-
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Parametrierung eines impedanzbasierten Modells eines elektrochemischen Systems nach dem Oberbegriff des Patentanspruchs 1.
-
Die
DE 10 2005 029 890 A1 beschreibt ein Verfahren zur Bestimmung des Ladezustands einzelner Zellen oder Gruppen von Zellen durch Messen einer an der Zellgruppe abfallende Spannung und Zuführen dieser Spannung einem mathematischen Modell. Dieses berechnet einen Anfangswert des Ladezustands und ermittelt den weiteren Verlauf des Ladezustands unter Berücksichtigung des Batteriestroms. Das mathematische Modell umfasst dabei ein Batteriemodell auf der Basis eines sehr einfachen Ersatzschaltbildes, das eine Zelle durch einen Innenwiderstand und eine Kapazität in Reihe beschreibt.
-
Des Weiteren sind für eine Zustandsbestimmung, wie beispielsweise eine Alterszustandsbestimmung, elektrochemischer Systeme, insbesondere Lithium-Ionen-Zellen und Batterien, aus dem Stand der Technik Verfahren bekannt, bei denen impedanzbasierte Zellmodelle auf der Grundlage elektrischer Ersatzschaltbilder verwendet werden. Damit die Modelle gebildet und parametriert werden können, werden entweder Messungen im Frequenzbereich, d. h. Ortskurven des Systems (vgl. 2b), z. B. mittels Impedanzspektroskopie, oder im Zeitbereich, beispielsweise mittels Stromanregung und Messung der Spannungsantwort (vgl. 2a), durchgeführt.
-
Um die Parametrierung der Modelle im Zeitbereich durchführen zu können, muss die Systemfunktion des impedanzbasierten Zellmodells im Frequenzbereich, multipliziert mit der entsprechenden Frequenzbereichskorrespondenz des Anregungssignals, also der Anregungsfunktion im Frequenzbereich, mittels Laplace-Transformation in den Zeitbereich transformiert werden unter Gewinnung der Modellantwort im Zeitbereich.
-
Damit entsteht ein entsprechendes Zeitbereichsmodell für die Spannungs- bzw. Stromantwort, dessen Modellparameter dort mit gängigen Optimierungsverfahren geschätzt werden können. Die Modellbildung basiert dabei auf konzentrierten Bauelementen, wie z. B. Widerständen, Kapazitäten, Induktivitäten.
-
Nachteilig dabei ist, dass elektrochemische Systeme oft Ortskurven liefern, die mit bekannten konzentrierten Bauelementen nicht nachzubilden sind. Die Modellierung bedient sich zur präziseren Beschreibung dieser Ortskurven sogenannter verteilter Bauelemente, wie beispielsweise Warburg-Impedanzen, CPEs (Constant Phase Elements) oder ZARC-/RCPE-Elementen (CPE mit parallel geschaltetem Widerstand), auch fraktionale Bauelemente oder distributed elements genannt. Die Modellfunktionen im Frequenzbereich sind für alle verwendeten Bauelemente beschrieben und können mit gängigen Optimierungsalgorithmen ausreichend genau nachgebildet werden. Diese Verfahren zur Parametrierung von Modellen im Frequenzbereich, wie beispielsweise mittels Impedanzspektroskopie, sind jedoch messtechnisch sehr aufwendig.
-
Des Weiteren ist es möglich, die Zeitbereichswerte, wie beispielsweise die einer gemessenen Sprungantwort, mittels einer Fourier-Transformation in den Frequenzbereich zu transformieren und dort durch Division der Spannungs- und Stromwerte die Impedanz zu berechnen und die Modellparameter dort mit gängigen Optimierungsverfahren zu schätzen. Dieses Verfahren unterliegt jedoch physikalischen Restriktionen, insbesondere limitiert die Abtastfrequenz im Zeitbereich die größte im Signal enthaltenen Frequenz und die Länge der Zeitsignale die kleinste aufzulösende Frequenz. Für die Analyse niederfrequenter Prozesse ist es hierbei notwendig, lang andauernde Signale zur Verfügung zu haben.
-
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es daher, ein Verfahren zur Parametrierung eines impedanzbasierten Modells eines elektrochemischen Systems bereitzustellen, das weniger aufwendig ist und weniger Einschränkungen unterliegt.
-
Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren mit den Merkmalen des Patentanspruchs 1 gelöst.
