CN113297696B - 一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法 - Google Patents

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CN113297696B CN202110578192.4A CN202110578192A CN113297696B CN 113297696 B CN113297696 B CN 113297696B CN 202110578192 A CN202110578192 A CN 202110578192A CN 113297696 B CN113297696 B CN 113297696B
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Abstract

本发明公开了一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，包括：分别建立刀齿j的局部坐标系、球头铣刀坐标系、主轴随动坐标系、刀具瞬时进给坐标系、工件坐标系，基于齐次坐标变换原理得到球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点在工件坐标系下的轨迹方程；建立刀齿微元的微元切削力模型；识别刀‑工切触区间；计算瞬时未变形切屑厚度；辨识得到切削力系数。基于齐次坐标变换原理建立球头铣刀加工过程中刀齿的运动轨迹，根据球头铣刀铣削的实际情况，提出切削力系数辨识方法、刀‑工切触区域的半解析识别方法、未变形切削厚度的求解方法，以期为后续研究提供基础，也为实际加工过程中加工参数的选择提供参考依据。

Description

一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法
技术领域
本发明属于机械加工技术领域，涉及一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法。
背景技术
球头铣刀广泛应用于模具、汽车和航空航天等行业中相关零件重要表面的铣削加工中，深入研究球头铣刀铣削机理对于提高产品质量有着重要的意义，然而，其静态铣削力的建模是切削机理研究的重点，是后续动力学建模的基础和关键，也是切削参数选择和优化的关键依据。
刀-工切触区域的识别是静态铣削力建模的关键环节，其准确程度和计算效率直接影响着静态铣削力预测的精度和效率，然而，球头铣刀的刀齿刃形复杂，加之姿态调整和跳动误差等因素的影响，刀-工切触区域识别的难度较大，目前常用的刀-工切触区域识别方法中实体建模与布尔运算法使用刀具扫描体的扫掠包络面简化刀齿的真实扫掠体，忽略刀齿上切削点的余摆线运动，具有一定的原理性误差。Z-MAP离散法通过微元离散的思路能够较好地判断刀齿的切触状态，提高刀-工切触区域的识别精度，但存在精度和效率平衡的问题，影响着后续研究的应用。有学者用半解析法识别了球头铣刀铣削时的刀-工切触区域，在五轴铣削的情况中，将扫掠面始终等效为以刀具球头半径为半径的球面，也没有考虑到偏心所导致的实际作用半径变化，从而导致了一定的误差。
瞬时未变形切屑厚度计算的方法主要有刀具平移法和解析计算法。当刀具姿态调整时解析计算法的建模难度增大，为简化计算往往采用圆弧近似余摆线扫掠轨迹，使得模型误差增大。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，能减小模型误差。
本发明所采用的技术方案是，一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，包括以下步骤：
步骤1、分别建立刀齿j的局部坐标系、球头铣刀坐标系、主轴随动坐标系、刀具瞬时进给坐标系、工件坐标系，基于齐次坐标变换原理得到球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点在工件坐标系下的轨迹方程；
步骤2、将刀齿分割成等刀齿轴向位置角增量的诸多刀齿微元，建立刀齿微元的微元切削力模型；
步骤3、识别刀-工切触区间；
步骤4、以刀齿j上的离散点i在时刻t的扫掠点QC到刀位点OCL的连线作为参考线，计算QC与前面刀齿的扫掠面和参考线的交点QL之间的距离，得到瞬时未变形切屑厚度；
步骤5、将切削力系数表示为刀具轴向位置角的多项式，根据平均铣削力对刀具轴向位置角的多项式中的待定系数进行计算，进而辨识得到切削力系数。
本发明的特点还在于：
步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1、以球头铣刀的球头中心为坐标原点Oj，建立刀齿j的局部坐标系Oj-XjYjZj，简称{j}；得到球头铣刀的任意刀齿j上任意点P在局部坐标系{j}中的坐标；
步骤1.2、以球头铣刀的球头中心为坐标原点OC，建立球头铣刀坐标系OC-XCYCZC，简称{C}；得到局部坐标系{j}相对于球头铣刀坐标系{C}的齐次坐标变换矩阵；
步骤1.3、以主轴中心为坐标原点OA，在机床主轴上建立主轴随动坐标系OA-XAYAZA，简称{A}，坐标轴
Figure GDA0004150837660000031
与主轴轴线重合；得到球头铣刀坐标系{C}相对于主轴随动坐标系{A}的齐次坐标变换矩阵；
步骤1.4、建立刀具瞬时进给坐标系OCL-XCLYCLZCL为，简称{CL}得到主轴随动坐标系{A}相对于刀具瞬时进给坐标系{CL}的齐次坐标变换矩阵；
步骤1.5、在工件上建立全局坐标系OW-XWYWZW，简称{W}，得到{CL}相对于{W}的齐次坐标变换矩阵；
结合步骤1.1-1.5，通过齐次坐标矩阵变换可得到球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点P在{W}下的轨迹方程为：
Figure GDA0004150837660000032
步骤2具体包括以下步骤：
步骤2.1、将刀齿分割成等刀齿轴向位置角增量的诸多刀齿微元，以刀齿离散点i的特征信息来代表刀齿上(i-1)～i点之间的刀齿微元i信息，刀齿j上的刀齿微元i在时刻t所受的切削力分解为切向单元力切削力dFt(j,i,t)、径向单元力切削力dFr(j,i,t)、轴向单元力切削力dFa(j,i,t)，根据切削力的机械建模法，可得：
Figure GDA0004150837660000041
式中，g(j,i,t)为单位阶跃函数，当刀齿j上的刀齿微元i在时刻t与工件切触时，g(j,i,t)＝1，否则，g(j,i,t)＝0；h(j,i,t)为刀齿j上的刀齿微元i在时刻t切削的瞬时未变形切屑厚度；Kt、Kr和Ka分别为切向、径向和轴向力系数；
步骤2.2、将刀齿微元i在时刻t所受的切向单元力切削力dFt(j,i,t)、径向单元力切削力dFr(j,i,t)、轴向单元力切削力dFa(j,i,t)转化至{A}下，则球头铣刀在时刻t所受的瞬时切削力在主轴随动坐标系{A}下表示为：
Figure GDA0004150837660000042
式中，ni为刀齿微元总数；
通过齐次坐标变换原理得到球头铣刀在时刻t所受的瞬时切削力在工件坐标系{W}下表示为：
Figure GDA0004150837660000043
步骤3.1具体包括以下步骤：
步骤3.1.1、求解边界线I；
刀齿扫掠球面、上一刀齿扫掠球面的交线，即边界线I的表示方式为：
Figure GDA0004150837660000051
将上次进给加工形成的表面简化为柱状面，在坐标系{CL}下可表示为：
(yCL+fp)2+(zCL)2＝R2 (25)；
联立(24)和(25)，可得点S在{CL}下的坐标为
Figure GDA0004150837660000052
工件顶面在坐标系{CL}下的方程为：
zCL＝-(R-ap) (27)；
联立(24)和(27)，可得点M在坐标系{CL}下的坐标为：
Figure GDA0004150837660000053
通过齐次变换求出了边界线I、端点S、端点M在坐标系{A}下的坐标：
Figure GDA0004150837660000061
