EP2834820B1 - Fixed three-phase to two-phase transformer with forced linked flux - Google Patents

Description

Arrière-plan de l'inventionInvention background

La présente invention se rapporte au domaine général des transformateurs. En particulier, l'invention concerne un transformateur fixe triphasé-diphasé à flux liés forcés.The present invention relates to the general field of transformers. In particular, the invention relates to a three-phase-two-phase fixed transformer with forced linked flux.

Dans certaines situations, il peut s'avérer nécessaire de transférer de façon équilibrée de l'énergie d'une source triphasée vers une source diphasée. Il existe des transformateurs fixes triphasés-diphasés, notamment l'un connu sous le nom de montage Scott et l'autre connu sous le nom de montage Leblanc.In certain situations, it may be necessary to transfer energy in a balanced manner from a three-phase source to a two-phase source. There are three-phase-two-phase fixed transformers, in particular one known as the Scott assembly and the other known as the Leblanc assembly.

Le montage Scott utilise deux transformateurs monophasés. Le premier a son primaire de n₁ spires monté entre les bornes A et B du réseau triphasé. Le primaire du second a n₁' spires et est monté entre la borne C du réseau triphasé et le point milieu M du primaire du premier. Les deux phases secondaires ont le même nombre n₂ de spires. Les tensions primaires sont en quadrature, il en est donc de même des tensions secondaires. Pour que les tensions secondaires aient même valeur et soit en quadrature, il faut que n₁' = √3 n₁ / 2.The Scott assembly uses two single-phase transformers. The first has its primary of n ₁ turns mounted between terminals A and B of the three-phase network. The primary of the second year turns ₁ and is mounted between terminal C of the three-phase network and the midpoint M of the primary of the first. The two secondary phases have the same number n ₂ of turns. The primary voltages are quadrature, so it is the same for the secondary voltages. So that the secondary voltages have the same value and are in quadrature, it is necessary that n ₁ '= √3 n _1/2 .

Le montage Scott présente plusieurs inconvénients. Les circuits magnétiques des deux transformateurs monophasés représentent une masse et un encombrement important. De plus, les bobinages des deux transformateurs doivent être différents côté triphasé puisqu' ils n'ont pas le même nombre de spires. Le nombre de spires des phases triphasées étant différent, les sections des conducteurs électriques doivent être différentes afin de garantir l'équilibre des résistances de chaque phase. Le branchement en étoile est imposé et on ne peut donc pas jouer sur le rapport des tensions avec un branchement triangle ou zig-zag. Enfin, on ne bénéficie pas du couplage positif des phases d'un transformateur triphasé à flux liés forcés qui permet de réduire le courant magnétisant nécessaire.The Scott assembly has several drawbacks. The magnetic circuits of the two single-phase transformers represent a mass and a large size. In addition, the windings of the two transformers must be different on the three-phase side since they do not have the same number of turns. The number of turns of the three-phase phases being different, the sections of the electrical conductors must be different in order to guarantee the balance of the resistances of each phase. The star connection is imposed and we cannot therefore play on the voltage ratio with a triangle or zig-zag connection. Finally, we do not benefit from the positive coupling of the phases of a three-phase transformer with forced related flux which allows the necessary magnetizing current to be reduced.

Le montage Leblanc utilise un circuit magnétique à trois, quatre ou cinq colonnes. Dans le cas d'un circuit magnétique à trois colonnes, il s'agit d'un transformateur à flux liés forcés, ce qui permet de limiter le courant magnétisant.The Leblanc assembly uses a magnetic circuit with three, four or five columns. In the case of a three-column magnetic circuit, it is a transformer with forced bonded flux, which makes it possible to limit the magnetizing current.

Le montage Leblanc présente également des inconvénients. Les bobinages des phases côté diphasé doivent être différents car ils n'ont pas le même nombre de spires. Les bobinages du côté diphasé sont répartis sur trois colonnes de façon non symétrique, ce qui entraîne des inductances de fuite différentes. Le nombre de spires de chaque phase côté diphasé étant différent, il faut des sections de conducteur électrique différentes pour équilibrer la résistance de chaque phase. Un transformateur de type triphasé-diphasé tel que déclaré dans le préambule de la première revendication est connu du document FR2648612 . Ce transformateur diffère en ce que les bobines diphasées sont arrangées en deux groupes de trois bobines, ces trois bobines, entre elles, étant connectées en séries. Par ailleurs, un des trois bobines dans chaque groupe respectif, est enroulée dans le sens inverse au deux autres bobines.Leblanc mounting also has drawbacks. The windings of the phases on the two-phase side must be different because they do not have the same number of turns. The windings on the two-phase side are distributed over three columns in a non-symmetrical manner, which leads to different leakage inductances. The number of turns of each phase on the two-phase side being different, different sections of electrical conductor are required to balance the resistance of each phase. A three-phase-two-phase transformer as stated in the preamble to the first claim is known from the document FR2648612 . This transformer differs in that the two-phase coils are arranged in two groups of three coils, these three coils, between them, being connected in series. In addition, one of the three coils in each respective group is wound in the opposite direction to the other two coils.

