CN112954637B - 一种锚节点位置不确定情况下的目标定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种锚节点位置不确定情况下的目标定位方法，在得到锚节点与目标节点以及目标节点之间的TOA量测信息后，列出目标函数，并引入锚节点误差量。在对目标函数进行向量化后，利用S‑过程消除锚节点误差向量，同时引入了一个凸约束，最后再经过转化与松弛将问题变为一个可以解决的凸问题。该方法在定位***受环境影响，导致锚节点真实位置与量测得到的位置出现较大偏差时仍然能够较为准确地得到目标位置的估计，具有较强的鲁棒性和实用性。

Description

一种锚节点位置不确定情况下的目标定位方法

技术领域

本发明涉及一种目标定位方法，属于信号处理领域，适合无线传感器网络中多个锚节点定位多个目标节点的自定位***。

背景技术

无线传感器网络(WSN)的灵活性、广泛的覆盖范围和易于部署的特性在过去的几年中引起了广泛的关注。通常，一个无线传感器网络由一群在一定空间范围内分布的低成本和低功耗的传感器节点组成，它们可以用来执行常见的信号处理任务，例如探测、定位以及目标跟踪和目标状态变化的监测。其中，目标定位是无线传感器网络中最基础也是最重要的任务之一，许多物理量的获得都需要以明确节点位置为前提。许多类型的传感器量测值都可以用来进行目标定位，例如接收信号强度(RSS)、到达角(AOA)、到达时间(TOA)、到达时间差(TDOA)。在基于这些类型的量测值的目标定位方法中，基于TOA和TDOA的目标定位方案在定位性能和计算复杂度之间取得了良好的平衡。这两种定位方法可以有效地避免像基于AOA的定位方案那样部署成本高昂的传感器，也可以有效减小基于RSS的定位方法导致的较大的定位误差。

在TOA定位问题中，往往存在锚节点与待定位的目标节点时钟不同步的问题，消除时间不同步的影响主要有两种方法，一是将TOA定位问题转化为TDOA定位问题；二是使用双程TOA，即令锚节点和目标节点进行双程信息交换，利用锚节点与目标节点对应的时间戳来求解定位问题。另外，传统模型大多假设锚节点的位置是精确已知的，但是在实际应用中，这个条件很难达到，因为受环境的影响，锚节点的真实位置和通过量测得到的位置总会存在一定的误差。例如水上浮标节点，即使预先使用GPS获取了其位置，在定位过程中，受洋流的影响，节点也会发生漂移，导致其真实位置偏离量测得到的位置。如果不采取一定的措施，就会造成定位性能的下降。

锚节点真实位置坐标与量测得到的锚节点位置坐标的差值就是锚节点误差向量。目前对锚节点误差向量的建模方法有两种，一种是假设该向量服从均值为零的高斯分布，另一种不对该向量进行任何先验假设，只假设该向量模的最大值已知。在实际应用中，后一种情况更加符合实际，因为在不同的环境下锚节点误差模的最大值比高斯分布的协方差矩阵更易估算。而现有的目标定位方法，大多没有考虑锚节点位置由于环境因素存在误差，或者假设锚节点位置误差向量服从零均值的高斯分布。而在实际中，误差的统计分布往往很难获得，而锚节点误差向量模的最大值较易通过估算得到。而已有的误差向量模的最大值已知的方法中，Xu等人提出了一种多个锚节点定位单个目标节点，且只假设锚节点误差向量模的最大值已知的方法，然而这种方法只考虑了单个节点的定位场景，而且需要添加惩罚项，在实际操作过程中该惩罚项所对应的惩罚因子需要手动调节，增加了计算复杂度，减小了实用性。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种锚节点位置不确定情况下的目标定位方法，仅仅需要已知锚节点误差向量的模的最大值，而不需要提前已知误差的统计分布，减弱了先验信息要求的苛求程度，同时没有设置需要手动调节的惩罚项，提升了实用性。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

第一步，获得传感器网络中各节点之间的TOA量测，对锚节点误差进行建模；

第二步，在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项；

第三步，对锚节点误差项进行转化，利用S-过程消除锚节点误差向量；

第四步，通过对目标函数及约束条件的转化和松弛，将问题转化为一个凸问题；

第五步，求解凸优化问题，得到目标位置的估计。

所述的第一步设传感器网络中共M个位置已知但是存在误差的锚节点和N个待定位的目标节点，M≥3，M个锚节点的真实坐标分别为x₁,x₂,…,x_M，N个待估计的目标节点的坐标为y₁,y₂,…,y_N；通过节点之间的通信获得TOA量测集合，包括锚节点与目标节点之间进行通信的TOA量测以及目标节点间进行通信的TOA量测；锚节点与目标节点之间通信获得的TOA量测表达式为

