CN116912107A - 一种基于dct的加权自适应张量数据补全方法 - Google Patents

一种基于dct的加权自适应张量数据补全方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，包括：将待补全的视觉数据存储为三维形式的原始待补全张量，将原始待补全张量进行映射得到初始化后的目标张量χ；将目标张量χ进行复制得到N个拷贝张量，N＝3，将目标张量χ的第m个拷贝张量利用基于DCT的mode‑m SVD分解为奇异值张量，并计算的mode‑m多秩，以所有拷贝张量的mode‑m多秩最小为优化目标建立第一张量补全模型；将mode‑m多秩转变为核范数表达，得到第二张量补全模型；采用增广拉格朗日方法和交替方向乘子ADMM方法求解第二张量补全模型，得到目标张量χ的最优解即得到最终的补全结果，本发明的方法对张量数据的补全效率高，算法速度快，补全结果质量高。

Description

一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法
技术领域
本发明属于张量数据补全技术领域领域，特别是涉及一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法。
背景技术
随着社会科学的进步和人工智能的蓬勃发展，各个领域的数据量正在成倍的增长。很多领域的数据属于高阶数据，如网络媒体、计算机视觉等等，然而数据在收集或传送途中，因人为或自然的原因导致部分数据缺失的情况，这对后续处理数据产生重大影响。
多线性信号传递的信息在很大程度上取决于捕获或传输过程中的许多因素，例如捕获机制的质量、环境条件、通信***的性质等等。在大多数情况下，重新捕获或重新传输数据是昂贵的或不可行的。严重错误造成的信号破坏是该领域的主要障碍之一。噪声导致信号样本接收不正确的值，并影响进一步处理阶段的性能。信号的巨大尺寸使得去噪过程非常具有挑战性。在传输或捕获时信息的部分丢失是该领域的另一个主要障碍。信号丢失的原因很少是捕获过程中被障碍物遮挡、数据转换/传输过程中的错误、信号中对象的分割或移除等。
针对上述情况Zhou等人提出的方法(ZhouP,LuC,LinZ,etal.TensorFactorization for Low-Rank Tensor Completion.[J].IEEETrans Image Process,2017,PP(99):1-1.)中采用矩阵分解思想，在优化过程中把大的张量数据分解成两个小的张量数据，然后迭代的求取原目标函数的解。该方法速度快，且算法被证明可以收敛到一个KKT点；但是没有考虑到高阶张量自身重要的结构信息，采用矩阵分解的方法破坏了张量数据的内在低秩结构，并且在原本张量数据丢失严重和待补全张量数据量大的情况下，该方法对数据中的结构信息和数据的低秩特性不能很好的利用，因而在对张量数据的补全上效果不佳。
发明内容
为了解决背景技术中存在的问题，本发明提供一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，包括：
S1：将待补全的视觉数据存储为三维形式的原始待补全张量，将原始待补全张量进行映射得到初始化后的目标张量/>将目标张量/>进行复制得到N个拷贝张量，N＝3；
S2：将目标张量的第m个拷贝张量/>利用基于DCT的mode-m SVD(SingularValue Decomposition，SVD)分解为奇异值张量，并计算/>的mode-m多秩，以所有拷贝张量的mode-m多秩最小为优化目标建立第一张量补全模型，其中，m＝1，2，3；
S3：将的mode-m多秩转变为核范数表达，得到第二张量补全模型；
S4：采用增广拉格朗日方法和交替方向乘子ADMM方法求解第二张量补全模型，得到目标张量的最优解即得到最终的补全结果。
进一步地，所述将原始待补全张量进行映射得到初始化后的目标张量/>包括：
其中，Ω为指标集，表示线性投影算子，即将缺失元素位置的值置为0，已知元素位置的值保持不变，/>为/>的互补操作。
进一步地，所述第一张量补全模型包括：
