CN110751599A - 一种基于截断核范数的视觉张量数据补全方法 - Google Patents

一种基于截断核范数的视觉张量数据补全方法 Download PDF

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CN110751599A CN201910458186.8A CN201910458186A CN110751599A CN 110751599 A CN110751599 A CN 110751599A CN 201910458186 A CN201910458186 A CN 201910458186A CN 110751599 A CN110751599 A CN 110751599A
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Abstract

本发明提供了一种基于截断核范数的视觉张量数据补全方法，包括以下步骤：步骤S1、将待补全张量存储为三维张量形式的目标张量
Figure DDA0002077240480000012
并根据待补全张量
Figure DDA0002077240480000016
初始化目标张量
Figure DDA0002077240480000014
步骤S2、将目标张量
Figure DDA0002077240480000013
输入张量补全模型，并采用梯度下降法求解张量补全模型，输出目标张量
Figure DDA0002077240480000015
的解；张量补全模型为基于瘦的t‑SVD(张量奇异值分解)的张量截断核范数模型。步骤S3、将目标张量
Figure DDA0002077240480000017
的解转换为数据源对应的格式。张量数据补全效率高，算法速度快，补全结果质量高。

Description

一种基于截断核范数的视觉张量数据补全方法
技术领域
本发明涉及视觉张量数据补全技术领域，尤其涉及一种基于截断核 范数的视觉张量数据补全方法。
背景技术
在计算机视觉研究中，很多视觉数据如彩色图像，视频序列等往往具 有很复杂的高阶数据结构。传统的数据表示形式如向量和矩阵等不能很 好的反映这些多维数据结构信息，张量作为向量(一阶)和矩阵(二阶) 表示的更高阶(大于等于3的阶数)的推广，能更好的反映诸如图像、视 频等多维数据的内在结构。
实际获取数据的过程中，由于编码、传输和数据转换等，会造成张量 数据中某些元素的丢失，利用张量数据中已知元素预测和恢复未知元素 的技术称为张量补全。张量补全的一种处理方式为低秩张量补全，低秩张 量补全通常基于以下两种张量分解技术：CANDECOMP/PARAFAC(CP)分 解和Tucker分解；CP模型分解一个张量为多个秩1张量的和，但基于 CP分解的模型通常有计算量高和求解方式复杂等问题；Tucker分解模型 则沿某一维度将一个N阶的张量分解为一个核心张量和N个矩阵的模式 基，但Tucker分解通常需要预先估计展开矩阵的秩，在实际应用中通常 不能得到正确的估计结果，从而导致补全效果不佳。另一种处理方式是运 用矩阵补全技术，采用凸优化方法，直接最小化张量展开后所有矩阵的迹 范数和，这种张量补全方式通常可以取得较好的效果，但需要应用奇异值 分解(SVD)在所有展开的矩阵上，故算法效率较低。
Zhou等人提出的方法(Zhou P,Lu C,Lin Z,et al.Tensor Factorization forLow-Rank Tensor Completion.[J].IEEE Trans Image Process,2017, PP(99):1-1.)中采用矩阵分解思想，在优化过程中把大的张量数据分解成 两个小的张量数据，然后迭代的求取原目标函数的解。该方法速度快，且 算法被证明可以收敛到一个KKT点；但是没有考虑到高阶张量自身重要 的结构信息，采用矩阵分解的方法破坏了张量数据的内在低秩结构，并且， 在原本张量数据丢失严重和待补全张量数据量大的情况下，该方法对数 据中的结构信息和数据的低秩特性不能很好的利用，因而在对张量数据 的补全上效果不佳。
中国专利CN201710102313.1公开一种基于局部低秩张量估计的视觉 数据补全方法，该方法将原始图像和视频映射为典型的3阶张量数据结 构，并将原张量有重叠的分解为多个子张量，以最小化子张量的迹范数加 权进行迭代的求解。该专利较好的保留了每个数据元素与周围元素的高 相关性；但是分解结果的好坏直接影响最终补全效果，如重叠的张量在实 际应用中并不能正确估计最终的补全结果，如彩色图像的补全，会造成图 像边缘细节的模糊等问题；该方法的模型为所有分解后小张量的迹范数 和，模型本身并不能很好的逼近原始张量的秩，导致最终的补全效果变差。
发明内容
(一)要解决的技术问题
为了解决现有技术的上述问题，本发明提供一种基于截断核范数的 视觉张量数据补全方法。张量数据补全效率高，算法速度快，补全结果质 量高。
