CN114626189A - 用于确定模拟数据的方法 - Google Patents

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CN114626189A CN202111490704.8A CN202111490704A CN114626189A CN 114626189 A CN114626189 A CN 114626189A CN 202111490704 A CN202111490704 A CN 202111490704A CN 114626189 A CN114626189 A CN 114626189A
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Abstract

一种用于确定模拟数据的方法（100），包括步骤：提供（110）包括数量x的模拟时间序列（X0）的模拟概率分布并且提供（110）包括数量y的参考时间序列（Y0）的参考概率分布；为模拟概率分布确定（120）第一高斯随机过程并且为参考概率分布确定（120）第二高斯随机过程，其中平均值和协方差矩阵被分配给高斯随机过程；通过第一和第二高斯随机过程的平均值与第一和第二高斯随机过程的协方差矩阵的迹的欧几里得距离根据在第一高斯随机过程和第二高斯随机过程之间的2‑Wasserstein距离来确定（130）模型误差，并且通过将模型形式误差集成（150）到经更新的高斯随机过程中来确定（140）模拟概率分布族（Xv）。

Description

用于确定模拟数据的方法
技术领域
本公开涉及一种用于确定模拟数据的方法。
背景技术
为了验证模拟模型，通常在模拟模型的参数空间中的特定点（即所谓的验证点）处收集参考数据。这些参考数据通常来自真实的验证实验或来自高精度参考模型的模拟运行。在验证点，可以计算所谓的模型形式误差（英语：model form error）、即表明在模拟模型与参考之间的偏差的参量。
在验证时变模拟模型时，可以量化模拟模型与参考模型之间的偏差，其方式是使用用于时变模拟数据的信号度量和如Wasserstein距离之类的统计度量。
一般而言，模拟模型的使用必然要求在模拟模型尚未通过比较所测量的数据和所模拟的数据来验证的点处执行所述模拟模型。
为了仍然能够考虑模型形式误差的影响，对于标量模拟数据已经已知的是，构造根据参考数据与原始模拟数据偏离的模拟数据。
为了验证标量信号，例如基于所谓的面积验证度量（Area Validation Metric）的验证框架是已知的，所述验证框架例如在Oberkampf, William L. 和 Christopher J.Roy. Verification and validation in scientific computing. CambridgeUniversity Press, 2010中以及在Oberkampf, William L. 和 Christopher J. Roy. Acomprehensive framework for verification, validation, and uncertaintyquantification in scientific computing. Computer methods in applied mechanicsand engineering, 200(25-28), 2131–2144. 2011中予以描述。通常，不仅模拟结果而且参考测量均被解释为来自两个不同的随机分布的抽取，所述参考测量理想地是真实实验。也就是说，不仅对于模拟而且对于参考均从数据中创建（经验）分布函数（英语：cumulativedistribution function（积累分布函数）CDF）。对此的原因是，参考信号例如源自真实测量或来自参考模型，并且因此通常具有自然可变性。例如，不同的参数可能在测量的不同遍历时变化。与如何好地试图控制测量的所有参数无关地，所述参数中的一些参数都将在测量的每个遍历时变化。如果假设确定性模拟模型，则模拟在固定的参数的情况下将会始终提供相同的结果。因此，实验在模拟中重新被建模，其方式是参数中的一些参数随机地变化并且结果被记录。如果这些被称为任意参数的参数以正确的方式分布，则只要模拟模型正确地再现相关效应，相应的模拟数据集就将与相应的相对应的参考数据集非常相似。从数学上来看，模拟和参考之间的比较因此对应于两个概率分布之间的距离的计算。为此，将这些概率分布与用于分布函数的度量（例如面积验证度量（Area Validation Metric））相互比较。在面积验证度量的情况下，两个分布函数之间的面积被用作两个分布的不一致性的量度。
