DE10141803B4

DE10141803B4 - Asymmetrische zonale Shimspulen für Magnetresonanz

Info

Publication number: DE10141803B4
Application number: DE10141803.5A
Authority: DE
Inventors: Lawrence K. Forbes; Stuart Crozier; David M. Doddrell
Original assignee: NMR Holdings No 2 Pty Ltd
Current assignee: NMR Holdings No 2 Pty Ltd
Priority date: 2000-08-30
Filing date: 2001-08-27
Publication date: 2016-06-16
Anticipated expiration: 2021-08-28
Also published as: GB0120880D0; US6377148B1; AUPQ978700A0; JP4873803B2; GB2371367A; JP2002136501A; GB2371367B; DE10141803A1

Abstract

Zonale Shimspule mit (i) einer Längsachse und (ii) einem vorbestimmten Shimvolumen und mit einer Mehrzahl von stromführenden Windungen, welche die Längsachse umgeben und in axialer Richtung voneinander beabstandet sind, wobei die Spule ein Magnetfeld erzeugt, das eine Längskomponente Bz(r, θ) in Richtung der Längsachse aufweist, die gegeben ist durch:wobei an0 die Amplituden der zonalen Harmonischen, Pn0(cosθ) die Legendre-Polynome, n die Polynom-Ordnung und r und θ die radiale bzw. azimutale Koordinate sind; wobei (i) die Spule eine vorbestimmte zonale Harmonische erzeugt, deren Ordnung (n') größer oder gleich 2 ist; (ii) die Spule ein erstes und ein zweites Ende hat, welche eine Länge 2L definieren; und (iii) das vorbestimmte Shimvolumen sich entlang der Längsachse von z = pL zu z = qL erstreckt, wobei (a) –1 < p < q < 1; (b) |p| ≠ |q|; und (c) z = 0 die Hälfte der Strecke zwischen dem ersten und zweiten Ende der zonalen Shimspule ist.

