DE102020215543A1 - Verfahren zum Bestimmen von Simulationsdaten - Google Patents

Abstract

Verfahren (100) zum Bestimmen von Simulationsdaten umfassend die Schritte: Bereitstellen (110) einer Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl x an Simulations-Zeitreihen (Xo) und Bereitstellen (110) einer Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl y an Referenz-Zeitreihen (Yo); Bestimmen (120) eines ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und Bestimmen (120) eines zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei einem Gauß‘schen Zufallsprozess ein Mittelwert und eine Kovarianzmatrix zugeordnet ist; Berechnen (130) eines Modellfehlers anhand der 2-Wassersteindistanz zwischen dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess und dem zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess über den euklidischen Abstand der Mittelwerte des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Spur der Kovarianzmatrizen des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses, und Bestimmen (140) einer Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen (X_v) durch Integrieren (150) des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess.

Description

• Stand der Technik
• Die Offenbarung betrifft ein Verfahren zum Bestimmen von Simulationsdaten.
• Üblicherweise werden zum Validieren eines Simulationsmodells an bestimmten Punkten im Parameterraum des Simulationsmodells - den sogenannten Validierungspunkten - Referenzdaten gesammelt. Diese Referenzdaten stammen in der Regel aus realen Validierungsexperimenten oder aus Simulationsläufen eines hochgenauen Referenzmodells. An den Validierungspunkten kann ein sogenannter Modellformfehler, engl. model form error, berechnet werden, eine Größe, die die Abweichung zwischen dem Simulationsmodell und der Referenz, anzeigt.
• Bei der Validierung eines zeitvariablen Simulationsmodells kann eine Abweichung zwischen Simulationsmodell und Referenzmodell quantifiziert werden, indem Signalmetriken für die zeitvariablen Simulationsdaten und eine statistische Metrik wie der Wasserstein-Abstand verwendet werden.
• Im Allgemeinen erfordert die Verwendung des Simulationsmodells notwendigerweise, dass es an Punkten ausgeführt wird, an denen das Simulationsmodell nicht durch Vergleich von gemessenen und simulierten Daten validiert wurde.
• Um den Einfluss des Modellformfehlers dennoch berücksichtigen zu können, ist es für skalare Simulationsdaten bereits bekannt, Simulationsdaten zu konstruieren, die entsprechend den Referenzdaten von den ursprünglichen Simulationsdaten abweichen.
• Zum Validieren von skalaren Signalen ist beispielsweise ein Validierungsframework basierend auf der sogenannten Area Validation Metric, beispielsweise beschrieben in Oberkampf, William L. and Christopher J. Roy. Verification and validation in scientific computing. Cambridge University Press, 2010, und in Oberkampf, William L. and Christopher J. Roy. A comprehensive framework for verification, validation, and uncertainty quantification in scientific computing. Computer methods in applied mechanics and engineering, 200(25-28), 2131-2144. 2011, bekannt. Üblicherweise werden sowohl die Simulationsergebnisse als auch die Referenzmessungen, bei denen es sich idealerweise um reale Experimente handelt, als Ziehungen aus zwei verschiedenen Zufallsverteilungen aufgefasst. Das heißt, dass sowohl für die Simulation als auch für die Referenz aus den Daten eine (empirische) Verteilungsfunktion, engl. Cumulative distribution function, CDF, erstellt wird. Der Grund dafür ist, dass die Referenzsignale beispielsweise aus realen Messungen oder aus einem Referenzmodell stammen und daher üblicherweise eine natürliche Variabilität aufweisen. Beispielweise können verschiedene Parameter bei verschiedenen Durchläufen einer Messung variieren. Unabhängig davon, wie gut man versucht, alle Parameter einer Messung zu kontrollieren, werden einige von ihnen bei jedem Durchlauf der Messung variieren. Geht man von einem deterministischen Simulationsmodell aus, würde die Simulation bei festen Parametern immer das gleiche Ergebnis liefern. Daher wird das Experiment in der Simulation neu modelliert, indem einige der Parameter zufällig variiert und die Ergebnisse aufgezeichnet werden. Wenn diese Parameter, die als aleatorische Parameter bezeichnet werden, in der richtigen Weise verteilt sind, wird der jeweilige Simulationsdatensatz dem jeweiligen korrespondierenden Referenzdatensatz sehr ähnlich sein, sofern das Simulationsmodell die relevanten Effekte korrekt wiedergibt. Mathematisch gesehen entspricht der Vergleich zwischen Simulation und Referenz somit der Berechnung des Abstands zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden dazu mit einer Metrik, beispielsweise der Area Validation Metric, für Verteilungsfunktionen miteinander verglichen. Bei der Area Validation Metric wird die Fläche zwischen den beiden Verteilungsfunktionen als Maß für die Nichtübereinstimmung der beiden Verteilungen herangezogen.
• Um den Einfluss des Modellformfehlers berücksichtigen zu können, wird an Punkten, an denen kein Validierungsexperiment durchgeführt wurde, um den skalaren Modellformfehler an diesen Punkten zu schätzen, ein Metamodell angewendet, das den Modellformfehler extrapoliert. Dieser extrapolierte Fehler wird dann an diesen Punkten zu den Simulationsdaten hinzugefügt. Dieses Verfahren wird auch als Modellformfehler-Aktualisierung bezeichnet.
• Das bekannte Verfahren, insbesondere die Flächenvalidierungsmetrik, ist im mehrdimensionalen Fall nicht anwendbar. Daher steht insbesondere für Zeitreihen-Signale kein Verfahren zur Verfügung, mit dem es möglich ist, den Modellformfehler in den Simulationsdaten zu berücksichtigen.
• Die Aufgabe der vorliegenden Offenbarung ist es daher ein Verfahren bereitzustellen, dass die Berücksichtigung des Modellformfehlers in Zeitreihen-Simulationssignalen ermöglicht.
• Offenbarung der Erfindung
• Eine Ausführungsform betrifft ein Verfahren zum Bestimmen eines Simulationsmodells umfassend die Schritte:
• Bereitstellen einer Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl x an Simulations-Zeitreihen und Bereitstellen einer Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl y an Referenz-Zeitreihen;
• Bestimmen eines ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und Bestimmen eines zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei einem Gauß‘schen Zufallsprozess ein Mittelwert und eine Kovarianzmatrix zugeordnet ist;
• Berechnen eines Modellfehlers anhand der 2-Wassersteindistanz zwischen dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess und dem zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess über den euklidischen Abstand der Mittelwerte des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Spur der Kovarianzmatrizen des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses, und
• Bestimmen einer Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Integrieren des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess.
• Eine jeweilige Simulations-Zeitreihe und eine jeweilige Referenz-Zeitreihe wird jeweils als ein n-dimensionaler Vektor bereitgestellt, wobei n der Anzahl der aufgezeichneten Zeitschritte entspricht.
• Die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst eine Anzahl x an Simulations-Zeitreihen und die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst eine Anzahl y an Referenz-Zeitreihen mit x, y ∈ ℕ und x, y > 1.
• Für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung wird ein erster Gauß‘scher Zufallsprozess und für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung wird ein zweiter Gauß‘scher Zufallsprozess bestimmt. Bei dem ersten und dem zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess handelt es sich um multivariate Normalverteilungen. Jedem Gauß‘schen Zufallsprozess ist dabei ein Mittelwert und eine Kovarianzmatrix zugeordnet: $$G{P}_i\sim N\left(m_i,{\mathrm{\Sigma }}_i\right)$$

