CN115021941A - 一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法 - Google Patents

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CN115021941A CN202210829516.1A CN202210829516A CN115021941A CN 115021941 A CN115021941 A CN 115021941A CN 202210829516 A CN202210829516 A CN 202210829516A CN 115021941 A CN115021941 A CN 115021941A
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张春辉
李咸柯
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Abstract

本发明针对量子数字签名中的源端态制备误差的问题，提出了一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法，以提高***的整体安全性。由于实际设备器件和实验条件限制，光源端态制备时会不可避免地引入一定误差，传统的量子数字签名方法无法消除态制备误差带来的影响，进而导致签名率的显著降低和传输距离的缩短。本发明采用态制备误差容忍方案，避免了实际应用中由于态制备装置的不理想可能引入的安全性漏洞,可以更精确地估计相位误码，降低光源态制备误差带来的影响。相比于传统量子数字签名方法，提高了现实条件下量子数字签名***对态制备误差的鲁棒性，增强了量子数字签名***的实际性能。

Description

一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法
技术领域
本发明是一种新型光源态制备误差容忍的量子数字签名方法，具体涉及量子数字签名技术，属于量子通信领域。
背景技术
数字签名是现代密码学的一个重要分支，主要用于确认发送方的身份信息以及保证消息的正确性和完整性，在多种通信任务中广泛使用。传统的手写签名是直接签署在书面文件上，这种方式下签名的真实性无法得到保证。而数字签名是双方通过摘要算法来比对签名信息，和传统签名相比，准确性得到大幅提升。数字签名可以确保以下特性：数字邮件是由声明的发送方所创建（真实性）；邮件信息未被更改（完整性）；发送方不能否认已发送的邮件（不可否认性）。然而随着计算机能力的提升，经典数字签名使用寿命的期限将会进一步缩短，量子数字签名成为当今研究的热点。
量子数字签名（Quantum Digital Signature，QDS）技术，其安全性不再来源于数学问题的求解，而是和量子物理的原理有关，是借助量子力学基本原理来实现QDS的无条件安全性。
目前的量子数字签名协议中存在的问题是，对于光源部分存在态制备完美的假设，而态制备缺陷是普遍存在的实验问题。具体来讲，QDS***中的光源并不是真正的单光子光源，并且用于编码的光学器件存在精确度上的局限性从而引入一些误差。针对这一量子数字签名的现实安全性缺陷，即光源端态制备误差，本发明提出了态制备误差容忍方案，进一步提高QDS的实用性能。
发明内容
本发明目的在于解决目前QDS***中的光源态制备误差问题，提出一种对态制备误差具有较好的容忍性的新方法，可以减少因态制备误差引入的光源端缺陷，从而增强QDS的安全性，提高实用性能。
本发明解决其技术问题所采取的技术方案是：将态制备误差容忍分析方法与传统量子数字签名方法结合，能够更加精确的进行相位误码估计，大大降低因器件限制而导致的光源态制备误差带来的影响。具体流程如下：
本发明的一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法，包括如下步骤：
步骤1，采用三态BB84协议，使用参数
Figure 448026DEST_PATH_IMAGE001
来刻画发射端Alice在随机制备量子态时由于设备存在缺陷所产生的误差大小，Alice制备的三个存在误差的量子态表示为如下形式：
Figure 7314DEST_PATH_IMAGE002
（15）
其中
Figure 565334DEST_PATH_IMAGE003
和
Figure 953590DEST_PATH_IMAGE004
即为制备量子态
Figure 726505DEST_PATH_IMAGE005
和
Figure 440384DEST_PATH_IMAGE006
时所产生的误差大小，在后面仿真计算时，为了方便起见，统一记为
Figure 502012DEST_PATH_IMAGE001
，且
Figure 225117DEST_PATH_IMAGE007
；
步骤2，定义虚拟协议，在虚拟协议当中，Alice在Z基下制备初始量子态
Figure 177505DEST_PATH_IMAGE008
，其中Ae代表Alice的扩展***，B代表要发送给Bob的***；A是虚拟的量子比特***；Alice发射量子态
Figure 281858DEST_PATH_IMAGE009
给Bob，Alice选择X基去测量***A，Bob同样选择X基去测量***B，分别测得比特值
Figure 876788DEST_PATH_IMAGE010
和
Figure 75688DEST_PATH_IMAGE011
的联合概率
Figure 823195DEST_PATH_IMAGE012
，即虚拟计数率
Figure 144455DEST_PATH_IMAGE012
；
步骤3，定义
Figure 915096DEST_PATH_IMAGE013
为真实协议中Z基上的相位误码率，并定义虚拟协议安全性等价于真实协议，且虚拟协议X基上的比特误码率
Figure 183266DEST_PATH_IMAGE014
等价于真实协议中Z基上的相位误码率
Figure 34548DEST_PATH_IMAGE015
,即
Figure 8932DEST_PATH_IMAGE016
；
在虚拟协议中，X基上的比特误码率
Figure 516137DEST_PATH_IMAGE014
的计算表达式如下：
Figure 135468DEST_PATH_IMAGE017
