CN115741688B - 基于改进遗传算法的六自由度机械臂轨迹优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于改进遗传算法的六自由度机械臂轨迹优化方法,包括：步骤S1:获得六自由度机械臂末端执行器起始点和目标点位姿；步骤S2:在起始点与目标点之间，通过路径规划得到机械臂各个关节的路径点；步骤S3:采用三次样条插值算法在机械臂每个关节的相邻两个路径点间构建运动轨迹,获取轨迹曲线多项式；步骤S4:基于轨迹曲线多项式，构建关节的子目标函数；步骤S5:基于改进遗传算法对机械臂关节轨迹进行优化；步骤S6:对得到的每一段曲线轨迹，在所有关节的最优个体中选择最长时间作为该段轨迹的最佳时间；步骤S7:基于轨迹的最佳时间，利用三次样条插值算法确定出每个关节路径点所对应的速度和加速度，得到六自由度机械臂的整条运行轨迹的所有信息。

Description

基于改进遗传算法的六自由度机械臂轨迹优化方法

技术领域

本发明涉及机械臂轨迹规划领域，具体涉及一种基于改进遗传算法的六自由度机械臂轨迹优化方法。

背景技术

现如今，机械臂已被应用于各类产品的智能制造，其轨迹规划问题受到各大企业及科研院所的广泛关注。为进一步提高操控性，人们常会在满足***约束的情况下，利用各种算法对机械臂的原规划轨迹进行优化，以获得符合预期运动的最优轨迹；如为提高***的运行效率，算法可以机械臂轨迹运行时间最少为目标来获得最优轨迹；为降低***的能耗，可以能耗最小为目标来实现轨迹的合理优化；当然，未来提出的算法更多的还应具备在多约束、多优化目标的情况下实现机械臂轨迹优化的能力。由于机械臂轨迹优化问题(尤其针对多自由度机械臂的轨迹优化问题)是一类高度耦合的非线性问题，使得当前许多传统轨迹优化方法都较难获取其最优解或次优解。考虑到传统遗传算法具有并行性好、搜索流程简单、可扩展性好等优点，但同时又存在算法收敛速度不快、易陷于局部最优解等问题。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于改进遗传算法的六自由度机械臂轨迹优化方法，可以使机械臂能够更为快速、平稳地从初始点运动到目标点，且可有效地减少能耗。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于改进遗传算法的六自由度机械臂轨迹优化方法，包括以下步骤：

步骤S1:获得六自由度机械臂末端执行器起始点和目标点位姿；

步骤S2:在起始点与目标点之间，通过路径规划得到机械臂各个关节的路径点；

步骤S3:采用三次样条插值算法在机械臂每个关节的相邻两个路径点间构建运动轨迹,获取轨迹曲线多项式；

步骤S4:基于轨迹曲线多项式，以时间最少、能耗最小作为优化目标，在满足预设约束条件下，构建关节的子目标函数；

步骤S5:基于改进遗传算法对机械臂关节轨迹进行优化；

步骤S6:对得到的每一段曲线轨迹，在所有关节的最优个体中选择最长时间作为该段轨迹的最佳时间；

步骤S7:基于轨迹的最佳时间，利用三次样条插值算法确定出每个关节路径点所对应的速度和加速度，最终得到六自由度机械臂的整条运行轨迹的所有信息。

进一步的，所述步骤S2中，设各关节从起始点运动到各路径点的时刻为t_n，n＝0,1,2,...,N，则第l个关节的所有路径点描述为

其中，表示机械臂关节l在t_n时刻的实际位置，l＝1,2,3...6。

进一步的，所述步骤S3中，机械臂第l个关节两相邻路径点和之间的轨迹曲线为：

^lh_j(t)＝^la_j+^lb_j(t-t_j)+^lc_j(t-t_j)²+^ld_j(t-t_j)³

其中，^lh_j(t)为机械臂第l个关节第j段的三次样条曲线，^la_j、^lb_j、^lc_j、^ld_j为三次样条曲线系数，分别为^lh_j(t)的一阶、二阶导数，即为机械臂第l个关节在t时刻的速度、加速度。

进一步的，所述步骤S4中，预设约束为：

其中，分别为^lh_j(t)的一阶、二阶导数，即为机械臂第l个关节在t时刻的速度、加速度；^lv_max为机械臂第l个关节的最大速度值，^la_max为机械臂第l个关节的最大加速度值，^lx_j＝t_j+1-t_j为机械臂第l个关节第j段轨迹的运行时间，/>分别为机械臂第l个关节第j段轨迹运行时间的最大值和最小值；

