CN113934143A - 多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法 - Google Patents

多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法 Download PDF

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CN113934143A
CN113934143A CN202111402971.5A CN202111402971A CN113934143A CN 113934143 A CN113934143 A CN 113934143A CN 202111402971 A CN202111402971 A CN 202111402971A CN 113934143 A CN113934143 A CN 113934143A
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Abstract

本发明涉及多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，利用事件触发控制技术所具有的资源占用低的优点，使多旋翼飞行器控制器与执行器间通讯次数显著降低；容错能力的加入保证飞行器在执行器发生故障时仍然安全可控；综合有限时间命令滤波技术和分数次幂误差补偿机制的多旋翼飞行器控制算法实现对虚拟控制信号导数快速逼近，快速地消除动态面控制算法中未考虑的滤波误差，弱化虚拟控制信号的限制条件；基于自适应补偿技术的多旋翼飞行器飞行控制方法，在不需要偏置故障先验信息的情况下，有效处理执行器的部分失效和未知偏置故障；采用相对阈值策略的事件触发方案，减少执行器的执行次数。

Description

多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法
技术领域
本发明涉及一种多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，属于无人飞行器自动控制技术领域。
背景技术
目前，多旋翼无人飞行器(Unmanned Aerial Vehicle)是指一类通过改变不同旋翼之间的相对转速来改变单轴推力，进而控制飞行器实现各种姿态和运动的飞行器。
与传统直升机相比，多旋翼飞行器机械结构简单，垂直升降，利于维护等，可以在非常恶劣的环境下和狭小的空间内执行任务，部署灵活。依托控制理论科学、电子信息技术和传感技术的发展，多旋翼飞行器朝着智能化、多功能化发展，并被广泛应用于国防军事、城市监管、植物保护等领域。随着研究的深入，多旋翼飞行器控制技术已有了很大进展，但由于其本质非线性、欠驱动特性及多变量强耦合特性，现有的多旋翼飞行器控制方案效果与理想情况仍存在着一定的差距，其控制技术仍然有着巨大的发展潜力。特别是在传统线性控制方法不能获得更好控制性能的情况下，如何采用先进非线性控制方法保证各种条件下多旋翼飞行器良好的飞行品质是当前多旋翼飞行器飞行控制研究的突破口。
传统的非线性控制方法主要有滑模控制、反步控制、动态面控制，滑模控制方法中不连续开关控制项的开关增益易引起控制抖振现象，而基于反步法设计的多旋翼飞行器控制算法也无法避免由于对虚拟控制信号反复求导引起的“维数***”问题。尽管随后提出的动态面控制技术解决了“维数***”问题，但其利用滤波器逼近虚拟控制信号导数时也会产生滤波误差，客观上将影响控制精度。此外，上述多旋翼飞行器控制算法大多基于连续采样，即控制信号连续传输到执行器，大量占用通信带宽。另一方面，四旋翼无人机的执行器故障会严重降低飞行性能，甚至导致坠毁，因此保证飞行控制器的有限时间容错性能至关重要。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术存在的不足，提供一种多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，旨在有限时间内解决反步法控制中存在的“维数***”问题以及动态面控制技术中滤波误差问题，实现对具有不确定性和执行器故障的多旋翼飞行器的位置与姿态的快速跟踪控制。
本发明的目的通过以下技术方案来实现：
多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，特点是：包括如下步骤：
建立具有未知非线性和外部扰动的多旋翼飞行器动力学模型，如下：
Figure BDA0003371698940000021
其中，φ，θ，ψ表示横滚角、俯仰角及偏航角；x，y，z描述多旋翼飞行器在空间中的位置；g为重力加速度；m和a分别为多旋翼飞行器的机体质量和机体质心到旋转轴的距离；Ix，Iy，Iz为多旋翼飞行器于x，y，z三轴的转动惯量；Jr和
Figure BDA0003371698940000031
表示电机转子的惯性矩和角速度；对于i＝φ，θ，ψ，z，x，y，di表示有界扰动，满足
Figure BDA0003371698940000032
常数
Figure BDA0003371698940000033
大于0，为***所受到的外部扰动；τφ，τθ，τψ和τT是控制输入；
多旋翼飞行器的执行器故障模型描述为：
Figure BDA0003371698940000034
其中ρi∈(0，1]和bi分别表示剩余效率因子与未知时变偏置故障，
Figure BDA0003371698940000035
是实际控制输入；定义状态变换(η1，η2，η3，η4，η5，η6)＝(φ，θ，ψ，z，x，y，)，多旋翼飞行器动态模型改写为：
Figure BDA0003371698940000036
其中(g1，g2，g3)＝(a/Ix，a/Iy，1/Iz),g4＝g5＝g6＝1/m,
Figure BDA0003371698940000037
Figure BDA0003371698940000038
Figure BDA0003371698940000039
Figure BDA00033716989400000310
τT(cosφsinθsinψ-sinφcosψ))，
Figure BDA00033716989400000311
Figure BDA00033716989400000312
,(d1，d2，d3)＝(dφ，dθ，dψ),(d4，d5，d6)＝(dz，dx，dy)；
为实现控制目标，考虑以下假设和引理：
假设1：对于i＝3，4，5，6，参考轨迹
Figure BDA00033716989400000313
及其一阶导数
Figure BDA00033716989400000314
连续且有界；
引理1：假设f(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，对于任意的给定常数ω＞0，存在模糊逻辑***使得下式成立
Figure BDA00033716989400000315
其中
Figure BDA0003371698940000041
是最优参数；
Figure BDA0003371698940000042
为最***近误差；
引理2：对于给定常数0＜n＜1，
Figure BDA0003371698940000043
和
Figure BDA0003371698940000044
非线性***
Figure BDA0003371698940000045
如果存在连续正定函数
Figure BDA0003371698940000046
使得
Figure BDA0003371698940000047
则
Figure BDA0003371698940000048
的解是实际有限时间稳定的，且其收敛时间Tf的上界满足
Figure BDA0003371698940000049
其中0＜π0＜1。
进一步地，上述的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其中，针对多旋翼飞行器姿态子***和位置子***的基于命令滤波的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其过程如下：
对于姿态子***，定义跟踪误差为
