DE4423047A1 - Verfahren zur Rekonstruktion eines Objekts - Google Patents
Verfahren zur Rekonstruktion eines ObjektsInfo
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Description
Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Rekon
struktion eines Objekts, bei dem Objekt von Strah
len, die von einer Strahlungsquelle mit einer kegelför
migen Strahlgeometrie ausgehen, durchstrahlt und die
Schwächung der Strahlen für verschiedene Positionen der
Strahlungsquelle erfaßt wird, und bei dem der 3-dimen
sionale Aufbau des Objekts mittels des Feldkamp-Algo
rithmus rekonstruiert wird.
Die Computertomographie hat sich beispielsweise in der
medizinischen Diagnostik oder in der zerstörungsfreien
Materialprüfung sowie in der Geophysik bewährt. Nur
exemplarisch wird auf die nachfolgende Literatur ver
wiesen, auf die im übrigen zur Erläuterung aller hier
nicht näher beschriebenen Begriffe ausdrücklich verwie
sen wird:
Für medizinische Anwendungen wird verwiesen auf:
Röntgen-Computertomographie (CT): Louis et al., 1990,
Single Photon Emission Computer Tomography (SPECT):
Manglos et al., 1989,
Positron Emission Tomography (PET): Townsend et al. 1989,
Computer Angiography (CA) : Saint-Felix et al., 1993,
Nuclear Magnet Resonance Tomography (NMR): Louis et al., 1990,
Röntgen-Computertomographie (CT): Louis et al., 1990,
Single Photon Emission Computer Tomography (SPECT):
Manglos et al., 1989,
Positron Emission Tomography (PET): Townsend et al. 1989,
Computer Angiography (CA) : Saint-Felix et al., 1993,
Nuclear Magnet Resonance Tomography (NMR): Louis et al., 1990,
Für Anwendungen bei der Materialprüfung wird verwiesen
auf:
Computertomographie (CT) mit Röntgenstrahlung: Maisl, 1992,
CT mit Neutronenstrahlung: Maier-Schuler, 1992,
CT mit -Strahlung: Kanamori et al., 1985,
CT mit Ionenstrahlung: Bench et al., 1991,
Nuclear Magnet Resonance Tomography (NMR): Dieckmann et al., 1991,
optische Tomographie: Renz, 1992,
seismische Tomographie : Worthington, 1984.
Computertomographie (CT) mit Röntgenstrahlung: Maisl, 1992,
CT mit Neutronenstrahlung: Maier-Schuler, 1992,
CT mit -Strahlung: Kanamori et al., 1985,
CT mit Ionenstrahlung: Bench et al., 1991,
Nuclear Magnet Resonance Tomography (NMR): Dieckmann et al., 1991,
optische Tomographie: Renz, 1992,
seismische Tomographie : Worthington, 1984.
Bei der zweidimensionalen Computertomographie wird eine
einzelne Ebene im Objekt mittels vieler aus verschiede
nen Richtungen aufgenommenen Projektionen rekonstru
iert. Um jedoch die räumliche Lage, Form und Ausdeh
nung beispielsweise von Tumoren in der medizinischen
Diagnostik bzw. von Rissen, Poren, Fremdpartikeln oder
Legeirungsbestandteilen in der zerstörungsfreien Mate
rialprüfung quantitativ ermitteln zu können, ist die
Untersuchung des gesamten Objektvolumens notwendig. Die
Volumencharakterisierung durch Aufeinanderstapeln vie
ler Tomogramme mit geringer Schnitthöhe ist jedoch sehr
zeitintensiv und daher für den praktischen Einsatz
nicht geeignet. Abhilfe schafft hier die direkte drei
dimensionale Rekonstruktion von 2D-Projektionsdaten,
die unter vielen verschiedenen Winkeln aufgenommen
werden. Prinzipiell kann die dreidimensionale Compu
tertomographie durch folgende Verfahrensweisen reali
siert werden:
- a) parallele Durchstrahlung des Objektes (Fig. 1)
- b) Durchstrahlung des Objektes mit einer kegelförmigen Strahlgeometrie durch Verwendung einer punktförmigen Strahlquelle (Fig. 2)
Die parallele Durchstrahlung eines Objektes kann bei
spielsweise durch die Verwendung von Synchrotonstrah
lung [Flannery et al., 1987; Kinney et al., 1990) rea
lisiert werden. Aufgrund der mangelnden Verfügbarkeit
und der sehr hohen Betriebs- und Unterhaltskosten von
Synchrotonstrahlquellen ist dieses Verfahren für den
kommerziellen Einsatz in der 3D-Computertomographie
nicht geeignet.
Kommerziell verfügbare Tomographiesysteme mit einer
punktförmigen Strahlenquelle Fuhrmann, 1992; Maisl,
1992) ermöglichen die Durchführung der 3D-Computertomo
graphie im Laborrahmen. Fig. 3 zeigt den schematischen
Aufbau einer 3D-CT-Anlage mit Kegelstrahlgeometrie. Die
Entwicklung von Rekonstruktionsalgorithmen für die 3D-
Computertomographie unter Verwendung einer kegelförmi
gen Strahlgeometrie ist zur Zeit Gegenstand der For
schung.
Die seit Ende der 1970er Jahre entwickelten Computer
tomographiesysteme nutzen den kegelförmigen Strahl
einer Röntgenquelle durch Verwendung zweidimensionaler
Detektoren aus [Kowalski, 1979a; Robb, 1980]. Damit
ergab sich die Notwendigkeit der Entwicklung neuer
Rekonstruktionsalgorithmen, wenn der ausgenutzte Öff
nungswinkel des Strahlenkegels so groß ist, daß eine
Annahme paralleler Strahlung nicht mehr gerechtfertigt
ist.
Zunächst wurden verschiedene Rekonstruktionsalgorithmen
vorgeschlagen, die auf bekannten Algorithmen für die
zweidimensionale Rekonstruktion von Fächerstrahlprojek
tionen basieren. Einige von ihnen erfordern, daß sich
die Röntgenquelle über eine gedachte Kugeloberfläche
bewegt. [Nalcioglu et al., 1978; Denton et al., 1979;
Imiya et al., 1984; Peyrin, 1985].