  

  mit Mittelwert m_i ∈ ℝⁿ und Kovarianzmatrix Σ_i ∈ ℝ^n×n.
• Die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung wird also durch den ersten Gauß‘schen Zufallsprozess mit $$X_0\approx N\left(m_X,{\mathrm{\Sigma }}_X\right)$$

  

  und für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung durch den zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess mit $$Y_0\approx N\left(m_Y,{\mathrm{\Sigma }}_Y\right)$$

  

  dargestellt.
• Das Berechnen eines Modellfehlers zwischen dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess und dem zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess erfolgt anhand der 2-Wassersteindistanz. Grundsätzlich kann zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei einzelnen Zeitreihen über ein Zeitintervall [0, T], die an n Punkten innerhalb dieses Intervalls aufgezeichnet wurden, der normierte euklidische Abstand, auch als RMSE, root mean square error, -Metrik $$d\left(x,y\right)=n^{-\frac{1}{2}}{\Vert x-y\Vert }_2$$

  

  bekannt, als Basisabstand verwendet werden. Der normierte euklidische Abstand approximiert den integralen L₂-Abstand auf dem Intervall [0, T] für eine große Anzahl n an Zeitschritten. Dieser Basisabstand wird zur Konstruktion der 2-Wassersteindistanz verwendet.
• Für normalverteilte Gauß‘sche Zufallsprozesse GP_i~N(m_i,∑_i) mit Mittelwert m_i ∈ ℝⁿ und positiv definiter, insbesondere invertierbarer, Kovarianzmatrix Σ_i ∈ ℝ^n×n gilt für die 2-Wassersteindistanz, und damit für den Modellformfehler ε mit ${\epsilon }^2=W_2^2\left(X_0,Y_0\right),$

  

  $$W_2^2\left(G{P}_1,G{P}_2\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_1-m_2\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_2-2{\left({\mathrm{\Sigma }}_1{\mathrm{\Sigma }}_2\right)}^{\frac{1}{2}}\right),$$

  

  im Folgenden Formel (1) genannt.
• Hier bezeichnet tr die Spur einer Matrix. Dies ist beispielsweise in Malag, L., Montrucchio, L. and Pistone, G. Wasserstein Riemannian geometry of positive definite matrices. arXiv preprint arXiv:1801.09269, 2019 beschrieben.
• Der Modellformfehler wird also über den euklidischen Abstand der Mittelwerte des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Spur der Kovarianzmatrizen des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses berechnet.
• Wenn die beiden Kovarianzmatrizen ∑₁ und Σ₂ kommutierbar sind, gilt die Vereinfachung $$tr({\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_2-2{\left({\mathrm{\Sigma }}_1{\mathrm{\Sigma }}_2\right)}^{\frac{1}{2}}=tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}-{\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}\right)}^2\right),$$

  

  und damit $$W_2^2\left(G{P}_1,G{P}_2\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_1-m_2\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}\mathrm{-}{\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}\right)}^2\right),$$

  

  im folgenden Formel (2) genannt.
• Für den berechneten Modellformfehler ε ≥ 0 und die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung X₀ wird eine Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen {X_v | v ∈ I} bestimmt, für die gilt, dass ihre Abstände zu X₀ kleiner oder gleich dem Modellformfehler ε sind.
• Die Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen X_v wird bestimmt durch Integrieren des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess. Die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Familie erfüllen dann die Bedingung, dass ihr Abstand zur Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung X₀ kleiner oder gleich dem Modellformfehler ε ist.
• Gemäß einer Ausführungsform ist vorgesehen, dass das Bestimmen des ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und/oder das Bestimmen des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem Schätzverfahren basiert. Das heißt, aus der Menge der Simulations-Zeitreihen, die sich aus der Simulation ergeben, wird ein Gauß‘scher Zufallsprozess geschätzt, der der Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung am besten entspricht. Für die Referenzdaten kann entsprechend verfahren werden.
• Gemäß einer alternativen oder ergänzenden Ausführungsform kann vorgesehen sein, dass das Bestimmen des ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und/oder das Bestimmen des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, auf einem maschinellen Lernverfahren basiert.
• Die konkreten Verfahren, welche hierbei angewandt werden können, hängen von der Zahl der verfügbaren Zeitreihen, x und y, ab. Für eine große Zahl an Zeitreihen ist es vorteilhaft, die Parameter des Gauß‘schen Prozesses, Mittelwert und m_i und Kovarianzmatrix Σ_i empirisch zu schätzen, analog zu einem Schätzverfahren im Falle einer eindimensionalen Normalverteilung. Für x<n oder y<n ist die Kovarianzmatrix nicht mehr notwendigerweise invertierbar und es kommt vorteilhafterweise ein „Shrinkage“-Verfahren oder eine sogenannte Gaußprozess-Regression zum Einsatz. Letzteres Verfahren benötigt mehr a priori Annahmen über die Verteilung des Prozesses, kann aber im Gegenzug mit sehr wenigen Zeitreihen, insbesondere mit x=1 oder y=1 zu Recht kommen. Diese Gauß‘sche Regression ist im Bereich des Machine Learnings bekannt.
• Es kann sich als vorteilhaft erweisen, wenn heteroskedastische Gauß‘sche Zufallsprozesse in der Regression verwendet werden.
• Im Folgenden werden verschiedene Varianten zum Integrieren des Modellformfehlers in den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess vorgeschlagen. Vorteilhafterweise kann das Verfahren dadurch an verschiedene Anwendungsfälle angepasst werden.
• Gemäß einer Ausführungsform ist vorgesehen, dass das Integrieren des Modellformfehlers in den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess ein Aktualisieren des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses umfasst.
• Für einen Modellfehler mit dem Wert ε ≥ 0 wird eine Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter Verwendung eines Vektors v ∈ ℝⁿ bestimmt, in dem der Mittelwert des Gauß‘schen Zufallsprozess aktualisiert wird. Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess kann in diesem Fall dargestellt werden als $$X_v\sim N\left(m_X+\epsilon v,{\mathrm{\Sigma }}_X\right).$$

