CN112862972B - 一种表面结构网格生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种表面结构网格生成方法，包括：对三维模型进行可扩展的局部单射参数化，在网格参数化的过程中，优化防翻转能量，通过最小化一组更简单的代理能量来间接优化失真能量；在参数化的二维平面域的结果中进行网格剖分，对复杂区域进行分解，在子区域平面域上生成结构化网格，在平面域上对网格进行网格优化，基于角度的光顺算法调整网格的角度，进行优化，将得到的二维结构网格进行逆映射，将二维结构网格逆映射回三维空间中，得到贴体的三维模型表面结构网格，通过此方法生成的结构化网格，减少了三维空间生成结构化网格的难度，参数化域中生成的结构化网格易实现，该方法生成的网格质量好，精度高。

Description

一种表面结构网格生成方法

技术领域

本发明涉及计算机计算机图形学，有限元网格剖分，具体涉及一种表面结构网格生成方法。

背景技术

映射是计算机图形学和几何处理中的一个重要工具，也是计算机图形学中研究最多的课题之一，网格参数化是最基本的也是最广泛的用途之一，在实际中也有许多的应用，例如纹理映射、重网格化、形状的转换和特征属性转移，都依赖于低失真的参数化的计算。这个问题已经被广泛的研究，并且已经有了大量的算法，线性方法可以提供参数化计算的有效方法，当固定网格边界的时候，将导致高度的网格失真，这样才能确保单射参数化。随着强大的处理器的出现，非线性优化也变得可行了，允许人们进行自由边界的计算，可以计算高质量的单射和双摄，当前的非线性方法通常需要长时间的计算，并且不能很好地扩展到大的数据集。

三维模型的表面参数化是计算机图形学中的重要组成部分，例如过滤，压缩，识别，纹理映射和变形。它涉及计算分段线性三角化表面和合适的参数域之间的双射映射。正常来讲，参数化将导致一些度量失真，因为只有可展开的曲面被展平到平面上才会有没有任何变形。因此参数化的目标是找到一个双射映射，它尽可能地保留原始的一些几何特性，例如，等角映射保持面积，保角映射保持角度，等长映射保持长度，或者这些映射的某种组合。每个单独的三角形可以很容易地参数化而不失真，但是他们在平面上将不再适合。

网格生成是几何数据建模和处理中的一个基本和关键问题，在大多数计算机辅助工程任务中，涉及数值模拟，在几何区域或者物体上，使用有限元或者有限体积法求解偏微分方程，第一步就是使用多边形或多面体网格让几何图形或者几何体离散化。网格的质量会严重影响数值计算的准确性，效率和稳定性，所生成的网格可以分为结构化网格和非结构化网格。结构化网格是那些顶点的度数恒定且单元排列规则。相反非结构化网格允许其元素以不规则连通排列。

网格生成是数值计算的重要步骤，生成的网格质量影响计算结果。随着科学技术的飞跃发展，需要求解的模型越来越复杂，高质量网格自动生成是目前急需解决的重要问题。随着计算机技术、计算机辅助设计技术的迅猛发展，在工程制图、视频游戏、科学研究和生物医学等领域中三维模型的数量呈***式增长。三维模型的优点在于更贴近现实世界，能给人以更强烈的视觉冲击，震撼程度远远高于二维画面，三维数据的多视图视角使得模型更加生动逼真。由于三维模型广阔的应用前景，计算机图形学和计算机视觉方面的许多研究者都对这一领域充满兴趣，这给三维模型提供了良好的发展机遇。

网格质量是有限元方法中重要的一部分，虽然网格生成在有限元分析中得到了广泛的应用，但这不能保证网格生成的质量，无论在网格划分还是在网格加密的过程中，都可能产生一些严重的失真或者网格单元的变形，网格的质量问题会严重影响有限元解的性能和精度，高质量的网格划分可以缩短求解时间，提高求解精度，因此，在网格生成中经常使用网格质量改进方法。网格改进方法有三种：节点***删除优化、拓扑优化和几何优化。几何优化也称为光顺，因为它在保留网格拓扑的同时，通过重新定位网格顶点来改善网格质量，因此，光顺在网格优化中起着重要的作用。

