DE2813519A1 - Lineares interpolationsverfahren fuer farbsignale in einem speicher - Google Patents
Lineares interpolationsverfahren fuer farbsignale in einem speicherInfo
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Description
Die Erfindung bezieht sich auf ein lineares Interpolationsverfahren
für Signale in einem Speicher, der für die Farbkorrektur von Bildsignalen in einer Wiedergabe- bzw. Reproduziervorrichtung
verwendet wird, wie z. B. einen Farbabtaster, einen Farbfaksimileerzeuger oder dergleichen, in der
durch fotoelektrisches Abtasten Farbtrennfigurbilder erzeugt werden.
Bei der herkömmlichen Herstellung von fotografischen Farbplatten erfolgt die Farbkorrektur häufig durch eine fotografische
Maske oder durch fotografisches Abdecken. Dieses Verfahren hat jedoch viele Nachteile, z. B.: Beschränkung der
Fähigkeit der Farbkorrektur, die Notwendigkeit oder der Bedarf vieler erfahrener Ingenieure, unzuverlässige Ergebnisse
der Farbseparation, unregelmäßige Qualität der Veredelung, Komplexität und dergleichen.
&09840/1009
Um diese Nachteile zu überwinden wurde ein Farbkorrektur-Abdeckverfahren
bei einer elektronischen Farbseparationsvorrichtung, wie z. B. einen Farbabtaster, entwickelt und
erfreut sich derzeit großer Beliebtheit. Die meisten der zur Zeit benutzten Farbabtaster verwenden eine Analog-Computeranlage
für die Farbkorrekturberechnungen, um die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen.
Dieses Verfahren hat jedoch auch Nachteile, wie z. B. die
Schwierigkeit der Einführung vieler Arten von Berechnungen, und zwar wegen der beschränkten Berechnungsmöglichkeit, unvermeidliche
Wirkungen von Temperaturdrift und Geräusch, Vervielfachung von Betriebsverstärkern usw. als elektrische Elemente,
unbequemer Betrieb infolge zahlreicher Einstellungen von Potentiometern und Schaltern und hoher Herstellungskosten.
Wenn das Analog-Computersystem einfach durch ein Digital-Computersystem
ersetzt wird, welches Vorteile hat, wie z. B. einen breiten, veränderlichen Korrekturbereich und bequeme
Bedienung, nimmt die Berechnungsgeschwindigkeit der Farbkorrektur sehr ab, und die Verarbeitungsfähigkeit wird reduziert.
Dementsprechend ist dieses System nicht praktisch.
Kürzlich ist ein direkter Abtaster für die Plattenherstellung
beim Drucken entwickelt worden, der die Farbtrennung, Farbkorrektur,
Maßstabsumwandlung des reproduzierten Bildes und Halbtonverarbeiten zur gleichen Zeit durchführt, so daß er
das Bedürfnis nach einem Drucken mit hoher Qualität und
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schnellem Betrieb erfüllt. In diesem Falle besteht jedoch
der Nachteil, daß ein Abdecken im nachhinein oder ein Handretuschieren nach der Farbtrennung nicht vorgesehen werden
kann im Gegensatz zu dem herkömmlichen Farbabtasten mit dem Farbtrennen, Farbkorrigieren, Umwandeln des Maßstabes des
reproduzierten Bildes und Halbtonverarbeitung.
Im allgemeinen wird ein farbiges Original-Vollbild oder eine Figur durch einen Farbabtaster derart abgetastet, daß drei
(rot, grün und blau) Farbtrennsignale erhalten werden. Diese drei Farbseparationssignale werden zu einer Farbbetriebsschaltung
geschickt, wodurch man letztlich Aufzeichnungssignale für die Dichte der Druckfarben erhält, wie z. B. Cyan, Magenta
bzw. Fuchsin, Gelb und Schwarz.
Um die genauestmögliche Farbreproduktion vorzusehen, wird notwendigerweise
eine Kombination der Mengen an Cyan-, Magenta- und Gelb-Farben (die schwarze Farbe bzw. Druckerschwärze usw.
werden zwecks Verkürzung der Beschreibung weggelassen) entsprechend einer Kombination von roten, grünen und blauen farbigen
Trennsignalen bestimmt.
Folglich werden zwecks Farbkorrektur durch Auswahl der Kombination
von Cyan-, Magenta- und Gelbwerten entsprechend der Kombination von Rot-, Grün- und Blau-Werten die farbkorrigierten
Kombinationen von Cyan-, Magenta- und Gelb-Werten entsprechend jeder Kombination von Rot-, Grün- und Blau-Werten
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zuvor in einem Speicher gespeichert, und dann wird die farbkorrigierte
Kombination von Cyan-, Magenta- und Gelb-Werten dadurch ausgelesen, daß der Speicher von der entsprechenden
Kombination an Rot-, Grün- und Blau-Werten adressiert wird.