  
• Solange gilt, dass ${\Vert v\Vert }_2\le \sqrt{n}$

  

  ist, gilt dass jede Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess X_v repräsentiert wird, zu dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess X₀ einen Abstand kleiner oder gleich dem Modellfehler ε hat. Das kann gezeigt werden mit $$W_2^2\left(X_v,X_0\right)=\frac{1}{n}{\Vert \left(m_X-\epsilon v\right)-m_X\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\mathrm{\Sigma }}_X+{\mathrm{\Sigma }}_X-2{\left({\mathrm{\Sigma }}_X{\mathrm{\Sigma }}_X\right)}^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{{\epsilon }^2}{n}{\Vert v\Vert }_2^2\le {\epsilon }^2.$$

  
• Das Aktualisieren des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozess erfolgt in diesem Fall durch Subtrahieren oder Addieren eines Offsets zum Mittelwert. Dies entspricht prinzipiell einem Vektor v, bei dem alle Komponenten gleich sind und der absolute Wert der Komponenten kleiner oder gleich eins ist. Fallweise kann diese Wahl zu nicht sehr realistischen Ergebnissen führen. In diesen Fällen kann es sich dann als vorteilhaft erweisen, den Mittelwert so anzupassen, dass dieser dem Mittelwert der Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht oder zumindest annähernd entspricht. Dies kann erreicht werden durch einen Vektor v mit $$v=\frac{\sqrt{n}\left(m_Y-m_X\right)}{{\Vert m_Y-m_X\Vert }_2}.$$

  
• Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess X_v weist dann eindeutig einen Modellformfehler auf, der ε entspricht. Da der Modellformfehler in diesem Fall nur auf verschiedene Mittelwerte zurückzuführen ist, d.h. für die Kovarianzmatrizen gilt Σ_X = Σ_Y, gilt $$\epsilon =n^{-1/2}{\Vert m_Y-m_X\Vert }_2.$$

  
• In diesem Fall entspricht der aktualisierte Mittelwert mit m_x + εv = m_Y tatsächlich genau dem Mittelwert des zweiten Gauß‘schen Prozess, der die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung repräsentiert. Für generelle Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilungen Y entspricht der Mittelwert des derartig aktualisierten Gauß‘schen Prozesses dem Mittelwert m_Y am besten und hat gleichzeitig den richtigen Modellformfehler.
• Gemäß einer Ausführungsform kann es sich weiter als vorteilhaft erweisen, wenn das Aktualisieren des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses das Integrieren eines numerischen Fehlers umfasst. Dies kann insbesondere dann vorteilhaft sein, wenn es sich bei der Zeitreihe um die Lösung einer Differentialgleichung, d.h. einer numerischen Integration, handelt. In diesem Fall ist zu erwarten, dass sich der Modellfehler über die Zeit akkumuliert. In diesem Fall erweist es sich als vorteilhaft Vektoren v zu verwenden, deren Komponenten, die die Zeitschritte repräsentieren, linear wachsen, mit $v_k=\frac{2k}{n+1},$

  

  , denn dann gilt $${\Vert v\Vert }_2^2={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left(v_k\right)}^2}=\frac{2}{n+1}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}=\frac{2}{n-1}\frac{n\left(n+1\right)}{2}=n$$

  
• Infolgedessen stellt der aktualisierte Gauß‘sche Prozess mit dem Mittelwert m_x + εv ein Signal mit einem Modellformfehler dar, der typisch für Lösungen von Differentialgleichungen ist.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform kann es sich als vorteilhaft erweisen, wenn das Integrieren des Modellformfehlers ein Aktualisieren der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses umfasst. In solch einem Fall unterscheidet sich der aktualisierte Gauß‘sche Prozess von der ursprünglichen Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung X₀ nicht durch einen anderen Mittelwert, sondern durch die Varianz.
• Dabei kann es sich als vorteilhaft erweisen, wenn die Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses aktualisiert wird, und der Mittelwert und die Kovarianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses beibehalten werden. Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess kann in diesem Fall dargestellt werden als $$X_V\sim N\left(m_X,{\left({\Sigma }_X^{\frac{1}{2}}+\epsilon V\right)}^2\right).$$

  
• In diesem Fall wird für den Vektor v₀ = (1,1,..., 1) die Diagonalmatrix V := diag(v₀) definiert. Dieser Vektor hat die Norm ${\Vert v_0\Vert }_2=\sqrt{n}.$

  