步骤3.1.2、求解边界线II；
在{CL}下，通过联立(22)和(27)得到当前刀齿的扫掠面与待加工表面的交线的方程，即边界线II：
Figure GDA0004150837660000062
联立(25)和(30)可得到在坐标系{CL}下点N的坐标：
Figure GDA0004150837660000063
通过齐次坐标变换将边界线II、端点N的坐标转化至{A}下：
Figure GDA0004150837660000064
步骤3.1.3、求解边界线III；
通过联立(22)和(25)得到在{CL}下，当前刀齿的扫掠面与上次进给完成的已加工表面的交线的方程，即边界线III：
Figure GDA0004150837660000065
通过齐次坐标变换将边界线III的方程转化至{A}：
Figure GDA0004150837660000071
步骤3.2具体包括以下步骤：
步骤3.2.1、假定刀齿轴向位置角的离散精度为Δθ，选择每条边界线上离散点之间的最大距离小于πΔθRcosγ/180的离散点，带入(29)、(32)和(34)求出每条边界线上离散点在{A}下的坐标值；
步骤3.2.2、通过式(35)、(36)求出步骤3.2.1得到的每条边界线上离散点所对应的刀齿轴向位置角
Figure GDA0004150837660000072
径向位置角/>
Figure GDA0004150837660000073
找出每条边界线所对应的当前刀齿起切触作用的最大、最小轴向位置角/>
Figure GDA0004150837660000074
并从三条边界线中找出最大、最小轴向位置角
Figure GDA0004150837660000075
即得到当前刀齿在主轴一转范围内切触工件的轴向位置角范围/>
Figure GDA0004150837660000076
Figure GDA0004150837660000077
式中，mm∈(I,II,III)，n为边界线上离散点的标号，nn＝1，2，…Nnn，Nnn为边界线上离散点的总数；
Figure GDA00041508376600000711
式中，
Figure GDA0004150837660000078
为/>
Figure GDA0004150837660000079
的反正切函数，其主值域为(-180°,180°)；/>
步骤3.2.3、搜寻轴向位置角范围
Figure GDA00041508376600000710
内的所有刀齿离散点所对应的径向位置角，按照第一切入角、第一切出角、第二切入角、第二切出角……顺序确定刀齿j上的当前轴向位置角θ的刀-工切触区间，即得到每个刀齿在主轴每一转范围内的刀-工切触区域。
步骤4具体包括以下步骤：
步骤4.1、根据公式(9)可得到当前刀齿j上的离散点i在时刻t的扫掠点QC的坐标；
步骤4.2、忽略上一刀齿的进给运动，将前扫掠面简化为球面，假定参考线和球面的交点为Q*，在{CL}下联立球面方程和参考线方程：
Figure GDA0004150837660000081
式中，
Figure GDA0004150837660000082
为点Q*在坐标系{CL}中的坐标值，/>
Figure GDA0004150837660000083
为点QC在坐标系{CL}中的坐标值；
由于
Figure GDA0004150837660000084
已知，求解式(37)，利用齐次坐标变换原理，获取Q*在机床主轴随动坐标系{A}中的坐标：
Figure GDA0004150837660000085
则点Q*的轴向位置角、径向位置角分别如公式(40)、(41)：
Figure GDA0004150837660000086
Figure GDA0004150837660000087
根据式(40)和(41)求出QC轴向位置角θC和径向位置角φC，进而由螺旋滞后角计算公式算出QC、Q*所对应的螺旋滞后角ψC、
Figure GDA0004150837660000089
近似求出被切削点Q*所对应的切削时刻/>
Figure GDA0004150837660000088
同时，近似认为点QC、QL所对应刀位点之间的距离为每齿进给量fz，根据正弦定理近似求出QL的轴向位置角/>
Figure GDA0004150837660000091
Figure GDA0004150837660000092
由于QL在刀齿作用线OCLQL上，按照直线公式建立方程组：
Figure GDA0004150837660000093
式中，
Figure GDA0004150837660000094
为QC在工件坐标系{W}中的坐标，/>
Figure GDA0004150837660000095
为刀位点OCL在工件坐标系{W}中的坐标；
以
Figure GDA0004150837660000096
为初值点，即/>
Figure GDA0004150837660000097
应用Newton-Raphson方法求得方程组(43)的解，如下式所示：
Figure GDA0004150837660000098
式中，k为迭代次数，k＝0,1,2,…；迭代终止条件为[tk-tk-1θk-θk-1]T＝[0.05λt0.05λθ]T；
将式(44)所求得的结果带入式(9)，可得QL在工件坐标系{W}中的坐标：
Figure GDA0004150837660000099
最后按照下式求出未变形切屑厚度：
Figure GDA0004150837660000101
步骤5具体包括以下步骤：
步骤5.1、将切削力系数表示成刀具轴向位置角的如下多项式：
Figure GDA0004150837660000102
式中，a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2、b3、c0、c1、c2和c3为待定系数；
Figure GDA0004150837660000103
步骤5.2、计算吃刀深度ap所对应的最大轴向位置角
Figure GDA0004150837660000104
步骤5.3、按下式计算未变形切屑厚度：
h(j,θ,t)＝fzsinφ(j,t)sinθ (48)
式中，φ(j,t)为平面刃刀齿j在时刻t的径向位置角，规定绕矢量
Figure GDA0004150837660000105
顺时针方向旋转所形成的夹角为正，φ(j,t)计算公式如下：
Figure GDA0004150837660000106
/>
式中，φ0为基准刀齿在初始状态下的径向位置角；
如果φ(j,t)∈[-90,90]，则刀齿微元切触工件，g(j,θ,t)＝1；否则，g(j,θ,t)＝0；
步骤5.4、将公式(10)中的g(j,i,t)、dFt(j,i,t)、dFr(j,i,t)、dFa(j,i,t)用g(j,θ,t)、dFt(j,θ,t)、dFr(j,θ,t)、dFa(j,θ,t)表示，综合公式(10)、(48)和(49)，将dFt(j,θ,t)、dFr(j,θ,t)、dFa(j,θ,t)转换到坐标轴OAXA、OAYA、OAZA方向上，公式如下：
Figure GDA0004150837660000111
步骤5.5、在一定的吃刀深度下，对时刻t刀齿j上所有参与铣削的刀齿微元的铣削力求和，可得到在时刻t刀齿j所受的铣削力，再对该时刻所有刀齿所受的铣削力求和，最终可获得刀具在时刻t受到的总的瞬时铣削力，如下式所示：
Figure GDA0004150837660000112
使用公式(48)将(51)中的时间变量t变为刀齿位置角变量φ，进而可得出主轴一转范围内刀具在坐标轴OAXA、OAYA和OAZA方向上所受的平均铣削力：
Figure GDA0004150837660000113
通过试验得到主轴旋转一转范围内的平均铣削力
Figure GDA0004150837660000114
和/>
Figure GDA0004150837660000115
代入公式(52)，然后利用最小二乘法回归出公式(47)所示的切削力系数公式中的待定系数a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2、b3、c0、c1、c2和c3，从而，辨识出了切削力系数Kt、Kr和Ka。
