DE102005009503A1 - Modellieren von Stromflüssen in dreidimensionalen leitfähigen und dielektrischen Körpern - Google Patents

Abstract

Stromflüsse in einem dreidimensionalen leitfähigen oder dielektrischen Körper, der in einem Substrat eines unterschiedlichen Materials eingebettet ist, werden anhand von Oberflächenströmen modelliert, die in planaren Oberflächen induziert werden, die den Körper begrenzen und aus demselben Material bestehen wie das Substrat, wobei die Oberflächen entsprechende Werte für die Oberflächenimpedanz aufweisen.

Description

• Diese Erfindung bezieht sich auf Verfahren und Vorrichtungen zum Modellieren von Stromflüssen in dreidimensionalen leitfähigen und dielektrischen Körpern, beispielsweise Leitern mit endlicher Dicke bei planaren elektromagnetischen Schaltungssimulationen.
• Die Technologie der planaren elektromagnetischen (EM) Simulation ermöglicht, allgemein gesagt, das Modellieren dreidimensionaler elektromagnetischer Felder, die durch Ströme angeregt werden, die in planaren Leitern fließen, die in einem mehrschichtigen dielektrischen Medium eingebettet sind. Bei dieser Technologie werden planare Leiter, die in der Tat dreidimensional sind (d.h. eine Dicke aufweisen, die bezüglich ihrer Breite hinsichtlich des Schaltungsbetriebs nicht vernachlässigbar ist), als Lagenleiter mit einer Nulldicke angenähert. Diese Leiter werden so behandelt, als wären sie in einem geschichteten Stapel aus dielektrischen Schichten (auch als Substrat bezeichnet) gedruckt oder eingebettet und als würden sie lediglich planare (zweidimensionale) Oberflächenströme J_s(r) unterstützen, die entweder auf horizontalen oder vertikalen Ebenen in den Metallblechen fließen. 1 zeigt ein verallgemeinertes planares Metallisierungsmuster (z.B. eine Leitbahn einer gedruckten Schaltung oder einen Mikrostreifen), das in einem verallgemeinerten mehrschichtigen dielektrischen Medium (z.B. einem Bestandteil einer mehrschichtigen gedruckten Schaltungsplatine) eingebettet ist.
• Bei echten Schaltungen weisen Leiter immer eine endliche Dicke auf. Bei vielen praktischen planaren HF- und Mikrowellenstrukturen, die man bei monolithischen integrierten Mikrowellenschaltungen (MMICs – monolithic microwave in tegrated circuits), HF-Platinen, HF-Modulen und planaren Antennenanwendungen vorfindet, ist die Metalldicke üblicherweise viel geringer als die Dicke der Metallleitbahnen. In diesen Fällen kann das bei der Planare-EM-Technologie verwendete Nulldickenmodell angewandt werden, und es liefert gültige Simulationsergebnisse. Ferner wird bei diesem Lösungsansatz die endliche Dicke der Leiter nicht vollständig vernachlässigt, sondern wird durch das Konzept der Oberflächenimpedanz, das nachfolgend beschrieben wird, berücksichtigt.
• Wenn man die Stromverteilung im Querschnitt eines planaren 3D-Leiters mit der Breite w, der Dicke t und der Leitfähigkeit σ (siehe 2) und somit den Leiterverlust als eine Funktion der Frequenz betrachtet, können drei Frequenzbereiche unterschieden werden (wobei davon ausgegangen wird, dass w > t), wobei jeder seine eigene Verlustcharakteristik aufweist. Bei niedrigen Frequenzen wird der Strom bei einer Hauttiefe, die im Vergleich zur Breite w und zur Dicke t groß ist, gleichmäßig durch den Querschnitt des Leiters verteilt, und der Verlust wird durch den Gleichstromwiderstand R_DC ∝ 1 / σwt bestimmt. Bei höheren Frequenzen beginnt sich der Kanteneffekt zu manifestieren, das heißt, dass interne induktive Effekte dazu tendieren, die Stromverteilung zu einem exponentiellen Betriebszustand zu modifizieren, mit einer erhöhten Stromdichte an den Außenkanten und einer verringerten Stromdichte in der Mitte des Leiters. Dieser so genannte Kantensingularitätseffekt der Stromverteilung erhöht den Verlust in dem Leiter und beginnt für Frequenzen eine Rolle zu spielen, bei denen die Breite des Leiters größer wird als die doppelte Hauttiefe (w > 2δ_s). Die Hauttiefe ist als Tiefe in dem Leiter definiert, bei der die Stromdichte um einen Faktor e verringert wurde.
• Bei noch höheren Frequenzen, wenn der Leiter im Vergleich zur Hauttiefe (t > δ_s) dick wird, erhöht sich der Verlust noch mehr, da der Strom zunehmend auf die Oberfläche des Leiters beschränkt wird. Dies ist die so genannte Hautef fektregion, bei der die klassische Abhängigkeit des Verlusts von der Quadratwurzel der Frequenz vorliegt. Für einen Leiter, der sich in der Nähe der Masseebene befindet, ist die Stromverteilung stärker auf die untere Schicht des Leiters beschränkt, und somit ist der Hauteffekt vorwiegend einseitig. Für isolierte Leiter ist der Hauteffekt doppelseitig, d.h. der Strom wird gleichmäßig verteilt und auf die untere und die obere Schicht des Leiters beschränkt.
• Bei einer planaren elektromagnetischen Simulation wird der Hauteffekt berücksichtigt, indem das Konzept der Oberflächenimpedanz angewandt wird, wohingegen der Kanteneffekt berücksichtigt wird, indem das Konzept eines Kantengitters angewendet wird.
• Das Konzept der Oberflächenimpedanz wird verwendet, um ohmsche Verluste und den frequenzabhängigen Hauteffekt von Strömen bei dem Prozess des Modellierens planarer Leiter zu umfassen. Dieses Konzept beruht auf der Zerlegung des Feldproblems in ein internes und ein externes Feldproblem. Das interne Feldproblem adressiert das Feldproblem in dem Leiter und ergibt die Oberflächenimpedanzbeziehung un × E(r) = Zs(un × Js(r)) (1) zwischen dem tangentialen elektrischen Feld an jedem Punkt der Metalloberfläche und dem äquivalenten Oberflächenstrom an demselben Punkt. Bei dem externen Feldproblem wird der dicke Leiter durch einen Lagenleiter (mit Nulldicke) ersetzt, der den auf das tangentiale elektrische Feld gemäß Ausdruck (1) bezogenen einzigen Oberflächenstrom J_s(r) (3) trägt.
• Bei dem Ausdruck (1) ist E(r) das gesamte elektrische Feld, ist u_n die Einheitsvektornormale zu der Oberfläche des Leiters und ist Z_s die frequenzabhängige Oberflächenimpedanz des Leiters. Man nehme an, dass der Ersatzlagenleiter unendlich dünn ist und dass die tatsächliche Dicke t und die Leitfähigkeit σ des dicken Leiters durch die Oberflächenimpedanz Z_s berücksichtigt wird.
• Das interne Feldproblem
• In der Planare-EM-Technologie werden am häufigsten zwei Modelle für die Oberflächenimpedanz verwendet. Diese Modelle werden von dem eindimensionalen internen Feldproblem abgeleitet, das mit einer Leiterplatte einer endlichen Dicke, die unendliche laterale Abmessungen aufweist, verbunden ist – siehe „Variations of microstrip losses with thickness of strip", R. Horton, B. Easter & A. Gopinath, Electronics Leiters, Vol. 7, Nr. 17, S. 490–491, August 1971. Auf Grund der Eindimensionalität des Feldproblems kann die Maxwellsche Gleichung analytisch gelöst werden, wobei dies einen Ausdruck einer geschlossenen Form für die Oberflächenimpedanz ergibt. Beide Modelle ergeben denselben und korrekten Gleichstromwiderstand des 3D-Leiters, unterscheiden sich jedoch bezüglich der Hochfrequenzgrenze. Das erste Modell beschreibt einen einseitigen Hauteffekt, bei dem der gesamte Hochfrequenzstrom auf eine einzige Hauttiefenschicht beschränkt ist. In der Praxis tritt diese Situation für Strukturen vom Mikrostreifentyp auf, die sich in der Nähe einer Masseebene befinden, so dass der Proximity-Effekt bzw. Stromverdrängungseffekt des Rückstroms in der Masseebene eine wichtige Rolle bei der Stromverteilung spielt. Das zweite Modell beschreibt den doppelseitigen Hauteffekt, bei dem der Hochfrequenzstrom über zwei Hauttiefenschichten verteilt ist, einer am oberen Ende und einer am unteren Ende des Leiters. Dies gilt für Strukturen vom Streifenleitungstyp und für Strukturen vom Mikrostreifentyp, bei denen die Masseebene weit genug entfernt ist, so dass sie keinen bedeutenden Effekt auf die Stromverteilung in dem Leiter hat.
• Modell des einseitigen Hauteffekts
• Das Modell für die Oberflächenimpedanz, das den einseitigen Hauteffekt beschreibt, ist durch die folgende Formel gegeben:

  
• Für niedere Frequenzen ω→0 und durch Anwenden der Grenze coth(z)→1/z+z/3 wird Formel (2) ohne weiteres zu (3a) vereinfacht, was den bekannten Gleichstromwiderstand für eine einheitliche Stromverteilung in dem gesamten Querschnitt eines dicken Leiters mit einer Leitfähigkeit σ und einer Dicke t ergibt:

  
• Man beachte, dass die Oberflächenimpedanz (3a) auch die erhöhte Eigeninduktivität des Stroms der Einschichtoberfläche modelliert. Für einen guten Leiter mit σ≫ωε und für hohe Frequenzen, bei denen die Hauttiefe δ_s viel geringer ist als die Leiterdicke t, kann die Grenze coth(z)→1 angewendet werden, und die Formel (2) wird auf die Formel (3b) reduziert, wobei das bekannte Hauteffektverhalten der Stromverteilung beschrieben wird, das bewirkt, dass der Widerstand mit der Quadratwurzel der Frequenz zunimmt und die Induktivität mit derselben abnimmt:

  
• Der durch die Oberflächenimpedanzformel (2) modellierte Leiterverlust ist äquivalent zu dem Verlust für eine gleichmäßige Stromverteilung über den gesamten Querschnitt (Dicke t) bei niederen Frequenzen und für eine konzentrierte Stromverteilung über eine Dicke δ_s bei hohen Frequenzen. Diese äquivalente Oberflächenimpedanz ergibt die exakte Lösung bei niedrigen Frequenzen. Bei hohen Frequenzen liefert das Modell jedoch lediglich dann gute Ergebnisse, wenn es für gute Leiter angewandt wird, die viel breiter als dick sind (üblicherweise w/t > 5) und die sich in der Nähe der Masseebene befinden, so dass die HF-Ströme auf einer Seite des Leiters fließen.
• Modell eines doppelseitigen Hauteffekts
• Das Modell für die Oberflächenimpedanz, das den doppelseitigen Hauteffekt beschreibt, ist durch die folgende Formel gegeben:

  
• Bei der Niederfrequenzgrenze für ω→0 wird der bekannte Gleichstromwiderstand für eine gleichmäßige Stromverteilung wiedergewonnen:

  
• Bei der Hochfrequenzgrenze, bei der die Hauttiefe δ_s viel geringer ist als die Leiterdicke t, kann die Grenze coth(z)→1 angewandt werden, und die Formel (4) wird auf das Folgende reduziert, wobei das Doppelseitiger-Hauteffekt-Verhalten der Stromverteilung beschrieben wird:

  
• Der durch die Oberflächenimpedanzformel (4) modellierte Leiterverlust ist äquivalent zu dem Verlust einer gleichmäßigen Stromverteilung über den gesamten Querschnitt (Dicke t) bei niederen Frequenzen und einer doppelschichtigen Stromverteilung über eine Dicke δ_s bei hohen Frequenzen. Diese äquivalente Oberflächenimpedanz ergibt die genaue Lösung bei niederen Frequenzen. Bei hohen Frequenzen liefert das Modell jedoch nur dann gute Ergebnisse, wenn es auf isolierte gute Leiter, die viel breiter als dick sind, angewendet wird, so dass die HF-Ströme gleichmäßig verteilt sind und sowohl an der Oberseite als auch an der Unterseite des Leiters fließen.
• Das externe Feldproblem
• Eine grundlegende integrale Gleichung der unbekannten Oberflächenströme kann erhalten werden, indem die obige Oberflächenimpedanzbeziehung (1) an den Grenzen der Lagenleiter angewandt wird. Mittels des Greenschen Theorems wird die Oberflächenstromverteilung auf das elektrische Feld durch eine Oberflächenintegraldarstellung beschrieben, bei der die elektrische Greensche Dyadik des Substratschichtstapels als der integrale Kern agiert. Bei der MPIE-Formulierung (MPIE = mixed potential integral equation, Mischpotentialintegralgleichung), die bei „Mixed Potential Integral Equation Technique for Hybrid Microstrip-Slotline Multilayered Circuits using a Mixed Rectangular-Triangular Mesh" von J. Sercu, N. Fache, F. Libbrecht & P. Lagasse, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, S. 1162–1172, Mai 1995, beschrieben ist, wird das elektrische Feld in einen Beitrag von dem Vektorpotential A(r) und einen Beitrag von dem skalaren Potential V(r) zerlegt:

  
• Bei dem Ausdruck (7) ist G ^A die dyadische magnetische Greensche Funktion, und G^V ist die skalare elektrische Greensche Funktion des mehrschichtigen Mediums. Das skalare Potential entstammt der dynamischen Oberflächenladungsverteilung q_s, die von dem Oberflächenstrom durch die Stromkontinuitätsbeziehung abgeleitet ist, und bezieht sich auf das Vektorpotential durch die Lorentzsche Bedingung.
• Das elektrische Feld bei Ausdruck 1 ist das gesamte elektrische Feld. Durch Aufteilen des gesamten elektrischen Feldes in ein ankommendes Feld Eⁱⁿ von den angelegten Quellen und ein gestreutes Feld, das durch die unbekannten Oberflächenströme angeregt wird, und durch Anwenden der Mischpotentialzerlegung (7) für das zerstreute Feld wird die bekannte Mischpotentialintegralgleichung (MPIE) in den unbekannten Oberflächenströmen erhalten:

  
• Hier bezeichnet die Tiefstellung „t" für die Vektoren die Vektorkomponententangentiale zu der Oberfläche S der planaren Leiter.
• Der MoM-Lösungsprozess (MoM = method of moments, Verfahren der Momente) wird verwendet, um die Mischpotentialintegralgleichung (8) zu diskretisieren und zu lösen. Der MoM-Prozess ist eine Technik einer numerischen Diskretisierung, die eine diskrete Annäherung für den unbekannten Oberflächenstrom J_s(r) aufbaut. Dies wird dadurch bewerkstelligt, dass dem Lagenleiter unter Verwendung rechteckiger und dreieckiger Zellen ein fiktives Gitter überlagert wird, wie in 4 schematisch gezeigt ist. Eine endliche Anzahl N von Teilabschnittsbasisfunktionen B₁(r), ..., B_N(r) ist über das Gitter definiert. Sie erstellen die Grundlage des diskreten Raums, innerhalb dessen der unbekannte Oberflächenstrom angenähert wird:

  
• Die standardmäßigen Basisfunktionen, die bei planaren EM-Simulatoren verwendet werden, sind die Teilabschnitts-„Dach"-Funktionen („Rooftop"-Funktionen), die über den rechteckigen und dreieckigen Zellen definiert sind. Jedes Dach ist einem Rand des Gitters zugeordnet und stellt einen Strom mit einer konstanten Dichte dar, der durch diesen Rand fließt, wie in 4 gezeigt ist. Die unbekannten Amplituden I_j, j = 1, ..., N der Basisfunktionen bestimmen die durch alle Ränder des Gitters fließenden Ströme.
• Die Integralgleichung (8) wird diskretisiert, indem die Dacherweiterung (9) der Oberflächenströme eingefügt wird und indem die Galerkin-Testprozedur angewandt wird. Das heißt, dass durch Testen der Integralgleichung unter Verwendung von Testfunktionen, die identisch mit den Basisfunktionen sind, die kontinuierliche Integralgleichung in eine diskrete Matrixgleichung transformiert wird:

  
• Hier stellt <^.,^.> den Galerkin-Testoperator dar. Die linksseitige Matrix [Z] wird als die Interaktionsmatrix bezeichnet, da jedes Element in dieser Matrix die elektromagneti sche Wechselwirkung zwischen zwei Dach-Basisfunktionen beschreibt. Die Dimension N von [Z] ist gleich der Anzahl von Basisfunktionen. Der rechtsseitige Vektor [Vⁱⁿ] stellt den diskretisierten Beitrag der ankommenden Felder dar, die durch die an die Tore des Lagenleiters angelegten Quellen erzeugt werden. Es ist zweckmäßig, die Interaktionselemente in drei Teile aufzuteilen, die dem magnetischen Vektorpotential, dem elektrischen Skalarpotential und der Oberflächenimpedanz zugeordnet sind. Somit gilt:

  
• Die Verwendung der Mischpotentialformulierung in Kombination mit dem Konzept der Oberflächenimpedanz ermöglicht eine Zerlegung jedes Interaktionselements Z_ij in einen induktiven Term, einen kapazitiven Term und einen resistiven Term. Der induktive und der kapazitive Interaktionsterm sind jeweils durch ein vierfaches Integral definiert, bei dem die Greenschen Funktionen als Integralkerne (12a) agieren; der resistive Term ist durch das Überlappungsintegral zweier Basisfunktionen definiert:

  
• Die Implementierung des MoM-Lösungsprozesses in einer praktischen Simulation besteht aus zwei Hauptschritten: Laden der Matrix und Lösen der Matrix. Der Ladeschritt umfasst die Berechnung aller elektromagnetischen Interaktionen zwi schen jedem Paar von Basisfunktionen gemäß den Ausdrücken (12a) und (12b). Dies beinhaltet die Berechnung der vierfachen Integrale gemäß der Definition bei Ausdruck (13). Die berechneten Interaktionselemente werden in der Interaktionsmatrix gespeichert. Es ist wichtig, zu beachten, dass die Interaktionsmatrix, wie sie in der Dachbasis definiert ist, eine dichte Matrix ist; d.h. jede Dachfunktion interagiert mit jeder anderen Dachfunktion. Der Matrixladevorgang ist im Wesentlichen ein Vorgang der Größenordnung N², d.h. die Berechnungszeit nimmt mit dem Quadrat der Anzahl von Unbekannten zu.
• Bei dem Lösungsschritt wird die Matrixgleichung (10) nach den unbekannten Stromausdehnungskoeffizienten aufgelöst. Die Lösung ergibt die Amplituden I_j, j = 1, ..., N der Dachbasisfunktionen, die den Oberflächenstrom, der in den Lagenleitern mit einer Nulldicke fließt, umfassen. Wenn die Ströme erst einmal bekannt sind, ist das Feldproblem gelöst, da alle physikalischen Größen bezüglich der Ströme ausgedrückt werden können.
• Modellieren dicker Leiter
• Die Darstellung von Metallleitern in der aktuellen Planare-EM-Technologie beinhaltet bestimmte spezifische Lösungsansätze:
• • Die derzeitige Planare-EM-Technologie verwendet das Konzept unendlich dünner Leiter. In Wirklichkeit bedeutet dies, dass die Dicke des Leiters beträchtlich geringer als seine Breite sein sollte.
• • Der Effekt der endlichen Dicke wird berücksichtigt, indem das Konzept der Oberflächenimpedanz (Z_s) eingeführt wird.
• Die obige Behandlung von Metallleitern erweist sich als angemessen für klassische Mikrowellenschaltungen (z.B. Filter, Antennen) und in vielen Fällen auch für HF- und digitale Platinen.
• Jedoch ist die Vorhersage des Schaltungsverhaltens auf der Basis von Maxwellschen Gleichungen (und somit eine Berücksichtigung aller Effekte wie z.B. kapazitives und induktives Übersprechen, Reflexion, Klingeln, ...) nicht mehr das einzige Interesse von Entwerfern von Mikrowellen- und Digitalschaltungen und -platinen. Neue und fortgeschrittenere Konsumentenvorrichtungen wie z.B. GPS-Systeme, Mobiltelefone dritter Generation und Spielkonsolen, wachsende Anforderungen in Bezug auf Verarbeitungsleistung und Kommunikationsbandbreite, Austausch und Transport großer Datenmengen (z.B. im Internet, in LANs, WLANs usw.) und immer leistungsfähigere Computer stützen sich allesamt auf moderne Technologien integrierter Halbleiterschaltungen (ICs). Die ITRS (International Roadmap for Semiconductors, internationale Planung für Halbleiter) sagt voraus, dass die kleinsten IC-Merkmale von 150 nm im Jahre 2002 auf 50 nm bis zum Jahre 2012 schrumpfen werden, während die Taktgeschwindigkeit von 1,5 GHz auf 10 GHz zunehmen wird. Zur selben Zeit wird die Bedeutung des Verbindungsteils (Metallleiterteils) des Chips zunehmen. Bei einem typischen modernen Mikroprozessor beispielsweise wird die Gesamtverbindungslänge bis zum Jahre 2012 von etwa 2 km auf etwa 24 km zunehmen. Diese Verbindungslänge umfasst auch auf dem Chip befindliche passive Komponenten wie z.B. Kondensatoren und Induktoren.
• Es ist ziemlich deutlich, dass die Annäherung unendlich dünner Leiter für auf einem Chip befindliche Verbindungen nicht gerechtfertigt ist. Die Breite und Dicke der Leiter weist üblicherweise dieselbe Größe auf, z.B. einen Querschnitt von 1 μm mal 1 μm, und die Beabstandung zwischen Leitern liegt in derselben Größenordnung. Die Geometrie von auf einem Chip befindlichen Leitern wirkt sich darauf aus, wie die kapazitive und induktive Kopplung zwischen Leitern gehandhabt werden sollte. Besondere Aufmerksamkeit wird man auch dem Widerstand des Leiters widmen müssen. Für digitale Signale werden Frequenzen von Gleichstrom bis etwa 50 GHz (d.h. zehn Oberschwingungen, wenn eine maximale Taktrate von 10 GHz in Betracht gezogen wird) berücksichtigt werden müssen. Die Stromverteilung innerhalb des Leiters wird sich von dem quasi statischen Fall (Gleichstromwiderstand) zum Hochfrequenzfall (Vorliegen eines Hauteffekts und von Verlusten, die durch die Oberflächenimpedanz dominiert werden) weiterentwickeln.
• All diese Überlegungen führen zu der Schlussfolgerung, dass die Annäherung unendlich dünner Leiter nicht mehr gültig ist und dass eine verbesserte Modellierung der Leiter benötigt wird.
• Es gibt mehrere Vorschläge dafür, homogene 3D-Leiter in einen EM-Simulator zu integrieren. Die unkomplizierteste Lösung ist die Verwendung eines rigorosen 3D-Feld-Simulators. Derartige Simulatoren sind in der Lage, allgemeine 3D-Leiterobjekte zu handhaben. Wenn sie jedoch auf planare 3D-Leiter angewendet werden, die in einem mehrschichtigen Medium eingebettet sind, werden sie sehr zahlenintensiv (die Diskretisierungsgröße innerhalb des Leiters muss in der Regel geringer sein als die Hauttiefe) und eignen sich nicht für Strukturen des wirklichen Lebens.
• Es gibt Lösungsansätze, die auf der Einschicht-Lagenleiterannäherung (in 5(b) gezeigt) und der Verwendung entweder des einseitigen oder des doppelseitigen Modells für die skalare Oberflächenimpedanz beruhen. Ein Nachteil dieses Lösungsansatzes besteht darin, dass diese Modelle lediglich für gute Leiter gelten, deren Breite viel größer ist als ihre Dicke (üblicherweise w/t > 5). Bei hohen Frequenzen vernachlässigen beide Modelle die Ströme an den Seitenwänden und gehen von einer vordefinierten Verteilung des Stroms auf der oberen und der unteren Schicht des Leiters aus. Diese Annahmen führen üblicherweise zu einer Überschätzung des Hochfrequenzverlusts. Bei einem Einzelschicht-Oberflächenstrom wird ferner die Dickenabhängigkeit der externen Induktivität vernachlässigt, so dass die Induktivität ebenfalls überschätzt wird.
• Ein verbessertes Hochfrequenzmodell für einen dicken Leiter wird erhalten, indem das in 6(b) gezeigte Modell eines Zweischicht-Lagenleiters verwendet wird. Bei diesem Zweischichtmodell wird das Volumen des Leiters in zwei gleiche Lagenleiterschichten aufgeteilt, eine an der oberen Oberfläche und eine an der unteren Oberfläche des Leiters. Der frequenzabhängige Hauteffekt bei jedem Lagenleiter wird mit aufgenommen, indem das Modell der einseitigen Oberflächenimpedanz (Ausdruck (2)) mit einer Dicke, die der Hälfte der Gesamtleiterdicke entspricht, verwendet wird. Bei diesem Modell ist die Verteilung des Stromflusses zwischen der oberen und der unteren Schicht nicht vordefiniert und ergibt sich aus der Lösung der EM-Gleichungen, was zu einem verbesserten Modell für die Hochfrequenzverluste führt. Bei dem Zweischichtoberflächenstrom ist die Dickenabhängigkeit der externen Induktivität mit inbegriffen. Die für die obere und die untere Schicht verwendeten Oberflächenimpedanzen sind jedoch nicht gekoppelt und berücksichtigen nicht die gegenseitige Eigeninduktivität. Somit neigt das Modell der Zweischicht-Oberflächenimpedanz dazu, die globale Induktivität zu überschätzen. Weitere Einzelheiten des Modells des Zweischicht-Lagenleiters finden sich bei „Microstrip conductor loss models for electromagnetic analysis", J. C. Rautio & V. Demir, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 51, Nr. 3, S. 915–921, März 2003.
• Andere Lösungsansätze sind in der Lage, das Problem auf exakte Weise zu handhaben. Wie oben bereits umrissen wurde, nähern sich Planare-EM-Löser dem Problem an, indem sie eine skalare Oberflächenimpedanz einführen, die für dicke Leiter ungenau wird und sich nicht für Dielektrika eignet. Um das Problem auf exakte Weise zu handhaben, besteht ein in der Literatur beschriebener typischer Lösungsansatz darin, zu nächst eine Grenzintegralgleichung für die Felder innerhalb des Leiters zu lösen, was eine Beziehung zwischen den tangentialen elektrischen und Magnetfeldern an der Grenzoberfläche zwischen dem Leiter und seiner umgebenden Schicht ergibt. Als Nächstes wird der Vorgang für die Felder außerhalb des Leiters (d.h. in dem geschichteten Hintergrundmedium) wiederholt. Wiederum wird eine Beziehung zwischen den tangentialen Feldern erhalten. Indem gefordert wird, dass die tangentialen Feldkomponenten über die Grenzoberfläche hinweg kontinuierlich sind, wird für diese tangentialen Felder ein Satz von Integralgleichungen erhalten. Ein hinreichend bekannter Satz von Integralgleichungen, die besonders dazu geeignet sind, diese Art von Problem zu handhaben, sind die als Integralgleichungen von Poggio und Miller Bekannten, die bei „Integral Equation Solutions of Three Dimensional Scattering Problems" von A.J. Poggio und E.K. Miller, Computer techniques for electromagnetics, R. Mittra, Pergamon Press, Oxford, 1973, beschrieben sind. Das Problem lässt sich auch in Bezug auf äquivalente elektrische und magnetische Ströme, die sich auf der Grenzoberfläche befinden, umformulieren – siehe z.B. die Erörterung der Feldäquivalenz bei „Field theory of guided waves", R. E. Collin, IEEE Press Series on Electromagnetic Waves, 1990. Wenn dieser Lösungsansatz in Verbindung mit einem Planare-EM-Löser verwendet wird, weist er zwei große Nachteile auf
• • Das Erfordernis, sowohl elektrische als auch magnetische äquivalente Oberflächenströme einzuführen, verdoppelt die Anzahl von Unbekannten, die durch den Löser gehandhabt werden müssen, im Vergleich zu dem Fall, bei dem lediglich elektrische Oberflächenströme benötigt werden.
• • Die derzeitige Technologie eines planaren Lösers beruht inhärent auf dem Konzept, das eine Leiteroberfläche allein durch elektrische Oberflächenströme modelliert wird. Die bei dem Löser verwendeten Greenschen Funktionen berechnen das diesen Strömen zugeordnete elektrische Feld und gewährleisten gleichzeitig auf essentielle Weise, dass das tangentiale Magnetfeld die richtige Sprungbedingung bei der vorliegenden Schicht erfüllt (siehe 7) : u_n × H₁ – u_n × H₂ = J_s. Das tangentiale elektrische Feld bleibt kontinuierlich, d.h. u_n × E₁ = u_n × E₂. Das Magnetfeld selbst wird niemals berechnet. Um den oben erläuterten Lösungsansatz anzuwenden, würde es notwendig, auch diese Magnetfelder (und somit die Rotation des magnetischen Vektorpotentials) zu kennen.
• Gemäß einem Aspekt dieser Erfindung ist ein Verfahren zum Modellieren von Stromflüssen in einem dreidimensionalen Körper vorgesehen, der in einem Medium eingebettet ist, das aus einem ersten Material besteht, wobei der Körper aus einem zweiten Material besteht, wobei das Verfahren folgende Schritte umfasst:
  Definieren einer Mehrzahl von planaren Oberflächen, die zusammen die Grenze des Körpers bilden;
  Ableiten eines Werts für eine Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz der Mehrzahl von planaren Oberflächen;
  Modellieren von Stromflüssen in dem Körper anhand von Oberflächenströmen, die auf den planaren Oberflächen eines Körpers induziert werden, der aus dem ersten Material besteht und der den abgeleiteten Wert für die Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz aufweist.
• Gemäß einem weiteren Aspekt dieser Erfindung ist eine Vorrichtung zum Modellieren von Stromflüssen in einem dreidimensionalen Körper vorgesehen, der in einem Medium eingebettet ist, das aus einem ersten Material besteht, wobei der Körper aus einem zweiten Material besteht, wobei die Vorrichtung folgende Merkmale umfasst:
  einen Speicher, der angeordnet ist, um Daten zu halten, die eine Mehrzahl von planaren Oberflächen definieren, die zusammen die Grenze des Körpers bilden;
