CN115046620B - 基于fbg应变传感器阵列的结构振动感知方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，包括如下步骤：A)在待检测结构上设置多个检测点并布置传感器收集应变测量信号；B)设定多种预设观测状态，并据此建立跟踪微分器，以对应变测量信号降噪；C)根据应变测量信号，基于待检测结构的拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系得出关于检测点的位移的二阶空间导数；D)将应变测量信号转换为多个拉格朗日多项式与有限函数的乘积的线性组合，以建立伯克霍夫多项式；E)根据二阶空间导数，基于待检测结构的边界条件和伯克霍夫多项式得出检测点的位移，并结合待检测结构的平动加速度和角速度得出检测点的加速度和角速度。本发明时效性强，且能同时得出多个振动参数。
Description
技术领域
本发明涉及信号处理，具体地涉及一种基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法。
背景技术
结构振动可能会破坏***的安全性，特别是对于一些飞行器，如柔性和细长的运载火箭，结构振动通过作用于惯性传感器来干扰控制***。因此，为了安全起见，有必要监测结构振动。
一些特定的设备可以用来来测量结构形状和变形，例如位移传感器和加速器，而对于飞行器来说，很难通过位移传感器直接在线测量振动运动。此外，安装在飞行器上的加速器和陀螺仪主要用作飞行控制***的一部分，其中结构振动产生的信号会破坏控制性能。在这些情况下应变计或光纤传感器有助于测量结构的面内应变，获得的应变信息可用于估计结构振动参数，包括位移、旋转角度、角速率，以及加速度,与传统应变计相比，光纤布拉格光栅传感器具有体积小、重量轻、抗电磁干扰等优点，尤其是单根光纤可以大量安装。由于这些优点,光纤布拉格光栅传感器被广泛应用于结构健康监测、形状传感、振动抑制控制等工程领域。
现有技术中，在利用光纤布拉格光栅传感器对结构进行检测时，通常是通过计算由有限数量的时间样本(即是历史信息)中测量的应变产生的互相关矩阵的特征向量来估计应变模态振型和相应的广义坐标，即是通过测量应变来估计加速度，但在记录样本的互相关矩阵时，需要将它们的累积矩阵用于特征值分解。加性效应使矩阵的条件数急剧增长并极有可能是病态的，因此数值不稳定，同时，历史信息的使用导致重构应变模态振型的滞后，因此这是一种伪“实时”估计。
有鉴于此，需要提供一种基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其所需的计算时间短，时效性强，且能同时得出多个振动参数。
为了解决上述技术问题，本发明提供了一种基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，包括如下步骤：
A)在待检测结构上设置多个检测点并在所述检测点处布置传感器，以在所述待检测结构振动的过程中收集所述传感器测得的应变测量信号；
B)设定所述待检测结构在振动过程中的多种预设观测状态，并根据所述预设观测状态赋予对应的设计参数，以建立跟踪微分器，从而能够经由该跟踪微分器对所述应变测量信号进行降噪处理；
C)根据降噪后的所述应变测量信号，基于由所述待检测结构弯曲引起的拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系得出关于所述检测点的位移的二阶空间导数；
D)基于拉格朗日多项式将所述应变测量信号转换为多个拉格朗日多项式与相应的有限函数的乘积的线性组合，以基于该线性组合中所述拉格朗日多项式的个数以及所述有限函数的连续可导次数建立初始伯克霍夫多项式，并对该初始伯克霍夫多项式进行误差缩小处理，得到能够代替所述应变测量信号的伯克霍夫多项式；
E)根据所述二阶空间导数，基于所述待检测结构的自由端和固定端的边界条件以及所述伯克霍夫多项式，得出所述检测点的预估位移，并进一步结合所述初始伯克霍夫多项式以及所述边界条件和所述二阶空间导数得出所述检测点的位移，进而能够根据所述位移得到所述检测点的旋转角度，并结合所述待检测结构的平动加速度和角速度得出所述检测点的加速度和角速度。
具体地，步骤A)中的所述传感器包括多个光纤布拉格光栅传感器，所述待检测结构上设有光纤，多个所述光纤布拉格光栅传感器串联于该光纤上。
进一步地，步骤B)中的所述跟踪微分器包括：
其中，ki(i＝0,1,2,3)为所述设计参数，为所述预设观测状态，εm为需要观测的含有误差的所述应变测量信号。