为了能够考虑模型形式误差的影响，在未执行验证实验的点处应用元模型来估计这些点处的标量模型形式误差，所述元模型外推模型形式误差。然后将该所外推的误差在这些点处添加到模拟数据。该方法也被称为模型形式误差更新。
已知的方法、尤其是面积验证度量在多维情况下不能应用。因此，尤其是对于时间序列信号，有可能在模拟数据中考虑模型形式误差的方法不可用。
发明内容
因此，本公开的任务是提供一种使得能够在时间序列模拟信号中考虑模型形式误差的方法。
一种实施方式涉及一种用于确定模拟模型的方法，所述方法包括步骤：
提供包括数量x的模拟时间序列的模拟概率分布并且提供包括数量y的参考时间序列的参考概率分布；
为模拟概率分布确定第一高斯随机过程并且为参考概率分布确定第二高斯随机过程，其中平均值和协方差矩阵被分配给高斯随机过程；
通过所述第一和第二高斯随机过程的平均值与第一和第二高斯随机过程的协方差矩阵的迹的欧几里得距离根据在所述第一高斯随机过程和所述第二高斯随机过程之间的2-Wasserstein距离来确定模型误差，并且
通过将模型形式误差集成（Integrieren）到经更新的高斯随机过程中来确定模拟概率分布族。
相应的模拟时间序列和相应的参考时间序列分别被提供为n维向量，其中n对应于所记录的时间步的数量。
模拟概率分布包括数量x的模拟时间序列，并且参考概率分布包括数量y的参考时间序列，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE001
并且
Figure 899502DEST_PATH_IMAGE002
。
为模拟概率分布确定第一高斯随机过程，并且为参考概率分布确定第二高斯随机过程。第一和第二高斯随机过程是多变量正态分布。在此，给每个高斯随机过程分配平均值和协方差矩阵：
Figure DEST_PATH_IMAGE003
，
其中，平均值
Figure 816642DEST_PATH_IMAGE004
以及协方差矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE005
。
模拟概率分布因此通过第一高斯随机过程利用
Figure 596380DEST_PATH_IMAGE006
表示，并且对于参考概率分布通过第二高斯随机过程利用
Figure DEST_PATH_IMAGE007
表示。
根据2-Wassserstein距离计算第一高斯随机过程和第二高斯随机过程之间的模型误差。原则上，为了确定在时间间隔[0,T]上的两个单独的时间序列之间的距离，归一化欧几里得距离（也作为RMSE（root mean square error（均方根误差））度量
Figure 788327DEST_PATH_IMAGE008
而已知）被用作基本距离，所述两个单独的时间序列已经在所述区间内的n个点处被记录。归一化欧几里得距离近似在区间[0,T]上针对大数量n的时间步的积分L2距离。使用基本距离来构建2-Wasserstein距离。
对于具有平均值
Figure DEST_PATH_IMAGE009
并且正定的、尤其可逆的协方差矩阵
Figure 602699DEST_PATH_IMAGE010
的正态分布式高斯随机过程
Figure DEST_PATH_IMAGE011
，在下面称为公式（1）的
Figure 238211DEST_PATH_IMAGE012
适用于2-Wasserstein距离并且因此适用于模型形式误差ε，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE013
。
在这里，tr表示矩阵的迹。这例如在Malag, L., Montrucchio, L. 和 Pistone,G. Wasserstein Riemannian geometry of positive definite matrices. arXivpreprint arXiv:1801.09269, 2019中描述。
因此通过第一和第二高斯随机过程的平均值与第一和第二高斯随机过程的协方差矩阵的迹的欧几里得距离来计算模型形式误差。