Description

Gebiet der Erfindung
Diese Erfindung bezieht sich auf Shimspulen für Magnetresonanzanwendungen. Insbesondere bezieht sich diese Erfindung auf die Ausbildung asymmetrischer Shimspulen für Magnetresonanz-Bildgebungsvorrichtungen.
Hintergrund der Erfindung
Bei Magnetresonanzbildgebungs-(MRI)-Anwendungen wird ein Patient in ein starkes und homogenes statisches Magnetfeld gegeben, wodurch die ansonsten willkürlich ausgerichteten Magnetmomente der Protonen in den Wassermolekülen in dem Körper in Richtung um das angelegte Feld präzedieren. Der Körperteil in dem homogenen Bereich des Magneten wird dann mit Hochfrequenz-(HF)-Energie bestrahlt, wodurch einige der Protonen ihre Spinausrichtung ändern. Die Netto-Magnetisierung des Spin-Ensembles nutiert weg von der Richtung des angewandten statischen Magnetfeldes durch die angelegte HF-Energie. Die Komponente dieser Nettomagnetisierung orthogonal zur Richtung des angelegten statischen Magnetfeldes induziert ein messbares Signal in einer Empfangsspule, die auf die Präzessionsfrequenz gestimmt ist. Dies ist das Magnetresonanz-(MR)-Signal. Es ist äußerst wichtig, dass die Frequenz, mit welcher die Protonen um das angelegte statische Feld präzedieren, von dem Magnetfeld im Hintergrund abhängt. Da dieses so ausgebildet ist, dass es an jedem Punkt in der Probe in einem Bildgebungsexperiment variiert, ergibt sich daraus, dass die Frequenz des MR-Signals ebenfalls ortsabhängig ist. Das Signal wird deshalb räumlich codiert und dies wird zum Bilden des endgültigen Bildes verwendet.
In der Praxis bedeuten Konstruktionstoleranzen, dass MR-Magnete keine vollkommen homogenen Felder über dem DSV (dem angegebenen durchmessersensitiven Volumen, hier auch als „vorbestimmtes Shimvolumen” bezeichnet) erzeugen und deshalb die Feldreinheit, welche durch Shimmen erzeugt wird, etwas eingestellt werden muß. Außerdem wird durch die Anwesenheit des Körpers des Patienten das starke Magnetfeld leicht gestört und Shimspulen werden zur Korrektur des Feldes verwendet, um das bestmögliche Endbild zu erzielen. Das Feld innerhalb des DSV ist normalerweise in Kugelfunktionen dargestellt und somit werden Unreinheiten in dem Feld mittels der Koeffizienten einer Entwicklung dieser Harmonischen analysiert. Korrekturspulen sind deshalb so ausgebildet, dass sie eine bestimmte Magnetfeldform erzeugen, welche dem Hintergrund-Magnetfeld hinzugefügt werden kann, um die Wirkung einer oder mehrerer dieser sphärischen Harmonischen auszugleichen. Viele dieser Spulen können in einer besonderen MRI-Anwendung vorgesehen sein und jede kann ihre eigene Stromzufuhr haben, um den erwünschten Stromfluß zu erzeugen. Zonale Shimspulen haben eine vollkommene azimuthale Symmetrie. D. h. sie haben dieselbe Stromdichte an jedem Punkt längs des Umfangs des Zylinders.
Die wichtigste Aufgabe bei der Konstruktion dieser Korrekturspulen besteht darin, die genauen Windungen an der Spule festzustellen, welche das gewünschte Magnetfeld in der Spule erzeugen. Ein Verfahren von Turner (1986, A target field approach to optimal coil design, J. Phys. D: Appl. Phys. 19, 147–151; U.S. Patent Nr. 4,896129 ) besteht darin, ein gewünschtes Zielfeld in dem Zylinder in einem Radius, welcher kleiner als der Spulenradius ist, anzugeben. Fourier-Transformations-Verfahren werden dann verwendet, um die Stromdichte auf der Oberfläche der Spule zu finden, welche erforderlich ist, um das gewünschte Zielfeld zu erzeugen. Dieses Verfahren wird häufig verwendet und ist erfolgreich bei Anwendungen, hat jedoch drei bedeutende Nachteile. Erstens kann durch das Verfahren nicht die Länge der Spule im voraus bestimmt werden. Zweitens müssen, damit die Fourier-Transformations-Technik bei Spulen mit endlicher Länge verwendet werden kann, die Zielfelder auf irgendeine Art und Weise moderiert oder geglättet werden, so dass die Fourier-Transformationen konvergieren, was unnötige Fehler und Komplikationen zur Folge haben kann. Drittens gibt es keine einfache Weise zur Verwendung dieses Verfahren, zum Bilden asymmetrisch angeordneter Zielfelder bei einer Spule von endlicher Länge, da die Spulen bei diesem Lösungsweg keine explizite Länge haben.
Ein alternatives Verfahren für die Ausbildung von Spulen von endlicher Länge ist die stochastische Optimierung, die von Crozier und Doddrell entwickelt wurde (1993, Gradientcoil design by simulated annealing, J. Magn. Reson. A 103, 354–357). Dieser Lösungsweg besteht darin, ein gewünschtes Feld in dem DSV zu erzeugen mittels Optimierungsverfahren, um die Anordnung bestimmter Drahtschleifen und den in diesen Schleifen fließenden Strom einzustellen. Das Verfahren ist sehr robust, da zur Optimierung simuliertes Heißglühen benutzt wird und kann andere Beschränkungen direkt mittels einer Lagrange-Multiplikationstechnik aufnehmen. Spulen von endlicher Länge werden durch diese Technik ohne Annäherung berücksichtigt und dies ist somit eindeutig vorteilhaft gegenüber dem Zielfeldverfahren (und alternativen Verfahren auf der Basis von endlichen Elementen). Da es auf einer stochastischen Optimierungsstrategie beruht, kann es selbst diskontinuierliche objektive Funktionen bewältigen und so Drahtschleifen während des Optimierungsvorganges hinzufügen oder entfernen.
Das Verfahren hat den Nachteil, dass die stochastische Optimierungstechnik viele Iterationen zum Konvergieren erfordern kann und somit teure Computerzeiten erforderlich sind.
Eine Aufgabe dieser Erfindung besteht darin, Spulenstrukturen bereitzustellen, welche Sollfelder innerhalb bestimmter und asymmetrischer Abschnitte der gesamten Spule erzeugen.
Eine weitere Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht darin, ein allgemeines systematisches Verfahren zum Erzeugen eines zonalen Soll-Magnetfeldes in der Spule bereitzustellen, verwendet jedoch eine Technik, die die Einfachheit einer direkten analytischen Vorgehensweise beibehält. In Verbindung mit dieser Aufgabe kann das zonale Soll-Magnetfeld symmetrisch oder asymmetrisch in bezug auf die Gesamtgeometrie der Spule angeordnet werden.
Zusammenfassung der Erfindung
In einer weitreichenden Form liefert die Erfindung ein Verfahren für die Konstruktion von symmetrischen und asymmetrischen zonalen Shimspulen einer MR-Vorrichtung. Das Verfahren verwendet eine Fourier-Reihe zur Darstellung des Magnetfeldes innerhalb und außerhalb eines angegebenen Volumens. Normalerweise ist das Volumen ein zylindrisches Volumen einer Länge 2L und eines Radius a in der MR-Vorrichtung. Die Stromdichte an dem Zylinder wird ebenfalls mittels einer Fourier-Reihe dargestellt. Diese Näherungstechnik ignoriert „Endeffekte” nahe den zwei Enden der Spule, gibt jedoch eine genaue Darstellung der Feder und Ströme in der Spule von den Enden entfernt.
Ein beliebiges Sollfeld kann im voraus an dem Zylinderradius über einen Abschnitt hinweg (z. B. ein nicht symmetrischer Abschnitt) angegeben werden pL < z < qL der Spulenlänge (–1 < p < q < 1). Die periodische Ausdehnung des Feldes wird so verwendet, dass die Kontinuität des Feldes sichergestellt ist und erzeugt somit eine gute Konvergenz der Fourier-Reihe.
Das Soll-Zielfeld in einer asymmetrischen Position des Zylindervolumens z. B. ist als periodische Funktion der Periode gleich der doppelten Länge der Spule dargestellt (d. h. 4L). Das erweiterte periodische Zielfeld kann als eine gleichmäßige periodische Erweiterung um ein Ende der Spule dargestellt werden. Dies alles Ist erforderlich, um die Fourier-Koeffizienten in Verbindung mit dem angegebenen Sollfeld zu berechnen und von diesen folgen dann die Stromdichte an der Spule und die Magnetfeldkomponenten.
In einer weiteren weitreichenden Form weist die Erfindung asymmetrische zonale Shimspulen für MR-Systeme auf. Asymmetrische Shimspulen können bei herkömmlichen MR-Systemen oder bei neu entwickelten asymmetrischen Magneten, wie beispielsweise den Magneten des US-Patents Nr. 6,140,900 verwendet werden.
Somit liefert die Erfindung gemäß bestimmten Aspekten eine zonale Shim-Spule (z. B. ein Element eines Shimsets) mit (i) einer Längsachse (z. B. der z-Achse) und (ii) einem vorbestimmten Shimvolumen (dem dsv) und mit einer Mehrzahl von stromführenden-Windungen, welche die Längsachse umgeben und entlang dieser beabstandet sind, wobei die Spule ein Magnetfeld erzeugt, dessen Längskomponente gegeben ist durch:
wobei a_n0 die Amplituden der zonalen Harmonischen, P_n0(cosθ) die Legendre-Polynome, n die Ordnung des Polynoms und r und θ die radiale bzw. azimuthale Koordinate sind; wobei

(i) die Spule mindestens eine vorbestimmte zonale Harmonische erzeugt, deren Ordnung (n') größer oder gleich 2 ist, z. B. kann die Spule eine einzelne Harmonische erzeugen, n' kann z. B. 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 8 sein, oder falls gewünscht, kann die Spule gleichzeitig mehr als eine Harmonische erzeugen, z. B. kann n' gleich 2 und 4 oder 3 und 5 sein;
(ii) die Spule hat erste und zweite Enden, welche eine Länge 2L definieren; und
(iii) das vorbestimmte Shimvolumen erstreckt sich entlang der Längsachse von z = pL zu z = qL, wobei
(a) –1 < p < q < 1;
(b) |p| ≠ |q| (d. h. das vorbestimmte Shimvolumen ist asymmetrisch in bezug auf die Gesamtgeometrie der Spule angeordnet); und
(c) z = 0 ist in der Hälfte zwischen den ersten und zweiten Enden der Spule. Vorzugsweise sind alle Spulen in dem Shimset von der obengenannten Art.