Figure BDA00033716989400000410
补偿跟踪误差定义为ζi，1＝vi，1-zi，1，ζi，2＝vi，2-zi，2，其中i＝1，2，3，
Figure BDA00033716989400000411
代表参考轨迹，zi，1和zi，2是待设计的误差补偿信号；
Figure BDA00033716989400000412
是将虚拟控制信号αi，1输入滤波器后的滤波输出；所用到的命令滤波器为
Figure BDA00033716989400000413
其中
Figure BDA00033716989400000414
和
Figure BDA00033716989400000415
为正常数，
Figure BDA00033716989400000416
虚拟控制律αi，1设计为
Figure BDA00033716989400000417
为移除虚拟控制信号在通过滤波器时产生的滤波误差
Figure BDA00033716989400000418
误差补偿信号zi，1设计为：
Figure BDA0003371698940000051
其中
Figure BDA0003371698940000052
和
Figure BDA0003371698940000053
为正设计常数；
Figure BDA0003371698940000054
Figure BDA0003371698940000055
和
Figure BDA0003371698940000056
为正奇数；
根据引理1，利用模糊逻辑***
Figure BDA0003371698940000057
逼近***中的未知非线性函数
Figure BDA0003371698940000058
其中
Figure BDA0003371698940000059
是权向量，
Figure BDA00033716989400000510
是未知常数
Figure BDA00033716989400000511
的估计值，估计误差
Figure BDA00033716989400000512
最***近误差ωi满足
Figure BDA00033716989400000513
Figure BDA00033716989400000514
是正常数；
接着定义
Figure BDA00033716989400000515
且估计误差
Figure BDA00033716989400000516
虚拟控制信号αi，2以及误差补偿信号zi，2设计为
Figure BDA00033716989400000517
Figure BDA00033716989400000518
其中
Figure BDA00033716989400000519
和
Figure BDA00033716989400000520
是正设计参数；自适应参数更新率
Figure BDA00033716989400000521
和
Figure BDA00033716989400000522
选择为
Figure BDA00033716989400000523
Figure BDA00033716989400000524
其中
Figure BDA00033716989400000525
和
Figure BDA00033716989400000526
为常数；
为实现事件触发控制，中间控制信号βi设计为
Figure BDA00033716989400000527
其中0＜μi＜1，κi＞0；对于所有t∈[tk，i，tk+1，i)，
Figure BDA00033716989400000528
表示实际控制信号；定义
Figure BDA00033716989400000529
事件触发机制设计为
Figure BDA00033716989400000530
其中设计参数
Figure BDA00033716989400000532
满足
Figure BDA00033716989400000533
Figure BDA00033716989400000531
表示控制器更新时刻；当式(12)中的条件被满足时，时间t被标记为tk+1，i，且实际控制信号
Figure BDA0003371698940000061
被中间控制信号βi(tk+1，i)更新，否则
Figure BDA0003371698940000062
总保持为βi(tk，i)直至下一触发时刻；根据式(12)，
Figure BDA0003371698940000063
被改写为
Figure BDA0003371698940000064
其中|Φi，1(t)|≤1和|Φi，2(t)|≤1是连续时变参数；
对于位置子***，令
Figure BDA0003371698940000065
为跟踪误差，其中
Figure BDA0003371698940000066
表示参考轨迹，αi，1是虚拟控制信号；
Figure BDA0003371698940000067
定义补偿跟踪误差为ζi，1＝vi，1-zi，1，ζi，2＝υi，2-zi，z，zi，1和zi，2是待设计的误差补偿信号；
虚拟控制律αi，1和误差补偿信号zi，1设计为
Figure BDA0003371698940000068
Figure BDA0003371698940000069
其中
Figure BDA00033716989400000610
和
Figure BDA00033716989400000611
为正设计参数；
Figure BDA00033716989400000612
Figure BDA00033716989400000613
和
Figure BDA00033716989400000614
为正奇数；
虚拟控制信号αi，2以及误差补偿信号zi，2设计为
Figure BDA00033716989400000615
Figure BDA00033716989400000616
其中
Figure BDA00033716989400000617
和
Figure BDA00033716989400000618
是正常数；定义
Figure BDA00033716989400000619
Figure BDA00033716989400000620
是
Figure BDA00033716989400000621
的估计值，
Figure BDA00033716989400000622
自适应参数更新率
Figure BDA00033716989400000623
选择为
Figure BDA00033716989400000624
其中
Figure BDA00033716989400000625
和
Figure BDA00033716989400000626
为正设计参数；
将事件触发控制机制应用于姿态子***，中间控制信号βi设计为
Figure BDA00033716989400000627
其中0＜μi＜1，κi＞0；实际控制信号
Figure BDA00033716989400000628
和事件触发机制设计为
Figure BDA0003371698940000071
Figure BDA0003371698940000072
其中
Figure BDA0003371698940000073
为控制器更新时间；根据式(12)，如果t∈[tk，i，tk+1，i)，实际控制信号
Figure BDA0003371698940000074
保持常值βi(tk，i)；当事件触发机制被触发后，时间t被更新为tk+1，i，且实际控制信号
Figure BDA0003371698940000075
被βi(tk+1，i)更新；根据式(21)，得到下式
Figure BDA0003371698940000076
其中|Φi，1(t)|≤1和|Φi，2(t)|≤1是连续时变参数；
此外，由于多旋翼飞行器是一个欠驱动、强耦合***，假设满足x位置和y位置控制器所需的姿态角度为θ和φ，需反解出θd和φd以便θ对θd的跟踪和φ对φd的跟踪，从而达到飞行器跟踪参考信号[xd，yd，zd，ψd]的同时实现另外两个角度的镇定；根据多旋翼飞行器***(1)各变量间耦合关系，可得
Figure BDA0003371698940000077