本发明的有益效果是：
本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，基于齐次坐标变换原理建立球头铣刀加工过程中刀齿的运动轨迹，根据球头铣刀铣削的实际情况，提出切削力系数辨识方法、刀-工切触区域的半解析识别方法、未变形切削厚度的求解方法，以期为后续研究提供基础，也为实际加工过程中加工参数的选择提供参考依据。
附图说明
图1是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的球头铣刀铣削运动的参考坐标系图；
图2a是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的螺旋刃球头铣刀的铣削轨迹轴测图；
图2b是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的铣削轨迹俯视图；
图3a是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的考虑刀具跳动的坐标系的轴测图；
图3b是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的考虑刀具跳动的坐标系的俯视图；
图4是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的刀具的姿态调整及走刀轨迹图；
图5是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的倾斜铣削时的刀-工切触区域；
图6是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的刀齿微元受力图；
图7是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的球头铣刀铣削瞬时状态示意图；
图8是本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法的铣削力系数辨识示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。
一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，包括以下步骤：
步骤1、如图1所示，分别建立刀齿j的局部坐标系、球头铣刀坐标系、主轴随动坐标系、刀具瞬时进给坐标系、工件坐标系，基于齐次坐标变换原理得到球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点在工件坐标系下的轨迹方程；
步骤1.1、以球头铣刀的球头中心为坐标原点Oj，建立刀齿j的局部坐标系Oj-XjYjZj，简称{j}，坐标轴
Figure GDA0004150837660000131
与刀齿j的刃线在坐标平面/>
Figure GDA0004150837660000132
上投影线起点的切线方向重合；
如图2所示，以实际生产中广泛应用的定导程螺旋刃球头铣刀的铣削为研究对象，球头铣刀的任意刀齿j上任意点P在局部坐标系{j}中的坐标为：
Figure GDA0004150837660000133
式中，θ为点P的轴向位置角，R为刀具半径，ψ为点P对应的螺旋滞后角，ψ＝180tanγ0(1-cosθ)/π，其中γ0为圆柱面上刀齿刃口曲线的螺旋角；
步骤1.2、以球头铣刀的球头中心为坐标原点OC，建立球头铣刀坐标系OC-XCYCZC，简称{C}，且坐标轴
Figure GDA0004150837660000134
与/>
Figure GDA0004150837660000135
完全一致，/>
Figure GDA0004150837660000136
与刀具的理论轴线重合，且与/>
Figure GDA0004150837660000137
始终保持平行，/>
Figure GDA0004150837660000138
与基准刀齿(第一个刀齿)刃线在坐标平面OCXCYC上投影线起点的切线方向重合；
刀齿j与基准刀齿的夹角φj＝360(j-1)/nt，其中，nt为刀齿总数，则局部坐标系{j}相对于球头铣刀坐标系{C}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure GDA0004150837660000141
步骤1.3、以主轴中心为坐标原点OA，在机床主轴上建立主轴随动坐标系OA-XAYAZA，简称{A}，坐标轴
Figure GDA0004150837660000142
与主轴轴线重合，坐标轴/>
Figure GDA0004150837660000143
与/>
Figure GDA0004150837660000144
之间的夹角为μ0+φC(μ0为主轴未开始旋转的初始状态下两者之间的夹角，φC为t时刻主轴旋转过的角度，φC＝ωt)；
由于制造和装夹误差等因素的影响，刀具的中心轴线与主轴的中心轴线之间总存在偏心，如图3所示。假设坐标原点OC和坐标原点OA之间的偏心距离为ρ，矢量
Figure GDA0004150837660000145
相对于坐标轴/>
Figure GDA0004150837660000146
的夹角为μ，且规定绕坐标轴/>
Figure GDA0004150837660000147
顺时针旋转方向为正，主轴顺时针方向旋转，其转速为N，则角速度ω＝πN/30，t时刻旋转过的角度φC＝180ωt/π，则球头铣刀坐标系{C}相对于主轴随动坐标系{A}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure GDA0004150837660000148
式中，μ＝μ0+φC，其中，μ0为初始状态下
Figure GDA0004150837660000149
与/>
Figure GDA00041508376600001410
的初始夹角；本实施例中设定μ0＝0；
步骤1.4、建立刀具瞬时进给坐标系OCL-XCLYCLZCL为，简称{CL}，坐标轴矢量
Figure GDA00041508376600001411
与进给速度方向平行且同向，/>
Figure GDA00041508376600001412
为理想的被加工表面的法线方向，指向实体外，/>
Figure GDA00041508376600001413
为/>
Figure GDA00041508376600001414
与/>
Figure GDA00041508376600001415
的叉乘；当/>
Figure GDA00041508376600001416
与/>
Figure GDA00041508376600001417
完全重合时，该坐标系的另外两个坐标轴及其方向与{CL}的完全重合，但是，实际工况当刀具姿态调整时，/>
Figure GDA0004150837660000151
与/>
Figure GDA0004150837660000152
之间存在夹角，体现为刀具相对于工件被加工表面的侧倾和前倾。如图4所示，所以通过使{A}通过相对于
Figure GDA0004150837660000153
和/>
Figure GDA0004150837660000154
的旋转实现主轴姿态的调整，进而实现刀具姿态的调整，从而获得不同的铣削方式，具体如下：
坐标轴矢量
Figure GDA0004150837660000155
方向为刀具进给方向，/>
Figure GDA0004150837660000156
为刀具间歇进给方向，主轴随动坐标系{A}分别绕这两个坐标轴矢量旋转实现主轴姿态的调整。主轴姿态调整后坐标系{A}的坐标轴矢量/>
Figure GDA0004150837660000157
在坐标平面YCLOCLZCL上的投影线与坐标轴矢量/>
Figure GDA0004150837660000158
间的夹角，称为侧倾角，用α表示；坐标轴矢量/>