Gemäß bestimmten bevorzugten Ausführungsformen der Erfindung erzeugt die zonale Shimspule eine einzelne vorbestimmte zonale Harmonische, das vorbestimmte Shimvolumen definiert einen Mittelpunkt M entlang der Längsachse, das vorbestimmte Shimvolumen hat einen charakteristischen Radius R, gegeben durch: R = (q – p)L/2 wenn q – p < 1, und durch: R = (q – p)L/3, wenn q – p ≥ 1, und die zonale Shimspule hat eine Reinheit (P'), welche kleiner oder gleich 0,2 ist, wobei
Bevorzugt ist P' kleiner oder gleich 0,05.
Bei bestimmten spezifischen Anwendungen der Erfindung hat die zonale Shimspule die folgenden Eigenschaften:

(i) n' = 2 oder 3;
(ii) q – p ≥ 0,7
(iii) 2L ≤ 1,4 Meter; und
(iv) P' ≤ 0,1;

(i) n' = 4, 5, 6, 7 oder 8;
(ii) q – p ≥ 0,7
(iii) 2L ≤ 1,4 Meter; und
(iv) P' ≤ 0,2

Für klinische Bildgebungsanwendungen der Erfindung ist entweder |p| oder |q| vorzugsweise größer oder gleich 0,7.
Gemäß bestimmten anderen Aspekten bietet die Erfindung ein Verfahren zum Ausbilden einer zonalen Shimspule für ein Magnetresonanzsystem, wobei sich die Shimspule von –L bis +L entlang einer Längsachse erstreckt, welche entlang der z-Achse eines dreidimensionalen Koordinatensystems liegt, wobei das Verfahren umfaßt:

(a) Auswählen einer Zylinderfläche mit einem Radius r = a zum Berechnen von Stromdichten für die Shimspule (die „r = a Fläche”), wobei die Fläche die Längsachse umgibt und sich von –L bis +3L erstreckt und einen ersten Bereich hat, welcher sich von –L bis +L erstreckt und einen zweiten Bereich, welcher sich von +L bis +3L erstreckt;
(b) Für den ersten Bereich, Auswahl eines Satzes von Sollwerten für die Längskomponente des Magnetfeldes (B_z)a, z)), welche von der Shimspule an Steilen produziert werden soll, welche (i) entlang der Längsachse beabstandet sind und (ii) auf der Innenseite der r = a Fläche (r = a), wobei:
(1) der erste Bereich aus einem ersten, zweiten und dritten Unterbereich besteht, welche sich der Reihe nach entlang der Längsachse von z = –L bis z = +L erstrecken, wobei der erste Unterbereich sich von z = –L bis z = pL, der zweite Unterbereich von z = pL bis z = qL und der dritte Unterbereich von z = qL bis z = +L erstreckt, wobei: –1 < p < q < 1;
(2) die Sollwerte für die Längskomponente des Magnetfeldes durch eine vorgewählte zonale Harmonische für den zweiten Unterbereich definiert sind; und
(3) die Sollwerte für das Magnetfeld für den ersten und dritten Unterbereich so gewählt sind, dass sie die folgende Gleichung erfüllen;
(c) für den zweiten Bereich, Auswahl eines Satzes von Berechnungswerten für die Stellen, welche (i) entlang der Längsachse beabstandet sind und (ii) auf der Innenseite der r = a Oberfläche (r = a), wobei der Satz Berechnungswerte die Reflexion um z = +L des Satzes der Sollwerte des ersten Bereiches sind; und
(d) Feststellen einer Stromdichteverteilung j_s(z) für die Shimspule für den ersten Bereich durch:
(1) Berechnen von Koeffizienten für eine Fourier-Reihen-Erweiterung für das longitudinale Magnetfeld von dem Satz gewählter Sollwerte für den ersten Bereich und den Satz gewählter Berechnungswerte für den zweiten Bereich; und
(2) Berechnen der Stromdichteverteilung durch gleichzeitiges Lösen der folgenden Gleichungen (1) bis (3) in Kombination mit der Gleichung B = –∇ψ mittels den in Schritt (d)(1) berechneten Fourier-Koeffizienten.

Das Verfahren beinhaltet vorzugsweise auch den zusätzlichen Schritt des Erzeugens diskreter Stromführungswindungen für die Shimspule von der Stromdichteverteilung j_s(z) durch:

(1) Integrieren von |j_s(z)| in bezug auf z über dem Bereich von –L bis +L, um einen Gesamtstrom 3 festzustellen;
(2) Auswählen einer Anzahl von stromführenden Windungen N;
(3) Feststellen eines Stroms pro Windungszahl I = J/N;
(4) Feststellen eines Satzes von j_s(z) Blöcken über dem Bereich von –L bis +L, so dass das Integral von |j_s(z)| über jedem Block gleich I ist; und
(5) Für alle Blocks mit einer Nettopolarität für j_s(z) über dem Block, Anlegen einer Windung am Mittelpunkt des Blockes, wobei die Stromrichtung in der Windung der Nettopolarität entspricht.