Wenn jeder Rot-, Grün- und Blau-Bereich z. B. in zweihundert
abgetö η ten oder Tonstufen aufgeteilt wird, müssen insgesamt
200 = 8 000 000 Kombinationen von Cyan-, Magenta- und Gelb-Werten
in dem Speicher gespeichert werden, wodurch ein Speicher großer Kapazität erforderlich ist. Dies bedeutet hohe
Kosten, und das Ganze ist somit unpraktisch.
Um deshalb die Speicherkapazität, die für den Speicher erforderlich
ist, zu reduzieren, wird jeder Farbbereich von rot, grün und blau z. B. in sechszehn Tonstufen aufgeteilt, und
dann sind 16 = 4096 Kombinationen von Cyan-, Magenta- und
Gelb-Werten erforderlich. Somit ist die erforderliche Speicherkapazität des Speichers auf ein beherrschbares Niveau
reduziert. Auf der anderen Seite werden die abgetönten Stufen zu grob, und das Fehlen des Grades der Dichte des Ausganges
wird bemerkenswert, so daß die Druckqualität leidet.
Deshalb ist es in diesem Falle notwendig, zwischen jeweils zwei Tonstüfen Zwischenwerte richtig zu interpolieren.
Die vorliegende Erfindung richtet sich auf ein verbessertes
Verfahren der Interpolation im dreidimensionalen Raum, der im Speicher durch die drei Achsen von rot, grün und blau
definiert ist. Damit das Verfahren besser verstanden wird,wird
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— ft ·—
nunmehr eine Erläuterung bekannter Interpolationsverfahren
angegeben t
angegeben t
In Figur 1 ist ein Beispiel der Interpolation einer Funktion U von zwei Variablen gezeigt, wo das Intervall, über welches zu
interpolieren ist, als eine Einheit angenommen ist.
Der Wert bzw. die Größe U(x,y), d. h. U(x.+xf, y.+yJ an
einer Stelle P in einem Interpolationsbereich ABCD wird durch ein mathematisches Interpolationsverfahren gefunden, in welchem
x. und y. die ganzzahligen oder Integralteile von χ und
y und x_ und yf die Dezimal- bzw. Zehnerteile sind.
y und x_ und yf die Dezimal- bzw. Zehnerteile sind.
Für die Interpolation ist es notwendig, daß die Funktion an den Scheiteln A, B, C und D bekannte Größen U(x.,y.),
U(X1 +! /Y1)* U(X1^y1+-!) und U(X1ZY1 +D haben. Die
interpolierte Größe ü(x,y) ist dann eine Funktion von
U(X1 +! /Y1)* U(X1^y1+-!) und U(X1ZY1 +D haben. Die
interpolierte Größe ü(x,y) ist dann eine Funktion von
xff yff U(X^y1), ü(xi+1,yi)# υίχ^Ι^+Ι) und
U(x.,y.+1). Für den Grad der Dichte sollte die interpolierte
Größe passend zu den bekannten Größen der originalen Funktion an den 'Ecken des Einheitsbereiches sein.
Ein eine solche Bedingung erfüllendes Interpolationsverfahren wird beschrieben. Es wird lineare Interpolation genannt, weil
es an den Kanten des Einheitsbereiches zu einer Reduzierung
auf eine einfache lineare Interpolationsfunktion führt.
auf eine einfache lineare Interpolationsfunktion führt.
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Um die Größe U(x,y) am Punkt P in dem Interpolationseinheitsquadrat
ABCD aufzufinden, zieht man zuerst vier Senkrechte von der Stelle P zu jeder Seite AB, BC, CD und
DA des Quadrates. Dann bezeichnet man die Fußpunkte dieser Senkrechten mit Q1, Q2, Q3 und Q4, wie in Figur 2 gezeigt
ist, und man summiert die erhaltenen Resultate durch Multiplizieren
der bekannten Größe an den Scheiteln A, B, C und D mit dem Bereich jedes Rechteckes gegenüber dem Scheitel,
wodurch man die folgende Gleichung (I) erhält:
u(x,y) = υ(χ±+χ£, YL
+ υ(χ±+1,γ±)
+ U(X1FY1 +D (i-xf) yf
■ + iKXj+ljYj+l) xf Yf
Das Interpolatiansverfahren gemäß Formel (I) genügt den vorstehenden Grenzbedingungen an den Ecken des Einheitsquadrates
und bringt eine Verringerung auf die lineare Interpolation entlang der Kanten des Einheitsquadrates und ist mathematisch
somit vernünftig. Außerdem kann dieses Verfahren auch auf den dreidimensionalen Fall angewendet werden.