构建第l个关节的子目标函数：

其中，^lf₁表示机械臂运行总时间，^lf₂表示关节l的平均加速度；

采用权重法和罚函数构建改进遗传算法的适应度函数：

其中，ε₁、ε₂分别为用于调节机械臂运行总时间和能耗的比例因子；Φ为惩罚因子。

进一步的，所述步骤S5具体为：

S5.1：初始化遗传算法各基本参数，包括初始化种群规模的大小pops，种群个体的维度N，算法的最大迭代代数G_max；

S5.2：初始化种群pop，将种群中第i个个体的第j维数值，即机械臂第l个关节第j段轨迹的运行时间，初始化为：

其中，rand(0,1)表示[0,1]之间的随机数。然后，计算每个个体的适应度值；

S5.3：对种群pop，利用轮盘赌策略选择pops个个体组成新种群pop1，并对种群pop1使用反向学习机制继续产生新种群pop2；

S5.4：对种群pop2进行交叉操作,待种群pop2交叉结束后得到新种群pop3；

S5.5：对种群pop3进行变异操作，当种群pop3变异结束后得到新种群pop4；

S5.6：计算种群pop4中每一个个体的适应度值，找出种群pop4中个体适应度最大的个体然后对种群pop4进行全局寻优操作，产生新个体/>且

A＝2·q·r₁-q

C＝2·r₂

其中，r₁、r₂为(0,1)之间的随机数，G_now为当前迭代代数，G_max为迭代代数最大值；计算出新个体的适应度值，把新个体/>的适应度值和原先个体/>的适应度值做比较，若原先个体/>的适应度值优于新个体/>的适应度值，则保留原先个体；若新个体/>的适应度值优于原先个体/>则保留新个体/>待遍历完种群pop4的每一个个体后得到新种群pop5，然后采用最佳个体保存策略将种群pop5中最差的个体用最优个体代替；

S5.7：判断算法是否达到最大迭代次数G_max；若达到，则算法结束，输出最优个体，否则将跳转至步骤S5.3，将种群pop5作为种群pop开始新的算法迭代；

S5.8：重复S5.1到S5.7，直到求解出所有关节的最优时间个体后转至步骤S6。进一步的，所述步骤S5.3具体为：对种群pop1中的每个个体由反向学习机制产生其反向个体/>且/>其中i＝1,2,...pops,j＝0,1,2,...N-1；然后，再计算出原个体/>和反向个体/>的适应度值；把反向个体/>的适应度值和原先个体/>的适应度值做比较，若原个体的适应度值优于反向个体的适应度值，则保留原个体；若反向个体的适应度值优于原个体，则保留反向个体。遍历完种群pop1的每一个个体后得到新种群pop2。

进一步的，所述步骤S5.4具体为：若交叉概率P_crand小于自适应交叉概率P_c，则个体进行拉普拉斯交叉；反之，则直接遗传到下一代种群,其中P_crand为(0,1)之间的随机数，自适应交叉概率P_c表示为：

其中，P_cmax为交叉概率的最大值，P_cmin为交叉概率的最小值，f_c为两个交叉个体中较大的适应度值，f_cmax为种群pop2中个体的最大适应度值，^cf_avg为种群pop2中个体的平均适应度值；

设种群pop2中个体通过拉普拉斯交叉得到的新个体分别为则：

其中，a∈R为位置参数，b＞0为尺度参数，u由服从[0,1]均匀分布的随机数rand(0,1)得。

进一步的，所述步骤S5.5具体为：若变异概率P_mrand小于自适应变异概率P_m，则个体进行变异；反之，则直接遗传到下一代种群，P_mrand为(0,1)之间的随机数，自适应变异概率P_m表示为：

其中，P_mmax为变异概率的最大值，P_mmin为变异概率的最小值，f_m为当前变异个体的适应度值，f_mmax为种群pop3中个体的最大适应度值，^mf_avg为种群pop3中个体的平均适应度值；