Figure GDA0004150837660000159
在坐标平面XCLOCLZCL上的投影与坐标轴矢量/>
Figure GDA00041508376600001510
之间的夹角，称为前倾角，用β表示。先使{A}绕/>
Figure GDA00041508376600001511
旋转角度β'，使β'＝arctan(tanβcosα)，再使{A}绕/>
Figure GDA00041508376600001512
旋转角度α，且定义绕各自参考方向的正方向逆时针旋转为正，则刀具侧倾和前倾的齐次坐标变换矩阵分别为
Figure GDA00041508376600001513
Figure GDA00041508376600001514
则主轴随动坐标系{A}相对于刀具瞬时进给坐标系{CL}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure GDA0004150837660000161
步骤1.5、在工件上建立全局坐标系OW-XWYWZW，简称{W}，假定进给时OCL在{W}的坐标为(xCL,yCL,zCL)，则{CL}相对于{W}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure GDA0004150837660000162
式中，
Figure GDA0004150837660000163
和/>
Figure GDA0004150837660000164
分别表示坐标轴/>
Figure GDA0004150837660000165
和/>
Figure GDA0004150837660000166
上的单位矢量，下标x、y和z表示各矢量在/>
Figure GDA0004150837660000167
和/>
Figure GDA0004150837660000168
上的投影矢量；
本实施例将单向直线进给铣削平面作为研究对象，则{CL}相对于{W}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure GDA0004150837660000169
/>
式中，(x0,y0)为首次进给时OCL在{W}中的起始位置，q为刀具进给次数(q＝1,2,3…)，t为刀具从第1次走刀开始至当前位置所用时间，fz为每齿进给量，fp为进给行距，L为单次走刀长度，R为刀具半径，wh为毛坯高度，ap为吃刀深度；
结合公式(1)-(6)及(8)，通过齐次坐标矩阵变换可得到球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点P在{W}下的轨迹方程为：
Figure GDA0004150837660000171
步骤2、如图5所示，将刀齿分割成等刀齿轴向位置角增量的诸多刀齿微元，建立刀齿微元的微元切削力模型；
步骤2.1、将刀齿分割成等刀齿轴向位置角增量的诸多刀齿微元，以刀齿离散点i的特征信息来代表刀齿上(i-1)～i点之间的刀齿微元i信息，刀齿j上的刀齿微元i在时刻t所受的切削力分解为切向单元力切削力dFt(j,i,t)、径向单元力切削力dFr(j,i,t)、轴向单元力切削力dFa(j,i,t)，根据切削力的机械建模法，可得：
Figure GDA0004150837660000172
式中，g(j,i,t)为单位阶跃函数，当刀齿j上的刀齿微元i在时刻t与工件切触时，g(j,i,t)＝1，否则，g(j,i,t)＝0；h(j,i,t)为刀齿j上的刀齿微元i在时刻t切削的瞬时未变形切屑厚度；Kt、Kr和Ka分别为切向、径向和轴向力系数；
步骤2.2、将刀齿微元i在时刻t所受的切向单元力切削力dFt(j,i,t)、径向单元力切削力dFr(j,i,t)、轴向单元力切削力dFa(j,i,t)通过公式(11)转化至{A}下：
Figure GDA0004150837660000173
式中，φ(j,i,t)为坐标原点OA与刀齿j上离散点i在时刻t所在位置的连线在平面XAOAYA上的投影相对于坐标轴矢量
Figure GDA0004150837660000181
顺时针转过的角度，/>
Figure GDA0004150837660000182
为刀齿j上离散点i和坐标原点OA的连线与OAZA的锐角夹角；
则球头铣刀在时刻t所受的瞬时切削力在主轴随动坐标系{A}下表示为：
Figure GDA0004150837660000183
式中，ni为刀齿微元总数；
通过齐次坐标变换原理得到球头铣刀在时刻t所受的瞬时切削力在工件坐标系{W}下表示为：
Figure GDA0004150837660000184
步骤3、实际加工中，往往通过程序设计使主轴姿态调整，进而实现刀具姿态的调整，是防止刀具与被加工工件干涉的需要，更是避开球头铣刀刀头部分实现高质高效切削的需要。然而，刀具姿态调整使得刀-工切触区域的识别难度较大。根据球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点的轨迹确定刀-工切触区域为如图6所示的黄色部分，即边界线I、边界线II、边界线III形成的区域，求解边界线I、边界线II、边界线III及三条边界线的交点；边界线I为当前刀齿与上一刀齿各扫掠面之间的交线，边界线II为当前刀齿的扫掠面与待加工表面的交线，边界线III为当前刀齿的扫掠面与上次进给完成的已加工表面的交线；从边界线I、边界线II、边界线III中找出刀齿起切触作用的最大、最小轴向位置角
Figure GDA0004150837660000191
搜寻轴向位置角范围/>
Figure GDA0004150837660000192
内的所有刀齿j上离散点i所对应的径向位置角，根据径向位置角对刀齿j上离散点i进行筛选，确定刀齿j上的当前轴向位置角θ的刀-工切触区间。
步骤3.1、求解边界线I；
为了简化计算，只考虑刀齿的旋转运动，忽略相邻两刀齿之间的连续进给运动，将上一刀齿的扫掠面简化为球面，该球面的半径等于与表面法线方向一致的刀齿切削点的实际工作半径，通过求解当前刀齿旋转扫掠面与球面的交线可以求出边界线I。然而，生产实际中由于刀具偏心的作用，当刀具绕坐标轴
Figure GDA0004150837660000193
以角速度ω旋转时，不同刀齿上具有相同轴向位置角的切削点的回转半径是不同的，相邻两齿间的容屑角(如图3所示的ηP)也随着刀齿轴向位置角的变化而变化。根据步骤1的分析可知，在不考虑主轴旋转时，刀齿j上的离散点i在{A}中的坐标为：
Figure GDA0004150837660000194
式中，MAC|φC＝0为不考虑主轴旋转而仅考虑刀具偏心情况下的{C}相对于{A}的变换矩阵，
Figure GDA0004150837660000195
表示刀齿j上的离散点i在{j}中的坐标；
刀齿j上的离散点i相对于坐标轴
Figure GDA0004150837660000196
的回转半径，即实际切削半径/>
Figure GDA0004150837660000197
在μ0＝0的情况下，由式(14)可得：
Figure GDA0004150837660000198
同理，其实际轴向位置角
Figure GDA0004150837660000199
为：
Figure GDA0004150837660000201
则基准刀齿上离散点i的实际螺旋滞后角为：
Figure GDA0004150837660000202
式中，ψi、θi分别为理想的刀齿离散点i的螺旋滞后角、轴向位置角；
则刀齿j上离散点i的实际切削半径矢量为：
Figure GDA0004150837660000203
主轴轴线相对于加工表面法线的夹角为
Figure GDA0004150837660000204
使刀齿j上离散点i的实际轴向位置角
Figure GDA0004150837660000205
等于γ，将其带入式(16)得到刀齿j离散点i的位置，进而得到理论轴向位置角θi，即可获知该刀齿j上与被加工表面法线方向一致的切削点；然后，由式(15)求出切削点的实际切削半径/>
Figure GDA0004150837660000206