In Figur 3 ist ein Einheitswürfel als Interpolationseinheit mit acht Scheiteln gezeigt, mit den Koordinaten von
(xi'Yi'zi)' (X1 +IfY1,Z1), (X1, Y1 +I, Z1), . (χ±,γ±,ζ±+1),,
(3^+1,Y1H-I1Z1), [χ±+1,γ±,ζ±+1), (Χ±,γ±+1-,ζ±+1)# und
(xi+1,Y1 +I,Z1 +D , einschließlich, einer Stelle P mit den
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den Koordinaten (x.+x_, Yi+Yf' zi+zf^' an welcher die Größe
von U interpoliert werden soll. Der Würfel wird in acht rechteckige
Parallelepipede durch drei Ebenen geteilt, welche den Punkt P aufweisen und parallel zu ihren Flächen sind. Die
Größe U(x,y,z} an der Stelle P wird dadurch gefunden,
daß man die Größen aufsummiert, die erhalten sind durch Multiplizieren
jeder bekannten Größe an jedem Scheitel des Einheitswürfels mit dem Volumen jedes rechteckigen Parallelepipedes,
welches gegenüber diesem Scheitel angeordnet ist, wodurch man die folgende Formel (II) erhält:
U(x,y,z) = U(xi+xf/ Yi+Yf* z±+Zf) =
ü(xi/yi/zi) (l-xf)(l-yf)(l-zf)
+ U (X1KUy1^1) xf (l-yf) d-zf)
+ U(X1^tIrZ1) (l-xf) yf (l-zf)
+ U(X^y1,ζ±+1) (l-xf)(l-yf) zf
+ U (X1 ,y^l^+l) (l-xf) yf zf
+ U(X1K^y11Z1+].) xf d-yf) zf
+ U(XjH-I1Y^IjZ1) xf yf (l-zf)
+ U Cx1+!,Y1+!, z±+l) xf yf zf (n)
Wieder erzeugt dieses Verfahren an den Scheiteln des Einheitswürfels
übereinstimmende Ergebnisse. Außerdem findet längs der Kanten des Einheitswürfels eine Reduzierung auf
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eine einfache lineare Interpolation statt, und auf den Flächen des Einheitswürfels erfolgt eine Reduzierung auf das
Verfahren der Gleichung (I). Weiterhin ist klar, daß die Größe, die in der Mitte jeder Fläche des Einheitswürfels
erhalten wird, der Mittelwert der bekannten Größen an jedem Scheitel dieser Fläche ist und daß die Größe, die in
der Mitte des Einheitswürfels erhalten wird, die mittlere
Größe der acht bekannten Größen an den Scheiteln des Gürtels ist. Infolgedessen erscheint dieses Verfahren mathematisch
durchaus vernünftig.
Dieses Verfahren hat jedoch Nachteile. Es erfordert, daß
acht Produkte gebildet werden müssen, jedes von vier Größen
und deren Aufsummierung. Infolgedessen ist es nicht immer das beste Verfahren für ein Berechnen mit hoher Geschwindigkeit.
Dieses Verfahren hat aber noch einen anderen Nachteil. Obwohl die interpolierten Größen von einem Einheitswürfel zum
nächsten kontinuierlich sind, ist es ihre Ableitung nicht. D. h. die Steigung der interpolierten Größen ist von einem
Einheitswürfen zum nächsten diskontinuierlich, d. h. die
Linie der interpolierten Größen biegt scharf ab, wenn wir über die Grenze gehen. Somit erscheint in der Praxis eine
scharfe Stufe von Farbgrößen in dem fertigen Vollbild, und der kubische Aufbau des Speichers zeigt nachteilige Qualität.
Diese Wirkung kann recht ernst werden. Figur 4 zeigt eine
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Verteilung der interpolierten Größen, die gemäß Formel (I) erhalten
sind, welche eine Sattelform hat, wodurch klar die vorgenannten Nachteile gezeigt sind. Eine gleichförmige, kontinuier
liche Linie interpolierter Größen in dem Einheitsquadrat A1B1C1D1
wird erhalten, und auch in dem Einheitsquadrat A2B3C2D2 wird sie
erhalten, aber zwischen diesen beiden Quadraten an der gemeinsamen Grenze ist die Ableitung der interpolierten Größen diskontinuierlich.