Il existe donc également un besoin pour une solution améliorée permettant de transférer de façon équilibrée de l'énergie d'une source triphasée vers une source diphasée.There is therefore also a need for an improved solution making it possible to transfer energy in a balanced manner from a three-phase source to a two-phase source.

Objet et résumé de l'inventionSubject and summary of the invention

L'invention propose un transformateur triphasé-diphasé comprenant un circuit magnétique, des bobines triphasées et des bobines diphasées, dans lequel le circuit magnétique comprend une première colonne, une deuxième colonne et une troisième colonne reliées magnétiquement, les bobines triphasées consistent en une première bobine de n₁ tours autour de la première colonne, une deuxième bobine de n₁ tours autour de la deuxième colonne et une troisième bobine de n₁ tours autour de la troisième colonne,
caractérisé en ce que
les bobines diphasées consistent en une quatrième bobine de n₂ tours autour de la première colonne, une cinquième bobine de n'₂ tours autour de la première colonne, une sixième bobine de n₂ tours autour de la troisième colonne et une septième bobine de n'₂ tours autour de la troisième colonne,
la quatrième bobine et la septième bobine étant reliées en série et formant une première phase diphasée, la quatrième bobine et la septième bobine présentant chacune un sens de bobinage correspondant, pour un courant circulant dans la première phase diphasée, à des potentiels magnétiques de même sens,
la cinquième bobine et la sixième bobine étant reliées en série et formant une deuxième phase diphasée, la cinquième bobine et la sixième bobine présentant chacune un sens de bobinage correspondant, pour un courant circulant dans la deuxième phase diphasée, à des potentiels magnétiques de même sens.The invention provides a three-phase-two-phase transformer comprising a magnetic circuit, three-phase coils and two-phase coils, in which the magnetic circuit comprises a first column, a second column and a third column magnetically connected, the three-phase coils consist of a first coil of n ₁ turns around the first column, a second coil of n ₁ turns around the second column and a third coil of n ₁ turns around the third column,
characterized in that
the two-phase coils consist of a fourth coil of n ₂ turns around the first column, a fifth coil of n ' ₂ turns around the first column, a sixth coil of n ₂ turns around the third column and a seventh coil of n '' ₂ turns around the third column,
the fourth coil and the seventh coil being connected in series and forming a first two-phase phase, the fourth coil and the seventh coil each having a corresponding winding direction, for a current flowing in the first two-phase phase, to magnetic potentials of the same direction ,
the fifth coil and the sixth coil being connected in series and forming a second two-phase phase, the fifth coil and the sixth coil each having a corresponding winding direction, for a current flowing in the second two-phase phase, at magnetic potentials of the same direction.

Ce transformateur présente, côté triphasé, une structure comparable à celle d'un transformateur de type Leblanc à trois colonnes. Il permet donc, par rapport à l'utilisation de deux transformateurs monophasés, un couplage de flux qui permet de réduire la masse et le volume du circuit magnétique et de limiter le courant magnétisant. De plus, comme les deux phases du côté diphasé présentent le même nombre de tours (à savoir n₂+n'₂), il n'est pas nécessaire d'utiliser des conducteurs de section différentes pour assurer l'équilibre des résistances.This transformer has, on the three-phase side, a structure comparable to that of a Leblanc type transformer with three columns. It therefore allows, compared to the use of two single-phase transformers, a flux coupling which makes it possible to reduce the mass and the volume of the magnetic circuit and to limit the magnetizing current. In addition, as the two phases on the two-phase side have the same number of turns (namely n ₂ + n ' ₂ ), it is not necessary to use conductors of different section to ensure the balance of the resistances.

Selon un mode de réalisation, n₂ = (2 + √3) n'₂.According to one embodiment, n ₂ = (2 + √3) n ' ₂ .

Pour un rapport n₂ = (2 + √3) n'₂, le transformateur permet d'obtenir des tensions côté diphasé de même valeur et en quadrature.For a ratio n ₂ = (2 + √3) n ' ₂ , the transformer makes it possible to obtain voltages on the two-phase side of the same value and in quadrature.

Selon un mode de réalisation, la deuxième colonne est une colonne centrale située entre la première colonne et la troisième colonne. Dans ce cas, les bobines triphasées et les bobines diphasées sont réparties de manière symétrique sur les colonnes latérales, ce qui permet d'équilibrer les inductances de fuites.According to one embodiment, the second column is a central column located between the first column and the third column. In this case, the three-phase coils and the two-phase coils are distributed symmetrically on the lateral columns, which makes it possible to balance the leakage inductances.