如果两个协方差矩阵Σ1和Σ2是可交换的，则简化
Figure 505244DEST_PATH_IMAGE014
适用，并且因此以下称为公式（2）的
Figure DEST_PATH_IMAGE015
适用。
对于所计算的模型形式误差
Figure 766461DEST_PATH_IMAGE016
和模拟概率分布X0，确定模拟概率分布族
Figure DEST_PATH_IMAGE017
，对所述模式概率分布族适用的是，其与X0的距离小于或等于模型形式误差ε。
通过将模型形式误差集成到经更新的高斯随机过程中来确定模拟概率分布族Xv。于是该族的模拟概率分布满足以下条件，即其与模拟概率分布X0的距离小于或等于模型形式误差ε。
根据一种实施方式规定，模拟概率分布的第一高斯随机过程的确定和/或参考概率分布的第二高斯随机过程的确定基于估计方法。也就是说，从由模拟得出的模拟时间序列的集合中估计最好地符合模拟概率分布的高斯随机过程。对于参考数据可以相应地进行处理。
根据替代或补充实施方式，可以规定，模拟概率分布的第一高斯随机过程的确定和/或参考概率分布的第二高斯随机过程的确定基于机器学习方法。
在此情况下可以应用的具体方法取决于可用的时间序列的数量x和y。对于大数量的时间序列，有利的是，类似于在一维正态分布情况下的估计方法，根据经验估计高斯过程的参数、即平均值
Figure 435340DEST_PATH_IMAGE018
以及协方差矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE019
。对于x<n或y<n，协方差矩阵不再一定是可逆的并且有利地使用“收缩”方法或所谓的高斯过程回归。后一方法更多地需要关于过程分布的先验假设，但是在对策中需要非常少的时间序列、尤其是其中x=1或y=1。这种高斯回归在机器学习领域中是已知的。
如果在回归中使用异方差高斯随机过程，则可以证明是有利的。
在下面提出用于将模型形式误差集成到经更新的高斯随机过程中的不同变型方案。由此，该方法可以有利地被适配于不同的应用情况。
根据一种实施方式规定，将模型形式误差集成到经更新的高斯随机过程中包括更新高斯随机过程的平均值。
对于具有值
Figure 428703DEST_PATH_IMAGE020
的模型误差，在使用向量
Figure DEST_PATH_IMAGE021
的情况下确定模拟概率分布族，其中更新高斯随机过程的平均值。在这种情况下，经更新的高斯随机过程可以被表示为
Figure 996082DEST_PATH_IMAGE022
。
只要
Figure DEST_PATH_IMAGE023
适用，则适用的是，由经更新的高斯随机过程Xv代表的每个模拟概率分布与第一高斯随机过程X0具有小于或等于模型误差ε的距离。这可以用
Figure 733094DEST_PATH_IMAGE024
示出。
在这种情况下，通过对平均值减去或增加偏移来对高斯随机过程的平均值进行更新。原则上，这对应于向量v，其中所有分量都相等，并且分量的绝对值小于或等于1。这种选择按情况可能导致不是非常切合实际的结果。在这些情况下，于是可以证明有利的是，适配平均值，使得该平均值对应于或至少近似对应于参考概率分布的平均值。这可以通过向量v来实现，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE025
。
经更新的高斯随机过程Xv于是明确地具有对应于ε的模型形式误差。由于模型形式误差在这种情况下仅能追溯到不同的平均值，也就是说
Figure 256479DEST_PATH_IMAGE026
适用于协方差矩阵，所以
Figure DEST_PATH_IMAGE027
适用。
在这种情况下，具有
Figure 14220DEST_PATH_IMAGE028
的经更新的平均值实际上正好对应于代表参考概率分布的第二高斯过程的平均值。对于一般参考概率分布Y，以这种方式更新的高斯过程的平均值最好地对应于平均值mY，并且同时具有正确的模型形式误差。
根据一种实施方式，如果更新高斯随机过程的平均值包括集成数值误差，则此外可以证明是有利的。如果时间序列是微分方程、即数值积分的解，则这可能尤其是有利的。在这种情况下，可以预期模型误差随着时间的推移而积累。在这种情况下，证明有利的是，使用向量v，所述向量的分量（代表时间步）线性增长，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE029