（7）
步骤4，根据最小熵和***本身造成的误码上界
Figure 44519DEST_PATH_IMAGE018
求解签名所需要的脉冲数N，再根据公式：
Figure 707581DEST_PATH_IMAGE019
即可得到本方案的签名率大小，其中，N表示签名半比特信息所需要的最小脉冲数。
进一步的，步骤2中分别测得比特值j和s的联合概率
Figure 187235DEST_PATH_IMAGE020
的具体过程如下：
在虚拟协议当中，Alice在Z基下制备的初始量子态
Figure 859525DEST_PATH_IMAGE008
，表示为以下两种量子态之一：
Figure 623082DEST_PATH_IMAGE021
（2）
Figure 207778DEST_PATH_IMAGE022
（3）
其中Ae代表Alice的扩展***，B代表要发送给Bob的***；A是虚拟的量子比特***，
Figure 689575DEST_PATH_IMAGE023
表示模2加；
然后Alice选择X基去测量***A，Bob同样选择X基去测量***B；此时Alice发射的量子态
Figure 647779DEST_PATH_IMAGE024
表示为：
Figure 265842DEST_PATH_IMAGE025
（4）
其中
Figure 270707DEST_PATH_IMAGE026
,
Figure 990533DEST_PATH_IMAGE027
表示对***
Figure 942308DEST_PATH_IMAGE028
求偏迹的过程；
把
Figure 477195DEST_PATH_IMAGE029
称为虚拟量子态，对应的归一化态为：
Figure 606956DEST_PATH_IMAGE030
（5）
在Alice制备了量子态
Figure 63345DEST_PATH_IMAGE031
的前提下，将虚拟量子态
Figure 615549DEST_PATH_IMAGE032
发送给Bob，Alice和Bob都选择X基测量，分别测得比特值j和s的联合概率
Figure 224516DEST_PATH_IMAGE020
，即虚拟计数率表示为：
Figure 774446DEST_PATH_IMAGE033
（6）
其中，1/2是Bob端选X基的概率，
Figure 249290DEST_PATH_IMAGE034
是发送虚拟量子态
Figure 110846DEST_PATH_IMAGE024
的概率，
Figure 558008DEST_PATH_IMAGE035
是虚拟量子态
Figure 544418DEST_PATH_IMAGE032
的归一化形式，
Figure 522870DEST_PATH_IMAGE036
表示考虑了窃听方Eve操作的测量算符。
进一步的，因为归一化虚拟态
Figure 354559DEST_PATH_IMAGE035
可以写成一组单位矩阵和泡利矩阵的线性组合：
Figure 921807DEST_PATH_IMAGE037
（8）
其中，
Figure 626589DEST_PATH_IMAGE038
为泡利矩阵
Figure 13708DEST_PATH_IMAGE039
对应的系数，同时泡利矩阵
Figure 462138DEST_PATH_IMAGE039
对应的传输率定义为：
Figure 149471DEST_PATH_IMAGE040
（9）
虚拟态的计数率
Figure 8843DEST_PATH_IMAGE041
表示为：
Figure 427798DEST_PATH_IMAGE042
（10）
再通过求解泡利矩阵的传输率
Figure 866870DEST_PATH_IMAGE043
，求解虚拟态的计数率
Figure 143130DEST_PATH_IMAGE041
。
进一步的，通过求解泡利矩阵的传输率
Figure 189715DEST_PATH_IMAGE043
，求解虚拟态的计数率
Figure 817005DEST_PATH_IMAGE041
，具体过程如下：
Alice选择步骤1中制备的一个量子态发送给Bob，Bob选基测量，通过真实协议中的实验计数率求解信道参数，所述解信道参数是指泡利算符的传输率
Figure 794189DEST_PATH_IMAGE043
Alice发送给Bob的量子态的密度矩阵
Figure 206847DEST_PATH_IMAGE044
表示为：
Figure 876862DEST_PATH_IMAGE045
（1）
其中，
Figure 522607DEST_PATH_IMAGE046
表示泡利矩阵，
Figure 54214DEST_PATH_IMAGE047
是泡利矩阵对应的系数，量子态
Figure 570646DEST_PATH_IMAGE048
代表步骤1中三个包含误差的真实量子态的密度矩阵；
真实协议中的计数率
Figure 208301DEST_PATH_IMAGE049
由下式给出：
Figure 26828DEST_PATH_IMAGE050
（11）
其中，
Figure 408130DEST_PATH_IMAGE051
是Alice发送真实量子态
Figure 779069DEST_PATH_IMAGE052
的概率，1/2表示Bob的选基概率，
Figure 276040DEST_PATH_IMAGE053
表示泡利分解之后对应泡利矩阵
Figure 161957DEST_PATH_IMAGE046
的传输率，
Figure 284634DEST_PATH_IMAGE054
表示考虑了窃听方Eve窃听行为的测量算符；从而求解出泡利矩阵的传输率
Figure 260811DEST_PATH_IMAGE055
。
进一步的，步骤4中，根据最小熵和***本身造成的误码上界
Figure 443531DEST_PATH_IMAGE056
求解签名所需要的脉冲数N，具体过程如下：
指所述最小熵是指Eve的平滑最小熵，表示为：
Figure 551164DEST_PATH_IMAGE057
其中
Figure 759423DEST_PATH_IMAGE058
表示单光子脉冲的响应个数，
Figure 104953DEST_PATH_IMAGE059
表示单光子脉冲Z基测量的相位误码率，