其中i,j分别表示编号为i的锚节点与编号为j的目标节点，c为信号传播速度，t_ij表示锚节点i与目标节点j相互通信所得到的时间量测，r_ij表示锚节点i与目标节点j之间的距离，e_ij表示锚节点i与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，e_ij服从均值为零、方差为

的高斯分布；目标节点之间相互通信获得的TOA量测表达式为

其中j和j'分别表示编号为j和j'的目标节点，且j≠j'，t'_jj'表示目标节点j与目标节点j'相互通信所得到的时间量测，r'_jj'表示目标节点j与目标节点j之间的距离，e'_jj'表示目标节点j与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，e'_jj'服从均值为零、方差为

的高斯分布；锚节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为r_ij＝||x_i-x_j||₂；目标节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为r'_jj'＝||y_j-y_j'||₂；锚节点真实位置与量测得到的位置之间的关系为

式中

表示量测得到的锚节点位置，ξ_i是锚节点误差向量，ξ_i的模的最大值小于等于一个已知的常数ε。

所述的第二步利用一阶泰勒展开式将锚节点真实位置与量测位置的关系进一步转化为

其中o(||ξ_i||)表示锚节点误差向量模||ξ_i||的高阶无穷小量；令

则推得|δ_ij|≤ε，其中

表示锚节点i与目标节点j之间的距离，与r_ij不同，这里的使用的锚节点i的坐标是已知的带有误差的锚节点位置，δ_ij表示锚节点i与目标节点j之间的模的误差值；则最终锚节点与目标节点之间通信的TOA量测表示为

所述的第三步采用最大似然估计法来估计目标的位置，设X_u＝[y₁,y₂,…,y_N]为未知目标节点坐标的集合，X_a＝[x₁,x₂,…,x_K]是所有锚节点坐标的集合，同时定义d_ij＝t_ij×c，d'_jj'＝t'_jj'×c，d_ij和d'_jj'分别为锚节点i与目标节点j之间，以及目标节点j与j'(j≠j')之间的带噪声的距离量测值；根据已有条件，将待优化的原始目标函数表示为

将第二步中的锚节点误差项代入，得到min-max次优化问题

经过对目标函数的向量化，以及通过应用S-过程消除锚节点误差向量，原始次优化问题被转化为

其中，λ和μ是为了转化锚节点误差向量新引进的常数，≥表示矩阵正定，I表示单位矩阵，Tr(·)表示求括号里面矩阵的迹，d₁＝[d₁₁,d₁₂,…,d_MN]^T为锚节点与目标节点通信的带噪声的距离量测，d₂＝[d'₁₂,d'₁₃,…,d'_N,N-1]^T为目标节点之间通信的带噪声的距离量测，

为所有的带噪声的距离量测集合；定义

为锚节点与目标节点之间通信的真实距离量测，r₂＝[r'₁₂,r'₁₃,…,r'_N,N-1]^T为目标节点之间通信的真实距离量测，

为所有的真实距离量测集合，

G＝blkdiag(G₁,G₂)，Γ＝1_(M+N-1)×N，diag{·}表示对角矩阵，矩阵的对角线元素为大括号中的元素，blkdiag{·}表示分块对角矩阵，1_(M+N-1)×N表示具有(M+N-1)×N个元素全为1的列向量，γ[·],r[·]表示引用向量γ,r中的元素；同时定义中间变量

γ_jj'以及向量γ₁,γ₂和γ，

γ₂＝[γ₁₂,γ₁₃,…,γ_N,N-1]^T，

所述的第四步引入中间矩阵

优化问题的最终形式为：

其中，Y_u[w,v]表示引用矩阵Y_u第w行，第v列的元素，w和v必须是整数；

Y_u[j,N+1:N+l]表示矩阵Y_u第j行，第N+1到N+l列的所有元素，Y_u[N+1:N+l,N+1:N+l]表示矩阵Y_u第N+1到N+l行，第N+1到N+l列的所有元素，X_u(:,j)表示矩阵X_u中第j列所有元素组成的列向量。

