CN113466865A - 联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨isar成像算法 - Google Patents

联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨isar成像算法 Download PDF

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CN113466865A CN202110936736.XA CN202110936736A CN113466865A CN 113466865 A CN113466865 A CN 113466865A CN 202110936736 A CN202110936736 A CN 202110936736A CN 113466865 A CN113466865 A CN 113466865A
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Abstract

本发明涉及信号处理技术领域，具体涉及一种联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，包括如下步骤：S1、令
Figure DDA0003213502800000011
且α(0)中每一个元素值均为1，假设算法的最大迭代次数为G；S2、对g＝0,1,2,...,G，对第g次迭代中的α(g)，根据
Figure DDA0003213502800000012
计算其后验概率密度函数的均值M和协方差Σ，然后根据
Figure DDA0003213502800000013
来计算最大后验概率估计
Figure DDA0003213502800000015
S3、根据
Figure DDA0003213502800000016
来计算ui，然后根据
Figure DDA0003213502800000017
和
Figure DDA0003213502800000018
来更新超参数，得到新的超参数估计α(g+1)；S4、若
Figure DDA0003213502800000019
则进行下一次循环迭代；若
Figure DDA00032135028000000110
则停止迭代，最终的重构结果为
Figure DDA00032135028000000111
若
Figure DDA00032135028000000112
则最终的重构结果为
Figure DDA00032135028000000113

Description

联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法
技术领域
本发明涉及信号处理技术领域，具体涉及一种联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法。
背景技术
逆合成孔径雷达(Inverse Synthetic Aperture Radar,ISAR)成像成像针对的目标在观测场景内一般是稀疏的，也即目标图像在整个背景域是稀疏的，满足稀疏重构的条件，可通过稀疏重构方法进行成像。通常情况下，要满足高分辨成像所需的对固定场景的宽带和长时间连续观测比较困难，所以雷达往往会面临稀疏孔径成像的问题。在稀疏孔径条件下，传统的成像方法会导致图像出现强副瓣和栅瓣，成像效果较差。基于压缩感知的ISAR成像方法可利用少量的观测数据和样本数实现对高分辨图像的重构，在雷达目标成像中有着独特的优势。
在利用稀疏重构算法对运动目标的成像时，能够求得最稀疏解的算法的成像效果一般较好。Tipping提出基于相关向量机(Relevance Vector Machine,RVM)，通过基于SBL的样本学习方法，迭代优化重构出原始稀疏信号。该方法基于稀疏概率学习，不需要信号的额外先验信息且容易得到信号的最稀疏解，因此SBL算法广泛应用于信号及图像处理、模式识别等领域。基于SBL的超分辨ISAR成像进行了研究，利用少量的脉冲获取到目标的ISAR图像，并且证明了基于SBL成像方法比其它基于CS成像方法在参数估计与选取、图像重构效果等方面具有明显优势。
大多数稀疏信号重构方法针对的是一维稀疏信号，这些方法可认为是单观测向量(Single Measurement Vector,SMV)重构方法。采用这些方法进行图像等二维信号处理时，需先将二维信号向量化为一维信号再进行重构，这种处理会降低算法效率且二维稀疏信号的重构效果一般。目前基于CS的ISAR成像方法大多通过对重构信号进行矢量化操作，再完成信号的重构，或对信号进行逐列重构。然而，这些方法只利用了目标图像的一维稀疏性，没有利用图像的二维联合稀疏性。考虑目标ISAR图像的联合稀疏特性，可通过求解多观测向量(Multiple Measurement Vector,MMV)联合稀疏优化问题实现ISAR图像的重构。该方法重构精度更高，且运算复杂度大大降低。很多基于单观测向量的重构算法可以拓展到多观测向量问题中。
发明内容
