CN114115252A - 一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法 - Google Patents

一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法 Download PDF

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CN114115252A CN202111346334.0A CN202111346334A CN114115252A CN 114115252 A CN114115252 A CN 114115252A CN 202111346334 A CN202111346334 A CN 202111346334A CN 114115252 A CN114115252 A CN 114115252A
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Abstract

本发明涉及一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法，包括：建立协作机器人一体化关节模组的动力学方程；对关节模组通过状态变换来满足受控输出的不等式约束，得到角速度
Figure DDA0003354136610000011
和角加速度
Figure DDA0003354136610000012
设计一种鲁棒控制器；对所述鲁棒控制器进行仿真，对鲁棒控制器中的参数进行调节，并得到结论。本发明不仅具有模型本身的特性，还具有PID控制器的特性以及鲁棒项，鲁棒项可以估计***中的外部干扰和不确定性，鲁棒项的表达式为分段函数的形式，当ε接近零时，可以防止鲁棒项趋于无穷大，由于这些特性使该控制器在理论上比PID控制器和基于模型的PD控制器具有更好的动态性能。

Description

一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法
技术领域
本发明涉及协作机器人关节模组控制技术领域，尤其是一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法。
背景技术
协作机器人作为机器人领域最热门的技术之一，近年来越来越受到人们的关注。协作机器人主要由关节模组和连杆串联组成。关节模组***作为协作机器人各关节的动力源，是典型的电机齿轮***，关节模组的动态性能对协作机器人的整体动态性能有着非常重要的影响。在传统的控制方法中，高性能的控制要求精确的***参数，但是，由于温度变化引起的惯性矩、粘滞摩擦系数等***参数的变化等结构不确定性，***建模不充分，以及负载转矩扰动、电磁干扰、控制目标变化等非结构不确定性，会对联合模块***的动态性能产生负面影响。
因此，关节模组***实际上是复杂的、易受不确定性影响的，对于关节模组这样的多变量、高度耦合、时变非线性***，实现高性能轨迹跟踪是一项具有挑战性的任务。并且，针对现有关节模组驱动控制平台的功能单一、体积庞大、数据无法可视化、控制代码编写难等问题，设计一种基于不等式约束的鲁棒控制方法是有广泛的实际意义的。
发明内容
本发明的目的在于提供一种能够实现高性能的轨迹跟踪控制的基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法。
为实现上述目的，本发明采用了以下技术方案：一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法，该方法包括下列顺序的步骤：
(1)建立协作机器人一体化关节模组的动力学方程；
(2)对关节模组通过状态变换来满足受控输出的不等式约束，得到角速度
Figure BDA0003354136590000011
和角加速度
Figure BDA0003354136590000012
(3)设计一种鲁棒控制器；
(4)对所述鲁棒控制器进行仿真，对鲁棒控制器中的参数进行调节，并得到结论。
在步骤(1)中，所述协作机器人一体化关节模组的动力学方程为：
Figure BDA0003354136590000021
其中，τ表示电机的电磁转矩，η为谐波齿轮减速器的传递效率，λ为传动比，Tl表示关节模组输出轴上的负载转矩,Tf表示谐波减速器的中的摩擦力，B表示粘滞摩擦系数，J表示转动惯量，使用x、
Figure BDA0003354136590000022
和
Figure BDA0003354136590000023
分别表示电机转子角位移、角速度和角加速度。
所述步骤(2)具体是指：利用正切函数对电机转子角位移x进行状态变换，状态变换公式如下：
Figure BDA0003354136590000024
Figure BDA0003354136590000025
其中，xd是转子的期望角位移，xm和xM是电机转子角位移的上、下界；x为电机转子角位移，x∈[xm xM]；y为转换后的关节模组中的实际角位移，yd为转换后的关节模组中的期望角位移；
通过公式(2)式进行反解，得到电机转子角位移x：
Figure BDA0003354136590000026
对(4)式求一阶导数，得到角速度
Figure BDA0003354136590000027
Figure BDA0003354136590000028
对(4)式求二阶导数，得到角加速度
Figure BDA0003354136590000029