  Weiter gilt, dass ${\mathrm{\Sigma }}_X^{1/2}+\epsilon V$

  

  immer noch positiv definit ist, weil dies für Σ_X gilt. Weiter gilt Σ_xV = VΣ_x und somit ist die Summe ${\mathrm{\Sigma }}_x^{1/2}+\epsilon V$

  

  mit Σ_x kommutierbar.
• Aus diesem Grund kann zum Berechnen der 2-Wassersteindistanz zwischen dem aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess und dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess die vereinfachte Formel (2) verwendet werden. Daraus folgt, dass jede Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess X_V repräsentiert wird, zu dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess X₀ einen Abstand gleich dem Modellfehler ε hat, weil $$\begin{array}{l}{W}_2^2\left(X_0,X_V\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_X-m_X\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_X{}^{\frac{1}{2}}-\left({\mathrm{\Sigma }}_X{}^{\frac{1}{2}}+\epsilon V\right)\right)}^2\right)=\frac{1}{n}tr\left({\epsilon }^2{V}^2\right)\\ =\frac{{\epsilon }^2}{n}{\Vert v_0\Vert }_2^2={\epsilon }^2.\end{array}$$

  
• Weiter kann es sich als vorteilhaft erweisen, wenn das Aktualisieren der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses durch Skalieren der Kovarianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses erfolgt. In diesem Fall wird die Kovarianz skaliert mit (1 + δ)², wobei δ gewählt wird zu $$\delta :=\epsilon \sqrt{\frac{n}{tr\left({\mathrm{\Sigma }}_X\right)}}.$$

  
• Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess kann in diesem Fall dargestellt werden als $$X_{\delta }\sim N\left(m_X,{\left(1+\delta \right)}^2{\mathrm{\Sigma }}_X\right).$$

  
• Die 2-Wassersteindistanz des aktualisierten Gauß‘schen Prozess zu dem ersten Gauß‘schen Prozess der Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht dem Modellformfehler ε. Dies lässt sich folgendermaßen darstellen: $$W_2^2\left(X_0,X_{\delta }\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_X-m_X\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_X^{\frac{1}{2}}-\left(1+\delta \right){\mathrm{\Sigma }}_X^{\frac{1}{2}}\right)}^2\right)=\frac{{\epsilon }^2}{n}\left({\mathrm{\Sigma }}_X\right)={\epsilon }^2$$

  
• Auch in diesem Fall kann die Formel (2) verwendet werden, weil (1 + 5)²∑_X mit der Kovarianzmatrix Σ_X kommutierbar ist.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist vorteilhafterweise vorgesehen, dass das Integrieren des Modellformfehlers in den ersten Gauß‘schen Zufallsprozessdurch Aktualisieren des Mittelwerts und der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses erfolgt. Es wird in diesem Fall also vorgeschlagen, das Aktualisieren des Mittelwerts und der Varianz zu kombinieren. Für jedes α ∈ [0,1] kann aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess in diesem Fall dargestellt werden als $$X_{\alpha }\sim N\left(m_X+{\left(1-\alpha \right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon w,{\left({\mathrm{\Sigma }}_X^{\frac{1}{2}}+{\alpha }^{\frac{1}{2}}\epsilon V\right)}^2)\right).$$

  
• Für den Vektor v₀ = (1,1,..., 1) wird die Diagonalmatrix V := diag(v₀) definiert. Der Vektor w ist ein beliebiger Vektor w mit der Norm ${\Vert w\Vert }_2=\sqrt{n}.$

  

  Unter Verwendung der Ergebnisse der Absätze zum Aktualisieren des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses und zum Aktualisieren der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses gilt: $$W_2^2\left(X_0,X_{\alpha }\right)=\frac{\left(1-\alpha \right)}{n}{\epsilon }^2{\Vert w\Vert }_2^2+\frac{\alpha }{n}{\epsilon }^2{\Vert v_0\Vert }_2^2=\frac{{\epsilon }^2}{n}\left({\mathrm{\Sigma }}_X\right)={\epsilon }^2.$$