(二)技术方案
为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：
一种基于截断核范数的视觉张量数据补全方法，包括以下步骤：
步骤S1、将待补全张量
Figure BDA0002077240460000021
存储为三维张量形式的目标张量
Figure BDA0002077240460000022
并根 据待补全张量
Figure BDA0002077240460000023
初始化目标张量
Figure BDA0002077240460000024
步骤S2、将目标张量
Figure BDA0002077240460000025
输入张量补全模型，并采用梯度下降法求解 张量补全模型，输出目标张量
Figure BDA0002077240460000026
的解；张量补全模型为基于瘦的t-SVD张 量奇异值分解的张量截断核范数模型。
步骤S3、将目标张量
Figure BDA0002077240460000031
的解转换为数据源对应的格式。
作为本发明基于截断核范数的视觉张量数据补全方法的一种改进， 步骤S1中，根据待补全张量
Figure BDA0002077240460000032
初始化目标张量
Figure BDA0002077240460000033
具体为：初始化目标 张量
Figure BDA0002077240460000034
以满足映射
Figure BDA0002077240460000035
其中，
Figure BDA0002077240460000036
为目标张 量映射成的非缺失值数据，
Figure BDA0002077240460000037
为待补全张量映射成的已知数据， 为目标张量中的缺失值元素。
作为本发明基于截断核范数的视觉张量数据补全方法的一种改进， 张量补全模型的具体构建方法如下：根据瘦的t-SVD技术，对目标张量 进行分解：其中和
Figure BDA00020772404600000311
是经t- SVD分解后得到的左右奇异张量；
然后建立基于t-SVD的张量截断核范数模型为：
Figure BDA00020772404600000312
其中，tr(×)是张量的及运算符；*为张量积运算符；
Figure BDA00020772404600000313
和
Figure BDA00020772404600000314
是经t-SVD 分解得到的左右奇异张量；
Figure BDA00020772404600000315
和
Figure BDA00020772404600000316
采用Matlab形式可表示为
Figure BDA00020772404600000317
Figure BDA00020772404600000318
r是
Figure BDA00020772404600000319
和
Figure BDA00020772404600000320
沿第二 维截取列的数量，
Figure BDA00020772404600000321
为单位张量(张量第一维切片为单位矩阵，其余切片 全部为0。
作为本发明基于截断核范数的视觉张量数据补全方法的一种改进， 向张量截断核范数模型中引入权重张量
Figure BDA00020772404600000325
获得以下加权的截断张量核 范数模型：
Figure BDA00020772404600000322
权重张量
Figure BDA00020772404600000323
每个正面切片矩阵满足以下公式：
Figure BDA00020772404600000324
其中，θ>0，N(1<N<p)是一个正整数，是
Figure BDA0002077240460000042
的正面 切片矩阵W(i)(i＝1,…,n3)中的元素。
作为本发明基于截断核范数的视觉张量数据补全方法的一种改进， 步骤S2中，采用梯度下降法求解张量补全模型，具体为：
令算法初始值为
Figure BDA0002077240460000043
采用以下公式迭代求得所述截断张量 核范数模型的闭式解：
Figure BDA0002077240460000044
其中，ak>0是一个步长参数；在第k轮迭代中，Ak，Bk，
Figure BDA0002077240460000046
和
Figure BDA0002077240460000047
由 以下等式求得：
Figure BDA0002077240460000048
Figure BDA0002077240460000049
当达到迭代停止准则时，迭代停止；迭代停止准则设定为达到最大迭 代次数或相邻两次迭代中的误差
Figure BDA00020772404600000410
ε为预先设定的阈值。
(三)有益效果
本发明的有益效果是：
1、本发明采用一种瘦的t-SVD技术，只需要在傅里叶域中对前
Figure BDA00020772404600000411
