する。

従って、再構成式は、次式のようになる。

ここで、κはフィルタ平面と検出面の交線の勾配であり、

である。
8.5 ここでは、良設計広義サドル曲線のパラメータλに対しての微分演算を除去したもうひとつの再構成式を与える。
ここで、

である。

９．［特例２（詳細な再構成ステップ）］
9.1 定義：Ｃ−アーム幾何系（又はリング幾何系）で構成される良設計広義サドル曲線に対して考慮する。Ｃ−アーム幾何系で構成される良設計広義サドル曲線は、次式のようにパラメータ化できる。

ここで、α＝α(λ)はλの関数であり、

である。
9.2 検出器の幾何配置：再構成空間において、検出器の座標系は次のようになる。

9.3 再構成は、次のステップで行われる。
STEP 1：フィルタを掛ける。
ＦＦ１：微分を取る。

ここで、
は次式により定義される。

ＦＦ２：重みを掛ける。

ＦＦ３：フィルタリング前の補間を行う。

ここで、zはフィルタ平面π(z)のパラメータであり、w_c(u_c,z)はフィルタ平面π(z)
と検出面の交線の方程式である。
ＦＦ４：一次元ヒルベルト変換を行う。

ここで、h_Hはヒルベルト変換のインパルス応答である。
ＦＦ５：フィルタリング後の変換を行う。

ここで、z(u_c,w_c)は、検出面上の点(u_c,w_c)を通るフィルタ平面のパラメータ値である。
STEP 2：逆投影を行う。


ここで、

は、点


を結ぶ直線と検出面の交点の座標であり、

である。
［注］上述の再構成ステップにおいて、ＳＴＥＰ １のＦＦ５手順を行わないで、その操作をＳＴＥＰ ２の逆投影の過程に取り込むことによって、再構成画像の解像度を上げることができる。
9.4 上述の9.3の再構成ステップは、8.4と同じように、良設計広義サドル曲線のパラメータλに対しての微分を除去することができる。すなわち、

と定義すれば、再構成式は次式のようになる。

ここで、


である。
9.5 良設計広義サドル曲線のパラメータに対しての微分を除去するもう一つの再構成式

標準サドルに対しての実現方法１
標準サドル軌道の方程式：
測定対象（サンプル）を置いた回転台を回転軸の回りに時計方向へ回転しながら、方程式z_s=-hcos2λを満足するように上下移動する。ここで、ｚ_ｓはサンプルを置いた回転ステージのｚ方向位置にある。この場合、Ｘ線源と検出器はいずれも固定（定置）されている。（逆時計方向に回転する場合も同様である。）
図５、サドル軌道の実現方法を参照。

標準サドルに対しての実現方法２
実現方法１は、容易に実装できるが、検出器（検出面）の利用率が低い問題点がある。検出器も、方程式

を満足するように上下移動することによって、検出器の利用率を高くすることができる。ここで、z_Dは検出器のＺ方向位置である。

Ｃ−アーム形式に対しての実現方法
幾何系において、二つの回転軸があるが、その中の一つの回転軸の値を他の回転軸の値で制限することによって、Ｘ線源の軌道が容易に良設計広義サドル曲線になる。
Ｃ−アーム幾何系：Ｃ−アームには、λ軸とα軸の２軸があり、装置としてλとαの二つのパラメータがある。α軸を固定し、λ軸に対してＣ−アームを回転すると、通常の円軌道データが取れる。また、λ軸とα軸の２軸に対してＣ−アームを回転すると、Ｘ線源の座標は

となる。α＝α（λ）軸に対しての回転が所定の条件を満足する場合、その軌道は良設計広義サドル曲線になる。例えば、回転を

あるいは

に制限すると、Ｘ線源軌道は良設計広義サドル曲線になる。
図７ Ｃ−アームの幾何系参照
なお、Ｃ−アーム系に代りリング系を用いても同様の良設計サドル曲線を実現でき、軌道上のＸ線源と検出装置（検出面）との相対関係は同じである。