-
Das erfindungsgemäße Verfahren zur Parametrierung eines impedanzbasierten Modells eines elektrochemischen Systems umfasst die Schritte:
- – Erstellen eines Modells eines elektrochemischen Systems in Form eines Ersatzschaltbildes, das Impedanz-Elemente umfasst und mindestens einen Parameter aufweist;
- – Beschreiben des Modells mittels einer Modellfunktion im Frequenzbereich;
- – Multiplizieren der Modellfunktion im Frequenzbereich mit einer Anregungsfunktion im Frequenzbereich;
- – Transformieren des Produkts aus Modellfunktion und Anregungsfunktion im Frequenzbereich in den Zeitbereich mittels einer Transformationsvorschrift unter Gewinnung einer Modellantwort im Zeitbereich; und
- – Bestimmen des mindestens einen Parameters durch Abstimmen der Modellantwort mit einer gemessenen zeitlichen Antwort des elektrochemischen Systems.
-
Dabei ist mindestens ein Impedanz-Element ein fraktionales Element. Als Transformationsvorschrift wird dabei bevorzug eine Laplace-Transformation verwendet.
-
Somit ist es möglich ein elektrochemisches System, das sich nur unter Zuhilfenahme fraktionaler Elemente beschreiben lässt, im Zeitbereich zu parametrieren, d. h. die Parameter des parametrierten Modells im Zeitbereich zu bestimmen. Dies hat den Vorteil, dass die dafür erforderliche Antwort des Systems auf eine Anregung im Zeitbereich gemessen werden kann, was messtechnisch wesentlich weniger aufwendig ist als die Parametrierung im Frequenzbereich mittels Impedanzspektroskopie. Weiterhin hat das erfindungsgemäße Verfahren den Vorteil, dass es keinen solchen Einschränkungen unterliegt wie Verfahren zur Parametrierung im Frequenzbereich, bei denen die gemessene Antwort des Systems im Zeitbereich mittels Fourier-Transformation in den Frequenzbereich transformiert wird.
-
Bevorzugt wird die zeitliche Antwort des Systems im Zeitbereich als Antwort auf die als Stromanregung ausgebildete Anregungsfunktion gemessen. Weiterhin ist es bevorzugt, als zeitliche Antwort des Systems eine Spannung zu messen, so dass über den Zusammenhang U(s) = I(s)·Z(s) die Parameter des Modells, das durch die Modellfunktion Z(s) des Frequenzbereichs beschrieben wird, bestimmt werden können. U(s) ist dabei die Spannungsantwort im Frequenzbereich und I(s) die Stromanregung im Frequenzbereich, wobei s eine komplexe Frequenz bezeichnet. Die Zeitbereichskorrespondenz dieses Zusammenhangs wird beschrieben durch die Gleichung u(t) = i(t)⊗z(t), wobei u(t) die Spannungsantwort im Zeitbereich beschreibt, i(t) die Stromanregung im Zeitbereich und z(t) die Modellfunktion im Zeitbereich. Die Spannungsantwort im Zeitbereich ist dabei die Faltung von Stromanregung und Modellfunktion. Daher ist es besonders vorteilhaft, das Produkt aus Modellfunktion und Anregungsfunktion im Frequenzbereich zu berechnen und in den Zeitbereich zu transformieren anstatt das Faltungsintegral von Anregungsfunktion und Modellfunktion im Zeitbereich zu berechnen.
-
In einer vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung ist die Anregungsfunktion im Zeitbereich eine Sprungfunktion oder Stufenfunktion. Die Frequenzbereichskorrespondenz einer als Sprungfunktion ausgebildeten Stromanregung ist dabei I(s) = I ^/s, wobei I ^ die Amplitude des sprungförmigen Stroms, insbesondere die Sprunghöhe bzw. Stufenhöhe der Stromstärke, im Zeitbereich darstellt. Alternativ können als Anregungsfunktion auch Impulsanregungen verwendet werden und entsprechend die Impulsantworten gemessen werden.
-
Weiterhin wird der mindestens eine Parameter bevorzugt mittels eines Optimierungsalgorithmus bestimmt. Insbesondere können dabei globale Optimierungsalgorithmen verwendet werden, die ohne Startparameter auskommen, z. B. naturanaloge Optimierungsverfahren wie die Partikelschwarmoptimierung (PSO).
-
In einer vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung kann das elektrochemische System mindestens eine Lithium-Ionen-Zelle umfassen, denn das erfindungsgemäße Verfahren ist besonders nützlich bei der Zustandsbestimmung von Lithium-Ionen-Zellen oder Lithium-Ionen-Batterien, wie z. B. bei der Altersbestimmung.
-
Des Weiteren kann das fraktionale Element eine Warburg-Impedanz und/oder ein CPE (Constant Phase Element) und/oder ein ZARC-/RCPE-Element (CPE parallel zu einem Widerstand) sein, da sich diese fraktionalen Elemente besonders gut zur Beschreibung elektrochemischer Systeme, insbesondere von Lithium-Ionen-Zellen eignen.
-
Weitere Vorteile, Merkmale und Einzelheiten der Erfindung ergeben sich aus den Ansprüchen, der nachfolgenden Beschreibung bevorzugter Ausführungsformen sowie anhand der Zeichnung.
