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Die
Erfindung betrifft eine Dreh-Schwenkeinrichtung für den Tastkopf
eines Koordinatenmeßgerätes, mit
werngstens zwei Drehgelenken zur winkelmäßigen Ausrichtung der Tastköpfe.
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Dreh-Schwenkeinrichtungen
sind bereits seit längerem
bekannt. Es gibt hierbei einerseits die sogenannten kontinuierlich
verdrehbaren Dreh-Schwenkeinrichtungen, bei denen sich der Drehwinkel
kontinuierlich über
einen entsprechenden Motor verstellen läßt und der exakte Drehwinkel
durch einen Encoder geliefert wird, sowie die sogenannten rastenden
Dreh-Schwenkeinrichtungen,
bei denen nur eine begrenzte Anzahl von Drehwinkeln eingestellt
werden können.
In einer von der Anmelderin vertriebenen rastenden Dreh-Schwenkeinrichtung
mit der Typenbezeichnung „RDS" werden hierzu zwei
zusammenwirkende Zahnkränze
einer sogenannten Hirth-Verzahnung verwendet, die im verriegelten
Zustand ineinandergreifen und hierdurch den jeweils eingestellten
Drehwinkel verriegeln.
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Eine
kontinuierlich verdrehbare Dreh-Schwenkeinrichtung ist in der
DE 37 400 70 A1 und
dem hierzu korrespondierenden US-Patent 4,888,877 offenbart. Hierin
ist eine Dreh-Schwenkeinrichtung
gezeigt, welche zwei motorisch betriebene, kontinuierlich verschwenkbare
Drehgelenke aufweist, deren Drehachsen senkrecht aufeinander stehen.
Damit der Taststift nicht bei jeder Änderung des Drehwinkels der
Drehgelenke neu kalibriert werden muß, sind bezüglich der unterschiedlichen
Drehwinkel Korrekturwerte abgelegt, die die Lage der Drehachsen
zueinander beschreiben. Außerdem
können
alternativ oder zusätzlich
auch Korrekturwerte hinsichtlich Winkelpositionsabweichungen und
der Laufabweichungen der Drehachsen vorgesehen sein, wobei hinsichtlich
der Realisierung dieser letztgenannten Korrektur nicht genau beschrieben
ist, wie diese besonders vorteilhaft eingesetzt werden kann.
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Die
Besonderheit der in der
DE
37 400 70 A1 gezeigten Dreh-Schwenkeinheit ist hierbei
darin zu sehen, daß für jeden
der einzelnen Fehler ein separates Korrekturmodell erforderlich
ist, so daß einerseits
für mehrere
Korrekturmodelle die Fehlerparameter bestimmt werden müssen, sowie
bei der Korrektur der gemessenen Meßwerte mehrere Korrekturrechnungen
durchgeführt
werden müssen.
Dies hat in der Vergangenheit dazu geführt, daß aufgrund der hohen Anforderungen
an eine geringe Meßzeit
nur die Lage der Drehachsen zueinander und die Winkelpositionsabweichungen
der Drehgelenke korrigiert wurden. Diese Korrekturen waren jedoch
nur für
kontinuierlich verdrehbare Dreh-Schwenkeinrichtungen anwendbar,
wie sie in der
DE 37
400 70 A1 gezeigt sind. Für rastende Dreh-Schwenkeinrichtungen,
bei denen die Dreh-Schwenkeinrichtung in einer Vielzahl von unterschiedlichen
Stellungen eingerastet werden kann, waren die Korrekturmodelle nur
unzureichend. Auch für
kontinuierlich drehbare Dreh-Schwenkeinrichtungen ist es grundsätzlich wünschenswert
die Meßgenauigkeit
weiter zu verbessern.