Selon un autre mode de réalisation, la première colonne est une colonne centrale située entre la deuxième colonne et la troisième colonne.According to another embodiment, the first column is a central column located between the second column and the third column.

De préférence, le circuit magnétique présente une symétrie par rapport à un axe de rotation passant dans la colonne centrale et/ou par rapport à un plan de symétrie passant dans ladite colonne centrale.Preferably, the magnetic circuit has symmetry with respect to an axis of rotation passing through the central column and / or with respect to a plane of symmetry passing through said central column.

En raison de la symétrie du circuit magnétique, des bobines triphasés et des bobines diphasés, les résistances et les inductances de phase sont équilibrées.Due to the symmetry of the magnetic circuit, three-phase coils and two-phase coils, the resistances and phase inductances are balanced.

Selon un mode de réalisation, le transformateur comprend en outre au moins un ensemble supplémentaire de bobines triphasées ou de bobines diphasées.According to one embodiment, the transformer further comprises at least one additional set of three-phase coils or two-phase coils.

Le transformateur permet alors d'alimenter de manière équilibrée un nombre de charge quelconque différent de 1.The transformer then makes it possible to supply a balanced number of any load other than 1.

Brève description des dessinsBrief description of the drawings

D'autres caractéristiques et avantages de la présente invention ressortiront de la description faite ci-dessous, en référence aux dessins annexés qui en illustrent des exemples de réalisation dépourvus de tout caractère limitatif. Sur les figures :

• la figure 1 représente un transformateur selon un premier mode de réalisation de l'invention,
• les figures 2 et 3 sont des schémas électriques illustrant le fonctionnement du transformateur de la figure 1,
• la figure 4 est un graphe représentant les courants dans le transformateur de la figure 1,
• la figure 5 représente un transformateur selon un deuxième mode de réalisation de l'invention,
• la figure 6 est un schéma électrique illustrant le fonctionnement du transformateur de la figure 5, et
• les figures 7 et 8 représentent chacune, en perspective, un circuit magnétique à trois colonnes pouvant être utilisé pour réaliser un transformateur conforme à l'invention.

Other characteristics and advantages of the present invention will emerge from the description given below, with reference to the drawings attached which illustrate exemplary embodiments devoid of any limiting nature. In the figures:

• the figure 1 represents a transformer according to a first embodiment of the invention,
• the figures 2 and 3 are electrical diagrams illustrating the operation of the transformer of the figure 1 ,
• the figure 4 is a graph representing the currents in the transformer of the figure 1 ,
• the figure 5 represents a transformer according to a second embodiment of the invention,
• the figure 6 is an electrical diagram illustrating the operation of the transformer of the figure 5 , and
• the Figures 7 and 8 each represent, in perspective, a magnetic circuit with three columns which can be used to make a transformer according to the invention.

Description détaillée de modes de réalisationDetailed description of embodiments

La figure 1 est une vue de face d'un transformateur 1 selon un mode de réalisation de l'invention. Le transformateur 1 est un transformateur fixe triphasé-diphasé, à flux liés forcés.The figure 1 is a front view of a transformer 1 according to an embodiment of the invention. The transformer 1 is a three-phase-two-phase fixed transformer, with forced linked fluxes.

Le transformateur 1 comprend un circuit magnétique 2, des bobines triphasées et des bobines diphasées. Dans la suite de la description, les bobines triphasées correspondent au primaire du transformateur 1 et les bobines diphasées correspondent au secondaire du transformateur 1. Toutefois, un mode de fonctionnement inverse est bien entendu possible.The transformer 1 comprises a magnetic circuit 2, three-phase coils and two-phase coils. In the following description, the three-phase coils correspond to the primary of the transformer 1 and the two-phase coils correspond to the secondary of the transformer 1. However, a reverse operating mode is of course possible.

Le circuit magnétique 2 comprend trois colonnes reliées magnétiquement : une colonne latérale 3, une colonne centrale 4 et une colonne latérale 5, reliées par des barres 13. Le circuit magnétique 2 est symétrique par rapport à un axe de rotation passant dans la colonne centrale 4 et/ou par rapport à un plan de symétrie passant dans la colonne centrale 4.The magnetic circuit 2 comprises three magnetically connected columns: a lateral column 3, a central column 4 and a lateral column 5, connected by bars 13. The magnetic circuit 2 is symmetrical with respect to an axis of rotation passing through the central column 4 and / or relative to a plane of symmetry passing through the central column 4.

Les bobines triphasées comprennent une bobine 6 autour de la colonne latérale 3, une bobine 7 autour de la colonne centrale 4 et une bobine 8 autour de la colonne latérale 5.The three-phase coils include a coil 6 around the lateral column 3, a coil 7 around the central column 4 and a coil 8 around the lateral column 5.