Figure BDA0003371698940000078
Figure BDA0003371698940000079
进一步地，上述的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其中，根据设计的控制信号、误差补偿信号以及自适应参数更新率，通过选取Lyapunov函数证明闭环***的稳定性；
步骤1：根据所定义的误差变换及式(5)，(6)，(14)，(15)，对ζi，1求导可得
Figure BDA00033716989400000710
选取Lyapunov函数为
Figure BDA0003371698940000081
基于
Figure BDA0003371698940000082
和zi，1，V1关于时间的导数整理可得
Figure BDA0003371698940000083
Figure BDA0003371698940000084
步骤2：根据式(2)及定义的误差变换，对ζi，2求导得到
Figure BDA0003371698940000085
Figure BDA0003371698940000086
考虑如下李雅普诺夫函数
Figure BDA0003371698940000087
基于式(28)和式(29)，V2关于时间的导数为
Figure BDA0003371698940000088
由于
Figure BDA0003371698940000089
根据引理1及Young不等式可得
Figure BDA00033716989400000810
Figure BDA00033716989400000811
其中
Figure BDA00033716989400000812
为设计参数；将式(11)，(13)，(19)，(22)及式(31)，(32)代入式(30)得到
Figure BDA0003371698940000091
根据所用命令滤波器，得到
Figure BDA0003371698940000092
其中i和σ为正常数，
Figure BDA0003371698940000093
是滤波器
Figure BDA0003371698940000094
阶逼近误差；进而可得
Figure BDA0003371698940000095
根据
Figure BDA0003371698940000096
并将式(7)-(10)，(16)-(18)，(27)和式(34)代入式(33)，下列不等式成立
Figure BDA0003371698940000097
将不等式
Figure BDA0003371698940000098
应用于
Figure BDA0003371698940000099
和
Figure BDA00033716989400000910
可得
Figure BDA00033716989400000911
Figure BDA0003371698940000101
Figure BDA0003371698940000102
然后，式(35)可转化为
Figure BDA0003371698940000103
进而得到
Figure BDA0003371698940000104
其中
Figure BDA0003371698940000105
Figure BDA0003371698940000106
Figure BDA0003371698940000107
Figure BDA0003371698940000108
基于式(40)，考虑如下两种情况
①对于0＜π0＜1，有
Figure BDA0003371698940000111
若
Figure BDA0003371698940000112
则
Figure BDA0003371698940000113
改写为
Figure BDA0003371698940000114
根据引理2，得到
Figure BDA0003371698940000115
此时收敛时间
Figure BDA0003371698940000116
满足
Figure BDA0003371698940000117
②
Figure BDA0003371698940000118
其中0＜π0＜1；如果
Figure BDA0003371698940000119
那么
Figure BDA00033716989400001110
基于引理2可知
Figure BDA00033716989400001111
此时收敛时间为
Figure BDA00033716989400001112
前述两类情况，进一步得到多旋翼飞行器姿态及位置子***中的信号ζi，1，zi，1，ζi，2，zi，2，
Figure BDA00033716989400001113
和
Figure BDA00033716989400001114
都是有限时间有界的；也即ζi，1和zi，1在有限时间内将分别收敛到下列集合
Figure BDA00033716989400001115
Figure BDA0003371698940000121
收敛时间为
Figure BDA0003371698940000122
由ζi，1＝vi，1-zi，1可知，对于
Figure BDA0003371698940000123
vi，1符合
Figure BDA0003371698940000124
通过选择合适的控制参数，姿态和位置子***的跟踪误差在有限时间
Figure BDA0003371698940000125
内调节到原点附近的一个足够小邻域内；
根据式(12)和式(21)，对于任意正整数k，存在t*＞0使tk+1，i-tk，i≤t*；
再结合
Figure BDA0003371698940000126
可知
Figure BDA0003371698940000127
将式(11)和式(19)分别代入式(13)和式(22)，
Figure BDA0003371698940000128
转化为
Figure BDA0003371698940000129
进而得到
Figure BDA00033716989400001210
是有界的，因此避免Zeno行为。
进一步地，上述的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其中，利用Matlab/Simulink软件进行仿真分析，多旋翼飞行器模型相关参数给出如下：
a＝0.2m，m＝2kg，g＝9.8m/s2，Ix＝0.55kg·m2，Iy＝0.51kg·m2，Iz＝0.96kg·m2，Jr＝0.01kg·m2；
引入的外部扰动为d1＝sin(πt/5)，d2＝cos(πt/6)，d3＝sin(πt/7)，d4＝cos(πt/7)，d5＝sin(πt/8)，d6＝sin(πt/9)；
执行器故障参数被设置为ρi＝0.8；
当t≥8时，b1＝5sint，b2＝3cost，b3＝4cos(2t)；
当t≥10时，b4＝5cos(0.5t)，b5＝4sint，b6＝3sin(2t)；
参考轨迹给定为
Figure BDA0003371698940000131
在仿真中，初始条件[η1，η2，η3，η4，η5，η6]＝[0，0，π/4，1，1，0]，相关控制参数选择如下：
Figure BDA0003371698940000132
Figure BDA0003371698940000133
Figure BDA0003371698940000134
本发明与现有技术相比具有显著的优点和有益效果，具体体现在以下方面：
①本发明综合有限时间命令滤波技术和分数次幂误差补偿机制的多旋翼飞行器控制算法实现对虚拟控制信号导数快速逼近，同时快速地消除动态面控制算法中未考虑的滤波误差，以及进一步弱化虚拟控制信号的限制条件；
②本发明基于自适应补偿技术的多旋翼飞行器飞行控制方法，在不需要偏置故障先验信息的情况下，也能有效处理执行器的部分失效和未知偏置故障；
③本发明采用相对阈值策略的事件触发方案，减少了执行器的执行次数，节省了机载平台的计算资源，提高了算法的实用性。