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Die
Deutsche Offenlegungsschrift
DE 40 01 433 A1 und das dazu korrespondierende
US-Patent 5,138,563
zeigen ein Korrekturverfahren für
Dreh-Schwenkeinrichtungen, bei denen Fehler korrigiert werden, die
sich aufgrund der elastischen Verformung der Dreh-Schwenkeinrichtung
und der Tastkonfiguration ergeben, insbesondere dann, wenn die Tastkonfiguration
eine Tastkopfverlängerung
umfaßt,
von der der Tastkopf gehalten wird. Dazu wurde das in der oben bereits
zitierten
DE 37 400
70 A1 beschriebene Verfahren zur Korrektur der Lage der
Drehachsen um einen Term
(α,β) erweitert
der die Verformen angibt. Die Dreh-Schwenkeinrichtung mit der daran
befestigten Tastkonfiguration wurde hierbei nach dem Modell eines
Biegebalkens betrachtet, so daß zur
Bestimmung des Terms
(α,β), die maximale
Durchbiegung der Dreh-Schwenkeinrichtung bestimmt wurde und in Abhängigkeit
von der jeweiligen Winkelstellung der Drehgelenke dann auf die entsprechende
Durchbiegung interpoliert wurde. Das Modell hat in der Vergangenheit
hervorragende Dienste geleistet. Aufgrund der stetig höher werdenden
Anforderungen an die Meßgenauigkeit
von Koordinatenmeßgeräten, wurde
der Versuch unternommen die in
DE 40 01 433 A1 mit Bezugszeichen
5 bezeichnete
Tastkopfverlängerung
steifer zu gestalten. Hierbei stellte sich jedoch heraus, daß die Korrekturergebnisse
nicht, wie erwartet, besser wurden, weil hierdurch die in der Dreh-Schwenkeinrichtung
auftretenden Verformungen größer wurden,
als die Verformungen in der Tastkopfverlängerung und deshalb das zugrundeliegende
Modell eines Biegebalkens nicht mehr funktionierte.
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Die
Europäische
Veröffentlichungsschrift
EP 07 59 534 A2 zeigt
ein Verfahren um kontinuierlich verdrehbare Dreh-Schwenkeinrichtungen
oder rastende Dreh-Schwenkeinrichtungen
zu korrigieren. Hierin wird vorgeschlagen die Dreh-Schwenkeinrichtung
in zwei unterschiedliche Drehwinkel zu bringen und hier jeweils zu
kalibrieren. Ein dritter, zwischen den Drehwinkeln liegender Drehwinkel
wird darin korrigiert, indem zwischen den aufgenommenen Kalibrierdaten
interpoliert wird. Hinsichtlich des Korrekturmodells wird hier nichts näher ausgeführt.
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Aufgabe
der vorliegenden Erfindung ist es hiervon ausgehend eine verbesserte
Dreh-Schwenkeinrichtung
anzugeben.
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Die
Aufgabe wird durch die Merkmale der unabhängigen Ansprüchen 1 und
6 gelöst.
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Der
Grundgedanke der Lösung
gemäß unabhängigen Anpsruch
1 sieht vor wenigstens die Lage der Drehachsen zueinander und die
Winkelpositionsabweichungen in einem gemeinsamen mathematischen
Modell zu korrigieren.
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Es
sei an dieser Stelle ausdrücklich
erwähnt,
daß die
Bezeichnung gemeinsames mathematisches Modell so zu verstehen ist,
daß die
einzelnen Fehler nicht getrennt berechnet werden brauchen.
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Hierdurch
kann sowohl der Rechenaufwand zur Bestimmung der Fehlerparameter
erheblich reduziert werden, sowie auch die Zeit, die benötigt wird
um die Einzelfehler zu bestimmen.
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Die
Korrektureinheit ist hierbei ein Rechner oder ein Mikroprozessor,
in dem die entsprechend aufgenommenen Korrekturwerte abgespeichert
werden und der entsprechend dem gewählten mathematischen Modell
die gemessenen Meßwerte
korrigiert.
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Besonders
vorteilhaft läßt sich
die lösungsgemäße Dreh-Schwenkeinrichtung
weiterbilden, indem zusätzlich
in dem gemeinsamen mathematischen Modell auch die Taumelfehler und/oder
die radialen Laufabweichungen und/oder die Axialverschiebungen der
Drehgelenke korrigiert werden.
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Durch
diese Maßnahme
ergibt sich ein handhabbares Korrekturmodell, mit dem nunmehr auch
insbesondere rastende Dreh-Schwenkeinrichtungen korrigiert werden
können,
was mit den bislang bekannten mathematischen Modellen noch nicht
möglich
war.
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Zum
Rasten der Drehstellungen sollte besonders vorteilhaft eine Hirth-Verzahnung
verwendet werden, da hierdurch sich alle Drehwinkelstellungen der
Dreh-Schwenkeinrichtung
mit hoher Reproduzierbarkeit einstellen lassen.
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Der
Grundgedanke der Lösung
gemäß unabhängigen Anspruch
6 ist darin zu sehen, daß nunmehr eine
rastende Dreh-Schwenkeinrichtung geschaffen wird, bei der nicht
mehr jede Drehstellung einzeln für
jede Tastkonfiguration kalibriert werden muß.
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Es
sei an dieser Stelle nochmals ausdrücklich erwähnt, daß es sich bei der Dreh-Schwenkeinrichtung gemäß den Ansprüchen 1,2
und 5 sowohl um eine rastende Dreh-Schwenkeinrichtung wie auch um eine
kontinuierlich verdrehbare Dreh-Schwenkeinrichtung handeln kann.
