DE2044496B2 - Verfahren und Vorrichtung zur Bestimmung der mittleren Abweichung einer variablen Funktion von ihrem Mittelwert, sowie Anwendung des Verfahrens - Google Patents

Verfahren und Vorrichtung zur Bestimmung der mittleren Abweichung einer variablen Funktion von ihrem Mittelwert, sowie Anwendung des Verfahrens

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Description

15
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung der mittleren quadratischen Abweichung einer variablen Funktion von ihrem Mittelwert unter Verwendung eines variablen RC-Gliedes mit von einem Kleinstwert aus zunehmender Zeitkonstante sowie eine Vorrichtung zur Durchführung und eine spezielle Anwendung dieses Verfahrens.
In der Meßtechnik wird oft die Aufgabe gestellt, den Variationskoeffizienten einer variablen Funktion, auch mittlere quadratische Abweichung genannt, in einem definierten Meßintervall zu bestimmen, wobei dieser Variationskoeffizient auf den Mittelwert der Funktion im erwähnten Meßintervall bezogen ist. Gefordert wird hierbei, daß der Variationskoeffizient mit einer genügenden Genauigkeit, und jwar unabhängig von der Länge des Meßintervalls, bestimmt wird. Mit anderen Worten bedeutet dies, daß der gemessene Variationskoeffizient in jedem Moment dem wirklichen Variationskoeffizienten des seit Beginn der Messung ausgewerteten Intervalls der untersuchten Funktion entsprechen soll.
Nun aber steht der benötigte Mittelwert erst am Ende des jeweiligen Meßintervalls mit genügender Genauigkeit zur Verfugung, so daß eine kontinuierliche genaue Bestimmung des Variationslcoeffizienten nicht möglich erscheint.
Der Variationskoeffizient einer Funktion f(t) ist mathematisch folgendermaßen definiert:
45
= ^\l ^ I [/(f)-x]2dr,
(D
wobei χ einen konstanten Wert besitzt und den erwähnten Mittelwert der Funktion darstellt und 0 und T die Grenzen des Meßintervalls bedeuten.
Es sind aus der Statistik bereits Methoden bekanntgeworden, um die oben geschilderten Schwierigkeiten zu umgehen. Man kann nämlich zeigen, daß
Es genügt hier, fortlaufend
und das dazugehörige x2 zu bestimmen.
Diese Methode hat jedoch den Nachteil, daß die beiden Ausdrücke
!O TJ
[/(r)]2d! und x2
sehr viel größer sind als ihre Differenz. Damit diese Differenz mit genügender Genauigkeit ermittelt werden kann, muß jeder der beiden Ausdrücke mit einer in der Praxis kaum erreichbaren Genauigkeit bestimmt werden.
Eine weitere bekannte Möglichkeit beruht auf der Tatsache, daß der Variationskoeffizient folgendermaßen errechnet werden kann:
-=r|/T/c/(x)-^]2di"Cx"~^2
wobei χ einen beliebigen festen Wert, den sogenannten provisorischen Mittelwert, darstellt.
Falls sich der Mittelwert χ mit steigendem T nur wenig verändert, kann f leicht so gewählt werden, daß (x - x)2 klein bleibt und so bei der Differenzbildung keine großen Fehler entstehen. In der Praxis aber kann χ mit steigendem T sehr großen Schwankungen unterworfen sein, und (x — S)2 wird leicht sehr viel größer als die Differenz
fj
-S]2 dt-[x-x]2
cv,h=-ir I/ ~| UW-x-i2at
[/(f)]2di-x2.
(2)
60
65 so daß diese Differenz auch hier wiederum nur dann mit genügender Genauigkeit errechnet werden kann, wenn die beiden Ausdrücke mit einer sehr hohen Genauigkeit bestimmt werden, was in der Praxis einen außerordentlich hohen kostspieligen Aufwand erforderlich macht.
Aus der deutschen Auslegeschrift 1220157 ist eine Vorrichtung zum Messen des zeitlichen Mittelwertes einer elektrischen Spannung an dem Kondensator eines KC-Gliedes bekannt, dessen Zeitkonstante während der Meßdauer verändert wird. Dabei wird ein zu Beginn der Messung einschaltbares Zeitwerk zum stetigen oder quasi stetigen Verstellen der Zeitkonstanten von einem Kleinstwert aus verwendet, so daß die Zeitkonstante, d. h. das Produkt R · C, entsprechend der seit Beginn abgelaufenen Zeit selbsttätig vergrößert wird. Auch bei Verwendung einer derartigen Vorrichtung steht jedoch der jeweilige Mittelwert der elektrischen Spannimg erst am Ende des jeweils betrachteten Zeitintervalls zur Verfügung. Mit der Bestimmung des Variationskoeffizienten befaßt sich diese l.iteraturstelle jedoch nicht.