进一步地，步骤C)中所述拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系为：
其中，h表示所述待检测结构横截面的高度，x表示所述检测点到所述待检测结构的固定端之间的距离，t表示振动时间，将所述应变测量信号带入所述拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系，则得到应变测量信号的关于位移的二阶空间导数为：
其中，εN为所述应变测量信号。
进一步地，步骤D)中的所述线性组合为：
其中，yi＝y(xi),i＝0,1,…,n，为所述有限函数；li为n次的所述拉格朗日多项式。
进一步地，步骤D)中的所述初始伯克霍夫多项式为：
其中，
进一步地，所述误差缩小处理的步骤包括：
令m＝2，x0＝a，得出所述初始伯克霍夫多项式的二阶多项式：
再令所述应变测量信号y(x)中的每个节点满足a≤x0＜x1＜…＜xn≤b，使得所述应变测量信号的二阶多项式存在，则存在ξ∈[a,b]使得：
当给定|y(2+n)(x)≤M2+n|时，则误差方程Rn(x)的约束范围为：
最后通过增加n的值来减小误差，以得到所述伯克霍夫多项式。
进一步地，所述应变测量信号y(x)以及所述初始伯克霍夫多项式的二阶多项式在节点时存在：
其中，c0＝[1,1,…,1]T∈Rn+1，c1＝[0,x1-x0,x2-x0,…,xn-x0]T∈Rn+1，且/> 并利用y＝p替代y≈p，令则：/>其中B为伯克霍夫积分矩阵，为B＝[c0,c1,Bin]∈R(n+1)×(n+2)。
进一步地，步骤E)中，所述所述检测点的位移的获取步骤包括：
令所述经由边界条件可求得：y0＝y(x0)＝0,y′0＝y′(x0)＝0,y′N+1＝y′(xN+1)＝0，故所述/> 并结合所述伯克霍夫多项式：/>得到初始位移：/>并结合所述应变测量信号y(x)以及所述初始伯克霍夫多项式的二阶多项式在节点/>时的关系，得出：/>
进一步地，所述旋转角度为：
其中，D为微分矩阵，则所述加速度为：
所述角速度为：
通过上述技术方案，本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其通过设置预设观测状态，并对各种预设观测状态赋予对应的设计参数，以建立能够对应变测量信号进行降噪的跟踪微分器，从而能够减小干扰数据对计算结果的影响，且该跟踪微分器由于是提前预设的预设观测状态和设计参数，因此，在进行数据的运算处理时能够实时地提供相应的设计参数以对应变测量信号进行降噪，从而能使得所需的计算时间短，时效性强；随后，将降噪后的应变测量信号，基于由待检测结构弯曲引起的拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系得出关于检测点的位移的二阶空间导数，并将应变测量信号利用有限函数和拉格朗日多项的线性组合进行转换，从而根据该线性组合中拉格朗日多项式的个数以及有限函数的连续可导次数建立初始伯克霍夫多项式，并对初始伯克霍夫多项式进行误差缩小处理，以得到能够代替应变测量信号的伯克霍夫多项式，即是实现了用伯克霍夫多项式来描述待检测结构上的各个检测点的位移，以使得最终能够根据该位移并结合待检测结构的平动加速度和角速度得出各个检测点的加速度和角速度，因此，本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法能够同时得出多个振动参数，使得检测效率更高，且利用伯克霍夫多项式获取待检测结构的振动参数，由于伯克霍夫多项式中关于待检测结构的参数只涉及待检测结构的尺寸以及在待检测结构上布设的传感器的位置，因此实用性更好。
本发明的其它特征和优点将在随后的具体实施方式部分予以详细说明。
附图说明
图1是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的原理图；
图2是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中的实验装置示意图；
图3是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的流程；
图4是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中在无噪声状态下，不同数量的传感器所测量的位移、旋转角度、角速度和加速度的值与真实值的对比图；
图5是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中在无噪声状态下，不同数量的传感器所测量的位移、旋转角度、角速度和加速度与真实值之间的误差值图；