Andere Rekonstruktionsverfahren verlangen die Quellbe
wegung entlang eines Kreises [Feldkamp et al., 1984]
oder zweier paralleler Kreise [Schlindwein, 1978; Ko
walski, 1979b] Martz et al. [1991,1992], Fuhrmann
[1992] und Axelsson et al. [1993].
Theoretische Arbeiten von, Kirillov [Kirillov, 1961],
Tuy [Tuy, 1983] und Smith [Smith, 1985] zur 3D-Compu
tertomographie mit kegelförmiger Strahlgeometrie haben
ergeben, daß eine exakte Rekonstruktion eines dreidi
mensionalen Objektes bei einer Bewegung der Quelle auf
einer Kreisbahn um das Objekt nicht möglich ist.
Welche praktisch realisierbaren Bahnen eine exakte
Rekonstruktion ergeben (bei minimaler Redundanz der
Quellpositionen) wurde von [Kudo et al., 1990] disku
tiert mit dem Ergebnis, daß zwei Bahngeometrien, nämlich
zwei aufeinander senkrecht stehende Kreise spiralförmi
ge Umkreisungen des Objektes zu den besonders geeigneten
Abtastgeometrien gehören.
Darüberhinaus wurden von Tuy [Tuy, 1983] und Smith
[Smith, 1985] theoretische Arbeiten zur Lösung des
Rekonstruktionsproblemes für beliebige Quellbahnkurven
durchgeführt. Das von Smith [Smith, 1985] vorgeschlage
ne Verfahren wurde von Kudo [Kudo et al., 1990] und
Smith [Smith, 1991, 1992] auf Computersystemen implemen
tiert. Der Algorithmus arbeitet mit der Hilberttrans
formation der ersten Ableitung der Radontransformation
des zu untersuchenden Objektes. Grangeat [Grangeat,
1991] hat ein 3D-Rekonstruktionsverfahren entwickelt,
das auf der ersten Ableitung der Radontransformation
des zu untersuchenden Objektes basiert. Aus dem Bereich
der zweidimensionalen Computertomographie weiß man, daß
Rekonstruktionsverfahren, die im Ortsfrequenzraum ar
beiten, unter Umständen weniger Rechenschritte benöti
gen als solche, die im Ortsraum operieren [Stark et
al., 1981].
Martz et al. [1991,1992], Fuhrmann [1992] und Axelsson
et al. [1993] haben Grangeat-Algorithmus modifiziert,
indem sie die Rekonstruktion nicht im Ortsraum sondern
im Ortsfrequenzraum durchführen. Aktueller Gegenstand
der Forschung ist die Optimierung und Implementierung
der verschiedenen Versionen des Grangeat-Algorithmus
auf Parallel- und Vektorrechnern sowie der Entwicklung
der dazu benötigten speziellen Hardware-Architektur.
Bezüglich der Anzahl der Rechenoperationen und der
Qualität des Rekonstruktionsergebnisses ist der Feld
kamp-Algorithmus [Feldkamp et al., 1984] die bisher
beste numerische Lösung des 3D-Rekonstruktionsproble
mes. Praktische Erfahrungen zeigen, daß Rekonstruktio
nen mit dem Feldkamp-Algorithmus eine hohe Qualität
aufweisen, solange der Öffnungswinkel des Röntgenkegel
strahls etwa 30° nicht überschreitet [Webb, 1987; Kudo
et al., 1990]. Ist der Öffnungswinkel größer, so zeigen
sich zunehmend Artefakte in den von der Zentralebene
weiter entfernten Schichten. In der Praxis wird häufig
mit Öffnungswinkeln nicht größer als 20° gearbeitet, so
daß der Algorithmus sowohl einer guten Rechen- bzw.
Speichereffizienz bzw. Rekonstruktionsqualität derzeit
am besten genügt.
Deshalb wird der Feldkamp-Algorithmus derzeit am häu
figsten zur 3D-Rekonstruktion von tomographischen Daten
eingesetzt [Webb et al., 1987; Bateman et al., 1989;
Ohyama et al., 1989; Hu, 1989; Morton et al., 1990; Yan
et al., 1991; Lin et al., 1992; Fuhrmann, 1992]. Die
3D-Rekonstruktionsverfahren von Smith [1991], Grangeat
[1991] und Feldkamp et al. 1984] basieren auf dem Prin
zip der gefilterten Rückprojektion [Brooks et al.,
1976]. Andere 3D-Rekonstruktionsverfahren, die z. B. auf
der Matrixinversion, Reihenentwicklungsmethoden oder
iterativen Methoden wie ART, SIRT etc. basieren [Cen
sor, 1983; Chapman et al., 1986; Altschuler et al.,
1977; Miggins et al., 1988] sind für die 3D-Computer
tomographie nicht relevant, da die Rechenzeiten viel zu
lange sind.
Sämtliche bekannte Verfahren haben jedoch den Nachteil,
daß die Rekonstruktionszeiten für die 3D-Computertomo
graphie lang und häufig zu lang für den Einsatz in der
Medizin oder der Industrie sind.
Eine Verkürzung der Rekonstruktionszeit ist prinzipiell
möglich durch
- a) Verbesserung der Rechnerarchitektur (Rechen leistung und Speicherkapazität)
- b) Optimierung der Rekonstruktionsalgorithmen.
Durch die fortschreitende Entwicklung der Computer
stehen zwar immer leistungsfähigere Rechner zur Verfü
gung, so daß Rechenleistung und Speicherkapazität heut
zutage kein grundsätzliches Problem mehr darstellen.
