CN1206510C - 利用频域法进行差分测量的精确重构方法 - Google Patents

Abstract

利用频域法进行差分测量的精确重构方法，其特征在于它是根据被测对象的两个不同间距或剪切量测得的差分值，将两组差分值进行周期延拓，再通过傅立叶正反变换，得到两条初始评价曲线，然后计算调零误差与对应的传感器间距或剪切量之比的差值，综合两条初始评价曲线并消除调零误差的影响，得到被测参数的评价曲线，再去掉评价曲线中的线性趋势，最后得到一条无理论误差的精确评价曲线，从而实现被测参数的精确重构。本发明不需任何“先验”知识，就能无理论误差地精确重构出一般情况下被测参数，适用于采样间隔不等于传感器间距或剪切量、被测件尺寸不等于传感器间距或剪切量的整数倍、被测参数为周期、非周期、光滑和非光滑等情况。

Description

利用频域法进行差分测量的精确重构方法

技术领域：

本发明涉及检测应用技术领域，具体涉及一种根据被测参数的差分测量值来重构原被测参数的检测方法，包括精密、超精密工件表面的直线度、平面度、圆柱度、自由曲面面形的检测以及横向剪切干涉的波前重构。

背景技术：

在超精密加工中，为了检测被加工件表面的直线度、圆柱度、平面度和面形精度，常常采用多测头扫描法，这种方法将位移测头(常用非接触传感器如电涡流或电容等)或角度检测仪(如自准直仪等)安装在溜板上，沿工件的被测轮廓作直线运动，或者将传感器固定，工件随溜板一起运动。当需要测量的工件轮廓误差与溜板的直线运动误差处于同一档次时，要想得到精确的工件轮廓参数如直线度、圆柱度、平面度和面形精度等，便需要采用误差分离的办法。比如工件的在位测量就是直接利用机床溜板作扫描运动的测量方法，此时必须将工件的表面轮廓误差与溜板的运动误差分离开来。横向剪切干涉法同多测头扫描法的原理基本相同，都是基于差分值的测量，因此解决了基于差分的精确重构问题就解决了多测头扫描法和横行剪切干涉法的测量问题。

对于直线度、圆柱度、平面度以及采用位移传感器检测时的面形精度重构问题，其最基本的问题就是解决直线度的重构问题，因此基于差分值的测量问题就可简单地概括为直线度和横行剪切干涉测量两个方面。

为了高精度地检测工件表面轮廓，人们很早就开始了这方面的研究。比如对工件直线度的测量，从80年代初就开始进行这方面的研究，并一直到现在还在不断的提出各种方法以求能高精度地重构工件表面直线度轮廓。对于扫描测头法的直线度测量方法，根据采用传感器数的不同，分为单点法和多点法(包括两点法、三点法甚至四点法等)。在用单点法测量时，要想对误差进行分离，常常需要将工件进行翻转或平移作两次扫描测量后才能进行。这样溜板运动的重复精度以及两次测量中传感器相对工件安装位置的一致性程度都对最终的评价结果有影响，并且这种影响无法完全消除。故在超精密测量中，这一方法可操作性不好。与翻转法或平移法不同，多点法使用一个以上的测头，进行误差分离，因此即使溜板运动重复性不高也能对工件进行重复测量。

两点法使用两个测头，是最简单的多点法。这种方法用两个测头分别在两个间隔点检测被测表面的轮廓高度，采用两测头的差分输出以消除扫描溜板的平动误差并给出被测工件表面的轮廓高度的差分值。三点法使用三个位移传感器，多出的一个传感器一般用来消除溜板偏摆误差的影响。但是，由于传感器实际安装中会存在难以消除的调零误差(即传感器在理想的无运动误差的导轨上运动并检测一理想的无直线度误差的工件表面时所感知量的差异)，从而会使差分值产生偏移，特别当工件尺寸较长时，这种调零误差便成为三点法测量最大的误差源。采用两个角度测头的差分激光自准直仪方法以及采用两个位移传感器和一个角度传感器的混合法，均具有同样的问题。