本发明的目的在于提供一种联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，解决目前的ISAR成像效果差的问题。
为解决上述的技术问题，本发明采用以下技术方案：
一种联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于包括如下步骤：
S1、令
Figure BDA0003213502780000021
且α(0)中每一个元素值均为1，假设算法的最大迭代次数为G；
S2、对g＝0，1，2，...，G，对第g次迭代中的α(g)，根据
Figure BDA00032135027800000215
计算其后验概率密度函数的均值M和协方差∑，然后根据
Figure BDA0003213502780000022
来计算最大后验概率估计
Figure BDA0003213502780000023
Figure BDA0003213502780000024
S3、根据
Figure BDA0003213502780000025
来计算ui，然后根据
Figure BDA0003213502780000026
和
Figure BDA0003213502780000027
来更新超参数，得到新的超参数估计α(g+1)；
S4、若
Figure BDA0003213502780000028
则进行下一次循环迭代；若
Figure BDA0003213502780000029
则停止迭代，最终的重构结果为
Figure BDA00032135027800000210
若
Figure BDA00032135027800000211
则最终的重构结果为
Figure BDA00032135027800000212
进一步的技术方案是，在初始化参数前，先假设雷达发射线性射频信号，便可将接收的信号表示为：
Figure BDA00032135027800000213
将距离压缩后的信号表示为：
Figure BDA00032135027800000214
假设相干积累时间内的脉冲数为M，将脉冲重复频率划分为N个多普勒单元，(2)式中x(τ,t)的表示为：X＝[xnm]N×M，将稀疏表示理论应用于回波距离信号向，(1)式的矩阵形式表示为：Y＝ΦX+V。
更进一步的技术方案是，将信号X的先验表示为：
Figure BDA0003213502780000031
其中，
Figure BDA0003213502780000032
且，p(xij|αi,αi+1,αi-1)＝N(xij|0,(αi+βαi+1+βαi-1)-1)。
更进一步的技术方案是，假设超参数αi的超先验服从Gamma分布，即：
Figure BDA0003213502780000033
其中，
Figure BDA0003213502780000034
表示Gamma函数。
更进一步的技术方案是，根据似然函数和先验分布，信号X第j列的概率密度函数满足：
Figure BDA0003213502780000035
便可得出S2中的均值M和协方差Σ，即
Figure BDA0003213502780000036
其中D表示对角矩阵，且其第i个对角元素的值为αi+βαi+1+βαi-1，便可将D表示为：
Figure BDA0003213502780000037
更进一步的技术方案是，假设参数α0＝αN+1＝0，利用期望最大化算法来计算后验概率密度函数p(α|Y)的最大后验概率估计，即计算EX|Y,α[logp(α|X)]，其中EX|Y,α[·]表示关于p(xj|yj；α)的分布函数的期望，信号X的MAP估计与其后验概率分布函数的均值一致，便有S2中的：
Figure BDA0003213502780000038
然后通过交替迭代地执行期望E-step和最大化M-step步骤，得到参数α在第g次迭代中的估计为α(g)。
更进一步的技术方案是，期望E-step步骤包括：
先假设超参数在第g次迭代中的估计为α(g)，且已知观测信号为Y，然后计算α的对数似然估计的期望值，即是α的Q函数，Q函数表示为：
Figure BDA0003213502780000041
将(3)式带入(4)式中，并忽略与α无关的常数项r，(4)式可近似改写为：
Figure BDA0003213502780000042
根据p(X|Y；α(g))的后验概率分布是一个多元高斯分布，且其均值方差均已知，(5)式可近似改写为：
Figure BDA0003213502780000043
更进一步的技术方案是，最大化M-step步骤包括：
通过最大化Q函数得到α的新的估计，即是：
Figure BDA0003213502780000044
对(6)式利用梯度下降法寻求最优解，要求Q函数关于α在最优解处的一阶导数应为零，假设α*为(6)式的最优解，则：
Figure BDA0003213502780000045
将(5)式带入(7)式中，可得：
Figure BDA0003213502780000046
其中
Figure BDA0003213502780000051
然后假设v0＝0，vN+1＝0；
根据到{αi}和β均是非负的，可得：
