CN1645378A - 非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明属电路模拟技术领域，具体为一种非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法。该方法的步骤是，对于一非线性电路，首先构造非线性***方程，并将实际模拟区间映射到小波模拟区间；然后对***变量进行小波级数展开，并进行***离散化；最后，求解方程获得小波系数，计算得到离散时间点上的***变量的信号值，再利用信号在频域内的有限项傅博立叶级数展开式，得到信号的连续频谱。本发明方法可适用于一般的非线性电路，均可获得有效的电路信号的连续频谱，而且可保证较高的计算精度和较快的计算速度。

Description

非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法

技术领域

本发明属电路模拟技术领域，具体涉及一种非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法。

技术背景

集成电路已发展到可以将包含10亿以上器件的电子***集成在一块芯片上，即***芯片SOC。针对数以百万计的大规模电路，如何在合理的时间内，快速准确地模拟和验证其设计的正确性已成为***芯片SOC设计的瓶颈问题。据统计，SOC芯片模拟验证的时间已占到整个设计时间的70％。

目前越来越多的SOC芯片是数模混合的，随着混合信号电路的不断进步，其中模拟电路部分的电路结构日益复杂，并呈现多样化的趋势。由于模拟电路绝大多数是非线性电路，其瞬态、稳态和频谱分析所花费的时间数以月计，这使得仅占芯片面积20％的模拟电路的设计时间要占整个SOC芯片设计时间的80％。因此发明可以快速提升模拟电路模拟和验证速度的关键技术，对提高SOC芯片设计的效率，缩短芯片产品的上市时间具有重要的应用价值。

实际的混合信号电路中存在一些具有连续频谱的信号，为了有效地评估电路性能，必须计算这些信号的连续频谱，电噪声即是其中一种最常见的具有连续频谱形式的信号。随着工艺尺寸的减小以及电源电压的降低，电噪声信号对于电路***性能的影响变得越来越重要。为了快速准确地实现混合信号电路的模拟，需要高效的噪声分析技术，因此，高效的非线性电路信号连续频谱的计算方法必不可少。

迄今为止，大多数非线性电路的噪声分析方法[1][2][3][4]都不能很好地处理电路的非线性特性。这些方法假定噪声对***产生的扰动足够小，从而能够将***对噪声干扰的响应近似线性化。然而，在实际的电路中，干扰噪声导致的***响应常常不满足足够小的条件，这时***响应的线性化就不能满足，线性化分析方法不再适用。能有效地处理***的非线性特性的方法绝大多数都基于谐波平衡思想[5][6][7]，但谐波平衡法算法复杂度较高，且仅能获得信号的离散频谱，而不能处理具有连续频谱的信号。为了有效处理***的非线性特性，同时能够获得信号的连续频谱，频域傅立叶级数展开算法[8]被提出，但该算法仍存在误差较大，求解复杂度高的不足。

现有技术的不足之处

不失一般性，一个非线性电路可以用以下方程描述：

$\frac{\mathrm{dX}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=f(X\left(t\right),t)+\mathrm{Du}\left(t\right)---\left(1\right)$

X(0)＝X₀

其中X(t)＝[x₁(t) x₂(t)…x_N(t)]^T代表维数为N的未知变量向量，f(X(t)，t)是关于状态变量X和时间t的的非线性函数，u(t)表示电路的输入激励，X(0)给出了电路的初始条件，D为常系数。

谐波平衡法[5][6][7]的基本思想是在时域内将电路未知变量X(t)写成傅立叶级数展开形式

$X\left(t\right)=\underset{k=-N}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\·e^{\frac{j2\mathrm{\πkt}}{T}}---\left(2\right)$

即X(t)可表示为直流信号、基频信号和高次谐波信号的线性组合。通常，谐波阶数N必须取得足够大，以保证高于N次谐波对于模拟结果的影响可以忽略不计。同时，谐波平衡法将整个电路分成线性和非线性两个部分，线性电路部分直接在频域中求解，非线性电路部分在时域中求解，模拟中需要反复计算离散傅立叶变化和离散傅立叶逆变换，导致算法复杂度较高。另一方面，谐波平衡方法存在其固有的不足，即只能获得信号的离散频谱，而不能得到信号的连续频谱。