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Weitere
Vorteile und Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus der
Figurenbeschreibung.
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1 zeigt eine perspektivische
Darstellung der Dreh-Schwenkeinrichtung
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2 zeigt eine rein schematische
Darstellung der Dreh-Schwenkeinrichtung gemäß 1
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3 zeigt die Rotation des
Mittelpunktes (P) der Tastkugel (12) um ein ideales Drehgelenk
(14) ohne Laufabweichungen
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4 zeigt die Rotation des
Mittelpunktes (P) der Tastkugel (12) um ein reales Drehgelenk
(14) mit Laufabweichungen
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5 zeigt eine schematische
Darstellung der Fehler bei der Rotation des Mittelpunktes (P) der
Tastkugel (12) um ein reales Drehgelenk (14) mit
Laufabweichungen
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6 zeigt einen Meßaufbau,
mit dem die Korrekturparameter für
die Laufabweichungen des Drehgelenkes (14) bestimmt werden
können
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7 zeigt einen Meßaufbau,
mit dem die Korrekturparameter für
die Laufabweichungen des Drehgelenkes (15) bestimmt werden
können
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8 zeigt eine rein schematische
Prinzipdarstellung der Dreh-Schwenkeinrichtung nach 1, wobei die Tastkonfiguration eine Tastkopfverlängerung
(19) umfaßt
und zur Berechnung der elastischen Verformung zwei finite elastische
Elemente (17 und 18) eingefügt wurden
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9 zeigt eine rein schematische
Prinzipdarstellung des elastischen Zentrums (K) eines finiten Elementes
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10 zeigt ebenfalls eine
rein schematische Prinzipdarstellung des elastischen Zentrums (K)
eines finiten Elementes mit der Verschiebung des Mittelpunktes (P)
der Tastkugel (12) 11 zeigt
die in 1 gezeigte Dreh-Schwenkeinrichtung
von vorne mit einem Sterntaster (21).
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1 zeigt eine Dreh-Schwenkeinrichtung,
die hier als sogenannte rastende Dreh-Schwenkeinrichtung ausgeführt ist.
Die Dreh-Schwenkeinrichtung ist hierbei an einem horizontal ausgerichteten
Meßarm
(8) eines Ständermeßgerätes befestigt
und weist zwei Drehgelenke (14,15) auf, die die
Bauteile (1) und (2), sowie die Bauteile (2)
und (3) drehbar miteinander verbinden, wobei die Drehgelenke
(15, 14) die Drehachsen (aA) und
(aB) definieren. Zum Festrasten der eingestellten
Drehwinkel weist die Dreh-Schwenkeinrichtung sogenannte Hirth-Verzahnungen
(6) und (7) auf. Dies sind paarweise zusammenwirkende
Zahnkränze,
die ineinander greifen. Um die Drehwinkel der Drehgelenke (14, 15)
zu verändern,
befindet sich im Inneren der Dreh-Schwenkeinrichtung ein pneumatischer
Zylinder, über
den das Bauteil (2) gegenüber dem Bauteil (1)
sowie das Bauteil (3) gegenüber dem Bauteil (2)
abgehoben werden kann. Außerdem
ist für
jedes der Drehgelenke ein Elektromotor vorgesehen, über den
der Drehwinkel des jeweiligen Drehgelenkes (14,15)
verstellt werden kann. Nachdem der gewünschte Drehwinkel erreicht
ist, werden die ausgehobenen Bauteile (1) und (2)
bzw. (2) und (3) wieder von der Pneumatik zusammengezogen.
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In
der gezeigten Darstellung ist an die Aufnahme der Dreh-Schwenkeinrichtung
ein Tastkopf (4) vom schaltenden Typ angesetzt. Am Tastkopf
(4) ist wiederum ein Taststift (11) mit einer
Tastkugel (12) auswechselbar gehalten, wobei der Tastkopf
(4), bei der Berührung
eines Werkstückes
mit der Tastkugel (12), ein elektrisches Signal auslöst. Natürlich kann
beispielsweise auch ein optischer Tastkopf oder ein messender Tastkopf
verwendet werden. Der Tastkopf (4) ist mittels eines Adapterteils
(5) an der Halteplatte (3) befestigt.
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Die
hierbei vom Koordinatenmeßgerät während einer
Messung aufgenommenen Meßwerte
werden in der hier nur rein schematisch dargestellten Konektureinheit
(22) gemäß einem
mathematischen Modell korrigiert. Bei dieser besagten Korrektureinheit
(22) handelt es sich üblicherweise
um den Rechner des Koordinatenmeßgerätes. Natürlich kann alternativ auch
ein eigens vorgesehener Mikroprozessor verwendet werden, der beispielsweise
in der Steuerung des Koordinatenmeßgerätes oder sogar in der Dreh-Schwenkeinheit
selber angeordnet ist.