Figure BDA0003213502780000052
从而可得S3中的
Figure BDA0003213502780000053
和
Figure BDA0003213502780000054
与现有技术相比，本发明的有益效果是：本方案中的算法由于利用了信号各距离单位间的耦合特性及信号的联合稀疏性，对快速旋转目标成像可获得很好的成像效果，且该算法的重构误差小，重构均方差低，重构结果好。
附图说明
图1为原始信号的前两列向量化后的信号幅度图。
图2为不同算法重构结果中对应部分的重构误差图。
图3为不同算法在不同稀疏度K时的重构MSE。
图4为不同信噪比下各算法的重构MSE。
图5为不同稀疏度下各算法的平均计算时间曲线图。
图6为目标散射点模型图。
图7为利用RD算法得到的目标二维ISAR图像。
图8为图7的局部放大图。
图9为采用二维OMP算法的成像结果图。
图10为采用二维SBL算法成像结果图。
图11为M-SBL算法重构得到的ISAR图像。
图12为M-FOCUSS算法重构得到的ISAR图像。
图13为SBL算法重构得到的ISAR图像。
图14为PC-SBL算法重构得到的ISAR图像。
图15为本算法重构得到的ISAR图像。
图16为图15的局部放大图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
实施例：
图1-16示出了本发明联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法的一个较佳实施方式，本实施例中的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法具体包括如下步骤：
S1、令
Figure BDA0003213502780000061
且α(0)中每一个元素值均为1，假设算法的最大迭代次数为G；
S2、对g＝0，1，2，...，G，对第g次迭代中的α(g)，根据
Figure BDA00032135027800000613
计算其后验概率密度函数的均值M和协方差∑，然后根据
Figure BDA0003213502780000062
来计算最大后验概率估计
Figure BDA0003213502780000063
Figure BDA0003213502780000064
S3、根据
Figure BDA0003213502780000065
来计算ui，然后根据
Figure BDA0003213502780000066
和
Figure BDA0003213502780000067
来更新超参数，得到新的超参数估计α(g+1)；
S4、若
Figure BDA0003213502780000068
则进行下一次循环迭代；若
Figure BDA0003213502780000069
则停止迭代，最终的重构结果为
Figure BDA00032135027800000610
若
Figure BDA00032135027800000611
则最终的重构结果为
Figure BDA00032135027800000612
本方案中的算法由于利用了信号各距离单位间的耦合特性及信号的联合稀疏性，对快速旋转目标成像可获得很好的成像效果，且该算法的重构误差小，重构均方差低，重构结果好。
在初始化参数前，先假设雷达发射线性射频信号，便可将接收的信号表示为：
Figure BDA0003213502780000071
将距离压缩后的信号表示为：
Figure BDA0003213502780000072
其中，c表示电磁波传播速度，ω0为匀速旋转的旋转角速度，R0表示转轴中心到雷达的距离，τ为快时间，tm为慢时间，Tp表示脉冲宽度，fc为载频，μ表示调频率。B表示发射信号带宽，Ak表示第k散射中心Pk(xk，yk)的散射系数，Ta表示相干积累时间，K表示散射点个数。
假设相干积累时间内的脉冲数为M，将脉冲重复频率划分为N个多普勒单元，(2)式中x(τ，t)的表示为：X＝[xnm]N×M，将稀疏表示理论应用于回波距离信号向，(1)式的矩阵形式表示为：Y＝ΦX+V。
其中，
Figure BDA0003213502780000073
为(1)式中y(τ，t)的矩阵形式，
Figure BDA0003213502780000074
表示噪声矩阵，稀疏字典ΦN×N可表示为：
Figure BDA0003213502780000075
如果
Figure BDA0003213502780000076
则
Figure BDA0003213502780000077
表示超分辨距离像。
矩阵XT可表示为如下形式：XT＝FA；
其中，A＝[amn]表示
Figure BDA0003213502780000078
的矩阵，为目标的二维超分辨ISAR图像，矩阵中元素值表示散射点的散射幅度。参数
Figure BDA0003213502780000079
和
Figure BDA00032135027800000710
表示了距离像的超分辨倍数，参数
Figure BDA00032135027800000711
和
Figure BDA00032135027800000712