为了有效地处理电路的非线性特性，同时获得信号的连续频谱，文献[8]提出基于频域内傅立叶级数展开来获得信号的连续频谱，从而实现非线性电路的噪声分析。

假定电路的变量信号和输入信号皆为带限信号，信号频率范围为[-ω_M，ω_M]，则变量信号X(t)的频谱可展开为以下傅立叶级数形式。

$X\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{\π}}{{\mathrm{\ω}}_M}\underset{k=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k{e}^{-\mathrm{jk\π\ω}/{\mathrm{\ω}}_M}\left(\right|\mathrm{\ω}|\≤{\mathrm{\ω}}_M)---\left(3\right)$

将式(3)进行傅立叶逆变换，可得到式(4)和(5)所示的X(t)的抽样函数级数展开形式，其中h＝π/ω_M，t_k＝kh，sinc(x)＝sin(πx)/(πx)。式(4)和(5)描述的恰为著名的抽样定理。

$X\left(t\right)=\underset{k=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\sin c[(t-t_k)/h]---\left(4\right)$

X_k＝X(t_k)                                                       (5)

取t＝t_n，对式(4)两端进行微分，可得：

$\stackrel{\·}{X}\left(t_n\right)=\frac{1}{h}\underset{k=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\sin c^{\′}[(t_n-t_k)/h]---\left(6\right)$

由于

${\sin c}^{\′}[(t_n-t_k)/h]=\sin c^{\′}(n-k)$

$=\left\{\begin{array}{cc}0,& n=k\\ \frac{{(-1)}^{n-k}}{n-k},& n\≠k\end{array}\right.$

因此

$\stackrel{\·}{X}\left(t_n\right)=\frac{1}{h}\underset{k\≠n}{\overset{\∞}{\underset{k=-\∞}{\mathrm{\Σ}}}}{X}_k\frac{{(-1)}^{n-k}}{n-k}---\left(7\right)$

将式(5)和(7)代入方程(1)，则取t＝t_n时方程(1)可写为：

$\frac{1}{h}\underset{k\≠n}{\overset{\∞}{\underset{k=-\∞}{\mathrm{\Σ}}}}{X}_k\frac{{(-1)}^{n-k}}{n-k}=f(X_n,t_n)+\mathrm{Du}\left(t_n\right)---\left(8\right)$

方程(8)为维数无穷的非线性方程组，包含无穷个未知变量X_n。

实际运用中，要处理(7)式和(8)式所示的无穷项级数是不可能的，需要根据精度要求进行有限项截断。

对式(7)进行2M+1项有限截断(其中M大小决定于精度要求)，有

$\stackrel{\·}{X}\left(t_n\right)=\frac{1}{h}\underset{k\≠n}{\overset{M}{\underset{k=-M}{\mathrm{\Σ}}}}{X}_k\frac{{(-1)}^{n-k}}{n-k}---\left(9\right)$

若选取有限个离散时间点t_-M，t_-M+1，…，t_M对方程(8)进行离散，则方程(8)可近似写成(10)所示的包含2M+1个离散方程的方程组，其中未知变量个数2M+1，即X_-M，X_-M+1，…，X_M。

$\frac{1}{h}\underset{k\≠n}{\overset{M}{\underset{k=-M}{\mathrm{\Σ}}}}{X}_k\frac{{(-1)}^{n-k}}{n-k}\≈f(X_n,t_n)+\mathrm{Du}\left(t_n\right)---\left(10\right)$

应用迭代算法求解方程组(10)可得到未知变量X_-M，X_-M+1，…，X_M。取式(4)的有限项截断形式，原***的时域解X(t)可通过下式计算得到。

$X\left(t\right)\≈\underset{k=-M}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\sin c[(t-t_k)/h]---\left(11\right)$

最后，信号的连续频谱可通过(3)式的有限项截断形式(12)获得。

$X\left(\mathrm{\ω}\right)\≈\frac{\mathrm{\π}}{{\mathrm{\ω}}_M}\underset{k=-M}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k{e}^{-\mathrm{jk\π\ω}/{\mathrm{\ω}}_M}\left(\right|\mathrm{\ω}|\≤{\mathrm{\ω}}_M)---\left(12\right)$