Figure 192995DEST_PATH_IMAGE060
为香农熵函数，上标
Figure 535727DEST_PATH_IMAGE061
和
Figure 206DEST_PATH_IMAGE062
表示通过Hoeffding不等式考虑统计起伏得到的上下界估计；
所述***本身造成的误码上界
Figure 747714DEST_PATH_IMAGE056
是Alice-Bob的密钥生成过程以及Alice-Charlie的密钥生成过程的两者误码率的上界，由密钥生成的双方公布部分密钥比对比特串的不匹配率所得。
有益效果：
1、本发明有效的解决了量子数字签名中的源端态制备误差的缺陷，提高了态制备误差情况下的签名率和传输距离，对态制备误差表现出较好的鲁棒性。
2、本发明提出的方案在现实条件中的实现成本更低，进一步提高了量子数字签名的实用性。
附图说明
图1是QDS协议分发阶段原理示意图；
图2是QDS协议消息阶段原理示意图；
图3是存在态制备误差的时间戳相位编码的 BB84-QDS 实验装置图；
图4是BB84-QDS协议签名率随信道传输距离变化图,其中(a)为GLLP方案，(b)为态制备误差容忍方案；
图5是参数
Figure 6657DEST_PATH_IMAGE063
数值变化图,其中(a)为GLLP方案，(b)为态制备误差容忍方案。
具体实施方式
为了加深对本发明的理解，下面将结合实施例对本发明作进一步的详述，本实施例仅用于解释本发明，并不构成对本发明保护范围的限定。
本发明提供一种基于态制备误差容忍协议的量子数字签名方法，所述方法包括协议的基本流程，参数估计和签名率计算过程。
首先介绍量子数字签名的基本流程，数字签名允许将消息从一个发送方交换到多个接收方，并保证消息不能被伪造或篡改。QDS分为分发阶段和消息阶段，以三方场景为例，选择Alice为发送方，Bob和Charlie作为接收方来分析协议基本流程。
1、分发阶段包括经典通信过程和量子通信过程，如图1所示，用来生成签名所需要的密钥：
（1）对于每个要发送的消息比特
Figure 823303DEST_PATH_IMAGE064
或
Figure 107785DEST_PATH_IMAGE065
，Alice通过密钥生成协议（Key-Generating- Protocol，KGP）生成四个不同的长度为L密钥串：
Figure 959066DEST_PATH_IMAGE066
，其中上标表示KGP协议的参与方Bob或Charlie，下标表示消息比特。此时Bob手中拥有长度为L密钥串：
Figure 388911DEST_PATH_IMAGE067
，Charlie手中拥有长度为L密钥串：
Figure 709165DEST_PATH_IMAGE068
。此时Alice手中对于消息比特m签名可以记为
Figure 515447DEST_PATH_IMAGE069
。
（2）Bob把手中的密钥串分为四个部分：
Figure 424497DEST_PATH_IMAGE070
。其中
Figure 835362DEST_PATH_IMAGE071
长度为k，用于双方误码率估计；
Figure 361021DEST_PATH_IMAGE072
表示双方选择X基的事件，用于估计Eve的信息量。
Figure 987306DEST_PATH_IMAGE073
分别表示在下一步Bob和Charlie的密钥交换过程中Bob保留的密钥以及发送给Charlie的密钥。
（3）为了防止发生抵赖攻击，Bob和Charlie通过经典信道交换长度为L/2以及这些密钥相对应的位置。这样就保证如果签名能成功从Bob转发给Charlie，那么Bob和Charlie就不会对签名的有效性产生分歧。完成交换之后双方的密钥记为
Figure 547600DEST_PATH_IMAGE074
和
Figure 850406DEST_PATH_IMAGE075
。
２、消息阶段如图2所示，在这个阶段完成签名消息的发送和验证，具体步骤如下：
（1）Alice把消息比特和签名信息
Figure 817356DEST_PATH_IMAGE076
发送给接收方Bob，其中
Figure 231019DEST_PATH_IMAGE077
，分别表示Alice和Bob生成的密钥以及Alice和Charlie生成的密钥。
（2）Bob对比Alice发送的签名信息
Figure 911400DEST_PATH_IMAGE078
和自己手中的密钥串
Figure 666997DEST_PATH_IMAGE079
，并且记录不匹配的数量。如果不匹配率小于预先设置的门限值
Figure 636090DEST_PATH_IMAGE080
，Bob此时就会接收签名消息并且转发给Charlie。
（3）Charlie采用同样的方式来验证签名信息
Figure 587866DEST_PATH_IMAGE081
和
Figure 870555DEST_PATH_IMAGE082
，她采用和Bob不同的门限值
Figure 249584DEST_PATH_IMAGE083
，如果不匹配率小于门限值
Figure 705973DEST_PATH_IMAGE084
，Charlie就会接收转发的签名消息，表明此次签名是有效的。
此处实例使用考虑态制备误差的制备-测量方案进行分析。基于态制备误差容忍分析方法，BB84量子数字签名协议只需要制备三个量子态。以Alice和Bob为例，QDS协议中分发阶段的通信过程如图1所示。
在态制备误差容忍分析方法中使用了三态协议。在三态协议中Alice需要制备三个量子态，如图3所示，比如三个不完美量子态使用密度算符表示：
Figure 8909DEST_PATH_IMAGE085
。将量子态
Figure 867144DEST_PATH_IMAGE086
的Bloch矢量的系数记为
Figure 151495DEST_PATH_IMAGE087
，其中j表示比特值0或1，
Figure 642650DEST_PATH_IMAGE088
表示X基或Z基。通过适当的选择Y基，可以使三个Bloch矢量系数的Y分量等于一个确定的
Figure 201807DEST_PATH_IMAGE089
。
和BB84协议是一样的，Alice随机选择一个量子态发送给Bob，然后Bob选基测量。传输过程完成以后，双方公布基矢选择。双方都选择Z基的数据作为原始密钥，其他的事件，包括双方选择X基的数据以及双方选择不同基的数据用于估计相位误码，确定窃听方的信息量。