Les bobines diphasées comprennent une bobine 9 et une bobine 10 autour de la colonne latérale 3, et une bobine 11 et une bobine 12 autour de la colonne latérale 5.The two-phase coils include a coil 9 and a coil 10 around the side column 3, and a coil 11 and a coil 12 around the side column 5.

Sur la figure 1, les bobines 9, 10 et 6 sont représentées les unes à côté des autres le long de la colonne latérale 3, mais tout autre positionnement est possible. Le même commentaire s'applique aux bobines 11, 12 et 8.On the figure 1 , the coils 9, 10 and 6 are shown next to each other along the side column 3, but any other positioning is possible. The same comment applies to coils 11, 12 and 8.

La figure 2 est un schéma électrique du transformateur 1 de la figure 1.The figure 2 is an electrical diagram of transformer 1 of the figure 1 .

Les bobines 6, 7 et 8 triphasées présentent chacune n₁ tours. Dans le mode de réalisation représenté, elles sont reliées en étoile. Cependant, toute autre configuration est possible : en triangle, en zigzag,... On note I_a, I_b et I_c les courants circulant respectivement dans les bobines 6, 7 et 8. Le sens de bobinage des bobines 6, 7 et 8 est symbolisé par un point noir. Il correspond, pour des courants I_a, I_b et I_c de même sens, à des potentiels magnétiques de même sens dans les colonnes 3, 4 et 5.The three-phase coils 6, 7 and 8 each have n ₁ turns. In the embodiment shown, they are connected in a star. However, any other configuration is possible: in a triangle, in a zigzag, ... We denote by I _a , I _b and I _c the currents flowing respectively in the coils 6, 7 and 8. The winding direction of the coils 6, 7 and 8 is symbolized by a black dot. It corresponds, for currents I _a , I _b and I _c of the same direction, to magnetic potentials of the same direction in columns 3, 4 and 5.

Côté diphasé, la bobine 9 présente n₂ tours et est reliée en série avec la bobine 12 qui présente n'₂ tours. Les bobines 9 et 12 correspondent à une première phase diphasée. On note I₁ le courant et V₁ la tension de la première phase diphasée. Le sens de bobinage des bobines 9 et 12 est symbolisé par un point noir. Il correspond, pour un courant I₁ donné, à des potentiels magnétiques n₂I₁ et n'₂I₁ de même sens dans les colonnes 3 et 5.On the two-phase side, the coil 9 has n ₂ turns and is connected in series with the coil 12 which has n ₂ turns. The coils 9 and 12 correspond to a first two-phase phase. We denote I ₁ the current and V ₁ the voltage of the first two-phase phase. The winding direction of the coils 9 and 12 is symbolized by a black dot. It corresponds, for a given current I ₁ , to magnetic potentials n ₂ I ₁ and n ' ₂ I ₁ of the same direction in columns 3 and 5.

De manière correspondante, la bobine 11 présente n₂ tours et est reliée en série avec la bobine 10 qui présente n'₂ tours. Les bobines 11 et 10 correspondent à une deuxième phase diphasée. On note I₂ le courant et V₂ la tension de la deuxième phase diphasée. Le sens de bobinage des bobines 10 et 11 est également symbolisé par un point noir. Il correspond, pour un courant I₂ donné, à des potentiels magnétiques n₂I₂ et n'₂I₂ de même sens dans les colonnes 5 et 3. Ce sens peut être le même que celui des potentiels magnétiques n₂I₁ et n'₂I₁ de la première phase diphasée, comme dans le cas de la figure 2, ou le sens opposé, comme dans le cas de la figure 3 qui représente une variante de réalisation.Correspondingly, the coil 11 has n ₂ turns and is connected in series with the coil 10 which has n ' ₂ turns. The coils 11 and 10 correspond to a second two-phase phase. We note I ₂ the current and V ₂ the voltage of the second two-phase phase. The winding direction of the coils 10 and 11 is also symbolized by a black dot. It corresponds, for a given current I ₂ , to magnetic potentials n ₂ I ₂ and n ' ₂ I ₂ of the same direction in columns 5 and 3. This direction can be the same as that of the magnetic potentials n ₂ I ₁ and n ' ₂ I ₁ of the first two-phase phase, as in the case of the figure 2 , or the opposite direction, as in the case of figure 3 which represents an alternative embodiment.

Le transformateur 1 présente, côté triphasé, une structure comparable à celle d'un transformateur de type Leblanc à trois colonnes. Il permet donc, par rapport à l'utilisation de deux transformateurs monophasés, un couplage de flux qui permet de réduire la masse et le volume du circuit magnétique et de limiter le courant magnétisant.The transformer 1 has, on the three-phase side, a structure comparable to that of a Leblanc type transformer with three columns. It therefore allows, compared to the use of two single-phase transformers, a flux coupling which makes it possible to reduce the mass and the volume of the magnetic circuit and to limit the magnetizing current.