Aufgabe der Erfindung ist daher die Schaffung eines linearen Interpolationsverfahrens für solche Signale in einem Speicher,
welche nicht die vorgenannten Nachteile haben, wodurch es möglich ist, daß der Speicher schnell rechnet, indem er Interpolationsgrößen
einer einfachen Formel verwendet ohne große Diskontinuitäten oder Unstetigkeiten (Sprung einer Kurve) der Steigung
der interpolierten Größen zwischen einer Interpolationseinheit und der nächsten.
Diese Aufgabe wird gemäß der Erfindung durch ein lineares Interpolationsverfahren
für Farbsignale in einem Speicher einer Bildreproduktionsvorrichtung gelöst, und zwar durch'Speicnern geeigneter
Werte oder Größen von Farbbildausgangssignalen entsprechend gewissen abgestuften Farbgrößen-Eingangssignalen in
dem Speicher, der in dreidimensionaler Weise adressiert wird und durch Interpolieren von Größen von Farbausgangssignalen an
Stellen, die zwischen diesen Werten liegen, und zwar durch Aufteilen der kubischen Interpolationseinheit des Speichers, die
gebildet wird durch einen einzigen Schritt jedes der Farbein-
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gangssignale, und zwar in eine Mehrzahl von Tetraeder, deren
Scheitel entweder Scheitel der kubischen Einheit oder der Würfeleinheit, Zentren ihrer Flächen oder ihr Mittelpunkt
sind,Berechnen des Farbausgangssignals an jedem Scheitel
dieser Tetraeder, welches gegebenenfalls ein Zentrum einer Fläche der kubischen Einheit ist, und zwar durch Mitteln
der Werte oder Größen des Farbausgangssignals an den vier
Scheiteln, welche Ecken der Fläche sind, und an der Zentrumsstelle der kubischen Einheit durch Mitteln der Werte des Farbausgangssignals an allen acht Scheiteln der kubischen Einheit,
durch Bestimmen, welcher dieser Tetraeder die Interpolationsstelle einschließt, an welcher die Größe des Farbausgangssignals
interpoliert werden soll, und durch Ableiten des interpolierten Wertes an der Interpolationsstelle als eine gewichtete
Summe der Werte oder Größen an den vier Scheiteln des bestimmten
Tetraeders, wobei dem Wert an jedem Scheitel ein Gewicht gegeben wird entsprechend dem Verhältnis des Volumens eines zweiten
Tetraeders, dessen Scheitel die Interpolationsstelle sind, und der anderen drei Scheitel des bestimmten Tetraeders, zum
Volumen des bestimmten Tetraeders.
Variationen dieses Verfahrens unter Verwendung von Zerlegungen
in vierundzwanzig, fünf und sechs Tetraeder werden jetzt beschrie*·
ben. --"-
Weitere Vorteile, Merkmale und Anwendungsmöglichkeiten der vorliegenden Erfindung ergeben sich aus der folgenden Beschreibung
im Zusammenhang mit den Zeichnungen. Es zeigen:
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Fig. 1 eine schematische Ansicht eines herkömmlichen Interpolationsverfahren
über ein zweidimensionales Interpolations-Einheitsquadrat,
Fig. 2 und 3 schematische Ansichten eines quadratischen Interpolations-Einheitsbereiches
und eines kubischen Interpolations-Einheitsbereiches der herkömmlichen zweidimensionalen
und dreidimensionalen Interpolationsverfahren,
Fig. 4 eine schematische Ansicht einer Verteilung von Interpolationsgrößen
oder Werten des herkömmlichen Verfahrens für die zweidimensionale Interpolation,
Fig. 5 eine schematische Ansicht eines verbesserten zweidimensionalen
Interpolationsverfahren,
Fig. 6 eine schematische Ansicht eines Verfahrens für die dreidimensionale
Interpolation über einen Tetraederbereich,
Fig. 7 eine schematische Ansicht einer kubischen Interpolationseinheit, die in vierundzwanzig Tetraeder unterteilt ist,
und zwar gemäß einer Ausfuhrungsform des erfindungsgemässen
Verfahrens,
Fig. 8 eine schematische Ansicht eines Tetraeders der Zerlegung
nach Figur 7,
Fig. 9 eine schematische Ansicht einer anderen Ausführungsform
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des erfindungsgemäßen Verfahrens, bei dem ein Einheitswürfel in sechs Tetraeder zerlegt ist,
Fig. 10 die schematische Ansicht eines Tetraeders, der durch die
Zerlegung nach Figur 9 erhalten ist, und
Fig. 11 und 12 ein anderes Zerlegungsverfahren für den Einheitswürfel in fünf Tetraeder, wodurch eine andere Ausführungen
form des erfindungsgemäßen Verfahrens gegeben ist.