，因为于是适用的是
Figure 255845DEST_PATH_IMAGE030
因此，具有平均值
Figure DEST_PATH_IMAGE031
的经更新的高斯过程表示具有模型形式误差的信号，所述模型形式误差对于微分方程的解是典型的。
根据另一实施方式，如果集成模型形式误差包括更新高斯随机过程的方差，则可以证明是有利的。在这样的情况下，经更新的高斯过程与原始模拟概率分布X0不通过另外的平均值、而是通过方差来区别。
在此，如果高斯随机过程的方差被更新，并且高斯随机过程的平均值和协方差被保持，则可以证明是有利的。在这种情况下，经更新的高斯随机过程可以被表示为
Figure 75509DEST_PATH_IMAGE032
。
在这种情况下，对于向量
Figure DEST_PATH_IMAGE033
定义对角矩阵
Figure 718980DEST_PATH_IMAGE034
Figure DEST_PATH_IMAGE035
。该向量具有范数
Figure 54146DEST_PATH_IMAGE036
。此外适用的是，
Figure DEST_PATH_IMAGE037
总是仍然是正定的，因为这适用于
Figure 845385DEST_PATH_IMAGE038
。此外，
Figure DEST_PATH_IMAGE039
Figure 924199DEST_PATH_IMAGE040
适用，并且因此总和
Figure DEST_PATH_IMAGE041
可以与
Figure 500805DEST_PATH_IMAGE042
交换。
出于该原因，可以使用简化的公式（2）来计算在经更新的高斯随机过程与第一高斯随机过程之间的2-Wasserstein距离。从中得出，由经更新的高斯随机过程XV代表的每个模拟概率分布与第一高斯随机过程X0具有等于模型误差ε的距离，因为
Figure DEST_PATH_IMAGE043
。
此外如果通过缩放高斯随机过程的协方差来更新高斯随机过程的方差，则可以证明是有利的。在这种情况下，利用
Figure 272452DEST_PATH_IMAGE044
缩放协方差，其中δ被选择为
Figure DEST_PATH_IMAGE045
。
在这种情况下，经更新的高斯随机过程可以被表示为
Figure 19828DEST_PATH_IMAGE046
。
经更新的高斯过程与模拟概率分布的第一高斯过程的2-Wassserstein距离对应于模型形式误差ε。这可以被表示如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE047
因为
Figure 902334DEST_PATH_IMAGE048
与协方差
Figure DEST_PATH_IMAGE049
可交换，所以在这种情况下也使用公式（2）。
根据另一实施方式，有利地规定，通过更新高斯随机过程的平均值和方差来将模型形式误差集成到第一高斯随机过程中。因此在这种情况下提出，将平均值和方差的更新组合。对于每个
Figure 254818DEST_PATH_IMAGE050
，经更新的高斯随机过程在这种情况下可以被表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE051
。
对于向量
Figure 275994DEST_PATH_IMAGE052
定义对角矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE053
。向量w是具有范数
Figure 713929DEST_PATH_IMAGE054
的任意向量w。在使用用于更新高斯随机过程的平均值和用于更新高斯随机过程的方差的项的结果的情况下，适用的是：
Figure DEST_PATH_IMAGE055
。
其他实施方式涉及模拟数据、尤其是利用根据执行方法的方法确定的模拟概率分布的族尤其是在技术***的开发中用于验证技术***、尤其是软件、硬件或嵌入式***的模拟模型的用途。