下面分析当存在态制备误差时，使用态制备误差容忍方法进行相位误码率的估计。假设Alice发送给Bob的量子态的密度矩阵
Figure 648969DEST_PATH_IMAGE090
表示为：
Figure 182850DEST_PATH_IMAGE091
（1）
Figure 348252DEST_PATH_IMAGE092
。
假设Alice和Bob选择Z基的数据用于生成密钥，Bob选择X基的数据用于参数估计。此时，使用
Figure 179942DEST_PATH_IMAGE093
来表示量子态
Figure 557309DEST_PATH_IMAGE094
的纯化态，Ae代表Alice的扩展***，B代表要发送给Bob的***。
对于
Figure 449041DEST_PATH_IMAGE094
，Alice在Z基下的态制备过程就可以表示为以下两种量子态之一：
Figure 101740DEST_PATH_IMAGE095
（2）
Figure 550170DEST_PATH_IMAGE096
（3）
其中，A是虚拟的量子比特***，
Figure 971924DEST_PATH_IMAGE023
表示模2加。
如果Alice选择Z基去测量***A，那么Alice就会在B***制备所需要的量子态，然后保留的是辅助***Ae。通过一个比特翻转就可以实现等式（2）和（3）的转换。
首先考虑
Figure 847607DEST_PATH_IMAGE097
的情况。为了计算相位误码率
Figure 987601DEST_PATH_IMAGE098
，考虑一个虚拟协议，在这个虚拟协议当中，Alice制备量子态
Figure 426673DEST_PATH_IMAGE008
，然后Alice选择X基去测量***A，Bob同样选择X基去测量***B。此时Alice发射的量子态
Figure 250404DEST_PATH_IMAGE099
可以表示为：
Figure 483939DEST_PATH_IMAGE100
（4）
其中
Figure 111229DEST_PATH_IMAGE026
,
Figure 898532DEST_PATH_IMAGE027
表示对***
Figure 826037DEST_PATH_IMAGE028
求偏迹的过程。
把
Figure 230473DEST_PATH_IMAGE029
称为虚拟量子态，对应的归一化态为：.
Figure 95792DEST_PATH_IMAGE030
（5）
在Alice制备了量子态
Figure 938983DEST_PATH_IMAGE008
的前提下，将虚拟态量子
Figure 924257DEST_PATH_IMAGE099
发送给Bob，Alice和Bob都选择X基测量，分别测得比特值
Figure 515906DEST_PATH_IMAGE101
和
Figure 914527DEST_PATH_IMAGE011
的联合概率
Figure 233513DEST_PATH_IMAGE020
可以表示为：
Figure 355184DEST_PATH_IMAGE102
（6）
其中，1/2是Bob端选X基的概率，
Figure 163740DEST_PATH_IMAGE103
是发送虚拟量子态
Figure 252918DEST_PATH_IMAGE024
的概率，
Figure 881256DEST_PATH_IMAGE035
是虚拟量子态
Figure 903439DEST_PATH_IMAGE032
的归一化形式，
Figure 86158DEST_PATH_IMAGE036
表示考虑了窃听方Eve操作的测量算符。
此时相位误码率
Figure 147786DEST_PATH_IMAGE104
可以定义为下面形式：
Figure 605313DEST_PATH_IMAGE105
(7)
因为归一化虚拟态
Figure 498313DEST_PATH_IMAGE035
又可以写成一组单位矩阵和泡利矩阵的线性组合：
Figure 851934DEST_PATH_IMAGE106
(8)
其中，
Figure 384547DEST_PATH_IMAGE038
为泡利矩阵
Figure 662076DEST_PATH_IMAGE039
对应的系数，同时泡利矩阵
Figure 596533DEST_PATH_IMAGE039
对应的传输率定义为：
Figure 121056DEST_PATH_IMAGE107
（9）
如果求得泡利矩阵的传输率，然后就可以求解虚拟态的计数率
Figure 482242DEST_PATH_IMAGE108
：
Figure 750413DEST_PATH_IMAGE109
（10）
为了计算传输率
Figure 804956DEST_PATH_IMAGE110
，考虑真实的量子态
Figure 47850DEST_PATH_IMAGE111
，即实验计数率
Figure 555055DEST_PATH_IMAGE112
为：
Figure 908807DEST_PATH_IMAGE113
(11)
其中，
Figure 83436DEST_PATH_IMAGE051
是Alice发送真实量子态
Figure 684182DEST_PATH_IMAGE114
的概率，1/2表示Bob的选基概率，,，考虑
Figure 491732DEST_PATH_IMAGE115
，有下面的线性关系：
Figure 836126DEST_PATH_IMAGE116
(12)
其中，
Figure 661999DEST_PATH_IMAGE117
是真实态的计数率， 1/6是Alice选择一个量子态发送并且Bob选择X基测量的联合概率；
Figure 447028DEST_PATH_IMAGE118
，T表示转置。
由矩阵求逆可求信道参数传输率
Figure 928825DEST_PATH_IMAGE119
：
Figure 139226DEST_PATH_IMAGE120
(13)
即通过实验计数率可以求解信道参数
Figure 508022DEST_PATH_IMAGE119
，之后就可以计算得到虚拟计数率
Figure 778466DEST_PATH_IMAGE121