并根据下式求出相邻两齿的切削点的半径矢量/>
Figure GDA0004150837660000207
和/>
Figure GDA0004150837660000208
之间的径向夹角：
Figure GDA0004150837660000209
当相邻两齿的特征切削点的半径矢量与工件表面法线一致时，留在工件上的两个切削点之间在进给方向的距离为：
Figure GDA00041508376600002010
将当前刀齿的扫掠面简化为球面，忽略当前刀齿的进给运动，只考虑OA在距上一刀齿扫掠面中心距离为
Figure GDA00041508376600002011
处刀齿做旋转运动时，在{CL}下，当前刀齿扫掠面、上一刀齿扫掠面的方程分别如式(22)、(23)：
Figure GDA0004150837660000211
式中，
Figure GDA0004150837660000212
表示刀齿j上的离散点i至OA点的距离；
Figure GDA0004150837660000213
根据式(22)、(23)可得到刀齿扫掠球面、上一刀齿扫掠球面的交线，即边界线I：
Figure GDA0004150837660000214
将上次进给加工形成的表面简化为柱状面，在坐标系{CL}下可表示为：
(yCL+fp)2+(zCL)2＝R2 (25)；
联立(24)和(25)，可得点S在{CL}下的坐标为
Figure GDA0004150837660000215
工件顶面在坐标系{CL}下的方程为：
zCL＝-(R-ap) (27)；
联立(24)和(27)，可得点M在坐标系{CL}下的坐标为：
Figure GDA0004150837660000221
通过齐次变换求出了边界线I、端点S、端点M在坐标系{A}下的坐标：
Figure GDA0004150837660000222
求解边界线II；
在{CL}下，通过联立(22)和(27)得到当前刀齿的扫掠面与待加工表面的交线的方程，即边界线II：
Figure GDA0004150837660000223
联立(25)和(30)可得到在坐标系{CL}下点N的坐标：
Figure GDA0004150837660000224
通过齐次坐标变换将边界线II、端点N的坐标转化至{A}下：
Figure GDA0004150837660000225
求解边界线III；
通过联立(22)和(25)得到在{CL}下，当前刀齿的扫掠面与上次进给完成的已加工表面的交线的方程，即边界线III：
Figure GDA0004150837660000231
/>
通过齐次坐标变换将边界线III的方程转化至{A}：
Figure GDA0004150837660000232
步骤3.2.为了简化复杂的计算，在边界线I、II、III从坐标系{CL}转化至{A}之前，对其进行离散。假定刀齿轴向位置角的离散精度为Δθ，由于要保证转化后边界线上离散点之间的最大距离不超过πΔθR0/180，所以选择每条边界线上离散点之间的最大距离小于πΔθRcosγ/180的离散点，带入(29)、(32)和(34)求出每条边界线上离散点在{A}下的坐标值；
通过式(35)、(36)求出步骤3.2.1得到的每条边界线上离散点所对应的刀齿轴向位置角
Figure GDA0004150837660000233
径向位置角/>
Figure GDA0004150837660000234
找出每条边界线所对应的当前刀齿起切触作用的最大、最小轴向位置角/>
Figure GDA0004150837660000235
并从三条边界线中找出最大、最小轴向位置角/>
Figure GDA0004150837660000236
即得到当前刀齿在主轴一转范围内切触工件的轴向位置角范围/>
Figure GDA0004150837660000237
Figure GDA0004150837660000238
式中，mm∈(I,II,III)，n为边界线上离散点的标号，nn＝1，2，…Nnn，Nnn为边界线上离散点的总数；
Figure GDA0004150837660000239
式中，
Figure GDA0004150837660000241
为/>
Figure GDA0004150837660000242
的反正切函数，其主值域为(-180°,180°)；
搜寻轴向位置角范围
Figure GDA0004150837660000243
内的所有刀齿离散点所对应的径向位置角，大多数情况下，一刀齿离散点的切入和切出发生在不同的边界线上，但是，也存在一条边界线切入并切出的少数情况，同时，考虑到某一刀齿离散点可能存在两次切入和切出的情况，因此，用结构数组存储切入切出角。具体过程如下：a.从/>
Figure GDA0004150837660000245
开始，以Δθ为增量，判断当前刀齿j的轴向位置角θ所属边界线区间/>
Figure GDA0004150837660000244
b.找到的每条边界线中轴向位置角接近θ的10个离散点，并按相对于θ绝对差值的升序排列；c.对排列之后的每条边界线中的离散点，从第二个开始，剔除与相邻的上一个离散点的径向位置角绝对差值小于3°的离散点；d.将筛选之后的所有边界线上的离散点放在一起，按径向位置角升序排列，同样，从第二个开始，剔除与相邻的上一个离散点的径向位置角绝对差值小于3°的离散点，完成二次筛选；如果本次筛选完之后只剩下一个离散点，则需要将最后一个剔除的离散点重新添加；e.将步骤d得到的按径向位置角升序排列的边界线离散点，按照第一切入角、第一切出角、第二切入角、第二切出角……顺序确定刀齿j上的当前轴向位置角θ的刀-工切触区间，即得到每个刀齿在主轴每一转范围内的刀-工切触区域。
步骤4、以刀齿j上的离散点i在时刻t的扫掠点QC到刀位点OCL的连线作为参考线，如图7所示，参考线上的两点QL和QC之间的距离为未变形切屑厚度h(j,i,t)，计算QC与前面刀齿的扫掠面和参考线的交点QL之间的距离，得到瞬时未变形切屑厚度；
步骤4.1、根据公式(9)可得到当前刀齿j上的离散点i在时刻t的扫掠点QC的坐标；
步骤4.2、忽略上一刀齿的进给运动，将前扫掠面简化为球面，假定参考线和球面的交点为Q*，在{CL}下联立球面方程和参考线方程：
Figure GDA0004150837660000251
式中，
Figure GDA0004150837660000252
为点Q*在坐标系{CL}中的坐标值，/>
Figure GDA0004150837660000253
为点QC在坐标系{CL}中的坐标值；
由于
Figure GDA0004150837660000254
已知，求解式(37)，根据实际加工情况，舍弃/>
Figure GDA0004150837660000255
的大的取值，得
Figure GDA0004150837660000256
利用齐次坐标变换原理，获取Q*在机床主轴随动坐标系{A}中的坐标：
Figure GDA0004150837660000257
则点Q*的轴向位置角、径向位置角分别如公式(40)、(41)：
Figure GDA0004150837660000258
Figure GDA0004150837660000259
根据式(40)和(41)求出QC轴向位置角θC和径向位置角φC，进而由螺旋滞后角计算公式算出QC、Q*所对应的螺旋滞后角ψC、
Figure GDA00041508376600002611
近似求出被切削点Q*所对应的切削时刻/>
Figure GDA0004150837660000261
同时，近似认为点QC、QL所对应刀位点之间的距离为每齿进给量fz，根据正弦定理近似求出QL的轴向位置角/>
Figure GDA00041508376600002610
/>
Figure GDA0004150837660000262
由于QL在刀齿作用线OCLQL上，按照直线公式建立方程组：
Figure GDA0004150837660000263
式中，
Figure GDA0004150837660000264
为QC在工件坐标系{W}中的坐标，/>