本发明的有益效果是：只假设锚节点误差向量的模的最大值已知，这更符合实际情况。在得到锚节点与目标节点以及目标节点之间的TOA量测信息后，列出目标函数，并引入锚节点误差量。在对目标函数进行向量化后，利用S-过程消除锚节点误差向量，同时引入了一个凸约束，最后再经过转化与松弛将问题变为一个可以解决的凸问题。该方法在定位***受环境影响，导致锚节点真实位置与量测得到的位置出现较大偏差时仍然能够较为准确地得到目标位置的估计，具有较强的鲁棒性和实用性。

附图说明

图1是锚节点位置不确定情况下目标定位方法框图。

图2是方法性能与TOA量测噪声方差的关系图。

图3是方法性能与锚节点误差向量模的最大值的关系图。

图4是方法性能与锚节点数量的关系图。

图5是方法性能与待定位的目标节点的数量关系图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明，本发明包括但不仅限于下述实施例。

针对实际定位问题中锚节点位置受环境影响而导致与量测所得位置出现误差的问题，提出了一种基于锚节点位置存在误差情况下的定位方法。选择l维定位场景，l＝2或3。设传感器网络中共M个位置已知但是存在误差的锚节点，M≥3，和N个节点为待定位的目标节点。设M个位置已知的锚节点的真实坐标分别为x₁,x₂,…,x_M，N个待估计的目标节点的坐标为y₁,y₂,…,y_N。

本发明的主步骤如下：

第一步：获得原始TOA量测，对锚节点误差进行建模

通过节点之间的通信获得TOA量测集合，该集合由两部分组成，分别是锚节点与目标节点之间进行通信的TOA量测以及目标节点间进行通信的TOA量测。锚节点与目标节点之间通信获得的TOA量测表达式为：

其中i,j均为正整数，分别表示编号为i的节点与编号为j的节点。c为信号传播速度，t_ij表示锚节点i与目标节点j相互通信所得到的时间量测，r_ij表示锚节点i与目标节点j之间的距离，e_ij表示锚节点i与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，它服从均值为零，方差为

的高斯分布。

目标节点之间相互通信获得的TOA量测表达式为：

其中j和j'分别表示编号为j和j'的目标节点，且j≠j'，t'_jj'表示目标节点j与目标节点j'相互通信所得到的时间量测，r'_jj'表示目标节点j与目标节点j之间的距离，e'_jj'表示目标节点j与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，它服从均值为零，方差为

的高斯分布。

锚节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为：

r_ij＝||x_i-x_j||₂

i＝1,2,…,M,j＝1,2,…,N

其中，|| ||₂表示向量的2-范数。

同理，目标节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为：

r'_jj'＝||y_j-y_j'||₂

j＝1,2,…,N,j'＝1,2,…,N

由于环境因素的影响，量测得到的锚节点位置与其真实位置之间会存在误差，锚节点真实位置与量测得到的位置之间的关系为：

式中

表示量测得到的锚节点位置，ξ_i是锚节点误差向量，它的模的最大值小于一个已知的常数ε，即

||ξ_i||≤ε

第二步：在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项

利用一阶泰勒展开式，可以将锚节点真实位置与量测位置的关系进一步转化为：

i＝1,2,…,M,j＝1,2,…,N

其中o(||ξ_i||)表示锚节点误差向量模||ξ_i||的高阶无穷小量。

令

则可推得：

|δ_ij|≤ε

其中

表示锚节点i与目标节点j之间的距离，与r_ij不同，这里的使用的锚节点i的坐标是已知的带有误差的锚节点位置。δ_ij表示锚节点i与目标节点j之间的模的误差值，符号“||”为求绝对值符号。

则最终锚节点与目标节点之间通信的TOA量测可以表示为：

第三步：对锚节点误差项进行转化

采用最大似然估计法来估计目标的位置。设X_u＝[y₁,y₂,…,y_N]为未知目标节点坐标的集合，X_a＝[x₁,x₂,…,x_K]是所有锚节点坐标的集合。同时定义：