对当前迭代代数G_now进行判断，若G_now为奇数时，则该代选择非均匀变异，产生的变异个体为且

其中，k是非均匀变异的一个常数，取值为(0,1]，r为(0,1)之间的随机数，rand()为随机整数，％表示求余操作；

若G_now为偶数时，则该代选择高斯变异，产生的变异个体为g为高斯变异的幅度大小，Gaussian(0,1)为满足高斯正态分布的随机数。

本发明与现有技术相比具有以下有益效果：

本发明可以使机械臂能够更为快速、平稳地从初始点运动到目标点，且可有效地减少能耗；相比于传统遗传算法，所提改进算法可以更好地跳出局部最优解，并具备更优的全局搜索能力及更快的收敛速度，且求解过程也较为容易，更适于机械臂的实时性控制，易于应用到工业生产中。

附图说明

图1是本发明一实施例中六自由度机械臂轨迹优化总流程图。

图2是本发明一实施例中改进遗传算法流程图。

图3是本发明一实施例中某次改进遗传算法优化得到的各关节位置曲线。

图4是本发明一实施例中某次改进遗传算法优化得到的各关节速度曲线。

图5是本发明一实施例中某次传统遗传算法优化得到的各关节位置曲线。

图6是本发明一实施例中某次传统遗传算法优化得到的各关节速度曲线。

图7为本发明一实施例中某次改进遗传算法优化得到的机械臂3D运动仿真结果。

具体实施方式

以下结合附图及较佳实施例，对本发明的技术方案进行说明，所举实施例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。

本实施例在ROS仿真平台中选用MOTOMAN-GP7型机械臂作为仿真对象，以六自由度机械臂基座中心构建坐标系，并将各个障碍物的形状、尺寸、位置信息列入表1中，以此构建***的3D仿真环境。

表1障碍物信息

障碍物编号	形状	尺寸	位置(x,y,z)
				1	球体	半径＝0.15m	(0.39m,-0.49m,0.56m)
2	长方体	长＝0.2m，宽＝0.2m，高＝0.2m	(0.86m,-0.38m,0.44m)
				3	长方体	长＝0.3m，宽＝0.2m，高＝0.3m	(0.61m,-0.5m,0.14m)
4	长方体	长＝0.3m，宽＝0.2m，高＝0.3m	(0.44m,0.07m,0.28m)
				5	长方体	长＝0.3m，宽＝0.2m，高＝0.3m	(0.80m,0.06m,0.28m)
6	圆柱体	半径＝0.2m，高＝0.25m	(0.65m,0.57m,0.25m)

在本实施例中六自由度机械臂末端执行器将会从初始点P₁(位置坐标为(0.17m,-0.45m,0.43m)^T、RPY角为(0.13rad,-3.13rad,2.02rad)^T)运动到目标点P₂(位置坐标为(0.65m,-0.29m,0.35m)^T、RPY角为(-3.08rad,-0.06rad,0.41rad)^T)。

参见图1～2，以下将结合实施例以及附图，对本发明进行进一步的描述。

步骤S1：根据任务要求，获得六自由度机械臂末端执行器起始点和目标点位姿；

步骤S2：在起始点与目标点之间，通过路径规划得到机械臂各个关节的路径点，并假定各关节从起始点运动到各个关节路径点的时刻为t_n(n＝0,1,2,…,N)，则第l(l＝1,2,…,6)个关节的所有路径点可描述为

其中，表示机械臂关节l在t_n时刻的实际位置。

步骤S3：采用三次样条插值算法在机械臂每个关节的相邻两个路径点间构建运动轨迹，则机械臂第l个关节两相邻路径点和/>j(j＝0,1,2,…,N-1)之间的轨迹曲线可描述为

^lh_j(t)＝^la_j+^lb_j(t-t_j)+^lc_j(t-t_j)²+^ld_j(t-t_j)³

其中，^lh_j(t)为机械臂第l个关节第j段的三次样条曲线，^la_j、^lb_j、^lc_j、^ld_j为三次样条曲线系数，分别为^lh_j(t)的一阶、二阶导数，即为机械臂第l个关节在t时刻的速度、加速度。

步骤S4：基于上述轨迹曲线多项式，以时间最少、能耗最小作为优化目标，在满足***预设约束条件下，构建第l个关节的子目标函数：

其中，^lf₁表示机械臂运行总时间，^lf₂表示关节l的平均加速度(其可作为机械臂关节l的能耗指标)，^lx_j＝t_j+1-t_j为机械臂第l个关节第j段轨迹的运行时间，分别为机械臂第l个关节第j段轨迹运行时间的最大值和最小值，^lv_max为机械臂第l个关节的最大速度值，^la_max为机械臂第l个关节的最大加速度值。本实施例中，/>各个关节的速度上限^lv_max、加速度上限^la_max如表2所示。