Es sind auch elektronische Lösungen bekanntgeworden, bei welchen die Funktion /(r), d. h. ein dieser Funktion entsprechendes elektrisches Signal,
zugeführt wird, über der Kapazität dieses RC-Gliedes entsteht relativ rasch am Anfang des Mebintervalls eine Spannung z, die unter günstigen Umständen dem Wert χ nahekommt.
Danach wird f(t) — z gebildet und durch Quadrieren erhält man \_f(t) — z]2. Diese Größe wird einem zweiten RC-Glied zugeführt, bei welchem der Wert RC in jedem Moment der seit Beginn der Messung verflossenen Zeit proportional ist. Es ist bekannt, daß damit eine genaue Integration realisiert werden kann, so daß am Kondensator der Wert
entsteht. Dieser Wert wird einem Radizierglied zugeführt und anschließend durch ζ dividiert. Man erhält also
Vergleicht man Formel 4 mit Formel 1, so besteht eine gewisse Ähnlichkeit. CVeff wäre gleich CV,h, wenn ζ = χ wäre. Nun ist aber in der Praxis r keine Konstante und unter Umständen von χ sehr verschieden, so daß CVe)f von CV,h erheblich abweichen kann; der Meßfehler kann also auch in diesem Fall beträchtlich sein, so daß die Anforderungen hinsichtlich der benötigten Genauigkeit bei der Bestimmung des Variationskoeffizienten nicht erfüllt werden können.
Aufgabe der Erfindung ist es, den Variationskoeffizienten mit großer und stets ausreichender Genauigkeit unabhängig von der jeweiligen Länge des Meßintervalls mit einem Minimum an Aufwand zu bestimmen.
Diese Ausgabe wird gemäß der Erfindung dadurch gelöst, daß in einem ersten zeitproportionalen variablen KC-Glied der Wert
/(O di
gebildet, dieser einem Differenzbildner zugeführt und die Differenz zwischen Funktionswert f(t) und y gebildet und in einem nachfolgenden Quadrierglied das Quadrat dieser Differenz [/(f) — y]2 erzeugt wird, worauf diese quadrierte Differenz an ein zweites zeitproportionales variables KC-Glied gelegt und das Ausgangssignal
Durch die Maßnahme des Erselzens einer erst am Ende des jeweiligen Meßintervalls zur Verfugung stehenden Größe, nämlich des Mittelwertes, durch eine zeitvariable Funktion wird überraschenderweise die Bestimmung des Variationskoeffizienten mit sehr hoher Genauigkeit ermöglicht. Dieses Ergebnis ist um so überraschender als im Falle der Verwendung dieser Substitution bei Bestimmung der linearen Ungleichmäßigkeit erhebliche Fehler auftreten, die
ίο in der Praxis nicht in Kauf genommen werden können.
Die gemäß der Erfindung vorgenommene Substitution bei der Bestimmung der mittleren quadratischen Abweichung, d. h. bei der Bestimmung des Variationskoeffizienten, führt jedoch zu keinen derartigen Fehlern und gewährleistet überdies, daß am Ende des Meßintervalls der erhaltene Wert der mittleren quadratischen Abweichung gleich dem theoretisch exakten Wert dieser Größe ist.
Eine vorteilhafte Ausführungsform einer Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens zeichnet sich aus durch ein erstes variables RC-Glied zur Bildung der Größe
-y]2dt
dieses zweiten RC-Gliedes einem Radizierglied zugeführt wird, welches den Wert
[/(t)-y]2df
erzeugt, der nach Division durch ν in einem Divisionsglied dann zur Anzeige gebracht wird.
y = - /(i)df,
einen Differenzbildner zur Subtraktion des Momentanwertes von y vom Momentanwert der Funktion /(f) und ein Quadrierglied zur Bildung des Quadrates Lf it) — y]\ sowie ein zweites variables RC-Glied zur Bildung von
worauf durch geeignete Mittel, wie Radizierglied und
Divisionsßlied. der Variationskoeffizient CV = der
" ν
Funktion /(/) gebildet wird.