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1. Grundmodell
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Um
bei einer derartigen Dreh-Schwenkeinrichtung mit unterschiedlichen
Drehwinkeln der Drehgelenke (
14,
15) Messungen
durchführen
zu können
muß für jeden
Drehwinkel der genaue Ortsvektor
des
Mittelpunktes (P) der Tastkgel (
12) bezogen auf das Gerätekoordinatensystem
(X
G,Y
G,Z
G) bekannt sein. Dieser Sachverhalt soll
im Folgenden anhand von
2 erläutert werden.
2 zeigt lediglich eine rein
schematische Darstellung der Dreh-Schwenkeinrichtung gemäß
1, in der für die gleichen
Komponenten dieselben Bezugszeichen wie in
1 verwendet wurden.
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Diesen
Ortsvektor
der
Tastkugel (
12) im Gerätekoordinatensystem
(X
G,Y
G,Z
G) kann man als Vektorgleichung wie folgt
angeben:
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Die
Punkte (A) und (B) stellen die Schnittpunkte einer Geraden mit den
Drehachsen (a
A) und (a
B)
dar, wobei die Gerade entlang des kürzesten Abstandes der beiden
Drehachsen (a
A) und (a
B)
verläuft.
Der Vektor
bedeutet
hierbei den Ortsvektor des Mittelpunktes (P) der Tastkugel (
12)
bezogen auf das Gerätekoordinatensystem
(X
G,Y
G,Z
G) . Der Vektor ( t) ist der Vektor vom Punkt
(B) zum Mittelpunkt (P) der Tastkugel (
12). Der Vektor
ist
der Ortsvektor des Punktes (A) bezogen auf das Gerätekoordinatensystem
(X
G,Y
G,Z
G). Der Vektor
ist
der Abstandsvektor des Punktes vom Punkt (A) . Die Rotationsmatrix
(R
A) beschreibt die Rotation des Drehgelenkes
(
15) um die Drehachse (a
A). Die
Rotationsmatrix (R
B) beschreibt die Rotation
des Drehgelenkes (
14) um die Achse (a
B)0.
Die Transformationsmatrix (T
A) beschreibt
die Transformation des Gerätekoordinatensystems
(X
G,Y
G,Z
G) in das Gelenkkoordinatensystem (X
A,Y
A,Z
A)
im Punkt (A). Die Transformationsmatrix (T
B)
beschreibt die Transformation des Gelenkkoordinatensystems X
A,Y
A,Z
A)
im Punkt (A) in das Gelenkkoordinatensystem (X
B,Y
B,Z
B) im Punkt (B).
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Diese
Gleichung 1 entspricht hierbei der in
DE 37 400 70 A1 beschriebenen Gleichung und
ist lediglich etwas anders mathematisch beschrieben.
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Im
Fall der idealen, fehlerfreien Drehgelenke ist deren Bewegung eine
reine Rotation und es gilt für
die Rotationsmatrizen (RA) und (RB) für
die Drehung um die Z-Achse des jeweiligen Gelenkkoordinatensystems (XA,YA,ZA bzw.
XB,YB,ZB).
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In
dieser Gleichung 2 bezeichnet (φ)
hierbei den Drehwinkel um das jeweilige Drehgelenk (14,15).
Für die
Rotationsmatrix (RA) ist es der Drehwinkel
(φA) des Drehgelenkes (15), für die Rotationsmatrix
(RB) ist es der Drehwinkel (φB) des Drehgelenkes (14)
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Alle
weiteren Vektoren und Matrizen sind auch im Fall idealer Drehgelenke
unbekannt und müssen
experimentell bestimmt werden, und zwar 9 Komponenten von Vektoren
sowie 6 Raumwinkel der Transformationsmatrizen. Dazu kommen als
weitere Unbekannte die Nullwinkel der beiden Winkelmeßsysteme.
Demgemäß sind für die Kalibrierung
der Dreh- Schwenkeinheit
Messungen für
mindestens 17 unabhängige
Bedingungsgleichungen durchzuführen.
Das ist auch dann noch der Fall, wenn die Korrektur der einzelnen
Drehgelenke bekannt ist.