其中，λm表示第m个拷贝张量的mode-m多秩的正则化参数，ωm表示拷贝张量/>的权值，/>为中间过程张量，/>为目标张量，/>为原始待补全张量；/>是一个向量，长度为拷贝张量/>进行mode-mSVD分解后的张量Sm在第m个维度上切片的数量，其中，张量的mode-mSVD分解定义为：
为张量/>的共轭转置，*m表示mode-mDCT变换张量积；
其中，ri表示多秩中的第i个秩，/>表示张量/>的mode-m张量变换，/>表示张量S在第m维度上的第i个切片，/>表示张量S经过mode-m张量变换后在第m个维度上的第i个切片，rank(·)表示矩阵的求秩；
张量的mode-m张量变换定义如下：
其中，为线性变换算子，/>表示实数域，nm表示张量/>在第m个维度的大小。
进一步地，第二张量补全模型包括：
其中，表示张量/>在第m个模态的核范数。
进一步地，所述求解第二张量补全模型包括：
将增广拉格朗日算子引入到第二张量补全模型得到增广拉格朗日函数表示为：
其中，Λ为增广拉格朗日算子，1(·)为指示函数，ρ为惩罚系数，‖·‖F表示张量的Frobenius范数；
对和Λ进行更新求解，/>和Λ在ADMM框架下的更新公式如下：
ρ[k+1]＝ηρ[k]
当时，threshold表示预设的阈值，输出当前的/>得到最终的补全结果，k表示迭代次数，η表示常数系数。
进一步地，在第二张量补全模型的求解过程中自适应的更新第二张量补全模型的正则化参数和权重参数，其更新过程如下：
S41：定义目标张量经mode-mSVD分解后的奇异值张量/>定义/>在第m维度上第p个切片的参数为/>则：
其中，j＞i,j≠m,i≠m，diag表示将向量转换为对角矩阵，表示/>在第m维度上的第p个切片，/>表示/>在第m维度上切片的数量，ni表示张量/>在第i个维度的大小，nj表示张量/>在第j个维度的大小，nm表示张量/>在第m个维度的大小；
S42：计算超过阈值T时/>的最小值，则λm和ωm的更新公式如下：
其中，μ表示常数参数。
本发明至少具有以下有益效果
本技术发明与基于DFT的张量补全方法相比，DCT具有较低的计算复杂度低和实数少的优点，极大提高了张量的补全效率；通过每次迭代对模型中的参数进行自适应更新，低秩表示效果较好的模式得到的正则化参数的权重越大，值越小。当m模余弦变换张量SVD的奇异值分布比其他模态下降得更快(或更慢)时，则第m模态的低秩性比的其他模态的低秩性强(或更弱)，从而提高了张量补全精度，本发明通过张量核范数有效的利用了三阶张量的所有三个模态中的互补信息，从而提高了最终的张量补全效果。
附图说明
图1为本发明的方法流程示意图；
图2为本发明第二张量补全模型的求解示意图。
具体实施方式
以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。
请参阅图1，本发明提供一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，包括：
S1：将待补全的视觉数据存储为三维形式的原始待补全张量，将原始待补全张量进行映射得到初始化后的目标张量/>将目标张量/>进行复制得到N个拷贝张量，N＝3；
在本实施例中，待补全的视觉数据为不完全的原始视觉数据如彩色图像、彩***等，将本发明的方法应用于原始视觉数据的补全问题上，原始视觉数据由于采集设备或信号干扰等原因不可豁免的会导致数据的缺失，这将会对后期的视觉数据处理流程产生一定的影响，降低工作人员的工作效率，通过Matlab软件件具有缺失条目的原始视觉文件读入，并存储为三维形式的张量得到原始待补全张量；取待补全的视觉数据的所有已知像素点的索引位置组成观测索引集Ω，根据原始待补全张量初始化后的目标张量/>使得映射关系满足：/>其中，Ω⊥表示Ω的补集，表示缺失索引集，/>表示目标张量/>的已知条目，/>表示原始待补全张量的已知条目，/>表示目标张量/>的缺失条目；因此将原始待补全张量/>进行映射得到初始化后的目标张量/>包括：/>其中，Ω为指标集，/>表示线性投影算子，即将缺失元素位置的值置为0，已知元素位置的值保持不变，/>为/>的互补操作。
在本实施例中张量的复制可以使用clone()函数和detach()函数进行复制，对于三维张量，其具有三个拷贝张量。