表2各个关节速度、加速度约束

关节l	lvmax(rad/s)	lamax(rad/s2)
			1	6.54	10
2	5.49	10
			3	7.15	10
4	9.59	10
			5	9.59	10
6	17.48	10

优选的，在本实施例中，为解决六自由度机械臂在多重约束条件下的多目标优化问题，采用权重法和罚函数来构建本发明所提改进遗传算法的适应度函数：

其中，ε₁、ε₂分别为用于调节机械臂运行总时间和能耗的比例因子；Φ为惩罚因子。本实施例中，ε₁＝0.6，ε₂＝0.4；对于满足前述约束条件的遗传个体，其适应度函数中Φ设为0；对于不满足约束条件的遗传个体，其适应度函数中的Φ将设200，以增大其在进化过程中被淘汰的概率。

步骤S5：提出如下改进遗传算法对机械臂第l个关节的关节轨迹进行优化，包括步骤如下：

S5.1：初始化遗传算法各基本参数，包括初始化种群规模的大小pops，种群个体的维度N，算法的最大迭代代数G_max；本实施例中，pops＝100，N根据步骤S2中路径规划的总路径点数确定，G_max＝500。

S5.2：初始化种群pop，将种群中第i个个体的第j维数值(在本发明中表征机械臂第l个关节第j段轨迹的运行时间)初始化为：

其中，rand(0,1)表示[0,1]之间的随机数。然后，计算每个个体的适应度值。

S5.3：对种群pop，利用轮盘赌策略选择pops个个体组成新种群pop1，并对种群pop1使用反向学习机制继续产生新种群pop2。对种群pop1中的每个个体由反向学习机制产生其反向个体/>且/>然后，再计算出原个体/>和反向个体的适应度值。把反向个体/>的适应度值和原先个体/>的适应度值做比较，若原个体的适应度值优于反向个体的适应度值，则保留原个体；若反向个体的适应度值优于原个体，则保留反向个体。遍历完种群pop1的每一个个体后得到新种群pop2。

S5.4：对种群pop2进行交叉操作。若交叉概率P_crand小于自适应交叉概率P_c，则个体进行拉普拉斯交叉；反之，则直接遗传到下一代种群。P_crand为(0,1)之间的随机数，自适应交叉概率P_c可表示为：

其中，P_cmax为交叉概率的最大值，P_cmin为交叉概率的最小值，f_c为两个交叉个体中较大的适应度值，f_cmax为种群pop2中个体的最大适应度值，^cf_avg为种群pop2中个体的平均适应度值。本实施例中，P_cmax＝0.80，P_cmin＝0.40。

设种群pop2中个体通过拉普拉斯交叉得到的新个体分别为则：

其中，a∈R为位置参数，b＞0为尺度参数，u由服从[0,1]均匀分布的随机数rand(0,1)得到。待种群pop2交叉结束后得到新种群pop3；本实施例中，a＝0.5，b＝0.5。

S5.5：对种群pop3进行变异操作。若变异概率P_mrand小于自适应变异概率P_m，则个体进行变异；反之，则直接遗传到下一代种群。P_mrand为(0,1)之间的随机数，自适应变异概率P_m可表示为：

其中，P_mmax为变异概率的最大值，P_mmin为变异概率的最小值，f_m为当前变异个体的适应度值，f_mmax为种群pop3中个体的最大适应度值，^mf_avg为种群pop3中个体的平均适应度值。本实施例中，P_mmax＝0.08，P_mmin＝0.01。

对当前迭代代数G_now进行判断。若G_now为奇数时，则该代选择非均匀变异，产生的变异个体为且

其中，k是非均匀变异的一个常数，取值为(0,1]，r为(0,1)之间的随机数，rand()为随机整数，％表示求余操作。

若G_now为偶数时，则该代选择高斯变异，产生的变异个体为g为高斯变异的幅度大小，Gaussian(0,1)为满足高斯正态分布的随机数。当种群pop3变异结束后得到新种群pop4；本实施例中，g＝0.1。

S5.6：计算种群pop4中每一个个体的适应度值，找出种群pop4中个体适应度最大的个体然后对种群pop4进行全局寻优操作，产生新个体/>且

A＝2·q·r₁-q

C＝2·r₂

其中，r₁、r₂为(0,1)之间的随机数，G_now为当前迭代代数，G_max为迭代代数最大值。计算出新个体的适应度值，把新个体/>的适应度值和原先个体/>的适应度值做比较，若原先个体/>的适应度值优于新个体/>的适应度值，则保留原先个体；若新个体/>的适应度值优于原先个体/>则保留新个体/>待遍历完种群pop4的每一个个体后得到新种群pop5，然后采用最佳个体保存策略将种群pop5中最差的个体用最优个体代替；