发明内容

本发明解决的技术问题，克服现有技术的不足，由于目前三维空间中结构化网格生成具有很大的困难，提供一种表面结构网格生成方法，通过参数化的方法，把三维空间生成表面结构网格的问题转化为在二维空间生成表面结构网格。提高三维空间中生成表面结构网格的网格质量和速度。降低三维模型生成表面结构网格的困难。

本发明采用的一个技术方案是，具体包括以下步骤：

步骤S1：输入三维模型数据，获取三维模型的三角形网格顶点坐标信息、面片数量信息、边的数量，将输入的三维模型进行可扩展的局部单射参数化操作，目标最小化能量的失真度量是连续对称Dirichlet能量，将三维模型参数化到二维平面域，在二维平面域中得到参数化后的结果；

步骤S2：将步骤S1中得到的参数化结果，在二维平面域中生成结构化四边形网格，利用区域分解的方法，当构成区域的边界数量大于4时，则对复杂区域进行区域分解，将复杂区域分解为多个规则的四边形子区域，在子区域中使用映射法生成结构四边形网格；

步骤S3：将步骤S2中的二维结构网格进行网格光顺处理，通过一种改变角度的网格光顺方法，对于每个网格节点，比较入射到该节点的所有相邻角度，并且调整这些角度，在四边形网格中使它们变得相等，使每一对相邻的角相等或者成一定的比例，在二维平面域中，得到优化后的结构化网格；

步骤S4：将步骤S3中得到的二维结构化网格逆映射回三维空间，将二维结构化网格的顶点的坐标表示成所在的三角形坐标的线性方程，通过计算顶点的重心权重，计算得到空间中的坐标，得到三维空间中的表面结构网格。

在步骤S1中，通过输入三角形网格M＝(V，F)，V是顶点，F是面片的集合，用表示参数化过程，将输入的三角形网格映射到平面域中，采用连续分段的仿射函数，将M映射到平面域中，三角形f∈F，三角形被仿射映射，仿射映射函数用Φ|_f表示；将三角形f∈F映射到平面的三角形，用pf：/>来表示；将输入网格参数化展平到平面域中，将引入一定的几何失真，其中几何失真通过失真度量来量化，用失真度量来反映映射前后的面积角度变化，失真度量选择连续对称Dirichlet能量，从而最小化形变能量，参数化的质量高，并且具有可扩展性；最小化的变形能量表示如下：

其中为失真度量，A_f是元素f的面积，度量失真/>对于平移是不变的，度量失真可以用每个仿射变换φ_f的2x2雅可比矩阵来公式化，仿射变换表示为：φ_f；仿射变换的雅可比矩阵表示为：/>其中J_f(x)是x的一个线性函数；进行的参数化是一种高效且可拓展的算法来计算高质量的等距参数化，输入三角形网格，包括其中的顶点和面信息，在参数化的过程中，将输入的三角形网格映射到平面域中，采用连续分段的仿射函数，不同的仿射映射在公共边上保持一致，将输入的网格展平到二维空间中，会造成一定的几何失真。失真通过失真度量来量化，用失真度量来反映映射前后的面积角度变化。失真度量仅以来于映射前后的三角形的形状，对平移和旋转是保持不变，通过交替的局部全局优化来实现最小化非线性能量用尽可能刚性的失真度量，尽可能刚性的失真度量对于翻转的元素处理效果不够理想，目标能量最小化的能量选择的失真度量是连续对称Dirichlet能量。