Bevorzugt wird das Verfahren nach der Erfindung angewendet bei der Bestimmung des Variationskoeffizienten der in Prüfgeräten der Textilindustrie gewonnenen, dem Querschnittsvcrlauf von Textilerzeugnissen entsprechenden elektrischen Signale.
An Hand der Beschreibung und der Figuren wird die Erfindung näher erläutert. Dabei zeigt
F i g. 1 eine variable Funktion, ihren Mittelwert und die mittlere Abweichung,
F i g. 2 schematisch den Aufbau einer erfindungsgemäßen Schallung.
In Fig. 1 ist in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine variable Funktion /(f.) in Funktion der Zeit t (bzw. der betrachteten Länge I) gezeigt. Ihr Mittelwert ist mit .x bezeichnet. Es läßt sich nun leicht erkennen, daß zunächst die Größe von \ davon abhängig ist, wie groß das Meßintervall, d. h. die Strecke f0 - tx gewählt wird. Bei einem Mcß-6« intervall rTl wird der Mittelwert χ höher liegen als bei einem Meßintervall fx2. Insbesondere bei kurzen Meßintervallen fallen diese Unterschiede erheblich ins Gewicht. Zudem beeinflussen sie auch die Größe der mittleren Abweichung bzw. den Variationskocffi-6«, zienten CV. da dieser dem Mittelwert umgekehrt proportional ist. Für eine genaue Bestimmung ties Variationskoeffizienten ist daher auch ein genauer Mittelwert Voraussetzung.
Es wurde versucht, diese Verhältnisse zunächsi theoretisch zu behandeln und daraus die erforderlichen Vorrichtungen abzuleiten, die die genaue Bestimmung des Variationskoeffizienten erwarten lassen. Wie bereits eingangs erwähnt, wird der theoretische Variationskoeffizient ausgedrückt durch
ίο
Dieses Quadrat ist nun an ein weiteres RC-Glied 20 mit einem Widerstand 21 und einer Kapazität 22 und variabler Zeitkonstante RC gelegt. Sofern die Änderung von RC wiederum der Beziehung
R ■ C = k ■ t (k = Konstante)
gehorcht, entspricht die am Ausgang 23 des weiteren RC-Gliedes 20 anstehende elektrische Größe in jedem Augenblick dem Wert
wobei
= ^/ f(t)dt
1 f
Bei den vorliegenden Meßaufgaben arbeitet man nun nicht mit einem festen x, sondern mit dem variablen
Damit erhält man Tür das Meßintervall (O - T) den Wert
von der seit dem Meßbeginn bis zum Zeitpunkt Ix verlaufenden Funktion f(t).
Sx wird anschließend in geeigneter Weise radiziert und durch y dividiert, und es entsteht in jedem Moment am Ausgang der Schaltung der Mornentanwert
CV, = - / —
-V]2 dr
CV= -
Nach Ablauf des Meßintervalls (0 - T) ist
1 f
(5) 30 y = ψ I fit)dt = x.
Für die Ausbildung einer Vorrichtung, die den also gleich dem tatsächlichen Mittelwert der Funktion
Variationskoeffizienten CP' gemäß Formel (5) aus /(r) über das Intervall (0 - T) und der Wert CV,
einer variablen Funktion ergibt, ist nun erforderlich. 35 wird zu
daß der Wert ,
H/.
[/(f)-v]2di. (6)
aus der variablen Funktion gebildet und als Subtrahend vom Momentan wert der Funktion fit) subtrahiert wird, worauf diese Differenz quadriert, integriert und radiziert wird und nach Teilung durch den Mittelwert χ daraus der Variationskoeffizient CV resultiert.
Dieser Vorgang wird mit einer Schaltung gemäß F i g. 2 realisiert. Die als elektrisches Signal auftretende variable Funktion f{t) liegt zunächst an einem ersten RC-Glied 11 mit einem Widerstand 12 und einer Kapazität 13. Die Veränderung der Zeitkonstanten RC erfolgt so, daß sie von einem Kleinstwert, vorzugsweise dem Wert Null, während des ganzen Meßintervalls nach der Be/.iehun..