Die Implementierung schneller 3D-Rekonstruktionsalgo
rithmen ist aber trotz der fortlaufend erhöhten Lei
stungen der Computer nicht trivial und zur Zeit aktuel
les Forschungsthema.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren
zur Rekonstruktion eines Objekts, bei dem das Objekt
von Strahlen, die von einer Strahlungsquelle mit einer
kegelförmigen Strahlgeometrie ausgehen, durchstrahlt
und die Schwächung der Strahlen für verschiedene Posi
tionen der Strahlungsquelle erfaßt wird, derart weiter
zubilden, daß sich eine deutliche Verringerung der
Rekonstruktionszeit und des Speicherbedarf gegenüber
bekannten Verfahren ergibt.
Eine erfindungsgemäße Lösung dieser Aufgabe ist im
Patentanspruch 1 angegeben. Weiterbildungen der
Erfindung sind Gegenstand der abhängigen Ansprüche.
Der Erfindung liegt die Erkenntnis zugrunde, daß es
möglich ist, bei der Rekonstruktion des 3-dimensionalen
Aufbaus des Objekts mittels des Feldkamp-Algorithmus
die Rechenzeit dadurch deutlich zu verringern, daß der
innerhalb des Strahlkegels liegende Bereich in Zylin
derkoordinaten parametrisiert wird, und daß die 3D-
Rückprojektion durch eine Addition der gefilterten und
geometrisch gewichteten Projektionsdaten bzw. Strahl
schwächungskoeffizienten und eine zyklische Vertau
schung der Schnittpunktskoordinaten durchgeführt wird.
Durch die erfindungsgemäßen Maßnahmen wird die Zahl der
Rechenoperationen gegenüber dem Feldkamp-Algorithmus
Feldkamp et al., 1984] um ca. den Faktor 10 verringert.
Die Zahl der Rechenoperationen, die beim Zylinderalgo
rithmus für die Schnittpunktsberechnung und die Inter
polation vom Zylinderkoordinatensystem ins kartesische
Koordinatensystem benötigt wird, spielt für die Gesamt
rechenzeit keine Rolle, da sie eine Größenordnung klei
ner (proportional N2) ist als die Zahl der Rechenopera
tionen, die für die Rückprojektion (proportional N3)
benötigt wird. Der Speicherbedarf reduziert sich bei
dem erfindungsgemäßen Verfahren um ca. 30% gegenüber
dem Feldkamp-Algorithmus. Dennoch ist das Rekonstruk
tionsergebnis verglichen mit dem Ergebnis beim Feld
kamp-Algorithmus vergleichbar.
Dies ermöglicht zusammen mit einem schnellen Computer
Rekonstruktionszeiten, die einen breiten Einsatz der
3D-Computertomographie sowohl im medizinischen Bereich
(CT, SPECT, PET, CA, NMR) als auch im Bereich der zer
störungsfreien Prüfverfahren (CT NMR, optische Tomogra
phie) und in der Geophysik (seismische Tomographie)
erlauben.
Gemäß Anspruch 3 wird die Rekonstruktion der Strahl
schwächungskoeffizienten µ mit der Formel durchgeführt:
hierbei bedeuten:
M Anzahl der Projektionen,
N Anzahl der Schichten in vertikaler Richtung,
W Anzahl der Winkel Φ
NR Anzahl der Radialelemente,
P gefilterter Projektionswert an der Stelle (YS, ZS)
N Anzahl der Schichten in vertikaler Richtung,
W Anzahl der Winkel Φ
NR Anzahl der Radialelemente,
P gefilterter Projektionswert an der Stelle (YS, ZS)
Gemäß Anspruch 4 ist es bevorzugt, daß das Verhältnis
zwischen der Anzahl W der Winkel und der Anzahl M der
Projektionen ganzzahlig ist.
Weiterhin ist es bevorzugt, wenn für die Anzahl der
Radialelemente gilt:
NR = (N - 1) /2.
Weiterhin genügt es, wenn die Berechnung der Schnitt
punkte lediglich für den Bereich
0° Φ 180°
0 R n*radstep mit 1 n NR
durchgeführt wird.
Um die "gewohnte" Darstellung zu erhalten, wird gemäß
Anspruch 7 das Rekonstruktionsergebnis aus dem Zylin
derkoordinatensystem in ein kartesisches Koordinaten
system transformiert.
Die Erfindung wird nachstehend ohne Beschränkung des
allgemeinen Erfindungsgedankens anhand von Ausführungs
beispielen unter Bezugnahme auf die Zeichnung exempla
risch beschrieben, auf die im übrigen bezüglich der
Offenbarung aller im Text nicht näher erläuterten er
findungsgemäßen Einzelheiten ausdrücklich verwiesen
wird. Es zeigen:
Fig. 1 eine schematische Darstellung der 3D-Computer
tomographie mit paralleler Strahlung,
Fig. 2 eine schematische Darstellung der 3D-Computer
tomographie mit kegelförmiger Strahlgeometrie,
Fig. 3 schematisch den Aufbau einer 3D-Computertomo
graphie-Anlage,
Fig. 4 eine schematische Darstellung zur Erläuterung
des Feldkamp-Algorithmus,
Fig. 5 ein Flußdiagramm für den Feldkamp-Algorithmus,
Fig. 6 die Rekonstruktion eines dreidimensionalen
Objekts beim Feldkamp-Algorithmus,
Fig. 7 die Bestimmung der Intensitätswerte durch
Interpolation,
Fig. 8 die 2D-Computertomographie,
Fig. 9 die 3D-Computertomographie mit kegelförmiger
Strahlgeometrie,
Fig. 10 eine Erläuterung zur erfindungsgemäß vorgenom
menen zyklischen Vertauschung,
Fig. 11 die zyklische Vertauschung bei Drehung des
Zylinderkoordinatensystems,
Fig. 12 die Schnittpunktsberechnung,
Fig. 13 die Abbildung eines Kreises,
Fig. 14 die Schnittpunktsellipse,
Fig. 15 die Abbildung des Kreises auf einen Detektor
schirm,
Fig. 16 die Veränderung der Schnittpunktsellipse,
Fig. 17 eine schematische Darstellung zur effizienten
Schnittpunktsberechnung,
Fig. 18 die Interpolation vom Zylinderkoordinatensystem
in das kartesische Koordinatensystem,
Fig. 19 ein Flußdiagramm für das erfindungsgemäße Ver
fahren,
Fig. 20 ein Flußdiagramm für die erfindungsgemäße
Berechnung der Schnittpunkte,
Fig. 21 die Rückprojektion bei dem erfindungsgemäßen
Verfahren.