Die bekannten Interpolationsverfahren und ihre Nachteile sind oben schon beschrieben worden. Nachfolgend wird das erfindungsgemäße
Verfahren erläutert.
In Figur 5 mit der Darstellung des zweidimensionalen Falles sind zwei benachbarte Interpolationsbereiche A1B1C1D1 und A 2 B2C2D2 ge~
zeigt. Die Zentren dieser Einheitsquadrate sind mit O1 und O2 bezeichnet,
und die interpolierten Größen an diesen Stellen sind abgeleitet als Mittel der Funktionsgrößen an den vier Ecken der Quadrate.
Dann wird die Interpolation linear in jedem der Dreiecke A1O1B1, B1O1C1, C1O1D1; D1O1JA1, A2O3B2, B3O2C2, C2O3D2 und D2°2A2
durchgeführt. D. h., die Stelle oder der Punkt, an welchem die Größe interpoliert werden soll, wird zuerst geprüft, um festzustellen,
in welches dieser Dreiecke er fällt, und dann wird die Größe an der Stelle durch Interpolation in dem Dreieck in analoger Form
zu Figur 2 bestimmt, indem man Linien zieht von der Stelle zu den
Ecken des Dreieckes und dann die Größe der Funktion an der Stelle als gewichtete Summe der Größen an den Ecken des Dreiecks berechnet,
80984Ö/1ÖÖ9
in dem man jedem Wert an einer Ecke ein Gewicht des Verhältnisses
des Bereiches eines zweiten Dreieckes gibt, dessen Ecken der Punkt und die anderen zwei Ecken des Dreieckes sind,
und des Bereiches des Dreieckes. Bei diesem Verfahren wird die Größe der Diskontinuität oder Unstetigkeit in der Ableitung
der interpolierten Größe von einem Interpolationsbereich zum nächsten sehr reduziert.
Betrachtet man nun den dreidimensionalen Fall, dann wird das Grund-Interpolationsverfahren in einem Tetraedervolumen in Bezug
auf Figur 6 erläutert. A, B, C, D sei ein Tetraeder,von dem jeder Scheitel ein Punkt ist, an welchem die Größe der zu interpolierenden
Funktion unbekannt ist. Die Größe an der Stelle P innerhalb des Tetraeders wird wie folgt berechnet: Ziehe Linien
von jedem Scheitel A, B, C und D durch den Punkt P, um die gegenüberliegenden
Seiten des Tetraeders bei A', B', C und D1 zu treffen. Dann ist die interpolierte Größe U(P).
U(A) χ Verhältnis der Volumina der Tetraeder PBCD und ABCD
+
U(B) x Verhältnis der Volumina der Tetraeder PDAC und ABCD
U(B) x Verhältnis der Volumina der Tetraeder PDAC und ABCD
+
u(c) χ Verhältnis der Volumina der Tetraeder PDAB und ABCD
u(c) χ Verhältnis der Volumina der Tetraeder PDAB und ABCD
+
U(d) χ Verhältnis der Volumina der Tetraeder PABC und ABCD.
U(d) χ Verhältnis der Volumina der Tetraeder PABC und ABCD.
Nun ist z. B. das Verhältnis der Volumina der Tetraeder PBCD und ABCD dasselbe wie das Verhältnis der Höhen von P und A von der
80984Ö/1ÖÖ9
Ebene BCD.
In Figur 7 ist ein Einheitswürfel als Interpolationsvolumen
ABCDEFGH gezeigt, und die Größen der Funktion U dreier Variabler werden als an den Scheiteln des Würfels bekannt angenommen.
Alle drei Ausführungsformen des erfindungsgemäßen Verfahrens
hängen vom Zerlegen dieses Würfels in Tetraeder ab, deren Scheitel
entweder Scheitel des Würfels, Mittelpunkte der Flächen des Würfels oder Mittelpunkt des Würfels sind. Dann wird eine Reihe
von Vergleichen vorgenommen, um zu bestimmen, welcher dieser Tetraeder den Punkt enthält, an welchem die Größen der Funktion
interpoliert werden soll. Wenn dieser bestimmt ist, wird die Größe in diesem Tetraeder gemäß dem oben beschriebenen Verfahren
unter Verwendung der analytischen Geometrie interpoliert. Man erkennt, daß es mathematisch vernünftig ist, anfangs die Grossen der Funktion an den Zentren der Flächen des Würfels zu interpolieren
als Mittel der Größen an den vier Ecken der Flächen sowie die Größe der Funktion im Zentrum des Würfels als Mittel der
Größen an allen acht Scheiteln des Würfels. Somit ist für jeden Scheitel jedes Tetraeders der Zerlegung nach Figur 7 die Größe
der Funktion bekannt, und deshalb kann das in Figur 6 dargestellte
Verfahren für die Interpolation angewendet werden.