本发明的其他特征和优点将在随后的说明书阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明具体实施方式了解。本发明的目的和其他优点可通过在所写的说明书以及附图中所特别指出的结构来实现和获得。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，应当理解，以下附图仅示出了本发明的某些实施例，因此不应被看作是对范围的限定，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他相关的附图。
图1：多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错控制示意图；
图2：姿态子***实际轨迹和参考轨迹示意图；
图3：位置子***实际轨迹和期望轨迹示意图；
图4：姿态子***轨迹跟踪误差示意图；
图5：位置子***轨迹跟踪误差示意图；
图6：姿态子***事件触发信号和过渡控制信号示意图；
图7：位置子***事件触发信号和过渡控制信号示意图；
图8：姿态子***执行器事件触发时间间隔示意图；
图9：位置子***执行器事件触发时间间隔示意图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中描述和示出的本发明实施例的组件可以以各种不同的配置来布置和设计。因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明的实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
应注意到：相似的标号和字母在下面的附图中表示类似项，因此，一旦某一项在一个附图中被定义，则在随后的附图中不需要对其进行进一步定义和解释。同时，在本发明的描述中，方位术语和次序术语等仅用于区分描述，而不能理解为指示或暗示相对重要性。
本发明基于命令滤波技术的有限时间自适应事件触发容错飞行控制方案，通过构造误差补偿机制移除在动态面技术中未被考虑的滤波误差，并使得控制方案收敛速度更快，跟踪精度更高，鲁棒性更强。利用事件触发控制技术所具有的资源占用低的优点，多旋翼飞行器控制器与执行器间通讯负担被得到显著降低；容错能力的加入则可保证飞行器在执行器发生故障时仍然安全可控。
多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，如图1，具体包括如下步骤：
建立具有未知非线性和外部扰动的多旋翼飞行器动力学模型，如下：
Figure BDA0003371698940000161
其中，φ，θ，ψ表示横滚角、俯仰角及偏航角；x，y，z描述多旋翼飞行器在空间中的位置；g为重力加速度；m和a分别为多旋翼飞行器的机体质量和机体质心到旋转轴的距离；Ix，Iy，Iz为多旋翼飞行器于x，y，z三轴的转动惯量；Jr和
Figure BDA0003371698940000162
表示电机转子的惯性矩和角速度；对于i＝φ，θ，ψ，z，x，y，di表示有界扰动，满足
Figure BDA0003371698940000163
常数
Figure BDA0003371698940000164
大于0，为***所受到的外部扰动；τφ，τθ，τψ和τT是控制输入；
多旋翼飞行器的执行器故障模型描述为：
Figure BDA0003371698940000165
其中ρi∈(0，1]和bi分别表示剩余效率因子与未知时变偏置故障，
Figure BDA0003371698940000166
是实际控制输入；定义状态变换(η1，η2，η3，η4，η5，η6)＝(φ，θ，ψ，z，x，y，)，多旋翼飞行器动态模型改写为：
Figure BDA0003371698940000167
其中(g1，g2，g3)＝(a/Ix，a/Iy，1/Iz),g4＝g5＝g6＝1/m,
Figure BDA0003371698940000168
Figure BDA0003371698940000169
Figure BDA00033716989400001610
Figure BDA00033716989400001611
τT(cosφsinθsinψ-sinφcosψ))，
Figure BDA00033716989400001612
Figure BDA00033716989400001613
，(d1，d2，d3)＝(dφ，dθ，dψ)，(d4，d5，d6)＝(dz，dx，dy)；
为实现控制目标，考虑以下假设和引理：
假设1：对于i＝3，4，5，6，参考轨迹
Figure BDA0003371698940000171
及其一阶导数
Figure BDA0003371698940000172
连续且有界；
引理1：假设f(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，对于任意的给定常数ω＞0，存在模糊逻辑***使得下式成立
Figure BDA0003371698940000173
其中
Figure BDA0003371698940000174
是最优参数；
Figure BDA0003371698940000175
为最***近误差；
引理2：对于给定常数
Figure BDA0003371698940000176
和
Figure BDA0003371698940000177
非线性***
Figure BDA0003371698940000178
如果存在连续正定函数
Figure BDA0003371698940000179
使得
Figure BDA00033716989400001710
则
Figure BDA00033716989400001711
的解是实际有限时间稳定的，且其收敛时间Tf的上界满足
Figure BDA00033716989400001712
其中0＜π0＜1。
针对多旋翼飞行器姿态子***和位置子***的基于命令滤波的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其过程如下：
对于姿态子***，定义跟踪误差为
Figure BDA00033716989400001713
补偿跟踪误差定义为ζi，1＝vi，1-zi，1，ζi，2＝vi，2-zi，2，其中i＝1，2，3，
Figure BDA00033716989400001714
代表参考轨迹，zi，1和zi，2是待设计的误差补偿信号；
Figure BDA00033716989400001715
是将虚拟控制信号αi，1输入滤波器后的滤波输出；所用到的命令滤波器为
Figure BDA0003371698940000181
其中
Figure BDA0003371698940000182
和
Figure BDA0003371698940000183
为正常数，
Figure BDA0003371698940000184
虚拟控制律αi，1设计为
Figure BDA0003371698940000185
为移除虚拟控制信号在通过滤波器时产生的滤波误差
Figure BDA0003371698940000186
误差补偿信号zi，1设计为：
Figure BDA0003371698940000187
其中
Figure BDA0003371698940000188
和
Figure BDA0003371698940000189
为正设计常数；
Figure BDA00033716989400001810
Figure BDA00033716989400001811
和
Figure BDA00033716989400001812
为正奇数；
根据引理1，利用模糊逻辑***
Figure BDA00033716989400001813
逼近***中的未知非线性函数
Figure BDA00033716989400001814
其中
Figure BDA00033716989400001815
是权向量，
Figure BDA00033716989400001816
是未知常数
Figure BDA00033716989400001817
的估计值，估计误差
Figure BDA00033716989400001818
最***近误差ωi满足
Figure BDA00033716989400001819
Figure BDA00033716989400001820
是正常数；
接着定义
Figure BDA00033716989400001821