虽然可获得信号的连续频谱，上述频域傅立叶级数展开算法[8]仍存在两大不足。

首先，基于(12)式计算获得的信号连续频谱存在着较大的误差。误差包含两部分，一部分是对式(3)有限截断得到式(12)所引入的截断误差，这部分截断误差会导致吉布斯现象，但可通过文献[9]中提出的窗口技术来消除。另一部分误差是式(12)的展开系数X_-M，X_-M+1，…，X_M的计算误差。X_-M，X_-M+1，…，X_M通过求解维数为2M+1的非线性方程组(10)得到，由于方程组(10)是无穷维方程组(8)的有限项截断的近似，通过求解方程组(10)得到的X_-M，X_-M+1，…，X_M存在较大的误差，从而导致最终得到的信号连续频谱存在较大误差。

其次，算法的复杂度很高。为了获得式(12)中的一组展开系数X_-M，X_-M+1，…，X_M，需要求解维数为2M+1的非线性方程组(10)。基于抽样定理，信号须以奈奎斯特频率2ω_M均匀采样。对于给定的高频频率ω_M，为了获得足够的精度，需要大量的离散采样时间点，即M值会非常大，从而导致方程组(10)的维数庞大，求解复杂度高。

参考文献

[1]A.Demir，E.W.Y.Liu，and A.L.Sangiovanni Vincentelli，“Time-domain non-Monte Carlonoise simulation for nonlinear dynamic circuits with arbitrary excitations，”IEEE Trans.on Computer-Aided Design，vol.15，pp.493-505，May 1996.

[2]M.Okumura，H.Tanimoto，T.Itakura，and T.Sugawara，“Numerical noise analysis fornonlinear circuits with a periodic large signal excitation including cyclostationary noisesources，”IEEE Trans.on Circuits and Systems.Part I，vol.40，pp.581-590，Sept.1993.

[3]J.Roychowdhury，D.Long，and P.Feldmann，“Cyclostationary noise analysis of large RFcircuits with multitone excitations，”IEEE J.Solid-State Circuits，vol.33，pp.324-336，Mar.1998.

[4]R.Telichevesky，K.S.Kundert and J.White，“Efficient AC and noise analysis of two-toneRF circuits，”in Proc.33rd Design Automation Conf.，pp.292-297，Jun.1996.

[5]Kenneth S.Kundert and Alberto Sangiovanni-Vincentelli，“Simulation of nonlinear circuitsin the frequency domain”，IEEE Transactions on Computer-Aided Design，vol.CAD-5，no.4，pp.521-535，Oct.1986.

[6]Kenneth S.Kundert，Jacob White，and Alberto Sangiovanni-Vincentelli，Steady-StateMethods for Simulating Analog and Microwave Circuits，Kluwer Academic Publishers，Norwell，MA，1990.

[7]V.Rizzoli and A.Neri，“State of the art and present trends in nonlinear microwave CADtechniques，”IEEE Trans.on Microwave Theory Tech.，vol.36，pp.343-365，Feb.1988.

[8]Giorgio Casinovi，“An algorithm for frequency-domain noise analysis in nonlinear systems，”Proceedings of the 2002 Design Automation Conference，New Orleans，LA，pp.514-517，Jun.2002.

[9]Giorgio Casinovi，“Windowing technique in frequency-domain simulation”，Proceedings ofthe 2002 IEEE International Workshop on Behavioral Modeling and Simulation，pp.54-60，Oct.2002.

发明内容

针对以上问题，我们发明了一种非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法，可以高速高精度地获得非线性电路信号的连续频谱，因此能高效地实现非线性电路的噪声分析。

本发明提出的非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法，其步骤是：对于一非线性电路，首先构造非线性***方程，并将实际模拟区间映射到小波模拟区间；然后将***变量进行小波级数展开。并进行***离散化；最后，求解方程获得小波系数后，计算得到离散时间点上的***变量的信号值，再利用信号在频域内的有限项傅立叶级数展开式，得到信号的连续频谱。下面对各步骤分别进行具体介绍：

步骤一：构造非线性***

对于一非线性电路，构造如(1)式所示的非线性***方程，并假定电路的变量信号和输入信号皆为带限信号，信号频率范围为[-ω_M，ω_M]

$\frac{\mathrm{dX}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=f(X\left(t\right),t)+\mathrm{Du}\left(t\right)---\left(1\right)$

X(0)＝X₀

其中，各种函数和参量的含义同前。

步骤二：空间映射

选取一整数M(M大小可通过精度要求进行调整)，定义t_k＝kh(-M≤k≤M)，T＝Mh，其中h＝π/ω_M。

由于算法采用高效样条小波基函数实现模拟，我们需要将实际模拟时间区间[-T，T]映射到小波模拟区间[0，L]

                  l＝K·(t+T)                          (13)

其中t∈[-T，T]，l∈[0，L]，K＝L/2T.