平らな物体の検査に対して、透過し難い方向を避けることによって、斜めＣＴ装置と比較して、倍率はそんなに高くならないが、対象物体をより正確に再構成することができる。その理由は、少なくとも次の三つの方面で説明する。
4.1 大部分の方向で、広義サドル軌道は斜めＣＴの透過できる特性を持っている。
4.2 広義サドル軌道は、最大斜め角度での撮影データも利用できる。
4.3 再構成を行う際に、透過しなかった方向での投影データは無視して使わないことができる。このような場合、データは少し欠落しているが、斜めＣＴの場合と比較すると、欠落の影響が少なく、斜めＣＴより良質の画像を得ることができる。
図８ 広義サドル軌道で平らな物体を再構成する幾何系を参照。

本発明の方法を実施するための装置の一例のブロック概念図を図９に示す。広義サドルＣＴ撮像装置は、広義サドル軌道ユニット（例えばＣ−アーム系又はリング系駆動制御装置）、検出面を備えた検出装置、これらからなる検出データを受け取りかつ制御する演算制御ユニット及び入出力・表示装置を有する。演算制御ユニットはＸ線源−検出系制御ユニット、ＣＰＵ、記憶装置（ＲＯＭ、ＲＡＭ、レジスタ、ハードディスク等を含むことができる）、微分ユニット、フィルタリングユニット、逆投影ユニット、三次元再構成ユニットを含み、これらはバスにより接続されると共に、その他図示外の入出力インターフェイス等コンピュータ装置に汎用の部品を含む。
なお、微分、フィルタリング、逆投影、三次元再構成等の各ユニットは、ハードウエア的にもソフトウエア的にも実装可能である。図示を省略するが、実施形態において用いる各詳細ステップは、夫々対処処理ユニットにより、構成可能である。
本発明の方法各ステップないし処理段は、必要に応じ投影像データ（検出データ）を記憶し、次の処理段に移行する。
各ステップに用いる式は、ＲＯＭに予め保存するか、必要に応じハードディスク等の高速アクセス可能なメモリに記憶されて用いられる。系全体はクロック信号（図示略）により制御される。何よりも先ず、広義サドル曲線の指定・セットが入出力・表示装置を介して行われる。
測定対象（サンプル）を装置の所定の位置（例えばＣ−アーム装置の中央）にセットし、所定の広義サドル曲線の軌道上の点ａ（λ）にＸ線源の初期位置をセットする。検出装置の検出面が所定の条件を満たすようセットされた後、Ｘ線コーンビーム照射が制御下に行われ、測定対象を透過した投影像が検出装置の検出面にて検出され、検出データが、検出装置ないし検出面の座標系に従って記録される。検出装置の座標系により記録されたデータは、所定のフィルタリング平面との検出面の交線に沿ってフィルタリングされ、その前後においてさらに各所定のステップが各処理ユニットにより施される。その都度中間処理データは記憶装置に記憶され、次のステップに供される。
逆投影を行った後のデータは、三次元再構成のための基礎データとして記憶・保存され、その後三次元再構成ユニットを介して三次元像データに再構成され、所望により、表示プログラムを介してディスプレイに表示される。これらの処理はＣＰＵを介して行われ、各制御信号が図示外の入出力回路を介して発信されると共に、検出信号が検出装置から出力される。Ｘ線源−検出系の各位置も検出されて（相対）位置制御にフィードバックされる。
本発明の原理により、ＣＴ投影像は、一枚ずつ処理出来、実装も一番簡単であり、計算時間も大幅に短縮される。
一枚毎の処理画像は、その位置情報たるパラメータ（λ）と共に記憶装置に記憶され、次の一枚の処理画像撮像ステップ（再構成ステップ）へ移行し、同様な過程で広義サドル曲線に沿って繰り返し処理されて、広義サドル曲線の始点に戻ると、一サイクルを終了する。
この一サイクルは迅速に進行するので、一回のＣＴ撮像によりＸ線被爆（照射）負荷は少なくて済む。それに加えて、時間ｔも変数として加えた４次元ＣＴも原理的に実現可能である。それは、ＣＴ撮像の１サイクルの迅速性と、１サイクル終了時の広義サドル軌道の出発点への帰還性に基づく。これにより、ダイナミックな４次元ダイナミックＣＴスキャンが時系列的にオンラインでも可能となる。これは心臓などの動くＣＴスキャンに革新をもたらすものである。