Bei der Zerlegung nach Figur 7 gibt es vierundzwanzig Tetraeder,
und von jedem von diesen ist ein Scheitel das Zentrum der Würfeleinheit, zwei Scheitel sind Scheitel der Würfeleinheit, die
durch eine Kante der Würfeleinheit verbunden sind, und der vierte Scheitel ist das Zentrum oder der Mittelpunkt einer quadrati-
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sehen Fläche der Würfeleinheit, wobei eine Kante dieser Fläche
die genannte Kante der Würfeleinheit ist. Die vierundzwanzig Tetraeder sind alle isomorph, haben also gleiche Form. Einer
von ihnen ist in Figur 8 gezeigt. Die Zentren der Flächen
der Würfeleinheit sind mit Q Qc bezeichnet, und das
ι ο
Zentrum des Kubus als 0. Der Tetraeder OABQ ist dargestellt.
Die Ebenen OAB, Q1AB, OQ1B und OQ1A haben die Gleichung
yf-z_=O, z-=0, Xf+y_-1=0, bzw.x--x-.=0. Deshalb versteht es
sich, daß die Bedingung für den Punkt P, innerhalb des Tetraeders OABQ1ZU liegen, die folgende ist y_-zf^,O, x_+yf-1^0
und Xf~yf 5=0. (Selbstverständlich gilt zf^0 per definitionem)
Setzt man voraus, daß diese Bedingungen alle erfüllt sind, dann kann die interpolierte Größe der Funktion wie nachfolgend
erläutert errechnet werden. Somit ist U(P) =
U(A) χ Verhältnis der Volumina von POQ1B und OABQ
+
U(B) x Verhältnis der Volumina von POQ1A und OABQ1
U(B) x Verhältnis der Volumina von POQ1A und OABQ1
U(Q1)X Verhältnis der Volumina von POAB und OABQ
U(O) χ Verhältnis der Volumina PQ1AB und OABQ1
= U(A) [1 - xf - yf ] + U(B) [ xf - yf ]
+ U(Q1) [ 2(yf-zf) ] + U(O) [ 2 zf ] (III)
Dies gilt, weil das Verhältnis der Volumina der vorgenannten
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Tetraeder, wie oben herausgestellt, dasselbe ist wie das
Verhältnis ihrer Höhen, und die Gleichungen ihrer Flächen
sind wie oben erwähnt.
Ähnliche Ergebnisse erhält man, wenn sich der Punkt P in
den anderen Interpolationstetraedern befindet., Eine vollständige
Tabelle der Bedingungen für die Unterscheidung, welcher Tetraeder den Punkt P enthält, sowie der Faktoren,
welcher für die Berechnung der interpolierten Größe in jedem Falle benutzt wird, ist in Tabelle 1 gezeigt.
8 098AO/1009
Tetraeder-Interpolationsteilung
Unterscheidungs- - bedingungen ■—\f
Berechnungs faktoren
co ο co
+ | ζ·+-) | Sf-Xi | — | — | ZföW | ■mm | (B) | (fr® | (P) | (E) | CF) | ((J) | (H) | • | 'Zf-Xf) | (OO | (Q2) | (QJ | (Qf) | (Q6) | (O) | |
+ | (+^ | (-) | (-) | (-) | ttf-if) | (ff-m | (if-Xi) | Z[Mi) | ZZj | |||||||||||||
BOOiO | — | — | (-) | + | + | — | OiHf) | ■2&A6-1) | 2Zi | |||||||||||||
— | — | H | — | H | 2Zf | |||||||||||||||||
QAQfO | <+) | + | — | • — | (-) | Xli-Xf) | 2Zi | |||||||||||||||
(?FQ20 | (+) | + | — | + | + | (+) | 2(t-Ü) | |||||||||||||||
FBQtO | {+) | — | (+) | (+) | (+) | ψιτ» | Xf-Xi) | |||||||||||||||
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cm | — | (-) | C-) | + | + | (+) | ZO^Jf/) | |||||||||||||||
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VGQiO | (-) | — | + | H | + | (+) | 2(1-Zi) | |||||||||||||||
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DHQfO | (-) | C-) | (+) | (-) | H | -CBWS) | (|ff-Zf) | 2Xi | ||||||||||||||
— | H | (+) | H | —. | — | ■CEfJÖ) | - | ,2Zf | ||||||||||||||
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+ | + | WfZi) | 2(Mf) | |||||||||||||||||||
W
W
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CX)
CO
on
CO
Unter Verwendung dieser Tabelle ist es durch prüfende Bedingungen,
die nicht in Klammern stehen, möglich, den Tetraeder
zu kennzeichnen, welcher den Punkt P enthält, und dementsprechend
ist es nicht notwendig, die in Klammern stehenden Bedingungen zu prüfen. Es versteht sich leicht, daß die Berechnung
in der Praxis weit einfacher ist als das Verfahren der vorstehend erwähnten Formel (CI). Ferner sind bei diesem Verfahren