模拟模型例如是HiL（Hardware in the Loop（硬件在环））或SiL（Software inthe Loop（软件在环））模拟模型。在这种情况下，模拟模型用作技术***的真实环境的复制品。HiL和SiL是用于测试硬件和嵌入式***或软件的方法，例如用于在开发期间支持以及用于早期启动。利用尤其是在技术***的开发中使用用于验证技术***、尤其是软件、硬件或嵌入式***的模拟模型的方法，例如可以支持基于模拟的释放（Freigabe）。
技术***例如是软件、硬件或嵌入式***。技术***尤其是用于机动车辆、尤其是用于自主或部分自主的机动车辆的技术***、例如控制设备或控制设备的软件。尤其是在机动车辆领域中，模拟模型经常包括多维信号。
根据所公开的用于通过将模型形式误差集成到经更新的高斯随机过程中来确定模拟概率分布族的方法，在技术***的开发中在验证技术***的模拟模型时已经包含模型形式误差。尤其是在时间可变的或与时间相关的***中使用所公开的方法。通过确定模型形式误差，可以传播时间误差并且分析对总性能的影响。这尤其是结合自动驾驶将是特别重要的，此处可靠的SiL***不可缺少。此外，可以在验证复杂的车辆和传动系模拟时使用该方法。
附图说明
本发明的其他特征、应用可能性和优点从以下对在附图的图中所示的本发明的实施例的描述中得出。在此，所描述或示出的所有特征单独地或以任意组合的方式构成本发明的主题，而与所述特征在专利权利要求或其回引中的概括无关以及与其在说明书或附图中的表达或表示无关。
在附图中：
图1以示意图示出计算机实现的方法的方面，
图2a至2d示出模拟数据和参考数据的不同表示；
图3以示意图示出图1的计算机实现的方法的使用的方面。
具体实施方式
图1示意性地示出用于确定模拟数据的方法100的步骤。
方法100包括用于提供包括数量x的模拟时间序列X0的模拟概率分布并且提供包括数量y的参考时间序列Y0的参考概率分布的步骤110。相应的模拟时间序列和相应的参考时间序列分别作为n维向量被提供，其中n对应于所记录的时间步的数量。
模拟概率分布包括数量x的模拟时间序列，并且参考概率分布包括数量y的参考时间序列，其中
Figure 931284DEST_PATH_IMAGE056
和
Figure DEST_PATH_IMAGE057
。
方法100包括用于为模拟概率分布确定第一高斯随机过程并且为参考概率分布确定第二高斯随机过程的步骤120，其中平均值和协方差矩阵分配给高斯随机过程。第一和第二高斯随机过程是多变量正态分布。在此，给每个高斯随机过程分配平均值和协方差矩阵：
Figure 403853DEST_PATH_IMAGE058
其中平均值
Figure DEST_PATH_IMAGE059
并且协方差矩阵
Figure 517303DEST_PATH_IMAGE060
。
模拟概率分布因此通过第一高斯随机过程利用
Figure DEST_PATH_IMAGE061
表示，并且对于参考概率分布通过第二高斯随机过程利用
Figure 255583DEST_PATH_IMAGE062
表示。
模拟概率分布的第一高斯随机过程的确定120和/或参考概率分布的第二高斯随机过程的确定120基于估计方法。也就是说，从由模拟得出的模拟时间序列的集合中估计最好地符合模拟概率分布的高斯随机过程。对于参考数据可以相应地进行处理。在足够大数量x的模拟时间序列和/或数量y的参考时间序列的情况下，根据经验估计相应高斯随机过程的平均值和协方差。
根据替代或补充实施方式，可以规定，模拟概率分布的第一高斯随机过程的确定120和/或参考概率分布的第二高斯随机过程的确定120基于机器学习方法。
在图2a中，分别具有十个所记录的时间步的三个模拟时间序列X0和三个参考时间序列Y0的值示例性地被表示为十字。对于每个时间序列，示例性根据实线示出来自所估计的高斯过程的随机绘图、即分别示出时间序列。此外，示例性地根据虚线示出第一高斯随机过程的平均值mx并且根据虚线示出第二高斯随机过程的平均值my。例如，在使用RBF（radiale Basis Funktion，径向基函数）核的情况下根据借助于高斯过程回归确定了平均值mx和my。
在图2b中，同样对于每个时间序列示例性地根据实线示出来自所估计的高斯过程的随机绘制、即分别示出时间序列。此外，示例性地根据虚线示出第一高斯随机过程的平均值mx和根据虚线示出第二高斯随机过程的平均值my。平均值mx和my已根据经验被估计。