De plus, en raison de la symétrie du circuit magnétique, des bobines triphasés et des bobines diphasés, les résistances et les inductances de phase sont équilibrées.In addition, due to the symmetry of the magnetic circuit, three-phase coils and two-phase coils, the resistances and phase inductances are balanced.

Comme les deux phases du côté diphasé présentent le même nombre de tours (à savoir n₂+n'₂), il n'est pas nécessaire d'utiliser des conducteurs de section différentes pour assurer l'équilibre des résistances.As the two phases on the two-phase side have the same number of turns (namely n ₂ + n ' ₂ ), it is not necessary to use conductors of different section to ensure the balance of the resistances.

De plus, pour un rapport n₂ = (2 + √3) n'₂, le transformateur 1 permet d'obtenir des tensions secondaires V₁ et V₂ de même valeur et en quadrature.In addition, for a ratio n ₂ = (2 + √3) n ' ₂ , the transformer 1 makes it possible to obtain secondary voltages V ₁ and V ₂ of the same value and in quadrature.

Le rapport des courants est donné par : $$\frac{{\mathrm{I}}_{\mathrm{a}}}{{\mathrm{I}}_1}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{n}}_2+{\mathrm{n}}_2^{\prime }}{{\mathrm{n}}_1}$$

The current ratio is given by: $$\frac{{\mathrm{I}}_{\mathrm{at}}}{{\mathrm{I}}_1}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{not}}_2+{\mathrm{not}}_2^{\prime }}{{\mathrm{not}}_1}$$

Le rapport des tensions est donné par : $$\frac{{\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{a}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}$$

The tension ratio is given by: $$\frac{{\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{at}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}$$

Ainsi, le transformateur 1 agit sur le déphasage entre le primaire et le secondaire, mais fournit des courants secondaires I₁ et I₂ déphasés de +/-n/2 et des tensions secondaires V₁ et V₂ déphasées de +/-n/2.Thus, the transformer 1 acts on the phase shift between the primary and the secondary, but provides secondary currents I ₁ and I ₂ phase shifted by +/- n / 2 and secondary voltages V ₁ and V ₂ phase shifted by +/- n / 2.

Ceci peut être formalisé de la manière suivante : $$\begin{array}{l}{\bar{\mathrm{V}}}_1=\frac{1}{{\mathrm{n}}_1}\left({\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{c}}\right)\\ =\frac{\mathrm{n}{\prime }_2}{{\mathrm{n}}_1}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}+{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{c}}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(2+\sqrt{3}+\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(\frac{3}{2}+\sqrt{3}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\mathrm{j}\frac{1}{2}\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}{e}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}\end{array}$$

This can be formalized as follows: $$\begin{array}{l}{\bar{\mathrm{V}}}_1=\frac{1}{{\mathrm{not}}_1}\left({\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}+{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{vs}}\right)\\ =\frac{\mathrm{not}{\prime }_2}{{\mathrm{not}}_1}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}+{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{vs}}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(2+\sqrt{3}+\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(\frac{3}{2}+\sqrt{3}+\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\mathrm{j}\frac{1}{2}\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}{\mathrm{<figure-callout\; id="12"\; label="e\; j\; \pi "\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">e\; </figure-callout>}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{}}\end{array}$$

On a donc : $${\bar{\mathrm{V}}}_1={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

So we have : $${\bar{\mathrm{V}}}_1={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}{\mathrm{<figure-callout\; id="12"\; label="e\; j\; \pi "\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">e\; </figure-callout>}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{}}$$

Pour V₂ on a : $$\begin{array}{l}{\bar{\mathrm{V}}}_2=\frac{1}{{\mathrm{n}}_1}\left({\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{c}}+{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\right)\\ =\frac{\mathrm{n}{\prime }_2}{{\mathrm{n}}_1}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{c}}+{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(\left(2+\sqrt{3}\right)\ast \left(-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+1\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{j}\sqrt{3}\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{j}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}\end{array}$$

For V ₂ we have: $$\begin{array}{l}{\bar{\mathrm{V}}}_2=\frac{1}{{\mathrm{not}}_1}\left({\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{vs}}+{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\right)\\ =\frac{\mathrm{not}{\prime }_2}{{\mathrm{not}}_1}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{vs}}+{\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(\left(2+\sqrt{3}\right)\ast \left(-\frac{1}{2}+\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+1\right){\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\sqrt{3}\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{<figure-callout\; id="2"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{<figure-callout\; id="2"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)\right)\\ ={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{<figure-callout\; id="7"\; label="j"\; filenames="imgf0002.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{7\mathrm{<figure-callout\; id="12"\; label="\pi "\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">\pi </figure-callout>}}{12}}\end{array}$$

On obtient donc : $${\bar{\mathrm{V}}}_2={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{a}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{n}{\prime }_2+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$$

So we get: $${\bar{\mathrm{V}}}_2={\bar{\mathrm{V}}}_{\mathrm{at}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{not}{\prime }_2+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{<figure-callout\; id="2"\; label="j\; \pi "\; filenames="imgf0001.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j\; </figure-callout>}\frac{\mathrm{\pi }}{}\frac{\mathrm{}}{2}}$$

On a donc bien V₂=jV₁, des tensions de même valeur et en quadrature.We therefore have V ₂ = jV ₁ , voltages of the same value and in quadrature.