根据误差分离方法的不同，扫描测头法又可分为时域法和频域法。频域法即是基于离散傅立叶变换的测量方法，由于直线度误差不具有周期性，故频域方法需采取一定措施去构造周期性的直线度误差，已有的频域两点法和三点法均存在谐波抑制的问题，现有人提出了频域最优化误差分量方法(OEST)，将工件直线度作旋转和平移去逼近周期性，再通过最优算法求得这两个旋转和平移参数，以逼近由两点法得到的值从而求得合适的直线度。OEST三点法又将OEST两点法作了一些改进，并结合时域与频域法的优点提出了直线度测量方法的融合的思想，丰富了直线度的测量方法。采用三个传感器固定安装，选取合适的传感器间距并采取一定的方法可将非周期的表面轮廓构造周期性的函数来测量，也属于频域三点法，但该法同两点法一样忽略了溜板偏摆误差的影响。

人们一直在对直线度的测量方法进行研究，以求能高精度地在足够小的采样间隔点上重构出工件的直线度轮廓，但现有这些算法均还不能达到这一目的，即还不能够在小于传感器间距的足够小的采样间隔各点上无理论误差地精确重构出任意工件的直线度。

而对于横向剪切干涉法，由于它具有结构简单稳定、不需要高精度参考面等特点，故被广泛应用于液体和气体流动的研究、实验力学中的应力、应变和振动分析以及高精度光学表面面形检测，特别是非球面等自由曲面的检测等。但同时，对基于差分的重构却是一个非常复杂的问题，20多年来人们开发了多种计算方法，早先的方法是基于相邻点差分值重构，直到近几年才提出适应大的剪切量的重构方法，使得最近对横向剪切干涉的研究引起了更广泛的兴趣，但所有这些方法都存在某种局限性，要么假设被研究的波前具有某种“先验”知识如光滑性等，要么采用等于测量点间隔的小的剪切量进行测量，甚至只能得到一个逼近的解。由于所有这些方法还不能精确地重构出各种表面轮廓，使得采用横向剪切波前干涉方法比采用参考面的测量方法还不具有明显的优势。直到近年来开发出一种新的“自然延拓”(Natural Extension)方法，实现了差分值的精确延拓，才有可能在频域内能精确重构被测表面。从而给横向剪切波前干涉方法又注入了新的生命力，这种方法不需任何“先验”知识便可重构各种表面(包括周期、非周期、光滑和非光滑的表面等)，在此基础上还开发出了一种ESAD(Extended Shear Angle Difference)表面形貌检测装置，但这种方法还存在一些不足之处，如它只有当工件的尺寸等于剪切量的倍数这种特殊情况时，才能精确地重构，否则需要进行光滑的延拓，从而给重构精度带来一些影响，并且还没有计算出两次剪切量测量时传感器调零误差之间的关系，因而这种方法在用于位移传感器测量如直线度、圆柱度、平面度等时还会具有较大的误差，从而需要进一步的拓展和完善。

发明内容：

本发明所要解决的技术问题是克服现有技术的缺陷，在基于被测参数差分值的基础上，针对现有的差分重构技术存在的问题，不需任何“先验”知识，就能无理论误差地精确重构出一般情况下的被测参数。