（シミュレーション例１）
普通サドル軌道に対して、本発明の(8.3)によるVD(View Differencing)法と、(8.4)によるVI(View Independent)法を用いて、Shepp-Loganファントムに対してシミュレーション実験を行った。図１０に、各手法で再構成した3次元再構成画像のＸ＝０の場合の横断面、ｙ＝ー０．７６８の場合の横断面、ｚ＝０の場合の横断面を示す。
図１０おいて、VD 1440は、本発明の(8.3)によるVD法を用いて（1440）方向から撮影した撮像画像を用いて再構成を行うと言うで意味である。（VI 360）は、本発明の(8.4)によるVI法を用いて、（360）方向から撮影した撮像画像を用いて再構成を行うと言うで意味である。そのため、VD 360は、本発明の(8.3)によるVD法を用いて、（360）方向から撮影した撮像画像を用いて再構成を行うと言うで意味である。

（シミュレーション例２）
次に、普通サドル軌道に対して、本発明の(8.3)によるVD(View Differencing)法と、(8.4)によるVI(View Independent)法を用いて、Diskファントムに対してシミュレーション実験を行った。図１１に、各手法で再構成した3次元再構成画像のｘ＝０の場合の横断面、ｙ＝−０．７６８の場合の横断面、ｚ＝０の場合の横断面を示す。
図１１において、VD 1440は、本発明の(8.3)によるVD法を用いて（1440）方向から撮影した撮像画像を用いて再構成を行うと言うで意味である。VI 360は、本発明の(8.4)によるVI法を用いて、（360）方向から撮影した撮像画像を用いて再構成を行うと言うで意味である。そのため、VD 360は、本発明の(8.3)によるVD法を用いて、（360）方向から撮影した撮像画像を用いて再構成を行うと言うで意味である。

（シミュレーション例３）
最後に、Ｃ−アームで構成される良設計広義サドル軌道に対して、本発明の(9.4)によるVI(View Independent)法を用いて、Shepp-Loganファントムに対してシミュレーション実験を行った。図１２に、各手法で再構成した３次元再構成画像のｘ＝０の場合の横断面、ｙ＝−０．７６８の場合の横断面、ｚ＝０の場合の横断面を示す。
図１２おいて、VI 720は、本発明の(9.4)によるVI法を用いて、（720）方向から撮影した撮像画像を用いて再構成を行うと言うで意味である。

（効果のまとめ）
本発明は、短物体のＣＴ画像化および長物体の部分的なＣＴ画像化問題に対して、広義サドル軌道スキャン模式を提案した。従来の円軌道スキャン模式と比較して、広義サドル軌道スキャンはコーンビームＣＴのデータの完全性条件を満足するため、対象物体を正確に再構成することができる。また、ヘリカルスキャンと比較して、広義サドル軌道スキャンは、オーバースキャンを避けることができるため、測定時間と対象物体に対しての被爆量を減少することができる。さらに本発明の広義サドルスキャン法は、一回転で元の位置へ戻れるため、連続的に撮影を行うことができる。従来のサドル軌道と比較して、本発明で提案した広義サドル軌道は、もっと広い範囲で適用できるため、様々な容易に実現できるＣＴスキャン方式をも含んだ形で具現化できる。