Si les courants secondaires sont équilibrés (I₂=jI₁), la compensation des ampères-tours sur chaque noyau pour un transformateur à flux liés forcés de type trois colonnes montre que les courants primaires le sont également. En effet : $${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}={\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_2-\frac{1}{2}\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{jn}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1-\frac{1}{2}\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+\mathrm{j}\left(1+\sqrt{3}\right){\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\left[\left(2+\sqrt{3}\right)+\mathrm{j}-\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\left[2+\sqrt{3}+\mathrm{j}-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\left[\frac{3}{2}+\sqrt{3}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{3}\left[\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right]\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right)}{{\mathrm{n}}_1}{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\frac{1}{2}\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)-\frac{1}{2}\left({\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\frac{1}{2}\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{jn}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\frac{1}{2}\left[\left(1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right)\right)+\left(\left(2+\sqrt{3}\right)+\mathrm{j}\right)\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\frac{1}{2}\left[3+\sqrt{3}+\mathrm{j}\left(3+\sqrt{3}\right)\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\sqrt{3}\frac{1}{2}\left[1+\sqrt{3}+\mathrm{j}\left(1+\sqrt{3}\right)\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-2\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{3}\frac{1}{2}\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\mathrm{j}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\mathrm{j}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right]\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)}^2}+\mathrm{j}\sqrt{{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)}^2}\right]\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{j}\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_2-\frac{1}{2}\left({\mathrm{n}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1-\frac{1}{2}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{jn}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\left[1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{1}{2}\left(\left(2+\sqrt{3}\right)+\mathrm{j}\right)\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{j}\frac{3+2\sqrt{3}}{2}\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\sqrt{3}\left[-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}+2}{2}\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\left[-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right]\left[{\mathrm{n}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right]\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{n}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{n}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left({\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

If the secondary currents are balanced (I ₂ = jI ₁ ), the compensation of the ampere-turns on each core for a forced flux transformer of the three column type shows that the primary currents are also balanced. Indeed : $${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}={\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_2-\frac{1}{2}\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{jn}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1-\frac{1}{2}\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+\mathrm{j}\left(1+\sqrt{3}\right){\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\left[\left(2+\sqrt{3}\right)+\mathrm{j}-\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\left[2+\sqrt{3}+\mathrm{j}-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\left[\frac{3}{2}+\sqrt{3}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{3}\left[\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right]\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right)}{{\mathrm{not}}_1}{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\frac{1}{2}\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)-\frac{1}{2}\left({\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\frac{1}{2}\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{jn}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\frac{1}{2}\left[\left(1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right)\right)+\left(\left(2+\sqrt{3}\right)+\mathrm{j}\right)\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\frac{1}{2}\left[3+\sqrt{3}+\mathrm{j}\left(3+\sqrt{3}\right)\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\sqrt{3}\frac{1}{2}\left[1+\sqrt{3}+\mathrm{j}\left(1+\sqrt{3}\right)\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-2\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{3}\frac{1}{2}\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\mathrm{j}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\mathrm{j}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right]\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)}^2}+\mathrm{j}\sqrt{{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)}^2}\right]\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{j}\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_2-\frac{1}{2}\left({\mathrm{not}}_2{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_2\right)$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1-\frac{1}{2}\left(\left(2+\sqrt{3}\right){\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1+{\mathrm{jn}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right)$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\left[1+\mathrm{j}\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{1}{2}\left(\left(2+\sqrt{3}\right)+\mathrm{j}\right)\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{j}\frac{3+2\sqrt{3}}{2}\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\sqrt{3}\left[-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}+2}{2}\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\left[-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right]\left[{\mathrm{not}}_2^{\prime }{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right]\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]$$

$${\mathrm{not}}_1{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-{\mathrm{not}}_1\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left({\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\right){\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

Afin de faciliter les notations, on pose : $$\mathrm{k}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\right)$$

In order to facilitate the ratings, we ask: $$\mathrm{k}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\right)$$

D'où le système d'équation à trois inconnues I_A, I_B et I_C : $${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

Hence the system of equations with three unknowns I _A , I _B and I _C : $${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}-\frac{1}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{<figure-callout\; id="7"\; label="j"\; filenames="imgf0002.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{7\mathrm{<figure-callout\; id="12"\; label="\pi "\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">\pi </figure-callout>}}{12}}$$