Figure GDA0004150837660000265
为刀位点OCL在工件坐标系{W}中的坐标；
以
Figure GDA0004150837660000266
为初值点，即/>
Figure GDA0004150837660000267
应用Newton-Raphson方法求得方程组(43)的解，如下式所示：
Figure GDA0004150837660000268
式中，k为迭代次数，k＝0,1,2,…；迭代终止条件为[tk-tk-1 θk-θk-1]T＝[0.05λt0.05λθ]T；
将式(44)所求得的结果带入式(9)，可得QL在工件坐标系{W}中的坐标：
Figure GDA0004150837660000271
最后按照下式求出未变形切屑厚度：
Figure GDA0004150837660000272
步骤5、将切削力系数表示为刀具轴向位置角的多项式，根据平均铣削力对刀具轴向位置角的多项式中的待定系数进行计算，进而辨识得到切削力系数；
步骤5.1、切削力系数是瞬时未变形切屑的横截面积与各方向微元力之间的比例关系。切削力系数直接影响着微元铣削力的预测精度，是切削力建模的关键因素之一。然而，切削力系数随着刀具和工件材料、切削参数等因素的不同而不同，给切削力系数的辨识增添了一定的难度。球头铣刀的球头刃切削时，不同轴向位置处的刀齿微元在实际切削中的切削速度、径向切深等均不相同，使得其切削机理也不相同，因此，将切削力系数表示成刀具轴向位置角的如下多项式：
Figure GDA0004150837660000273
式中，a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2、b3、c0、c1、c2和c3为待定系数，
Figure GDA0004150837660000274
步骤5.2、采用如图8所示槽铣方法，以方便确定刀齿的切入和切出角，同时通过采用平均铣削力的方法消除螺旋角的对辨识准确度的影响，用平面刃球头铣刀模型代替复杂螺旋刃从而达到简化计算的目的。由于在垂直铣削中刀齿上切触工件的最小轴向位置角为零，改变吃刀深度意味着改变刀齿上切触工件的最大轴向位置角，计算吃刀深度ap所对应的最大轴向位置角
Figure GDA0004150837660000281
因此，可以建立切削力系数和刀具轴向位置角的关系；
步骤5.3、由于采用垂直槽铣的方法，并且通过平均铣削力法消除了跳动等的影响，所以，按下式计算未变形切屑厚度：
h(j,θ,t)＝fzsinφ(j,t)sinθ (48)；
式中，φ(j,t)为平面刃刀齿j在时刻t的径向位置角，规定绕矢量
Figure GDA0004150837660000282
顺时针方向旋转所形成的夹角为正，φ(j,t)计算公式如下：
Figure GDA0004150837660000283
式中，φ0为基准刀齿在初始状态下的径向位置角；
如果φ(j,t)∈[-90,90]，则刀齿微元切触工件，g(j,θ,t)＝1；否则，g(j,θ,t)＝0；
步骤5.4、将公式(10)中的g(j,i,t)、dFt(j,i,t)、dFr(j,i,t)、dFa(j,i,t)用g(j,θ,t)、dFt(j,θ,t)、dFr(j,θ,t)、dFa(j,θ,t)表示，综合公式(10)、(48)和(49)，将dFt(j,θ,t)、dFr(j,θ,t)、dFa(j,θ,t)转换到坐标轴OAXA、OAYA、OAZA方向上，公式如下：
Figure GDA0004150837660000284
步骤5.5、在垂直铣削的情况下，改变吃刀深度进行试验，测量出不同吃刀深度下刀齿作用周期内的平均切削力，由于一个刀齿周期内的材料去除总量是一个常数，与有无螺旋角无关，因此，平均切削力与螺旋角亦无关。为了减小刀具安装和受力等因素所引起的偏心的影响，首先通过测力仪测出主轴转动周期内的总切削力，再除以刀具的齿数，进而计算出平均切削力。
在一定的吃刀深度下，对时刻t刀齿j上所有参与铣削的刀齿微元的铣削力求和，可得到在时刻t刀齿j所受的铣削力，再对该时刻所有刀齿所受的铣削力求和，最终可获得刀具在时刻t受到的总的瞬时铣削力，如下式所示：
Figure GDA0004150837660000291
使用公式(48)将(51)中的时间变量t变为刀齿位置角变量φ，进而可得出主轴一转范围内刀具在坐标轴OAXA、OAYA和OAZA方向上所受的平均铣削力：
Figure GDA0004150837660000292
通过试验得到主轴旋转一转范围内的平均铣削力
Figure GDA0004150837660000293
和/>
Figure GDA0004150837660000294
代入公式(52)，然后利用最小二乘法回归出式公式(47)所示的切削力系数公式中的待定系数a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2、b3、c0、c1、c2和c3，从而，辨识出了切削力系数Kt、Kr和Ka。
通过以上方式，本发明一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，基于齐次坐标变换原理建立球头铣刀加工过程中刀齿的运动轨迹，根据球头铣刀铣削的实际情况，提出切削力系数辨识方法、刀-工切触区域的半解析识别方法、未变形切削厚度的求解方法，以期为后续研究提供基础，也为实际加工过程中加工参数的选择提供参考依据；在保证识别精度的前提下，基于球面假设和齐次坐标逆变换原理得到刀-工切触区域的半解析识别方法，能提高刀-工切触区域的识别效率；采用基于平均铣削力法对球头铣刀切削力系数进行辨识，通过将快速标定铣刀铣削力系数的理论和试验相结合的力学辨识法，能够消除刀具螺旋角的影响，还能抵消周期性的颤振对测量数据的影响。

Claims (7)

1.一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、分别建立刀齿j的局部坐标系、球头铣刀坐标系、主轴随动坐标系、刀具瞬时进给坐标系、工件坐标系，基于齐次坐标变换原理得到球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点在工件坐标系下的轨迹方程；
步骤2、将刀齿分割成等刀齿轴向位置角增量的诸多刀齿微元，建立刀齿微元的微元切削力模型；
步骤3、识别刀-工切触区间；
步骤4、以刀齿j上的离散点i在时刻t的扫掠点QC到刀位点OCL的连线作为参考线，计算QC与前面刀齿的扫掠面和参考线的交点QL之间的距离，得到瞬时未变形切屑厚度；
步骤5、将切削力系数表示为刀具轴向位置角的多项式，根据平均铣削力对所述刀具轴向位置角的多项式中的待定系数进行计算，进而辨识得到切削力系数；
步骤3具体包括以下步骤：
步骤3.1、根据所述球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点的轨迹确定刀-工切触区域为边界线I、边界线II、边界线III形成的区域，求解边界线I、边界线II、边界线III及三条边界线的交点；所述边界线I为当前刀齿与上一刀齿各扫掠面之间的交线，所述边界线II为当前刀齿的扫掠面与待加工表面的交线，所述边界线III为当前刀齿的扫掠面与上次进给完成的已加工表面的交线；
步骤3.2、从边界线I、边界线II、边界线III中找出刀齿起切触作用的最大、最小轴向位置角
Figure QLYQS_1
搜寻轴向位置角范围/>
Figure QLYQS_2
内的所有刀齿j上离散点i所对应的径向位置角，根据所述径向位置角对刀齿j上离散点i进行筛选，确定刀齿j上的当前轴向位置角θ的刀-工切触区间。
2.根据权利要求1所述的一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，其特征在于，步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1、以球头铣刀的球头中心为坐标原点Oj，建立刀齿j的局部坐标系Oj-XjYjZj，简称{j}；
球头铣刀的任意刀齿j上任意点P在局部坐标系{j}中的坐标为：
Figure QLYQS_3