S2：将目标张量的第m个拷贝张量/>利用基于DCT的mode-m SVD分解为奇异值张量，并计算/>的mode-m多秩，以所有拷贝张量的mode-m多秩最小为优化目标建立第一张量补全模型，其中，m＝1，2，3；使用基于DCT的m模式SVD，有效地利用了张量所有模态中存在的互补信息来获得更好的补全性能。同时，基于DCT(离散余弦变换)的张量SVD可以提供比其他变换(如FFT)更低的复杂度。
在步骤S2中张量补全问题是通过观测未知张量的小部分数据，最终将张量的缺失部分补充完整。张量补全实际上是张量感知的一个特例，相当于将张量感知中的感知张量全部替代为单元素的张量，并且知道每一次采样结果的具***置，对于视觉数据而言使用单一模态可能会在某种缺失情况下导致该模态的有效信息很少，由于不同的缺失形式会使得单一模态的信息减少，所以本发明综合张量的三个模态的信息，对张量进行补全。
进一步地，所述第一张量补全模型包括：
其中，λm表示第m个拷贝张量的mode-m多秩的正则化参数，ωm表示拷贝张量/>的权值，/>为中间过程张量，/>为目标张量，/>为原始待补全张量；/>是一个向量，长度为拷贝张量/>进行mode-mSVD分解后的张量Sm在第m个维度上切片的数量，其中，张量的mode-mSVD分解定义为：
为张量/>的共轭转置，*m表示mode-mDCT变换张量积；
其中，ri表示多秩中的第i个秩，/>表示张量/>的mode-m张量变换，/>表示张量/>在第m维度上的第i个切片，/>表示张量S经过mode-m张量变换后在第m个维度上的第i个切片，rank(·)表示矩阵的求秩；
张量的mode-m张量变换定义如下：
其中，为线性变换算子，/>表示实数域，nm表示张量/>在第m个维度的大小。
S3：将的mode-m多秩转变为核范数表达，得到第二张量补全模型；
进一步地，所述第二张量补全模型包括：
其中，表示张量/>在第m个模态的核范数。张量核范数是张量多秩的最佳凸逼近，核范数最小化可以得到张量多秩的最优近似解。
S4：采用增广拉格朗日方法和交替方向乘子ADMM方法求解第二张量补全模型，得到目标张量的最优解即得到最终的补全结果。
进一步地，所述第二张量补全模型包括：
其中，表示张量/>在第m个模态的核范数。
请参阅图2，进一步地，所述求解第二张量补全模型包括：
将增广拉格朗日算子引入到第二张量补全模型得到增广拉格朗日函数表示为：
其中，Λ为增广拉格朗日算子，1(·)为指示函数，ρ为惩罚系数，‖·‖F表示张量的Frobenius范数；
对和Λ进行更新求解，/>和Λ在ADMM框架下的更新公式如下：
ρ[k+1]＝ηρ[k]
当时，threshold表示预设的阈值，输出当前的/>得到最终的补全结果，k表示迭代次数，Λ表示常数系数。threshold在本发明中取值为0.8。
进一步地，在第二张量补全模型的求解过程中自适应的更新第二张量补全模型的正则化参数和权重参数，其更新过程如下：
S41：定义目标张量经mode-mSVD分解后的奇异值张量/>定义/>在第m维度上第p个切片的参数为/>则：
其中，j＞i,j≠m,i≠m，diag表示将向量转换为对角矩阵，表示/>在第m维度上的第p个切片，/>表示/>在第m维度上切片的数量，ni表示张量/>在第i个维度的大小，nj表示张量/>在第j个维度的大小，nm表示张量/>在第m个维度的大小；
S42：计算超过阈值T时/>的最小值，则λm和ωm的更新公式如下：
其中，μ表示常数参数。在本发明中μ的取值为1.75。
优选地，一种求解第二张量补全模型的具体实施方式，初始化三个模态对应的参数Λ＝0，ρ[0]＞0，η＞0，ρ[0]在本发明中取值为0.01，η在本发明中的取值为1.3，利用上述求解第二张量补全模型的方式进行求解最终输出补全后的张量χ，如图2所示。
本技术发明与基于DFT的张量补全方法相比，DCT具有较低的计算复杂度低和实数少的优点，极大提高了张量的补全效率；通过每次迭代对模型中的参数进行自适应更新，低秩表示效果较好的模式得到的正则化参数的权重越大，值越小。当m模余弦变换张量SVD的奇异值分布比其他模态下降得更快(或更慢)时，则第m模态的低秩性比的其他模态的低秩性强(或更弱)，从而提高了张量补全精度，本发明通过张量核范数有效的利用了三阶张量的所有三个模态中的互补信息，从而提高了最终的张量补全效果。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已,并不用以限制本发明,凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等,均应包含在本发明的保护范围之内。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (6)