Das Verfahren kann für einen symmetrisch angeordneten zweiten Unterbereich verwendet werden, in welchem Fall |p| = |q| oder für einen asymmetrisch angeordneten zweiten Unterbereich, in welchem Fall |p| ≠ |q|.
Weitere Einzelheiten der Erfindung sind im folgenden dargestellt.
Kurze Beschreibung der Zeichnungen
Die Erfindung wird mittels Beispielen in bezug auf die Zeichnungen beschrieben.
1A zeigt die allgemeine Anordnung eines zylindrischen Shimspulensystems, bei welchem durch Ändern des Werts d sich die Asymmetrie des vorbestimmten Shimvolumens („Zielbereich”) relativ zur Spulenstruktur ändert.
1B ist ein Diagramm, welches darstellt, wie das Soll-Zielfeld in einem Abschnitt der Spule sich auf die gesamte Spule –L < z < L erstreckt und dann durch Reflexion um z = L fortgesetzt wird, um eine erweiterte periodische Funktion der Periode 4L zu bilden;
2A ist ein Diagramm eines Zielfeldes, welches linear in dem Abschnitt pL < z < qL ist, wobei L = 0,2 Meter und die Gesamtlänge 0,4 Meter beträgt, wobei der Durchmesser der Spule 0,2 Meter und p = –0,7 und q = 0,1 betragen;
2B ist die Stromdichte, die erforderlich ist, um das lineare asymmetrische Feld von 2A zu erzeugen;
2C ist die integrierte Stromdichte und die Position von 20 Windungen oder Spulen (schwarze Rechtecke), welche einen willkürlichen Strom von 100 Ampere bei einer Spulenlänge von 1 Meter, 400 mm Durchmesser, p = –0,9, q = 0,9 und einem linearen Zielfeld führen. Das Vorzeichen des Stromes in den Spulenblocks zeigt die Windungsrichtung an;
2D zeigt das Spulenwindungsmuster, welches der integrierten Stromdichte von 2C zugeordnet ist;
3A ist ein Diagramm eines Zielfeldes, welches in dem Abschnitt pL < z < qL quadratisch ist, wobei L = 0,5 Meter und die Gesamtlänge 1,0 Meter betragen, wobei der Durchmesser der Spule = 0,4 Meter und p = –0,8 und q = 0,2;
3B ist die Stromdichte, die erforderlich ist, um das quadratische Feld von 3A zu erzeugen;
3C zeigt das Spulenwindungsmuster, welches einer Stromdichte, wobei p = 0,8, q = 0,2, Länge = 1 Meter, Durchmesser = 400 mm, und einem quadratischen Zielfeld zugeordnet ist;
4A ist ein Diagramm der Stromdichte, die erforderlich ist, um ein kubisches Feld zu erzeugen, d. h. ein Zielfeld, welches in dem Abschnitt pL < z < qL kubisch ist, wobei L = 0,5 Meter, die Gesamtlänge = 1,0 Meter, der Durchmesser der Spule = 0,4 Meter und p = –0,8 und q = 0,2;
4B zeigt das Spulenwindungsmuster, welches der asymmetrischen Stromdichte von 4A zugeordnet ist;
4C zeigt die Magnetfeldkomponente H über der gesamten Spulenlänge und -radius für ein symmetrisches kubisches Feld, wobei p = –0,95 und q = 0,95;
5 ist ein Flussdiagramm, welches zur Beschreibung und zum Verständnis des erfindungsgemäßen Verfahrens dient.
Die obigen Zeichnungen, welche in der Beschreibung enthalten sind und Teil derselben bilden, zeigen die bevorzugten Ausführungsformen der Erfindung und dienen zusammen mit der Beschreibung zum Erklären der Prinzipien der Erfindung. Es versteht sich natürlich von selbst, dass sowohl die Zeichnungen als auch die Beschreibung nur beispielhaft sind und die Erfindung nicht einschränken.
Detaillierte Beschreibung von Ausführungsformen der Erfindung
Wie oben erörtert wurde, bezieht sich die vorliegende Erfindung auf zonale Shimspulen mit vorbestimmten Eigenschaften und auf Verfahren zu deren Ausbildung und andere Spulenarten. 5 zeigt das gesamte numerische Verfahren der Erfindung in bezug auf die verschiedenen unten erwähnten Gleichungen.
Das unten beschriebene erfindungsgemäße Verfahren wird vorzugsweise an einem digitalen Computersystem ausgeführt, welches durch geeignetes Programmieren so ausgebildet ist, dass es verschiedene Berechnungsschritte ausführt. Das Programmieren kann in verschiedenen bekannten Programmiersprachen erfolgen. Eine bevorzugte Programmiersprache ist die C-Sprache, welche besonders gut geeignet ist, um wissenschaftliche Berechnungen auszuführen. Andere Sprachen, die verwendet werden können, beinhalten FORTRAN, BASIC, PASCAL, C⁺⁺ und dergleichen. Das Programm kann als Herstellungsartikel mit einem Computer-verwendbaren Medium, wie einer Magnetscheibe, einer optischen Scheibe oder dergleichen ausgeführt werden, auf welcher das Programm codiert ist.
Das Computersystem kann einen allgemein verwendbaren wissenschaftlichen Computer und zugehörige Peripheriegeräte, wie die derzeit von DIGITAL EQUIPMENT CORPORATION, IBM, HEWLETT-PACKARD, SUN MICROSYSTEMS, SGI oder dergleichen hergestellten Computer und Peripheriegeräte, aufweisen. Die numerischen Verfahren der Erfindung können z. B. in C-Code implementiert und auf einem PC ausgeführt werden. Das System sollte eine Einrichtung zur Dateneingabe und eine Einrichtung zur Ausgabe der Ergebnisse des Shimspulendesigns sowohl in elektronischer als auch visueller Form beinhalten. Die Ausgabe kann auch auf einem Diskettenlaufwerk, Bandlaufwerk oder dergleichen zur weiteren Analyse und/oder nachfolgender Anzeige gespeichert werden.