特筆すべき事実は、本発明の前まで、一番簡単なサドル軌道に対しても、簡単・有効な再構成アルゴリズムがなかったことである。本発明は、初めて広義サドル軌道に対して、フィルタ補正逆投影型（ＦＢＰ型）再構成アルゴリズムを提案した。提案手法は理論的に正確である。また、このアルゴリズムはＦＢＰ型であるため、実装が簡単になったばかりでなく計算スピードも速くなったことである。

本発明をきっかけに、広義サドル軌道は、今後、工業用検査や医療用診断検査において、実用化できるスキャン方式として、その役割を果たすであろう。
広義サドル曲線軌道は、一回転（１サイクル）で最初の位置に戻るため、連続的に撮影できると言うメリットがあり、次の分野で応用できる。
１． 人間の心臓検査、四次元ＣＴ（医用）
２． 自動検査装置（工業用）

広義サドル曲線と再構成領域ＦＯＶを模式的に示す。 広義サドル曲線の定義とフィルタリング平面、検出面との関係を模式的に示す。 広義サドル曲線の座標系と検出面上の投影データの座標系との対応関係を示す。 Ｃ−アーム幾何系を示す。 Ｘ線源及び検出器を固定した場合における広義サドル軌道の実現方法の一例を示す。 Ｘ線源を固定し、検出器を可動とする場合における広義サドル軌道の実現方法の一例を示す。 ２つの主軸方向（λ、α）の回りに回転可能なＣ−アームの幾何系を示す。 広義サドル曲線で平らな物体を再構成する幾何系を示す。 本発明の装置のブロック概略図を示す。 ［実施例６］の結果を示す。即ち、［実施例１］の標準サドル軌道系においてのパラメータに対して、R=12, D=12, h=4で、検出面が7.2の場合、Shepp-Loganファントムに対して、VD法とVI法で再構成した3次元画像の横断面を示す。 ［実施例７］の結果を示す。即ち、［実施例１］の標準サドル軌道系においてのパラメータに対して、R=12, D=12, h=4で、検出面が7.2の場合、Diskファントムに対して、VD法とVI法で再構成した３次元画像の横断面を示す。 ［実施例８］の結果を示す。即ち、［実施例３］のＣ−アーム幾何系においてのパラメータに対して、R=7,D=14,k=0.3で、 検出面が7.2の場合、Shepp-Loganファントムに対して、VI法で再構成した3次元画像の横断面を示す。

Claims (27)

1. （ａ）下記の条件により規定される広義サドル曲線に関連して測定対象を置くこと、
   （ｂ）該広義サドル曲線に沿ってＸ線源を測定対象に対して相対移動させ、かつ検出面に投影した測定対象のＸ線投影像データを検出すること、
   を含むことを特徴とする、広義サドルＣＴ撮像方法：
   但し、広義サドル曲線とは、３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足するものを言う：
   （１）平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する、
   （２）この四つの異なる交点は、長方形を構成する、
   （３）平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である。
2. （ａ）下記の条件により規定される広義サドル曲線に関連して測定対象を置くこと、
   （ｂ）該広義サドル曲線に沿ってＸ線源を測定対象に対して相対移動させ、かつ検出面に投影した測定対象のＸ線投影像データを検出すること：
   但し、広義サドル曲線とは、３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足するものを言う：
   （１）平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する、
   （２）この四つの異なる交点は、長方形を構成する、
   （３）平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である、
   （ｃ）投影データを広義サドル曲線の２つの主軸方向の一つと平行な所定のフィルタリング平面に沿ってフィルタリングを施すこと、
   （ｄ）逆投影を行うことにより測定対象の３次元再構成を行うこと、
   を含むことを特徴とする、広義サドルＣＴ撮像・再構成方法。
3. 前記フィルタリング平面と検出面との交線に沿ってフィルタリングを施すことを特徴とする請求項２に記載の方法。
4. 広義サドル曲線上のＸ線源の点
   に対して，前記フィルタリング平面
   を次の条件を満足するように選ぶこと：
   （１）フィルタリング平面が前記点
   を通過する、
   （２）フィルタリング平面が前記点
   から検出面上の点に至るベクトル
   と平行である、
   （３）フィルタリング平面がベクトル
   但し、ベクトル
   は、次の条件を満足するように選ぶ：
   を特徴とする請求項２又は３に記載の方法。
5. 前記フィルタリングは、次式に従って行うことを特徴とする請求項２〜４の一に記載の方法：
   