将(13)式代入方程(1)，可得：

$K\frac{\mathrm{dX}\left(l\right)}{\mathrm{dl}}=f(X\left(l\right),\frac{l}{K}-T)+\mathrm{Du}(\frac{l}{K}-T)---\left(14\right)$

X(KT)＝X₀

步骤三：小波级数展开和***离散化

对于给定的阶数J≥0，在模拟域内对变量X(l)进行小波级数展开：

$X\left(l\right)=\left[\begin{array}{c}{X}_1\left(l\right)\\ X_2\left(l\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ X_N\left(l\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \·\·\·& C_{1P}\\ C_{21}& C_{22}& \·\·\·& C_{2P}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ C_{N1}& C_{N2}& \·\·\·& C_{\mathrm{NP}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{B}_1\left(l\right)\\ B_2\left(l\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ B_P\left(l\right)\end{array}\right]=C\·B\left(l\right)---\left(15\right)$

其中，C∈R^N×P是小波展开系数矩阵，B(l)表示小波基函数，P是总的小波基个数，P＝2^JL+3。

将(15)代入方程(14)，可得：

$K\·C\·\frac{\mathrm{dB}\left(l\right)}{\mathrm{dl}}=f(\mathrm{CB}\left(l\right),\frac{l}{K}-T)+\mathrm{Du}(\frac{l}{K}-T)---\left(16\right)$

对于每一个基函数B_i(l)，都会有一个采样点l_i与之对应，使得B_i(l)在l＝l_i处达到最大值。为了求解得到小波系数矩阵C∈R^N×P，将电路方程(16)在采样点{l₁，l₂，...l_M}处离散化，可以得到：

$K\·C\·\left[\begin{array}{cccc}\frac{\mathrm{dB}\left(l_1\right)}{\mathrm{dl}}& \frac{\mathrm{dB}\left(l_2\right)}{\mathrm{dl}}& \·\·\·& \frac{\mathrm{db}\left(l_P\right)}{\mathrm{dl}}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccc}f(\mathrm{CB}\left(l_1\right),\frac{l_1}{K}-T)& f(\mathrm{CB}\left(l_2\right),\frac{l_2}{K}-T)& \·\·\·& f(\mathrm{CB}\left(t_P\right),\frac{l_P}{K}-T)\end{array}\right]---\left(17\right)$

$+\left[\begin{array}{cccc}u(\frac{l_1}{K}-T)& u(\frac{l_2}{K}-T)& \·\·\·& u(\frac{l_P}{K}-T)\end{array}\right]$

步骤四：***求解

方程组(17)中包含P×N个方程，未知变量为C∈R^N×P。考虑到电路初始条件X(KT)＝X₀，我们可得到另一个关于C的方程：

                     CB(KT)＝X₀                         (18)

综合(17)和(18)，我们可得(P+1)×N个非线性方程，其中未知变量矩阵C大小为P×N。我们利用Levenberg-Marquardt方法求解这(P+1)×N个非线性方程得到未知变量矩阵C。

将求解得到的系数矩阵C代入式(19)可得到实际模拟时间区间[-T，T]内的信号响应X(t)。

$X\left(t\right)=C\·B(\mathrm{Kt}+\mathrm{KT})=C\·B(\frac{L}{2T}t+\frac{L}{2})---\left(19\right)$

步骤五：计算信号连续频谱

获得[-T，T]内的信号响应X(t)后，通过直接采样可得到2M+1个离散时间点t_-M，t_-M+1，…，t_M上的信号值X_-M，X_-M+1，…，X_M，如下式所示

$X_k=X\left(t_k\right)=C\·B(\frac{L}{2T}{t}_k+\frac{L}{2})---\left(20\right)$

类似于[8]中的频域级数展开方法，对信号在频域内进行有限项傅立叶级数展开(如式(12))所示：

$X\left(\mathrm{\ω}\right)\≈\frac{\mathrm{\π}}{{\mathrm{\ω}}_M}\underset{k=-M}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k{e}^{-\mathrm{jk\π\ω}/{\mathrm{\ω}}_M}\left(\right|\mathrm{\ω}|\≤{\mathrm{\ω}}_M)---\left(12\right)$