die Unstetigkeiten über die Grenzen hinweg zwischen einem Eiriheitswürfel und dem nächsten sehr reduziert, weil
die Größen in der Nähe der Fläche des Einheitswürfels sehr viel mehr von den Größen an den vier Ecken der Fläche beherrscht
werden als bei dem bekannten Verfahren gemäß (II) ,-
Tatsächlich verändern sich die Farbbildausgangssignale im
Speicher gewöhnlich monoton bzw. gleichförmig, und deshalb kann ein einfacheres und gröberes Interpolationsverfahren
als das oben erläuterte in einem speziellen Falle durchaus
genügen. Deshalb kann das Verfahren nach den Figuren 9 und
10 durchaus akzeptiert werden, obwohl es nicht ganz so genau
ist wie das Verfahren nach der Formel (III). In Figur 9 ist
eine.:Zerlegung des Einheitswürfels im Tetraeder gezeigt, dessen
Scheitel die Scheitel des Einheitswürfels sind. Somit
hat dieses Verfahren den Vorteil, daß kein Mitteln der Grässen an den Scheiteln des Einheitswürfels erforderlich ist,
um Größen an den Zentren der Flächen des Einheitswürfels und in seinem Zentrum zu bestimmen.
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Der Einheitswürfel ist in sechs Tetraeder durch drei Ebenen zerlegt, die eine gemeinsame Linie haben, welche die lange
Diagonale-des Einheitswürfels-ist, und Jede Ebene ist zu den"
anderen beiden um 60 ° geneigt und enthält zwei Kanten und vier Scheitel des Einheitswürfels. Ein typischer Tetraeder
ist in Figur 10 gezeigt. In diesem Falle sind die Bedingungen dafür, daß der Punkt P in diesem Tetraeder liegt, daß
xf—vf ^zf w*e leicnt»wie vorstehend unter Benutzung der
Stereometrie ausgearbeitet werden kann. In derselben Weise ist die interpolierte Größe U(PI =
U(A) [l-xf3 + U(B) [xf-yf] + U(C) [yf-zf3 + U(D) zf
Ähnliche Unterscheidungsbedingungen und Berechnungsfaktoren
können für die anderen fünf Tetraeder ausgearbeitet werden. Tabelle II zeigt die vollständige Gruppe. Es versteht sich,
daß diese Ausführungsform des Verfahrens beim Rechnen leichter
ist als das Verfahren der Formel (III), ungeachtet eines gewissen Genauigkeitsverlustes.
In den Figuren 11 und 12 ist ein anderes Verfahren für das
Zerlegen des Einheitswürfels in Tetraeder gezeigt, die hier fünf an der Zahl sind. Der Einheitswürfel ist durch vier
Ebenen aufgeteilt, deren jede genau drei Scheitel des Würfels enthält und die dadurch gekennzeichnet sind, daß sie einander
längs linien schneidenf welche Diagonalen der Flächen des Würfels
sind. Deshalb gibt es zwei mögliche Zerlegungen, die Spiegelbilder voneinander sind, und diese sind in den Figuren
gezeigt'. Äüseinandergezogerie Darstellungen zeigen auch, wie
809840/1009
CO.
σ
co
co
co
co
ο.
3 g
2: >
ζ ω
.Unterscheidungsbedingungen
~~ Berechnungsfaktoren·
1-Xf | XrHf | VMMZl) | h-Zf | U(MMn) | VCaAWiM) | ucämm | u&miM) | |
XfttaZf | 1-& | XrZ* | h-Xf | tff-Zf | Zf | |||
mzf>fr | 1-Zf | Zf-fr | 9t | |||||
1-1* | If-Xf | XHf | h | |||||
Mh>Xf | Zf-fr | h-Xf | tf | |||||
H>Zf>Xf | 1-h | ■ | Zf-Xf | Xf | ||||
fr>ti>Zf | Xf-Zf | Zf | ||||||
ca W tr1
tr1 M
OO
OO
cn
CD
rn α
die Tetraeder zusammenpassen. Bei dieser Ausführungsform
sei bemerkt, daß die Tetraeder nicht alle isomorph sind, d.h. also nicht alle gleiche Form haben; sie sind voneinander
verschieden. Wie oben wird unter Verwendung der Unterscheidungsbedingungen, die von der Stereometrie abgeleitet
sind, festgestellt, in welchem dieser Tetraeder der Interpolationspunkt liegt, und dann wird unter Verwendung der
die
Berechnungsfaktoren, auf die gleiche Weise wie oben abgeleitet
sind,die interpolierte Größe errechnet. Dem Fachmann ist klar, wie in Abhängigkeit von der vorstehenden Beschreibung
diese Unterscheidungsbedingungen und Berechnungsfaktoren zu errechnen sind, und deshalb wird zwecks Verkürzung der Beschreibung
eine tabellarische Darstellung derselben hier weggelassen.