-
Dabei zeigen:
-
1 eine schematische Darstellung einer Systembeschreibung im Zeitbereich (oben) und im Frequenzbereich (unten) gemäß einem Ausführungsbeispiel der Erfindung;
-
2a eine schematische Darstellung eines exemplarischen zeitlichen Verlaufs einer Stromanregung und einer Spannungsantwort; und
-
2b eine schematische Darstellung einer exemplarischen Ortskurve einer Modellfunktion im Frequenzbereich.
-
Da elektrochemische Systeme oft Ortskurven 12, wie in 2b dargestellt, liefern, die mit bekannten konzentrierten Bauelementen nicht nachzubilden sind, bedient sich die Modellierung zur präziseren Beschreibung dieser Ortskurven 12 sogenannter verteilter Bauelemente, wie beispielsweise Warburg-Impedanzen, CPEs (Constant Phase Elements) oder ZARC-/RCPE-Elementen (CPE mit parallel geschaltetem Widerstand), auch fraktionale Bauelemente oder distributed elements genannt. Die Modellfunktionen im Frequenzbereich sind für alle verwendeten Bauelemente beschrieben und können mit gängigen Optimierungsalgorithmen ausreichend genau nachgebildet werden. Diese Verfahren zur Parametrierung von Modellen im Frequenzbereich, wie beispielsweise mittels Impedanzspektroskopie, sind jedoch messtechnisch sehr aufwendig.
-
Um die Parametrierung der Modelle im Zeitbereich durchführen zu können, muss die Systemantwort des impedanzbasierten Zellmodells im Frequenzbereich, multipliziert mit der entsprechenden Frequenzbereichskorrespondenz des Anregungssignals, mittels Laplace-Transformation in den Zeitbereich transformiert werden. Damit entsteht ein entsprechendes Zeitbereichsmodell für die Spannungs- bzw. Stromantwort, dessen Modellparameter dort mit gängigen Optimierungsverfahren geschätzt werden können. Für Modelle mit ausschließlich konzentrierten Bauelementen ist dies Stand der Technik und in den gängigen Lehrbüchern beschrieben.
-
Enthalten die Ersatzschaltbild-Modelle fraktionale Elemente, wie z. B. Warburg-Impedanzen, Constant-Phase-Elemente (CPE) oder ZARC-/RCPE-Elemente, dann sind die Modellparameter im Frequenzbereich gut schätzbar. Sollen diese Modelle oder Modellelemente in den Zeitbereich transformiert werden, so führen die zugrunde liegenden fraktionalen Differentialgleichungen zu fraktionalen Zweipolfunktionen, deren Transformations-Korrespondenzen nicht in den gängigen Lehrbüchern zu finden sind. Das entsprechende mathematische Teilgebiet wird als fraktionale Infinitesimalrechnung bezeichnet.
-
Erfindungsgemäß ist nun vorgesehen, impedanzbasierte Modelle mit fraktionalen Elementen im Zeitbereich zu parametrieren. Dazu können im Zeitbereich durchgeführte Messungen der Systemantwort u(t) verwendet werden, wie in 2a dargestellt, was messtechnisch wesentlich weniger aufwendig ist als das Messen von Impedanzspektren.
-
1 zeigt eine schematische Darstellung einer Systembeschreibung im Zeitbereich (oben) und im Frequenzbereich (unten) gemäß einem Ausführungsbeispiel der Erfindung. Dabei bezeichnen i(t) die Anregungsfunktion im Zeitbereich, u(t) die Systemantwort im Zeitbereich, z(t) die Modellfunktion im Zeitbereich und I(s), U(s) und Z(s) die entsprechenden Größen im Frequenzbereich, wobei s eine komplexe Frequenz bezeichnet. Das elektrochemische System wird dabei in Form eines Ersatzschaltbildes 14 modelliert, das fraktionale Elemente, wie beispielsweise CPEs umfasst, aber darüber hinaus auch konzentrierte Bauelementen wie Widerstände R und Kapazitäten (nicht dargestellt) aufweisen kann. Die Modellfunktion Z(s) dieses Modells wird im Frequenzbereich mit der Frequenzbereichskorrespondenz der Anregungsfunktion I(s) multipliziert und mittels Laplace-Transformation in den Zeitbereich transformiert, wo die Modellparameter mittels gängiger Optimierungsverfahren bestimmt werden können.