方法100包括用于根据在第一高斯随机过程和第二高斯随机过程之间的2-Wasserstein距离通过在第一和第二高斯随机过程的平均值与第一和第二高斯随机过程的协方差矩阵的迹之间的欧几里得距离来计算模型误差的步骤130。原则上，为了确定在时间间隔[0,T]上的两个单独的时间序列之间的距离，归一化欧几里得距离（也作为RMSE（rootmean square error（均方根误差））度量
Figure DEST_PATH_IMAGE063
而已知）被用作基本距离，所述两个单独的时间序列已在所述区间内的n个点处被记录。归一化欧几里得距离近似在区间[0,T]上针对大数量n的时间步的积分L2距离。使用基本距离来构建2-Wasserstein距离。
对于具有平均值
Figure 479891DEST_PATH_IMAGE064
并且正定的、尤其可逆的协方差矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE065
的正态分布式高斯随机过程
Figure 869284DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure DEST_PATH_IMAGE067
适用于2-Wasserstein距离并且因此适用于模型形式误差ε，其中
Figure 153635DEST_PATH_IMAGE013
。
在本公开中以公式（1）参考该公式。
因此通过第一和第二高斯随机过程的平均值与第一和第二高斯随机过程的协方差矩阵的迹之间的欧几里得距离计算模型形式误差。
如果两个协方差矩阵Σ1和Σ2是可交换的，则简化
Figure 566161DEST_PATH_IMAGE068
适用，并且因此
Figure DEST_PATH_IMAGE069
适用。
在本公开中以公式（2）参考该公式。
方法100包括用于通过将模型形式误差集成150到经更新的高斯随机过程中来确定模拟概率分布族Xv的步骤140。
对于所计算的模型形式误差
Figure 138701DEST_PATH_IMAGE070
和模拟概率分布X0，确定模拟概率分布族
Figure DEST_PATH_IMAGE071
，对于所述模拟概率分布族适用的是其与X0的距离小于或等于模型形式误差ε。
通过将模型形式误差集成到经更新的高斯随机过程中来确定模拟概率分布族Xv。于是该族的模拟概率分布满足以下条件，即其与模拟概率分布X0的距离小于或等于模型形式误差ε。
下面提出用于将模型形式误差集成150到经更新的高斯随机过程中的不同变型方案。方法100由此可以有利地被应用于不同的应用情况。
根据一种实施方式规定，将模型形式误差集成150到经更新的高斯随机过程中包括更新150a高斯随机过程的平均值。
对于具有值
Figure 320283DEST_PATH_IMAGE072
的模型误差，在使用向量
Figure DEST_PATH_IMAGE073
的情况下确定模拟概率分布族，其中高斯随机过程的平均值被更新。在这种情况下，经更新的高斯随机过程可以被表示为
Figure 509956DEST_PATH_IMAGE074
。
只要
Figure DEST_PATH_IMAGE075
适用，则适用的是，由经更新的高斯随机过程Xv代表的每个模拟概率分布与第一高斯随机过程X0具有小于或等于模型误差ε的距离。这可以用
Figure 737675DEST_PATH_IMAGE076
示出。
在这种情况下，通过对平均值减去或增加偏移来更新150a高斯随机过程的平均值。原则上，这对应于向量v，其中所有分量都相等，并且分量的绝对值小于或等于1。这种选择按情况可能导致不是非常切合实际的结果。在这些情况下，于是可以证明有利的是，适配平均值，使得该平均值对应于或至少近似对应于参考概率分布的平均值。这可以通过具有
Figure DEST_PATH_IMAGE077
的向量v来实现。
经更新的高斯随机过程Xv于是明确地具有对应于ε的模型形式误差。由于模型形式误差在这种情况下仅能追溯到不同的平均值，也就是说
Figure 303786DEST_PATH_IMAGE078
适用于协方差矩阵，所以
Figure DEST_PATH_IMAGE079
适用。
在这种情况下，具有
Figure 418503DEST_PATH_IMAGE028
的经更新的平均值实际上正好对应于代表参考概率分布的第二高斯过程的平均值。对于一般参考概率分布Y，以这种方式更新的高斯过程的平均值最好地对应于平均值mY，并且同时具有正确的模型形式误差。