On a (1)+(2)+(3) qui est égal à zéro, le système est donc sous contraint et possède donc une infinité de solutions. Cependant la loi des nœuds (en triangle ou étoile) nous donne : $${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}+{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}+{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=0$$

d'où en utilisant l'équation ci-dessus, le système devient : $$\frac{3}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$$\frac{3}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$$\frac{3}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{A}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{2\mathrm{\pi }}{3}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{C}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{n}}_2^{\prime }+{\mathrm{n}}_2}{{\mathrm{n}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{j}\frac{2\mathrm{\pi }}{3}}$$

We have (1) + (2) + (3) which is equal to zero, the system is therefore under constraint and therefore has an infinity of solutions. However the law of the nodes (in triangle or star) gives us: $${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}+{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}+{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=0$$

hence using the above equation, the system becomes: $$\frac{3}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{<figure-callout\; id="12"\; label="j\; \pi "\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j\; </figure-callout>}\frac{\mathrm{\pi }}{}\frac{\mathrm{}}{12}}$$

$$\frac{3}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{3\mathrm{<figure-callout\; id="4"\; label="\pi "\; filenames="imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">\pi </figure-callout>}}{4}}$$

$$\frac{3}{2}{\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\mathrm{k}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{<figure-callout\; id="7"\; label="j"\; filenames="imgf0002.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{+\mathrm{<figure-callout\; id="7"\; label="j"\; filenames="imgf0002.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{7\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{AT}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{B}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{<figure-callout\; id="2"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{2\mathrm{\pi }}{3}}$$

$${\bar{\mathrm{I}}}_{\mathrm{VS}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{{\mathrm{not}}_2^{\prime }+{\mathrm{not}}_2}{{\mathrm{not}}_1}\left[{\bar{\mathrm{I}}}_1\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{12}}{\mathrm{e}}^{+\mathrm{<figure-callout\; id="2"\; label="j"\; filenames="imgf0001.png,imgf0003.png"\; state="\{\{state\}\}">j</figure-callout>}\frac{2\mathrm{<figure-callout\; id="3"\; label="\pi "\; filenames="imgf0001.png,imgf0002.png"\; state="\{\{state\}\}">\pi </figure-callout>}}{3}}$$

On a bien un système triphasé équilibré déphasé de 2π/3, comme le montre la figure 4 , et l'on retrouve le rapport des courants cité précédemment. La figure 4 est un graphe qui représente dans le repère de Fresnel les courants triphasés et les courants diphasés du transformateur 1 de la figure 1.We do have a balanced three-phase system phase shifted by 2π / 3, as shown in the figure 4 , and we find the current report cited above. The figure 4 is a graph which represents in the Fresnel coordinate system the three-phase currents and the two-phase currents of transformer 1 of the figure 1 .

De manière connue, un transformateur peut comprendre plusieurs secondaires. Ainsi, selon une variante non représentée, le transformateur 1 comprend, en plus du secondaire formé par les bobines 9 à 12, au moins un autre secondaire triphasé et/ou au moins un autre secondaire diphasé, qui peut être réalisé de la même manière que celui formé par les bobines 9 à 12. Dans cette variante, le transformateur 1 permet d'alimenter de façon équilibrée un nombre de charges quelconque différent de 1. Par exemple, pour onze charges, on peut utiliser un secondaires triphasés sur neufs charges et un secondaire diphasé sur deux charges : 11 = 3*3 + 2.In known manner, a transformer can include several secondary. Thus, according to a variant not shown, the transformer 1 comprises, in addition to the secondary formed by the coils 9 to 12, at least one other three-phase secondary and / or at least one other two-phase secondary, which can be produced in the same way as that formed by the coils 9 to 12. In this variant, the transformer 1 enables a balanced supply of any number of charges other than 1. For example, for eleven charges, a three-phase secondary on nine charges and a secondary two-phase on two loads: 11 = 3 * 3 + 2.

Les figures 5 et 6 sont similaires aux figures 1 et 2, respectivement, et représentent un transformateur 20 selon un deuxième mode de réalisation de l'invention. Les éléments identiques ou similaires à des éléments du transformateur 1 de la figure 1 sont désignés par les mêmes références et ne sont plus décrits en détail.The Figures 5 and 6 are similar to Figures 1 and 2 , respectively, and represent a transformer 20 according to a second embodiment of the invention. Elements identical or similar to elements of transformer 1 of the figure 1 are designated by the same references and are no longer described in detail.