图6是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由5个传感器所测得的位移量与真实值之间的差值图；
图7是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由10个传感器所测得的位移量与真实值之间的差值图；
图8是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由15个传感器所测得的位移量与真实值之间的差值图；
图9是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由5个传感器所测得的旋转角度与真实值之间的差值图；
图10是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由10个传感器所测得的旋转角度与真实值之间的差值图；
图11是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由15个传感器所测得的旋转角度与真实值之间的差值图；
图12是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由5个传感器所测得的角速度与真实值之间的差值图；
图13是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由10个传感器所测得的角速度与真实值之间的差值图；
图14是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由15个传感器所测得的角速度与真实值之间的差值图；
图15是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由5个传感器所测得的加速度与真实值之间的差值图；
图16是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由10个传感器所测得的加速度与真实值之间的差值图；
图17是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中，在有噪声状态下由15个传感器所测得的加速度与真实值之间的差值图；
图18是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中位移、旋转角度、角速度和加速度的相对误差指数E沿待检测结构长度方向上的分布图；
图19是本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法中测量结果与激光测距仪和无线惯性测量单元IMU所测得的真实值之间的差值图，其中，图19-(a)是5#传感器位置处的位移量的测量值和真实值之间的差值图；图19-(b)是6#传感器位置处的旋转角度的测量值和真实值之间的差值图；图19-(c)是6#传感器位置处的角速度的测量值和真实值之间的差值图；图19-(d)是7#传感器位置处的加速度的测量值和真实值之间的差值图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式进行详细说明。应当理解的是，此处所描述的具体实施方式仅用于说明和解释本发明，并不用于限制本发明。
如图1所示，在本发明所提供的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的一种实施例中，该方法包括如下步骤：A)在待检测结构上设置多个检测点并在各测点处布置传感器，以在待检测结构振动的过程中收集传感器测得的应变测量信号；B)设定待检测结构在振动过程中的多种预设观测状态，并对设观测状态赋予对应的设计参数，以建立跟踪微分器，从而能够经由该跟踪微分器对应变测量信号进行降噪处理；C)根据降噪后的应变测量信号，基于由待检测结构弯曲引起的拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系得出关于检测点的位移的二阶空间导数；D)基于拉格朗日多项式将应变测量信号转换为多个拉格朗日多项式与相应的有限函数的乘积的线性组合，以基于该线性组合中拉格朗日多项式的个数以及有限函数的连续可导次数建立初始伯克霍夫多项式，并对该初始伯克霍夫多项式进行误差缩小处理，得到能够代替应变测量信号的伯克霍夫多项式；E)根据二阶空间导数，基于待检测结构的自由端和固定端的边界条件以及伯克霍夫多项式，得出检测点的预估位移，并进一步结合初始伯克霍夫多项式以及边界条件和二阶空间导数得出检测点的位移，进而能够根据位移得到检测点的旋转角度，并结合待检测结构的平动加速度和角速度得出检测点的加速度和角速度。