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2. Kinematische
Korrektur
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In
nullter Näherung
besitzt ein Drehgelenk nur einen einzigen kinematischen Freiheitsgrad,
der mit der Rotationsmatrix nach Gleichung 2 als reine Rotation
um die Drehachse beschreibbar ist, wie dies in 3 rein beispielhaft für die Rotation um die Achse
(aB) gezeigt ist. Wie hier zu sehen ist,
wird in diesem Falle der Tastkugelmittelpunkt (P) bei Rotation um
einen Winkel (φB) um die Drehachse (aB)
auf einen Punkt (P')
so abgebildet, daß beide
auf einem Kreis liegen, dessen Ebene lotrecht auf die betreffende
Drehachse steht und dessen Mittelpunkt (M) auf der Drehachse (aB) liegt.
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Ein
reales Drehgelenk weist demgegenüber
bedingt durch die Fertigungsungenauigkeiten Bewegungen in allen
sechs Freiheitsgraden auf, wie dies gut anhand der rein schematischen 4 gesehen werden kann. Wie
hieraus zu sehen, wird der Tastkugelmittelpunkt (P) bei Rotation
um die Drehachse (aB) diesmal auf einem
Punkt (P") abgebildet,
der nicht auf dem besagten Kreis um die Drehachse (aB)
liegt. Die sechs Freiheitsgrade in denen die Bewegungen stattfinden
können
entsprechen zugleich den sechs Fehlerkomponenten, die zu dem theoretischen
Punkt (P') dazugerechnet
werden müssen,
um zum tatsächlichen
Punkt (P") zu gelangen,
wie dies 5 zeigt. Diese
Fehlerkomponenten sind:
- – Winkelpositionsabweichungen
(δφ = δZ)
des Rastsystems oder Winkelmeßsystems
- – radiale
Laufabweichungen (vx, vy)
in x und y-Richtung,
- – Axialverschiebungen
vz
- – Kippungen δx, δy um
die x- und y-Achse als Taumelfehler.
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Anstelle
der Rotationsbewegung vollführt
damit das geführte
Teil eine allgemeine Starrkörperbewegung
Raum die aus dem Verschiebungsvektor
und
dem Vektor
der
räumlichen
Drehungen besteht.
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Dementsprechend
setzt sich bezogen auf die Dreh-Schwenkeinrichtung gemäß 2 die räumliche Verschiebung des Mittelpunktes
(P) der Tastkugel (12) bei einer Drehung um eines der beiden
Drehgelenke (14 oder 15) von (P) nach (P") aus sieben Komponenten
zusammen, und zwar der nominellen Rotation um den Drehwinkel (φA oder φB) und den jeweils zu der betreffenden Drehung
dazugehörigen
sechs Fehlerkomponenten, d.h. je drei Verschiebungen (vX,vy,vZ) und drei Drehungen
(δx,δy,δφ).
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Unter
den obigen Betrachtungen kann das oben genannte Grundmodell also
wie folgt erweitert werden:
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Die
gegenüber
dem Grundmodell nach Gleichung 1 erweiterten Komponenten haben hierbei
nachfolgende Bedeutung. Der Vektor (
)
bedeutet hierbei den Verschiebefehler, der durch das Drehgelenk
(
15) entsteht. Die Drehmatrix (D
A)
repräsentiert
den Drehfehler der um das Drehgelenk (
15) entsteht. Der
Vektor
bedeutet
den Verschiebefehler, der durch das Drehgelenk (
14) entsteht.
Die Drehmatrix (D
B) repräsentiert den Drehfehler der
um das Drehgelenk (
14) entsteht.
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Die
Vektoren
und
(
),
die sich jeweils aus den Verschiebefehlern in x, y und z-Richtung zusammensetzen
definieren sich folglich wie folgt:
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Die
räumlichen
Drehmatrizen (DA) und (DB),
die sich jeweils aus den Einzeldrehungen Dx,
Dy und DZ um die
Koordinatenachsen x,y und z mit den Eulerschen Winkeln δZ, δx, δy zusammensetzen
ergeben sich folglich wie folgt:
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Die
Ermittlung der Vektors
für die Verschiebefehler
beim Drehgelenk (
14) sowie der Drehmatrix (D
B) für die Drehfehler
des Drehgelenkes (
14) kann relativ einfach erfolgen, wie
dies im Zusammenhang mit
6 erläutert wird.
Dazu wird die Dreh-Schwenkeinrichtung auf einem hochgenauen Koordinatenmeßgerät aufgespannt
und an der Dreh-Schwenkeinrichtung
ein Kugelprüfkörper (
9)
angebracht, der wenigstens drei Kugeln (
16a,
16b,
16c)
aufweist. Nunmehr wird das Drehgelenk (
14) in jeden seiner
möglichen
Drehwinkel gebracht und die jeweilige Lage der Kugeln (
16a,
16b,
16c)
mit einem Zentriertaster, der ähnlich
einem Fingerhut aufgebaut ist, vermessen. Es hat sich hierbei gezeigt,
daß die
Fehler erst dann ausreichend klein sind, wenn mit einer ausreichenden
Meßkraft
gemessen wird. Dies führt
jedoch zu einer relativ großen
Verbiegung des Kugelprüfkörpers (
9).