d_ij＝t_ij×c,i＝1,2,…,M,j＝1,2,…,N

d'_jj'＝t'_jj'×c,j＝1,2,…,N,j'＝1,2,…,N

d_ij和d'_jj'分别为锚节点i与目标节点j之间，以及目标节点j与j'(j≠j')之间的带噪声的距离量测值。

根据已有条件，可以将待优化的原始目标函数表示为：

将第二步中的锚节点误差项代入，可得min-max次优化问题：

subject to

r'_jj'＝||y_j-y_j'||,j＝1,2,…,M,j'＝1,2,…,N

其中，min表示求极小，max表示求极大，∑表示求和。subject to表示“受约束于”。

上述次优化问题是一个非线性和非凸问题，且目标函数的形式是元素求和的形式，同时目标函数中含有节点误差项δ_ij，都导致该次优化问题十分难于求解。因此，接下来首先对目标函数进行向量化，给出向量化后的目标函数及约束条件，这时锚节点误差项被转化成了一个向量，而只对一个向量进行处理要易于对单个元素进行处理；在向量化完成后，使用S-过程(S-procedure)消除锚节点误差向量，通过引入两个常数变量，消除了锚节点误差项，并将其转化成一个凸约束。

经过对目标函数的向量化，以及通过应用S-过程消除锚节点误差向量，原始次优化问题被转化为：

其中，

表示开平方根，λ和μ是为了转化锚节点误差向量新引进的常数，≥表示矩阵正定，I表示单位矩阵，Tr(·)表示求括号里面矩阵的迹。且d₁＝[d₁₁,d₁₂,…,d_MN]^T为锚节点与目标节点通信的带噪声的距离量测，d₂＝[d'₁₂,d'₁₃,…,d'_N,N-1]^T为目标节点之间通信的带噪声的距离量测，

为所有的带噪声的距离量测集合；定义

为锚节点与目标节点之间通信的真实距离量测，r₂＝[r'₁₂,r'₁₃,…,r'_N,N-1]^T为目标节点之间通信的真实距离量测，

为所有的真实距离量测集合。

G＝blkdiag(G₁,G₂)，Γ＝1_(M+N-1)×N。其中，diag{·}表示对角矩阵，矩阵的对角线元素为大括号中的元素，blkdiag{·}表示分块对角矩阵，1_(M+N-1)×N表示具有(M+N-1)×N个元素全为1的列向量，γ[·],r[·]表示引用向量γ,r中的元素。同时定义中间变量

γ_jj'以及向量γ₁,γ₂和γ：

以往类似的处理只是针对单节点定位问题，而现在的处理是针对多节点定位问题，且处理后的目标函数的形式也与其他方法的形式有所不同，其他类似的方法往往是假设整个目标函数都小于一个常数μ，从而将前半部分Tr[G(Γγ^T-2dr^T)]也放到利用S-过程得到的凸约束里面去，而现在的处理方法是在目标函数中仍然保留前半部分，不放到约束中去。和之前的方法相比，这样处理减弱了松弛程度，优化了目标函数的结构。

第四步：将问题转化为一个凸问题

经过第三步的转化后，锚节点误差项被消除，但这时问题仍然不是一个可解的凸问题。这时通过对目标函数及约束条件的一系列转化和松弛，使问题转化为一个凸问题。采用的松弛方法是半正定松弛方法，最终，目标函数被转化为一个凸函数，约束条件被转化为凸约束条件，从而使该问题变得可解。

为了将问题转化为凸问题，引入中间矩阵Y_u：

通过该中间矩阵与待优化变量γ,X_u建立联系，并进行适当的松弛，就将所有的约束转化为凸约束，而目标函数也是凸函数，问题转化为了一个可解的凸问题。

优化问题的最终形式为：

其中，Y_u[w,v]表示引用矩阵Y_u第w行，第v列的元素，w和v必须是整数；Y_u[j,N+1:N+l]表示矩阵Y_u第j行，第N+1到N+l列的所有元素，Y_u[N+1:N+l,N+1:N+l]表示矩阵Y_u第N+1到N+l行，第N+1到N+l列的所有元素，X_u(:,j)表示矩阵X_u中第j列所有元素组成的列向量。

之前类似的算法中，往往在目标函数中加入了惩罚项，即加上一个很小的正数(惩罚因子)乘以某个待优化矩阵的所有元素和或者迹，这种方法需要手动选择惩罚因子，惩罚因子选择不合适，会导致算法性能的下降，因而实用性不强，而本发明没有加入惩罚项，从而避免了手动选择惩罚因子，增加了实用性。