表示了方位向的超分辨倍数。
Figure BDA00032135027800000713
表示部分傅里叶矩阵，也即：
Figure BDA0003213502780000081
完成对距离像的联合重构后，通过传统的CS重构方法解决XT＝FA的重构问题，来获取目标的ISAR图像。假设噪声V服从均值为0，方差为σ2I的多元高斯分布。
考虑从噪声观测中恢复原稀疏信号，观测信号可表示如下：ym＝Φxm+vm。可以看出，所示的稀疏信号可看作是Y＝ΦX+V的中信号矩阵X的第m列。为便于后续分析，将信号X的第i行记为x(i)，将信号X的第j列记为xj，xij表示信号X的第j列中的第i个元素。在传统的SBL框架下，通常假设信号xm服从给定的高斯先验分布，如下所示：
Figure BDA0003213502780000082
其中，
Figure BDA0003213502780000083
为控制信号xm稀疏度的参数。可以看出，当参数γi趋于无穷时，其对应的系数xim趋于零。
对于快速旋转类目标，利用传统的成像方法通常存在越距离单元徙动，而相邻距离单元的散射点的散射特性是相关的。本方案中每一距离单元的高斯似然函数模型不仅与其对应的超参数相关，也与其对应的超参数的相邻参数相关。
因此，将信号X的先验表示为：
Figure BDA0003213502780000084
其中，
Figure BDA0003213502780000085
且，p(xij|αi，αi+1，αi-1)＝N(xij|0，(αi+βαi+1+βαi-1)-1)。
其中，参数0≤β≤1表示距离单元信号x(i)与其相邻距离单元信号{x(i+1)，x(i-1)}的关联系数。对于初始距离单元x(1)和末尾距离单元x(N)，假设α0＝0且αN+1＝0。当β＝0时，高斯先验模型也就与传统的M-SBL的高斯先验模型一致。而相邻距离单元的系数通过它们共同的超参数进行耦合关联，并且在迭代学习过程中，这种耦合关联关系一直通过其共同的超参数保持。
假设超参数αi的超先验服从Gamma分布，即：
Figure BDA0003213502780000091
其中，
Figure BDA0003213502780000092
表示Gamma函数。
其中，
Figure BDA0003213502780000093
表示Gamma函数。参数b通常选择为一个非常小的值，比如10-4，而相比之下，参数a通常选择为一个较大的值，一般选择a∈[0，1]。
根据似然函数和先验分布，信号X第j列的概率密度函数满足：
Figure BDA0003213502780000094
便可得出S2中的均值M和协方差∑，即
Figure BDA0003213502780000095
其中D表示对角矩阵，且其第i个对角元素的值为αi+βαi+1+βαi-1，便可将D表示为：
Figure BDA0003213502780000096
假设参数α0＝αN+1＝0，利用期望最大化算法来计算后验概率密度函数p(α|Y)的最大后验概率估计，即计算EXY，α[logp(α|X)]，其中ExY，α[·]表示关于p(xj|yj；α)的分布函数的期望，信号X的MAP估计与其后验概率分布函数的均值一致，便有S2中的：
Figure BDA0003213502780000097
然后通过交替迭代地执行期望E-step和最大化M-step步骤，得到参数α在第g次迭代中的估计为α(g)，g＝1，2，3，...，G，其中，G表示最大迭代次数。
期望E-step步骤包括：
先假设超参数在第g次迭代中的估计为α(g)，且已知观测信号为Y，然后计算α的对数似然估计的期望值，即是α的Q函数，Q函数表示为：
Figure BDA0003213502780000098
将(3)式带入(4)式中，并忽略与α无关的常数项r，(4)式可近似改写为：
Figure BDA0003213502780000101
根据p(X|Y；α(g))的后验概率分布是一个多元高斯分布，且其均值方差均已知，(5)式可近似改写为：
Figure BDA0003213502780000102
最大化M-step步骤包括：
通过最大化Q函数得到α的新的估计，即是：
Figure BDA0003213502780000103
对(6)式利用梯度下降法寻求最优解，要求Q函数关于α在最优解处的一阶导数应为零，假设α*为(6)式的最优解，则：
Figure BDA0003213502780000104
将(5)式带入(7)式中，可得：
Figure BDA0003213502780000105
Figure BDA0003213502780000106
其中
Figure BDA0003213502780000107
然后假设v0＝0，vN+1＝0；
根据到{αi}和β均是非负的，可得：
Figure BDA0003213502780000108
从而可得S3中的
Figure BDA0003213502780000109
和
Figure BDA00032135027800001010
实验例一：