Figure BDA00033541365900000210
所述步骤(3)具体是指：将步骤(2)得到的角速度
Figure BDA00033541365900000211
和角加速度
Figure BDA00033541365900000212
代入到协作机器人一体化关节模组的动力学方程中，得到以y为控制变量的动力学方程：
Figure BDA00033541365900000213
将式(7)写成机械***动力学的拉格朗日方程形式，得到如下表达式：
Figure BDA00033541365900000214
式中，t代表角位移时间；
Figure BDA00033541365900000215
Figure BDA0003354136590000031
Figure BDA0003354136590000032
给定yd(t)，t∈[t0,t1]，t0表示角位移的起始时间，t1表示角位移的结束时间；假设yd(t)、
Figure BDA0003354136590000033
和
Figure BDA0003354136590000034
统一约束于任意给定的t∈[t0,t1]，跟踪误差表示为：
e(t)＝y(t)-yd(t) (9)
Figure BDA0003354136590000035
Figure BDA0003354136590000036
e(t)是期望角位移与实际角位移的误差，
Figure BDA0003354136590000037
是期望角速度和实际角速度的误差，
Figure BDA0003354136590000038
为转换后的关节模组中的实际角速度，
Figure BDA0003354136590000039
为转换后的关节模组中的期望角速度，
Figure BDA00033541365900000310
是期望角加速度与实际角加速度的误差，
Figure BDA00033541365900000311
为转换后的关节模组中的实际角加速度，
Figure BDA00033541365900000312
为转换后的关节模组中的期望角加速度；
Figure BDA00033541365900000313
关节模组的控制目标是使
Figure BDA00033541365900000314
一致有界并最终一致有界；
Figure BDA00033541365900000315
是关节模组的角位移和角速度误差矩阵；
公式(8)重写为下面的形式：
Figure BDA00033541365900000316
其中，函数M(*)，C(*)和G(*)分解为如下形式：
Figure BDA00033541365900000317
其中，
Figure BDA00033541365900000318
和
Figure BDA00033541365900000319
是名义项，ΔM(y,σ,t)，
Figure BDA00033541365900000320
和
Figure BDA00033541365900000321
是与σ相关的不确定项；
使用函数ρ来估计函数φ的不确定性的上界，对于给定的S>0，S是鲁棒项控制参数，选择如下形式的标量函数ρ：
Figure BDA00033541365900000322
其中，
Figure BDA00033541365900000323
ΔM、ΔC、ΔG是不确定项，σ是不确定系数，φ是包含关节模组不确定性的函数；
设计一个鲁棒控制器τ(t)，对于给定的ε>0和P、D>0，则设计的鲁棒控制器形式如下：
Figure BDA0003354136590000041
其中，
Figure BDA0003354136590000042
是名义项，P是积分系数，D是比例系数，α，μ，
Figure BDA0003354136590000043
都是设计参数；取
Figure BDA0003354136590000044
α，μ根据下式计算：
在公式(16)中，
Figure BDA0003354136590000045
其中，γ、δ是正定的设计参数，γ>0,δ>0。
由上述技术方案可知，本发明的有益效果为：本发明不仅具有模型本身的特性，还具有PID控制器的特性以及鲁棒项
Figure BDA0003354136590000046
项可以估计***中的外部干扰和不确定性，
Figure BDA0003354136590000047
项为连续函数的形式，当
Figure BDA0003354136590000048
接近零时，可以防止
Figure BDA0003354136590000049
项趋于无穷大，由于这些特性使该控制器在理论上比PID控制器和基于模型的PD控制器具有更好的动态性能。
附图说明
图1为本发明的方法流程图；
图2为本发明的控制方法框图；
图3为本发明实例提供的关节模组仿真示意图。
具体实施方式
如图1、2所示，一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法，该方法包括下列顺序的步骤：
(1)建立协作机器人一体化关节模组的动力学方程；
(2)对关节模组通过状态变换来满足受控输出的不等式约束，得到角速度
Figure BDA00033541365900000410
和角加速度
Figure BDA00033541365900000411
(3)设计一种鲁棒控制器；
(4)对所述鲁棒控制器进行仿真，对鲁棒控制器中的参数进行调节，并得到结论。
在步骤(1)中，所述协作机器人一体化关节模组的动力学方程为：
Figure BDA00033541365900000412