第五步：求解凸优化问题，得到目标位置的估计

将第四步得到的凸优化问题用MATLAB中的CVX凸优化工具箱求解，从而得到目标位置的估计。

本发明的实施例考虑二维空间的定位问题，设在一个1200m×1200m的区域内有4个位置已知的锚节点与3个待定位的目标节点，即M＝4,N＝3。设4个位置已知的锚节点的真实坐标分别为x₁,x₂,x₃,x₄，N个待估计的目标节点的坐标为y₁,y₂,y₃。

第一步：获得原始TOA量测，对锚节点误差进行建模

通过节点之间的通信获得TOA量测集合。其中，锚节点与目标节点之间通信获得的TOA量测表达式为：

i,j均为正整数，分别表示编号为i的节点与编号为j的节点。c为信号传播速度，t_ij表示锚节点i与目标节点j相互通信所得到的时间量测，r_ij表示锚节点i与目标节点j之间的距离，e_ij表示锚节点i与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，它服从均值为零，方差为

的高斯分布。

目标节点之间相互通信获得的TOA量测表达式为：

其中j和j'分别表示编号为j和j'的目标节点，且j≠j'，t'_jj'表示目标节点j与目标节点j'相互通信所得到的时间量测，r'_jj'表示目标节点j与目标节点j之间的距离，e'_jj'表示目标节点j与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，它服从均值为零，方差为

的高斯分布。

锚节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为：

r_ij＝||x_i-x_j||₂

i＝1,2,3，4,j＝1,2,3

其中，|| ||₂表示向量的2-范数。

同理，目标节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为：

r'_jj'＝||y_j-y_j'||₂,j＝1,2,3,j'＝1,2,3

由于环境因素的影响，量测得到的锚节点位置与其真实位置之间会存在误差，锚节点真实位置与量测得到的位置之间的关系为：

式中

表示量测得到的锚节点位置，ξ_i是锚节点误差向量，它的模的最大值小于一个已知的常数ε，即

||ξ_i||≤ε

这里将ε设置为0.5m。

第二步：在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项

利用一阶泰勒展开式，可以将锚节点真实位置与量测位置的关系进一步转化为：

i＝1,2,3，4,j＝1,2,3

其中o(||ξ_i||)表示锚节点误差向量模||ξ_i||的高阶无穷小量。

令

则有

即

|δ_ij|≤ε

其中

表示锚节点i与目标节点j之间的距离，与r_ij不同，这里的使用的锚节点i的坐标是已知的带有误差的锚节点位置。δ_ij表示锚节点i与目标节点j之间的模的误差值，符号“||”为求绝对值符号。

则最终锚节点与目标节点之间通信的TOA量测可以表示为：

第三步：对锚节点误差项进行转化

采用最大似然估计法来估计目标的位置。设X_u＝[y₁,y₂,y₃]为未知目标节点坐标的集合，X_a＝[x₁,x₂,x₃,x₄]是所有锚节点坐标的集合。同时定义：

d_ij＝t_ij×c,i＝1,2,3,4,j＝1,2,3

d'_jj'＝t'_jj'×c,j＝1,2,3,j'＝1,2,3

d_ij和d'_jj'分别为锚节点i与目标节点j之间，以及目标节点j与j'(j≠j')之间的带噪声的距离量测值。

根据已有条件，可以将待优化的原始目标函数表示为：

将第二步中的锚节点误差项代入，可得min-max次优化问题：

subject to

r'_jj'＝||y_j-y_j'||,j＝1,2,3,j'＝1,2,3

其中，min表示求极小，max表示求极大，∑表示求和。subject to表示“受约束于”。

接下来，对目标函数进行向量化。对于单个TOA量测，锚节点误差满足|δ_ij|≤ε，则向量化后的锚节点误差向量满足：

其中δ＝[δ₁₁,δ₁₂,…,δ₄₃]^T是M个锚节点与N个目标节点通信的锚节点模误差的集合，

表示开平方根。同样地，定义d₁＝[d₁₁,d₁₂,…,d₄₃]^T为锚节点与目标节点通信的带噪声的距离量测，d₂＝[d'₁₂,d'₁₃,…,d'₃₂]^T为目标节点之间通信的带噪声的距离量测，