个张量正面切面矩阵进行奇异值分解操作，避免了张量数据规 模变大、存储困难和时间消耗巨大等问题，极大提高了张量数据的补全 效率。
2、通过为每次迭代产生的目标张量所有正面切片都引入了一个权 重矩阵，当某一切片每行中已知元素越多时，赋予更小权重以增加重建 概率；当迭代次数增加时，数据的未知元素稀疏性会显著提升，从而加 快算法速度。
3、本发明通过从用户给定的张量数据作为整体进行处理，补全过 程中不需要对张量进行多次分解，因而补全合成结果能够很好的保全张 量的空间结构信息，从而能够产生高质量的补全结果。
附图说明
本发明借助于以下附图进行描述：
图1为本发明具体实施方式中基于截断核范数的视觉张量补全方法 的流程图；
图2为本发明具体实施方式中张量数据转换演示图；
图3为本发明具体实施方式中的原始图像；
图4为本发明具体实施方式中的待补全图像；
图5为本发明具体实施方式中的补全后图像；
图6为本发明具体实施方式中的原始视频序列；
图7为本发明具体实施方式中的待补全视频序列；
图8为本发明具体实施方式中的补全后视频序列。
具体实施方式
为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施 方式，对本发明作详细描述。
在对视觉数据(如彩色图像和视频等高维数据)转化为张量数据形式 后，即需要对补全过程进行建模。在低秩张量补全模型中，通常采用最小 化核范数等凸优化技术逼近原始张量的秩，在实际应用中，数据的主要信 息包含在一些较大的奇异值当中(即矩阵的低秩特性)，而最小化张量的 所有奇异值并不能很好的逼近张量的秩。改进的张量截断核范数只最小 化包含数据主要信息的一部分较大的奇异值，在实际应用中能更好的反 映张量准确的秩，从而更好的逼近原始张量的秩。
因此，如图1所示，本发明提供了一种基于截断核范数的视觉张量数 据补全方法，包括以下步骤：
步骤S1、将待补全张量
Figure BDA0002077240460000051
存储为三维张量形式的目标张量
Figure BDA0002077240460000052
并根 据待补全张量初始化目标张量
Figure BDA0002077240460000054
步骤S2、将目标张量
Figure BDA00020772404600000617
输入张量补全模型，并采用梯度下降法求解张 量补全模型，输出目标张量
Figure BDA00020772404600000618
的解；张量补全模型为基于瘦的t-SVD张 量奇异值分解的张量截断核范数模型。
步骤S3、将目标张量
Figure BDA00020772404600000619
的解转换为数据源对应的格式。
步骤S1中，如图2所示，将有缺失值的张量数据(如有缺失像素的 图像、视频序列)存储为三维张量形式
Figure BDA0002077240460000061
具体地，根据待补全张量
Figure BDA0002077240460000062
初始化目标张量
Figure BDA0002077240460000063
以满足映射
Figure BDA0002077240460000064
其中，
Figure BDA0002077240460000066
为目标张量映射成的已知(非缺失值) 数据，
Figure BDA0002077240460000067
为待补全张量映射成的已知数据，
Figure BDA0002077240460000068
为目标张量中的 缺失值元素。
步骤S2中，张量补全模型由以下方法构建而成：
基于瘦的t-SVD张量奇异值分解技术，对目标张量进行分解为：
Figure RE-GDA00023080601000000612
Figure RE-GDA00023080601000000613
其中和
Figure RE-GDA00023080601000000615
是经t-SVD分解后得 到的左右奇异张量。
然后构造如下用于张量补全的张量截断核范数模型：
Figure BDA00020772404600000613
其中，p＝min(n1,n2)，r是给定的截断阈值，
Figure BDA00020772404600000614
是张量
Figure BDA00020772404600000615
沿第三维由傅里叶变换得到的值。注意这里的张量奇异值σi(X)只由张量 的一维正面切片决定，即σi(X)是S(i,i,1)的第i个元素。
基于以上给出的张量截断核范数模型，和矩阵情形类似，将上述张量 截断核范数模型改写为下式：
Figure BDA00020772404600000616
其中，
Figure BDA0002077240460000071
为标准张量迹范数；tr(×)是张量的及运算符；*为张量积 运算符，具体参照《Tensor Factorization for Low-Rank Tensor Completion》；
Figure BDA0002077240460000072