本发明是通过下面的技术方案解决上述技术问题的。它是根据被测对象上两个不同间距或剪切量测得的差分值，将两组差分值进行周期延拓，再通过傅立叶正反变换，得到两条初始评价曲线后计算调零误差与对应的传感器间距或剪切量之比的差值，综合这两条初始评价曲线并消除调零误差的影响，得到被测参数的评价曲线，再去掉评价曲线中的线性趋势，最后得到一条无理论误差的精确评价曲线，从而实现被测参数的精确重构。本发明特征在于它包括下述步骤：(1)选择一定的采样间隔Δ和传感器间距rΔ、vΔ；(2)根据被测对象两个不同间距或剪切量测量差分值；(3)计算测量的差分值；(4)将两组差分值进行周期延拓；(5)计算延拓后差分值的傅立叶级数；(6)求被测参数的傅立叶级数；(7)求锯齿波的傅立叶级数；(8)在两次测量求得的傅立叶分析的频率中选取频率分量，然后计算调零误差与对应的传感器间距或剪切量之比的差值；(9)选择加权系数；(10)结合两种间距情况下的测量结果，得出加权后的评价结果：(11)求被测参数的评价曲线：(12)去掉评价曲线的线性偏移量，求得最终的评价曲线。

本发明具有下列技术效果：

1、可适用于两点法或三点法对工件直线度进行评价，以及适用于可变剪切量的各种剪切干涉测量。其原理可用于评价圆柱度、平面度和面形精度等。不需要采用复杂的装置。

2、可采用大的传感器间距(或剪切量)。对于直线度等的评价而言，由于传感器外形尺寸的影响，导致传感器间距不能太小，对于横向剪切干涉法来说，过小的剪切量会导致分辨率降低，同样会影响评价效果。而采样本发明的方法，则可以采用大的传感器间距(或剪切量)。

3、不需要任何“先验”知识，即不需假定被测参数具有光滑性或周期性等，故可以适用普遍的被测对象。

4、可求得对被测对象的精确评价而非一般方法所得到的近似或逼近的评价。

5、由于精确地计算出了传感器调零误差对评价结果的影响，因此在安装传感器时，不必进行精确的调零或者将调零误差精确地测量出来。而实际上在精密、超精密测量时，传感器的精确调零或者调零误差的精确测量费时且依赖更高精度的装置，一般来说都是很难做到的。因此本发明大大提高了检测效率和降低了成本。

6、在基于“自然延拓”进行精确重构的基础上，首次计算出了传感器调零误差的影响，从而将该频域精确重构方法推广到更一般的如直线度、圆柱度、平面度和面形精度等的检测场合，不需要表面形貌检测装置中稳定传感器的控制装置，大大简化了测量机构。

7、在采样间隔不等于传感器间距(或剪切量)、被测件尺寸不需等于传感器间距(或剪切量)的整数倍、被测参数为周期、非周期、光滑和非光滑等情况下，也能进行精确的重构，对光滑延拓方法进行了改进和提高。

附图说明：

图1为本发明测量过程示意图；

图2为本发明精确评价的流程图。

具体实施方式：

本发明是根据被测对象上两个不同间距(或剪切量)测得的差分值，在频域内进行精确重构实现的。它首先采用“自然延拓”方法将两组差分值进行精确的周期延拓，再通过傅立叶正反变换，得到两条初始评价曲线，但这两条初始评价曲线分别缺乏以各自传感器间距(或剪切量)为周期的谐波分量，并由于调零误差的影响，分别具有不同的偏移量，然后通过理论分析计算出了调零误差与对应的传感器间距(或剪切量)之比的差值，从而在消除调零误差影响的基础上，一组评价曲线所缺乏的谐波分量由另一组曲线相应的分量来补充，最后得到一条无理论误差的精确评价曲线。并将该精确重构算法推广到被测件尺寸不是两种传感器间距(或剪切量)之积的整数倍时的一般情况，拓展和完善了现有技术中的精确重构方法。

