CN112859602A - 一种非最小相位***输出重定义方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非最小相位***输出重定义方法，包括以下步骤：S1、建立非最小相位***线性模型，计算***相对阶数，选取与之对应的内部动态与外部动态转换非最小相位模型，进而建立输入输出线性化后的等效控制模型；S2、针对原始非最小相位输出，设计输出重定义方法寻找到最优的等效最小相位输出；S3、设计线性控制器，利用等效最小相位输出对等效控制模型进行控制，依照S1中模型转换的方法得到原始输出。本发明基于输出重定义技术，结合最优化参数解算，提出了一种非最小相位***输出重定义方法，解决了非最小相位***控制器设计复杂和控制响应有负调的问题。

Description

一种非最小相位***输出重定义方法

技术领域

本发明涉及一种非最小相位***输出重定义方法。

背景技术

非最小相位***在实际的工程应用中比较常见，对非最小相位***的控制往往比较复杂。经典的控制理论不能直接用于解决非最小相位***(NMPS)的控制问题，如何使非最小相位***控制问题变得简便具有重要的意义。线性***在频域上可以写出传递函数，对线性非最小相位***来说，其传递函数右半平面的零点是不稳定的零点，它的存在会导致被控***的不稳定性发散。传统配置反馈控制器的方法能够指定***极点的位置，但无法改变***零点的位置，也就不可以保证设计者设计的控制器能使***趋于稳定。另外，右半平面零点的存在使得对被控对象的控制难度加大。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于输出重定义技术，结合最优化参数解算，提出了一种非最小相位***输出重定义方法，解决了非最小相位***控制器设计复杂和控制响应有负调的问题的非最小相位***输出重定义方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种非最小相位***输出重定义方法，包括以下步骤：

S1、建立非最小相位***线性模型，计算***相对阶数，根据***相对阶数，选取与之对应的内部动态与外部动态转换非最小相位模型，使***的内外动态分解，进而建立输入输出线性化后的等效控制模型；

S2、针对原始非最小相位输出，设计输出重定义方法寻找到最优的等效最小相位输出；

S3、设计线性控制器，利用S2中得到的等效最小相位输出，对S1中建立的等效控制模型进行控制，依照S1中模型转换的方法得到原始输出，消除非最小相位***的不良影响。

进一步地，所述步骤S1包括以下子步骤：

S11、建立非最小相位***线性模型如下：

其中，状态变量

表示n维空间，

表示状态变量x(t)的一阶导数；输入变量

输出变量

表示一维空间；状态矩阵

输入矩阵

c^T为***原始非最小相位输出向量，

中，l代表矩阵的行数，由输出变量y(t)的维度确定；n代表矩阵的列数，由状态变量x(t)的维度确定；

S12、非最小相位***(1)的相对阶r由下式进行计算：

S13、为实现非最小相位线性***模型的输出渐进跟踪，有如下定义：

lim_t→∞y(t)-y_d(t)＝0 (2)

其中，y_d(t)为期望的***输出；

S14、设S11中所建立的非最小相位***满足以下条件：

条件1：***可能的最大相对阶r等于***能控矩阵的秩，即r＝rank([b Ab … A^{r -1}b])；

条件2：***具有完全能控性和能观性；

S15、根据步骤S13中的设定，根据稳态逆的定义，***存在唯一的稳态解(x_d(t),u_d(t))，满足以下条件：

定义渐进跟踪误差为e＝y(t)-y_d(t)，式(3)转换为：

S16、为了便于分析***的非最小相位特性，利用坐标转换的方法，在满足条件1的情况下，总能找到n-r个变量(α₁,...,α_n-r)使得以下映射

Φ＝[c^T c^TA … c^TA^r-1 α₁ ^T … α_n-r ^T]^T

是非奇异的，其中(α₁,...,α_n-r)满足α_i ^Tb＝0,1≤i≤n-r的条件；

定义一种坐标变换：[z^T(t),η^T(t)]^T＝Φx(t)，其中，z^T(t)代表***外部动态的向量形式，η^T(t)代表***内部动态的向量形式，将***转换为以下的等价形式：

其中，

为坐标变换矩阵，

P^(n-r)×(n-r)分别为外部动态和内部动态的系数矩阵；z_i(t)代表***内部动态向量中的第i个分量，

代表z_i(t)的一阶导数，i＝1，…，r；表达式(5)即为输入输出线性化后的等效控制模型。

进一步地，所述步骤S2包括以下子步骤：

S21、针对非最小相位***，存在状态反馈增益

满足以下条件：

条件3：***矩阵(A-bk^T)在频域左半平面有n-r个特征值；

条件4：c^TA^r-1(A-bk^T)＝0；

S22、在非最小相位***线性模型中，引入等效的最小相位输出为y^*(t)＝c_new ^Tx^*(t)，其中c_new ^T代表等效的最优的最小相位输出，x^*(t)代表等效的最小相位输出状态；建立最小相位输出的***模型如下：