在步骤S2中，在结构化四边形网格中，完全规则的网格拓扑过于严格，需要引入一些奇异点，来灵活的减少失真。当所构成区域的边界数量大于4时，则对复杂区域进行区域分解，采用分而治之的策略进行区域分解方法，划分为可解的子区域，将复杂区域分解为多个规则的四边形子区域，将大型和复杂的几何区域划分为小型和简单的可解子区域，通过区域分解的方法，即能用映射法发挥映射法的优势，又解决了映射法难以在复杂区域中生成结构网格的问题。

在步骤S3中，将步骤S2中的二维平面域结构化四边形网格进行网格优化，利用基于角度的光顺算法，计算相邻角的度数，计算相邻角的度数差值确定旋转角度，对于每个网格节点，比较入射到该节点的所有相邻角度，并且调整这些角度，在四边形网格中使它们变得相等，使每一对相邻的角相等或者成一定的比例，最终计算得到节点的新坐标，从而对二维结构网格进行优化，得到二维结构化网格；经过这种光顺算法后，网格的大小和形状质量都要好，该方法可以防止网格单元倒置，使网格单元小大尽可能均匀；

所述基于角度的光顺算法如下：

(1)对于相邻顶点N_j-1，N_j，N_j+1，相邻的两个角的计算公式为：

其中，v_j-1,v_j,v_j+1是共享顶点N_j的向量，α₁和α₂是由这三个矢量确定的角度；

(2)计算两个相邻角度之间的差值，确定矢量v_j被旋转的角度，β_j＝(α₂-α₁)/2，β_j是通过向量v_j移动所造成的角度；

(3)将矢量v_j旋转v_j角度，N_i的新坐标为：

x′＝x₀+(x-x₀)cosβ_j-(y-y₀)sinβ_j

y′＝y₀+(x-x₀)sinβ_j+(y-y₀)cosβ_j

其中，(x₀,y₀)是节点N_j的坐标，(x,y)是节点N_i的旧坐标，(x′,y′)是节点N_i的新坐标；

(4)通过遍历所有的相邻节点，同一个节点N_i，有数量为k的新位置，k为相邻节点数，通过取所有的相邻节点，计算出(x′,y′)的平均值，从而计算出节点N_i的最终坐标，坐标公式为：

所述步骤S4中，将二维平面域中的结构网格逆映射到三维空间过程为：将二维坐标逆映射回到三维空间，二维点到三维点的映射关系，用重心加权的方法找到生成的二维结构网格顶点对应三维空间中的具体坐标，逆映射过程输入二维网格顶点集合，输出逆映射后的三维网格，遍历二维网格顶点集合，找到顶点所在的三角形，分别求出三角形的面积比，将面积比作为逆映射边权重，将逆映射函数通过一个线性方程表示，计算得到顶点逆映射后的坐标，即得到三维空间中的表面结构网格。

本发明的有益效果是，设计了一种表面结构网格生成方法，通过参数化可以得到可以在平面域生成结构化网格的参数化结果，且参数化效果具有很好的扩展性，在平面域中通过区域分解在子区域生成结构化网格，对平面域的网格进行网格疏密的控制，通过逆映射将结构网格映射回到三维空间，得到贴合的三维模型表面的结构化网格；与现有的技术相比较，相比直接在三维模型表面进行网格剖分，参数化区域上进行的网格剖分操作更简单，计算复杂性更低，更易于实现。

附图说明

图1是一种表面结构网格生成的具体实现过程示意图；

图2是二维平面域结构化网格区域分解法生成的示意图；

图3是本方法的输入输出示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明进行进一步的说明。

如图1所示，本发明具体的实现步骤：

在步骤S1中，输入三角形网格M＝(V，F)，V是顶点，F是面片的集合。参数化用来表示。用连续分段的仿射映射，将M映射到平面域中。三角形f∈F，三角形被仿射映射，用Φ|_f表示。不同的仿射映射在公共边上保持一致。通过/>表示顶点的映射坐标。

一般情况下，将输入的网格进行参数化后，输入的网格将被展平，这会引入一些几何失真，失真通过失真度量来量化，用来表示，反应映射之间前后的三角形面积、角度、后者两则的组合的变化。失真度量仅仅依赖于映射前后三角形的形状，对旋转和平移保持不变。