Im folgenden soll zunächst der Feldkamp-Algorithmus für
die 3D-Röntgen-Computertomographie beschrieben werden,
wie der in Feldkamp et al., 1984 oder Rizo et al., 1991
dargestellt ist.
Die Fig. 3 und 4 zeigen, daß die Projektion des Rönt
genschwächungskoeffizienten u(x,y,z) längs einer Gera
den durch die Punkte S (Quelle) und M (Objekt) auf den
Punkt A (Detektor) bei einer bestimmten Quellposition
Φ ist wie folgt definiert:
Am Detektor A wird die Intensität 1 gemäß dem Röntgen
schwächungsgesetz für monoenergetische Strahlung
gemessen. Io ist die ungeschwächte Intensität.
Die Feldkamp-Rekonstruktion kann dann wie folgt be
schrieben werden:
mit
wobei
M Punkt im zu untersuchenden Objekt
HD Entfaltung der Projektionsdaten Yf(S,A) von der 1/r-Verschmierung
0 Ursprung des Koordinatensystems
O* Abbildung des Punktes O auf den Detektorschirm
A Bildpunkt auf dem Detektorschirm
S Position der Strahlenquelle
Φ Winkel der Quellposition relativ zur x-Achse
HD Entfaltung der Projektionsdaten Yf(S,A) von der 1/r-Verschmierung
0 Ursprung des Koordinatensystems
O* Abbildung des Punktes O auf den Detektorschirm
A Bildpunkt auf dem Detektorschirm
S Position der Strahlenquelle
Φ Winkel der Quellposition relativ zur x-Achse
Die wesentlichen Schritte des Feldkamp-Algorithmus sind
in Fig. 5 dargestellt. Die vollständige Rekonstruktion
eines 3D-Objektes erfordert die Wiederholung der in dem
Flußdiagramm in Fig. 5 dargestellten Rechenschritte für
viele verschiedene Winkel (0° bis 360°).
Der Feldkamp-Algorithmus ist eine Erweiterung der für
die 2D-Computertomographie gängigen Methode der gefil
terten Rückprojektion [Maisl, 1992] auf 3 Dimensionen.
Das Rekonstruktionsergebnis ist mit Ausnahme der in
Fig. 6 dargestellten zentralebene, für das es exakt
ist, approximativ. (Fig. 6). Mit zunehmendem Abstand
von der zentralebene treten aufgrund der Strahldiver
genz Artefakte im Rekonstruktionsergebnis auf.
Der Hauptrechenaufwand beim Feldkamp-Algorithmus liegt
nun in der dreidimensionalen Rückprojektion aller Ein
zelprojektionswerte. Dabei werden jeweils alle Volumen
elemente adressiert und die entsprechenden gefilterten
projektionswerte dort abgelegt. Für die Rekonstruktion
eines Volumens mit N3 Elementen mit M Projektionen ist
daher mit einem Rechenaufwand von ca. 10*M*N³ Multipli
kationen zu rechnen. Der Speicherbedarf des Feldkamp-
Algorithmus liegt in der Größenordnung 4*N³ Bytes.
Die dreidimensionale Rückprojektion setzt sich im ein
zelnen wie folgt zusammen.
Für jedes Volumenelement muß der Schnittpunkt (YS,ZS) des
entsprechenden Strahles mit dem Detektor berechnet und
gespeichert werden (Fig. 6). Bei N³ Volumenelementen
ergeben sich dadurch 2*N³ Schnittpunktskoordinaten. Die
Berechnung der Schnittpunkte muß für insgesamt M Pro
jektionen wiederholt werden. Zur Rekonstruktion eines
Volumens mit N³ Elementen und M Projektionen mit N²
Daten ist also die Berechnung von 2*M*N³ Schnittpunkts
koordinaten notwendig.
Fig. 7 zeigt, daß die Bestimmung der Intensität an
jedem Schnittpunkt durch bilineare Interpolation der
Intensitätswerte an den benachbarten Detektorelementen
erfolgt. Jeder Schnittpunkt erfordert die Berechnung
und Speicherung von 4 Gewichtungsfaktoren. Für M Pro
jektionen und N³ Volumenelemente müssen also 4*M*N³
Gewichtungsfaktoren berechnet werden.
Die Fig. 8 und 9 zeigen, daß bei der 2D (3D)-Compu
tertomographie mit Fächerstrahl (Kegelstrahl-)geome
trie die Fläche (der Raum) innerhalb eines Kreises
(Zylinders) mit dem Radius Rmax rekonstruiert wird.
Für den Radius Rmax ergibt sich:
Rmax = adist * sin(atan(ydet/2bdist)) (5)
hierbei bedeuten
adist Abstand Quelle-Rotationsachse
bdist Abstand Quelle-Detektor
ydet Länge des Detektors in Y-Richtung.
bdist Abstand Quelle-Detektor
ydet Länge des Detektors in Y-Richtung.
Voraussetzung für die 2D- (3D)-Computertomographie
ist, daß sich das zu untersuchende Objekt vollständig
innerhalb des Kreises (Zylinders) mit dem Radius Rmax,
das heißt innerhalb des Strahlengangs, befindet.
Die Erfindung geht nun von folgendem Grundgedanken aus:
Der Bereich innerhalb des Kreises bzw. Zylinders in den
Fig. 8 bzw. 9 wird nicht wie üblich in kartesischen
Koordinaten parametrisiert (Fig. 6), sondern in Polar
koordinaten (r,Φ) bzw. in Zylinderkoordinaten (r,Φ,z).
Die Fig. 10 und 11 zeigen die Wahl der Koordinaten
systeme, so daß der übliche Zusammenhang gilt:
Bei einer Drehung des Polar- bzw. Zylinderkoordinaten
systems um den Winkel Φinc wird das Polar- bzw. Zylin
derkoordinatenraster auf sich selber abgebildet.