由于系数X_-M，

…，X_M均已通过(20)计算得到，我们即可通过上式求解得到信号的连续频谱。对于上式的有限项级数截断所引入的误差，可通过窗口技术消除。

非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法存在一种自适应算法。基于该自适应算法，可以自动选取给定的模拟精度下需要的小波阶数和小波基函数数目，从而使小波基数目降至最少，即最大程度地减少P，将所需求解的非线性方程阶数降至最低，减少算法的计算复杂度。

自适应算法的主要思想如下：由于小波系数幅值随小波阶数J的上升而下降，因此可以根据J阶小波系数的大小来判断是否需要增加小波阶数。定义J阶小波系数的最大相对幅值

$R_J=\frac{\mathrm{MAX}\left|C_i^J\right|}{\mathrm{MAX}\left|C_i\right|}---\left(21\right)$

其中，MAX|C_i ^J|是J阶小波系数的最大值，MAX|C_i|是0到J阶中所有小波系数的最大值。

如果R_J大于某一阈值ε，则增加小波阶数J至J’＝J+1；否则，如果R_J小于阈值ε，则保持原有阶数J。由于小波基函数的紧支柱性，因此不需要在整个模拟区间[0，L]上使用统一的阶数J，而只在X(l)变化较快(即含有高频成份)的区域采用高阶基函数，在变化较慢地区域采用低阶基函数，从而使采用的基函数数目最少。

本发明具有如下优点：

1、可获得信号的连续频谱

本发明对于一般非线性电路具有通用性，可以有效获得非线性电路信号的连续频0谱。

2、高精度

本发明所获的信号连续频谱误差基本上来自于式(12)所引入的截断误差，这部分误差可通过文献[9]中提出的窗口技术来消除。相对于频域傅立叶级数展开算法[8]中基于具有全局性的抽样函数求解，本发明有效地利用了小波的紧支特性和自适应算法，可在信号波形变化快的区域自动采用高阶小波基函数进行逼近，从而精确获得展开系数X_-M，X_-M+1，…，X_M，保证了高的计算精度。

3、高速度

本发明采用高效样条小波求解获得频域级数展开系数。相对于频域傅立叶级数展开算法[8]中采用的抽样函数，小波基函数具有更快的收敛速度，因此本发明利用较少的小波基函数就可获得相应的精度。同时由于小波基函数具有多分辨率等特性，本发明可采用自适应算法来自动选取小波基函数，从而可使小波基函数数目降至最少，而抽样函数不存在这样的特性。因此，本发明需要求解的非线性方程组数目相对频域傅立叶级数展开算法[8]有较大的减少，从而大大提高了计算速度。

附图说明

图1MOS管放大器电路。

图2本发明获得的时域波形与SPICE精度波形的比较。

图3频域傅立叶级数展开算法[8]获得的时域波形与SPICE精度波形的比较。

图4本发明与频域傅立叶级数展开算法[8]获得的离散时间采样点信号值与SPICE精确结果比较。

图5本发明与频域傅立叶级数展开算法[8]获得的信号连续频谱比较。

具体实施方式

下面以噪声分析为例，通过具体实施例进一步说明本发明。

对图1所示的MOS管放大器电路，其中电路的输入激励为10Khz的白噪声信号(最大幅度为1)，利用本发明(Wavelet based method)进行模拟，具体步骤如下。

步骤一：构造放大器电路的非线性***描述：

$\mathrm{RC}\frac{d{V}_{\mathrm{out}}}{\mathrm{dt}}=-V_{\mathrm{out}}-I_{\mathrm{DS}}\·R+5$

        V_out|_t＝0＝-3.2266v

这里R＝1000欧姆，C＝0.1微法，I_DS的定义如下，其中λ＝0.0953，k＝9.2×10^-4，V_T＝0.8伏，V_in为输入激励，为10Khz的白噪声信号(最大幅度为1)。

(1)V_in+5≥V_T且V_in≥V_out+V_T时

$I_{\mathrm{DS}}=k\·(V_{\mathrm{out}}+5)(V_{\mathrm{in}}+5-V_T-\frac{V_{\mathrm{out}}+5}{2})[1+\mathrm{\λ}(V_{\mathrm{out}}+5)]$