   但し、
   
   
   ここで、
   は投影データである。
6. 前記逆投影は次式を用いて行うことを特徴とする請求項２〜５の一に記載の方法：
   
   ここで、
   
   は測定対象の各点においてのCT値を表す。
7. 前記広義サドル曲線として、下記の条件により規定される良設計広義サドル曲線を用いることを特徴とする請求項１〜６の一に記載の方法：
   但し、良設計広義サドル曲線とは、
   対象物体が長い物体であり、その再構成領域ＦＯＶが物体を横切る二つの水平平面に囲まれている場合、前記広義サドル曲線が次の条件を満足する：
   （１）第１の水平平面の上側において、与えた広義サドル曲線上の一方の左（又は右）部分は、再構成領域ＦＯＶの左（又は右）側にある、
   （２）第２の水平平面の下側において、与えた広義サドル曲線上の一方の前（又は後）部分は、再構成領域ＦＯＶの前（又は後）平面の前（又は後）側にある。
8. 前記ステップ（ｃ）〜（ｄ）を前記パラメータ（λ）の各値毎に繰り返し、測定対象データの３次元再構成を行うことを特徴とする請求項２〜６の一に記載の方法。
9. 前記フィルタリングに際し、投影データに対し、広義サドル曲線のパラメータ（λ）に関し微分すること、
   前記微分の後重み掛けを行い、
   フィルタリング前の補間を行うこと、
   次いで、該補間後のデータに対し一次元ヒルベルト変換を行うこと、
   を特徴とする請求項２〜８の一に記載の方法。
10. 前記一次元ヒルベルト変換後のデータに、さらにフィルタリング後の座標変換を施すことを特徴とする請求項９に記載の方法。
11. 前記一次元ヒルベルト変換後のデータに対するフィルタリング後の座標変換したデータを用いて逆投影を行うことを特徴とする請求項９に記載の方法。
12. 前記フィルタリングに際し、投影データに対し２つの重みを掛けたデータを定義し、これを用いて広義サドル曲線のパラメータ（λ）に関する微分を施すことなく再構成を行うことを特徴とする請求項２〜８の一に記載の方法。
13. Ｃ−アーム幾何系又はリング幾何系の２つの回転軸について、一方の回転軸の値を他の回転軸の値で制限することにより、良設計広義サドル曲線を与えることを特徴とする請求項１〜１２の一に記載の方法。
14. 測定対象を回転軸を中心に回転しつつＸ線源と検出面の間の一方を固定して両者間の相対的位置関係を制御して、広義サドル曲線を構成することを特徴とする請求項１〜１２の一に記載の方法。
15. Ｘ線源及び検出面を固定配置すると共に、測定対象を回転軸を中心に回転しつつ測定対象を所定の式に従って回転軸の方向に往復移動して、広義サドル曲線を構成することを特徴とする請求項１〜１２の一に記載の方法。
16. 請求項１〜１５の方法をコンピュータを介して実行するためのコンピュータ読取り可能なプログラム。
17. （ａ）下記の条件により規定される広義サドル曲線に関連して測定対象を保持する保持ユニット、
    （ｂ）該広義サドル曲線に沿ってＸ線源と検出面を測定対象に対して相対移動させるＸ線源−測定対象−検出系駆動ユニット、
    （ｃ）該Ｘ線源から放射され測定対象を透過したＸ線の投影像データを検出する検出装置、
    を有することを特徴とする広義サドルＣＴ撮像装置：
    但し、広義サドル曲線とは、３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足するものを言う：
    （１）平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する、
    （２）この四つの異なる交点は、長方形を構成する、
    （３）平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である。
18. （ａ）下記の条件により規定される広義サドル曲線に関連して測定対象を保持する保持ユニット、
    （ｂ）該広義サドル曲線に沿ってＸ線源と検出面を測定対象に対して相対移動させるＸ線源−測定対象−検出系駆動ユニット、
    （ｃ）該Ｘ線源から放射され測定対象を透過したＸ線の投影像データを検出する検出装置、
    但し、広義サドル曲線とは、３次元空間において、スムーシングで簡単な有界単連接閉曲線が、ある連続的な平行平面の集合に対して、次の条件を満足するものを言う：
    （１）平行平面集合の任意の平面は、閉曲線と四つの異なる交点が存在する、
    （２）この四つの異なる交点は、長方形を構成する、
    （３）平行平面集合の任意の異なる二つの平面に対して、得られる長方形は互いに平行である、
    （ｄ）投影データを広義サドル曲線の２つの主軸方向の一つと平行な所定のフィルタリング平面に沿ってフィルタリングを施す手段、及び
    （ｅ）逆投影を行うことにより測定対象の再構成を行う逆投影・再構成手段、
    を有することを特徴とする広義サドルＣＴ撮像・再構成装置。
19. 前記フィルタリング手段は前記フィルタリング平面と検出面との交線に沿ってフィルタリングを行うことを特徴とする請求項１７に記載の装置。
20. 広義サドル曲線上の点
    に対して，前記フィルタリング平面
    を次の条件を満足するように選ぶこと：
    （１）フィルタリング平面が前記点
    を通過する、
    （２）フィルタリング平面が前記点
    から検出面上の点に至るベクトル
    と平行である、
    （３）フィルタリング平面がベクトル
    と平行である、
    但し、ベクトル
    は、次の条件を満足するように選ぶ：
    を特徴とする請求項１７又は１８に記載の装置。
21. 前記フィルタリングは、次式に従って行うことを特徴とする請求項１８〜２０の一に記載の装置：
    但し、
    