Aufgrund der Rotationsinvarianz des Polar-bzw. Zylin
derkoordinatenrasters muß deshalb die Schnittpunktsbe
rechnung bei dem erfindungsgemäßen Verfahren nur einmal
durchgeführt werden. Damit entfällt die Schnittpunkts
berechnung innerhalb der Rückprojektionsschleife in
Fig. 5, wie sie beim Stand der Technik erforderlich
ist.
Zunächst soll die Rekonstruktion für die Zentralebene
(z=0) erläutert werden:
Fig. 11 zeigt, daß bei der Drehung des Polarkoordina
tensystems um den Winkel Φinc geht der Punkt (r,Φ) in
den Punkt (r,Φ + Φinc) übergeht.
Die Schnittpunkte (ys(r(i),Φ(j)),zs(r(i),Φ(j) werden
berechnet und in einer Tabelle abgelegt. Es muß gelten:
ϕ(j+1)=ϕ(j)+ϕinc mit ϕinc=2π/M
wobei M die Anzahl der Projektionen ist.
Bei der Drehung um den Winkel Φinc muß die Schnitt
punktstabelle zyklisch vertauscht werden. Damit redu
ziert sich die Rückprojektion auf eine Addition der
gefilterten und geometrisch gewichteten Projektions
daten und eine zyklische Vertauschung der Schnitt
punktskoordinaten.
Das Rekonstruktionsergebnis am Punkt µ(r(i),Φ(j),z(k))
ergibt dann
hierbei bedeuten:
M Anzahl der Projektionen
W Anzahl der Winkel Φ
W Anzahl der Winkel Φ
wobei P(YS,ZS) den gefilterten Projektionswert an der
Stelle (YS,ZS) auf dem Detektorschirm darstellt. Die
Rekonstruktion des Röntgenschwächungskoeffizienten
µ(r,Φ,z) für das gesamte Volumen wird folgendermaßen
beschrieben:
mit
NR Anzahl der Radialelemente (hier: NR = (N-1)/2)
N Anzahl der Schichten in vertikaler Richtung
N Anzahl der Schichten in vertikaler Richtung
Gleichung 11 ist folgendermaßen zu verstehen:
Die Summation der gefilterten und geometrisch gewichte
ten Projektionswerte P über NR Radialelemente, W Win
kelelemente und N Schichten in Z-Richtung entspricht
der Rückprojektion der gefilterten und geometrisch
gewichteten Projektionsdaten in das zu rekonstruierende
Objekt für eine bestimmte Projektionsrichtung.
Dreht man das Zylinderkoordinatenraster um den Winkel
Φinc (Fig. 11), so wird das Zylinderkoordinatenraster
aufgrund der Rotationssymmetrie auf sich selber abge
bildet. Da die Schnittpunktskoordinaten nur einmal
berechnet und gespeichert werden müssen, repräsentiert
die Summe über N Projektionen in Gleichung 11 sowohl
die Verarbeitung aller M Projektionen mit jeweils N²
Daten und die zyklische Vertauschung der Schnittpunkts
koordinaten (YS,ZS). Damit die zyklische Vertauschbar
keit der Schnittpunktskoordinaten gewährleistet ist,
muß das Verhältnis zwischen W (Anzahl der Winkel im
Polar-bzw. Zylinderkoordinatenraster) und M (Anzahl der
Projektionen) ganzzahlig sein.
Auf diesen Überlegungen baut die Erfindung auf:
In Fig. 12 ist der in Fig. 10 gezeigte Zylinder in vier
bezüglich der Koordinatenachsen symmetrisch liegende
Bereiche unterteilt. Aus Symmetriegründen müssen ledig
lich die Schnittpunkte der Röntgenstrahlen für den
Bereich 1, nämlich
0 m * zstep < H mit 1 m (N-1)/2;
0° Φ < 180°; 0 R n*radstep, 1 n NR
0° Φ < 180°; 0 R n*radstep, 1 n NR
berechnet werden, wobei zstep den Abstand der Schichten
in z-Richtung und radstep den radialen Diskretisie
rungsabstand beschreibt.
Die Schnittpunkte für die Bereiche 2-4 ergeben sich
durch Symmetrieüberlegungen, das heißt durch Spiegelung
an der Y*- bzw. Z*-Achse des Detektorkoordinatensystems.
Die Schnittpunktsberechnung lädt sich anhand der Abbil
dung eines Kreises mit dem Radius R=n*radstep (1nNR)
und der Höhenlage Z=m*zstep (1M(N-1)/2) auf den De
tektorschirm erklären. Hierzu wird auf Fig. 13 verwie
sen.
Bildet man nun einen Kreis in der Höhe z=m * zstep und
dem Radius R=n * radstep ab, so ergibt sich auf dem
Detektorschirm eine in Fig. 14 dargestellte Schnitt
punktsellipse.
Die Schnittpunktsellipse kann allgemein durch folgenden
Ansatz beschrieben werden:
Alle Koordinatenangaben, die mit einem (*) gekennzeich
net sind, beziehen sich auf das Koordinatensystem in
der Detektorebene, alle anderen beziehen sich auf das
Koordinatensystem im Objekt.
Das Zentrum der Schnittpunktsellipse (Fig. 13) ist
(X*M, Y*M, Z*M). Die Halbachsen werden durch a und b
beschrieben. Da der zu untersuchende Zylinder (Fig.
9,10,12) symmetrisch bezüglich der X-Achse liegt, gilt:
Y*M = 0.
Aufgrund der Kegelstrahlgeometrie wird nicht der Mit
telpunkt M eines Kreises (Fig. 13; dieser Punkt liegt
auf der Rotationsachse in der Höhe Z=m * zstep) auf den
Mittelpunkt Meff *(n) der Schnittpunktsellipse abgebil
det, sondern der Punkt Meff(n) = (X(n),Y(n),Z(n))
(Fig. 14 und 15).