假设，每个三角形f∈F映射到平面的三角形，都拥有它独立的任意局部等距映射，用p_f：来表示。三角形f的参数化映射可以写做/>其中平面域中的仿射映射用φ_f：/>来表示。

度量失真对于平移是不变的，它可以用每个仿射变换φ_f的2x2雅可比矩阵来公式化。称为：/>其中J_f(x)是x的一个线性函数。

最小化的能量为：其中/>为失真度量，A_f是元素f的面积。如果度量失真对于旋转是最小的，度量失真是等距度量失真。

一种尽可能刚性的度量失真被定义为：

用尽可能刚性的失真度量来最小化(1)相关的非线性能量，用交替的局部全局算法来实现。其中局部全局优化算法有非常好的特性，即当初始化一个原理解的点时，在最小化的过程中会进行很大的一步，这个特性使得局部全局方法可以在几次迭代后，就足以获得一个非常良好的结果，它在初始迭代就可以迅速得到进展，在实现交互行为时，也至关重要。

最小化(1)所用的是连续对称的Dirichlet能量，最小化失真度量组成的能量可以确保没有三角形退化或者翻转，并且提供整体质量更高的参数化。本发明中参数化方法称为局部全局扩展优化算法，最小化尽可能刚性的失真度量以外的能量。

对称Dirichlet重加权局部全局算法，输入：网格M，顶点集合V，面片元素集合F，输出：映射坐标，最小化能量优化过程，迭代次数从1开始到最大的迭代次数，对于每个雅可比行列式J_f(x^k-1)，计算最近的旋转/>用对于每个f∈F更新权重/>求解从而得到p^k，计算d^k，d^k：＝p^k-x^k-1，找到α_max，执行等分线搜索去找到步长α，从α＝min{1，0.8α_max}开始，间隔[0，α_max]。

J_f(x^k-1)是雅可比行列式，是最近的旋转，/>是更新的权重，α为更新步长，/>是失真度量，A_f是元素f的面积。

局部全局算法将参数化问题描述为一个既有局部元素又有全局元素的优化问题，寻找使每一个三角形网格的变形最小化的局部变化。

假设3D三角形网格的三角形编号为t＝1～T,3D三角形的面积是A_t，假设每个3D三角形都使用一个平面中的三角形，都有它自己的局部等长参数化我们的目标是对整个网格寻找一个单独的参数化，例如，从3D网格到2D平面的一个分段线性映射，向数量为n的顶点中的每个顶点分配2D坐标u。对于三角形t，2D坐标可以用/>表示。在此设置下，x_t和u_t之间的映射，用2x2的雅可比矩阵关联。将三角形t处的这个矩阵表示为J_t(u)，以表示它对u的依赖。他表示仿射映射的线性部分，从x_t描述的三角形到u_t描述的三角形。

定义参数化坐标的能量u,和辅助的线性变换T，和L＝{L₁，..，L_T}，其中 这个能量可以用x，u的坐标形式来描述。

为了解决最小化ARAP映射，采取了局部全局算法，在这两个阶段进行迭代，第一个是局部阶段，计算每个三角形的最佳迭代。在第二部分全局阶段，求解最佳u作为稀疏线性***。其中每一步都保证减少能量，这种能量最终会汇聚。由于全局阶段的矩阵在迭代时是不变的，它只需要被分解一次，在每次迭代中重复使用。局部阶段可以用奇异值分解来计算，对于ARAP，也可以直接用对数协方差矩阵来进行奇异值分解。

如图2所示，通过边界信息进行判断，若为复杂区域则进行区域分解，利用区域分解的方法，构成区域的边界数量大于4时，则对复杂区域进行区域分解，将复杂区域分解为多个规则的四边形子区域，在子区域中使用映射法生成结构四边形网格，该方法即可以发挥映射法的优势，同时又解决了映射法难以在复杂区域生成结构网格的问题。