In bezug auf die Figuren zeigt 1A eine zylindrische Spule einer Länge 2L und einem Radius α. Das Design einer solchen Spule, so dass es ein gewünschtes Magnetfeld innerhalb eines vorgewählten Bereichs in der Spule ergibt, beinhaltet die Lösung eines bekannten mathematischen Satzes von Gleichungen und Grenzbedingungen.
Der Magnetfeldvektor H(r, z) (Ampere/Meter) bezieht sich auf den magnetischen Induktionsvektor B(r, z) (Weber/Quadratmeter) durch die konstitutive Relation B = μ₀H, und dieses Feld kann als der Gradient eines magnetischen skalaren Potentials Ψ(x, y, z) mittels der Relation B = –∇_ψ dargestellt werden. Hier stellt die Konstante μ₀ die magnetische Permeabilität des freien Raums dar. Das skalare Potential erfüllt die Laplace Gleichung:
sowohl innerhalb als auch außerhalb der Spule des Radius a. Bei zylindrischen Polarkoordinaten hat das magnetische Induktionsfeld B die radiale Komponente B_r(r, z) in der radialen (r) Richtung und die longitudinale Komponente B_z(r, z) in der axialen (z) Richtung, welche entlang der Spulenmitte zeigt. Die zwei wohlbekannten Grenzbedingungen auf diesem magnetischen Induktionsfeld sind zuerst, dass die radiale Komponente am Zylinder kontinuierlich sein muss, so dass B_r(a⁺, z) = B_r(a^–, z) an r = a. (2)
Für rein zonale Felder gibt es eine Oberflächenstromdichte-Komponente j_s(z) (Ampere/Meter), welche um die Spule in einer reinen Umfangsrichtung (azimuthalen Richtung) fließt. Die zweite Grenzbedingung an dem Zylinder bezieht diese Stromdichte auf die Diskontinuität in der axialen Komponenten des magnetischen Induktionsfeldes gemäß der Gleichung B_z(a⁺, z) – B_z(a^–, z) = –u₀j_s(z) an r = a. (3)
Angenommen, dass die Spule eine Länge 2L hat und entlang der z-Achse in dem Intervall –L < z < L liegt, ist die Lösung des Satzes der Gleichungen (1)–(3) in geschlossener Form im allgemeinen zu schwierig für eine Spule mit endlicher Länge mit einem bestimmten Zielfeld. Um dieses Problem zu lösen, bietet die vorliegende Erfindung einen näherungsweisen Lösungsansatz für diesen Satz Gleichungen, welcher ermöglicht, dass zonale Zielfelder einer gewünschten Form innerhalb der Spule angegeben werden. Dies ergibt eine allgemeine Formel für die Stromdichte j_s(z) auf der Spulenfläche, von welcher Spulenwindungsmuster konstruiert werden können.
Ein Aspekt dieser Erfindung besteht darin, das gewünschte Zielfeld als periodische Funktion einer Periode darzustellen, die der doppelten Spulenlänge (d. h. Periode 4L) entspricht, was in 1B gezeigt ist. Dies ist eine Annäherung an die exakte Situation, da sie den Schwund an den zwei Enden der Spule ignoriert. Sie sollte jedoch eine genaue Darstellung des echten Feldes innerhalb der Spule von den Enden entfernt geben.
Sobald das Zielfeld in dieser Weise als entwickelte periodische Funktion dargestellt wurde, können die genauen Einzelheiten, wie die periodische Entwicklung durchgeführt werden soll, frei gewählt werden. Ein zweiter Aspekt dieser Erfindung besteht darin, das entwickelte periodische Zielfeld als eine gerade periodische Entwicklung um das rechte Spulenende herum darzustellen, wobei z = L. Das Zielfeld ist an der Innenfläche des Zylinders selbst angegeben, wobei r = a (ebenfalls als „Innenseite der r = a Fläche” bezeichnet und „a” genannt). Deshalb ist das Zielfeld die axiale Komponente B_z(a^–, z) des magnetischen Induktionsvektors und das periodisch fortgesetzte Feld ist
Das Zielfeld B_z(a^–, z) in der vorliegenden Spule –L < z < L kann vollkommen willkürlich gewählt werden unter der Bedingung
und die Wahl in Gleichung (4) garantiert, dass die periodisch entwickelte Funktion B ~_z überall kontinuierlich ist.
Mit dieser Annäherung des Zielfeldes durch eine entwickelte periodische Funktion kann nun der mathematische Satz von Gleichungen und Grenzbedingungen (1)–(3) mittels Fourier-Reihen entsprechend den bekannten Prinzipien gelöst werden. Siehe z. B. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1962, Seiten 482–486. Das entwickelte Zielfeld B ~_z in Gleichung (4) kann in der Form
dargestellt werden, wobei
und die Fourier-Koeffizienten gemäß dem Zielfeld entsprechend der Formel
gegeben sind.
Die auf die Gleichungen (1)–(3) angewandten Standard-Lösungsverfahren ergeben nun die Stromdichte auf der Oberfläche der zylindrischen Spule
Die radiale Komponente des magnetischen Induktionsfeldes in der Spule wird gleichermaßen festgestellt als
wobei r < a und
außerhalb der Spule, wobei r > a.
Die axiale Komponente des magnetischen Induktionsfeldes wird durch Verwendung derselben Fourier-Reihenverfahren gefunden und wird durch die Forme!
in der Spule dargestellt, wobei r < a und
außerhalb der Spule, wobei r > a. Bei diesen Formeln sind die Funktionen I_v und K_v modifizierte Bessel-Funktionen der ersten und zweiten Art von v-ter Ordnung.
Die vorliegende Erfindung wird deutlicher durch die folgenden Beispiele beschrieben, welche keinerlei Einschränkung der Erfindung darstellen.
BEISPIEL 1
A. LINEARES ZONALES FELD DURCH DIE GESAMTE SPULE HINDURCH