R · C = k ■ 1 (k = Konstante)
erhöht wird. Dabei erscheint am Ausgang 14 des RC-Gliedes der Wert y, der jeweils dem Mittelwert der seit dem Beginn des Mcßintervalls abgelaufenen Funktion f(t) entspricht. Dieser Mittel-Wert y einerseits und die ursprüngliehc Funktion/(f) andererseits sind nun an einen an sich bekannten Differcnzbildner 15 gelegt, der die Differenz /(/)- ν bildet und an ein an sich bekanntes Quadrierglied 16 abgibt. Darin wird das Quadrat [fit) - y]z als weitere elektrische Größe acbildet.
Es läßt sich nun zeigen, daß
l/
Der durch oben beschriebene Schaltung erhaltene Wert CV ist somit gleich dem theoretischen exakten Wert CV,h. Da unter dem Wurzelzeichen in Formel 6 keine Differenz auftritt wie z. B. in Formeln 2 oder 3. sind auch die Anforderungen an die Genauigkeit der Mcßschaltungen nicht extrem hoch.
Vorrichtungen mit der erfindungsgemäßen Schaltungsanordnung werden vorzugsweise als Integratoren eingesetzt, wobei die variable Funktion f(i beispielsweise eine dem Querschnittverlauf von Erzeugnissen der Textilindustrie, wie Bändern. Vorgarnen und Garnen entsprechende elektrische Größe darstellt. Zur Gewinnung dieser elektrischen Größe dienen an sich bekannte Gleichmäßigkeilsprüfgeräte
Die Änderung der Zeitkonslanten der variabler RC-Glieder kann z. B. so erfolgen, daß entweder dit Widerstände 12 bzw. 21, oder die Kondensatoren V: bzw. 22 oder beide gleichzeitig von einem geeigncfei Sicuerelemcnt 25 aus in geeigneter Weise veränder werden.
Für die Ausbildung der variablen RC-Gliedcr Il 20 stehen verschiedene an sich bekannte Arten de
409 526/7'
ίο
Realisierung zur Verfügung. Die naheliegendste Ausgestaltung mit Potentiometern bietet dadurch Schwierigkeiten, daß sehr hochohmige Potentiometer eingesetzt werden müssen, die naturgemäß nicht die erforderliche Widerstandscharakteristik aufweisen und der auftretenden Beanspruchung nicht genügen.
Die moderne Elektronik kennt dagegen veränderbare Widerstände, die durch Aufschalten einer elektrischen Steuergröße gesteuert werden, wie NTC-, PTC-Widerstände, Photowiderstande, Phototransistoren, Photodioden oder aber auch in geeigneten Schaltungen enthaltene Transistoren oder Dioden. Mit diesen Elementen lassen sich die benötigten Widerstandswerte hinreichend genau und reproduzierbar herstellen.
Ein besonders vorteilhaftes Verhalten für die Erzeugung von Widerstandsänderungen der erforderlichen Größenordnung zeigen Zerhackerschaltungen, bei welchen durch Änderung des Verhältnisses zwischen öffnungs- und Schließzeiten die gewünschte Widerstandsänderung erzielt wird. Dabei kann der Zerhacker in an sich bekannter Weise als mechanischer oder als elektronischer Zerhacker ausgebildet sein.
Für die Bildung des Quotienten ", im Divisionsglied 27 wird mit Vorteil ein an sich bekannter Anaiog-Digitaiwandler eingesetzt, dem die Größe y ίο als Referenzspannung und die Größe s als Meßspannung zugeführt wird. Am Ausgang dieses Wandlers entstehen dabei digitale Signale, die das Verhältnis ', darstellen.
is Desgleichen stehen für die Darstellung veränderlicher Kapazitäten an sich bekannte Elemente zui Verfügung, wie Kapazitätsdioden, oder Schaltungen, die sich unter dem Einfluß einer Steuergröße wie veränderliche Kapazitäten verhalten.
Hierzu 1 Blatt Zeichnungen

Claims (15)

Patentansprüche:
1. Verfahren zur Bestimmung der mittleren quadratischen Abweichung einer variablen Funktion von ihrem Mittelwert unter Verwendung eines variablen RC-Gliedes mit von einem Kleinstwert aus zunehmender Zeitkonstante, dadurch gekennzeichnet, daß in einem ersten zeitproportionalen variablen RC-Glied(ll) der Wert
dieses zweiten RC-Gliedes (20) einem Radizierglied (26) zugeführt wird, welches den Wert
R C = k ·/
RC = k t
■
gebildet, dieser einem Differenzbildner (15) zugeführt und die Differenz zwischen funktionswert f(t) und y gebildet und in einem nachfolgenden Quadrierglied (16) das Quadrat dieser Differenz [/(r) — j]2 erzeugt wird, worauf diese quadrierte Differenz an ein zweites zeitproportionales variables RC-Glied (20) gelegt und das Ausgangssignal
erzeugt, der nach Division durch y in einem Divisionsglied (27) dann zur Anzeige gebracht wird.