，最后把虚拟计数率
Figure 747559DEST_PATH_IMAGE121
带入相位误码率公式（7）即可求得相位误码率。
对于
Figure 450067DEST_PATH_IMAGE122
的情况。考虑下面的过滤操作：
Figure 188216DEST_PATH_IMAGE123
(14)
其中，
Figure 629562DEST_PATH_IMAGE124
将Bloch球X-Z平面上的量子态进行转换，转换之前：
Figure 571104DEST_PATH_IMAGE125
，对应的Bloch矢量：
Figure 326571DEST_PATH_IMAGE126
；
转换之后：
Figure 715964DEST_PATH_IMAGE127
，对应的Bloch矢量：
Figure 13696DEST_PATH_IMAGE128
，
其中
Figure 754119DEST_PATH_IMAGE129
。
过滤操作的成功概率
Figure 313277DEST_PATH_IMAGE130
对于X-Z平面的所有量子态都是一样的，
Figure 511171DEST_PATH_IMAGE131
。
这表明归一化量子态
Figure 28740DEST_PATH_IMAGE132
可以转化成为
Figure 459721DEST_PATH_IMAGE133
，其中
Figure 42143DEST_PATH_IMAGE134
是X-Z平面上的密度算符。此时真实态的传输率可以表示为：
Figure 874970DEST_PATH_IMAGE135
，其中
Figure 563440DEST_PATH_IMAGE136
，表明Alice真实发送的量子态
Figure 763609DEST_PATH_IMAGE132
可以转化为X-Z平面上的量子态
Figure 664569DEST_PATH_IMAGE137
，从而将这种
Figure 820744DEST_PATH_IMAGE138
的情况转换成
Figure 693497DEST_PATH_IMAGE139
的情况。
通过上面的分析，可以看出相位误码率是和真实态的传输率相关的，而真实态的传输率是和信道参数有关，和信道损耗之间满足线性关系，所以此时随着距离的增加，信道损耗不会放大光源的缺陷。此时就可以实现在较小态制备误差的情况下，得到和完美态制备几乎一样的性能。
首先分析无穷诱骗态情况下相位随机化弱相干光源的参数估计。作为态制备误差的一种，考虑相位编码方案中的相位调制误差。Alice发送给Bob的信号态可以表示为：
Figure 567912DEST_PATH_IMAGE140
其中
Figure 820033DEST_PATH_IMAGE141
表示随机相位，
Figure 361873DEST_PATH_IMAGE142
用于编码信息，第三项
Figure 595408DEST_PATH_IMAGE143
用于模拟相位调制误差，
Figure 770169DEST_PATH_IMAGE144
是平均光子数为
Figure 747352DEST_PATH_IMAGE145
的相干态，下标
Figure 940436DEST_PATH_IMAGE146
表示参考光和信号光。
假设Bob端存在相同的误差模型，即选择相位
Figure 361184DEST_PATH_IMAGE147
时，实际相位为
Figure 210191DEST_PATH_IMAGE148
。又因为Bob不需要刻画他的调制误差，并且
Figure 787803DEST_PATH_IMAGE149
，所以Alice和Bob的调制误差是不可抵消的。
对于Alice发送的信号态
Figure 786459DEST_PATH_IMAGE150
，其单光子部分为：
Figure 424113DEST_PATH_IMAGE151
，
其中，0和1表示光子数，其中
Figure 25996DEST_PATH_IMAGE152
为两个纯态。
Alice制备的考虑了调制误差的量子态可以表示为：
Figure 95714DEST_PATH_IMAGE153
（15）
其中，
Figure 466653DEST_PATH_IMAGE154
。
和前面的介绍一样，考虑一个虚拟协议，Alice制备量子态
Figure 275209DEST_PATH_IMAGE155
，然后发送***B给Bob。
Alice发送虚拟态
Figure 583962DEST_PATH_IMAGE156
的概率为：
Figure 972218DEST_PATH_IMAGE157
此时虚拟态对应的Bloch矢量可以表示为：
Figure 994400DEST_PATH_IMAGE158
(16)
其中第一部分对应X基分量，第二部分对应Z基分量。
Alice发送量子态
Figure 662273DEST_PATH_IMAGE159
，Bob选择X基测量得到比特值s的概率记为
Figure 35486DEST_PATH_IMAGE160
：
Figure 961853DEST_PATH_IMAGE161
（17）
其中
Figure 524028DEST_PATH_IMAGE162
，
Figure 939966DEST_PATH_IMAGE163
表示Bob端探测器的暗计数率，L表示包括量子信道、Bob端单光子探测器以及Bob端干涉仪等器件的总损耗。这里的
Figure 472579DEST_PATH_IMAGE164
表示Bob端由于不完美的相位调制器而产生的相位调制误差。对于探测概率
Figure 750107DEST_PATH_IMAGE165
，第一项表示由一个光子造成的单击探测事件，第二项表示由暗计数导致的探测事件，最后一项表示探测器的双击事件，即两个探测器都响应的情况。
对于双击事件，Bob分配一个随机的比特值作为测量结果。因为Ailce发送三个量子态的概率是相等的，结合探测概率
Figure 418986DEST_PATH_IMAGE166
，可以得到真实态的计数率：
Figure 209087DEST_PATH_IMAGE167
。结合前面小节关于态制备误差容忍的理论分析，由真实态的传输率可以求得虚拟态的传输率
Figure 42045DEST_PATH_IMAGE168
，进而得到相位误码率。
如果探测器端探测效率是基无关的，此时单光子增益