首先，上述技术方案是通过设置待检测结构在振动过程中可能发生的预设观测状态，并对各种预设观测状态赋予对应的设计参数，以建立能够对应变测量信号进行降噪的跟踪微分器，从而能够减小干扰数据对计算结果的影响，且该跟踪微分器由于是提前预设的预设观测状态和设计参数，因此，在进行数据的运算处理时能够实时地提供相应的设计参数以对应变测量信号进行降噪，从而能使得所需的计算时间短，时效性强；随后，将降噪后的应变测量信号，基于由待检测结构弯曲引起的拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系得出关于检测点的位移的二阶空间导数，并将应变测量信号利用有限函数和拉格朗日多项的线性组合进行转换，从而根据该线性组合中拉格朗日多项式的个数以及有限函数的连续可导次数建立初始伯克霍夫多项式，并对初始伯克霍夫多项式进行误差缩小处理，以得到能够代替应变测量信号的伯克霍夫多项式，即是实现了用伯克霍夫多项式来描述待检测结构上的各个检测点的位移，以使得最终能够根据该位移并结合待检测结构的平动加速度和角速度得出各个检测点的加速度和角速度，因此，本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法能够同时得出多个振动参数，使得检测效率更高，且利用伯克霍夫多项式获取待检测结构的振动参数，由于伯克霍夫多项式中关于待检测结构的参数只涉及待检测结构的尺寸以及在待检测结构上布设的传感器的位置，因此实用性更好。
具体地，在本发明所提供的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的一种实施例中，步骤A)中的传感器包括多个光纤布拉格光栅传感器，待检测结构上设有光纤，多个光纤布拉格光栅传感器串联于该光纤上，如图2所示，以待检测结构为长0.97m，宽4mm，厚2mm的铝合金悬臂梁为例，该铝合金悬臂梁的一端由台钳固定作为固定端，另一端不采取固定措施作为自由端，光纤布设与固定端与自由端之间，且光纤布拉格光栅传感器可设置为10个，并以相同的间距(如9cm)串联嵌入在光纤中，从而能够以光纤布拉格光栅传感器中的光栅充当某些特定波长的带阻滤波器，当光纤中的光穿过光纤布拉格光栅传感器时，它会反射特定波长的光，即布拉格波长λB，由布拉格方程可知布拉格波长λB为：
λB＝2neΛ
其中，ne为光纤纤芯的有效折射率，Λ为光栅的周期，当光纤布拉格光栅传感器嵌入光纤的位置发生形变时，光栅的周期会发生变化，相应地，反射的布拉格波长λB将进行如下变化：
其中，ε为经度应变，表示形变；ρe为纤芯材料的光弹性系数，由下式给出：
其中，p11和p12表示应变光学张量的常数；v是光纤的泊松比，以使用的光纤为石英芯光纤为例，其中心波长为1500nm的光栅，光弹性系数ρe＝0.22，典型应变灵敏度约为1.2pm/μm，光弹性系数ρe表示波长偏移与单向形变之间存在一一对应的关系，其不受温度变化的影响，但温度变化通常会引起有效折射率ne和光栅周期Λ的变化。因此，上式可以优化修改为：
其中，ΔT为温度变化幅度；aΛ表示光纤的热膨胀系数，an表示光纤的热光系数，且式中的ρe，aΛ和an均为常数，并且对于所用到的各个光纤布拉格光栅传感器来说ρe，aΛ和an的值都是相等的，该条件用于修正经度应变ε，具体修正方式如下：
其中，εTO为由温度变化引起的应变测量。
进一步地，在本发明所提供的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的一种实施例中，步骤C)中拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系为：
其中，h表示待检测结构横截面的高度，x表示检测点到待检测结构的固定端之间的距离，t表示振动时间，将应变测量信号带入拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系，则得到应变测量信号的关于位移的二阶空间导数为：
其中，εN为应变测量信号。具体地，是先根据欧拉-伯努利梁理论，得出梁的运动方程如下：
其边界条件为：
其中，y(x,t)表示梁的横向位移，并且取决于梁上的位置x和时间t；EIz(x)为关于z轴(参见图2中所示的z轴)的弯曲刚度；此外，梁的平动加速度ay以及角速度ωz为：