Deshalb kann besonders vorteilhaft die exakte Lage der Kugeln (
16a,
16b,
16c)
bestimmt werden, indem mit zwei unterschiedlichen Meßkräften gemessen
wird und dann auf die Lage extrapoliert wird, die die Kugeln bei
der Meßkraft
0 N aufweisen. Für
jeden Drehwinkel des Drehgelenkes (
14) wird dann aus der
Lage der Kugeln (
16a,
16b,
16c) eine
Ebene aufgespannt, sowie der Flächenschwerpunkt
aus den gemessenen Kugelpositionen bestimmt. Der Vektor
für die Verschiebefehler
ergibt sich dann als Vektor vom Schwerpunkt im Referenzdrehwinkel
der Dreh-Schwenkeinrichtung zum Schwerpunkt im aktuellen Drehwinkel.
Die Fehlerwinkel für
die Drehmatrix (D
B) ergeben sich aus den
Verdrehungen der berechneten Ebene im Referenzdrehwinkel zur berechneten
Ebene in der aktuellen Drehstellung.
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Vollkommen
analog wird auch der Vektor
für die Verschiebefehler
beim Drehgelenk (
15) sowie der Drehmatrix (D
A)
für die
Drehfehler des Drehgelenkes (
15) ermittelt, wobei dann
der Kugelprüfkörper (
9) über ein
Winkelstück
(
10) an der Dreh-Schwenkeinrichtung befestigt wird.
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3. Korrektur
elastischer Biegefehler
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Unter
realen Bedingungen kommt es, bedingt durch die Gewichtskräfte insbesondere
der Tastkonfiguration, also des Tastkopfes (4), des Taststiftes
(11) sowie insbesondere von Tastkopfverlängerungen
(19) zu Verformungen sowohl der Dreh-Schwenkeinrichtung,
wie auch der Tastkonfiguration selber (siehe 8).
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Für die Berechnung
dieser elastischen Verformung werden erfindungsgemäß finite
elastische Elemente eingeführt,
mit denen sich die Verformung elastischer Systeme unter äußerer statischer
Belastung beschreiben läßt. Hierduch
lassen sich auf dieser Grundlage überschaubare analytische Modellgleichungen
für die
Korrektur der Verformung ableiten, deren Koeffizienten sich mittels
Bestfit-Rechnungen aus einer Anzahl von Stellungen sowie Verformungs-
und Belastungszuständen
bestimmen lassen. Das Ersatzmodell soll hierbei anhand von 8 bis 10 erläutert werden. Wie aus der rein
schematischen Prinzipskizze gemäß 8 ersehen werden kann, sind
die finiten Elemente (17) und (18) hier in dieser
besonders vorteilhaften Ausgestaltung an den Stellen angesetzt,
an denen die drehbar miteinander verbundenen Bauteile (1)
und (2) oder (2) und (3) aneinanderstoßen, also
an der Stelle, an der die Hirth-Verzahnungen (6,7)
sitzen (vgl. 1 und 2). Diese finiten Elemente
(17,18) können
vereinfacht als Gummischeiben vorgestellt werden, die die Teile
(1) und (2) oder (2) und (3)
elastisch miteinander verbinden.
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Das
Modell geht hierbei von der Annahme aus, daß sich die Verformung als räumliche
Verschiebung und Drehung zwischen den gelenkig miteinander verbundenen
Bauteilen (
1) und (
2) bezüglich des Drehgelenkes (
15)
und den Bauteilen (
2) und (
3) bezüglich des.
Drehgelenkes (
14) beschreiben läßt, während die anderen Komponenten,
wie die Bauteile (
1), (
2) und (
3) der
Dreh-Schwenkeinrichtung, der Taststift (
11), der Tastkopf
(
4) und die Tastkopfverlängerung (
19) als vollkommen
starr angenommen werden. Der Gesamtfehler kann dann aus einer Überlagerung
der Korrekturen des starren Modells, wie oben in Gleichung 1 oder
der Gleichung 3 beschrieben und der Korrektur der elastischen Biegefehler,
wie hier beschrieben, berechnet werden. Beschreibt man den Verformungskonekturvektor,
um den sich das Gelenk (
15) verformt als
und
den Verformungskonekturvektor, um den sich das Gelenk (
14)
verformt als
,
so ergibt bei Kombination mit Gleichung 3 folgende Gleichung:
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Es
versteht sich, daß Gleichung
6 besonders vorteilhaft ist, weil neben der Verformung gleichzeitig auch
Winkelpositionsabweichungen, radiale Laufabweichungen, Axialverschiebungen
und Taumelfehler der Drehgelenke (
14) und (
15)
korrigiert werden, wie oben ausgeführt. Natürlich können die Verformungskorrekturvektoren
(
)
und (
)
genauso gut mit Gleichung 1 kombiniert werden, beispielsweise dann,
wenn eine kontinuierlich verdrehbare Dreh-Schwenkeinheit verwendet
wird, deren Drehgelenke nur sehr geringe Fehler der bezeichneten
Art haben. Gleichfalls können
die Verformungskorrekturvektoren (
)
und (
)
auch völlig
separat berechnet werden.