-
Exemplarisch lauten die (Spannungs-)Sprungantworten u(t) im Zeitbereich für die Systemfunktionen Z(s) der Warburg-Impedanz, des CPE und des RCPE- bzw. ZARC-Elements: ZWB(s) = 1/(Q·s0.5) ⇒ u(t) = (I ^/Q)·[t0.5/Γ(1.5)] ZCPE(s) = 1/(Q·sα) ⇒ u(t) = (I ^/Q)·[tα/Γ(α + 1)] ZRCPE(s) = R/(1 + RQ·sα) ⇒ u(t) = (I ^/Q)tαΣn(–1/(RQ))n(tαn/(αn + α)!)
-
Die Sprungantworten u(t) im Zeitbereich erhält man dabei mittels inverser Laplace-Transformation der Sprungantworten im Frequenzbereich U(s) = I(s)·Z(s) = (I ^/s)·Z(s). Dabei bezeichnet I ^ die Amplitude der Sprunganregung i(t) im Zeitbereich, Q einen Parameter und Γ die Gammafunktion.
-
Diese Zeitbereichskorrespondenzen der fraktionalen Elemente können benutzt werden, um die Modelle im Zeitbereich zu parametrieren. Insbesondere können die Sprung/Impulsantworten von fraktionalen Bauelementen mittels der Laplacetransformierten fraktionaler Differentialgleichungen bestimmt werden und die Modellparameter über die Anpassung im Zeitbereich geschätzt werden. Als bevorzugt gelten hier globale Optimierungsverfahren, die ohne Startparameter auskommen, z. B. naturanaloge Optimierungsverfahren wie die Partikelschwarmoptimierung.
-
Das erfindungsgemäße Verfahren oder eines seiner Ausgestaltungen kann für die Parametrierung jeglicher Systeme verwendet werden, die fraktionale Elemente enthalten. Insbesondere kann das Verfahren verwendet werden, um elektrochemische Systeme zu charakterisieren deren Ortkurven 12 ganz oder teilweise CPE-Verhalten aufweisen. Damit dient das Verfahren auch zur Zustandsbestimmung von Lithium-Ionen-Zellen und Batterien, z. B. zur Altersbestimmung.
-
Untersuchungen an Impedanzspektren von Lithium-Ionen-Zellen haben ergeben, dass insbesondere der niederfrequente Bereich, der sogenannte Diffusionsast, von Bedeutung ist, da in diesem Bereich eine Korrelation zwischen der Kapazität der Zelle und dem Parameter des CPE gefunden wurde. Dieser Teil der Ortskurve 12 wird üblicherweise mit einem CPE, bzw. einer Warburg-Impedanz als Sonderfall des CPE, beschrieben. Um diesen niederfrequenten Bereich der Ortskurve 12 im Zeitbereich parametrieren zu können, muss die Zeitbereichsantwort u(t), z. B. auf eine Sprunganregung i(t) dieses fraktionalen Elements vorliegen.
-
Liegen Daten von Lithium-Ionen-Zellen bzw. -Batterien im Zeitbereich vor, so können impedanzbasierte Zellmodelle, die fraktionale Elemente enthalten, mit diesen Daten parametriert werden. Eine Parameterschätzung über den Zeitbereich ist messtechnisch deutlich weniger aufwändig als eine Messung im Frequenzbereich, z. B. mittels Impedanzspektroskopie. Gegebenenfalls liegen diese Daten schon aus anderen Messaufgaben vor und können zusätzlich für die Parameterschätzung dieser Modelle verwendet werden.
-
Insgesamt wird so ein Verfahren bereitgestellt, das eine Parametrierung impedanzbasierter Modelle von elektrochemischen Systemen mit fraktionalen Elementen im Zeitbereich ermöglicht. Dadurch, dass so keine aufwendige Impedanzspektroskopie erforderlich ist oder Einschränkungen in Kauf genommen werden müssen, wie bei einer Fourier-Transformation von Zeitbereichswerten in den Frequenzbereich, wird die Zustandsbestimmung elektrochemischer Systeme verbessert und enorm erleichtert.
-
Bezugszeichenliste
-
- 12
- Ortskurve
- 14
- Ersatzschaltbild
- i(t)
- Anregungsfunktion im Zeitbereich
- u(t)
- Systemantwort im Zeitbereich
- z(t)
- Modellfunktion im Zeitbereich
- I(s)
- Anregungsfunktion im Frequenzbereich
- U(s)
- Systemantwort im Frequenzbereich
- Z(s)
- Modellfunktion im Frequenzbereich
- R
- Widerstand
- CPE
- Constant Phase Element
-
ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
-
Diese Liste der vom Anmelder aufgeführten Dokumente wurde automatisiert erzeugt und ist ausschließlich zur besseren Information des Lesers aufgenommen. Die Liste ist nicht Bestandteil der deutschen Patent- bzw. Gebrauchsmusteranmeldung. Das DPMA übernimmt keinerlei Haftung für etwaige Fehler oder Auslassungen.
-
Zitierte Patentliteratur
-
- DE 102005029890 A1 [0002]