Zur Darstellung der Verfahrensaspekte der Erfindung ist eine zonale Shimspule, welche ein linear durch die gesamte Spule variierendes Feld erzeugt, wie folgt gestaltet. Das Zielfeld, welches für diese Situation geeignet ist, ist: B_z(a^–, z) = μ₀H_max z / L wobei H_max ein charakteristischer Maximalwert des Magnetfeldes (Ampere/Meter) ist.
Dieses Feld erfüllt bereits die Bedingung (5) und die Fourier-Koeffizienten werden aus Gleichung (8) berechnet als:
Die auf der Oberfläche r = a der Spule erforderliche Stromdichte wird nun aus Gleichung (9) genommen und das magnetische Induktionsfeld, welches innerhalb und außerhalb der Spule erzeugt wird, ist gegeben durch die Gleichungen (14)–(13).
B. DIE AUSBILDUNG ALLGEMEIN ASYMMETRISCHER ZONALER SHIMSPULEN
In dem obengenannten Beispiel ging es um ein einfaches lineares Feld. Die erfindungsgemäße Vorgehensweise kann auch zur Ausbildung von Spulen verwendet werden, die interessierende Felder in einem asymmetrischen Abschnitt der Spule erzeugen.
In diesem Fall wird angenommen, dass der interessierende Anteil innerhalb der Spule der Bereich pL < z < qL ist, welcher eine Untermenge der gesamten Spule ist, die den Raum –L < z < L besetzt. Die Bruchzahlen p und q erfüllen deshalb die Bedingungen –1 < p < q < 1. Bei der Vorgehensweise dieser Erfindung ist das Zielfeld B_z(a^–, z) in der allgemeinen Form dargestellt:
Hier ist die Konstante H_max eine charakteristische Magnetfeldstärke (Ampere/Meter) wie zuvor und die (dimensionslose) Variable Z₂ ist definiert als:
Nur der asymmetrische Abschnitt pL < z < qL ist von Interesse, somit bewirken die zwei linearen Funktionen in den anderen Spulenabschnitten nur, dass das Zielfeld B_z(a^–, z) kontinuierlich wird.
Die Funktion f(Z₂) in Gleichung (14) ist vollkommen willkürlich und kann in beliebiger gewünschter Form gewählt werden. Deshalb können durch diese Erfindung Spulen gebildet werden, bei welchen das Ziel-Magnetfeld vollständig von dem Benutzer spezifiziert werden kann, und an einer beliebigen asymmetrischen Stelle innerhalb der Spule angeordnet werden können.
Um die Kontinuität des Feldes bei z = qL zu erfüllen, muß f(β) = 1 gewählt werden, wobei β = q – p / 2 . Es ist ebenso erforderlich, dass das Feld in Gleichung (14) bei z = pL kontinuierlich ist und dass die integrale Bedingung (5) erfüllt werden muß. Diese zwei Erfordernisse bestimmen die zwei Konstanten M und N in Gleichung (14). Sie werden berechnet als:
wobei die Variable Z₂ in Gleichung (15) definiert wurde.
Die Gleichungen (14)–(16) bieten eine allgemeine Vorgehensweise zur Bildung von zonalen asymmetrischen Magnet-Shimspulen, in welchen das Magnetfeld in dem interessierenden Abschnitt pL < z < qL vollständig vom Benutzer gewählt werden kann. Die erforderlichen Fourier-Koeffizienten werden aus der Gleichung (8) berechnet und können durch Standard-Integration erhalten werden. Die Stromdichte auf der Spulenfläche ist dann durch die Gleichung (9) gegeben und die Magnetfeldkomponenten werden aus Gleichungen (10)–(13) berechnet. Sobald die Stromdichte bekannt ist, können entsprechende Windungsmuster auf der Spulenfläche erzeugt werden. Diese Ergebnisse werden nun zum Bilden dreier asymmetrischer zonaler Shimspulen von praktischem Interesse verwendet. Diese sind linear, quadratisch und kubische Shimspulen, die asymmetrisch angeordnet sind. Shimspulen, die höhere Ordnungen erzeugen oder Ordnungskobinationen können mit diesen Verfahren einfach gebildet werden.
BEISPIEL 2: LINEARES ASYMMETRISCHES ZONALES FELD
Die allgemeinen obengenannten Konstruktionsprinzipien sind in bezug auf eine zonale Spule gezeigt, in welcher das Zielfeld in dem interessierenden Abschnitt pL < z < qL linear ist. Aus den Gleichungen (14)–(16) wird das Zielfeld deshalb gewählt als:
wobei die Variable Z₂ wie in Gleichung (15) definiert ist.
Die Integrale in Gleichungen (8) können nun mittels Standardtechniken berechnet werden, um die Fourier-Koeffizienten zu erhalten.
Diese Koeffizienten können nun sofort in Gleichung (9), um die Stromdichte j_s auf der Spulenoberfläche zu erhalten, und in Gleichungen (10)–(13) verwendet werden, um das Magnetfeld zu erhalten.
Das Magnetfeld auf der Innenfläche der Spule ist in 2A gezeigt. In dieser beispielhaften Berechnung wurden die Parameter gewählt als p = –0,7 und q = 0,1 mit einem Spulenradius von a = 0,1 m und einer Spulenlänge L = 0,2 m. Für die charakteristische Feldstärke wurde H_max = 1,0 Ampere/Meter gewählt.
Die als kontinuierliche Linie in 2A gezeichnete Kurve wurde direkt aus dem Zielfeld in Gleichung (17) genommen und die mit Sternen gezeichneten Punkte sind Werte, die von der Fourierreihe-Lösung (12) mittels 301 Fourier-Koeffizienten berechnet wurden. Diese Figur zeigt die hervorragende Übereinstimmung zwischen dem exakten Zielfeld (17) und dem berechneten Ergebnis und bestätigt die Genauigkeit der Fourier-Reihe-Lösung der Erfindung. (Es ist zu beachten, dass die axiale Komponente des Magnetfeldes H_z = B_z/μ₀ hier aus Übersichtsgründen eingezeichnet wurde.)
Die Stromdichte j_s wurde aus Gleichung (9) mittels der Fourier-Koeffizienten (18) für das asymmetrische lineare Feld berechnet. Das Ergebnis ist in 25 gezeigt.