如图1所示，设传感器间隔分别为s₁和s₂，传感器安装架4在导轨5上运动，工件6表面直线度为Ms(x)，工件测量长度为p，工件上总的测量点数为N，采样间隔为Δ＝p/N，传感器的调零误差分别为e₁、e₂。由于传感器存在调零误差，故实际测量的工件表面直线度曲线相对原始曲线产生了偏移。如果两个调零误差与传感器间隔的比值相等的话，即e₁/s₁＝e₂/s₂，则偏移的结果不会对直线度的评价带来影响，但实际测量中上述等式是难以成立的，即e₁/s₁≠e₂/s₂，也难以准确测得e₁和e₂，但要想准确地重构工件直线度，则至少需要知道两者之间的关系或其差值。图1中为采用两个传感器(此时不用传感器3)作两次测量或采用三个传感器作一次测量的示意图。实践中，可取s₁＝A，而s₂可根据需要取s₂＝B，或s₂＝C，传感器的调零误差e₁＝e_A，e₂＝e_B或e₂＝e_C。注意当采用三个传感器时，如取s₂＝B时，溜板的起始检测位置是传感器2在工件的起始点，此时传感器1对空，直到溜板移动s₁时传感器1才开始采集数据。当s₂＝C时，则溜板的起始检测位置是传感器1在工件的起始点7，溜板运动的终点位置是传感器2移动到工件终止点8，传感器3超出工件被测区域时则不采集数据。

由于调零误差的存在，使得两个剪切量测量得到的评价曲线具有不同的线性偏移，如不消除调零误差的影响，则最终的评价结果同样会产生错误。本发明在仔细分析两个剪切量测得数据相互关系得基础上，将调零误差的影响精确地计算出来，下面提供具体的计算方法。

设工件的直线度用函数f(x)表示。离散采样后，令f(m)＝f(x_m)，m＝0，K，N-1。

则间距为s₁测得的曲线应为

$f_1\left(m\right)=f\left(m\right)+\frac{e_1}{s_1}\mathrm{m\; m}=0,K,N-1---\left(1\right)$

间距为s₂时测得的曲线应为

$f_2\left(m\right)=f\left(m\right)+\frac{e_2}{s_2}\mathrm{m\; m}=0,k,N-1---\left(2\right)$

分别对以上两式作离散傅立叶变换：

$\mathrm{DFT}\left[f_1\left(m\right)\right]=\mathrm{DFT}[f\left(m\right)+\frac{e_1}{s_1}m]=\mathrm{DFT}\left[f\left(m\right)\right]+\mathrm{DFT}\left[\frac{e_1}{s_1}m\right]=\mathrm{DFT}\left[f\left(m\right)\right]+\frac{e_1}{s_1}\mathrm{DFT}\left[m\right]---\left(3\right)$

$\mathrm{DFT}\left[f_2\left(m\right)\right]=\mathrm{DFT}[f\left(m\right)+\frac{e_2}{s_2}m]=\mathrm{DFT}\left[f\left(m\right)\right]+\mathrm{DFT}\left[\frac{e_2}{s_2}m\right]=\mathrm{DFT}\left[f\left(m\right)\right]+\frac{e_2}{s_2}\mathrm{DFT}\left[m\right]---\left(4\right)$

式中DFT[ ]表示离散傅立叶变换。DFT[m]为对周期为N倾角为45°的斜线即锯齿波作傅立叶变换。

由(3)与(4)相减可得：

$\mathrm{DFT}\left[f_1\left(m\right)\right]-\mathrm{DFT}\left[f_2\left(m\right)\right]=(\frac{e_1}{s_1}-\frac{e_2}{s_2})\mathrm{DFT}\left[m\right]---\left(5\right)$

选取相同的频率分量，由以下频域算法的详细过程可知，对于非s₁和s₂周期的分量，在(3)与(4)两式中分别可求得，故式中左端的值为已知，从而可求得传感器调零误差与传感器间距之比的差值为：

$\frac{e_1}{s_1}-\frac{e_2}{s_2}=\frac{\mathrm{DFT}\left[f_1\left(m\right)\right]-\mathrm{DFT}\left[f_2\left(m\right)\right]}{\mathrm{DFT}\left[m\right]}---\left(6\right)$

对于所有的非s₁和s₂周期的频率分量均可计算出上式的差值，仿真时，选取任一个这样的频率分量即可，但在实际测量中由于噪声的影响，每次计算得到的值可能不一致，故可将所有的比值差分计算出来求平均值以抑制噪声的影响。