  
• Weitere Ausführungsformen betreffen die Verwendung von Simulationsdaten, insbesondere eine Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die mit einem Verfahren gemäß den Ausführungsfahren bestimmt wurden, zum Validieren eines Simulationsmodells eines technischen Systems, insbesondere Software, Hardware oder ein eingebettetes System, insbesondere in der Entwicklung des technischen Systems.
• Das Simulationsmodell ist beispielsweise ein HiL, Hardware in the Loop, - oder ein SiL, Software in the Loop, - Simulationsmodell. Das Simulationsmodell dient in diesem Fall als Nachbildung der realen Umgebung des technischen Systems. HiL und SiL sind Methoden zum Testen von Hardware und eingebetteten Systemen oder Software, beispielsweise zur Unterstützung während der Entwicklung sowie zur vorzeitigen Inbetriebnahme. Mit der Verwendung des Verfahrens zum Validieren eines Simulationsmodells eines technischen Systems, insbesondere Software, Hardware oder ein eingebettetes System, insbesondere in der Entwicklung des technischen Systems kann beispielsweise eine simulationsbasierte Freigabe unterstützt werden.
• Bei dem technischen System handelt es sich beispielsweise um Software, Hardware oder ein eingebettetes System. Bei dem technischen System handelt es sich insbesondere um ein technisches System, beispielsweise ein Steuergerät oder eine Software für ein Steuergerät, für ein Kraftfahrzeug, insbesondere für ein autonomes oder teilautonomes Kraftfahrzeug. Insbesondere im Kraftfahrzeugbereich umfassen Simulationsmodelle häufig mehrdimensionale Signale.
• Anhand des offenbarten Verfahrens zum Bestimmen der Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Integrieren des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess wird der Modellformfehler bereits beim Validieren des Simulationsmodells des technischen Systems in der Entwicklung des technischen Systems miteinbezogen. Das offenbarte Verfahren kommt insbesondere bei zeitlich veränderlichen beziehungsweise zeitabhängigen Systemen zum Einsatz. Durch Bestimmen des Modellformfehlers kann der Zeitfehler zu propagiert und die Auswirkung auf die Gesamtleistung analysiert werden. Dies wird besonders im Zusammenhang mit dem autonomen Fahren von Bedeutung sein, wo zuverlässige SiL-Systeme unerlässlich sind. Darüber hinaus wird die kann das Verfahren bei der Validierung komplexer Fahrzeug- und Antriebsstrangsimulationen von Nutzen sein.
• Weitere Merkmale, Anwendungsmöglichkeiten und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus der nachfolgenden Beschreibung von Ausführungsbeispielen der Erfindung, die in den Figuren der Zeichnung dargestellt sind. Dabei bilden alle beschriebenen oder dargestellten Merkmale für sich oder in beliebiger Kombination den Gegenstand der Erfindung, unabhängig von ihrer Zusammenfassung in den Patentansprüchen oder deren Rückbeziehung sowie unabhängig von ihrer Formulierung bzw. Darstellung in der Beschreibung bzw. in der Zeichnung.
• In der Zeichnung zeigt:
• 1 Aspekte eines computerimplementierten Verfahrens in einer schematischen Darstellung,
• 2a bis 2d verschiedene Darstellungen von Simulationsdaten und Referenzdaten;
• 3 Aspekte einer Verwendung des computerimplementierten Verfahrens aus 1 in einer schematischen Darstellung.
• 1 zeigt schematisch Schritte eines Verfahrens 100 zum Bestimmen von Simulationsdaten.
• Das Verfahren 100 umfasst einen Schritt 110 zum Bereitstellen einer Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl x an Simulations-Zeitreihen X₀ und Bereitstellen einer Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl y an Referenz-Zeitreihen Y₀. Eine jeweilige Simulations-Zeitreihe und eine jeweilige Referenz-Zeitreihe wird jeweils als ein n-dimensionaler Vektor bereitgestellt, wobei n der Anzahl der aufgezeichneten Zeitschritte entspricht.
• Die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst eine Anzahl x an Simulations-Zeitreihen und die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst eine Anzahl y an Referenz-Zeitreihen mit x, y ∈ ℕ und x, y > 1.
• Das Verfahren 100 umfasst einen Schritt 120 zum Bestimmen eines ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und Bestimmen eines zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei einem Gauß‘schen Zufallsprozess ein Mittelwert und eine Kovarianzmatrix zugeordnet ist. Bei dem ersten und dem zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess handelt es sich um multivariate Normalverteilungen. Jedem Gauß‘schen Zufallsprozess ist dabei ein Mittelwert und eine Kovarianzmatrix zugeordnet: $$G{P}_i\sim N\left(m_i,{\mathrm{\Sigma }}_i\right)$$

  

  mit Mittelwert m_i ∈ ℝⁿ und Kovarianzmatrix Σ_i ∈ ℝ^n×n.
• Die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung wird also durch den ersten Gauß‘schen Zufallsprozess mit $$X_0\approx N\left(m_X,{\mathrm{\Sigma }}_X\right)$$

  

  und für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung durch den zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess mit $$Y_0\approx N\left(m_Y,{\mathrm{\Sigma }}_Y\right)$$

  

  dargestellt.
• Das Bestimmen 120 des ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und/oder das Bestimmen 120 des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem Schätzverfahren basiert. Das heißt, aus der Menge der Simulations-Zeitreihen, die sich aus der Simulation ergeben, wird ein Gauß‘scher Zufallsprozess geschätzt, der der Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung am besten entspricht. Für die Referenzdaten kann entsprechend verfahren werden. Bei einer genügend großen Anzahl x an Simulations-Zeitreihen und/oder Anzahl y an Referenz-Zeitreihen der Mittelwert und die Kovarianz des jeweiligen Gauß‘schen Zufallsprozess empirisch geschätzt werden.
• Gemäß einer alternativen oder ergänzenden Ausführungsform kann vorgesehen sein, dass das Bestimmen 120 des ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und/oder das Bestimmen 120 des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, auf einem maschinellen Lernverfahren basiert.
• In 2a sind beispielhaft Werte von drei Simulations-Zeitreihen X₀ und Werte von drei Referenz-Zeitreihen Y₀ mit jeweils zehn aufgezeichneten Zeitschritten als Kreuze dargestellt. Für jede Zeitreihe ist beispielhaft anhand der durchgezogenen Linien eine Zufallsziehung, also jeweils eine Zeitreihe, aus dem geschätzten Gaußprozessdargestellt. Weiter ist beispielhaft anhand der gestrichelten Linien der Mittelwert m_x des ersten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Mittelwert m_y des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses anhand der gestrichelten Linien dargestellt. Die Mittelwerte m_x und m_y wurden beispielsweise anhand mittels Gaußprozess Regression unter Verwendung eines RBF, radiale Basis Funktion, -Kernel, bestimmt.
• In 2b ist ebenfalls für jede Zeitreihe beispielhaft anhand der durchgezogenen Linien eine Zufallsziehung, also jeweils eine Zeitreihe, aus dem geschätzten Gaußprozessdargestellt. Weiter ist beispielhaft anhand der gestrichelten Linien der Mittelwert m_x des ersten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Mittelwert m_y des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses anhand der gestrichelten Linien dargestellt. Die Mittelwerte m_x und m_y wurden empirisch geschätzt.
• Das Verfahren 100 umfasst einen Schritt 130 zum Berechnen eines Modellfehlers anhand der 2-Wassersteindistanz zwischen dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess und dem zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess über den euklidischen Abstand der Mittelwerte des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Spur der Kovarianzmatrizen des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses. Grundsätzlich kann zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei einzelnen Zeitreihen über ein Zeitintervall [0, T], die an n Punkten innerhalb dieses Intervalls aufgezeichnet wurden, der normierte euklidische Abstand, auch als RMSE, root mean square error, -Metrik $$d\left(x,y\right)=n^{-\frac{1}{2}}{\Vert x-y\Vert }_2$$