Um Spulenmuster aus den Stromdichten zu erzeugen, werden sie zuerst integriert. Die Anzahl an gewünschten Spulen wird dann ausgewählt und die integrierte Strom-Wellenform in gleiche Elemente aufgeteilt. Dann wird ein Draht am Mittelpunkt jedes gleichen Strombereiches angeordnet. Die Auswahl der Anzahl von Drähten, die in der Spule erforderlich sind, hängt von einigen Faktoren ab, z. B., wie gut die diskrete Spulenstruktur sich der kontinuierlichen Stromdichte annähert und die Gesamtimpedanz der Spule. Während der integrierte Strom zunimmt, ist die Spulenwindungsrichtung positiv, jedoch eine Abnahme des integrierten Stromes erfordert eine „negative” Windung – in der umgekehrten Richtung. Umgekehrte Windungen entsprechen negativen Stromdichtebereichen.
2C zeigt die integrierten Strom- und Spulenpositionen für ein symmetrisches lineares Shimsystem von einer Länge von 1,0 m und einem Durchmesser von 0,4 m. Das entsprechende Windungsmuster ist in 2D gezeigt. Eine Entfaltung der Kugelfunktion des von dieser Spulenstruktur erzeugten Feldes ergab, dass für Unreinheiten von bis zu 6. Ordnung, die Spule eine (lineare) Kugelfunktion erster Ordnung über einem Durchmesserbereich von 300 mm erzeugt mit Unreinheitspegeln von weniger als 3%, d. h. einem P'-Wert von 0,03. Dies zeigt an, dass die Spulenimplementation eine geeignete Diskretisierung der kontinuierlichen Stromdichte bereitstellt.
BEISPIEL 3: QUADRATISCHES ASYMMETRISCHES ZONALES FELD
Die oben beschriebenen allgemeinen Konstruktionsprinzipien werden hier verwendet, um ein Zielfeld zu konstruieren, welches die zweite zonale Kugelfunktion T₂(r, z) ~ 2z² – r² bei dem Spulenradius r = a in dem asymmetrisch angeordneten Intervall pL < z < qL nachahmt. Kugelfunktionen wie diese werden verwendet, um Unreinheiten in dem Magnetfeld während MRI-Experimenten zu shimmen. Somit dient dieses Beispiel zur Darstellung einer wichtigen praktischen Anwendung der Erfindung. Für die Verwendung der Gleichungen (14)–(16) wird das Zielfeld folgendermaßen gewählt:
Dieses Feld hat das erforderliche quadratische Verhalten in dem Intervall pL < z < qL. Zur Vereinfachung wurden die Konstanten
definiert und werden in einfacher Weise aus den Parametern berechnet, die die Spulengeometrie bestimmen. Die Bedeutung der Variablen Z₂ wurde zuvor in Gleichung (15) gegeben. Die Fourier-Koeffizienten können nun aus den Gleichungen (8) geschätzt werden und geben folgendes Ergebnis
und
Die Fourier-Koeffizienten in Gleichungen (21) wurden zum Berechnen der Stromdichte auf der Spule und dem Magnetfeld verwendet. Das Magnetfeld auf der Innenfläche der Spule ist in 3A für eine Spulen-Gesamtlänge von 1,0 m, einem Durchmesser von 0,4 m und p = –0,8, q = 0,2 gezeigt. Die mit durchgezogener Linie gezeichnete Kurve ist das exakte Zielfeld in Gleichung (19) und die mit Sternen gezeichneten Punkte sind Werte, die aus der Fourier-Reihe-Lösung mittels 301 Fourier-Koeffizienten berechnet wurden. Wiederum ist die Übereinstimmung zwischen den exakten und berechneten Werten für das Zielfeld hervorragend und bestätigt die Genauigkeit der Fourier-Reihe-Lösung. Die berechnete Stromdichte ist in 3B gezeigt. 3C zeigt ein Windungsmuster für die quadratische Shimspule.
BEISPIEL 4: EIN KUBISCHES ASYMMETRISCHES ZONALES FELD
In diesem Beispiel ist ein Zielfeld so ausgebildet, dass es die dritte zonale Kugelfunktion T₃(r, z) ~ 2z³ – 3r²z mit dem Spulenradius r = a nachahmt. Dies ist ebenfalls von praktischem Interesse bei MRI-Anwendungen. Aus Gleichungen (14)–(16) wird das Zielfeld gewählt als:
wobei Z₂ wie zuvor in Gleichung (15) und die Konstanten α und β wie in Gleichung (20) gewählt sind. Wie bei den vorigen zwei Beispielen werden die Fourier-Koeffizienten C_2k und D_2k+1 für dieses Zielfeld (22) durch Verwendung der Gleichungen (8) berechnet.
Die erforderliche Stromdichte zum Erzeugen des asymmetrischen kubischen zonalen Feldes entsprechend Gleichung (22) ist in 4A gezeigt. Die Parameter waren p = –0,8, q = 0,2, a = 0,2 m, L = 0,5 m und H_max = 1,0 Ampere/Meter, wie zuvor, nur zum Zwecke der Darstellung.
Ein Windungsmuster für diese kubische Spule ist in 4B gezeigt. 4C zeigt die axiale Komponente des Magnetfeldes für eine symmetrische kubische Spule, wobei p = 0,95 und q = 0,95. Die kubische Variation des Feldes in dem interessierenden Abschnitt pL < z < qL ist offensichtlich.
Die Erfindung wurde in besonderem bezug auf asymmetrische zonale Shimspulen und ein Verfahren zum Ausbilden solcher zonalen Shimspulen beschrieben, in welchen der interessierende Abschnitt (der DSV) an einer beliebigen Stelle in der Spule angeordnet werden kann. Das erfindungsgemäße Verfahren kann jedoch auf den Aufbau eines beliebigen zonalen interessierenden Feldes angewandt werden, ob es zum Erzeugen einer Kugelfunktion-Komponenten oder etwas anderem ausgebildet ist und wurde hier mit vier praktischen Beispielen gezeigt. Dem Fachmann ist klar, dass unterschiedliche Änderungen der Form und Einzelheiten erfolgen können, ohne den Inhalt und den Rahmen dieser Erfindung zu verlassen.