S5.7：判断算法是否达到最大迭代次数G_max，若达到，则算法结束，输出最优个体(即为当前关节的最优时间)，否则将跳转至步骤S5.3，将种群pop5作为种群pop开始新的算法迭代。

S5.8：重复S5.1到S5.7，直到求解出所有关节的最优时间个体后转至步骤S6。

步骤S6：对得到的每一段曲线轨迹，在所有关节的最优个体中选择最长时间作为该段轨迹的最佳时间。

步骤S7：使用每一段轨迹的最佳时间，利用三次样条插值算法确定出每个关节路径点所对应的速度和加速度，最终得到六自由度机械臂的整条运行轨迹的所有信息。

步骤S8：基于ROS仿真平台，比较传统遗传算法和改进遗传算法的轨迹优化结果，以验证所提改进遗传算法的有效性。

在ROS仿真平台中，分别利用传统遗传算法和改进遗传算法对六自由度机械臂的轨迹进行优化，每种算法各进行50次仿真实验，仿真的平均数据结果统计如表3所示。其中，传统遗传算法的种群大小pops＝100，算法最大迭代代数为G_max＝500，固定交叉概率固定变异概率为/>从表3可以看出改进遗传算法优化后的机械臂轨迹运行时间比传统遗传算法优化后的机械臂轨迹运行时间少了20.1％，改进遗传算法优化后的机械臂能耗总和比传统遗传算法的优化后的机械臂能耗总和少了18.9％，说明改进遗传算法可以有效地减少机械臂轨迹的运行时间和能耗。

表3

	平均运行时间(s)	平均关节能耗总和(rad/s2)
			传统遗传算法	6.42	3.64
改进遗传算法	5.13	2.95

此外，图3、图5分别为传统遗传算法和改进遗传算法优化得到的机械臂各个关节位置曲线图，可以看出所得到的位置曲线均较为平滑，但对比图4和图6及观察图7可知，相比于传统遗传算法优化得到的机械臂各关节速度曲线，改进遗传算法的速度曲线更为平滑，速度变化波动更小，更有利于机械臂平稳运行。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本发明的涵盖范围。

Claims (1)

1.一种基于改进遗传算法的六自由度机械臂轨迹优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1:获得六自由度机械臂末端执行器起始点和目标点位姿；

步骤S2:在起始点与目标点之间，通过路径规划得到机械臂各个关节的路径点；

步骤S3:采用三次样条插值算法在机械臂每个关节的相邻两个路径点间构建运动轨迹，获取轨迹曲线多项式；

步骤S4:基于轨迹曲线多项式，以时间最少、能耗最小作为优化目标，在满足预设约束条件下，构建关节的子目标函数；

步骤S5:基于改进遗传算法对机械臂关节轨迹进行优化；

步骤S6:对得到的每一段曲线轨迹，在所有关节的最优个体中选择最长时间作为该段轨迹的最佳时间；

步骤S7:基于轨迹的最佳时间，利用三次样条插值算法确定出每个关节路径点所对应的速度和加速度，最终得到六自由度机械臂的整条运行轨迹的所有信息；

所述步骤S2中，设各关节从起始点运动到各路径点的时刻为t_n，n＝0,1,2,...,N，则第l个关节的所有路径点描述为

其中，表示机械臂关节l在t_n时刻的实际位置；

所述步骤S3中，机械臂第l个关节两相邻路径点和/>(j＝0,1,…,N-1)之间的轨迹曲线为:

^lh_j(t)＝^la_j+^lb_j(t-t_j)+^lc_j(t-t_j)²+^ld_j(t-t_j)³

其中，^lh_j(t)为机械臂第l个关节第j段的三次样条曲线，^la_j、^lb_j、^lc_j、^ld_j为三次样条曲线系数，分别为^lh_j(t)的一阶、二阶导数，即为机械臂第l个关节在t时刻的速度、加速度；

所述步骤S4中，预设约束为：

其中，分别为^lh_j(t)的一阶、二阶导数，即为机械臂第l个关节在t时刻的速度、加速度；^lv_max为机械臂第l个关节的最大速度值，^la_max为机械臂第l个关节的最大加速度值，^lx_j＝t_j+1-t_j为机械臂第l个关节第j段轨迹的运行时间，/>分别为机械臂第l个关节第j段轨迹运行时间的最大值和最小值；