和采用Matlab形式可表示为
Figure BDA0002077240460000075
r是
Figure BDA0002077240460000076
和
Figure BDA0002077240460000077
沿第二维截取列的数量，
Figure BDA0002077240460000078
为单位张量(张 量第一维切片为单位矩阵，其余切片全部为0。
并结合广义冯诺依曼不等式
Figure BDA0002077240460000079
其中，
Figure BDA00020772404600000710
和
Figure BDA00020772404600000711
是经t- SVD分解得到的左右奇异张量；得到以下张量截断核范数模型：
对于三阶张量
Figure BDA00020772404600000713
现有中许多基于奇异值分解的张量补全方法需要在 张量矩阵化后全部n3个矩阵上应用奇异值分解，算法执行效率低下，而 本发明采用一种瘦的t-SVD技术，只需要在傅里叶域中对前
Figure BDA00020772404600000722
个 张量正面切面矩阵进行奇异值分解操作，避免了张量数据规模变大、存储 困难和时间消耗巨大等问题，极大提高了张量数据的补全效率。
上述模型在优化过程中每轮迭代都试图估计所有缺失的值，导致迭 代速度很慢。优选地，引入一个权重张量
Figure BDA00020772404600000721
以平衡每轮得到的目标张量 的残差，最后可以得到以下加权的截断张量核范数模型：
Figure BDA00020772404600000714
权重张量
Figure BDA00020772404600000715
每个正面切片矩阵满足以下公式：
Figure BDA00020772404600000716
其中，θ>0，N(1<N<p)是一个正整数，是
Figure BDA00020772404600000718
的正面 切片矩阵W(i)(i＝1,…,n3)中的元素。和
Figure BDA00020772404600000720
唯一的不同在于θ的取值不 同。为每次迭代产生的目标张量所有正面切片都引入了一个权重矩阵，当 某一切片每行中已知元素越多时赋予更小权重以增加重建概率，当迭代 次数增加时，数据的未知元素稀疏性会显著提升，从而加快算法速度。
现有中求解张量补全模型通常使用交替方向乘子法(ADMM)。然而， 本发明的模型是非凸的，理论上ADMM方法不能保证非凸函数的收敛性。 在本发明中，采用梯度下降法求解本发明的张量补全模型。具体方法如下：
本发明中的截断张量核范数模型可用以下约束问题进行描述：
Figure BDA0002077240460000081
令算法初始值为
Figure BDA0002077240460000082
采用以下公式迭代求得上述约束问题 的闭式解：
Figure BDA0002077240460000084
其中，ak>0是一个步长参数；在第k轮迭代中，Ak，Bk，
Figure BDA0002077240460000088
和
Figure BDA0002077240460000089
由 以下等式求得：
Figure BDA0002077240460000085
本发明采用简单的梯度搜索迭代方法，不同于现有张量补全模型中 常用的交替方向乘子法(ADMM)，保证了算法每步迭代都能产生闭式解。
判断当前模型求解算法获得的闭式解相对于前一步模型求解算法获 得的闭式解的变化值小于预先设定的阈值，或者迭代轮数大于等于预先 设定的迭代数时停止迭代，输出目标张量
Figure BDA00020772404600000810
的解。即
Figure BDA0002077240460000087
或者 k≥K，K和ε均为预先设定的阈值。
综上所述，本发明相比于现有的基于张量核范数的张量补全方法，通 过使用瘦的t-SVD技术，避免了张量数据规模变大、存储困难和时间消 耗巨大等问题，极大提高了张量数据的补全效率。通过向每次迭代产生的 目标张量所有正面切片都引入了一个权重矩阵，当某一切片每行中已知 元素越多时赋予更小权重以增加重建概率，当迭代次数增加时，数据的未 知元素稀疏性会显著提升，从而加快算法速度。本发明通过从用户给定的 张量数据作为整体进行处理，补全过程中不需要对张量进行多次分解，因 而补全合成结果能够很好的保全张量的空间结构信息，从而能够产生高 质量的补全结果。
采用本发明提出的技术方案对随机损失一定比例数据像素点后的图 像(如图4)进行补全恢复任务，结果如图5所示。采用本发明提出的技 术方案对随机损失一定比例数据像素点后的视频序列(如图7)进行补全 恢复任务，结果如图8所示。将恢复后的图像(图5)与原始图像(图3) 进行对比，将恢复后的视频序列(图8)与原始视频序列(图6)进行对比，可见，在视频序列和图像上应用本发明，获得的恢复结果中整体的视 觉效果好，且局部的边缘细节信息也能得到好的恢复。