Dans le transformateur 20, les positions des bobines 6, 9 et 10 d'une part et de la bobine 7 d'autre part sont inversées par rapport au transformateur 1 : les bobines 6, 9 et 10 entourent la colonne centrale 4 et la bobine 7 entoure la colonne latérale 3. A part cette différence, le transformateur 20 est sensiblement identique au transformateur 1.In the transformer 20, the positions of the coils 6, 9 and 10 on the one hand and of the coil 7 on the other hand are reversed with respect to the transformer 1: the coils 6, 9 and 10 surround the central column 4 and the coil 7 surrounds the lateral column 3. Apart from this difference, the transformer 20 is substantially identical to the transformer 1.

Le transformateur 20 présente les mêmes avantages précités que le transformateur 1. En particulier, le transformateur 20 présente des courants et des tensions en quadrature de phases. Les rapports des courants et des tensions cités précédemment sont conservés. Cependant, le transformateur 20 n'a plus la même symétrie de réalisation côté diphasé, ce qui implique une différence possible au niveau des inductances de fuites des deux phases diphasées.The transformer 20 has the same aforementioned advantages as the transformer 1. In particular, the transformer 20 has currents and voltages in phase quadrature. The reports of currents and voltages mentioned above are kept. However, the transformer 20 no longer has the same symmetry of construction on the two-phase side, which implies a possible difference in terms of the leakage inductances of the two two-phase phases.

Dans les transformateurs 10 et 20 des figures 1 et 5, les colonnes 3, 4 et 5 sont situées parallèlement les unes aux autres dans un même plan, ce qui correspond à une topologie de circuit magnétique couramment utilisée pour réaliser un transformateur triphasé équilibré à flux liés forcé à trois noyaux. Cependant, selon une variante de réalisation, un transformateur conforme à l'invention peut comprendre un circuit magnétique à trois colonnes reliées magnétiquement qui présente une autre topologie.In transformers 10 and 20 of figures 1 and 5 , columns 3, 4 and 5 are located parallel to each other in the same plane, which corresponds to a magnetic circuit topology commonly used to produce a balanced three-phase transformer with forced flow linked to three cores. However, according to an alternative embodiment, a transformer according to the invention may comprise a magnetic circuit with three magnetically connected columns which has another topology.

Ainsi, les figures 7 et 8 représentent chacune, en perspective, un circuit magnétique à trois colonnes pouvant être utilisé pour réaliser un transformateur conforme à l'invention. Sur les figures 7 et 8, on utilise les mêmes références que sur les figures 1 et 5 pour désigner des éléments correspondant, sans risque de confusion.So the Figures 7 and 8 each represent, in perspective, a magnetic circuit with three columns which can be used to make a transformer according to the invention. On the Figures 7 and 8 , we use the same references as on figures 1 and 5 to designate corresponding elements, without risk of confusion.

Claims (6)

1. A three-phase-two-phase transformer (1, 20) comprising a magnetic circuit (2), three-phase windings, and two-phase windings, wherein:

   the magnetic circuit comprises a first column (3; 4), a second column (4; 3), and a third column (5) that are magnetically connected together; and

   the three-phase windings consist in a first winding (6) of n₁ turns around the first column (3; 4), a second winding (7) of n₁ turns around the second column (4; 3), and a third winding (8) of n₁ turns around the third column (5);

   the transformer being characterized in that:

   the two-phase windings consist in a fourth winding (9) of n₂ turns around the first column (3; 4), a fifth winding (10) of n'₂ turns around the first column (3; 4), a sixth winding (11) of n₂ turns around the third column (5), and a seventh winding (12) of n'₂ turns around the third column (5);

   the fourth winding (9) and the seventh winding (12) are connected in series and form a first two-phase phase, and each of the fourth and seventh windings (9, 12) presents a corresponding winding direction for a current (I₁) flowing in the first two-phase phase, with magnetic potentials (n₂I₁, n'₂I₁) in the same direction; and

   the fifth winding (10) and the sixth winding (11) are connected in series and form a second two-phase phase, and each of the fifth and sixth windings (10, 11) presents a corresponding winding direction for a current (I₂) flowing in the second two-phase phase, with magnetic potentials (n₂I₂, n'₂I₂) in the same direction.
2. A transformer (1, 20) according to claim 1, wherein: $${\mathrm{n}}_2=\left(2+\surd 3\right)\mathrm{n}{\prime }_2$$

   
3. A transformer (1) according to claim 1 or claim 2, wherein said second column (4) is a central column situated between the first column (3) and the third column (5).
4. A transformer (20) according to claim 1 or claim 2, wherein said first column (4) is a central column situated between the second column (3) and the third column (5).
5. A transformer (1, 20) according to claim 3 or claim 4, wherein the magnetic circuit (2) presents symmetry about an axis of rotation contained in the central column (4) and/or about a plane of symmetry containing said central column (4).
6. A transformer (1, 20) according to any one of claims 1 to 5, further comprising at least one additional set of three-phase or two-phase windings made in the same manner as the two-phase windings of the first set.

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