由于上述的梁的运动方程在惯性和刚体特性不均匀的情况下不易得到解析解，因此常采用有限元法模拟梁的运动，得到如下二阶微分方程：
其中，惯性矩阵[M]和刚度矩阵[K]由单元矩阵组装而成：
其中，l为梁单元长度，相应的阻尼矩阵为：[C]＝a1[M]+a2[K]。
且在梁上包含n个梁的节点(即检测点)，在梁上可以视为含有2n个自由度的***，即每个梁的节点有2个自由度，分别为平移w和角度θ，即：
为了获得应变的变化，梁的应变与节点位移之间的关系为：
其中，单元转移矩阵可以表示为：
梁的应变与节点位移之间的关系可简略表示为：{ε}＝[T]{δ}，因此有{δ}＝[T]-T{ε}，则二阶微分方程可以改写为:
则梁的应变振动方程为：
其中，应变质量矩阵Mε＝[T]-T[M][T]-1，应变阻尼矩阵Cε＝[T]-T[C][T]-1，应变刚度矩阵Kε＝[T]-T[K][T]-1，分布力矢量Fε＝[T]-T{f}。
进一步地，在本发明所提供的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的一种实施例中，可令为有限区间I＝[a,b]内一组不同的节点，函数y(x)是连续的关于x的连续可微函数，即y∈Cm([a,b])，则可以根据拉格朗日多项式理论，将应变测量信号表示为一系列拉格朗日多项式的线性组合(即步骤D)中的线性组合)为：
其中，yi＝y(xi),i＝0,1,…,n，为有限函数；li为n次的拉格朗日多项式，具体地：
随后可根据线性组合，并通过预先描述的节点上的有限函数值重建函数。
进一步地，在本发明所提供的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的一种实施例中，步骤D)中的初始伯克霍夫多项式为：
其中，具体地，是需要找到K次的多项式使得：
针对给定的K+1组数据K≥N。对于每一个i，K次多项式的m＝0,1,…mj阶导数为连续序列，则该K次多项式为Hermite插值(埃尔米特插值)。如果该K次多项式中的某些导数的序列不完整，则出现伯克霍夫插值问题，而伯克霍夫插值多项式的存在性和唯一性无法保证，因此，可将伯克霍夫插值多项式Pm,n(x)的次数设定成最多为n+m-1，使得
因此，相应的伯克霍夫插值多项式(即初始伯克霍夫插值多项式)为：
但为了便于从测量的应变重建梁的运动，需要考虑初始伯克霍夫插值多项式的一个特殊情况，即令m＝2，x0＝a，则二阶伯克霍夫多项式为：
则有关于近似误差(误差方程)的如下推论：
令y∈Cn+1([a,b])，假设每个节点满足a≤x0＜x1＜…＜xn≤b，使得所述应变测量信号的二阶多项式存在，则存在ξ∈[a,b]使得：
当给定|y(2+n)(x)≤M2+n|时，则误差方程Rn(x)的约束范围为：
最后通过增加n的值来减小误差，以将始伯克霍夫插值多项式进行误差缩小处理，得到伯克霍夫多项式。根据式二阶伯克霍夫多项式和Rn(x)的约束范围，可以根据相应的误差有界的伯克霍夫多项式p(x)来近似线性组合y(x)，通过增加n的值来最小化误差，在节点处二阶伯克霍夫多项式有：
其中，c0＝[1,1,…,1]T∈Rn+1，c1＝[0,x1-x0,x2-x0,…,xn-x0]T∈Rn+1，且/> 并利用y＝p替代y≈p，令则：/>其中B为伯克霍夫积分矩阵，为B＝[c0,c1,Bin]∈R(n+1)×(n+2)，该伯克霍夫积分矩阵可通过来计算，具体可以基于于拉格朗日插值的关于微分矩阵的算法得出：
首先，求取线性组合关于x的微分，并且计算节点处的y(x)值，得出：
其中，微分矩阵D为：
D＝[di,j]＝[l′i(xi)]∈R(n+1)×(n+2),i,j＝0,1,…,n
其高阶微分矩阵形式为D(k)＝DD…D＝Dk
则关于y(x)的二阶微分为y(2)＝D2y，其中，假设存在矩阵/>有：
其中，e1＝[1,0,…,0]∈Rn+1，D1表示微分矩阵D中的第一行。可以得到：随后比较/>和/>可得：/>即通过计算/>的伪逆获取伯克霍夫积分矩阵：/>
由于矩阵为满秩，其行数大于列数，因此其伪逆存在。
具体地，在本发明所提供的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的一种实施例中，对于振动悬臂梁结构，使用N个光纤布拉格光栅传感器同步获得检测点处的N个应变测量信号εN＝[ε1,εN2,…,εN]T＝[ε(x1),ε(x2),…,ε(xN)]T，根据拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系，由测量应变εN得到的关于位移的二阶空间导数为：