Die Projektion der Strecke zwischen den Punkten Meff(n)
und P₃(n) bzw. P₄(n) (Fig. 15) auf den Detektorschirm
ergibt die Halbachse b der Schnittpunktsellipse (Fig.
14).
Der Index m für die Schnitthöhe Z=m*zstep im Zylinder
(Fig. 12) ist folgendermaßen definiert:
(1-N)/2 m (N-1)/2.
Für m<0 wird der Bereich X<X(n) (Fig. 15) auf den
unteren Teil der Schnittpunktsellipse Z < Z*M (Fig.
14), der Bereich X < X(n) (Fig. 15) jedoch auf den
oberen Teil der Schnittpunktsellipse Z < Z*M (Fig. 14)
abgebildet.
Aufgrund von Symmetrieüberlegungen (Fig. 12) erhält
man für m < 0 folgendes Bild:
Der Bereich X < X(n) (Fig. 15) wird auf den oberen
Teil der Schnittpunktsellipse Z < Z*M (Fig. 14), der
Bereich X < X(n) (Fig. 15) wird dagegen auf den unte
ren Teil m der Schnittpunktsellipse Z < Z*M (Fig. 14)
abgebildet. Punkte auf der Trennlinie X=X(n) werden auf
die Halbachse b der Schnittpunktsellipse abgebildet.
Wählt man m = 0, so entspricht dies der Abbildung der
Zentralebene (Fig. 9) auf die Y*-Achse des Detektor
schirms (Fig. 14) mit Z* = 0. Symmetrieüberlegungen in
Fig. 12 zeigen, daß lediglich die Schnittpunkte für
den Bereich 1 bestimmt werden müssen.
Im folgenden soll die Berechnung der Halbachse a der
Schnittpunktsellipse erläutert werden:
Die Größe der Halbachse a ergibt sich durch die Abbil
dung der Strecke zwischen den Punkten Meff(n) und P₁(n)
bzw. P₂(n) auf den Detektorschirm (Fig. 14, 15):
a² =m²·zstep²·(ga-gm)²
Die geometrische Vergrößerung am Punkt P₁(n) bzw. P₂(n)
(Fig. 15) wird durch ga, am Punkt Meff(n) durch gm be
schrieben. Die Höhe der Z-Schicht wird durch Z=m * zstep
angegeben, wobei zstep den Diskretisierungsabstand in
Z-Richtung beschreibt.
Die Berechnung der Halbachse b der Schnittpunktsellipse
läuft wie folgt ab:
Die Größe der Halbachse b ergibt sich - wie den Fig.
14 und 15 zu entnehmen ist - durch die Abbildung der
Strecke zwischen den Punkten Meff(n) und P₃(n) bzw.
P₄(n) auf den Detektorschirm.
Fig. 15 ist zu entnehmen, daß der Radius des n-ten
Kreises durch n * radstep beschrieben wird, wobei
radstep den radialen Diskretisierungsabstand be
schreibt. bdist ist der Abstand zwischen der strahlen
quelle und der Detektorebene.
Mit diesen Berechnungsschritten kann man durch Ein
setzen der Gleichungen 13 und 14 in Gleichung 12 unter
der Berücksichtigung, daß gilt
Z*M = gm(n) * mzstep (15)
und
Y* = gb * Y (16)
so erhält man
mit i = 1,2 und j = 1,2.
Wählt man j = 2, so wird die Schnittpunktsellipse für
Z* < 0 (m =4) berechnet. Wählt man anschließend j=1, so
wird die bezüglich der Y*-Achse symmetrisch liegende
Schnittpunktsellipse für Z* < 0 (m= -4) berechnet. Dies
ist auch Fig. 14 zu entnehmen.
Die Halbachse b der Schnittpunktsellipse teilt diese in
zwei symmetrisch zueinander liegende Äste ein.
Mit dem Index i wird nun festgelegt, welcher Ast der
Schnittpunktsellipse berechnet wird (Fig. 14).
Für j = 2 und i = 2 wird der durch die Punkte P₃*(n),
P₂*(n) und P₄*(n) gekennzeichnete Teil der Schnitt
punktsellipse für Z* < 0 (m = 4) berechnet.
Für j = 2 und i = 1 wird der durch die Punkte P₃*(n),
P₁*(n) und P₄*(n) gekennzeichnete Teil der Schnitt
punktsellipse für Z* < 0 (m = 4) berechnet.
Für j = 1 und i = 1 wird der durch die Punkte P₃*(n),
P₂*(n) und P₄*(n) gekennzeichnete Teil der Schnitt
punktsellipse für Z* < 0 (m = -4) berechnet.
Für j = 1 und i = 2 wird der durch die Punkte P₃*(n),
P₁*(n) und P₄*(n) gekennzeichnete Teil der Schnitt
punktsellipse für Z* < 0 (m 4) berechnet.
Die geometrische Vergrößerung eines beliebigen Punktes
(X,Y,Z) im Kreis bzw. Zylinder (Fig. 10, 11) wird
durch gb beschrieben.
Da Gleichung 17 linear von m abhängt, kann man den
Index m in Gleichung 17 durch folgende Beziehung elimi
nieren:
ΔZ*i,j,n=Z*i,j,m+1,n-Z*i,j,m,n (18)
Man erhält dann
Aus Gleichung 19 und Symmetriebetrachtungen gemäß Fig.
12 ergibt sich, daß
- a) die Schnittpunktskoordinaten Y* lediglich für die Punkte innerhalb des Halbkreises (0° Φ < 180°, 0 R Rmax, Z=0) berechnet werden müssen.
Fig. 17 veranschaulicht dies Symmetrieüberlegungen
(Spiegelung an der Z*-Achse des Detektorkoordinaten
systems). Weiterhin ist zu beachten, daß die geometri
sche Vergrößerung lediglich für die Schnittpunkte in
allen anderen Z-Ebenen unverändert bleibt (Fig. 16).