本发明具体应用过程如图2所示：

对于双剪切量的测量，仍然分两种情况讨论：一种是当工件总长p＝s₁·s₂时的特殊情况，另一种是当工件总长p≠s₁·s₂时的一般情况。下文分别给出具体的仿真计算过程。

一、当工件总长p＝s₁·s₂时的特殊情况

步骤1：选择合适的互质(无公约数)的整数r、v，并定义：

N＝rv为总的测量点数；Δ＝p/N为相邻采样点之间的间隔距离，其中p为工件测量长度；s₁＝vΔ、s₂＝rΔ分别为两种传感器间距； $n_{s_1}=(r-1)v,$ $n_{s_2}=(v-1)r$ 分别为不同剪切量情况下在工件长度上实际采样的点数；

为表达的方便，令Δ＝1，则p＝N、s₁＝v、s₂＝r；

工件表面被测参数用函数f(x)表示，令

f(m)＝f(x_m)，m＝0，...，N-1    (7)

步骤2：按照图1中所示对被测对象进行测量，包括工件测量长度p，工件上总的测量点数N，采样间隔Δ，传感器的调零误差e₁、e₂；

步骤3：计算测量的差分值：Δf(x)＝f(x+s)-f(x)，即

$\mathrm{\Δ}{f}_{j,\mathrm{\σ}}\left(\mathrm{\α}\right)=f_{j,\mathrm{\σ}}(\mathrm{\α}+s_j)-f_{j,\mathrm{\σ}}\left(\mathrm{\α}\right),\mathrm{\α}=0,...,n_{s_j}-1,j=\mathrm{1,2}---\left(8\right)$

步骤4：将差分值进行精确的周期延拓：

步骤5：计算延拓后差分值的傅立叶级数：

${\tilde{y}}_{j,\mathrm{\σ}}\left(k\right)=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{j,\mathrm{\σ}}\left(m\right)e^{-2\mathrm{\πikm}/N},k=0,...,N-1,j=\mathrm{1,2}---\left(10\right)$

步骤6：求被测参数的傅立叶级数：

            k＝0，...，N-1，j＝1，2

对于所有 均可求得唯一解。由于s₁、s₂没有公约数，对于所有的k＝1，...，N-1至少在两个数[e^2πiks1/N-1]和[e^2πiks2/N-1]存在一个非零值，故能够被精确地重构(除任意的常数外)；

步骤7：求锯齿波t(x)＝x(周期为p)的傅立叶级数

步骤8：，在两次测量求得的傅立叶分析的频率中选取

时的相同频率分量，然后计算调零误差与对应的传感器间距或剪切量之比的差值：

          Δe＝e₁/s₁-e₂/s₂       (12)

式中s₁、s₂分别为两个不同的间距或剪切量，e₁、e₂分别为相应间距或剪切量时的调零误差

步骤9：选择合适的加权系数w_s1、w_s2：

                 k＝1，...，N-1，j＝1，2

步骤10：结合两种间距情况下的测量结果，得出加权后的评价结果：

$\hat{\tilde{f}}\left(k\right)=\frac{w_{s_1}\left(k\right){\tilde{f}}_{1,\mathrm{\σ}}\left(k\right)+(w_{s_2}\left(k\right)+\mathrm{\Δe}\·\tilde{t}\left(k\right)){\tilde{f}}_{2,\mathrm{\σ}}\left(k\right)}{w_{s_1}\left(k\right)+w_{s_2}\left(k\right)},k=1,...,N-1---\left(13\right)$

步骤11：求被测参数的评价曲线：

$\hat{f}\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\hat{\tilde{f}}\left(k\right)e^{2\mathrm{\πikm}/N},m=0,...,N-1---\left(14\right)$