其中包含测量噪声(即干扰信号)，则可令x0＝0，xn+1＝L。根据边界条件中的关于自由端和固定端的边界条件可知：y0＝y(x0)＝0,y′0＝y′(x0)＝0,y″N+1＝y″(xN+1)＝0，令 再使用/>中的伯克霍夫插值方法，可以得到位移的预计值为：
yN+2＝[y0,y1,…,yN,yN+1]T
其中，固定端位移y0为0。令n＝N+1，根据伯克霍夫积分矩阵的计算式：可知，该伯克霍夫积分矩阵B∈R(N+2)(N+3)，并将位移的预计值与在节点/>处的二阶伯克霍夫多项式联立可得：
其中，Bin＝B(:,3:N+3)∈R(N+2)×(N+1)，将由测量应变εN得到的关于位移的二阶空间导数和自由端和固定端的边界条件代入上述联立所得的公式可以得到：
该式能通过直接提供检测点处的位移的推算值，梁上任意位置的位移可以通过线性组合/>中的多项式计算。
且进一步地，可以根据位移得到旋转角度的推算值：
并根据梁的平动加速度ay以及角速度ωz的计算式，将角速度和角速度可以通过下面公式重构：
上述的计算过程是基于应变测量信号εN中不含有噪声(干扰信号)进行的，但是在任何测量***中都不可避免的存在测量噪声，光纤布拉格光栅传感器也不例外，因此同样需要减弱噪声的影响。
具体地，对于给定的任意含有噪声的应变测量信号，由于应变测量信号的关于位移的二阶空间导数： 以及旋转角度的推算值：/> 均会放大噪声，则上述的计算过程将无法较为地准确计算出相关的振动参数的。又因为角速度和角速度的重构公式需要应变测量信号εN，因此可以优选寻找一种能够同时处理噪声以及估计εN关于时间的一阶和二阶导数的方法。具体地，可基于自抗扰控制方法中微分器的思想，设计了一种跟踪微分器，其中微分器用于从带有噪声的应变测量信号中获取导数，跟踪微分器可包括：
其中，ki(i＝0,1,2,3)为设计参数，为预设观测状态，εm为需要观测的含有误差的应变测量信号，设计的跟踪微分器可以实时提供应变ε的估计值以及噪声测量值εm的一阶和二阶导数，从而能够提升计算速度，并能够减少计算量。
为便于验证跟踪微分器的收敛性，首先引入如下假设。
假设1：给定未知的时间相关信号ε(t)，该相关信号ε(t)是均匀有界的，存在一个小的正数使得其p阶微分一致绝对有界，即：
需要注意的是，假设1在实际工程中是合理的，因为任何物理信号其能量有限且有界，同时由于使用了采样技术，其p阶导数有界。
将应变测量信号分解为εm＝ε+n，ε为真实信号，n为噪声信号。使得：ε＝ε1，定义观测误差为:/> 和/>将应变测量信号的关于位移的二阶空间导数与上式(/>ε＝ε1)联立可得到如下的误差***：/>
其中，根据假设1，存在正数Nmax使得|Nn|≤Nmax成立。
求解上述的误差***可得：
e(t)＝exp(Λe)e(0)+∫0 texp(Λ(t-τ)Ξ(τ)dτ)
根据柯西施瓦茨不等式则有：
给定一个合适的ki(i＝1,2,3)值，使得矩阵Λ的特征值位于复平面的左半部分，则下面不等式成立：
因此，观测误差e(t)以指数方式收敛到半径为的超球区域。如果使得矩阵Λ的特征值定位在左半平面深处，则半径r→0，观测误差e(t)→0。
根据上述分析，采用观测状态和/>作为应变测量值以及其一阶和二阶导数的估计值。本发明基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法的重构过程如图3所示。需要注意的是，图3中的跟踪微分器是根据上述的跟踪微分器的算式向量化得到的，设计参数ki＝INki，IN∈RN×N为单位矩阵。
以上列举了应变测量信号在有噪声和无噪声的情况下，得出相关振动参数的计算步骤，下边将以一实际实验对本发明基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法进行详细说明。
如图2所示，以待检测结构为长0.97m，宽4mm，厚2mm的铝合金悬臂梁为例，该铝合金悬臂梁的一端由台钳固定作为固定端，另一端不采取固定措施作为自由端，光纤布设与固定端与自由端之间，且光纤布拉格光栅传感器可设置为10个，并以相同的间距(如9cm)串联嵌入在光纤中，在实验时，向让梁的自由端从其平衡位置偏转约5cm并保持静止一段时间(如5s)，然后将其释放，每个传感器的波长变化由光纤布拉格光栅传感器以1000Hz频率采集。在6#传感器(即从固定端起第6个光纤布拉格光栅传感器)的位置安装无线惯性测量单元(IMU)，以400Hz频率采集被测点的角速率和加速度以作为对比数据，此外，可在梁上5#传感器(即从固定端起第5个光纤布拉格光栅传感器)的位置设置激光测距仪，激光测距仪用于测量梁的位移，采样频率为1000Hz。铝合金梁模型的参数如表1所示：