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Damit
läßt sich,
wie
9 dies zeigt, ein
finites Element mathematisch so behandeln, als ob im Zentrum K eines
solchen finiten Elementes
17 oder
18 nur ein Kraftvektor
und
ein Momentenvektor
angreifen würde, wobei
der Kraftvektor
und
der Momentenvektor (
)
durch die äußere Belastung,
also die Gewichtskräfte
der Tastkonfiguration und ggf. durch die Meßkräfte erzeugt werden. Dieses
Modell setzt voraus, daß das elastische
Zentrum (K) des finiten Elementes mit seiner Lage und seiner Orientierung
im Raum sowie mit seinen elastischen Parametern die elastischen
Eigenschaften der verformten Bauteile enthält. Außerdem muß die Verformung linear abhängig von
den Belastungen sein und proportional zu den im elastischen Zentrum
(K) wirkenden Kräften
und Momenten. Es muß weiterhin
das Superpositionsprinzip gelten. Das finite Element reagiert auf
den Kraftvektor
und
den Momentenvektor
mit
einem Verformungskorrekturvektor (
),
der sich aus einem Translationsvektor
und
einem Rotationsvektor
zusammensetzt.
Der Verformungskorrekturvektor
kann
wie folgt bestimmt werden:
Wobei (N) die Nachgiebigkeitsmatrix
ist, die als Hypermatrix die Nachgiebigkeitsmatrizen (N
11)
bis (N
22) enthält. Übersichtlich geschrieben bedeutet
dies für
den Translationsvektor (
)
und den Rotationsvektor (
)
folgendes:
In dieser Gleichung bedeuten
die Nachgiebigkeitsmatrizen (N
11) bis (N
22) folgendes:
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- N11 = Translation infolge des im
elastischen Zentrum (K) wirkenden Kraftvektors
- N12 = Translation infolge des im elastischen
Zentrum (K) wirkenden Momentenvektors
- N21 = Rotation infolge des im elastischen
Zentrum (K) wirkenden Kraftvektors
- N22 = Rotation infolge des im elastischen
Zentrum (K) wirkenden Momentenvektors
-
Die
Nachgiebigkeitsmatrix wird dabei in den Koordinaten (x
K,
y
K, z
K) des elastischen
Zentrums (K) definiert und muß in
das aktuelle Gerätekoordinatensystem
(X
G,Y
G,Z
G) transformiert werden. Am realen System wirkt,
wie dies an der rein schematischen Prinzipskizze gemäß
10 ersichtlich ist, als äußere Belastung
das Eigengewicht der Tastkonfiguration, wie beispielsweise des Tastkopfes
(
4) nach der allseits bekannten Formel
im Schwerpunkt (S). Das
Eigengewicht bewirkt demzufolge den Momentenvektor (
)
aus dem Kraftvektor
und
dem Abstandsvektor
zwischen
dem elastischen Zentrum (K) und dem Schwerpunkt (S) nach der
-
-
Der
Verformunaskorrekturvektor
um
den der Mittelpunkt (P) der Tastkugel (
12) infolge der
Verformung verschoben wird ergibt sich dann aus der Überlagerung
von räumlicher
-
Verschiebung
gemäß dem Translationsvektor
und
der Drehug gemäß dem Rotationsvektor
wie folgt:
wobei
der Vektor
der
Abstandsvektor zwischen dem elastischen Zentrum (K) und dem Mittelpunkt
(P) der Tastkugel (
12) ist. Wie sich dies zusammensetzt
wird an
10 deutlich.
Hierin ist der Vektor
als Vektor
dargestellt.