Figure 310216DEST_PATH_IMAGE169
可以表示为：
Figure 646650DEST_PATH_IMAGE170
（18）
其中，1/3表示Alice和Bob同时选择Z基的概率，1/2表示Alice在选择Z基的条件下发送量子态
Figure 342074DEST_PATH_IMAGE171
的概率。然后可以获得Z基下总的增益
Figure 849279DEST_PATH_IMAGE172
和比特误码率
Figure 465680DEST_PATH_IMAGE173
：
Figure 640310DEST_PATH_IMAGE174
（19）
Figure 241055DEST_PATH_IMAGE175
（20）
Figure 48605DEST_PATH_IMAGE176
（21）
其中，
Figure 658578DEST_PATH_IMAGE177
表示Alice发送一个比特值j，Bob获得一个比特值s的条件概率，具体公式如下：
Figure 422135DEST_PATH_IMAGE178
（22）
在大多数的QDS***中，通常会使用弱相干光源结合诱骗态方法来解决由于多光子脉冲而产生的光子数分离攻击。下面分析真空+弱诱骗态的方案。在这种情况下，需要估计多光子态的条件概率
Figure 459361DEST_PATH_IMAGE179
。考虑两个探测器的方案，所以有效探测事件包括两种情况：一种是只有其中一个探测器响应，另一种是两个探测器同时响应，也就是所说的双击事件。比如Alice发送单光子态
Figure 754207DEST_PATH_IMAGE180
，然后Bob选择Z基测量，在理想情况下，Bob测得正确的结果即比特0的概率为
Figure 167871DEST_PATH_IMAGE181
，测得错误的结果的概率为
Figure 785934DEST_PATH_IMAGE182
。然而，当Alice发送弱相干态的时候，Bob测量得到正确结果的概率为
Figure 807111DEST_PATH_IMAGE183
，错误结果对应的概率为
Figure 510625DEST_PATH_IMAGE184
，其中
Figure 842878DEST_PATH_IMAGE185
表示总的传输损耗，
Figure 581027DEST_PATH_IMAGE186
是发射脉冲的光子数。两个探测器同时响应的概率由
Figure 960056DEST_PATH_IMAGE187
表示：
Figure 963915DEST_PATH_IMAGE188
……（23）
此时，当Alice发送n光子态
Figure 719381DEST_PATH_IMAGE189
，Bob随机选择
Figure 312037DEST_PATH_IMAGE190
基测量得到比特s的条件概率为：
Figure 127546DEST_PATH_IMAGE191
（24）
为了方便表示以及后面的仿真计算，做如下转换：
Figure 618701DEST_PATH_IMAGE192
（25）
根据诱骗态方案，信号态和诱骗态对应的总增益可以表示为：
Figure 912279DEST_PATH_IMAGE193
（26）
Figure 906911DEST_PATH_IMAGE194
（27）
其中，
Figure 893322DEST_PATH_IMAGE195
分别表示信号态和诱骗态的强度。因为总体的增益
Figure 324303DEST_PATH_IMAGE196
在实验中可以直接测得，可以得到单光子计数率的下界：
Figure 155993DEST_PATH_IMAGE197
（28）
其中
Figure 471043DEST_PATH_IMAGE198
主要是受到探测器的暗计数的影响导致的。通过计数率模型可以得到Z基下的单光子脉冲增益
Figure 159514DEST_PATH_IMAGE199
以及比特误码率
Figure 625261DEST_PATH_IMAGE200
：
Figure 260642DEST_PATH_IMAGE201
（29）
另外可以通过实验数据得到Z基下总体的增益
Figure 947975DEST_PATH_IMAGE202
以及比特误码率
Figure 10609DEST_PATH_IMAGE203
，具体形式如下：
Figure 698073DEST_PATH_IMAGE204
（30）
此时通过Z基下的总的增益
Figure 402724DEST_PATH_IMAGE205
可以计算成功响应的脉冲个数：
Figure 678985DEST_PATH_IMAGE206
，其中
Figure 725569DEST_PATH_IMAGE207
表示Alice发射的总的脉冲数，
Figure 87281DEST_PATH_IMAGE208
分别表示Alice和Bob选择Z基的概率，
Figure 343425DEST_PATH_IMAGE209
表示选择强度
Figure 5351DEST_PATH_IMAGE210
的概率。同理可以求得强度为
Figure 472104DEST_PATH_IMAGE211
时对应的事件个数
Figure 337423DEST_PATH_IMAGE212
和
Figure 852718DEST_PATH_IMAGE213
，故Z基下成功事件的总数为
Figure 369150DEST_PATH_IMAGE214
。结合前面章节的分析，此时可以求解客观因素造成的最大误码率，然后通过验证门限和认证门限计算对应的抵赖概率，最终确定对应的签名率。
下面给出使用态制备误差容忍方案的BB84量子数字签名协议的仿真结果。定义签名率为
Figure 757537DEST_PATH_IMAGE215
，其中
Figure 93840DEST_PATH_IMAGE216
表示签名半比特信息所需要的最小脉冲数。在QDS协议中，协议的安全性主要是和抵赖概率相关。首先给出仿真计算过程中使用到的一些参数：暗计数率
Figure 475143DEST_PATH_IMAGE217
，Bob端探测效率
Figure 331235DEST_PATH_IMAGE218
，光纤损耗系数
Figure 874212DEST_PATH_IMAGE219
，安全性参数
Figure 242352DEST_PATH_IMAGE220