表1
微分器参数设置为k0＝1/δ3，k1＝2/δ3，k2＝3/δ2，k3＝3/δ和δ＝0.015，参数保持不变。
在仿真过程中，采样频率设置为1000Hz，阻尼矩阵设置为[C]＝0.001[M]+0.001[K]，假设总仿真时间为10s，初始5秒钟为将正弦力f(t)＝ma(t)＝m﹒10sin(2πt)施加到安装横梁固定端的移动底座上，假设光纤布拉格光栅传感器均匀分布在梁表面，并在仿真中考虑布置5、10、15个传感器的配置，仿真实验考虑了两种情况：(1)应变测量信号没有任何噪音；(2)应变信号带有高斯白噪声n＝(0,10-8)。
在情况1中，由于假设了应变测量信号不含有噪声，因此不需要跟踪微分器。通过有限差分法获得应变的一阶和二阶导数，并应用于角速度和角速度的重构公式来推算加速度和角速率。运动参数包括传感器节点以及梁自由端的位移、旋转角、角度率和加速度，分别根据5、10、15个传感器应变测量信号中估计得到。不同传感器个数所测得的梁自由端的运动参数机体估计结果如图4所示，其中真实值表示理论图5给出了推算出的信号与真实值之间的误差，可以看出不同传感器个数所测得的梁自由端的位移和旋转角这两个参数方面与真实值之间的误差基本一致，而角速率和加速度这两个参数与真实值之间的误差则存在较大的区别，特别是0s和5s的时刻，由5个传感器所测得的运动参数存在明显超调，这是由于其导数是根据有限差分法获得的。
在情况2中，考虑了测量噪声，跟踪微分器用于估计应变的一阶和二阶导数以及减少测量噪声的影响。由不同传感器数量测得的梁自由端的运动参数与真实值之间的如图6至图17所示。根据图6至图8与图5中位移量与真实值之间的误差图、9至图11与图5中旋转角度与真实值之间的误差图、12至14与图5中角速度与真实值之间的误差图之间的对比可知，本文提出的微分器在不同传感器数量的情况下对于位移量、旋转角度和角速度的测量过程中的噪声均有较好的抑制作用，但根据图15至图17与图5中加速度与真实值之间的误差图对比可知，测量噪声仍然会影响到对加速度的估计误差，并且传感器越多，则估计误差越大。传感器数量的选择要综合考虑位移估计精度以及噪声对加速度估计影响。为了验证本发明的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法在整个梁上的估计性能，在梁的任意点xi上定义了如下相对误差指数E：
其中，v表示上述四个参数中的任意一个(包括位移、旋转角、角速率和加速度)；vtrue表示相应的理论值；k表示所有采样点。考虑梁上均匀分布的NE+1个点xi，相应的参数值v(xi,tk)由估计信号yN+2，θN+2，ωN+2和aN+2的样条插值得到，令NE＝20，在有噪声和无噪声情况下，由不同传感器配置得到的沿整个梁的相对误差指数如图18所示。
定义平均误差指数为：沿梁跨度的每个运动参数的平均误差指数如表2所示：
表2
由表2可以看出测量噪声对加速度估计的影响比对其他参数估计的影响更大。此外，对于位移和旋转角度的推算，5、10、15个传感器的配置所呈现的推算性能较为接近。由于使用的激光测距仪在1000Hz的频率下只能记录3秒的数据，本实验选择从28s开始的3秒段进行进一步的对比研究。图19显示了测量信号(真实值)和估计结果之间的对比，由图可知，激光测距仪提供的5#传感器位置上的测量位移与计算得出的位移几乎一致，此外，通过无线惯性测量单元IMU测得6#传感器位置上的旋转角度、角速度和加速度。测量和估计的旋转角度之间的差异很小，而角速率和加速度的误差相对较大。
以上结合附图详细描述了本发明的优选实施方式，但是，本发明并不限于此。在本发明的技术构思范围内，可以对本发明的技术方案进行多种简单变型，包括各个具体技术特征以任何合适的方式进行组合。为了避免不必要的重复，本发明对各种可能的组合方式不再另行说明。但这些简单变型和组合同样应当视为本发明所公开的内容，均属于本发明的保护范围。
Claims (10)
1.一种基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，包括如下步骤：
A)在待检测结构上设置多个检测点并在所述检测点处布置传感器，以在所述待检测结构振动的过程中收集所述传感器测得的应变测量信号；
B)设定所述待检测结构在振动过程中的多种预设观测状态，并根据所述预设观测状态赋予对应的设计参数，以建立跟踪微分器，从而能够经由该跟踪微分器对所述应变测量信号进行降噪处理；