(2)V_in+5≥V_T且V_in＜V_out+V_T时

$I_{\mathrm{DS}}=\frac{k}{2}\·{(V_{\mathrm{in}}+5-V_T)}^2[1+\mathrm{\λ}(V_{\mathrm{out}}+5)]$

(3)V_in+5＜V_T时

I_DS＝0

电路的变量信号V_out和输入信号皆为带限信号，信号频率范围为[-20kHz，20kHz]。

步骤二：选取M＝40，定义采样点t_k＝kh(-M≤k≤M)，其中h＝5×10^-5。因此实际模拟时间区间为[-T，T]，其中T＝1×10^-3s。

选取L＝10，将实际模拟时间区间映射到小波模拟区间[0，L]：

                     l＝K·(t+T)

其中K＝5×10³。将上式代入电路的非线性描述，得到如(14)式所示的小波模拟区间电路描述。

步骤三：选取J＝3，在模拟域内对变量V_out进行小波级数展开，如式(15)所示，其中总的小波基数目为P＝83，未知变量为小波展开系数C。

将小波展开式代入如(14)式所示方程，得到(16)式所示方程。对(16)式在83个采样点处离散，可得到(17)所示的离散方程，方程数目为83。

步骤四：考虑到电路初始条件，可得到额外的形如(18)的方程。综合(17)和(18)式，我们有84个非线性方程，其中未知变量，即小波展开系数数目为83。我们利用Levenberg-Marquardt方法求解这84个非线性方程得到小波展开系数。

将求解得到的小波展开系数代入(19)式可得到实际模拟时间区间[-T，T]内输出电压值V_out。

步骤五：得[-T，T]内的输出电压V_out后，通过直接采样可得到81个离散时间点t_k＝kh(-M≤k≤M)上的输出电压值，如式(20)所示。

将所求得的81个离散时间点上的输出电压值代入式(12)，计算得到输出电压的连续频谱。

图2中给出了利用本发明得到得时域模拟结果与SPICE精确结果的比较，可以看到本发明可以获得精度很高的时域结果，保证了连续频谱计算式(12)的展开系数计算的高精度。

为了比较，我们利用文献[8]提出的频域傅立叶级数展开方法(Frequency domain Fourierexpansion method)[8]对同一电路进行模拟。图3中给出了时域模拟结果与SPICE精确结果的比较，可以看到该算法得到的时域波形与SPICE精确结果存在较大的偏差，这说明信号连续频谱计算式(12)的展开系数计算误差较大，导致最后得到的信号连续频谱精度较差。我们在图4中给出了本发明与频域傅立叶级数展开方法[8]获得的在离散时间采样点上的信号值与SPICE精确结果的比较，这些离散时间采样点上的信号值对应于连续频谱计算式(12)的展开系数值。可以看到，本发明获得的展开系数值基本上与真实值重合，而频域傅立叶级数展开方法[8]计算得到的展开系数值远远地偏离了真实值。图5中给出了本发明与频域傅立叶级数展开方法[8]获得的信号连续频谱比较。两方法得到的信号连续频谱波形之间存在一些偏差，主要原因在于频域傅立叶级数展开方法在计算连续频谱时(见式(12))由于展开系数误差大，因此得到的连续频谱存在较大的误差，而本发明获得了精确的展开系数，可获得精确的信号连续频谱。另外，两波形都存在部分振荡，这主要由于有限傅立叶级数截断所导致，这部分误差可通过窗口技术进行消除。

另外，我们还比较了两种方法在求解连续频谱计算式(12)的展开系数时所利用的基函数数目、模拟时间以及相对误差，如下表所示：

             基函数数目    模拟时间        相对误差

算法[8]          81          1.547        5.151e-002

本发明           83          0.719        3.547e-003

不难发现，在采用相同基函数的前提下，本发明相对算法[8]具有高的精度和低的时间复杂度。

本电路实例表明，本发明在非线性电路信号的连续频谱计算方法中具有精度高和时间复杂度低的特点。

Claims (1)

1、一种非线性电路中信号连续频谱的小波分析方法，其特征在于具体步骤如下：

步骤一：构造非线性***

对于一非线性电路，构造如(1)式所示的非线性***方程来描述，并假定电路的变量信号和输入信号皆为带限信号，信号频率范围为[-ω_M，ω_M]

$\frac{\mathrm{dX}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=f(X\left(t\right),t)+\mathrm{Du}\left(t\right)---\left(1\right)$

           X(0)＝X₀

步骤二：空间映射

选取一整数M，定义t_k＝kh(-M≤k≤M)，T＝Mh，其中h＝π/ω_M，将实际模拟时间区间[-T，T]映射到小波模拟区间[0，L]：

                 l＝K·(t+T)              (13)

其中t∈[-T，T]，l∈[0，L]，K＝^L/_2T.