Bei den Verfahren, welche die Zerlegungen in sechs und in fünf Tetraeder verwenden, die oben unter Bezugnahme auf die
Figuren 9, 10, 11 und 12 erläutert sind, sind tatsächlich die interpolierten Größen in der Mitte der Flächen des Einheitswürfels und in seinem Zentrum etwas verschieden von denen,
die durch einfache Mittelung abgeleitet sind und in der ersten Ausführungsform des Verfahrens gemäß Figur 7 benutzt
wurden. Diese Variation ist jedoch nur im Falle monotoner Funktionen gering, so daß diese Ausführungsform tolerierbar
ist.
809840/10
L e e r s e i t
Claims (4)
1. Lineares Interpolationsverfahren für Farbsignale in
einem Speicher einer Bildwiedergabevorrichtung, bei welchem geeignete Werte der Farbbildausgangssignale
gespeichert werden, die gewissen abgestuften Werten der Farbeingangssignale im Speicher entsprechen,der
dreidimensional adressiert wird, und wobei Farbausgangssignalwerte an~Stellen, die zwischen diesen Werten
liegen, interpoliert werden, g e k e η η -
*= Frankfnrt/Ϊ 80984 0/1008 Wtebad«.. Konto-Nr. 274807
zeichnet durch Aufteilen der kubischen Interpolationseinheit des Speichers, welche dargestellt wird
durch einen einzigen Schritt jedes Farbeingangssignals,
in mehrere Tetraeder, deren Scheitel entweder Scheitel
der kubischen Einheit, Zentren ihrer Flächen oder ihr Mittelpunkt sind,
Berechnen des Farbausgangssignals an jedem Scheitel dieser Tetraeder, der gegebenenfalls ein Zentrum einer Fläche
der kubischen Einheit ist, durch Mitteln der Werte des Farbausgangssignals an den vier Scheiteln, welche Ecken
der Fläche sind, und an dem Mittelpunkt der kubischen Einheit durch Mitteln der Werte des Farbausgangssignals
an allen acht Scheiteln der kubischen Einheit,
Bestimmen, welcher dieser Tetraeder die Interpolationsstelle aufweist, an welcher der Wert des Farbausgangssignals
zu interpolieren ist, und
Ableiten des interpolierten Wertes an der Interpolationsstelle als eine gewichtete Summe der Werte an den vier
Scheiteln des bestimmten Tetraeders, wobei dem Wert an jedem Scheitel ein Gewicht gegeben wird entsprechend dem
Verhältnis des Volumens eines zweiten Tetraeders, dessen Schiitel die Interpolationsstelle und die anderen drei
Scheitel des bestimmten Tetraeders sind, zu dem Volumen des bestimmten Tetraeders.
809840/1001
-3 - ■■■:■■■■"■■■
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die
kubische Einheit aufgeteilt wird in vierundzwanzig Tetraeder,
ein Scheitel jedes dieser Tetraeder der Mittelpunkt der kubischen Einheit ist, zwei Scheitel die Scheitel der
kubischen Einheit sind, die durch eine Kante der kubischen Einheit verbunden sind, und daß der vierte Scheitel der
Mittelpunkt einer quadratischen Fläche der kubischen Einheit ist und daß eine Kante dieser Fläche die Kante der kubischen
Einheit ist.
3. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die
kubische Einheit durch drei Ebenen, die eine gemeinsame Linie haben, in sechs Tetraeder aufgeteilt wird, daß die
Linie eine lange Diagonale der kubischen Einheit ist und daß jede Ebene zwei Kanten und vier Scheitel der kubischen
Einheit enthält.
4. Verfahren nach Anspruch T, dadurch gekennzeichnet, daß die
kubische Einheit durch vier Ebenen in fünf Tetraeder aufgeteilt wird, jede Ebene genau drei Scheitel der kubischen
Einheit enthält und daß die Ebenen einander längs linien schneiden, die Diagonalen der Flächen der kubischen Einheit
sind.
809840/1001
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