步骤S2中，将得到的参数化结果，在二维平面域进行有限元网格剖分，生成结构化网格。

对于复杂模型，由于无法直接生成结构化网格，提出了区域分解的方法，若无法直接生成结构化网格，则将复杂区域分解为一系列的规则的子区域，之后继而在相对规则的子区域使用映射法生成结构化网格，最后将所有的区域进行合并，最终得到结构化网格。

对于不能直接生成结构化四边形网格时，则通过添加辅助线，将复杂区域分解成一些形状更简单，更加规则的四边形子区域，继而在每一个子区域采用映射法生成结构化四边形网格，最后进行合并子区域，在整体区域生成结构化网格，区域分解在复杂区域生成结构网格时，即能发挥映射法的优势，又可以解决映射法无法在复杂区域生成结构网格的问题。

进行区域分解时，对边界信息对区域进行遍历，如果区域中遍历到了内边界，则这个区域为复杂区域，因此将复杂区域进行转化，将内边界与外边界进行连接，将多复杂的区域转化为简单的区域，在子区域进行映射法，采用超限插值法对子区域进行网格生成，复杂区域可以通过超限插值法转化为计算区域，对生成的结构化网格，该方法可以更好的控制网格单元密度，精度较高。

在步骤S3中，基于角度的网格光顺算法步骤如下：对于每一个节点，如顶点N_j-1，N_j，N_j+1，相邻的两个角的计算公式为：

其中，v_j-1,v_j,v_j+1是共享顶点N_j的向量，α₁和α₂是由这三个矢量确定的角度。

计算两个相邻角度之间的差值，确定矢量v_j被旋转的角度，β_j＝(α₂-α₁)/2，β_j是通过向量v_j移动所造成的角度。

顶点N_j，将矢量v_j旋转v_j角度，N_i的新坐标为：

x′＝x₀+(x-x₀)cosβ_j-(y-y₀)sinβ_j

y′＝y₀+(x-x₀)sinβ_j+(y-y₀)cosβ_j

通过遍历所有的相邻节点，同一个节点N_i，有数量为k的新位置，k为相邻节点数，通过取所有的相邻节点，计算出(x′,y′)的平均值，从而计算出节点N_i的最终坐标，坐标公式为：

除了连接到中心节点的节点外，再使用对角节点，理想的对角角度为45°，重复上述步骤，用迭代的方法计算目标角度，然后再将相应的节点进行移动。其中，(x₀，y₀)是节点N_j的坐标，(x,y)是节点N_i的旧坐标，(x′,y′)是节点N_i的新坐标。

步骤S4中，将平面域的结构网格，将剖分好的平面域结构化网格逆映射到三维空间，将二维坐标映射到三维中，二维点到三维点的映射关系，用重心映射法逆映射回三维空间，将二维网格的顶点的坐标表示成所在的三角形坐标的线性方程，通过计算点的重心权重，计算得到空间中的坐标，得到三维空间中的表面结构网格。假设参数域上有结构网格节点，根据坐标遍历，位于参数域网格哪个三角形中，坐标可以表示为与三角形坐标相关的线性方程组，其中计算在三角形中分别对应于顶点的重心权重，最后可以由一个分段线性函数表示，由此得到点在空间中的坐标，同理可以得到生成的二维结构网格点在三维空间中的具体坐标。得到顶点坐标后，连接关系由二维结构网格连接关系确定，保证了逆映射后的结构网格，不会出现不共面的情况。

如图3所示，描述了输出和输出的示意图，通过本发明方法生成的结构网格，将三维模型表面网格生成问题简化为：三维空间到二维平面域的参数化问题，以及二维平面域中的结构网格生成问题，降低了计算量，减少了三维空间生成结构化网格的难度，参数化域中生成的结构化网格易实现，生成的网格质量好，精度高。

Claims (2)