2 Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß sowohl der Widerstand (12) des ersten ßC-Giiedes (11) als auch der Widerstand (21) des zweiten /?C-Gliedes (20) variabel sind und bei Meßbeginn von einem Kleinstwert ausgehend nach der Bedingung
45
während des gesamten Meßintervalls zeitproportional zunehmen.
3. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß sowohl der Kondensator (13) des ersten RC-Gliedes (H) als auch der Kondensator (22) des zweiten KC-GIiedes (20) variabel sind und bei Meßbeginn von einem Kleinstwert ausgehend nach der Bedingung
55
während des gesamten Meßintervalls zeitproportional zunehmen.
4. Verfahren nach Anspruch 1. dadurch gekcnnzeichnet, daß sowohl Kondensator (13) und Widerstand (12) des ersten KC-Gliedes (II) als auch Kondensator (22) und Widerstand (21) des zweiten KC-Gliedes (20) variabel sind und bei Meßbeginn von einem Kleinstwert ausgehend nach Jer Bedingung
R ■ C = k ■ r
während des gesamten Meßintervalls zeitproportional zunehmen.
5. Verfahren nach den Ansprüchen 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Widerstandsänderung in bekannter Weise durch Veränderung des Verhältnisses der Uffnungs- und Schließzeit eines Zerhackers erzeugt wird.
6. Verfahren nach den Ansprüchen 1, 2 und 5. dadurch gekennzeichnet, daß der Zerhacker mit veränderlicher öffnungs- und Schließzeit mechanisch bewegt wird.
7. Verfahren nach den Ansprüchen 1, 2 und 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Zerhacker mit veränderlicher öffnungs- und Schließzeit nach elektronischem Prinzip betrieben wird.
8. Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch ein erstes variables RC-Glied(ll) zur Bildung der Größe
einen Differenzbildner (15) zur Substraktion des Momentanwertes von y vom Momentanwert der Funktion/(i) und ein Quadrierglied (16) zur Bildung des Quadrates [f{t) — y~]2, sowie ein zweites variables RC-GWtd (20) zur Bildung von
Lf(t)-yfdt
worauf durch geeignete Mittel, wie Radizierglied (26) und Divisionsglied (27), der Variationskoeffizient CV= \ der Funktion /(t) gebildet wird.
9. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Widerstände (12, 21) der KC-Glieder (11, 20) variabel sind und von einem gemeinsamen Antriebsmotor (25) aus veränderbar sind.
10. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Kapazitäten (13, 22) der RC-Glieder (11, 20) variabel sine und von einem gemeinsamen Antriebsmotor (25) aus veränderbar sind.
11. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß sowohl die Widerstände (12, 21) als auch die Kapazitäten (13, 22) der KC-Glieder (11, 20) variabel sind und von einem gemeinsamen Antriebsmotor (25) aus veränderbar sind.
12. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß als variable Widerstände (12,21) der flC-Glieder (11. 20) steuerbare HalbLiterwiderstände, wie NTC-, PTC-Widerstände, Photowiderstände, Phototransistoren, Photodioden, oder geeignet geschaltete Transistoren oder Dioden eingesetzt sind.
13. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß als variable Kapazitäten (13,22) der RC-Glieder (11. 20) an sich bekannte Halbleiterschaltungen und/oder Kapazitälsdiodcn eingesetzt sind.
14. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Werte s und y einem Analog-Digitalwandler zugeführt werden, wobei y als
Referenzspannung und s als Meßspannung verwendet sind, und somit am Ausgang des Wandlers digitale Signale entstehen, die dem Verhältnis - entsprechen.
15. Anwendung des Verfahrens nach Anspruch 1 auf die Bestimmung des Variationskoeffizienten der in Prüfgeräten der Textilindustrie gewonnen, dem Querschnittverlauf von Textilerzeugnissen entsprechenden elektrischen Signale.
DE2044496A 1970-09-01 1970-09-08 Verfahren und Vorrichtung zur Bestimmung der mittleren Abweichung einer variablen Funktion von ihrem Mittelwert sowie Anwendung des Verfahrens Expired DE2044496C3 (de)

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