需要理解的是，以上对本发明的具体实施例进行的描述只是为了说 明本发明的技术路线和特点，其目的在于让本领域内的技术人员能够了 解本发明的内容并据以实施，但本发明并不限于上述特定实施方式。凡 是在本发明权利要求的范围内做出的各种变化或修饰，都应涵盖在本发 明的保护范围内。

Claims (5)

1.一种基于截断核范数的视觉张量数据补全方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤S1、将待补全张量
Figure FDA0002077240450000011
存储为三维张量形式的目标张量并根据待补全张量
Figure FDA0002077240450000013
初始化目标张量
Figure FDA0002077240450000014
步骤S2、将目标张量输入张量补全模型，并采用梯度下降法求解张量补全模型，输出目标张量
Figure FDA0002077240450000016
的解；张量补全模型为基于瘦的t-SVD张量奇异值分解的张量截断核范数模型；
步骤S3、将目标张量
Figure FDA0002077240450000017
的解转换为数据源对应的格式。
2.根据权利要求1所述的基于截断核范数的视觉张量数据补全方法，其特征在于，步骤S1中，根据待补全张量初始化目标张量具体为：
初始化目标张量
Figure FDA00020772404500000110
以满足映射
Figure FDA00020772404500000111
其中，为目标张量映射成的非缺失值数据，
Figure FDA00020772404500000113
为待补全张量映射成的已知数据，
Figure FDA00020772404500000114
为目标张量中的缺失值元素。
3.根据权利要求1所述的基于截断核范数的视觉张量数据补全方法，其特征在于，所述张量补全模型的具体构建方法如下：
基于瘦的t-SVD技术，对目标张量进行分解：
Figure FDA00020772404500000115
其中
Figure FDA00020772404500000116
和
Figure FDA00020772404500000117
是经t-SVD分解后得到的左右奇异张量；
然后建立基于t-SVD的张量截断核范数模型为：
Figure FDA00020772404500000118
其中，tr(×)是张量的及运算符；*为张量积运算符；
Figure FDA00020772404500000119
和
Figure FDA00020772404500000120
是经t-SVD分解得到的左右奇异张量；
Figure FDA00020772404500000121
和
Figure FDA00020772404500000122
采用Matlab形式可表示为
Figure FDA00020772404500000123
r是和
Figure FDA00020772404500000126
沿第二维截取列的数量，
Figure FDA00020772404500000127
为单位张量。
4.根据权利要求3所述的基于截断核范数的视觉张量数据补全方法，其特征在于，
向所述张量截断核范数模型中引入权重张量
Figure FDA00020772404500000128
获得以下加权的截断张量核范数模型：
Figure FDA0002077240450000021
权重张量的每个正面切片矩阵满足以下公式：
Figure FDA0002077240450000023
其中，θ>0，N(1<N<p)是一个正整数，
Figure FDA0002077240450000024
是的正面切片矩阵W(i)(i＝1,…,n3)中的元素。
5.根据权利要求4所述的基于截断核范数的视觉张量数据补全方法，其特征在于，步骤S2中，采用梯度下降法求解张量补全模型，具体为：
令算法初始值为
Figure FDA0002077240450000026
采用以下公式迭代求得所述截断张量核范数模型的闭式解：
Figure FDA0002077240450000028
其中，ak>0是一个步长参数；在第k轮迭代中，
Figure FDA0002077240450000029
和
Figure FDA00020772404500000210
由以下等式求得：
Figure FDA00020772404500000211
Figure FDA00020772404500000212
当达到迭代停止准则时，迭代停止；迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或相邻两次迭代中的误差
Figure FDA00020772404500000213
ε为预先设定的阈值。
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