1.一种表面结构网格生成方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

步骤S1：输入三维模型，获取三维模型的三角形网格的顶点坐标信息、面片数量信息、边的数量，将输入的三维模型进行可扩展的局部单射参数化操作，目标最小化能量的失真度量是连续对称Dirichlet能量，将三维模型参数化到二维平面域，在二维平面域中得到参数化后的结果；

步骤S2：将步骤S1中得到的参数化后的结果，在二维平面域中生成结构化四边形网格，利用区域分解的方法，当构成区域的边界数量大于4时，则对复杂区域进行区域分解，将复杂区域分解为多个规则的四边形子区域，在子区域中使用映射法生成结构化四边形网格；

步骤S3：将步骤S2中的结构化四边形网格进行网格优化，通过基于角度的光顺算法，计算相邻角的度数，通过计算相邻角的度数差值确定旋转角度，最终计算得到节点的新坐标，从而对二维结构网格进行优化，得到二维结构化网格；

步骤S4：将步骤S3中得到的二维结构化网格逆映射回三维空间，将二维结构化网格的顶点的坐标表示成所在的三角形坐标的线性方程，通过计算顶点的重心权重，计算得到空间中的坐标，得到三维空间中的表面结构网格；

所述步骤S1中，通过输入三角形网格M＝(V，F)，V是顶点，F是面片的集合，用表示参数化过程，将输入的三角形网格映射到平面域中，采用连续分段的仿射函数，将M映射到平面域中，三角形f∈F，三角形被仿射映射，仿射映射函数用Φ|_f表示；将三角形f∈F映射到平面的三角形，用/>来表示；将输入网格参数化展平到平面域中，将引入一定的几何失真，其中几何失真通过失真度量来量化，用失真度量来反映映射前后的面积角度变化，失真度量选择连续对称Dirichlet能量，从而最小化形变能量，参数化的质量高，并且具有可扩展性；最小化的变形能量表示如下：

其中为失真度量，A_f是元素f的面积，度量失真/>对于平移是不变的，度量失真可以用每个仿射变换φ_f的2x2雅可比矩阵来公式化，仿射变换表示为：φ_f；仿射变换的雅可比矩阵表示为：/>其中J_f(x)是x的一个线性函数；

所述步骤S3中，所述基于角度的光顺算法如下：

(1)对于相邻顶点N_j-1，N_j，N_j+1，相邻的两个角的计算公式为：

其中，v_j-1,v_j,v_j+1是共享顶点N_j的向量，α₁和α₂是由这三个矢量确定的角度；

(2)计算两个相邻角度之间的差值，确定矢量v_j被旋转的角度，β_j＝(α₂-α₁)/2，β_j是通过向量v_j移动所造成的角度；

(3)将矢量v_j旋转v_j角度，N_i的新坐标为：

x′＝x₀+(x-x₀)cosβ_j-(y-y₀)sinβ_j

y′＝y₀+(x-x₀)sinβ_j+(y-y₀)cosβ_j

其中，(x₀,y₀)是节点N_j的坐标，(x,y)是节点N_i的旧坐标，(x',y')是节点N_i的新坐标；

(4)通过遍历所有的相邻节点，同一个节点N_i，有数量为k的新位置，k为相邻节点数，通过取所有的相邻节点，计算出(x',y')的平均值，从而计算出节点N_i的最终坐标，坐标公式为：

2.根据权利要求1所述的一种表面结构网格生成方法，其特征在于：所述步骤S4中，将二维平面域中的结构网格逆映射到三维空间过程为：将二维坐标逆映射回到三维空间，二维点到三维点的映射关系，用重心加权的方法找到生成的二维结构网格顶点对应三维空间中的具体坐标，逆映射过程输入二维网格顶点集合，输出逆映射后的三维网格，遍历二维网格顶点集合，找到顶点所在的三角形，分别求出三角形的面积比，将面积比作为逆映射边权重，将逆映射函数通过一个线性方程表示，计算得到顶点逆映射后的坐标，即得到三维空间中的表面结构网格。