其中，τ表示电机的电磁转矩，η为谐波齿轮减速器的传递效率，λ为传动比，Tl表示关节模组输出轴上的负载转矩,Tf表示谐波减速器的中的摩擦力，B表示粘滞摩擦系数，J表示转动惯量，使用x、
Figure BDA0003354136590000051
和
Figure BDA0003354136590000052
分别表示电机转子角位移、角速度和角加速度。
所述步骤(2)具体是指：利用正切函数对电机转子角位移x进行状态变换，状态变换公式如下：
Figure BDA0003354136590000053
Figure BDA0003354136590000054
其中，xd是转子的期望角位移，xm和xM是电机转子角位移的上、下界；x为电机转子角位移，x∈[xm xM]；y为转换后的关节模组中的实际角位移，yd为转换后的关节模组中的期望角位移；
通过公式(2)式进行反解，得到电机转子角位移x：
Figure BDA0003354136590000055
对(4)式求一阶导数，得到角速度
Figure BDA0003354136590000056
Figure BDA0003354136590000057
对(4)式求二阶导数，得到角加速度
Figure BDA0003354136590000058
Figure BDA0003354136590000059
所述步骤(3)具体是指：将步骤(2)得到的角速度
Figure BDA00033541365900000510
和角加速度
Figure BDA00033541365900000511
代入到协作机器人一体化关节模组的动力学方程中，得到以y为控制变量的动力学方程：
Figure BDA00033541365900000512
将式(7)写成机械***动力学的拉格朗日方程形式，得到如下表达式：
Figure BDA00033541365900000513
式中，t代表角位移时间；
Figure BDA00033541365900000514
Figure BDA00033541365900000515
Figure BDA00033541365900000516
给定yd(t)，t∈[t0,t1]，t0表示角位移的起始时间，t1表示角位移的结束时间；假设yd(t)、
Figure BDA0003354136590000061
和
Figure BDA0003354136590000062
统一约束于任意给定的t∈[t0，t1]，跟踪误差表示为：
e(t)＝y(t)-yd(t) (9)
Figure BDA0003354136590000063
Figure BDA0003354136590000064
e(t)是期望角位移与实际角位移的误差，
Figure BDA0003354136590000065
是期望角速度和实际角速度的误差，
Figure BDA0003354136590000066
为转换后的关节模组中的实际角速度，
Figure BDA0003354136590000067
为转换后的关节模组中的期望角速度，
Figure BDA0003354136590000068
是期望角加速度与实际角加速度的误差，
Figure BDA0003354136590000069
为转换后的关节模组中的实际角加速度，
Figure BDA00033541365900000610
为转换后的关节模组中的期望角加速度；
Figure BDA00033541365900000611
关节模组的控制目标是使
Figure BDA00033541365900000612
一致有界并最终一致有界；
Figure BDA00033541365900000613
是关节模组的角位移和角速度误差矩阵；
公式(8)重写为下面的形式：
Figure BDA00033541365900000614
其中，函数M(*)，C(*)和G(*)分解为如下形式：
Figure BDA00033541365900000615
其中，
Figure BDA00033541365900000616
和
Figure BDA00033541365900000617
是名义项，ΔM(y，σ，t)，
Figure BDA00033541365900000618
和
Figure BDA00033541365900000619
是与σ相关的不确定项；
使用函数ρ来估计函数φ的不确定性的上界，对于给定的S>0，S是鲁棒项控制参数，选择如下形式的标量函数ρ：
Figure BDA00033541365900000620
其中，
Figure BDA00033541365900000621
ΔM、ΔC、ΔG是不确定项，σ是不确定系数，φ是包含关节模组不确定性的函数；
设计一个鲁棒控制器τ(t)，对于给定的ε>0和P、D>0，则设计的鲁棒控制器形式如下：
Figure BDA00033541365900000622
其中，
Figure BDA0003354136590000071
是名义项，P是积分系数，D是比例系数，α，μ，
Figure BDA0003354136590000072
都是设计参数；取
Figure BDA0003354136590000073
α，μ根据下式计算：
在公式(16)中，
Figure BDA0003354136590000074
其中，γ、δ是正定的设计参数，γ>0，δ>0。
为了证明控制器的稳定性，引入如下定理：由式(16)所示的鲁棒控制器保证关节模组的
Figure BDA0003354136590000075