根据一种实施方式，如果更新150a高斯随机过程的平均值包括集成数值误差，则也可以证明是有利的。如果时间序列是微分方程、即数值积分的解，则这可能尤其是有利的。在这种情况下，可以预期模型误差随着时间的推移而积累。在这种情况下，证明有利的是，使用向量v，所述向量的分量（代表时间步）线性增长，其中
Figure 779078DEST_PATH_IMAGE080
，因为于是适用的是
Figure DEST_PATH_IMAGE081
因此，具有平均值
Figure 166197DEST_PATH_IMAGE082
的经更新的高斯过程表示具有模型形式误差的信号，所述模型形式误差对于微分方程的解是典型的。
根据另一实施方式，如果集成150模型形式误差包括更新150b高斯随机过程的方差，则可以证明是有利的。在这样的情况下，经更新的高斯过程与原始模拟概率分布X0不通过另外的平均值、而是通过方差来区别。
在此，如果高斯随机过程的方差被更新150b，并且高斯随机过程的平均值和协方差被保持，则可以证明是有利的。在这种情况下，经更新的高斯随机过程可以被表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE083
。
在这种情况下，对于向量
Figure 332736DEST_PATH_IMAGE033
定义对角矩阵
Figure 223331DEST_PATH_IMAGE084
Figure DEST_PATH_IMAGE085
。该向量具有范数
Figure 20386DEST_PATH_IMAGE086
。此外适用的是，
Figure DEST_PATH_IMAGE087
总是仍然是正定的，因为这适用于
Figure 707851DEST_PATH_IMAGE088
。此外，
Figure DEST_PATH_IMAGE089
Figure 881343DEST_PATH_IMAGE040
适用，并且因此总和
Figure 892024DEST_PATH_IMAGE041
可以与
Figure 859980DEST_PATH_IMAGE090
交换。
出于该原因，可以使用简化的公式（2）来计算在经更新的高斯随机过程与第一高斯随机过程之间的2-Wasserstein距离。从中得出，由经更新的高斯随机过程XV代表的每个模拟概率分布与第一高斯随机过程X0具有等于模型误差ε的距离，因为
Figure DEST_PATH_IMAGE091
。
在图2c中示例性地示出经更新的高斯随机过程Xv。在那里可以看出，虚线表示的平均值如预期的那样未改变。来自过程的随机抽取、即根据实线表示的随机时间序列具有显着增加的“噪声”。该图是对图2a的X过程的更新。
此外如果通过缩放高斯随机过程的协方差来更新150b高斯随机过程的方差，则可以证明是有利的。在这种情况下，利用
Figure 752850DEST_PATH_IMAGE092
缩放协方差，其中δ被选择为
Figure DEST_PATH_IMAGE093
。
在这种情况下，经更新的高斯随机过程可以被表示为
Figure 464454DEST_PATH_IMAGE094
。
经更新的高斯过程与模拟概率分布的第一高斯过程的2-Wassserstein距离对应于模型形式误差ε。这可以被表示如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE095
在这种情况下也可以使用公式（2），因为
Figure 470587DEST_PATH_IMAGE096
可以与协方差矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE097
交换。在图2d中示例性地示出经更新的高斯随机过程Xv。与图2c相比，从图2d可以看出，噪声并未增加，而是随机时间序列已经扇状散开，也就是说在图像中在右边彼此相距更远。图2d示出图2b的X过程的更新。
根据另一实施方式，有利地规定，通过更新150a平均值并且通过更新150b高斯随机过程的方差来将模型形式误差集成150到第一高斯随机过程中。因此在这种情况下提出，将平均值和方差的更新组合。对于每个
Figure 609444DEST_PATH_IMAGE098