为所有的带噪声的距离量测集合；定义

为锚节点与目标节点之间通信的真实距离量测，r₂＝[r'₁₂,r'₁₃,…,r₃'₂]^T为目标节点之间通信的真实距离量测，

为所有的真实距离量测集合。同时定义中间变量

γ_jj'以及向量γ₁,γ₂和γ：

则原次优化问题可以转化为：

subject to

γ[3(i-1)+j]＝r²[3(i-1)+j],i＝1,2,3,4,j＝1,2,3

γ[12+3(j-1)+j']＝r²[12+3(j-1)+j'],j＝1,2,3,j'＝1,2,3

r[12+3(i-1)+j]＝||y_j-y_j'||,j＝1,2,3,j'＝1,2,3

其中

G＝blkdiag(G₁,G₂)，Γ＝1_(3+4-1)×3。其中，diag{·}表示对角矩阵，矩阵的对角线元素为大括号中的元素，blkdiag{·}表示分块对角矩阵，1_(3+4-1)×3表示具有18个元素全为1的列向量，γ[·],r[·]表示引用向量γ,r中的元素。

通过引入常数因子μ消除min-max优化问题中的max，即对于

有如下结论成立：

δ^TG₁δ-2δ^TG₁(d₁-r₁)≤μ

即：

其中

表示充分条件。

上式可进一步表示为：

通过应用S-过程，上述递推关系最终被转化为一个凸约束：

即：

式中λ和μ是为了转化锚节点误差向量新引进的常数，

表示“存在”，≥表示矩阵半正定。

同时，待优化的目标函数可转化为：

Tr[G(Γγ^T-2dr^T)]+μ

式中，Tr(·)表示求括号里面矩阵的迹。

第四步：将问题转化为一个凸问题

经过第三步的转化后，锚节点误差项被消除，但这时问题仍然不是一个凸问题。这时通过对目标函数及约束条件的一系列转化和松弛，使问题转化为一个凸问题。采用的松弛方法是半正定松弛方法，最终，目标函数被转化为一个凸函数，约束条件被转化为凸约束条件，从而使该问题变得可解。

为了将问题转化为凸问题，引入中间矩阵Y_u：

则矩阵Y_u中的元素与已有约束的关系为：

i＝1,2,3,4,j＝1,2,3

γ[12+3(j-1)+j']＝Y_u[j,j]+Y_u[j',j']-Y_u[j,j']-Y_u[j',j]

j＝1,2,3,j'＝1,2,3

其中，Y_u[j,j]表示引用矩阵Y_u第j行第j列的元素。上述两个约束被转化成了凸约束。同时，将另外两个等式约束松弛成不等式约束，得：

γ[3(i-1)+j]≥r²[3(i-1)+j],i＝1,2,3,4,j＝1,2,3

γ[12+3(j-1)+j']≥r²[12+3(j-1)+j'],j＝1,2,3,j'＝1,2,3

矩阵Y_u中隐藏的其他凸约束为：

y_j＝[Y_u[j,4],Y_u[j,5]]^T,j＝1,2,3

Y_u≥0₃₊₂

这样就将所有的约束转化为凸约束，目标函数也是凸函数，问题转化为了一个可解的凸问题。

优化问题的最终形式为：

第五步：求解凸优化问题，得到目标位置的估计

由第四步得到的凸优化问题可以由MATLAB的CVX工具箱解决，工具是Sedumi。在MATLAB环境下进行编程，输入目标函数与约束条件，就可以得到目标位置的估计。

Claims (3)

1.一种锚节点位置不确定情况下的目标定位方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，获得传感器网络中各节点之间的TOA量测，对锚节点误差进行建模；

所述的第一步设传感器网络中共M个位置已知但是存在误差的锚节点和N个待定位的目标节点，M≥3，M个锚节点的真实坐标分别为x₁,x₂,…,x_M，N个待估计的目标节点的坐标为y₁,y₂,…,y_N；通过节点之间的通信获得TOA量测集合，包括锚节点与目标节点之间进行通信的TOA量测以及目标节点间进行通信的TOA量测；锚节点与目标节点之间通信获得的TOA量测表达式为

其中i,j分别表示编号为i的锚节点与编号为j的目标节点，c为信号传播速度，t_ij表示锚节点i与目标节点j相互通信所得到的时间量测，r_ij表示锚节点i与目标节点j之间的距离，e_ij表示锚节点i与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，e_ij服从均值为零、方差为

的高斯分布；目标节点之间相互通信获得的TOA量测表达式为

其中j和j'分别表示编号为j和j'的目标节点，且j≠j'，t'_jj'表示目标节点j与目标节点j'相互通信所得到的时间量测，r′_jj'表示目标节点j与目标节点j之间的距离，e'_jj'表示目标节点j与目标节点j之间通信的加性高斯白噪声，e'_jj'服从均值为零、方差为