Claims

Zonale Shimspule mit (i) einer Längsachse und (ii) einem vorbestimmten Shimvolumen und mit einer Mehrzahl von stromführenden Windungen, welche die Längsachse umgeben und in axialer Richtung voneinander beabstandet sind, wobei die Spule ein Magnetfeld erzeugt, das eine Längskomponente B_z(r, θ) in Richtung der Längsachse aufweist, die gegeben ist durch:
wobei a_n0 die Amplituden der zonalen Harmonischen, P_n0(cosθ) die Legendre-Polynome, n die Polynom-Ordnung und r und θ die radiale bzw. azimutale Koordinate sind; wobei (i) die Spule eine vorbestimmte zonale Harmonische erzeugt, deren Ordnung (n') größer oder gleich 2 ist; (ii) die Spule ein erstes und ein zweites Ende hat, welche eine Länge 2L definieren; und (iii) das vorbestimmte Shimvolumen sich entlang der Längsachse von z = pL zu z = qL erstreckt, wobei (a) –1 < p < q < 1; (b) |p| ≠ |q|; und (c) z = 0 die Hälfte der Strecke zwischen dem ersten und zweiten Ende der zonalen Shimspule ist.
Spule nach Anspruch 1, wobei q – p ≥ 0,01.
Spule nach Anspruch 1, wobei q – p ≥ 0,05.
Spule nach Anspruch 1, wobei: (a) das vorbestimmte Shimvolumen einen Mittelpunkt M entlang der Längsachse definiert, (b) das vorbestimmte Shimvolumen einen charakteristischen Radius R hat, gegeben durch: R = (q – p)L/2, wenn q – p < 1 und durch R = (q – p)L/3, wenn q – p ≥ 1; und (c) die Spule eine Reinheit (P') hat, welche kleiner oder gleich 0,2 ist, wobei
Spule nach Anspruch 4, wobei P' kleiner oder gleich 0,05 ist.
Spule nach Anspruch 4, wobei (i) n' = 2 oder 3; (ii) q – p ≥ 0,7; (iii) 2L ≤ 1,4 Meter; und (iv) P' ≤ 0,1.
Spule nach Anspruch 4, wobei (i) n' = 4, 5, 6, 7 oder 8; (ii) q – p ≥ 0,7; (iii) 2L ≤ 1,4 Meter; und (iv) P' ≤ 0,2.
Spule nach Anspruch 1, wobei |p| oder |q| größer als oder gleich 0,7 ist.
Spule nach Anspruch 1, wobei (v) z < 0 am ersten Ende; (vi) |p| > |q|; und (vii) die Anzahl an stromführenden Windungen für z ≤ 0 größer ist als die Anzahl an stromführenden Windungen für z > 0.
Spule nach Anspruch 1, wobei die Spule mindestens eine zusätzliche vorbestimmte zonale Harmonische erzeugt, wobei die mindestens eine zusätzliche Harmonische eine von n' unterschiedliche Ordnung hat.
Shimset mit (i) einer Längsachse und (ii) einem vorbestimmten Shimvolumen, wobei das Set eine Mehrzahl von zonalen Shimspulen aufweist, die jeweils eine Mehrzahl von stromführenden Windungen haben, welche die Längsachse umgeben und in axialer Richtung voneinander beabstandet sind, wobei jede der zonalen Shimspulen ein Magnetfeld erzeugt, das eine Längskomponente B_z(r, θ) in Richtung der Längsachse aufweist, die gegeben ist durch:
wobei a_n0 die Amplituden der zonalen Harmonischen, P_n0(cosθ) die Legendre-Polynome, n die Ordnung des Polynoms und r und θ die radiale bzw. azimuthale Koordinate sind, wobei (i) jede der zonalen Shimspulen eine vorbestimmte zonale Harmonische erzeugt, wobei sich die vorbestimmten zonalen Harmonischen voneinander unterscheiden und mindestens eine der vorbestimmten zonalen Harmonischen einer Ordnung(n') hat, welche größer oder gleich 2 ist; (ii) die zonalen Shimspulen gemeinsame erste und zweite Enden haben, welche eine Länge 2L definieren; und (iii) das vorbestimmte Shimvolumen sich entlang der Längsachse von z = pL zu z = qL erstreckt, wobei (a) –1 < p < q < 1; (b) |p| ≠ |q|; und (c) z = 0 die Mitte zwischen den gemeinsamen ersten und zweiten Enden ist.
Shimset nach Anspruch 11, wobei q – p ≥ 0,05.
Shimset nach Anspruch 11, wobei q – p ≥ 0,5.
Shimset nach Anspruch 11, wobei (a) das vorbestimmte Shimvolumen einen Mittelpunkt M entlang der Längsachse definiert, (b) das vorbestimmte Shimvolumen einen charakteristischen Radius R hat, der gegeben ist durch: R = (q – p)L/2, wenn q – p < 1, und durch: R = (q – p)L/3, wenn q – p ≥ 1; und (c) jede der zonalen Shimspulen eine Reinheit (P') hat, welche kleiner oder gleich 0,2 ist, wobei:
Shimset nach Anspruch 14, wobei P' kleiner oder gleich 0,05 für jede der zonalen Shimspulen ist.
Shimset nach Anspruch 14, wobei (i) das Set drei zonale Shimspulen mit n' Werten von 2, 3 und 4 aufweist; (ii) q – p ≥ 0,7; (iii) 2L ≤ 1,4 Meter; und (iv) für n' gleich 2 und 3 P' ≤ 0,1; und für n' gleich 4 P ≤ 0,2.
Shimset nach Anspruch 11, wobei |p| oder |q| größer oder gleich 0,7 ist.
Shimset nach Anspruch 11, wobei (i) z < 0 am ersten Ende; (ii) |p| > |q|; und (iii) die Anzahl an stromführenden Windungen für z ≤ 0 größer ist als die Anzahl an stromführenden Windungen für z > 0 für jede der zonalen Shimspulen.
Magnetresonanzsystem mit der zonalen Shimspule nach Anspruch 1.
Magnetresonanzsystem mit dem Shimset nach Anspruch 11.
Verfahren zum Aufbau einer zonalen Shimspule für ein Magnetresonanzsystem, wobei sich die Shimspule von –L bis +L entlang einer Längsachse erstreckt, welche entlang der z-Achse eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit einer radialen Koordinate r liegt, wobei das Verfahren umfaßt: (a) Auswählen einer zylindrischen Fläche mit einem Radius r = a zum Berechnen der Stromdichten für die Shimspule, wobei die Fläche die Längsachse umgibt, und sich von –L bis +3L erstreckt, und mit einem ersten Bereich, welcher sich von –L bis +L erstreckt und einem zweiten Bereich, welcher sich von +L bis +3L erstreckt; (b) für den ersten Bereich, Auswählen eines Satzes von gewünschten Werten für die Längskomponente des Magnetfeldes (B_z(a, z)) in Richtung der Längsachse, welches von der Shimspule an Stellen erzeugt werden soll, die (i) entlang der Längsachse beabstandet und (ii) auf der Innenseite der zylindrischen Fläche mit Radius r = a sind, wobei: (1) der erste Bereich aus einem ersten, zweiten und dritten Unterbereich besteht, welche sich in Reihe entlang der Längsachse von z = –L bis z = +L erstrecken, wobei sich der erste Unterbereich von z = –L bis z = pL, der zweite Unterbereich von z = pL bis z = qL und der dritte Unterbereich von z = qL bis z = +L erstreckt, wobei: –1 < p < q < 1; (2) die gewünschten Werte für die Längskomponente des Magnetfeldes durch eine vorgewählte zonale Harmonische für den zweiten Unterbereich definiert sind; (3) die gewünschten Werte für das Magnetfeld für den ersten und dritten Unterbereich so gewählt sind, dass sie die folgende Gleichung erfüllen:
(c) für den zweiten Bereich, Auswahl eines Satzes von Berechnungswerten für Stellen, welche (i) entlang der Längsachse beabstandet und (ii) auf der Innenseite der zylindrischen Fläche mit Radius r = a sind, wobei dieser Satz der Berechnungswerte die Reflexion um z = +L des Satzes von gewünschten Werten des ersten Bereiches ist; und (d) Bestimmen einer Stromdichte-Verteilung j_s(z) für die Shimspule für den ersten Bereich durch: (1) Berechnen von Koeffizienten für eine Fourier-Reihen-Entwicklung für das longitudinale Magnetfeld von dem Satz der gewählten gewünschten Werte für den ersten Bereich und den Satz von gewählten Berechnungswerten für den zweiten Bereich, und (2) Berechnen der Stromdichteverteilung durch gleichzeitiges Lösen der folgenden vier Gleichungen mittels in Schritt (d)(1) berechneten Fourier-Koeffizienten:
wobei B das Magnetfeld, ψ ein magnetisches skalares Potential, B_r(a, z) und B_r(a⁺, z) jeweils die radialen Komponenten des Magnetfeldes auf den Innen- und Außenseiten der zylindrischen Fläche mit Radius r = a, B_z(a⁺,z) die Längskomponente des Magnetfeldes auf der Außenseite der r = a Fläche und μ₀ die Permeabilität des freien Raumes sind.
Verfahren nach Anspruch 21, wobei j_s(z) gegeben ist durch:
wobei
wobei I₀ und K₁ die modifizierten Bessel-Funktionen der ersten und zweiten Art und von nullter bzw. erster Ordnung sind.
Verfahren nach Anspruch 21, mit dem zusätzlichen Schritt des Erzeugens diskreter stromführender Windungen für die Shimspule von der Stromdichteverteilung j_s(z) durch: (1) Integrieren von |j_S(z)| bezüglich z über dem Bereich von –L bis +L, um einen Gesamtstrom J zu bestimmen; (2) Wählen einer Anzahl von stromführenden Windungen N; (3) Bestimmen eines Stromes pro Windungszahl I = J/N; (4) Bestimmen eines Satzes von j_s(z) Blöcken über dem Bereich von –L bis +L, so dass das Integral von |j_s(z)| über jedem Block gleich I ist; und (5) für alle Blöcke mit einer Nettopolarität für j_s(z) über dem Block, Plazieren einer Windung in dem Zentrum des Blockes, wobei die Stromrichtung in der Windung der Nettopolarität entspricht.
Verfahren nach Anspruch 21, wobei |p| = |q|.
Verfahren nach Anspruch 21, wobei |p| ≠ |q|.
Verfahren nach Anspruch 21, mit dem zusätzlichen Schritt des Anzeigens der in Schritt (d) festgestellten Stromdichteverteilung j_s(z).
Verfahren nach Anspruch 21, mit dem zusätzlichen Schritt des Herstellens eines Shimspulensatzes mit mindestens einer Shimspule mit den genannten diskreten stromführenden Windungen.