式中，θ为点P的轴向位置角，R为刀具半径，ψ为点P对应的螺旋滞后角，ψ＝180tanγ0(1-cosθ)/π，其中γ0为圆柱面上刀齿刃口曲线的螺旋角；
步骤1.2、以球头铣刀的球头中心为坐标原点OC，建立球头铣刀坐标系OC-XCYCZC，简称{C}；
所述刀齿j与基准刀齿的夹角φj＝360(j-1)/nt，其中，nt为刀齿总数，则局部坐标系{j}相对于球头铣刀坐标系{C}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure QLYQS_4
步骤1.3、以主轴中心为坐标原点OA，在机床主轴上建立主轴随动坐标系OA-XAYAZA，简称{A}，坐标轴
Figure QLYQS_5
与主轴轴线重合；
假设坐标原点OC和坐标原点OA之间的偏心距离为ρ，矢量
Figure QLYQS_6
相对于坐标轴/>
Figure QLYQS_7
的夹角为μ，且规定绕坐标轴/>
Figure QLYQS_8
顺时针旋转方向为正，主轴顺时针方向旋转，t时刻旋转过的角度φC＝180ωt/π，则球头铣刀坐标系{C}相对于主轴随动坐标系{A}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure QLYQS_9
式中，μ＝μ0+φC，其中，μ0为初始状态下
Figure QLYQS_10
与/>
Figure QLYQS_11
的初始夹角；
步骤1.4、建立刀具瞬时进给坐标系OCL-XCLYCLZCL，简称{CL}，坐标轴矢量
Figure QLYQS_12
与进给速度方向平行且同向，/>
Figure QLYQS_13
为理想的被加工表面的法线方向，指向实体外，/>
Figure QLYQS_14
为
Figure QLYQS_15
与/>
Figure QLYQS_16
的叉乘；
先使{A}绕
Figure QLYQS_17
旋转角度β'，使β'＝arctan(tanβcosα)，再使{A}绕/>
Figure QLYQS_18
旋转角度α，且定义绕各自参考方向的正方向逆时针旋转为正，则刀具侧倾和前倾的齐次坐标变换矩阵分别为
Figure QLYQS_19
Figure QLYQS_20
则主轴随动坐标系{A}相对于刀具瞬时进给坐标系{CL}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure QLYQS_21
步骤1.5、在工件上建立全局坐标系OW-XWYWZW，简称{W}，假定进给时OCL在{W}的坐标为(xCL,yCL,zCL)，将单向直线进给铣削平面作为研究对象，则{CL}相对于{W}的齐次坐标变换矩阵为：
Figure QLYQS_22
式中，(x0,y0)为首次进给时OCL在{W}中的起始位置，q为刀具进给次数(q＝1,2,3…)，T为刀具从第1次走刀开始至当前位置所用时间，fz为每齿进给量，fp为进给行距，L为单次走刀长度，R为刀具半径，wh为毛坯高度，ap为吃刀深度；
结合公式(1)-(6)及(8)，通过齐次坐标矩阵变换可得到球头铣刀加工过程中刀齿j上任意点P在{W}下的轨迹方程为：
Figure QLYQS_23
3.根据权利要求1所述的一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，其特征在于，步骤2具体包括以下步骤：
步骤2.1、将刀齿分割成等刀齿轴向位置角增量的诸多刀齿微元，以刀齿离散点i的特征信息来代表刀齿上(i-1)～i点之间的刀齿微元i信息，刀齿j上的刀齿微元i在时刻t所受的切削力分解为切向单元力切削力dFt(j,i,t)、径向单元力切削力dFr(j,i,t)、轴向单元力切削力dFa(j,i,t)，根据切削力的机械建模法，可得：
Figure QLYQS_24
式中，g(j,i,t)为单位阶跃函数，当刀齿j上的刀齿微元i在时刻t与工件切触时，g(j,i,t)＝1，否则，g(j,i,t)＝0；h(j,i,t)为刀齿j上的刀齿微元i在时刻t切削的瞬时未变形切屑厚度；Kt、Kr和Ka分别为切向、径向和轴向力系数；
步骤2.2、将所述刀齿微元i在时刻t所受的切向单元力切削力dFt(j,i,t)、径向单元力切削力dFr(j,i,t)、轴向单元力切削力dFa(j,i,t)通过公式(11)转化至{A}下：
Figure QLYQS_25
式中，φ(j,i,t)为坐标原点OA与刀齿j上离散点i在时刻t所在位置的连线在平面XAOAYA上的投影相对于坐标轴矢量
Figure QLYQS_26
顺时针转过的角度，/>
Figure QLYQS_27
为刀齿j上离散点i和坐标原点OA的连线与OAZA的锐角夹角；
则球头铣刀在时刻t所受的瞬时切削力在主轴随动坐标系{A}下表示为：
Figure QLYQS_28
式中，ni为刀齿微元总数；
通过齐次坐标变换原理得到球头铣刀在时刻t所受的瞬时切削力在工件坐标系{W}下表示为：
Figure QLYQS_29
4.根据权利要求1所述的一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，其特征在于，步骤3.1具体包括以下步骤：
步骤3.1.1、求解边界线I；
在不考虑主轴旋转时，刀齿j上的离散点i在{A}中的坐标为：
Figure QLYQS_30
式中，
Figure QLYQS_31
为不考虑主轴旋转而仅考虑刀具偏心情况下的{C}相对于{A}的变换矩阵，/>
Figure QLYQS_32
表示刀齿j上的离散点i在{j}中的坐标；
刀齿j上的离散点i相对于坐标轴
Figure QLYQS_33
的回转半径，即实际切削半径/>
Figure QLYQS_34
在μ0＝0的情况下，由式(14)可得：/>
Figure QLYQS_35
同理，其实际轴向位置角
Figure QLYQS_36
为：
Figure QLYQS_37
则基准刀齿上离散点i的实际螺旋滞后角为：
Figure QLYQS_38
式中，ψi、θi分别为理想的刀齿离散点i的螺旋滞后角、轴向位置角；
则刀齿j上离散点i的实际切削半径矢量为：
Figure QLYQS_39
主轴轴线相对于加工表面法线的夹角为
γ＝arccos(cosαcosβ) (19)；
使刀齿j上离散点i的实际轴向位置角
Figure QLYQS_40
等于γ，将其带入式(16)得到刀齿j离散点i的位置，进而得到理论轴向位置角θi，即可获知该刀齿j上与被加工表面法线方向一致的切削点；然后，由式(15)求出所述切削点的实际切削半径/>
Figure QLYQS_41
并根据下式求出相邻两齿的切削点的半径矢量/>
Figure QLYQS_42
和/>
Figure QLYQS_43
之间的径向夹角：
Figure QLYQS_44
当相邻两齿的特征切削点的半径矢量与工件表面法线一致时，留在工件上的两个切削点之间在进给方向的距离为：
Figure QLYQS_45
将当前刀齿的扫掠面简化为球面，忽略当前刀齿的进给运动，只考虑OA在距上一刀齿扫掠面中心距离为
Figure QLYQS_46
处刀齿做旋转运动时，在{CL}下，当前刀齿扫掠面、上一刀齿扫掠面的方程分别如式(22)、(23)：
Figure QLYQS_47
式中，
Figure QLYQS_48
表示刀齿j上的离散点i至OA点的距离；
Figure QLYQS_49
/>
根据式(22)、(23)可得到刀齿扫掠球面、上一刀齿扫掠球面的交线，即边界线I：
Figure QLYQS_50
将上次进给加工形成的表面简化为柱状面，在坐标系{CL}下可表示为：
(yCL+fp)2+(zCL)2＝R2 (25)；
联立(24)和(25)，可得点S在{CL}下的坐标为
Figure QLYQS_51
工件顶面在坐标系{CL}下的方程为：
zCL＝-(R-ap) (27)；
联立(24)和(27)，可得点M在坐标系{CL}下的坐标为：
Figure QLYQS_52
通过齐次变换求出了边界线I、端点S、端点M在坐标系{A}下的坐标：
Figure QLYQS_53
步骤3.1.2、求解边界线II；
在{CL}下，通过联立(22)和(27)得到当前刀齿的扫掠面与待加工表面的交线的方程，即边界线II：