且估计误差
Figure BDA00033716989400001822
虚拟控制信号αi，2以及误差补偿信号zi，2设计为
Figure BDA00033716989400001823
Figure BDA00033716989400001824
其中
Figure BDA00033716989400001825
和
Figure BDA00033716989400001826
是正设计参数；自适应参数更新率
Figure BDA00033716989400001827
和
Figure BDA00033716989400001828
选择为
Figure BDA00033716989400001829
Figure BDA00033716989400001830
其中
Figure BDA00033716989400001831
和
Figure BDA00033716989400001832
为常数；
为实现事件触发控制，中间控制信号βi设计为
Figure BDA0003371698940000191
其中0＜μi＜1，κi＞0；对于所有t∈[tk，i，tk+1，i)，
Figure BDA0003371698940000192
表示实际控制信号；定义
Figure BDA0003371698940000193
事件触发机制设计为
Figure BDA0003371698940000194
其中设计参数
Figure BDA0003371698940000195
满足
Figure BDA0003371698940000196
表示控制器更新时刻；当式(12)中的条件被满足时，时间t被标记为tk+1，i，且实际控制信号
Figure BDA0003371698940000197
被中间控制信号βi(tk+1，i)更新，否则
Figure BDA0003371698940000198
总保持为βi(tk，i)直至下一触发时刻；根据式(12)，
Figure BDA0003371698940000199
被改写为
Figure BDA00033716989400001910
其中|Φi，1(t)|≤1和|Φi，2(t)|≤1是连续时变参数；
对于位置子***，令
Figure BDA00033716989400001911
为跟踪误差，其中
Figure BDA00033716989400001912
表示参考轨迹，αi，1是虚拟控制信号；
Figure BDA00033716989400001913
定义补偿跟踪误差为ζi，1＝vi，1-zi，1，ζi，2＝vi，2-zi，2，zi，1和zi，2是待设计的误差补偿信号；
虚拟控制律αi，1和误差补偿信号zi，1设计为
Figure BDA00033716989400001914
Figure BDA00033716989400001915
其中
Figure BDA00033716989400001916
和
Figure BDA00033716989400001917
为正设计参数；
Figure BDA00033716989400001918
Figure BDA00033716989400001919
和
Figure BDA00033716989400001920
为正奇数；
虚拟控制信号αi，2以及误差补偿信号zi，2设计为
Figure BDA00033716989400001921
Figure BDA00033716989400001922
其中
Figure BDA00033716989400001923
和
Figure BDA00033716989400001924
是正常数；定义
Figure BDA00033716989400001925
Figure BDA00033716989400001926
是
Figure BDA00033716989400001927
的估计值，
Figure BDA0003371698940000201
自适应参数更新率
Figure BDA0003371698940000202
选择为
Figure BDA0003371698940000203
其中
Figure BDA0003371698940000204
和
Figure BDA0003371698940000205
为正设计参数；
将事件触发控制机制应用于姿态子***，中间控制信号βi设计为
Figure BDA0003371698940000206
其中0＜μi＜1，κi＞0；实际控制信号
Figure BDA0003371698940000207
和事件触发机制设计为
Figure BDA0003371698940000208
Figure BDA0003371698940000209
其中
Figure BDA00033716989400002010
为控制器更新时间；根据式(12)，如果t∈[tk，i，tk+1，i)，实际控制信号
Figure BDA00033716989400002011
保持常值βi(tk，i)；当事件触发机制被触发后，时间t被更新为tk+1，i，且实际控制信号
Figure BDA00033716989400002012
被βi(tk+1，i)更新；根据式(21)，得到下式
Figure BDA00033716989400002013
其中|Φi，1(t)|≤1和|Φi，2(t)|≤1是连续时变参数；
此外，由于多旋翼飞行器是一个欠驱动、强耦合***，假设满足x位置和y位置控制器所需的姿态角度为θ和φ，需反解出θd和φd以便θ对θd的跟踪和φ对φd的跟踪，从而达到飞行器跟踪参考信号[xd，yd，zd，ψd]的同时实现另外两个角度的镇定；根据多旋翼飞行器***(1)各变量间耦合关系，可得
Figure BDA00033716989400002014
Figure BDA00033716989400002015
Figure BDA00033716989400002016
根据设计的控制信号、误差补偿信号以及自适应参数更新率，通过选取Lyapunov函数证明闭环***的稳定性；
步骤1：根据所定义的误差变换及式(5)，(6)，(14)，(15)，对ζi，1求导可得
Figure BDA0003371698940000211
选取Lyapunov函数为
Figure BDA0003371698940000212
基于
Figure BDA0003371698940000213
和zi，1，V1关于时间的导数整理可得
Figure BDA0003371698940000214
步骤2：根据式(2)及定义的误差变换，对ζi，2求导得到
Figure BDA0003371698940000215
Figure BDA0003371698940000216
考虑如下李雅普诺夫函数
Figure BDA0003371698940000217
基于式(28)和式(29)，V2关于时间的导数为
Figure BDA0003371698940000218
由于
Figure BDA0003371698940000219
根据引理1及Young不等式可得
Figure BDA00033716989400002110
Figure BDA0003371698940000221
其中
Figure BDA0003371698940000222
为设计参数；将式(11)，(13)，(19)，(22)及式(31)，(32)代入式(30)得到
Figure BDA0003371698940000223
根据所用命令滤波器，得到
Figure BDA0003371698940000224
其中i和σ为正常数，
Figure BDA0003371698940000225
是滤波器
Figure BDA0003371698940000226
阶逼近误差；进而可得
Figure BDA0003371698940000227
根据
Figure BDA0003371698940000228
并将式(7)-(10)，(16)-(18)，(27)和式(34)代入式(33)，下列不等式成立
Figure BDA0003371698940000229
将不等式
Figure BDA00033716989400002210
应用于
Figure BDA0003371698940000231