构建第l个关节的子目标函数：

其中，^lf₁表示机械臂运行总时间，^lf₂表示关节l的平均加速度；

采用权重法和罚函数构建改进遗传算法的适应度函数：

其中，ε₁、ε₂分别为用于调节机械臂运行总时间和能耗的比例因子；Φ为惩罚因子；

所述步骤S5具体为：

S5.1：初始化遗传算法各基本参数，包括初始化种群规模的大小pops，种群个体的维度N，算法的最大迭代代数G_max；

S5.2：初始化种群pop，将种群中第i个个体的第j维数值，即机械臂第l个关节第j段轨迹的运行时间，初始化为：

其中，rand(0,1)表示[0,1]之间的随机数；然后，计算每个个体的适应度值；

S5.3：对种群pop，利用轮盘赌策略选择pops个个体组成新种群pop1，并对种群pop1使用反向学习机制继续产生新种群pop2；

S5.4：对种群pop2进行交叉操作，待种群pop2交叉结束后得到新种群pop3；

S5.5：对种群pop3进行变异操作，当种群pop3变异结束后得到新种群pop4；

S5.6：计算种群pop4中每一个个体的适应度值，找出种群pop4中个体适应度最大的个体然后对种群pop4进行全局寻优操作，产生新个体且

其中，r₁、r₂为(0,1)之间的随机数，G_now为当前迭代代数，G_max为迭代代数最大值；计算出新个体的适应度值，把新个体/>的适应度值和原先个体/>的适应度值做比较，若原先个体/>的适应度值优于新个体/>的适应度值，则保留原先个体；若新个体/>的适应度值优于原先个体/>则保留新个体/>待遍历完种群pop4的每一个个体后得到新种群pop5，然后采用最佳个体保存策略将种群pop5中最差的个体用最优个体代替；

S5.7：判断算法是否达到最大迭代次数G_max；若达到，则算法结束，输出最优个体，否则将跳转至步骤S5.3，将种群pop5作为种群pop开始新的算法迭代；

S5.8：重复S5.1到S5.7，直到求解出所有关节的最优时间个体后转至步骤S6；

所述步骤S5.3具体为：对种群pop1中的每个个体由反向学习机制产生其反向个体/>且/>其中i＝1,2,...pops,j＝0,1,2,...N-1；然后，再计算出原个体/>和反向个体/>的适应度值；把反向个体/>的适应度值和原先个体/>的适应度值做比较，若原个体的适应度值优于反向个体的适应度值，则保留原个体；若反向个体的适应度值优于原个体，则保留反向个体；遍历完种群pop1的每一个个体后得到新种群pop2；

所述步骤S5.4具体为：若交叉概率P_crand小于自适应交叉概率P_c，则个体进行拉普拉斯交叉；反之，则直接遗传到下一代种群,其中P_crand为(0,1)之间的随机数，自适应交叉概率P_c表示为：

其中，P_cmax为交叉概率的最大值，P_cmin为交叉概率的最小值，f_c为两个交叉个体中较大的适应度值，f_cmax为种群pop2中个体的最大适应度值，^cf_avg为种群pop2中个体的平均适应度值；

设种群pop2中个体通过拉普拉斯交叉得到的新个体分别为

其中，a∈R为位置参数，b＞0为尺度参数，u由服从[0,1]均匀分布的随机数rand(0,1)得；

所述步骤S5.5具体为：若变异概率P_mrand小于自适应变异概率P_m，则个体进行变异；反之，则直接遗传到下一代种群，P_mrand为(0,1)之间的随机数，自适应变异概率P_m表示为：

其中，P_mmax为变异概率的最大值，P_mmin为变异概率的最小值，f_m为当前变异个体的适应度值，f_mmax为种群pop3中个体的最大适应度值，^mf_avg为种群pop3中个体的平均适应度值；

对当前迭代代数G_now进行判断，若G_now为奇数时，则该代选择非均匀变异，产生的变异个体为且

其中，k是非均匀变异的一个常数，取值为(0,1]，r为(0,1)之间的随机数，rand()为随机整数，％表示求余操作；

若G_now为偶数时，则该代选择高斯变异，产生的变异个体为g为高斯变异的幅度大小，Gaussian(0,1)为满足高斯正态分布的随机数。