对比本算法与PC-SBL、M-FOCUSS、M-SBL等算法在仿真产生信号中的重构效果。假设原始稀疏信号X0的维数为100×20，且X0中每一列均包含K个非零元，同时各列非零元的位置相同。矩阵Φ的维数为40×100。假设各列中非零元集中分布在5个密集块中，也即信号X0满足模式耦合模型。
对于PC-SBL和PC-MSBL(即本方案的算法)算法，参数β＝1。对于M-FOCUSS和M-SBL算法，各参数均选取为默认值。考虑到向量化操作带来的大计算量，当利用PC-SBL算法重构原信号时，通过序列地重构原始信号的每一列，来实现二维稀疏信号的重构。
原始信号每一列的稀疏度为K＝15。定义信噪比为
Figure BDA0003213502780000111
且设置信噪比为30dB。由于原始信号X0为多通道信号，难以用信号幅度图将完整信号表示出来，如图1和图2所示，通过图示给出原始信号和重构信号的部分信号来进行对比。从图2可以看出，对比于其它算法，本方案的算法的重构误差最小，重构结果最好。
为进一步定量分析各算法的重构效果，这里引入均方误差(Mean Square Error，MSE)这个参数。假设参数以1为间隔从6变换到30。对于不同的值，均进行100次蒙特卡罗实验。当SNR＝30dB时，各算法在不同参数下的重构均方误差如图3所示。从图3可以看出，相比于其它算法，本方案的算法的重构均方误差最低，尤其是当K＞18时，本方案的算法的重构优势更为明显。
考察各算法在不同信噪比下的重构性能。设置稀疏度为K＝15，各算法关于参数SNR的重构均方误差如图4所示。假设SNR以2dB为间隔，从-20dB变换到30dB。如图5所示，同样利用平均CPU计算时间来衡量各算法的计算复杂度，对于各个不同的SNR值和K值，同样各进行了100次蒙特卡罗实验。
从图4可以看出，随着信噪比的增加，各算法的重构信号MSE均降低，且在不同信噪比下，本方案的算法的重构MSE均最小，重构效果最好。从图5看出，本方案的算法所需的计算时间与M-FOCUSS和M-SBL算法相近。虽然PC-SBL算法在某些条件下的重构效果与本方案的PC-MSBL算法类似，但其所需的运算时间是各算法中最长的。
实验例二：
建立扩展的波音747散射点模型，如图6所示，发射的线性调频信号载频为6GHz，带宽为600MHz，脉冲宽度为20us，脉冲重复频率为1500Hz。假设共接收300个脉冲信号进行相干处理并且已完成平动补偿，等效转台旋转角速度为0.5rad/s，这比一般目标的等效转台目标旋转角速度大很多。
利用RD算法得到的目标二维ISAR图像如图7和图8所示，模型中的很多散射点都存在散焦问题，这主要是由越距离单元徙动问题引起的。利用二维CS方法(采用二维OMP和二维SBL)得到的二维超分辨图像如图9和图10所示。此时，选取连续脉冲个数为16，F函数的维数设为16×256。
如图11-14，基于M-FOCUSS、M-SBL、和SBL算法得到的目标ISAR图像的主要问题在于，散射点并不刚好位于这些算法构造的稀疏基所划分的网格上，也即图11-13面临着基失配问题。虽然PC-SBL算法可更好地利用目标ISAR图像特性，得到分辨率更好的目标图像，然而由于没有利用各次回波信号的联合稀疏特性，往往得不到最稀疏解，其成像效果有待进一步提高。
如图15和图16所示，本算法重构得到的目标图像分辨率较高，相比其他算法，其成像效果最好，这主要是由于该算法利用了ISAR图像特性及信号间的联合稀疏特性。(其中，参数β＝1。)
通过100次仿真实验来计算各算法的平均运算时间，结果如表1所示。
表1不同算法的平均计算时间
Figure BDA0003213502780000121
以上仿真实验表明，本方案的算法重构效果最好，得到的成像质量最高，且运算复杂度较低。
尽管这里参照本发明的多个解释性实施例对本发明进行了描述，但是，应该理解，本领域技术人员可以设计出很多其他的修改和实施方式，这些修改和实施方式将落在本申请公开的原则范围和精神之内。更具体地说，在本申请公开、附图和权利要求的范围内，可以对主题组合布局的组成部件和/或布局进行多种变型和改进。除了对组成部件和/或布局进行的变形和改进外，对于本领域技术人员来说，其他的用途也将是明显的。

Claims (8)

1.一种联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于包括如下步骤：
S1、令
Figure FDA0003213502770000011
且α(0)中每一个元素值均为1，假设算法的最大迭代次数为G；
S2、对g＝0,1,2,...,G，对第g次迭代中的α(g)，根据
Figure FDA0003213502770000012
计算其后验概率密度函数的均值M和协方差Σ，然后根据
Figure FDA0003213502770000013
来计算最大后验概率估计
Figure FDA0003213502770000014
Figure FDA0003213502770000015
S3、根据
Figure FDA0003213502770000016
来计算ui，然后根据
Figure FDA0003213502770000017
和
Figure FDA0003213502770000018
来更新超参数，得到新的超参数估计α(g+1)；