，比例系数k=1/21。对于诱骗态方案，***参数的不同取值对签名率的影响是比较大的。考虑这个问题，在仿真过程中对以下参数进行了优化：信号态强度
Figure 365028DEST_PATH_IMAGE221
、诱骗态强度
Figure 387211DEST_PATH_IMAGE222
，选择不同强度的概率
Figure 55084DEST_PATH_IMAGE223
，Alice和Bob选择Z基的概率
Figure 631559DEST_PATH_IMAGE224
。
图4中的（a）是采用GLLP方案时，BB84-QDS协议签名率随信道传输距离变化图，图4中的(b)采用本发明的态制备误差容忍LT方案时，BB84-QDS协议签名率随信道传输距离变化图，可以看出，在态制备误差容忍LT方案中，态制备误差对签名率和传输距离的影响是明显小于GLLP方案的，比如对于0km处在态制备误差取值
Figure 354664DEST_PATH_IMAGE225
时，在GLLP方案中签名率下降了大概63.8%，而在LT方案中，签名率的下降大概为25.5%。由前面分析可知，LT方案中，信道损耗不会放大光源的缺陷，使得量子态制备允许存在一定程度的误差并且可以实现几乎和完美态制备一样的性能。图5中三条曲线是非常接近的，说明在态制备误差容忍方案下，态制备误差对签名率和传输距离的影响是比较小的。在实际实验中，态制备误差是不可避免的，所以BB84-QDS协议结合态制备误差容忍方案，不仅提高了BB84-QDS协议的安全性，而且也降低了实验难度。
图5是不同误差取值下，协议中保证安全性的误码参数图，图5中的（a）对应的是GLLP方案，图5中的（b）对应的是态制备误差容忍方案。其中正方形图线（
Figure 919769DEST_PATH_IMAGE226
）和圆形图线（
Figure 335707DEST_PATH_IMAGE227
）表示误差取值
Figure 133898DEST_PATH_IMAGE228
时，窃听方操作造成的最小误码率
Figure 83531DEST_PATH_IMAGE229
以及***本身造成的最大误码率
Figure 80306DEST_PATH_IMAGE230
，当
Figure 870407DEST_PATH_IMAGE231
时即保证了协议是安全的。上三角曲线（
Figure 169277DEST_PATH_IMAGE232
）和下三角曲线（
Figure 437447DEST_PATH_IMAGE233
）表示误差取值
Figure 491991DEST_PATH_IMAGE234
时对应的
Figure 734885DEST_PATH_IMAGE235
。观察两张图中曲线可以看出，相比于GLLP方案，态制备误差容忍方案中态制备误差对误码率的影响较小。
以上验证仅是本发明的一个实施实例，应当指出对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对参数向量做出若干合适的设计，这样的改变或润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1，采用三态BB84协议，Alice制备的三个存在误差的量子态表示为如下形式：
Figure 152261DEST_PATH_IMAGE001
（15）
其中
Figure 20860DEST_PATH_IMAGE002
和
Figure 8538DEST_PATH_IMAGE003
即为制备量子态
Figure 708420DEST_PATH_IMAGE004
和
Figure 312708DEST_PATH_IMAGE005
时所产生的误差大小；
步骤2，定义虚拟协议，在虚拟协议当中，Alice在Z基下制备初始量子态
Figure 470151DEST_PATH_IMAGE006
，其中Ae代表Alice的扩展***，B代表要发送给Bob的***；A是虚拟的量子比特***；Alice发射量子态
Figure 778248DEST_PATH_IMAGE007
给Bob，Alice选择X基去测量***A，Bob同样选择X基去测量***B，分别测得比特值j和s的联合概率
Figure 549895DEST_PATH_IMAGE008
，即虚拟计数率
Figure 297271DEST_PATH_IMAGE008
；
步骤3，定义
Figure 461668DEST_PATH_IMAGE009
为真实协议中Z基上的相位误码率，并定义虚拟协议安全性等价于真实协议，且虚拟协议X基上的比特误码率
Figure 876468DEST_PATH_IMAGE010
等价于真实协议中Z基上的相位误码率
Figure 84596DEST_PATH_IMAGE011
, 即
Figure 601159DEST_PATH_IMAGE012
；
在虚拟协议中，X基上的比特误码率
Figure 552934DEST_PATH_IMAGE010
的计算表达式如下：
Figure 291083DEST_PATH_IMAGE013
（7）
步骤4，根据最小熵和***本身造成的误码上界
Figure 483161DEST_PATH_IMAGE014
求解签名所需要的脉冲数N，再根据公式：
Figure 939550DEST_PATH_IMAGE015
即可得到本方案的签名率大小，其中，N表示签名半比特信息所需要的最小脉冲数。
2.根据权利要求1所述一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法，其特征在于，步骤2中分别测得比特值j和s的联合概率
Figure 429438DEST_PATH_IMAGE016
的具体过程如下：
在虚拟协议当中，Alice在Z基下制备的初始量子态
Figure 832213DEST_PATH_IMAGE006
，表示为以下两种量子态之一：
Figure 382143DEST_PATH_IMAGE017
（2）
Figure 60249DEST_PATH_IMAGE018
（3）
其中Ae代表Alice的扩展***，B代表要发送给Bob的***；A是虚拟的量子比特***，
Figure 166876DEST_PATH_IMAGE019
表示模2加；
然后Alice选择X基去测量***A，Bob同样选择X基去测量***B；此时Alice发射的量子态