将(13)式代入方程(1)，得：

$K\frac{\mathrm{dX}\left(l\right)}{\mathrm{dl}}=f(X\left(l\right),\frac{l}{K}-T)+\mathrm{Du}(\frac{l}{K}-T)---\left(14\right)$

          X(KT)＝X₀

步骤三：小波级数展开和***离散化

对于给定的阶数J≥0，在模拟域内对变量X(l)进行小波级数展开：

$X\left(l\right)=\left[\begin{array}{c}{X}_1\left(l\right)\\ X_2\left(l\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ X_N\left(l\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \·\·\·& C_{1P}\\ C_{21}& C_{22}& \·\·\·& C_{2P}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ C_{N1}& C_{N2}& \·\·\·& C_{\mathrm{NP}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_1\left(l\right)\\ B_2\left(l\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ B_P\left(l\right)\end{array}\right]=C\·B\left(l\right)---\left(15\right)$

其中，C∈R^N×P是小波展开系数矩阵，B(l)表示小波基函数，P是总的小波基个数，P＝2^JL+3。

将(15)代入方程(14)，得：

$K\·C\·\frac{\mathrm{dB}\left(l\right)}{\mathrm{dl}}=f(\mathrm{CB}\left(l\right),\frac{l}{K}-T)+\mathrm{Du}(\frac{l}{K}-T)---\left(16\right)$

对于每一个基函数B_i(l)，都会有一个采样点l_i与之对应，使得B_i(l)在l＝l_i处达到最大值；为了求解得到小波系数矩阵C∈R^N×P，将电路方程(16)在采样点{l₁，l₂，...l_M)处离散化，得到：

$K\·C\·[\frac{\mathrm{dB}\left(l_1\right)}{\mathrm{dl}}\frac{\mathrm{dB}\left(l_2\right)}{\mathrm{dl}}\·\·\·\frac{\mathrm{dB}\left(l_P\right)}{\mathrm{dl}}]$

$=[f(\mathrm{CB}\left(l_1\right),\frac{l_1}{K}-T)$ $(\mathrm{CB}\left(l_2\right),\frac{l_2}{K}-T)\·\·\·f(\mathrm{CB}\left(t_P\right),\frac{l_P}{K}-T)$ $---$ $\left(17\right)$

$+[u(\frac{l_1}{K}-T)u(\frac{l_2}{K}-T)\·\·\·u(\frac{l_P}{K}-T)]$

步骤四：***求解

由于电路初始条件X(KT)＝X₀，得到另一个关于C的方程：

                      CB(KT)＝X₀           (18)

综合(17)和(18)，得(P+1)×N个非线性方程，其中未知变量矩阵C大小为P×N；利用Levenberg-Marquardt方法求解这(P+1)×N个非线性方程得到未知变量矩阵C；

将求解得到的系数矩阵C代入式(19)，得到实际模拟时间区间[-T，T]内的信号响应X(t)：

$X\left(t\right)=C\·B(\mathrm{Kt}+\mathrm{KT})=C\·B(\frac{L}{2T}t+\frac{L}{2})---\left(19\right)$

步骤五：计算信号连续频谱

获得[-T，T]内的信号响应X(t)后，通过直接采样可得到2M+1个离散时间点t_-M，t_-M+1，…，t_M上的信号值X_-M，X_-M+1，…，X_M，如下式所示：

$X_k=X\left(t_k\right)=C\·B(\frac{L}{2T}{t}_k+\frac{L}{2})---\left(20\right)$

对信号在频域内进行有限项傅立叶级数展开，如式(12)所示：

$X\left(\mathrm{\ω}\right)\≈\frac{\mathrm{\π}}{{\mathrm{\ω}}_M}\underset{k=-M}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k{e}^{-\mathrm{jk\π\ω}/{\mathrm{\ω}}_M}\left(\right|\mathrm{\ω}|\≤{\mathrm{\ω}}_M)$

由于系数X_-M，X_-M+1，…，X_M均已通过(20)计算得到，即可通过上式求解得到信号的连续频谱。

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