    ここで、
    
    は投影データである。
22. 前記逆投影は次式を用いて行うことを特徴とする請求項１８〜２０の一に記載の装置：
    ここで、
    
    
    は測定対象の各点においてのCT値を表す。
23. 前記広義サドル曲線として、下記の条件により規定される良設計広義サドル曲線が用いられることを特徴とする請求項１８〜２２の一に記載の装置：
    但し、良設計広義サドル曲線とは、
    対象物体が長い物体であり、その再構成領域ＦＯＶが物体を横切る二つの水平平面に囲まれている場合、前記広義サドル曲線が次の条件を満足する：
    （１）第１の水平平面の上側において、与えた広義サドル曲線上の一方の左（又は右）部分は、再構成領域ＦＯＶに左（又は右）側にある、
    （２）第２の水平平面の下側において、与えた広義サドル曲線上の一方の前（又は後）部分は、再構成領域ＦＯＶの前（又は後）平面の前（又は後）側にある。
24. 前記逆投影・再構成手段（ｅ）による逆投影・再構成データを記憶する手段をさらに有し、該逆投影・再構成データに基づいて測定対象の３次元再構成を行う手段を有することを特徴とする請求項１８〜２３の一に記載の装置。
25. Ｃ−アーム幾何系又はリング幾何系の２つの回転軸について、一方の回転軸の値を他の回転軸の値で制限することにより、良設計広義サドル曲線を与えることを特徴とする請求項１７〜２４の一に記載の装置。
26. 測定対象を回転軸を中心に回転しつつＸ線源と検出面の間の一方を固定して両者間の相対的位置関係を制御して、広義サドル曲線を構成することを特徴とする請求項１７〜２４の一に記載の装置。
27. Ｘ線源及び検出面を固定配置すると共に、測定対象を回転軸を中心に回転しつつ測定対象を所定の式に従って回転軸の方向に往復移動して、広義サドル曲線を構成することを特徴とする請求項１７〜２４の一に記載の装置。