  

  bekannt, als Basisabstand verwendet werden. Der normierte euklidische Abstand approximiert den integralen L₂-Abstand auf dem Intervall [0, T] für eine große Anzahl n an Zeitschritten. Dieser Basisabstand wird zur Konstruktion der 2-Wassersteindistanz verwendet.
• Für normalverteilte Gauß‘sche Zufallsprozesse GP_i~N(m_i,∑_i) mit Mittelwert m_i ∈ ℝⁿ und positiv definiter, insbesondere invertierbarer, Kovarianzmatrix Σ_i ∈ ℝ^n×n gilt für die 2-Wassersteindistanz, und damit für den Modellformfehler ε mit ${\epsilon }^2=W_2^2\left(X_0,Y_0\right),$

  

  $$W_2^2\left(G{P}_1,G{P}_2\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_1-m_2\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_2-2{\left({\mathrm{\Sigma }}_1{\mathrm{\Sigma }}_2\right)}^{\frac{1}{2}}\right),$$

  
• Auf diese Formel wird in der Offenbarung unter Formel (1) Bezug genommen.
• Der Modellformfehler wird also über den euklidischen Abstand der Mittelwerte des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Spur der Kovarianzmatrizen des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses berechnet.
• Wenn die beiden Kovarianzmatrizen ∑₁ und ∑₂ kommutierbar sind, gilt die Vereinfachung $$tr({\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_2-2{\left({\mathrm{\Sigma }}_1{\mathrm{\Sigma }}_2\right)}^{\frac{1}{2}}=tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}-{\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}\right)}^2\right),$$

  

  und damit $$W_2^2\left(G{P}_1,G{P}_2\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_1-m_2\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}\mathrm{-}{\mathrm{\Sigma }}_1{}^{\frac{1}{2}}\right)}^2\right).$$

  
• Auf diese Formel wird in der Offenbarung unter Formel (2) Bezug genommen.
• Das Verfahren 100 umfasst einen Schritt 140 zum Bestimmen einer Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen X_v durch Integrieren 150 des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess.
• Für den berechneten Modellformfehler ε ≥ 0 und die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung X₀ wird eine Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen {X_v |v ∈ I} bestimmt, für die gilt, dass ihre Abstände zu X₀ kleiner oder gleich dem Modellformfehler ε sind.
• Die Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen X_v wird bestimmt durch Integrieren des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess. Die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Familie erfüllen dann die Bedingung, dass ihr Abstand zur Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung X₀ kleiner oder gleich dem Modellformfehler ε ist.
• Im Folgenden werden verschiedene Varianten zum Integrieren 150 des Modellformfehlers in den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess vorgeschlagen. Vorteilhafterweise kann das Verfahren 100 dadurch an verschiedene Anwendungsfälle angepasst werden.
• Gemäß einer Ausführungsform ist vorgesehen, dass das Integrieren 150 des Modellformfehlers in den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess ein Aktualisieren 150a des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses umfasst.
• Für einen Modellfehler mit dem Wert ε ≥ 0 wird eine Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter Verwendung eines Vektors v ∈ ℝⁿ bestimmt, in dem der Mittelwert des Gauß‘schen Zufallsprozess aktualisiert wird. Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess kann in diesem Fall dargestellt werden als $$X_v\sim N\left(m_X+\epsilon v,{\mathrm{\Sigma }}_X\right).$$

  
• Solange gilt, dass ${\Vert v\Vert }_2\le \sqrt{n}$

  

  ist, gilt dass jede Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess X_v repräsentiert wird, zu dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess X₀ einen Abstand kleiner oder gleich dem Modellfehler ε hat. Das kann gezeigt werden mit $$W_2^2\left(X_v,X_0\right)=\frac{1}{n}{\Vert \left(m_X-\epsilon v\right)-m_X\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\mathrm{\Sigma }}_X+{\mathrm{\Sigma }}_X-2{\left({\mathrm{\Sigma }}_X{\mathrm{\Sigma }}_X\right)}^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{{\epsilon }^2}{n}{\Vert v\Vert }_2^2\le {\epsilon }^2.$$

  
• Das Aktualisieren 150a des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozess erfolgt in diesem Fall durch Subtrahieren oder Addieren eines Offsets zum Mittelwert. Dies entspricht prinzipiell einem Vektor v, bei dem alle Komponenten gleich sind und der absolute Wert der Komponenten kleiner oder gleich eins ist. Fallweise kann diese Wahl zu nicht sehr realistischen Ergebnissen führen. In diesen Fällen kann es sich dann als vorteilhaft erweisen, den Mittelwert so anzupassen, dass dieser dem Mittelwert der Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht oder zumindest annähernd entspricht. Dies kann erreicht werden durch einen Vektor v mit $$v=\frac{\sqrt{n}\left(m_Y-m_X\right)}{{\Vert m_Y-m_X\Vert }_2}.$$

  
• Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess X_v weist dann eindeutig einen Modellformfehler auf, der ε entspricht. Da der Modellformfehler in diesem Fall nur auf verschiedene Mittelwerte zurückzuführen ist, d.h. für die Kovarianzmatrizen gilt Σ_X = Σ_Y, gilt $$\epsilon =n^{-1/2}{\Vert m_Y-m_X\Vert }_2.$$

  
• In diesem Fall entspricht der aktualisierte Mittelwert mit m_x + εv = m_Y tatsächlich genau dem Mittelwert des zweiten Gauß‘schen Prozess, der die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung repräsentiert. Für generelle Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilungen Y entspricht der Mittelwert des derartig aktualisierten Gauß‘schen Prozesses dem Mittelwert m_Y am besten und hat gleichzeitig den richtigen Modellformfehler.
• Gemäß einer Ausführungsform kann es sich weiter als vorteilhaft erweisen, wenn das Aktualisieren 150a des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses das Integrieren eines numerischen Fehlers umfasst. Dies kann insbesondere dann vorteilhaft sein, wenn es sich bei der Zeitreihe um die Lösung einer Differentialgleichung, d.h. einer numerischen Integration, handelt. In diesem Fall ist zu erwarten, dass sich der Modellfehler über die Zeit akkumuliert. In diesem Fall erweist es sich als vorteilhaft Vektoren v zu verwenden, deren Komponenten, die die Zeitschritte repräsentieren, linear wachsen, mit $v_k=\frac{2k}{n+1},$