和
Figure BDA0003371698940000232
可得
Figure BDA0003371698940000233
Figure BDA0003371698940000234
Figure BDA0003371698940000235
然后，式(35)可转化为
Figure BDA0003371698940000236
进而得到
Figure BDA0003371698940000237
其中
Figure BDA0003371698940000238
Figure BDA0003371698940000239
Figure BDA00033716989400002310
Figure BDA0003371698940000241
基于式(40)，考虑如下两种情况
①对于0＜π0＜1，有
Figure BDA0003371698940000242
若
Figure BDA0003371698940000243
则
Figure BDA0003371698940000244
改写为
Figure BDA0003371698940000245
根据引理2，得到
Figure BDA0003371698940000246
此时收敛时间
Figure BDA0003371698940000247
满足
Figure BDA0003371698940000248
②
Figure BDA0003371698940000249
其中0＜π0＜1；如果
Figure BDA00033716989400002410
那么
Figure BDA00033716989400002411
基于引理2可知
Figure BDA00033716989400002412
此时收敛时间为
Figure BDA00033716989400002413
前述两类情况，进一步得到多旋翼飞行器姿态及位置子***中的信号ζi，1，zi，1，ζi，2，zi，2，
Figure BDA00033716989400002414
和
Figure BDA00033716989400002415
都是有限时间有界的；也即ζi，1和zi，1在有限时间内将分别收敛到下列集合
Figure BDA0003371698940000251
Figure BDA0003371698940000252
收敛时间为
Figure BDA0003371698940000253
由ζi，1＝vi，1-zi，1可知，对于
Figure BDA0003371698940000254
υi，1符合
Figure BDA0003371698940000255
通过选择合适的控制参数，姿态和位置子***的跟踪误差在有限时间
Figure BDA0003371698940000256
内调节到原点附近的一个足够小邻域内；
根据式(12)和式(21)，对于任意正整数k，存在t*＞0使tk+1，i-tk，i≤t*；
再结合
Figure BDA0003371698940000257
可知
Figure BDA0003371698940000258
将式(11)和式(19)分别代入式(13)和式(22)，
Figure BDA0003371698940000259
转化为
Figure BDA0003371698940000261
进而得到
Figure BDA0003371698940000262
是有界的，因此避免Zeno行为。
利用Matlab/Simulink软件进行仿真分析，多旋翼飞行器模型相关参数给出如下：
a＝0.2m，m＝2kg，g＝9.8m/s2，Ix＝0.55kg·m2，Iy＝0.51kg·m2，Iz＝0.96kg·m2，Jr＝0.01kg·m2；
引入的外部扰动为d1＝sin(πt/5)，d2＝cos(πt/6)，d3＝sin(πt/7)，d4＝cos(πt/7)，d5＝sin(πt/8)，d6＝sin(πt/9)；
执行器故障参数被设置为ρi＝0.8；
当t≥8时，b1＝5sint，b2＝3cost，b3＝4cos(2t)；
当t≥10时，b4＝5cos(0.5t)，b5＝4sint，b6＝3sin(2t)；
参考轨迹给定为
Figure BDA0003371698940000266
在仿真中，初始条件[η1，η2，η3，η4，η5，η6]＝[0，0，π/4，1，1，0]，相关控制参数选择如下：
Figure BDA0003371698940000263
Figure BDA0003371698940000264
Figure BDA0003371698940000265
仿真结果如图2～8所示，多旋翼飞行器姿态子***和位置子***实际轨迹及参考轨迹如图2～3所示，图4和图5中示意了姿态子***和位置子***对应的轨迹跟踪误差，姿态子***事件触发信号和过渡控制信号以及位置子***事件触发信号和过渡控制信号如图6～7所示。图8和图9示意了执行器事件触发时间间隔。根据仿真结果，本发明方法能够使多旋翼飞行器姿态和位置子***在发生执行器故障时仍在有限时间内精确跟踪到给定参考轨迹。在不降低***性能的情况下，大大减少控制律的冗余采样。
与传统命令滤波技术相比，本发明综合有限时间命令滤波技术和分数次幂误差补偿机制的多旋翼飞行器控制算法实现对虚拟控制信号导数快速逼近，同时快速地消除动态面控制算法中未考虑的滤波误差，以及进一步弱化虚拟控制信号的限制条件。
有别于现有的容错控制结果，本发明基于有限时间自适应补偿技术的多旋翼飞行器飞行控制方法，在不需要偏置故障先验信息的情况下，也能有效处理执行器的部分失效和未知偏置故障。
本发明采用相对阈值策略的事件触发方案，减少了执行器的执行次数，节省了机载平台的计算资源，提高了算法的实用性。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。应注意到：相似的标号和字母在下面的附图中表示类似项，因此，一旦某一项在一个附图中被定义，则在随后的附图中不需要对其进行进一步定义和解释。
上述仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。
需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。

Claims (4)

1.多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其特征在于：包括如下步骤：
建立具有未知非线性和外部扰动的多旋翼飞行器动力学模型，如下：
Figure FDA0003371698930000011
其中，φ，θ，ψ表示横滚角、俯仰角及偏航角；x，y，z描述多旋翼飞行器在空间中的位置；g为重力加速度；m和a分别为多旋翼飞行器的机体质量和机体质心到旋转轴的距离；Ix，Iy，Iz为多旋翼飞行器于x，y，z三轴的转动惯量；Jr和
Figure FDA0003371698930000012
表示电机转子的惯性矩和角速度；对于i＝φ，θ，ψ，z，x，y，di表示有界扰动，满足
Figure FDA0003371698930000013
常数
Figure FDA0003371698930000014
大于0，为***所受到的外部扰动；τφ，τθ，τψ和τT是控制输入；
多旋翼飞行器的执行器故障模型描述为：
Figure FDA0003371698930000015
其中ρi∈(0，1]和bi分别表示剩余效率因子与未知时变偏置故障，
Figure FDA0003371698930000016
是实际控制输入；定义状态变换(η1，η2，η3，η4，η5，η6)＝(φ，θ，ψ，z，x，y，)，多旋翼飞行器动态模型改写为：
Figure FDA0003371698930000017
其中(g1，g2，g3)＝(a/Ix，a/Iy，1/Iz)，g4＝g5＝g6＝1/m，
Figure FDA0003371698930000021
Figure FDA0003371698930000022
Figure FDA0003371698930000023
Figure FDA0003371698930000024
，(d1，d2，d3)＝(dφ，dθ，dψ)，(d4，d5，d6)＝(dz，dx，dy)；
为实现控制目标，考虑以下假设和引理：