的高斯分布；锚节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为r_ij＝||x_i-x_j||₂；目标节点与目标节点之间的距离与节点位置之间的关系为r′_jj'＝||y_j-y_j'||₂；锚节点真实位置与量测得到的位置之间的关系为

式中

表示量测得到的锚节点位置，ξ_i是锚节点误差向量，ξ_i的模的最大值小于等于一个已知的常数ε。

第二步，在锚节点与目标节点通信的原始TOA量测中引入锚节点误差项；

第三步，对锚节点误差项进行转化，利用S-过程消除锚节点误差向量；

所述的第三步采用最大似然估计法来估计目标的位置，设X_u＝[y₁,y₂,…,y_N]为未知目标节点坐标的集合，X_a＝[x₁,x₂,…,x_K]是所有锚节点坐标的集合，同时定义d_ij＝t_ij×c，d'_jj'＝t'_jj'×c，d_ij和d'_jj'分别为锚节点i与目标节点j之间，以及目标节点j与j'(j≠j')之间的带噪声的距离量测值；根据已有条件，将待优化的原始目标函数表示为

将第二步中的锚节点误差项代入，得到min-max次优化问题

经过对目标函数的向量化，以及通过应用S-过程消除锚节点误差向量，原始次优化问题被转化为

其中，λ和μ是为了转化锚节点误差向量新引进的常数，

表示矩阵正定，I表示单位矩阵，Tr(·)表示求括号里面矩阵的迹，d₁＝[d₁₁,d₁₂,…,d_MN]^T为锚节点与目标节点通信的带噪声的距离量测，d₂＝[d′₁₂,d′₁₃,…,d'_N,N-1]^T为目标节点之间通信的带噪声的距离量测，

为所有的带噪声的距离量测集合；定义

为锚节点与目标节点之间通信的真实距离量测，r₂＝[r′₁₂,r′₁₃,…,r'_N,N-1]^T为目标节点之间通信的真实距离量测，

为所有的真实距离量测集合，

G＝blkdiag(G₁,G₂)，Γ＝1_(M+N-1)×N，diag{·}表示对角矩阵，矩阵的对角线元素为大括号中的元素，blkdiag{·}表示分块对角矩阵，1_(M+N-1)×N表示具有(M+N-1)×N个元素全为1的列向量，γ[·],r[·]表示引用向量γ,r中的元素；同时定义中间变量

γ_jj'以及向量γ₁,γ₂和γ，

γ₂＝[γ₁₂,γ₁₃,…,γ_N,N-1]^T，

第四步，通过对目标函数及约束条件的转化和松弛，将问题转化为一个凸问题；

第五步，求解凸优化问题，得到目标位置的估计。

2.根据权利要求1所述的锚节点位置不确定情况下的目标定位方法，其特征在于，所述的第二步利用一阶泰勒展开式将锚节点真实位置与量测位置的关系进一步转化为

其中o(||ξ_i||)表示锚节点误差向量模||ξ_i||的高阶无穷小量；令

则推得|δ_ij|≤ε，其中

表示锚节点i与目标节点j之间的距离，与r_ij不同，这里的使用的锚节点i的坐标是已知的带有误差的锚节点位置，δ_ij表示锚节点i与目标节点j之间的模的误差值；则最终锚节点与目标节点之间通信的TOA量测表示为

3.根据权利要求1所述的锚节点位置不确定情况下的目标定位方法，其特征在于，所述的第四步引入中间矩阵

优化问题的最终形式为：

subject to

γ[(i-1)N+j]≥r²[(i-1)N+j]

γ[MN+(j-1)N+j']≥r²[MN+(j-1)N+j']

γ[MN+(j-1)N+j']＝Y_u[j,j]+Y_u[j',j']-Y_u[j,j']-Y_u[j',j]

X_u(:,j)＝Y_u[j,N+1:N+l]

Y_u[N+1:N+l,N+1:N+l]＝I_l

其中，Y_u[w,v]表示引用矩阵Y_u第w行，第v列的元素，w和v必须是整数；Y_u[j,N+1:N+l]表示矩阵Y_u第j行，第N+1到N+l列的所有元素，Y_u[N+1:N+l,N+1:N+l]表示矩阵Y_u第N+1到N+l行，第N+1到N+l列的所有元素，X_u(:,j)表示矩阵X_u中第j列所有元素组成的列向量。

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