Figure QLYQS_54
联立(25)和(30)可得到在坐标系{CL}下点N的坐标：
Figure QLYQS_55
通过齐次坐标变换将边界线II、端点N的坐标转化至{A}下：
Figure QLYQS_56
步骤3.1.3、求解边界线III；
通过联立(22)和(25)得到在{CL}下，当前刀齿的扫掠面与上次进给完成的已加工表面的交线的方程，即边界线III：
Figure QLYQS_57
通过齐次坐标变换将边界线III的方程转化至{A}：
Figure QLYQS_58
5.根据权利要求4所述的一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，其特征在于，步骤3.2具体包括以下步骤：
步骤3.2.1、假定刀齿轴向位置角的离散精度为Δθ，选择每条边界线上离散点之间的最大距离小于πΔθRcosγ/180的离散点，带入(29)、(32)和(34)求出每条边界线上离散点在{A}下的坐标值；
步骤3.2.2、通过式(35)、(36)求出步骤3.2.1得到的每条边界线上离散点所对应的刀齿轴向位置角
Figure QLYQS_59
径向位置角/>
Figure QLYQS_60
找出每条边界线所对应的当前刀齿起切触作用的最大、最小轴向位置角/>
Figure QLYQS_61
并从三条边界线中找出最大、最小轴向位置角
Figure QLYQS_62
即得到当前刀齿在主轴一转范围内切触工件的轴向位置角范围/>
Figure QLYQS_63
Figure QLYQS_64
式中，mm∈(I,II,III)，n为边界线上离散点的标号，nn＝1，2，…Nnn，Nnn为边界线上离散点的总数；
Figure QLYQS_65
式中，
Figure QLYQS_66
为/>
Figure QLYQS_67
的反正切函数，其主值域为(-180°,180°)；
步骤3.2.3、搜寻轴向位置角范围
Figure QLYQS_68
内的所有刀齿离散点所对应的径向位置角，具体过程如下：a.从/>
Figure QLYQS_69
开始，以Δθ为增量，判断当前刀齿j的轴向位置角θ所属边界线区间
Figure QLYQS_70
b.找到的每条边界线中轴向位置角接近θ的10个离散点，并按相对于θ绝对差值的升序排列；c.对排列之后的每条边界线中的离散点，从第二个开始，剔除与相邻的上一个离散点的径向位置角绝对差值小于3°的离散点；d.将筛选之后的所有边界线上的离散点放在一起，按径向位置角升序排列，同样，从第二个开始，剔除与相邻的上一个离散点的径向位置角绝对差值小于3°的离散点，完成二次筛选；如果本次筛选完之后只剩下一个离散点，则需要将最后一个剔除的离散点重新添加；e.将步骤d得到的按径向位置角升序排列的边界线离散点，按照第一切入角、第一切出角、第二切入角、第二切出角……顺序确定刀齿j上的当前轴向位置角θ的刀-工切触区间，即得到每个刀齿在主轴每一转范围内的刀-工切触区域。
6.根据权利要求2所述的一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，其特征在于，步骤4具体包括以下步骤：
步骤4.1、根据公式(9)可得到当前刀齿j上的离散点i在时刻t的扫掠点QC的坐标；
步骤4.2、忽略上一刀齿的进给运动，将前扫掠面简化为球面，假定参考线和所述球面的交点为Q*，在{CL}下联立球面方程和参考线方程：
Figure QLYQS_71
式中，
Figure QLYQS_72
为点Q*在坐标系{CL}中的坐标值，/>
Figure QLYQS_73
为点QC在坐标系{CL}中的坐标值；
由于
Figure QLYQS_74
已知，求解式(37)，根据实际加工情况，舍弃/>
Figure QLYQS_75
的大的取值，得
Figure QLYQS_76
利用齐次坐标变换原理，获取Q*在机床主轴随动坐标系{A}中的坐标：
Figure QLYQS_77
则点Q*的轴向位置角、径向位置角分别如公式(40)、(41)：
Figure QLYQS_78
Figure QLYQS_79
根据式(40)和(41)求出QC轴向位置角θC和径向位置角φC，进而由螺旋滞后角计算公式算出QC、Q*所对应的螺旋滞后角ψC、
Figure QLYQS_80
近似求出被切削点Q*所对应的切削时刻/>
Figure QLYQS_81
同时，近似认为点QC、QL所对应刀位点之间的距离为每齿进给量fz，根据正弦定理求出QL的轴向位置角/>
Figure QLYQS_82
Figure QLYQS_83
由于QL在刀齿作用线OCLQL上，按照直线公式建立方程组：
Figure QLYQS_84
式中，
Figure QLYQS_85
为QC在工件坐标系{W}中的坐标，/>
Figure QLYQS_86
为刀位点OCL在工件坐标系{W}中的坐标；
以
Figure QLYQS_87
为初值点，即/>
Figure QLYQS_88
应用Newton-Raphson方法求得方程组(43)的解，如下式所示：
Figure QLYQS_89
式中，k为迭代次数，k＝0,1,2,…；迭代终止条件为[tk-tk-1θk-θk-1]T＝[0.05λt 0.05λθ]T；
将式(44)所求得的结果带入式(9)，可得QL在工件坐标系{W}中的坐标：
Figure QLYQS_90
最后按照下式求出未变形切屑厚度：
Figure QLYQS_91
7.根据权利要求3所述的一种基于半解析法的球头铣刀静态铣削力的建模方法，其特征在于，步骤5具体包括以下步骤：
步骤5.1、将切削力系数表示成刀具轴向位置角的如下多项式：
Figure QLYQS_92
式中，a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2、b3、c0、c1、c2和c3为待定系数；
Figure QLYQS_93
步骤5.2、计算吃刀深度ap所对应的最大轴向位置角
Figure QLYQS_94
步骤5.3、按下式计算未变形切屑厚度：
h(j,θ,t)＝fzsinφ(j,t)sinθ (48)
式中，φ(j,t)为平面刃刀齿j在时刻t的径向位置角，规定绕矢量
Figure QLYQS_95
顺时针方向旋转所形成的夹角为正，φ(j,t)计算公式如下：
Figure QLYQS_96
/>
式中，φ0为基准刀齿在初始状态下的径向位置角；
如果φ(j,t)∈[-90,90]，则刀齿微元切触工件，g(j,θ,t)＝1；否则，g(j,θ,t)＝0；
步骤5.4、将公式(10)中的g(j,i,t)、dFt(j,i,t)、dFr(j,i,t)、dFa(j,i,t)用g(j,θ,t)、dFt(j,θ,t)、dFr(j,θ,t)、dFa(j,θ,t)表示，综合公式(10)、(48)和(49)，将dFt(j,θ,t)、dFr(j,θ,t)、dFa(j,θ,t)转换到坐标轴OAXA、OAYA、OAZA方向上，公式如下：
Figure QLYQS_97
步骤5.5、在一定的吃刀深度下，对时刻t刀齿j上所有参与铣削的刀齿微元的铣削力求和，可得到在时刻t刀齿j所受的铣削力，再对该时刻所有刀齿所受的铣削力求和，最终可获得刀具在时刻t受到的总的瞬时铣削力，如下式所示：
Figure QLYQS_98
使用公式(48)将(51)中的时间变量t变为刀齿位置角变量φ，进而可得出主轴一转范围内刀具在坐标轴OAXA、OAYA和OAZA方向上所受的平均铣削力：
Figure QLYQS_99
通过试验得到主轴旋转一转范围内的平均铣削力
Figure QLYQS_100
和/>
Figure QLYQS_101
代入公式(52)，然后利用最小二乘法回归出式公式(47)所示的切削力系数公式中的待定系数a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2、b3、c0、c1、c2和c3，从而，辨识出了切削力系数Kt、Kr和Ka。/>
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