假设1：对于i＝3，4，5，6，参考轨迹
Figure FDA0003371698930000025
及其一阶导数
Figure FDA0003371698930000026
连续且有界；
引理1：假设f(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，对于任意的给定常数ω＞0，存在模糊逻辑***使得下式成立
Figure FDA0003371698930000027
其中
Figure FDA0003371698930000028
是最优参数；
Figure FDA0003371698930000029
为最***近误差；
引理2：对于给定常数0＜n＜1，
Figure FDA00033716989300000210
和
Figure FDA00033716989300000211
非线性***
Figure FDA00033716989300000212
如果存在连续正定函数L(Υ)，使得
Figure FDA00033716989300000213
则
Figure FDA00033716989300000214
的解是实际有限时间稳定的，且其收敛时间Tf的上界满足
Figure FDA00033716989300000215
Figure FDA00033716989300000216
其中0＜π0＜1。
2.根据权利要求1所述的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其特征在于：针对多旋翼飞行器姿态子***和位置子***的基于命令滤波的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其过程如下：
对于姿态子***，定义跟踪误差为
Figure FDA0003371698930000031
补偿跟踪误差定义为ζi，1＝υi，1-zi，1，ζi，2＝υi，2-zi，2，其中i＝1，2，3，
Figure FDA0003371698930000032
代表参考轨迹，zi，1和zi，2是待设计的误差补偿信号；
Figure FDA0003371698930000033
是将虚拟控制信号αi，1输入滤波器后的滤波输出；所用到的命令滤波器为
Figure FDA0003371698930000034
其中
Figure FDA0003371698930000035
和
Figure FDA0003371698930000036
为正常数，
Figure FDA0003371698930000037
虚拟控制律αi，1设计为
Figure FDA0003371698930000038
为移除虚拟控制信号在通过滤波器时产生的滤波误差∈i，1-αi，1，误差补偿信号zi，1设计为：
Figure FDA0003371698930000039
其中pi，1，qi，1和τi，1为正设计常数；1/2＜n＝n1/n2＜1，n1和n2为正奇数；
根据引理1，利用模糊逻辑***
Figure FDA00033716989300000310
逼近***中的未知非线性函数
Figure FDA00033716989300000311
其中
Figure FDA00033716989300000312
是权向量，
Figure FDA00033716989300000313
是未知常数
Figure FDA00033716989300000314
的估计值，估计误差
Figure FDA00033716989300000315
最***近误差ωi满足
Figure FDA00033716989300000316
Figure FDA00033716989300000317
是正常数；
接着定义Λi＝bi，且估计误差
Figure FDA00033716989300000318
虚拟控制信号αi，2以及误差补偿信号zi，2设计为
Figure FDA00033716989300000319
Figure FDA00033716989300000320
其中pi，2，qi，2和τi，2是正设计参数；自适应参数更新率
Figure FDA00033716989300000321
和
Figure FDA00033716989300000322
选择为
Figure FDA0003371698930000041
Figure FDA0003371698930000042
其中
Figure FDA0003371698930000043
和
Figure FDA0003371698930000044
为常数；
为实现事件触发控制，中间控制信号βi设计为
Figure FDA0003371698930000045
其中0＜μi＜1，κi＞0；对于所有t∈[tk，i，tk+1，i)，
Figure FDA0003371698930000046
表示实际控制信号；定义
Figure FDA0003371698930000047
事件触发机制设计为
Figure FDA0003371698930000048
其中设计参数
Figure FDA0003371698930000049
满足
Figure FDA00033716989300000410
Figure FDA00033716989300000411
表示控制器更新时刻；当式(12)中的条件被满足时，时间t被标记为tk+1，i，且实际控制信号
Figure FDA00033716989300000412
被中间控制信号βi(tk+1，i)更新，否则
Figure FDA00033716989300000413
总保持为βi(tk，i)直至下一触发时刻；根据式(12)，
Figure FDA00033716989300000414
被改写为
Figure FDA00033716989300000415
其中|Φi，1(t)|≤1和|Φi，2(t)|≤1是连续时变参数；
对于位置子***，令
Figure FDA00033716989300000416
i＝4，5，6为跟踪误差，其中
Figure FDA00033716989300000417
表示参考轨迹，αi，1是虚拟控制信号；
Figure FDA00033716989300000418
定义补偿跟踪误差为ζi，1＝υi，1-zi，1，ζi，2＝υi，2-zi，2，zi，1和zi，2是待设计的误差补偿信号；
虚拟控制律αi，1和误差补偿信号zi，1设计为
Figure FDA00033716989300000419
Figure FDA00033716989300000420
其中pi，1，qi，1和τi，1为正设计参数；1/2＜n＝n1/n2＜1，n1和n2为正奇数；
虚拟控制信号αi，2以及误差补偿信号zi，2设计为
Figure FDA0003371698930000051
Figure FDA0003371698930000052
其中pi，2，qi，2和τi，2是正常数；定义Λi＝bi，
Figure FDA0003371698930000053
是Λi的估计值，
Figure FDA0003371698930000054
自适应参数更新率
Figure FDA0003371698930000055
选择为
Figure FDA0003371698930000056
其中
Figure FDA0003371698930000057
和
Figure FDA0003371698930000058
为正设计参数；
将事件触发控制机制应用于姿态子***，中间控制信号βi设计为
Figure FDA0003371698930000059
其中0＜μi＜1，κi＞O；实际控制信号
Figure FDA00033716989300000510
和事件触发机制设计为
Figure FDA00033716989300000511
Figure FDA00033716989300000512
其中
Figure FDA00033716989300000513
为控制器更新时间；根据式(12)，如果t∈[tk，i，tk+1，i)，实际控制信号
Figure FDA00033716989300000514
保持常值βi(tk，i)；当事件触发机制被触发后，时间t被更新为tk+1，i，且实际控制信号