  

  , denn dann gilt $${\Vert v\Vert }_2^2={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left(v_k\right)}^2}=\frac{2}{n+1}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}=\frac{2}{n-1}\frac{n\left(n+1\right)}{2}=n$$

  
• Infolgedessen stellt der aktualisierte Gauß‘sche Prozess mit dem Mittelwert m_x + εv ein Signal mit einem Modellformfehler dar, der typisch für Lösungen von Differentialgleichungen ist.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform kann es sich als vorteilhaft erweisen, wenn das Integrieren 150 des Modellformfehlers ein Aktualisieren 150b der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses umfasst. In solch einem Fall unterscheidet sich der aktualisierte Gauß‘sche Prozess von der ursprünglichen Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung X₀ nicht durch einen anderen Mittelwert, sondern durch die Varianz.
• Dabei kann es sich als vorteilhaft erweisen, wenn die Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses aktualisiert wird 150b, und der Mittelwert und die Kovarianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses beibehalten werden. Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess kann in diesem Fall dargestellt werden als $$X_V\sim N\left(m_X,{\left({\Sigma }_X^{\frac{1}{2}}+\epsilon V\right)}^2\right).$$

  

  In diesem Fall wird für den Vektor v₀ = (1,1,..., 1) die Diagonalmatrix V := diag(v₀) definiert. Dieser Vektor hat die Norm ${\Vert v_0\Vert }_2=\sqrt{n}.$

  

  Weiter gilt, dass ${\mathrm{\Sigma }}_X^{1/2}+\epsilon V$

  

  immer noch positiv definit ist, weil dies für Σ_X gilt. Weiter gilt Σ_xV = VΣ_x und somit ist die Summe ${\mathrm{\Sigma }}_x^{1/2}+\epsilon V$

  

  mit Σ_x kommutierbar.
• Aus diesem Grund kann zum Berechnen der 2-Wassersteindistanz zwischen dem aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess und dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess die vereinfachte Formel (2) verwendet werden. Daraus folgt, dass jede Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess X_V repräsentiert wird, zu dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess X₀ einen Abstand gleich dem Modellfehler ε hat, weil $$\begin{array}{l}{W}_2^2\left(X_0,X_V\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_X-m_X\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_X{}^{\frac{1}{2}}-\left({\mathrm{\Sigma }}_X{}^{\frac{1}{2}}+\epsilon V\right)\right)}^2\right)=\frac{1}{n}tr\left({\epsilon }^2{V}^2\right)\\ =\frac{{\epsilon }^2}{n}{\Vert v_0\Vert }_2^2={\epsilon }^2.\end{array}$$

  
• In 2c ist beispielhaft ein aktualisierter Gauß‘scher Zufallsprozess X_v dargestellt. Dort ist zu sehen, dass der gestrichelte dargestellte Mittelwert, wie erwartet, nicht verändert ist. Die Zufallsziehungen aus dem Prozess, also die zufälligen Zeitreihen, die anhand der durchgezogenen Linien dargestellt sind, weisen deutlich erhöhtes „Rauschen“ auf. Diese Zeichnung ist eine Aktualisierung des X-Prozesses aus 2a.
• Weiter kann es sich als vorteilhaft erweisen, wenn das Aktualisieren 150b der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses durch Skalieren der Kovarianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses erfolgt. In diesem Fall wird die Kovarianz skaliert mit (1 + δ)², wobei δ gewählt wird zu $$\delta :=\epsilon \sqrt{\frac{n}{tr\left({\mathrm{\Sigma }}_X\right)}}.$$

  
• Der aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess kann in diesem Fall dargestellt werden als $$X_{\delta }\sim N\left(m_X,{\left(1+\delta \right)}^2{\mathrm{\Sigma }}_X\right).$$

  
• Die 2-Wassersteindistanz des aktualisierten Gauß‘schen Prozess zu dem ersten Gauß‘schen Prozess der Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht dem Modellformfehler ε. Dies lässt sich folgendermaßen darstellen: $$W_2^2\left(X_0,X_{\delta }\right)=\frac{1}{n}{\Vert m_X-m_X\Vert }_2^2+\frac{1}{n}tr\left({\left({\mathrm{\Sigma }}_X^{\frac{1}{2}}-\left(1+\delta \right){\mathrm{\Sigma }}_X^{\frac{1}{2}}\right)}^2\right)=\frac{{\epsilon }^2}{n}\left({\mathrm{\Sigma }}_X\right)={\epsilon }^2$$

  
• Auch in diesem Fall kann die Formel (2) verwendet werden, weil (1 + δ)²Σ_X mit der Kovarianzmatrix Σ_X kommutierbar ist. In 2d ist beispielhaft ein aktualisierter Gauß‘scher Zufallsprozess X_v dargestellt. Im Gegensatz zu 2c ist aus 2d ersichtlich, dass sich das Rauschen nicht erhöht, sondern dass die Zufallszeitreihen aufgefächert wurden, also im Bild auf der rechten Seite weiter voneinander entfernt sind. Die 2d zeigt eine Aktualisierung des X-Prozesses aus 2b.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist vorteilhafterweise vorgesehen, dass das Integrieren 150 des Modellformfehlers in den ersten Gauß‘schen Zufallsprozessdurch Aktualisieren 150a des Mittelwerts und durch Aktualisieren 150b der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses erfolgt. Es wird in diesem Fall also vorgeschlagen, das Aktualisieren des Mittelwerts und der Varianz zu kombinieren. Für jedes α ∈ [0,1] kann aktualisierte Gauß‘sche Zufallsprozess in diesem Fall dargestellt werden als $$X_{\alpha }\sim N\left(m_X+{\left(1-\alpha \right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon w,{\left({\mathrm{\Sigma }}_X^{\frac{1}{2}}+{\alpha }^{\frac{1}{2}}\epsilon V\right)}^2)\right).$$