- b) die Schnittpunktskoordinaten Z* lediglich für die Ebene Z=m * zstep (m= 1, 0° Φ < 180°, 0 R Rmax) berechnet werden müssen. Die Schnittpunktskoordinaten Z* für den Bereich 180° Φ < 360° ergeben sich durch Symmetrieüberlegungen (Spiegelung an der Z*-Achse des Detektorkoordinatensystems, Fig. 17). Die Schnitt punktskoordinaten der Punkte innerhalb der Kreise mit (Z # 0, 0° Φ < 360°, 0 R < n*radstep mit 1 < n < NR) ergeben sich durch fortgesetzte Anwendung von Gleichung 18 und 19 bei entsprechender Wahl der Indices i, j, m und n.
Zur Schnittpunktsberechnung kann dann wie folgt
vorgegangen werden:
Gegeben ist ein Zylinder mit folgender Diskretisierung:
Radialrichtung: (N-1)/2 Elemente, (N ganzzahlig
und ungerade)
Winkelrichtung: W Elemente, wobei W ganzzahlig und gerade ist
Z-Richtung: N Elemente (N ganzzahlig und ungerade)
M: Anzahl der für die 3D-Rekon struktion verwendeten Projek tionen.
Winkelrichtung: W Elemente, wobei W ganzzahlig und gerade ist
Z-Richtung: N Elemente (N ganzzahlig und ungerade)
M: Anzahl der für die 3D-Rekon struktion verwendeten Projek tionen.
Zur Berechnung der Schnittpunkte für den Bereich 1
(Fig. 12) mit den Gleichungen 18 und 19 sind folgende
Rechenschritte notwendig:
Berechnung der geometrischen Verstärkung gm für die
Punkte Meff(n) = (X(n),Y(n)=0, Z(n) = 0) für
n = (N-1)/2 Kreise (Fig. 15):
wobei bdist der Abstand zwischen der Strahlenquelle und
dem Detektor und adist der Abstand zwischen der Strah
lenquelle und der Rotationsachse ist (Fig. 13).
Hierbei ist zu berücksichtigen, daß die Punkte Meff(n)
= (X(n), Y(n)=0, Z(n)=0) nicht notwendigerweise auf dem
Zylinderkoordinatenraster liegen. Deshalb ist stets
eine separate Berechnung und Speicherung von gm(n)
notwendig.
Die Berechnung der geometrischen Vergrößerung ga(n) für
die Punkte P₁(n) mit 1 n < (N-1)/2 (Fig. 15) erfolgt
dann mit Gleichung 22:
Die X(n)-Koordinaten der Punkte P₁(n) ergeben sich aus
Gleichung 6 bis 8.
Anschließend erfolgt die Berechnung und Speicherung der
geometrischen Vergrößerung gb(X) für die Punkte P(R,Φ)
mit (0° Φ < 180°, 0 R n*radstep mit
1 n NR, Z=O) gemäß Gleichung 23:
Die X-Koordinaten der Punkte P(R,Φ) ergeben sich
wiederum aus den Gleichungen 6 bis 8.
Die weitere Vorgehensweise ist dann wie folgt:
Berechnung der Y*-Koordinaten der Schnittpunkte für
die Punkte P(R,Φ) mit (0° Φ < 180°, 0 R n*radstep
mit 1 n NR, Z =0).
Die X-Koordinaten der Punkte P(R,Φ) ergeben sich wiede
rum aus den Gleichungen 6 bis 8.
Berechnung der Z*-Werte für den Bereich (0° Φ < 180°,
0 R < n*radstep mit 1 n NR, Z = m * zstep, m = 1)
gemäß Gleichung 19.
Durch Anwendung von Gleichung 18 erhält man die Z*-
Koordinaten der Schnittpunkte für Punkte in beliebigen
Z-Ebenen mit (Z = m * zstep und (1 m (N - 1)/2)
sowie (0° < Φ < 180°, 0 R n*radstep mit 1 n NR).
Die Berechnung der Schnittpunkte für die Bereiche Z =
m*zstep mit ((1 m (N-1)/2, 180° Φ < 360°,
0 R n*radstep mit 1 n NR) und ((1-N)/2 m -1),
0° Φ 360°, 0 R n*radstep mit 1 n NR) er
folgt durch Symmetriebetrachtungen (Spiegelung an der
Y*- bzw. Z*-Achse des Detektorkoordinatensystems, Fig.
12 und 14).
Das erfindungsgemäße Verfahren liefert dann - wie an
schaulich Fig. 10 zu entnehmen ist - das Rekonstruk
tionsergebnis im Zylinderkoordinatenformat. Gängige 3D-
Visualisierungssysteme erfordern jedoch, daß das rekon
struierte Volumen im kartesischen Gitterformat vorliegt
(Fig. 6).
Dies erfordert eine Transformation des rekonstruierten
Volumens vom Zylinderkoordinatenformat ins kartesische
Gitterformat. Fig. 18 zeigt für eine beliebige
Z-Schicht sowohl das Zylinderkoordinatengitter als auch
das kartesische Gitter. Zur Transformation des rekon
struierten Volumens vom Zylinderkoordinatenformat ins
kartesische Gitterformat bietet die Literatur Standard
verfahren an [Stark et al., 1981; Matej et al., 1990].
Unabhängig von der angewendeten Interpolationsmethode
kann die Interpolation vom Zylinderkoordinatensystem
ins kartesische Koordinatensystem durch folgende Vorge
hensweise optimiert werden.
Ist die Anzahl der Winkel W im Zylinderkoordinaten
raster eine gerade Zahl, so ist das Zylinderkoordina
tenraster symmetrisch bezüglich der Koordinatenachsen X
und Y. Dies bedeutet, daß in Fig. 18 lediglich die
Interpolationskoeffizienten für die Punkte in den Be
reichen 1 und 2 (0° Φ 90°) berechnet werden müssen.
Die Interpolationskoeffizienten in den Bereichen 3 bis
8 ergeben sich durch Symmetriebetrachtungen, das heißt
durch Spiegelung an den Koordinatenachsen.