Figure FDA00033716989300000515
被βi(tk+1，i)更新；根据式(21)，得到下式
Figure FDA00033716989300000516
其中|Φi，1(t)|≤1和|Φi，2(t)|≤1是连续时变参数；
此外，由于多旋翼飞行器是一个欠驱动、强耦合***，假设满足x位置和y位置控制器所需的姿态角度为θ和φ，需反解出θd和φd以便θ对θd的跟踪和φ对φd的跟踪，从而达到飞行器跟踪参考信号[xd，yd，zd，ψd]的同时实现另外两个角度的镇定；根据多旋翼飞行器***(1)各变量间耦合关系，可得
Figure FDA0003371698930000061
Figure FDA0003371698930000062
Figure FDA0003371698930000063
3.根据权利要求2所述的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其特征在于：根据设计的控制信号、误差补偿信号以及自适应参数更新率，通过选取Lyapunov函数证明闭环***的稳定性；
步骤1：根据所定义的误差变换及式(5)，(6)，(14)，(15)，对ζi，1求导可得
Figure FDA0003371698930000064
选取Lyapunov函数为
Figure FDA0003371698930000065
基于
Figure FDA0003371698930000066
αi，1和zi，1，V1关于时间的导数整理可得
Figure FDA0003371698930000067
步骤2：根据式(2)及定义的误差变换，对ζi，2求导得到
Figure FDA0003371698930000068
Figure FDA0003371698930000069
考虑如下李雅普诺夫函数
Figure FDA00033716989300000610
基于式(28)和式(29)，V2关于时间的导数为
Figure FDA0003371698930000071
由于
Figure FDA0003371698930000072
根据引理1及Young不等式可得
Figure FDA0003371698930000073
Figure FDA0003371698930000074
其中
Figure FDA0003371698930000075
为设计参数；将式(11)，(13)，(19)，(22)及式(31)，(32)代入式(30)得到
Figure FDA0003371698930000076
根据所用命令滤波器，得到
Figure FDA0003371698930000077
其中ι和σ为正常数，
Figure FDA0003371698930000078
是滤波器
Figure FDA0003371698930000079
阶逼近误差；进而可得
Figure FDA00033716989300000710
根据
Figure FDA00033716989300000711
并将式(7)-(10)，(16)-(18)，(27)和式(34)代入式(33)，下列不等式成立
Figure FDA0003371698930000081
将不等式
Figure FDA0003371698930000082
应用于
Figure FDA0003371698930000083
和
Figure FDA0003371698930000084
可得
Figure FDA0003371698930000085
Figure FDA0003371698930000086
Figure FDA0003371698930000087
然后，式(35)可转化为
Figure FDA0003371698930000091
进而得到
Figure FDA0003371698930000092
其中
Figure FDA0003371698930000093
Figure FDA0003371698930000094
Figure FDA0003371698930000095
Figure FDA0003371698930000096
基于式(40)，考虑如下两种情况
①对于0＜π0＜1，有
Figure FDA0003371698930000097
若
Figure FDA00033716989300000910
则
Figure FDA0003371698930000098
改写为
Figure FDA0003371698930000099
根据引理2，得到
Figure FDA0003371698930000101
此时收敛时间
Figure FDA0003371698930000102
满足
Figure FDA0003371698930000103
②
Figure FDA0003371698930000104
其中0＜π0＜1；如果
Figure FDA0003371698930000105
那么
Figure FDA0003371698930000106
基于引理2可知
Figure FDA0003371698930000107
此时收敛时间为
Figure FDA0003371698930000108
前述两类情况，进一步得到多旋翼飞行器姿态及位置子***中的信号ζi，1，zi，1，ζi，2，zi，2，
Figure FDA0003371698930000109
和
Figure FDA00033716989300001010
都是有限时间有界的；也即ζi，1和zi，1在有限时间内将分别收敛到下列集合
Figure FDA00033716989300001011
Figure FDA00033716989300001012
收敛时间为
Figure FDA0003371698930000111
由ζi，1＝υi，1-zi，1可知，对于
Figure FDA0003371698930000112
υi，1符合
Figure FDA0003371698930000113
通过选择合适的控制参数，姿态和位置子***的跟踪误差在有限时间
Figure FDA0003371698930000114
内调节到原点附近的一个足够小邻域内；
根据式(12)和式(21)，对于任意正整数k，存在t*＞0使tk+1，i-tk，i≤t*；
再结合
Figure FDA0003371698930000115
可知
Figure FDA0003371698930000116
将式(11)和式(19)分别代入式(13)和式(22)，
Figure FDA0003371698930000117
转化为
Figure FDA0003371698930000118
进而得到
Figure FDA0003371698930000119
是有界的，因此避免了Zeno行为。
4.根据权利要求1所述的多旋翼飞行器有限时间自适应事件触发容错跟踪控制方法，其特征在于：利用Matlab/Simulink软件进行仿真分析，多旋翼飞行器模型相关参数给出如下：
a＝0.2m，m＝2kg，g＝9.8m/s2，Ix＝0.55kg·m2，Iy＝0.51kg·m2，Iz＝0.96kg·m2，Jr＝0.01kg·m2；
引入的外部扰动为d1＝sin(πt/5)，d2＝cos(πt/6)，d3＝sin(πt/7)，d4＝cos(πt/7)，d5＝sin(πt/8)，d6＝sin(πt/9)；
执行器故障参数被设置为ρi＝0.8；
当t≥8时，b1＝5sint，b2＝3cost，b3＝4cos(2t)；
当t≥10时，b4＝5cos(0.5t)，b5＝4sint，b6＝3sin(2t)；
参考轨迹给定为
Figure FDA0003371698930000121
在仿真中，初始条件[η1，η2，η3，η4，η5，η6]＝[0，0，π/4，1，1，0]，相关控制参数选择如下：
Figure FDA0003371698930000122
pi，1＝2，pi，2＝3，qi，1＝τi，1＝3，qi，2＝τi，2＝4，
Figure FDA0003371698930000123
μi＝0.5，κi＝10，
Figure FDA0003371698930000124
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