  einen Prozessor, der angeordnet ist, um einen Wert für eine Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz der Mehrzahl von planaren Oberflächen abzuleiten und um Stromflüsse in dem Körper anhand von Oberflächenströmen zu modellieren, die auf den planaren Oberflächen eines Körpers induziert werden, der aus dem ersten Material besteht und der den abgeleiteten Wert für die Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz aufweist.
• Die Erfindung weist nicht die oben erörterten Nachteile auf. Es wird lediglich ein fiktiver elektrischer Oberflächenstrom eingeführt – es wird kein magnetischer Strom benötigt. Die Greenschen Funktionen bleiben unverändert, ebenso wie die Sprungbedingung bei dem Oberflächenstrom (u_n × H₁ – u_n × H₂ = J_s und u_n × E₁ = u_n × E₂). Durch die Einführung eines Oberflächenimpedanzoperators (oder, äquivalent dazu, eines Oberflächenadmittanzoperators) kann die vollständige Physik erfasst werden, und somit werden keine zusätzlichen Unbekannten eingeführt. Lediglich die Beziehung zwischen elektrischem Feld und Strom wird komplexer, d.h. ist nicht mehr skalar, sondern stattdessen durch eine Matrix gegeben. Es ist ein zusätzlicher Rechenaufwand erforderlich, um diese Oberflächenimpedanzmatrix zu bestimmen, diese zusätzliche Berechnung ist jedoch viel geringer als die, die bei alternativen Lösungsansätzen erforderlich ist, da sie durch die Wiederverwendung eines Teils des Rechenaufwands bewerkstelligt werden kann, der benötigt wird, um Matrizen des externen Feldproblems, das ein Bestandteil der Technik des Lösers der planaren EM ist, zu laden.
• Die Erfindung kann nicht nur für endliche bzw. finite Leiter verwendet werden, sondern auch dazu, das Vorliegen finiter Dielektrika zu handhaben. Ein Vorteil der Erfindung besteht darin, dass sie auch die planare Schichtung des Hintergrundmediums wiederherstellt, so dass die Greenschen Funktionen G^A(r, r') und G^V(r, r') trotzdem ohne Modifikation verwendet werden können.
• Unter Bezugnahme auf die beiliegenden Zeichnungen werden nun beispielhaft ein Verfahren und eine Vorrichtung gemäß dieser Erfindung zum Modellieren von Stromflüssen bei dreidimensionalen leitfähigen oder dielektrischen Körpern beschrieben. Es zeigen:
• 1 eine schematische Darstellung von horizontalen und vertikalen Oberflächenströmen an planaren Metallisierungen einer Nulldicke, die in einem mehrschichtigen dielektrischen Medium eingebettet sind;
• 2 eine Stromverteilung im Querschnitt eines planaren 3D-Leiters als Funktion der Frequenz;
• 3 das Konzept der Oberflächenimpedanz zum Modellieren eines Leiterverlustes und Hauteffekts;
• 4 ein Beispiel eines gemischten rechteckigen und dreieckigen Gitters, um die Lagenleiteroberfläche der 1 und Dachbasisfunktionen zu diskretisieren, um die Oberflächenströme zu modellieren;
• 5 und 6 Lösungsansätze von Einschicht- und Zweischicht-Lagenleitern zum Modellieren eines Leiterverlustes und Hauteffekts;
• 7 Sprungbedingungen, die durch planare Löser bei der Simulation von Feldern bei der Oberflächenstromschicht erfüllt werden;
• 8 ein Blockdiagramm einer Vorrichtung zum Simulieren eines Betriebs einer Schaltung, die dreidimensionale Leiter umfasst;
• 9 ein schematisches Beispiel eines mehrschichtigen Mediums mit einem eingebetteten 3D-Leiter (oder Dielektrikum);
• 10 das mehrschichtige Medium der 9 mit der Ersetzung von äquivalenten Oberflächenströmen gemäß der Erfindung, die eine Wiederherstellung des ursprünglichen Hintergrundmediums ermöglicht;
• 11 die Geometrie für eine Implementierung der Erfindung unter Verwendung einer eindimensionalen Annäherung einer Leiterplatte einer finiten Dicke in einem mehrschichtigen Hintergrundmedium;
• 12 eine zu der Geometrie der 11 äquivalente Geometrie mit fiktiven Oberflächenströmen in dem mehrschichtigen Hintergrundmedium;
• 13 die Anwendung eines Eindimensionale-Oberflächenimpedanz-Operators;
• 14 die Geometrie für eine Implementierung der Erfindung unter Verwendung einer zweidimensionalen Annäherung eines Leiters einer finiten Dicke in einem mehrschichtigen Hintergrundmedium;
• 15 eine zu der Geometrie der 14 äquivalente Geometrie, mit fiktiven Oberflächenströmen in dem mehrschichtigen Hintergrundmedium;
• 16 eine Diskretisierung einer zweidimensionalen Annäherung unter Verwendung von Pulsbasisfunktionen, die über eine Querschnittsgrenze C definiert sind;
• 17 die Geometrie für eine Implementierung der Erfindung unter Verwendung einer dreidimensionalen An näherung eines Leiters einer finiten Dicke in einem mehrschichtigen Hintergrundmedium;
• 18 eine zu der Geometrie der 17 äquivalente Geometrie mit fiktiven Oberflächenströmen in dem mehrschichtigen Hintergrundmedium; und
• 19 eine Diskretisierung der fiktiven Oberflächenströme an der Grenze des in 17 gezeigten dreidimensionalen Leiters.
• Der Zweckmäßigkeit halber wird eine beispielhafte Implementierung der Erfindung im Kontext eines Entwurfs einer elektronischen Schaltung unter Verwendung einer Vorrichtung zum Simulieren eines Betriebs einer elektronischen Schaltung, wie sie in 8 gezeigt ist, beschrieben.
• Unter Bezugnahme auf 8 weist die Vorrichtung eine Verarbeitungseinheit 10 und eine Benutzereingabe/ausgabeschnittstelleneinheit 12 auf. Die Verarbeitungseinheit 10 umfasst eine Zentralverarbeitungseinheit (CPU – central processing unit), einen Direktzugriffsspeicher (RAM), einen Festplattenspeicher und eine zugeordnete Schaltungsanordnung, um die CPU zu befähigen, Prozeduren gemäß Softwareprogrammanweisungen, die in dem RAM gespeichert sind, zu implementieren und mit der Schnittstelleneinheit 12 zu interagieren, um eine Eingabe von dem Benutzer zu empfangen und die Ergebnisse der Prozeduren anzuzeigen. Die Schnittstelleneinheit 12 umfasst üblicherweise eine Bildschirmanzeige (VDU – visual-display unit), eine Tastatur, eine Maus und/oder ein Tablett oder eine ähnliche Zeigevorrichtung sowie einen Drucker oder eine andere Druckkopieausgabevorrichtung.
• Bei der Vorbereitung darauf, eine Systemsimulation durchzuführen, empfängt die Vorrichtung über die Schnittstelleneinheit 12 bei Schritt 20 eine physische Beschreibung des Systems, z.B. eine Liste von Komponenten einer elektroni schen Schaltung, ihrer Betriebscharakteristika (z.B. Widerstand, Kapazität, Verstärkung als Funktion der Frequenz, usw.), ihrer Verbindung (z.B. der Position und Abmessung elektrischer Leiter) und anderer Einzelheiten des Schaltungslayouts. Bei Schritt 22 leitet die Vorrichtung ein Modell des Verhaltens des Systems über den interessierenden Frequenzbereich ab. Bis zu dem Umfang, in dem dies ein Modellieren von leitfähigen und dielektrischen 3D-Körpern beinhaltet, wendet Schritt 22 die nachstehend ausführlicher beschriebenen Techniken an; üblicherweise beinhaltet dieser Schritt auch die Verwendung anderer Schaltungsmodellierungs- und -simulationstechniken, die Fachleuten bereits bekannt sind. Bei Schritt 24 wird das resultierende Modell verwendet, um den Betrieb des Systems zu simulieren und Ausgangsdaten, die einen derartigen Betrieb beschreiben, zu erzeugen. Diese Ausgangsdaten können z.B. graphische Anzeigen von Schaltungsbetriebscharakteristika, z.B. Bode-Diagramme, Smith-Graphiken und Pol-Nullstellen-Diagramme sowie numerische Beschreibungen wie z.B. Parameterwerte für Formeln, die die Eigenschaften des Systems zusammenfassen, umfassen. Die Ausgangsdaten werden dem Benutzer über die Schnittstelleneinheit 12 geliefert und können verwendet werden, um die Betriebscharakteristika des simulierten Systems zu verstehen, sein Verhalten mit dem gewünschten Verhalten zu vergleichen, den Entwurf des Systems weiterzuentwickeln und Daten zu liefern, um Herstellungsprozesse zu steuern, um eine praktische Implementierung des Systems zusammenzustellen.
• Der Betrieb der Vorrichtung in Bezug auf Schritt 20 ist herkömmlich und muss hier nicht näher beschrieben werden. Die Ableitung des Modells, insbesondere in Bezug auf eine Simulation von leitenden oder dielektrischen 3D-Körpern, verläuft wie folgt.
• Die Erfindung wird unter Bezugnahme auf das neuartige Konzept eines „Oberflächenimpedanzoperators" beschrieben, das als Verallgemeinerung des oben erörterten Konzepts der ska laren Oberflächenimpedanz angesehen werden kann. Der Oberflächenimpedanzoperator ermöglicht, dass das Problem eines dicken Leiters (oder Dielektrikums) in einem mehrschichtigen Medium mittels lediglich äquivalenter elektrischer Oberflächenströme an der Oberfläche des Leiters auf genaue und präzise Weise beschrieben wird.
• Unter Bezugnahme auf 9 ist ein finites homogenes leitendes 3D-Objekt 30 gezeigt, das aus einem Medium 2 mit konstitutiven elektromagnetischen Parametern ε₂ (Permittivität), μ₂ (Permeabilität) und σ₂ (Leitfähigkeit) besteht. Dieses Objekt ist in einer Schicht des planaren mehrschichtigen Mediums eingebettet, wobei diese Schicht ein Medium 1 mit jeweiligen Parametern ε₁, μ₁, σ₁ umfasst. Zwischen dem Medium 1 und dem Medium 2 existiert eine Grenzoberfläche S, die das leitende Objekt 30 definiert.
• Wie oben erläutert wurde, stützt sich ein herkömmlicher Planare-EM-Simulator, der verwendet wird, um eine Struktur wie die in 9 gezeigte zu simulieren, im Wesentlichen auf die Berechnung der Greenschen Funktionen des geschichteten Hintergrundmediums. Das Vorliegen von unendlich dünnen Leitern würde dann dadurch berücksichtigt, dass Oberflächenströme, die über diese Leiter laufen, mit aufgenommen würden. Jedoch zeigt 9 deutlich, dass die geschichtete Struktur durch das Vorliegen des leitenden 3D-Objekts 30 unterbrochen wird. Da das Medium 2 leitend ist, liegen auch Volumenströme vor, was weiter gegen die grundlegende Annahme des Planare-EM-Simulators, der sich auf das ausschließliche Modellieren von Oberflächenströmen stützt, verstößt. Auch wenn das Medium 2 ein reines Dielektrikum (nicht-leitend) ist, bleiben diese Überlegungen gültig: es genügt, die Leitströme durch ihre Ersatzstromäquivalente zu ersetzen (d.h. J durch jωD ersetzen).
• Die vorliegende Erfindung führt einen fiktiven Oberflächenstrom J_s an der Grenzoberfläche S zwischen dem Medium 1 und dem Medium 2 ein. Die Eigenschaften dieses fiktiven Stroms werden, wie nachfolgend beschrieben, so ausgewählt, dass:
• • das Material des Mediums 2 bei der Simulation durch das des Mediums 1 ersetzt werden kann; auf diese Weise kann die Gleichmäßigkeit des geschichteten Hintergrundmediums wiederhergestellt werden, wie in 10 gezeigt ist;
• • der fiktive Strom J_s bei dem weiteren Modellierungsprozess als der einzige Strom verwendet werden kann, der notwendig ist, um das gesamte Feldproblem zu lösen; und
• • der Strom J_s von dem elektrischen Feld durch einen Oberflächenimpedanzoperator Z_s[] oder Oberflächenadmittanzoperator Y_s[], die durch Grenzoberflächenintegrale folgendermaßen dargestellt werden, abhängt:
• 
• Somit schlägt die Erfindung die Einführung eines ausgewählten fiktiven Grenzoberflächenstroms vor, der eine Wiederherstellung der Beschaffenheit des planaren geschichteten Hintergrundmediums ermöglicht. Dies wiederum ermöglicht die Beibehaltung, beim Modellieren von 3D-Leitern/3D-Dielektrika eines endlichen (nicht Null betragenden) Volumens, der Verwendung des vorhandenen Lösungsmechanismus der Technologie eines Planare-EM-Lösers, wie dies im Fall unendlich dünner Leiter angewendet wird. Dies hat seine Kosten, d.h. eine komplexere Oberflächenimpedanz/admittanzdefinition, dies passt jedoch nahtlos in das Konzept des Planare-EM-Lösers.
• Der Ausdruck (14) besagt, dass das tangentiale elektrische Feld überall auf der Oberfläche S von dem vollständigen Oberflächenstrom auf S abhängt; dagegen besagt der Ausdruck (15), dass der Oberflächenstrom an jedem Punkt auf S eine Funktion tangentialer elektrischer Felder auf S ist. Diese Ausdrücke sind Verallgemeinerungen der einfachen skalaren Oberflächenimpedanz (und analogen Oberflächenadmittanz), die bei Ausdruck (1) eingeführt wird, d.h.