Figure 410776DEST_PATH_IMAGE020
表示为：
Figure 147919DEST_PATH_IMAGE021
（4）
其中
Figure 578900DEST_PATH_IMAGE022
,
Figure 207327DEST_PATH_IMAGE023
表示对***
Figure 525307DEST_PATH_IMAGE024
求偏迹的过程；
把
Figure 682619DEST_PATH_IMAGE025
称为虚拟量子态，对应的归一化态为：
Figure 69738DEST_PATH_IMAGE026
（5）
在Alice制备了量子态
Figure 970698DEST_PATH_IMAGE027
的前提下，将虚拟量子态
Figure 202572DEST_PATH_IMAGE028
发送给Bob，Alice和Bob都选择X基测量，分别测得比特值j和s的联合概率
Figure 265206DEST_PATH_IMAGE016
，即虚拟计数率表示为：
Figure 952670DEST_PATH_IMAGE029
（6）
其中，1/2是Bob端选X基的概率，
Figure 922900DEST_PATH_IMAGE030
是发送虚拟量子态
Figure 199161DEST_PATH_IMAGE020
的概率，
Figure 449008DEST_PATH_IMAGE031
是虚拟量子态
Figure 873036DEST_PATH_IMAGE028
的归一化形式，
Figure 850219DEST_PATH_IMAGE032
表示考虑了窃听方Eve操作的测量算符。
3.根据权利要求2所述一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法，其特征在于，因为归一化虚拟态
Figure 59615DEST_PATH_IMAGE031
可以写成一组单位矩阵和泡利矩阵的线性组合：
Figure 729630DEST_PATH_IMAGE033
（8）
其中，
Figure 857599DEST_PATH_IMAGE034
为泡利矩阵
Figure 638473DEST_PATH_IMAGE035
对应的系数，同时泡利矩阵
Figure 154905DEST_PATH_IMAGE035
对应的传输率定义为：
Figure 995822DEST_PATH_IMAGE036
（9）
虚拟态的计数率
Figure 879596DEST_PATH_IMAGE037
表示为：
Figure 198581DEST_PATH_IMAGE038
（10）
再通过求解泡利矩阵的传输率
Figure 116990DEST_PATH_IMAGE039
，求解虚拟态的计数率
Figure 863229DEST_PATH_IMAGE037
。
4.根据权利要求3所述一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法，其特征在于，通过求解泡利矩阵的传输率
Figure 749146DEST_PATH_IMAGE039
，求解虚拟态的计数率
Figure 153713DEST_PATH_IMAGE037
，具体过程如下：
Alice选择步骤1中制备的一个量子态发送给Bob，Bob选基测量，通过真实协议中的实验计数率求解信道参数，所述解信道参数是指泡利算符的传输率
Figure 644737DEST_PATH_IMAGE039
Alice发送给Bob的量子态的密度矩阵
Figure 561878DEST_PATH_IMAGE040
表示为：
Figure 417314DEST_PATH_IMAGE041
（1）
其中，
Figure 343682DEST_PATH_IMAGE042
表示泡利矩阵，
Figure 423633DEST_PATH_IMAGE043
是泡利矩阵对应的系数，量子态
Figure 324724DEST_PATH_IMAGE044
代表步骤1中三个包含误差的真实量子态的密度矩阵；
真实协议中的计数率
Figure 122916DEST_PATH_IMAGE045
由下式给出：
Figure 587395DEST_PATH_IMAGE046
（11）
其中，
Figure 69323DEST_PATH_IMAGE047
是Alice发送真实量子态
Figure 203632DEST_PATH_IMAGE048
的概率，1/2表示Bob的选基概率，
Figure 20279DEST_PATH_IMAGE049
表示泡利分解之后对应泡利矩阵
Figure 301831DEST_PATH_IMAGE042
的传输率，
Figure 90795DEST_PATH_IMAGE050
表示考虑了窃听方Eve窃听行为的测量算符；从而求解出泡利矩阵的传输率
Figure 582957DEST_PATH_IMAGE051
。
5.根据权利要求3所述一种具有态制备误差容忍功能的量子数字签名方法，其特征在于，步骤4中，根据最小熵和***本身造成的误码上界
Figure 106473DEST_PATH_IMAGE052
求解签名所需要的脉冲数N，具体过程如下：
指所述最小熵是指Eve的平滑最小熵，表示为：
Figure 709493DEST_PATH_IMAGE053
其中
Figure 352964DEST_PATH_IMAGE054
表示单光子脉冲的响应个数，
Figure 235600DEST_PATH_IMAGE055
表示单光子脉冲Z基测量的相位误码率，
Figure 26839DEST_PATH_IMAGE056
为香农熵函数，上标
Figure 636811DEST_PATH_IMAGE057
和
Figure 947838DEST_PATH_IMAGE058
表示通过Hoeffding不等式考虑统计起伏得到的上下界估计；
所述***本身造成的误码上界
Figure 985064DEST_PATH_IMAGE052
是Alice-Bob的密钥生成过程以及Alice-Charlie的密钥生成过程的两者误码率的上界，由密钥生成的双方公布部分密钥比对比特串的不匹配率所得。
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