1.一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，其特征在于，包括：
S1：将待补全的视觉数据存储为三维形式的原始待补全张量，将原始待补全张量进行映射得到初始化后的目标张量/>将目标张量/>进行复制得到N个拷贝张量，N＝3；
S2：将目标张量的第m个拷贝张量/>利用基于DCT的mode-m SVD分解为奇异值张量，并计算/>的mode-m多秩，以所有拷贝张量的mode-m多秩最小为优化目标建立第一张量补全模型，其中，m＝1，2，3；
S3：将的mode-m多秩转变为核范数表达，得到第二张量补全模型；
S4：采用增广拉格朗日方法和交替方向乘子ADMM方法求解第二张量补全模型，得到目标张量χ的最优解即得到最终的补全结果。
2.根据权利要求1所述的一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，其特征在于，所述将原始待补全张量进行映射得到初始化后的目标张量/>包括：
其中，Ω为指标集，表示线性投影算子，即将缺失元素位置的值置为0，已知元素位置的值保持不变，/>为/>的互补操作。
3.根据权利要求2所述的一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，其特征在于，所述第一张量补全模型包括：
其中，λm表示第m个拷贝张量的mode-m多秩的正则化参数，ωm表示拷贝张量/>的权值，/>为中间过程张量，/>为目标张量，/>为原始待补全张量；/>是一个向量，长度为拷贝张量/>进行mode-mSVD分解后的张量Sm在第m个维度上切片的数量，其中，张量的mode-mSVD分解定义为：
为张量/>的共轭转置，*m表示mode-mDCT变换张量积；
其中，ri表示多秩中的第i个秩，/>表示张量S的mode-m张量变换，表示张量/>在第m维度上的第i个切片，/>表示张量S经过mode-m张量变换后在第m个维度上的第i个切片，rank(·)表示矩阵的求秩；
张量S的mode-m张量变换定义如下：
其中，为线性变换算子，/>表示实数域，nm表示张量S在第m个维度的大小。
4.根据权利要求3所述的一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，其特征在于，所述第二张量补全模型包括：
其中，表示张量/>在第m个模态的核范数。
5.根据权利要求4所属的一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，其特征在于，所述求解第二张量补全模型包括：
将增广拉格朗日算子引入到第二张量补全模型得到增广拉格朗日函数表示为：
其中，Λ为增广拉格朗日算子，1(·)为指示函数，ρ为惩罚系数，‖·‖F表示张量的Frobenius范数；
对和Λ进行更新求解，/>和Λ在ADMM框架下的更新公式如下：
ρ[k+1]＝ηρ[k]
当时，threshold表示预设的阈值，输出当前的χ，得到最终的补全结果，k表示迭代次数，η表示常数系数。
6.根据权利要求5所属的一种基于DCT的加权自适应张量数据补全方法，其特征在于，在第二张量补全模型的求解过程中自适应的更新第二张量补全模型的正则化参数和权重参数，其更新过程如下：
S41：定义目标张量χ经mode-mSVD分解后的奇异值张量定义/>在第m维度上第p个切片的参数为/>则：
其中，j＞i,j≠m,i≠m，diag表示将向量转换为对角矩阵，表示/>在第m维度上的第p个切片，/>表示/>在第m维度上切片的数量，ni表示张量/>在第i个维度的大小，nj表示张量/>在第j个维度的大小，nm表示张量/>在第m个维度的大小；
S42：计算超过阈值T时/>的最小值，则λm和ωm的更新公式如下：
其中，μ表示常数参数。
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