  

  (wobei Y_s = 1/Z_s), die eine einfache skalare Beziehung zwischen dem Oberflächestrom und dem tangentialen elektrischen Feld an jedem Punkt auf der Oberfläche S ist.
• Bei dem Ausdruck (14) ist der dyadische Term Z_s(r,r') der allgemeine Oberflächenimpedanzkern. Die Beziehung der skalaren Oberflächenimpedanz (16) ist ein Spezialfall der Beziehung der allgemeinen Oberflächenimpedanz (14), vorausgesetzt, dass der Oberflächenimpedanzkern unter Verwendung der Einheitsdyadik und der Dirac-Deltapulsfunktion definiert ist:

  

  wobei die Schreibweise I mit zwei Überlinien die Einheitsdyadik angibt.
• In der folgenden Beschreibung werden mehrere Möglichkeiten präsentiert, den Oberflächenimpedanzoperator Z_s oder den Oberflächenadmittanzoperator Y_s zu bestimmen. An dieser Stelle sollte man beachten, dass existierende sogenannte „Äquivalenztheoreme" sowohl einen fiktiven elektrischen Strom J_s als auch einen fiktiven magnetischen Strom M_s einführen. Ein bedeutender Unterschied zwischen dieser Erfindung und jenen Äquivalenztheoremen besteht darin, dass die vorliegende Erfindung lediglich einen elektrischen Strom J_s, aber keinen magnetischen Strom M_s einführt.
• Die allgemeine Oberflächenimpedanzoperatorbeziehung zwischen den fiktiven Oberflächenströmen und dem bei Ausdruck (14) präsentierten elektrischen Feld wird derart bestimmt, dass sie gewährleistet, dass das tangentiale elektrische und Magnetfeld an der Oberfläche des Leiters (9) mit denen in der Konfiguration mit den fiktiven Oberflächenströmen (10) identisch sind.
• Eine Verwendung des Stroms J_s in Kombination mit der bei Ausdruck (14) definierten allgemeinen Oberflächenimpedanz ermöglicht eine Beibehaltung des Planare-EM-Modellierungsprozesses, wie er oben umrissen wurde, um den tatsächlichen Wert von J_s zu bestimmen. Die Mischpotentialintegralgleichung (8) wird zu

  

  verallgemeinert. Dies führt zu einer Verallgemeinerung des Widerstandsterms bei den Interaktionsmatrixelementen (12a, 12b) des MoM-Lösungsprozesses:

  
• Die gesamten Joule-Verluste P_loss in dem Medium 1 können direkt aus der alleinigen Kenntnis von J_s bei

  

  bestimmt werden, wobei Re[] für den realen Teil steht und "*" für die konjugiert Komplexe steht.
• Somit ermöglicht das Konzept der allgemeinen Oberflächenimpedanz das Modellieren eines leitenden 3D-Objekts in einem mehrschichtigen Medium mittels eines gut gewählten fiktiven Oberflächenstroms, der an der Grenze des Leiters in dem ursprünglichen Hintergrundmedium platziert wird. Dies ermöglicht, dass die Wesensart des planaren geschichteten Hintergrundmediums wiederhergestellt wird und der Lösungsprozess des Planare-EM-Lösers für das externe Problem beibehalten wird. Ein Vorteil dieses Lösungsansatzes besteht darin, dass die Greenschen Funktionen G^A(r, r') und G^V(r, r') in dem Ausdruck (13) trotzdem ohne Modifikation verwendet werden können. Dieser Lösungsansatz zieht zwar Kosten nach sich, d.h. eine komplexere Oberflächenimpedanzdefinition, dies passt jedoch nahtlos in das Konzept des Planare-EM-Lösers.
• In den oben erörterten Situationen beschreiben die Greenschen Funktionen G^A(r, r') und G^V(r, r') in dem Ausdruck (13) das Verhalten elektrischer Oberflächenströme in dem planaren geschichteten Hintergrundmedium, in dem die Leiter eingebettet sind. Jegliche Unterbrechung bzw. Störung des planaren geschichteten Charakters dieses Hintergrundmediums, die nicht durch die Oberflächenströme erfolgt (z.B. den Einschluss eines finiten Stückes eines dielektrischen Materials) macht es unmöglich, diese Greenschen Funktionen unter Verwendung zuvor beschriebener Techniken anzuwenden. Bei vielen Technologien, z.B. optischen Wellenleitern, optoelektronischen und elektromagnetischen Kristallen, Verpackungsanwendungen, die einen Hohlraum in einem geschichteten Medium verwenden, und dielektrischen Resonatoren wird das Hintergrundmedium durch das Vorliegen von Dielektrika mit einem finiten Volumen und mit Eigenschaften, die sich von dem umgebenden Hintergrundmedium unterscheiden, gestört bzw. unterbrochen, so dass dieselbe Einschränkung bei der Verwendung anhand herkömmlicher Techniken der Greenschen Funktionen gilt. Jedoch löst das hierin beschriebene Konzept des allgemeinen Oberflächenimpedanzoperators dieses Problem für finite Dielektrika genau so effektiv wie für finite Leiter, wodurch eine Verwendung der Greenschen Funk tionen G^A(r, r') und G^V(r, r') ohne Modifikation ermöglicht wird.
• Die Impedanz-/Admittanzoperatoren Z_s, Y_s können bei verschiedenen Komplexitätsniveaus in den planaren Löser eingebracht werden. Es folgen Beispiele einer eindimensionalen Annäherung, einer zweidimensionalen Annäherung und des vollständigen und exakten dreidimensionalen Falles.
• Die eindimensionale Annäherung
• Der Oberflächenimpedanzoperator kann in geschlossener Form für das eindimensionale Feldproblem, das einer Leiterplatte einer endlichen Dicke eines unendlichen Umfangs in den lateralen (x-, y-)Abmessungen zugeordnet ist, in 11 veranschaulicht, abgeleitet werden. Das Feldproblem ist insofern eindimensional, als die Feldkomponenten lediglich von einer einzigen (z-)Koordinate in der vertikalen Richtung des mehrschichtigen Mediums abhängen. Ohne einen Allgemeingültigkeitsverlust kann man davon ausgehen, dass das E-Feld entlang der x-Richtung, und das H-Feld entlang der y-Richtung orientiert ist. Somit gilt:

  
• Ferner ist der Ursprung des Koordinatensystems so gewählt, dass er sich auf der unteren Oberfläche der Leiterplatte (mit einer gepunkteten Ausfüllung in 11 gezeigt) befindet, und der zu den Leiteroberflächen senkrechte, nach außen orientierte Einheitsvektor ist mit u_n bezeichnet. Aus Maxwells Gleichungen folgt, dass die Felder in dem Leiter (Medium 2) die eindimensionalen Helmholtz-Gleichungen erfüllen:

  
• Bei dem Ausdruck (23) ist k_c,2 die komplexe Ausbreitungskonstante in dem Leiter mit der endlichen Dicke. Die allgemeine Lösung des Ausdrucks (23) kann anhand zweier ebener Wellen geschrieben werden:

  

  wobei A und B komplexe Konstanten sind und Z_{c ,2} die komplexe charakteristische Impedanz für die Ebene-Welle-Ausbreitung in dem Leiter mit endlicher Dicke ist.
• Die Beziehung zwischen der E- und der H-Feldkomponente an der oberen und der unteren Oberfläche der leitenden Platte kann durch Eliminierung der komplexen Konstanten A und B von dem Ausdruck (24) abgeleitet werden. Werden die Komponenten der Felder an der unteren Oberfläche (z = 0) durch (E₁, u_n × H₁) und an der oberen Oberfläche (z = t) durch (E₂, u_n × H₂) benannt, wird die folgende Beziehung erhalten

  
• Auf Grund der Kontinuität der tangentialen Feldkomponenten an den Oberflächen der leitenden Platte gilt die Beziehung (25) sowohl für die Feldkomponenten an der Oberfläche knapp innerhalb des Leiters (innere Felder in dem Medium 2) und knapp außerhalb des Leiters (externe Felder in dem Medium 1). Ein Invertieren der Beziehung (25) ergibt die H-Feldoberflächenkomponenten als Funktion der E-Feldkomponenten:

  
• [Y_c,2] ist die charakteristische Admittanzmatrix für eine Ebene-Welle-Ausbreitung durch das Medium 2.
• Als Nächstes wird die äquivalente Geometrie in Betracht gezogen, bei der die leitende Platte durch das Hintergrundmedium ersetzt wird und ein fiktiver Oberflächenstrom an der oberen und der unteren Oberfläche eingeführt wird, wie in 12 gezeigt ist. Wie bei dem elektrischen Feld ist der fiktive Oberflächenstrom entlang der x-Richtung orientiert und hängt lediglich von der z-Koordinate ab. Dies impliziert, dass der Oberflächenstrom in der (x-, y-)Ebene gleichmäßig verteilt ist und somit divergenzfrei (quellenfrei) ist, das heißt, dass diesem Strom keine Oberflächenladung zugeordnet ist:

  
• Die Oberflächenströme bringen an der unteren und der oberen Oberfläche einen Sprung in das tangentiale Magnetfeld ein, während die Komponenten des tangentialen elektrischen Feldes kontinuierlich sind. Somit gilt:

  

  
• Die Hochstellungen „ext" und „int" bezeichnen, ob die Feldkomponenten extern (außerhalb der Schicht, die den Leiter ersetzt) oder intern (innerhalb der Schicht, die den Leiter ersetzt) liegen. Infolge der Wahl der z-Achse bezieht sich „extern" für die untere Schicht auf z = 0^–, und „intern" bezieht sich auf z = 0⁺, während sich „extern" für die obere Schicht auf z = t⁺ bezieht und „intern" auf z = t^– bezieht (12). Da die Komponenten des tangentialen elektrischen Feldes bei dem Strom der oberen und der unteren Oberfläche kontinuierlich sind, besteht hier kein Erfordernis, die Hochstellungen „int" oder „ext" hinzuzufügen.
• Die internen elektrischen Feldkomponenten und Magnetfeldkomponenten erfüllen dieselben Beziehungen (25) und (26), vorausgesetzt, dass die Materialeigenschaften der leitenden Platte (k_c,2, Z_c,2) durch die Materialeigenschaften des Hintergrundmediums (k_c,1, Z_c,1) ersetzt werden. Ein Anwenden der Grenzbedingungen (28) und (29) ergibt die folgende Beziehung zwischen den externen elektrischen und Magnetfeldkomponenten für die in 12 gezeigte äquivalente Geometrie:

  
• Hier ist [Y_c,1] die charakteristische Admittanzmatrix für eine Ebene-Welle-Ausbreitung durch das Medium 1.
• Die Äquivalenz der in 11 und 12 gezeigten Situationen wird nun den externen Feldern außerhalb der leitenden Platte auferlegt. Das heißt, dass die fiktiven Oberflächenströme so gewählt werden, dass die externen Felder in der äquivalenten Geometrie (12) an jedem Punkt außerhalb der leitenden Platte mit denen mit den Feldern außerhalb der leitenden Platte (11) identisch sind. Eine notwen dige und ausreichende Bedingung für diese Äquivalenz besteht darin, dass die Oberflächenkomponenten des elektrischen und des Magnetfeldes an der oberen und der unteren Oberfläche des Leiters identisch sind. Somit sind die Ausdrücke (26) und (30) äquivalente Beziehungen und können verwendet werden, um die Magnetfeldkomponenten zu eliminieren, was die unten gezeigte Oberflächenimpedanzbeziehung zwischen den elektrischen Feldern und den fiktiven Oberflächenströmen an der Oberseite und der Unterseite einer Leiterplatte einer endlichen Dicke ergibt.
• 
• Unter Verwendung der Ausdrücke für die charakteristischen Admittanzmatrizen, wie sie in Verbindung mit den Ausdrücken (26) und (30) definiert sind, kann die Oberflächenimpedanzbeziehung umgeschrieben werden, so dass Folgendes erhalten wird:

  
• Der auf der eindimensionalen Annäherung beruhende allgemeine Oberflächenimpedanzoperator ist durch Folgendes gegeben:

  

  wobei ρ = xu_x + yu_y der laterale Positionsvektor ist, I die Einheitsdyadik ist und δ() die Delta-Dirac-Funktion ist.
• Der Operator der eindimensionalen Oberflächenimpedanz, der durch den Ausdruck (33) gegeben ist, wird bei der MoM-Lösungsprozedur für das oben beschriebene externe Feldproblem verwendet, wobei sich ein Modell für den Leiterverlust ergibt, das ähnlich dem unter Bezugnahme auf 6 beschriebenen Zweischicht-Lagenleitermodell ist. Das heißt, dass das Volumen des dicken Leiters entfernt und durch zwei Fiktiver-Oberflächenstrom-Schichten ersetzt wird, eine an der oberen Oberfläche und die andere an der unteren Oberfläche des Leiters. Die Planare-EM-Simulationstechnologie wird angewendet, um diese Oberflächenströme zu bestimmen, wobei darauf geachtet wird, dass die Gitter an der oberen und der unteren Schicht identisch sind, indem zuerst die untere Schicht vergittert wird und dieses Gitter auf die obere Schicht kopiert wird. Dieser Schritt umfasst den automatischen Gittererweiterungsschritt für dicke Leiter.
• Der Oberflächenimpedanzoperator des Ausdrucks (33) ergibt einen Selbstbeitrag Z_{s ,s} für überlappende Basisfunktionen und einen gegenseitigen Beitrag Z_s,m für Basisfunktionen B_i und B_j auf der oberen und der unteren Leiterschicht, die ein Bestandteil vertikaler Überlagerungszellen sind (siehe 13). Die Verteilung des Stromflusses zwischen der oberen und der unteren Schicht ergibt sich aus den Planare-EM-Gleichungen. Dieser neue Zweischicht-Lösungsansatz weist gegenüber dem herkömmlichen Zweischicht-Lagenmodell insofern einen wichtigen Vorteil auf, als die für die obere und die untere Schicht verwendeten Oberflächenimpedanzen inhärent miteinander gekoppelt sind und somit die gegenseitige Eigeninduktivität zwischen den zwei Schichten bei der Simulation automatisch berücksichtigt wird. Dieses Merkmal fehlt bei dem bekannten Zweischicht-Lagenmodell.
• Die zweidimensionale Annäherung
• In diesem Fall wird der Leiter auf einer Querschnitt-Um-Querschnitt-Basis behandelt. Ein typischer Querschnitt ist in 14 gezeigt: ein rechteckiger Querschnitt mit einer Grenzkurve C. Man geht davon aus, dass der Leiter in der zum Querschnitt senkrechten Richtung (in 14 der x-Richtung) unendlich lang ist. In diesem Fall wird die Abhängigkeit der Felder von der zu dem Querschnitt senkrechten Koordinate vernachlässigt. Somit variieren die Felder bei dem Beispiel der 14 lediglich gemäß der y- und der z-Koordinate, und nicht bezüglich x. Mit dieser Vereinfachung bleiben noch zwei Polarisationen, die zu betrachten sind: magnetische QuerPolarisation (TM-Polarisation), bei der sich das Magnetfeld im Querschnitt und das elektrische Feld senkrecht zu dem Querschnitt (E_x, H_y, H_z) befindet, und eine elektrische QuerPolarisation (TE-Polarisation), bei der sich das elektrische Feld im Querschnitt und das Magnetfeld senkrecht zu dem Querschnitt (H_x, E_y, E_z in 14 ) befindet. Im Gegensatz zu der eindimensionalen Annäherung eignet sich die zweidimensionale Annäherung inhärent und vorteilhafterweise dazu, den Effekt einer Stromüberfüllung in der Nähe der Ecken des Querschnitts zu bewerten.
• TM-Polarisation
• Im Fall einer TM-Polarisation ist das Magnetfeld im Querschnitt des Leiters ausgerichtet, und das elektrische Feld ist senkrecht zu dem Querschnitt und somit tangential zu dem Leiter. Wenn die Orientierung der (x-, y-, z-)Achsen gemäß 14 vorliegt, hängen lediglich die E_x-, H_y- und H_z-Komponenten des Feldes von den Querschnittskoordinaten (y, z) ab. Somit gilt:

  
• Aus Maxwells Gleichungen folgt, dass die Felder in dem Leiter (Medium 2) die zweidimensionalen Helmholtz-Gleichungen erfüllen:
  the two-dimensional Helmholtz equations:

  
• Die Tiefstellung „yz" bei Ausdruck (35) bezeichnet, dass lediglich die (y-, z-)Komponenten betrachtet werden. Um die Formeln zu vereinfachen, wird diese Tiefstellung im Rest dieses Abschnittes weggelassen, soll jedoch als vorhanden verstanden werden.
• Die homogene Greensche Funktion G₂(r, r') für die zweidimensionale Skalare-Welle-Gleichung im Medium 2 erfüllt die Gleichung:

  
• Die zweidimensionale Greensche Funktion, die die Strahlungsbedingung erfüllt, ist durch Folgendes gegeben:

  

  wobei r und r' den Positionsvektor in dem (y-, z-)Querschnitt bezeichnen und H₀ ⁽²⁾ die Hankel-Funktion der nullten Ordnung und der zweiten Art bezeichnet. Aus den Ausdrücken (35) und (36) und unter Verwendung des Greenschen Theorems kann für jeglichen Punkt r in dem Leiter als Funktion der Werte an der Grenze C eine integrale Darstellung für das elektrische Feld abgeleitet werden:

  
• Wenn die Grenze für r→C genommen wird, zeigt eine sorgfältige Analyse, dass für eine glatte Kontur C das elektrische Feld an der Grenze des Leiters durch Folgendes gegeben ist:

  
• Man sollte die Differenz des Faktors 2 zwischen den Ausdrücken (38) und (39) beachten. Auf Grund der Kontinuität der Komponente des tangentialen elektrischen Feldes ist die Grenzintegraldarstellung (39) für das elektrische Feld an der Grenze C, das aus dem Inneren des Leiters (internes Feld in dem Medium 2) und das von außerhalb des Leiters (externes Feld in dem Medium 1) kommt, gültig. Bei dem zweidimensionalen Lösungsansatz ist die normale Oberflächenableitung des elektrischen Feldes wie folgt auf das Magnetfeld an der Grenze C bezogen:

  
• Somit kann die Beziehung (39) unter Verwendung des Ausdrucks (40) umformuliert werden, um

  

  zu erhalten.
• Wie bei dem eindimensionalen Lösungsansatz wird die äquivalente Geometrie betrachtet, bei der der Leiter durch das Hintergrundmedium ersetzt wird und an der Grenze des Leiters (15) ein fiktiver Oberflächenstrom J_s(r) eingebracht wird. Für die TM-Polarisation ist dieser Oberflächenstrom senkrecht zu dem Querschnitt ausgerichtet und hängt lediglich von den (y-, z-)Querschnittskoordinaten ab. Dies impliziert, dass der Oberflächenstrom in der x-Richtung gleichmäßig und somit divergenzfrei (quellenfrei) ist, das heißt, dass diesem Strom keine Oberflächenladung zugeordnet ist:

  
• Die Oberflächenströme führen einen Sprung in das tangentiale Magnetfeld ein, während das tangentiale elektrische Feld kontinuierlich bleibt. Die Hochstellungen „ext" und „int" werden nachfolgend verwendet, um anzugeben, ob die Feldkomponenten extern (knapp außerhalb der Grenze C) oder intern (knapp innerhalb der Grenze C) sind. Die Grenzbedingungen bei den Oberflächenströmen lauten:

  
• Die internen elektrischen und Magnetfeldkomponenten erfüllen dieselbe Beziehung (41), vorausgesetzt, dass die Materialeigenschaften des Leiters durch die Materialeigenschaften des Hintergrundmediums ersetzt werden. Ein Anwenden der Grenzbedingungen (43a) und (43b) ergibt die folgende Beziehung zwischen den externen elektrischen und Magnetfeldkomponenten für die äquivalente Geometrie der 15:

  
• Wenn die Hochstellung „ext" in dem Ausdruck (44) fallen gelassen wird, und im Einklang mit der oben dargelegten allgemeinen Begründung, um den Oberflächenimpedanzoperator zu definieren, sollten die Ausdrücke (41) und (44) identische Beziehungen zwischen dem tangentialen elektrischen und dem Magnetfeld an der Grenze C ausdrücken. Somit wird der folgende Satz von Grenzintegralgleichungen erhalten, die den Oberflächenimpedanzoperator bestimmen:

  
• Bei Einführung einer Operatorbenennung können die Gleichungen (45a) und (45b) zu einer kompakteren Form umgeschrieben

  

  wobei die zweidimensionalen Grenzintegraloperatoren Z_i[] und dZ_i[] (i = 1,2) durch Folgendes definiert sind:

  
• Oben wird Kursivschrift verwendet, um die Operatoren von den Vektorquantitäten, an denen sie wirksam sind, zu unterscheiden.
• Der Oberflächenimpedanzoperator wird wiedergewonnen, indem das Magnetfeld aus dem Ausdruck (46) eliminiert wird. Es wird eine symbolische Operatormanipulation verwendet:

  
• Bei dem eindimensionalen Lösungsansatz war es möglich, einen Ausdruck einer geschlossenen Form für den Oberflächenimpedanzkern zu erhalten, dies ist für den zweidimensiona len Fall jedoch nicht mehr unkompliziert. Somit besteht ein optimaler Lösungsansatz darin, die Grenzintegralgleichungen (46) unter Verwendung derselben MoM-Diskretisierung an der Grenze des Leiters zu verwenden, wie sie zum Lösen des externen Feldproblems verwendet wurde. Eine Eliminierung des diskretisierten tangentialen Feldes ergibt die diskrete Oberflächenimpedanzmatrix. Auf diese Weise besteht kein Erfordernis, einen expliziten Ausdruck für den Oberflächenimpedanzkern zu erhalten, da die diskrete Oberflächenimpedanzmatrix direkt in den MoM-Lösungsprozess für das externe Problem integriert werden kann. Im Folgenden wird im Kontext des allgemeinen dreidimensionalen Falles der MoM-Diskretisierungsprozess allgemein umrissen.
• Für den Fall der zweidimensionalen TM-Polarisation ist der MoM-Lösungsprozess, der dem Querschnittsproblem entspricht, derjenige Lösungsansatz, bei dem die Oberflächenströme und alle Felder durch eine stückweise konstante Darstellung (16) angenähert werden. Die Querschnittsgrenze C wird in einer endlichen Anzahl von Liniensegmenten C_j, j = 1, ..., N vergittert. Pulsbasisfunktionen B_j (r), j = 1, ..., N, die über die Liniensegmente definiert sind, werden verwendet, um die Oberflächenströme und die Felder zu modellieren. Somit werden die folgenden Diskretisierungen eingebracht:

  
• In den Ausdrücken (49a bis 49c) sind I_j, E_j und H_j die unbekannte Amplitude des Oberflächenstroms, des elektrischen Feldes bzw. des Magnetfeldes an der Grenzoberfläche. Die unbekannten Amplitude des Stroms I_j in dem Ausdruck (49a) bestimmt den Strom, der durch das Liniensegment C_j fließt. Die Pulsbasisfunktion B_j(r), die durch den Ausdruck (50) definiert ist, ist bezüglich der Länge L_j des Liniensegments normiert. Somit kann der Gesamtstrom, der durch den Leiter fließt, erhalten werden, indem einfach die Summe aller einzelnen Stromamplituden genommen wird.
• Ein Anwenden der MoM-Diskretisierung in Kombination mit einem Galerkin-Testen auf den Satz von Grenzintegralgleichungen (46) ergibt den folgenden Satz von Matrixgleichungen:

  
• Eine Verwendung von N Intervallen, um C zu diskretisieren, impliziert, dass [Z₁] , [dZ₁] , [Z₂] und [dZ₂] N × N Matrizen sind, wohingegen [I], [E] und [H] die N × 1-Spaltenvektoren sind, die die unbekannten diskreten Amplituden enthalten. Die Elemente der Matrizen sind wie folgt definiert:

  
• Bei den Ausdrücken (52) stellt <^.,^.> den Galerkin-Testoperator dar.
• Schließlich ergibt eine Eliminierung von [H] aus dem Ausdruck (51) die diskrete Oberflächenimpedanzmatrix für den zweidimensionalen Fall:

  
• TE-Polarisation
• Im Fall einer TE-Polarisation ist das elektrische Feld in dem Querschnitt des Leiters ausgerichtet, und das Magnetfeld ist senkrecht zu dem Querschnitt. Wenn die (x-, y-, z-)Achsen wie in 14 gezeigt ausgerichtet sind, hängen lediglich die H_x-, E_y- und E_z-Komponenten der Felder von den Querschnittskoordinaten (y, z) ab. Die vollständige Begründung und Ableitung des Operators der zweidimensionalen Oberflächenimpedanz, wie zuvor für den TM-Fall beschrieben, kann für den TE-Fall wiederholt werden, wobei nun bei den richtigen Integralgleichungen für die x-Komponente des Magnetfelds begonnen wird. Das tangentiale elektrische Feld und der Oberflächenstrom, der an der Querschnittsgrenze eingeführt wird, werden nun durch dreieckige Basisfunktionen, d.h. die zweidimensionale Version von Dächern, dargestellt, um weiterhin mit den Dachbasisfunktionen, die bei der Planare-3D-EM-Technologie verwendet werden, in Einklang zu stehen.
• Der dreidimensionale Lösungsansatz
• Die vollständige dreidimensionale Situation eines dicken Leiters, der in einem mehrschichtigen Medium platziert ist, ist in 17 veranschaulicht. Dieser Fall ist der komplexeste, jedoch gleichzeitig der präziseste, da keine Annäherungen vorgenommen werden. Die durch diese Erfindung gelieferte Analyse, um die entsprechende Oberflächenimpe danzformulierung für den dreidimensionalen Fall zu erhalten, ähnelt stark dem zweidimensionalen Fall. Erstens wird eine geeignete Integraldarstellung verwendet, um eine Beziehung zwischen dem tangentialen elektrischen und dem Magnetfeld an der 3D-Leiteroberfläche zu erhalten. Es werden die oben beschriebenen Integralgleichungen nach Poggio und Miller verwendet, die von der dreidimensionalen skalaren Greenschen Funktion (und ihren Ableitungen) des Leitermaterials abhängen.
• Gemäß Poggio und Miller in dem oben erwähnten Werk ist das tangentiale elektrische Feld an einem Beobachtungspunkt r an der Grenze S des Leiters durch die nachfolgende Oberflächenintegraldarstellung bezüglich der tangentialen Komponenten des elektrischen und des Magnetfelds an der Grenze S gegeben:

  

  wobei G₂ (r, r') die skalare Greensche Funktion für die dreidimensionale Helmholtz-Gleichung in dem Medium 2 ist, die die Strahlungsbedingung erfüllt. Daher gilt:

  
• Als Nächstes wird die äquivalente Situation betrachtet, bei der das Leitermedium 2 durch das seiner umgebenden Schicht (Medium 1) ersetzt wird und ein fiktiver elektrischer Oberflächenstrom J_s an der Grenze S des Leiters (18) eingeführt wird. Der Oberflächenstrom führt einen Sprung in dem tangentialen Magnetfeld ein, während das tangentiale elektrische Feld kontinuierlich bleibt. Die Hochstellungen „ext" und „int" werden verwendet, um anzugeben, ob die Feldkomponenten extern (knapp außerhalb der Grenze S) oder intern (knapp innerhalb der Grenze S) sind. Die Grenzbedingungen an den Oberflächenströmen lauten:

  
• Die interne elektrische und die Magnetfeldkomponente erfüllen dieselbe Beziehung (54) wie die elektrischen Feldkomponenten, vorausgesetzt, dass die Materialeigenschaften des Leiters durch die Materialeigenschaften des Hintergrundmediums ersetzt werden. Ein Anwenden der Grenzbedingungen (56a und 56b) ergibt die folgende Beziehung zwischen den externen tangentialen elektrischen und Magnetfeldkomponenten für die äquivalente Geometrie der 18:

  
• Wenn man der zuvor dargelegten allgemeinen Begründung folgt, um den Oberflächenimpedanzoperator zu definieren, sollten die Ausdrücke (54) und (57) identische Beziehungen zwischen dem tangentialen elektrischen und dem Magnetfeld auf S darstellen. Daher wird der Satz von Grenzintegralgleichungen erhalten, der den Dreidimensionale-Oberflächenimpedanz-Operator bestimmt. Wie bei dem zweidimensionalen Fall wird eine Operatorbezeichnung eingeführt, und der Satz von Grenzintegralgleichungen (54) und (57) wird zu einer kompakteren Form umgeschrieben:

  

  wobei die dreidimensionalen Grenzintegraloperatoren Z_i[] und dZ_i[] (i=1,2) durch Folgendes definiert werden:

  
• Der Oberflächenimpedanzoperator wird wiedergewonnen, indem das Magnetfeld aus dem Ausdruck (58) eliminiert wird. Bei einer Verwendung einer symbolischen Operatormanipulation ergibt dies Folgendes:

  
• Wie bei dem zweidimensionalen Lösungsansatz ist es nicht mehr unkompliziert, einen Ausdruck einer geschlossenen Form für den Oberflächenimpedanzkern zu erhalten. Somit besteht ein optimalerer Lösungsansatz darin, die Grenzintegralgleichungen (58) unter Verwendung derselben MoM-Diskretisierung an der Grenze des Leiters zu verwenden, wie sie zum Lösen des externen Feldproblems verwendet wurde. Eine Eliminierung des diskretisierten tangentialen Feldes ergibt die diskrete Oberflächenimpedanzmatrix. Auf diese Weise besteht kein Erfordernis, einen expliziten Ausdruck für den Oberflächenimpedanzkern zu erhalten, da die diskrete Oberflächenimpedanzmatrix direkt in den MoM-Lösungsprozess des externen Problems integriert werden kann. Ein allgemeiner Umriss des MoM-Diskretisierungsprozesses für das externe Feldproblem wurde oben angegeben. Hier wird der MoM-Diskretisierungsprozess für das interne Feldproblem angewendet, um den diskretisierten Oberflächenimpedanzoperator zu erhalten.
• Die Grenze S wird in einer endlichen Anzahl von rechteckigen oder dreieckigen Zellen vergittert. Dachbasisfunktionen B_j(r) j = 1, ..., N, die über die Zellen definiert sind, werden verwendet, um den Oberflächenstrom und die tangentialen Feldkomponenten zu modellieren. Somit werden die folgenden Diskretisierungen verwendet:

  
• Bei diesen drei Ausdrücken sind I_j, E_j und H_j die unbekannte Amplitude des Oberflächenstroms, des tangentialen elektrischen Feldes bzw. des Magnetfeldes an der Grenzoberfläche.
• Eine Anwendung der MoM-Diskretisierung in Kombination mit einem Galerkin-Testen auf den Satz von Grenzintegralgleichungen (58) ergibt den folgenden Satz von Matrixgleichungen:

  
• Eine Verwendung von N Zellen, um die Grenze S zu diskretisieren, impliziert, dass [Z₁], [dZ₁], [Z₂] und [dZ₂] N × N Matrizen sind, wohingegen [I], [E] und [H] die N × 1-Spaltenvektoren sind, die die unbekannten diskreten Amplituden enthalten. Die Elemente der Matrizen sind durch Folgendes definiert:

  

  wobei <^.,^.> den Galerkin-Testoperator darstellt. Eine Eliminierung von [H] aus dem Ausdruck (63) ergibt die diskrete Oberflächenimpedanzmatrix für den dreidimensionalen Fall

  
• Eine Anwendung des Oberflächenimpedanzoperators für den allgemeinen Fall eines 3D-Leiters, der in einem mehrschichtigen Medium eingebettet ist, ist unkompliziert, wie oben bereits in Bezug auf die Ausdrücke (14) und (15) beschrieben wurde. Die folgende verallgemeinerte Mischpotentialintegralgleichung, die aus der Gleichung (14) folgt, wird unter Verwendung von MoM diskretisiert:

  
• Die Oberfläche S des leitenden 3D-Objekts ist mit rechteckigen und/oder dreieckigen Zellen vergittert (19). Der fiktive Oberflächenstrom J_s(r) wird mit Dachbasisfunktionen diskretisiert. Die Amplitude des Oberflächenstroms ergibt sich aus der Lösung der diskreten Interaktionsmatrixgleichung. Das tangentiale elektrische Feld in dem Ausdruck (65) ist in drei Teile aufgeteilt, die dem magnetischen Vektorpotential, dem elektrischen skalaren Potential und der allgemeinen Oberflächenimpedanz zugeordnet sind. In der diskretisierten Form ergibt dies Folgendes:

  
• Der Beitrag der allgemeinen Oberflächenimpedanz kann von der diskreten Oberflächenimpedanzmatrix, die die Felder in dem Leiter beschreibt, abgeleitet werden. Unter Verwendung der Ausdrücke (60) und (61b) liefert dies:

  
• In einer Matrixschreibweise und unter Verwendung des Ausdrucks (64)

  

  wobei die Projektionsmatrix [P] mit Elementen

  

  eingeführt wurde.
• Der Ausdruck (68b) ist die verallgemeinerte Form des Widerstandsterms (des dritten Terms) in dem Ausdruck (13), der den Beitrag der Felder in dem dicken Leiter bezüglich des Operators der verallgemeinerten Oberflächenimpedanz beschreibt, der auf die Äquivalenzoberflächenströme einwirkt. In der verallgemeinerten Form (68b) wird die diskrete Widerstandsmatrix durch das Matrix-Produkt der Projektionsmatrix, und der allgemeinen Oberflächenimpedanz-Matrix, die sich aus der Lösung des internen Feldproblems ergibt, gegeben. Diese neuartige Formulierung ist eine Verallgemeinerung des Ausdrucks (13), die die diskrete Widerstandsmatrix als das Produkt der Projektionsmatrix und der skalaren Oberflächenimpedanz gibt.
• Somit ermöglicht das allgemeine Konzept der Oberflächenimpedanz ein Modellieren eines leitenden 3D-Objekts in einem mehrschichtigen Medium, indem der Leiter fiktiv durch das Hintergrundmedium ersetzt wird und ein fiktiver Oberflächenstrom an der Grenze des Leiters eingeführt wird. Dadurch kann die Kontinuierlichkeit des planaren geschichteten Hintergrundmediums wiederhergestellt und der Lösungsprozess des Planare-EM-Lösers für das externe Feldproblem beibehalten werden. Die Greenschen Funktionen G^A(r, r') und G^V(r, r') des mehrschichtigen Mediums können trotzdem ohne Modifikation verwendet werden. Die Effekte des Feldes in dem Leiter werden durch die diskrete Oberflächenimpedanz matrix dargestellt, die sich aus dem Ausdruck (64) ergibt und nahtlos in die diskrete Interaktionsmatrixgleichung zum Lösen des externen Feldproblems passt.

Claims (12)

1. Verfahren zum Modellieren von Stromflüssen in einem dreidimensionalen Körper, der in einem Medium eingebettet ist, das aus einem ersten Material besteht, wobei der Körper aus einem zweiten Material besteht, wobei das Verfahren folgende Schritte umfasst: Definieren einer Mehrzahl von planaren Oberflächen, die zusammen die Grenze des Körpers bilden; Ableiten eines Werts für eine Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz der Mehrzahl von planaren Oberflächen; Modellieren von Stromflüssen in dem Körper anhand von Oberflächenströmen, die auf den planaren Oberflächen eines Körpers induziert werden, der aus dem ersten Material besteht und der den abgeleiteten Wert für die Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz aufweist.
2. Verfahren gemäß Anspruch 1, bei dem ein Wert für die Oberflächenimpedanz gemäß dem Ausdruck

   

   abgeleitet wird, wobei u_n der zu der planaren Oberfläche normale Einheitsvektor ist, E(r) das elektrische Feld an der Oberfläche ist, J_s(r) der induzierte Oberflächenstrom an der Oberfläche ist, Z_s[] der Oberflächenimpedanzoperator ist, der den induzierten Oberflächenstrom mit dem elektrischen Feld an der Oberfläche in Bezug bringt, und Z_s mit zwei Überstrichen der Integralkern bei der Grenzoberflächenintegraldarstellung des Oberflächenimpedanzoperators ist.
3. Verfahren gemäß Anspruch 1 oder 2, bei dem ein Wert für die Oberflächenadmittanz gemäß dem Ausdruck

   

   abgeleitet wird, wobei u_n der zu der planaren Oberfläche normale Einheitsvektor ist, E(r) das elektrische Feld an der Oberfläche ist, J_s(r) der induzierte Oberflächenstrom an der Oberfläche ist, Y_s[] der Oberflächenadmittanzoperator ist, der das elektrische Feld mit dem induzierten Oberflächenstrom an der Oberfläche in Beziehung bringt, und Y_s mit zwei Überstrichen der Integralkern bei der Grenzoberflächenintegraldarstellung des Oberflächenadmittanzoperators ist.
4. Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem der dreidimensionale Körper aus einem elektrisch leitfähigen Material besteht.
5. Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem der dreidimensionale Körper aus einem dielektrischen Material besteht.
6. Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem das Medium aus einem Stapel von Schichten unterschiedlicher dielektrischer Materialien besteht.
7. Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem eine diskrete Darstellung des Oberflächenimpedanz- oder -admittanzoperators für eine eindimensionale Annäherung des Körpers gemäß dem Ausdruck

   

   

   erhalten wird, wobei t die Dicke der eindimensionalen Annäherung des Körpers ist, Z_c,i die charakteristische Impedanz ist und k_c,i die charakteristische Ausbreitungskonstante für eine Ebene-Welle-Ausbreitung in dem Medium i ist.
8. Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem eine diskrete Darstellung des Oberflächenimpedanz- oder -admittanzoperators für eine zweidimensionale Annäherung des Körpers gemäß dem Ausdruck

   

   erhalten wird, wobei [E] den Spaltenvektor der diskreten elektrischen Feldkoeffizienten darstellt und [I] den Spaltenvektor der diskreten Oberflächenstromkoeffizienten darstellt.
9. Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem eine diskrete Darstellung des Oberflächenimpedanz- oder -admittanzoperators für eine dreidimensionale Annäherung des Körpers gemäß dem Ausdruck

   

   erhalten wird.
10. Vorrichtung zum Modellieren von Stromflüssen in einem dreidimensionalen Körper, der in einem Medium einge bettet ist, das aus einem ersten Material besteht, wobei der Körper aus einem zweiten Material besteht, wobei die Vorrichtung folgende Merkmale umfasst: einen Speicher, der angeordnet ist, um Daten zu halten, die eine Mehrzahl von planaren Oberflächen definieren, die zusammen die Grenze des Körpers bilden; einen Prozessor, der angeordnet ist, um einen Wert für eine Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz der Mehrzahl von planaren Oberflächen abzuleiten und um Stromflüsse in dem Körper anhand von Oberflächenströmen zu modellieren, die auf den planaren Oberflächen eines Körpers induziert werden, der aus dem ersten Material besteht und der den abgeleiteten Wert für die Oberflächenimpedanz oder Oberflächenadmittanz aufweist.
11. Verfahren zum Modellieren von Stromflüssen in einem dreidimensionalen Körper, der in einem Medium eingebettet ist, das aus einem ersten Material besteht, wobei der Körper aus einem zweiten Material besteht, im Wesentlichen wie oben unter Bezugnahme auf 9 bis 19 der beiliegenden Zeichnungen beschrieben wurde.
12. Vorrichtung zum Modellieren von Stromflüssen in einem dreidimensionalen Körper, der in einem Medium eingebettet ist, das aus einem ersten Material besteht, wobei der Körper aus einem zweiten Material besteht, im Wesentlichen wie oben unter Bezugnahme auf 8 bis 19 der beiliegenden Zeichnungen beschrieben wurde.