，经更新的高斯随机过程在这种情况下可以被表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE099
。
对于向量
Figure 737413DEST_PATH_IMAGE052
定义对角矩阵
Figure 987129DEST_PATH_IMAGE053
。向量w是具有范数
Figure 972402DEST_PATH_IMAGE054
的任意向量w。在使用用于更新高斯随机过程的平均值和用于更新高斯随机过程的方差的项的结果的情况下，适用的是：
Figure 282161DEST_PATH_IMAGE100
。
图3示出方法100在验证框架中的使用。
模拟概率分布包括数量x的模拟时间序列X0，并且参考概率分布包括数量y的参考时间序列Y0。相应的模拟时间序列和相应的参考时间序列分别被提供为n维向量，其中n对应于所记录的时间步的数量。
通过在计算单元300上执行方法100，通过将模型形式误差集成到经更新的高斯随机过程中来确定模拟概率分布族。
通过经更新的高斯随机过程可以将模型形式误差集成到模拟模型M中。
模拟模型M例如是HiL（硬件在环）或SiL（软件在环）模拟模型。在这种情况下，模拟模型M用作技术***的真实环境的复制品。HiL和SiL是用于测试硬件和嵌入式***或软件的方法，例如用于在开发期间支持以及用于早期启动。利用尤其是在技术***的开发中使用用于验证技术***、尤其是软件、硬件或嵌入式***的模拟模型的方法100，例如可以支持基于模拟的释放。此外，通过使用方法100，可以提供用于开发和/或验证技术***的改善的模拟模型，并且因此可以有利地提供其他积极影响，例如增加的安全性。
技术***例如是软件、硬件或嵌入式***。技术***尤其是用于机动车辆、尤其是用于自主或部分自主的机动车辆的技术***、例如控制设备或控制设备的软件。尤其是，也可以是与安全相关的技术***。
尤其是在机动车辆领域中，当应该考虑信号的时间相关性时，模拟模型通常包括时间序列信号。

Claims (10)

1.一种用于确定模拟数据的方法（100），所述方法包括步骤：
提供（110）包括数量x的模拟时间序列（X0）的模拟概率分布并且提供（110）包括数量y的参考时间序列（Y0）的参考概率分布；
为模拟概率分布确定（120）第一高斯随机过程并且为参考概率分布确定（120）第二高斯随机过程，其中平均值和协方差矩阵被分配给高斯随机过程；
通过第一和第二高斯随机过程的平均值与第一和第二高斯随机过程的协方差矩阵的迹的欧几里得距离根据在所述第一高斯随机过程和所述第二高斯随机过程之间的2-Wasserstein距离来确定（130）模型误差，
并且通过将模型形式误差集成（150）到经更新的高斯随机过程中来确定（140）模拟概率分布族（Xv）。
2.根据权利要求1所述的方法，其中所述模拟概率分布的第一高斯随机过程的确定（120）和/或所述参考概率分布的第二高斯随机过程的确定（120）基于估计方法。
3.根据权利要求1所述的方法，其中所述模拟概率分布的第一高斯随机过程的确定（120）和/或所述参考概率分布的第二高斯随机过程的确定（120）基于机器学习过程。
4.根据前述权利要求中至少一项所述的方法，其中将模型形式误差集成（150）到经更新的高斯随机过程中包括更新（150a）所述高斯随机过程的平均值。
5.根据权利要求4所述的方法，其中更新（150a）所述高斯随机过程的平均值包括集成（150b）数值误差。
6.根据前述权利要求中至少一项所述的方法，其中集成（150）模型形式误差包括更新（150b）所述高斯随机过程的方差。
7.根据权利要求6所述的方法，其中所述高斯随机过程的方差被更新（150b），并且所述高斯随机过程的平均值和协方差被保持。
8.根据权利要求6所述的方法，其中通过缩放所述高斯随机过程的协方差来更新（150b）所述高斯随机过程的方差。
9.根据前述权利要求中至少一项所述的方法，其中通过更新（150a）所述平均值和通过更新（150b）所述高斯随机过程的方差来将模型形式误差集成（150）到经更新的高斯随机过程中。
10.一种利用根据权利要求1至9中至少一项所述的方法（100）确定的模拟数据、尤其是模拟概率分布族（Xv）尤其是在技术***的开发中用于验证技术***、尤其是软件、硬件或嵌入式***的模拟模型（M）的用途。
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