步骤12：去掉线性趋势，求得最终的评价曲线。

二、当工件总长p≠s₁·s₂时的一般情况：

一般情况是p并非s₁·s₂的倍数，且信号f(x)不满足f(p)＝f(0)，此时仍可按以上办法处理。只要不是工件尺寸足够小，总可以找到p′＜p，使得p′＝s₁·s₂。则可将p分为两段来处理，第一段长为p′＝s₁·s₂，0≤x＜p′，第二段长亦为p′＝s₁·s₂，且p-p′＜x＜p分别按上述方法得到两次评价函数，由于，这两次评价函数中有p-p′≤x＜p′段为测的是工件的同一部分，故将这一部分移位以重叠，从而可得到整个工件长度上的精确评价结果。

另外要说明的是，在以上采用位移传感器检测工件的直线度、圆柱度、平面度和面形精度时，我们均忽略了溜板运动时相对工件的偏摆角度对评价结果的影响，因为在实验中我们发现这个影响非常小，可以忽略，如果这个偏摆角度的影响不能忽略时，我们则可以在溜板上设置一角度传感器(如自准直仪等)实时检测传感器安装架的偏摆角度γ_i(其中i＝0，N-s，s为剪切量)，然后在相应的差分值中减去s·tg(γ_i)项，即Δf′(i)＝Δf(i)-s·tg(γ_i)，用Δf′(i)代替相应的Δf(i)，再按本发明的方法计算即可。

Claims (1)

1、一种利用频域法进行差分测量的精确重构方法，其特征在于它包括下述步骤：

(1)选择一定的采样间隔Δ和传感器间距rΔ、vΔ，工件表面被测参数用函数f(x)表示：

                  f(m)＝(x_m)，m＝0，...，N-1

(2)根据被测对象两个不同间距或剪切量测量差分值；

(3)计算测量的差分值：Δf(x)＝f(x+s)-f(x)，即

$\mathrm{\Δ}{f}_{j,\mathrm{\σ}}\left(\mathrm{\α}\right)=f_{j,\mathrm{\α}}(\mathrm{\α}+s_j)-f_{j,\mathrm{\σ}}\left(\mathrm{\α}\right),\mathrm{\α}=0,...,n_{s_j}-1,j=\mathrm{1,2}$

(4)将两组差分值进行周期延拓：

(5)计算延拓后差分值的傅立叶级数：

${\tilde{y}}_{j,\mathrm{\σ}}\left(k\right)=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{j,\mathrm{\σ}}\left(m\right)e^{-2\mathrm{\πikm}/N},k=0,...,N-1,j=\mathrm{1,2}$

(6)求被测参数的傅立叶级数：

(7)求锯齿波t(x)＝x的傅立叶级数 其中t(x)＝x之周期为p；

(8)在两次测量求得的傅立叶分析的频率中选取

时的相同频率分量，然后计算调零误差与对应的传感器间距或剪切量之比的差值：

          Δe＝e₁/s₁-e₂/s₂

式中s₁、s₂分别为两个不同的间距或剪切量，e₁、e₂分别为相应间距或剪切量时的调零误差(9)选择加权系数w_s1、w_s2：

                                                    k＝1，...，N-1，j＝1，2

(10)结合两种间距情况下的测量结果，得出加权后的评价结果：

$\stackrel{\widehat{~}}{f}\left(k\right)=\frac{w_{s_1}\left(k\right){\tilde{f}}_{1,\mathrm{\σ}}\left(k\right)+(w_{s_2}\left(k\right)+\mathrm{\Δe}\·\tilde{t}\left(k\right)){\tilde{f}}_{2,\mathrm{\σ}}\left(k\right)}{w_{s_1}\left(k\right)+w_{s_2}\left(k\right)},k=1,...,N-1$

(11)求被测参数的评价曲线：

$\hat{f}\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\widehat{~}}{f}\left(k\right)e^{2\mathrm{\πikm}/N},m=0,...,N-1$

(12)去掉评价曲线的线性偏移量，求得最终的评价曲线。

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