S4、若
Figure FDA0003213502770000019
则进行下一次循环迭代；若
Figure FDA00032135027700000110
则停止迭代，最终的重构结果为
Figure FDA00032135027700000111
若
Figure FDA00032135027700000112
则最终的重构结果为
Figure FDA00032135027700000113
2.根据权利要求1所述的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于：在初始化参数前，先假设雷达发射线性射频信号，便可将接收的信号表示为：
Figure FDA00032135027700000114
将距离压缩后的信号表示为：
Figure FDA00032135027700000115
假设相干积累时间内的脉冲数为M，将脉冲重复频率划分为N个多普勒单元，(2)式中x(τ,t)的表示为：X＝[xnm]N×M，将稀疏表示理论应用于回波距离信号向，(1)式的
矩阵形式表示为：Y＝ΦX+V。
3.根据权利要求2所述的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于：将信号X的先验表示为：
Figure FDA0003213502770000021
其中，
Figure FDA0003213502770000022
且，p(xij|αi,αi+1,αi-1)＝N(xij|0,(αi+βαi+1+βαi-1)-1)。
4.根据权利要求3所述的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于：假设超参数αi的超先验服从Gamma分布，即：
Figure FDA0003213502770000023
其中，
Figure FDA0003213502770000024
表示Gamma函数。
5.根据权利要求4所述的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于：根据似然函数和先验分布，信号X第j列的概率密度函数满足：
Figure FDA0003213502770000025
便可得出S2中的均值M和协方差Σ，即
Figure FDA0003213502770000026
其中D表示对角矩阵，且其第i个对角元素的值为αi+βαi+1+βαi-1，便可将D表示为：
Figure FDA0003213502770000027
6.根据权利要求5所述的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于：假设参数α0＝αN+1＝0，利用期望最大化算法来计算后验概率密度函数p(α|Y)的最大后验概率估计，即计算EX|Y,α[log p(α|X)]，其中EX|Y,α[·]表示关于p(xj|yj；α)的分布函数的期望，信号X的MAP估计与其后验概率分布函数的均值一致，便有S2中的：
Figure FDA0003213502770000028
然后通过交替迭代地执行期望E-step和最大化M-step步骤，得到参数α在第g次迭代中的估计为α(g)。
7.根据权利要求6所述的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于：期望E-step步骤包括：
先假设超参数在第g次迭代中的估计为α(g)，且已知观测信号为Y，然后计算α的对数似然估计的期望值，即是α的Q函数，Q函数表示为：
Figure FDA0003213502770000031
将(3)式带入(4)式中，并忽略与α无关的常数项r，(4)式可近似改写为：
Figure FDA0003213502770000032
根据p(X|Y；α(g))的后验概率分布是一个多元高斯分布，且其均值方差均已知，(5)式可近似改写为：
Figure FDA0003213502770000033
8.根据权利要求7所述的联合模式耦合稀疏贝叶斯学习超分辨ISAR成像算法，其特征在于：最大化M-step步骤包括：
通过最大化Q函数得到α的新的估计，即是：
Figure FDA0003213502770000034
对(6)式利用梯度下降法寻求最优解，要求Q函数关于α在最优解处的一阶导数应为零，假设α*为(6)式的最优解，则：
Figure FDA0003213502770000035
将(5)式带入(7)式中，可得：
Figure FDA0003213502770000036
Figure FDA0003213502770000041
其中
Figure FDA0003213502770000042
然后假设v0＝0，vN+1＝0；
根据到{αi}和β均是非负的，可得：
Figure FDA0003213502770000043
从而可得S3中的
Figure FDA0003213502770000044
和
Figure FDA0003213502770000045
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