Ist die halbe Anzahl der Winkel W im Zylinderkoordina
tenraster (d. h. W/2) eine gerade Zahl, so ist das Zy
linderkoordinatenraster symmetrisch bezüglich der Koor
dinatenachsen X und Y und der Winkelhalbierenden. Dies
bedeutet, daß in Fig. 18 lediglich die Interpolations
koeffizienten für die Punkte im Bereich 1 (0° Φ 45°)
berechnet werden müssen. Die Interpolationskoeffizien
ten in den Bereichen 3 bis 8 ergeben sich durch Symme
triebetrachtungen, das heißt durch Spiegelung an den
Koordinatenachsen bzw. Winkelhalbierenden.
Vorstehend ist die Erfindung anhand eines Ausführungs
beispiels beschrieben worden. Innerhalb des allgemeinen
Erfindungsgedankens sind selbstverständlich die
verschiedensten Modifikationen möglich. In jedem Falle
erhält man aber durch die Reduzierung der 3D-Rückpro
jektion (Fig. 19, 21) auf eine Addition der gefilterten
und geometrisch gewichteten Projektionsdaten und durch
eine zyklische Vertauschung der Schnittpunktskoordina
ten eine wesentliche Einsparung an Rechenzeit.
Darüberhinaus ist bei einer Weiterbildung der Erfindung
eine besonders effiziente Transformation des Rekon
struktionsergebnisses vom Zylinderkoordinatensystem
(Fig. 10) ins kartesische Koordinatensystem (Fig.
18 und 22) möglich.
Nachstehend werden die Fundstellen für die vorstehenden
Zitate angegeben.
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Claims (7)
1. Verfahren zur Rekonstruktion eines Objekts, bei dem
das Objekt von Strahlen, die von einer Strahlungsquelle
mit einer kegelförmigen Strahlgeometrie ausgehen, durch
strahlt und die Schwächung der Strahlen für verschiedene
Positionen der Strahlungsquelle erfaßt wird, und bei dem
der 3-dimensionale Aufbau des Objekts mittels des Feld
kamp-Algorithmus rekonstruiert wird,
dadurch gekennzeichnet, daß der innerhalb des Strahlkegels
liegende Bereich in Zylinderkoordinaten parametrisiert
wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1,
dadurch gekennzeichnet, daß die 3D-Rückprojektion durch
eine Addition der gefilterten und geometrisch gewichte
ten Projektionsdaten bzw. Strahlschwächungskoeffizien
ten und eine zyklische Vertauschung der Schnittpunkts
koordinaten durchgeführt wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2,
dadurch gekennzeichnet, daß die Rekonstruktion der Strahl
schwächungskoeffizienten µ mit der Formel durchgeführt
wird:
hierbei bedeuten:M Anzahl der Projektionen,
N Anzahl der Schichten in vertikaler Richtung,
W Anzahl der Winkel Φ
NR Anzahl der Radialelemente,
P gefilterter Projektionswert an der Stelle (YS, ZS).
N Anzahl der Schichten in vertikaler Richtung,
W Anzahl der Winkel Φ
NR Anzahl der Radialelemente,
P gefilterter Projektionswert an der Stelle (YS, ZS).
4. Verfahren nach Anspruch 3,
dadurch gekennzeichnet, daß das Verhältnis zwischen der
Anzahl W der Winkel und der Anzahl M der Projektionen
ganzzahlig ist.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 4,
dadurch gekennzeichnet, daß für die Anzahl der Radial
elemente gilt:
NR = (N - 1)/2
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5,
dadurch gekennzeichnet, daß die Berechnung der Schnitt
punkte lediglich für den Bereich
0° Φ 180°0 R n*radstep mit 1 n NRdurchgeführt wird.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6,
dadurch gekennzeichnet, daß das Rekonstruktionsergebnis
aus dem Zylinderkoordinatensystem in ein kartesisches
Koordinatensystem transformiert wird.
Priority Applications (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
DE4423047A DE4423047A1 (de) | 1994-07-03 | 1994-07-03 | Verfahren zur Rekonstruktion eines Objekts |
Applications Claiming Priority (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
DE4423047A DE4423047A1 (de) | 1994-07-03 | 1994-07-03 | Verfahren zur Rekonstruktion eines Objekts |
Publications (1)
Publication Number | Publication Date |
---|---|
DE4423047A1 true DE4423047A1 (de) | 1996-01-04 |
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ID=6521977
Family Applications (1)
Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
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DE4423047A Ceased DE4423047A1 (de) | 1994-07-03 | 1994-07-03 | Verfahren zur Rekonstruktion eines Objekts |
Country Status (1)
Country | Link |
---|---|
DE (1) | DE4423047A1 (de) |
Cited By (6)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
DE19730332A1 (de) * | 1997-07-15 | 1999-01-21 | Siemens Ag | Verfahren zur Kegelstrahl-Rekonstruktion eines Bildes |
GB2361613A (en) * | 1999-12-08 | 2001-10-24 | Koninkl Philips Electronics Nv | Combining reconstructed images by weighted addition |
WO2007076817A1 (de) * | 2005-12-22 | 2007-07-12 | Fraunhofer Gesellschaft zur Förderung der angewandten Forschung e.V. | Ct-messverfahren |
US7596202B2 (en) | 2003-12-16 | 2009-09-29 | Koninklijke Philips Electronics N.V. | Imaging method with filtered back projection |
WO2012152738A1 (de) | 2011-05-06 | 2012-11-15 | Werth Messtechnik Gmbh | BESTIMMUNG VON MAßEN EINES WERKSTÜCKS |
US9364191B2 (en) | 2013-02-11 | 2016-06-14 | University Of Rochester | Method and apparatus of spectral differential phase-contrast cone-beam CT and hybrid cone-beam CT |
-
1994
- 1994-07-03 DE DE4423047A patent/DE4423047A1/de not_active Ceased
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US9364191B2 (en) | 2013-02-11 | 2016-06-14 | University Of Rochester | Method and apparatus of spectral differential phase-contrast cone-beam CT and hybrid cone-beam CT |
US10478142B2 (en) | 2013-02-11 | 2019-11-19 | University Of Rochester | Method and apparatus of spectral differential phase-contrast cone-beam CT and hybrid cone-beam CT |
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