  
• Für den Vektor v₀ = (1,1,..., 1) wird die Diagonalmatrix V := diag(v₀) definiert. Der Vektor w ist ein beliebiger Vektor w mit der Norm ${\Vert w\Vert }_2=\sqrt{n}.$

  

  Unter Verwendung der Ergebnisse der Absätze zum Aktualisieren des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses und zum Aktualisieren der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses gilt: $$W_2^2\left(X_0,X_{\alpha }\right)=\frac{\left(1-\alpha \right)}{n}{\epsilon }^2{\Vert w\Vert }_2^2+\frac{\alpha }{n}{\epsilon }^2{\Vert v_0\Vert }_2^2=\frac{{\epsilon }^2}{n}\left({\mathrm{\Sigma }}_X\right)={\epsilon }^2.$$

  
• 3 zeigt eine Verwendung des Verfahrens 100 im Validierungsframework.
• Die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst eine Anzahl x an Simulations-Zeitreihen X₀ und die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst eine Anzahl y an Referenz-Zeitreihen Y₀. Eine jeweilige Simulations-Zeitreihe und eine jeweilige Referenz-Zeitreihe wird jeweils als ein n-dimensionaler Vektor bereitgestellt, wobei n der Anzahl der aufgezeichneten Zeitschritte entspricht.
• Durch Ausführen des Verfahrens 100, auf einer Recheneinheit 300, wird eine Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Integrieren des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘sche-Zufallsprozess bestimmt.
• Durch die aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess kann der Modellformfehler in das Simulationsmodell M integriert werden.
• Das Simulationsmodell M ist beispielsweise ein HiL, Hardware in the Loop, - oder ein SiL, Software in the Loop, - Simulationsmodell. Das Simulationsmodell M dient in diesem Fall als Nachbildung der realen Umgebung des technischen Systems. HiL und SiL sind Methoden zum Testen von Hardware und eingebetteten Systemen oder Software, beispielsweise zur Unterstützung während der Entwicklung sowie zur vorzeitigen Inbetriebnahme. Mit der Verwendung des Verfahrens 100 zum Validieren eines Simulationsmodells eines technischen Systems, insbesondere Software, Hardware oder ein eingebettetes System, insbesondere in der Entwicklung des technischen Systems kann beispielsweise eine simulationsbasierte Freigabe unterstützt werden. Weiter kann durch Verwendung des Verfahrens 100 ein verbessertes Simulationsmodell für die Entwicklung und/oder Validierung des technischen Systems, und damit vorteilhafterweise weitere positive Auswirkungen, wie erhöhte Sicherheit, bereitgestellt werden.
• Bei dem technischen System handelt es sich beispielsweise um Software, Hardware oder ein eingebettetes System. Bei dem technischen System handelt es sich insbesondere um ein technisches System, beispielsweise ein Steuergerät oder eine Software für ein Steuergerät, für ein Kraftfahrzeug, insbesondere für ein autonomes oder teilautonomes Kraftfahrzeug. Insbesondere kann es sich auch um ein sicherheitsrelevantes technisches System handeln.
• Insbesondere im Kraftfahrzeugbereich umfassen Simulationsmodelle häufig Zeitreihen-Signale, wenn eine zeitliche Abhängigkeit von Signalen berücksichtigt werden sollen.

Claims (10)

1. Verfahren (100) zum Bestimmen von Simulationsdaten umfassend die Schritte: Bereitstellen (110) einer Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl x an Simulations-Zeitreihen (Xo) und Bereitstellen (110) einer Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassend eine Anzahl y an Referenz-Zeitreihen (Yo); Bestimmen (120) eines ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und Bestimmen (120) eines zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei einem Gauß‘schen Zufallsprozess ein Mittelwert und eine Kovarianzmatrix zugeordnet ist; Berechnen (130) eines Modellfehlers anhand der 2-Wassersteindistanz zwischen dem ersten Gauß‘schen Zufallsprozess und dem zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess über den euklidischen Abstand der Mittelwerte des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses und der Spur der Kovarianzmatrizen des ersten und zweiten Gauß‘schen Zufallsprozesses, und Bestimmen (140) einer Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen (X_v) durch Integrieren (150) des Modellformfehlers in einen aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess.
2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Bestimmen (120) des ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und/oder das Bestimmen (120) des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, auf einem Schätzverfahren basiert.
3. Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Bestimmen (120) des ersten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilung und/oder das Bestimmen (120) des zweiten Gauß‘schen Zufallsprozess für die Referenz-Wahrscheinlichkeitsverteilung, auf einem maschinellen Lernverfahren basiert.
4. Verfahren nach wenigstens einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei das Integrieren (150) des Modellformfehlers in den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess ein Aktualisieren (150a) des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses umfasst.
5. Verfahren nach Anspruch 4, wobei das Aktualisieren (150a) des Mittelwerts des Gauß‘schen Zufallsprozesses das Integrieren (150b) eines numerischen Fehlers umfasst.
6. Verfahren nach wenigstens einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei das Integrieren (150) des Modellformfehlers ein Aktualisieren (150b) der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses umfasst.
7. Verfahren nach Anspruch 6, wobei die Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses aktualisiert wird (150b), und der Mittelwert und die Kovarianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses beibehalten werden.
8. Verfahren nach Anspruch 6, wobei das Aktualisieren (150b) der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses durch Skalieren der Kovarianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses erfolgt.
9. Verfahren nach wenigstens einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei das Integrieren (150) des Modellformfehlers in den aktualisierten Gauß‘schen Zufallsprozess durch Aktualisieren (150a) des Mittelwerts und durch Aktualisieren (150b) der Varianz des Gauß‘schen Zufallsprozesses erfolgt.
10. Verwenden von Simulationsdaten, insbesondere eine Familie von Simulations-Wahrscheinlichkeitsverteilungen (X_v), die mit einem Verfahren (100) gemäß wenigstens einem Ansprüche 1 bis 9 bestimmt wurden zum Validieren eines Simulationsmodells (M) eines technischen Systems, insbesondere Software, Hardware oder ein eingebettetes System, insbesondere in der Entwicklung des technischen Systems.

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