是一致有界并最终一致有界的，此外，该一致有界性通过选择合适的ε而得到任意小的控制范围。
为证明控制器的稳定性，选择如下形式的李雅普诺夫函数：
Figure BDA0003354136590000076
V是李雅普诺夫函数。
将V对时间t求导可以得到，
Figure BDA0003354136590000077
Figure BDA0003354136590000078
是李雅普诺夫函数关于时间t的导数。
将公式(16)带入公式(22)，可以得到：
Figure BDA0003354136590000079
因为
Figure BDA0003354136590000081
并且
Figure BDA0003354136590000082
现在将(24)和(25)代入到(22)，结合(21)可得：
Figure BDA0003354136590000083
其中，
Figure BDA0003354136590000084
它显示了
Figure BDA0003354136590000085
是负定的，对于所有
Figure BDA0003354136590000086
可以得到：
Figure BDA0003354136590000087
因此，
Figure BDA0003354136590000088
是负定的对于足够大的
Figure BDA0003354136590000089
因此，公式(16)可以保证永磁同步直线电机***的一致有界性和一致最终有界性，其一致有界性有如下性能保证，那就是，给任意r>0有着
Figure BDA00033541365900000810
可得：
Figure BDA00033541365900000811
并且，d(r)是一致有界性的边界分段函数，r是函数变量，R表示一致有界性界限，
Figure BDA00033541365900000812
是t0时刻的关节模组的角位移和角速度误差矩阵；
Figure BDA00033541365900000813
Figure BDA00033541365900000814
并且
Figure BDA00033541365900000815
和λ是一个严格的正常数。
Figure BDA00033541365900000816
对于满足公式的条件的所有
Figure BDA00033541365900000817
均小于0：
Figure BDA00033541365900000818
为了确保边界的一致性，给定r>0，有
Figure BDA0003354136590000091
其中t0是初始时间，存在一个函数d(r)：
Figure BDA0003354136590000092
这样
Figure BDA0003354136590000093
对于所有t≥t0，一致极限有界性也成立，也就是说对于所有的
Figure BDA0003354136590000094
有着：
Figure BDA0003354136590000095
可以保证有：
Figure BDA0003354136590000096
并且，
Figure BDA0003354136590000097
这样
Figure BDA0003354136590000098
对于所有的
Figure BDA0003354136590000099
成立。
如图3所示，在仿真中采用正弦信号，图中具有不等式约束的角位移曲线，是运用专利所提出的鲁棒控制器进行控制得到的角位移曲线，没有不等式约束的角位移曲线是运用传统的鲁棒控制器进行控制得到的角位移曲线。取角位移上界xM＝101mm,角位移下界xm＝-101mm，期望角位移曲线xd＝100sint mm。通过仿真结果可以看出具有不等式约束的角位移曲线不会出现超调并且误差更小，表现出良好的动态位置跟踪性能。
综上所述，本发明能够更好的实现关节模组的动态位置跟踪性能，还具有PID控制器的特性以及鲁棒项
Figure BDA00033541365900000910
项可以估计***中的外部干扰和不确定性，
Figure BDA00033541365900000911
项为连续函数的形式，当
Figure BDA00033541365900000912
接近零时，可以防止
Figure BDA00033541365900000913
项趋于无穷大。由于这些特性使该控制器在理论上比PID控制器和基于模型的PD控制器具有更好的动态性能。

Claims (4)

1.一种基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法，其特征在于：该方法包括下列顺序的步骤：
(1)建立协作机器人一体化关节模组的动力学方程；
(2)对关节模组通过状态变换来满足受控输出的不等式约束，得到角速度
Figure FDA0003354136580000011
和角加速度
Figure FDA0003354136580000012
(3)设计一种鲁棒控制器；
(4)对所述鲁棒控制器进行仿真，对鲁棒控制器中的参数进行调节，并得到结论。
2.根据权利要求1所述的基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法，其特征在于：在步骤(1)中，所述协作机器人一体化关节模组的动力学方程为：
Figure FDA0003354136580000013
其中，τ表示电机的电磁转矩，η为谐波齿轮减速器的传递效率，λ为传动比，Tl表示关节模组输出轴上的负载转矩,Tf表示谐波减速器的中的摩擦力，B表示粘滞摩擦系数，J表示转动惯量，使用x、