C)根据降噪后的所述应变测量信号，基于由所述待检测结构弯曲引起的拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系得出关于所述检测点的位移的二阶空间导数；
D)基于拉格朗日多项式将所述应变测量信号转换为多个拉格朗日多项式与相应的有限函数的乘积的线性组合，以基于该线性组合中所述拉格朗日多项式的个数以及所述有限函数的连续可导次数建立初始伯克霍夫多项式，并对该初始伯克霍夫多项式进行误差缩小处理，得到能够代替所述应变测量信号的伯克霍夫多项式；
E)根据所述二阶空间导数，基于所述待检测结构的自由端和固定端的边界条件以及所述伯克霍夫多项式，得出所述检测点的预估位移，并进一步结合所述初始伯克霍夫多项式以及所述边界条件和所述二阶空间导数得出所述检测点的位移，进而能够根据所述位移得到所述检测点的旋转角度，并结合所述待检测结构的平动加速度和角速度得出所述检测点的加速度和角速度。
2.根据权利要求1所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，步骤A)中的所述传感器包括多个光纤布拉格光栅传感器，所述待检测结构上设有光纤，多个所述光纤布拉格光栅传感器串联于该光纤上。
3.根据权利要求2所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，步骤B)中的所述跟踪微分器包括：
其中，ki为所述设计参数，为所述预设观测状态，εm为需要观测的含有误差的所述应变测量信号，i＝0,1,2,3。
4.根据权利要求3所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，步骤C)中所述拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系为：
其中，h表示所述待检测结构横截面的高度，x表示所述检测点到所述待检测结构的固定端之间的距离，t表示振动时间，将所述应变测量信号带入所述拉伸应变与位移相对于空间位置的二阶导数关系，则得到应变测量信号的关于位移的二阶空间导数为：
其中，εN为所述应变测量信号。
5.根据权利要求4所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，步骤D)中的所述线性组合为：
其中，yi＝y(xi)，i＝0，1，...，n，yi为所述有限函数；li为n次的所述拉格朗日多项式。
6.根据权利要求5所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，步骤D)中的所述初始伯克霍夫多项式为：
其中，
7.根据权利要求6所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，所述误差缩小处理的步骤包括：
令m＝2，x0＝a，得出所述初始伯克霍夫多项式的二阶多项式：
再令所述应变测量信号y(x)中的每个节点满足a≤x0＜x1＜…＜xn≤b，使得所述应变测量信号的二阶多项式存在，则存在ξ∈[a，b]使得：
当给定|y(2+n)(x)≤M2+n|时，则误差方程Rn(x)的约束范围为：
最后通过增加n的值来减小误差，以得到所述伯克霍夫多项式。
8.根据权利要求7所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，所述应变测量信号y(x)以及所述初始伯克霍夫多项式的二阶多项式在节点时存在：
其中，c0＝[1，1，...，1]T∈Rn+1，c1＝[0，x1-x0，x2-x0，...，xn-x0]T∈Rn+1，且/> i＝0，1...，n，j＝0，1...，n，并利用y＝p替代y≈p，令则：/>其中B为伯克霍夫积分矩阵，为B＝[c0，c1，Bin]∈R(n+1)×(n+2)。
9.根据权利要求8中所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，步骤E)中，所述检测点的位移的获取步骤包括：
令所述经由边界条件可求得：y0＝y(x0)＝0，y′0＝y′(x0)＝0，y′N+1＝y′(xN+1)＝0，故所述/> 并结合所述伯克霍夫多项式：/>得到初始位移：/>并结合所述应变测量信号y(x)以及所述初始伯克霍夫多项式的二阶多项式在节点/>时的关系，得出：/>
10.根据权利要求9所述的基于FBG应变传感器阵列的结构振动感知方法，其特征在于，所述旋转角度为：
其中，D为微分矩阵，则所述加速度为：
所述角速度为：
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