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Wählt man
hierbei das Koordinatensystem so, daß der Kraftvektor
im
elastischen Zentrum K alleine eine Translation verursacht und der
Momentenvektor
im
elastischen Zentrum (K) alleine eine Rotation verursacht, so können die
Untermatrizen (N
12) und (N
21)
durch Nullmatrizen ersetzt werden. Bei großen Längen des Abstandsvektors
und
damit auch des Abstandsvektors
und
hoher translatorischer Steifigkeit des elastischen Ersatzelementes
kann der Translationsvektor
und
demzufolge auch die Nachgiebigkeitsmatrix (N
11) vernachlässigt werden.
Bei entsprechender Wahl des Koordinatensystems (X
K,Y
K,Z
K) der finiten
elastischen Elemente werden die Koeffizienten außerhalb der Hauptdiagonalen
der Nachgiebigkeitsmatrizen (N
ij) Null.
Mit diesen Vereinfachungen gilt nunmehr folgende Gleichung: Gleichung
12
Die ursprünglich 36 Koeffizienten der
Hypermatrix (N) sind damit auf drei rotatorische Nachgiebigkeitskoeffizienten
reduziert worden und die verbleibende Matrix lautet dann: Gleichung
13
In dieser Matrix N
22 bedeuten (Φ
1, Φ
2) die Nachgiebigkeit für die Kippung um die x- und
y-Achse (X
K,Y
K) des Koordinatensystems
der finiten Elemente und (Φ
3) die Rotation um die z-Achse (Z
K).
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Die
Verformungskorrekturverktoren
)
und (
)
werden also gemäß Gleichung
12 separat für
jedes der finiten Elemente (
17,
18) berechnet.
Wie bereits eingangs erwähnt
ist die Wahl der Anzahl der finiten Elemente (
17,
18)
sowie deren Lage hier zwar bezogen auf die hier gezeigte Dreh-Schwerilceinrichtung
besonders vorteilhaft. Prinzipiell sind sowohl Anzahl, wie auch
Lage der finiten Elemente frei wählbar.
Es reicht beispielsweise auch ein einziges finites Element. Auch
die Lage ist variabel. Soll beispielsweise die elastische Verformung
des horizontal ausgerichteten Meßarms eines Ständermeßgerätes und/oder
der Anbindung der Dreh-Schwenkeinrichtung an den Meßarm erfaßt werden,
so sollte das finite Element (
18) weiter in Richtung auf
den Meßarm
zu verschoben werden.
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Um
bei einer neu an der Dreh-Schwenkeinrichtung aufgenommenen Tastkonfiguration
die Parameter der Nachgiebigkeitsmatrix (N
22)
sowohl für
das Gelenk (
14) wie auch für das Gelenk
15 zu
ermitteln wie auch den Vektor
vom
Mittelpunkt (P) der Tastkugel (
12) zum Punkt (B) zu ermitteln,
müssen
wenigstens 8 Kalibrierungen in unterschiedlichen Drehstellungen
der Drehgelenke (
14) und (
15) am Kalibriernormal
des Koordinatenmeßgerätes vorgenommen
werden. Häufig
müssen
jedoch im Meßalltag
Tastkonfigurationen, beispielsweise der Taststift oder die Tastkopfverlängerung
ausgetauscht werden. Wird die selbe Tastkonfiguration zu einem späteren Zeitpunkt
wieder verwendet, so müssen
o.g. Parameter erneut bestimmt werden, was relativ zeitaufwendig
ist. Geht man davon aus, daß bei
einem erneuten Einwechseln ein und derselben Tastkonfiguration die elastischen
Eigenschaften der Tastkonfiguration und damit die Parameter der
Nachgiebigkeitsmatrix (N
22) nahezu unverändert bleiben,
so reicht es aus in diesem Falle nur den Vektor
zu
bestimmen, sodaß prinzipiell nur
eine einzige Kalibrierung am Kalibriernormal ausreichen würde.
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Besonders
vorteilhaft kann dieses Verfahren bei der Kalibrierung von Sterntaststiften
eingesetzt werden. 11 zeigt
diesbezüglich
eine Prinzipskizze, bei der von der aus
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1 gezeigten Dreh-Schwenkeinheit
lediglich das Bauteil (
3) zu sehen ist, an das sich eine
Tastkopfverlängerung
(
19) mit Tastkopf (
4) und einem Sterntaststift
(
21) anschließt.
Geht man davon aus, daß bezüglich aller
Tastkugeln (
20a,
20b,
20c) des Sterntaststiftes
(
21) näherungsweise
dieselben Biegeparameter vorliegen, so reicht es aus nur für eine der
Tastkugeln (
20a,
20b,
20c) die Parameter
der Nachgiebigkeitsmatrix (N
22) zu bestimmen.
Für die
anderen Tastkugeln (
20a,
20b,
20c) braucht
dann nur noch der Vektor
bestimmt zu
werden.