Figure FDA0003354136580000014
和
Figure FDA0003354136580000015
分别表示电机转子角位移、角速度和角加速度。
3.根据权利要求1所述的基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法，其特征在于：所述步骤(2)具体是指：利用正切函数对电机转子角位移x进行状态变换，状态变换公式如下：
Figure FDA0003354136580000016
Figure FDA0003354136580000017
其中，xd是转子的期望角位移，xm和xM是电机转子角位移的上、下界；x为电机转子角位移，x∈[xm xM]；y为转换后的关节模组中的实际角位移，yd为转换后的关节模组中的期望角位移；
通过公式(2)式进行反解，得到电机转子角位移x：
Figure FDA0003354136580000018
对(4)式求一阶导数，得到角速度
Figure FDA0003354136580000019
Figure FDA00033541365800000110
对(4)式求二阶导数，得到角加速度
Figure FDA0003354136580000021
Figure FDA0003354136580000022
4.根据权利要求1所述的基于不等式约束的关节模组鲁棒控制方法，其特征在于：所述步骤(3)具体是指：将步骤(2)得到的角速度
Figure FDA0003354136580000023
和角加速度
Figure FDA0003354136580000024
代入到协作机器人一体化关节模组的动力学方程中，得到以y为控制变量的动力学方程：
Figure FDA0003354136580000025
将式(7)写成机械***动力学的拉格朗日方程形式，得到如下表达式：
Figure FDA0003354136580000026
式中，t代表角位移时间；
Figure FDA0003354136580000027
Figure FDA0003354136580000028
Figure FDA0003354136580000029
给定yd(t)，t∈[t0,t1]，t0表示角位移的起始时间，t1表示角位移的结束时间；假设yd(t)、
Figure FDA00033541365800000210
和
Figure FDA00033541365800000211
统一约束于任意给定的t∈[t0,t1]，跟踪误差表示为：
e(t)＝y(t)-yd(t) (9)
Figure FDA00033541365800000212
Figure FDA00033541365800000213
e(t)是期望角位移与实际角位移的误差，
Figure FDA00033541365800000214
是期望角速度和实际角速度的误差，
Figure FDA00033541365800000215
为转换后的关节模组中的实际角速度，
Figure FDA00033541365800000216
为转换后的关节模组中的期望角速度，
Figure FDA00033541365800000217
是期望角加速度与实际角加速度的误差，
Figure FDA00033541365800000218
为转换后的关节模组中的实际角加速度，
Figure FDA00033541365800000219
为转换后的关节模组中的期望角加速度；
Figure FDA00033541365800000220
关节模组的控制目标是使
Figure FDA00033541365800000221
一致有界并最终一致有界；
Figure FDA00033541365800000222
是关节模组的角位移和角速度误差矩阵；
公式(8)重写为下面的形式：
Figure FDA0003354136580000031
其中，函数M(*)，C(*)和G(*)分解为如下形式：
Figure FDA0003354136580000032
其中，
Figure FDA0003354136580000033
和
Figure FDA0003354136580000034
是名义项，ΔM(y,σ,t)，
Figure FDA0003354136580000035
和
Figure FDA0003354136580000036
是与σ相关的不确定项；
使用函数ρ来估计函数φ的不确定性的上界，对于给定的S>0，S是鲁棒项控制参数，选择如下形式的标量函数ρ：
Figure FDA0003354136580000037
其中，
Figure FDA0003354136580000038
ΔM、ΔC、ΔG是不确定项，σ是不确定系数，φ是包含关节模组不确定性的函数；
设计一个鲁棒控制器τ(t)，对于给定的ε>0和P、D>0，则设计的鲁棒控制器形式如下：
Figure FDA0003354136580000039
其中，
Figure FDA00033541365800000310
是名义项，P是积分系数，D是比例系数，α，μ，
Figure FDA00033541365800000311
都是设计参数；取
Figure FDA00033541365800000312
α，μ根据下式计算：
在公式(16)中，
Figure FDA00033541365800000313
其中，γ、δ是正定的设计参数，γ>0,δ>0。
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