上标有*表示引入等效的最小相位输出后的新***模型对应的量；x_d(t)代表***的期望状态，由期望输出y_d(t)决定；

依次分别代表了x_d(t)的一阶导，二阶导数，…，r-1阶导数；

S23、在已知y_d ^*(t)的情况下解出z^*(t)和η^*(t)，得到：

[z^*T(t),η^*T(t)]^T＝Φx^*(t) (7)；

S24、计算映射矩阵Φ的逆矩阵Φ^-1，进一步得到最小相位模型的稳态逆为：

x^*(t)＝Φ^-1[z^*T(t),η^*T(t)]^T (8)；

S25、设最小相位模型的稳态逆满足条件5：

条件5：

S26、根据ε的值，确定寻找最贴近原始输出的最小相位输出的优化条件min|ε|；

S27、根据S21和S26中的结果，确定寻找最优的最小相位输出条件如下：

λ_i代表矩阵(A-bk^T)的第i个特征值；Re{}代表取矩阵特征值的实部部分。

进一步地，所述步骤S3包括以下子步骤：

S31、对步骤S11中的非最小相位***线性模型设计线性控制器如下：

其中，u^*表示为最小相位***所设计的控制输入，

为期望的输入和状态变量，k^T为反馈增益矩阵，反馈控制项

用于镇定***实现期望的状态轨迹，前馈控制项

用于在稳态时实现精确的输出跟踪；

S32、基于S22中建立的最小相位***模型，S31中的控制输入由下式解出：

S33：依据极点配置定理，确定反馈增益矩阵k^T；

S34：依据S11中的***原始非最小相位输出向量c^T，求解出原始输出

本发明的有益效果是：本发明基于输出重定义技术，结合最优化参数解算，提出了一种非最小相位***输出重定义方法，解决了非最小相位***控制器设计复杂和控制响应有负调的问题，并将该方法成功运用于固定翼飞机纵向航迹倾角控制中。

附图说明

图1为本发明的非最小相位***的输出重定义方法流程图；

图2为本实施例中基于输出重定义的航迹倾角跟踪结果图；

图3为本实施例中***状态变化图；

图4为本实施例中状态反馈下的***响应，虚线代表本发明的方法，实现代表现有技术中的相关方法。

具体实施方式

下面结合附图进一步说明本发明的技术方案。

如图1所示，本发明的一种非最小相位***输出重定义方法，包括以下步骤：

S1、建立非最小相位***线性模型，计算***相对阶数，根据***相对阶数，选取与之对应的内部动态与外部动态转换非最小相位模型，使***的内外动态分解，进而建立输入输出线性化后的等效控制模型；

包括以下子步骤：

S11、建立非最小相位***线性模型如下：

其中，状态变量

表示n维空间，

表示状态变量x(t)的一阶导数；输入变量

输出变量

表示一维空间；状态矩阵

输入矩阵

c^T为***原始非最小相位输出向量，

中，l代表矩阵的行数，由输出变量y(t)的维度确定；n代表矩阵的列数，由状态变量x(t)的维度确定；

S12、非最小相位***(1)的相对阶r由下式进行计算：

S13、为实现非最小相位线性***模型的输出渐进跟踪，有如下定义：

lim_t→∞y(t)-y_d(t)＝0 (2)

其中，y_d(t)为期望的***输出；

S14、设S11中所建立的非最小相位***满足以下条件：

条件1：***可能的最大相对阶r等于***能控矩阵的秩，即r＝rank([b Ab … A^{r -1}b])；

条件2：***具有完全能控性和能观性；

S15、根据步骤S13中的设定，根据稳态逆的定义，***存在唯一的稳态解(x_d(t),u_d(t))，满足以下条件：

定义渐进跟踪误差为e＝y(t)-y_d(t)，式(3)转换为：

S16、为了便于分析***的非最小相位特性，利用坐标转换的方法，在满足条件1的情况下，总能找到n-r个变量(α₁,...,α_n-r)使得以下映射

Φ＝[c^T c^TA … c^TA^r-1 α₁ ^T … α_n-r ^T]^T

是非奇异的，其中(α₁,...,α_n-r)满足α_i ^Tb＝0,1≤i≤n-r的条件；

定义一种坐标变换：[z^T(t),η^T(t)]^T＝Φx(t)，其中，z^T(t)代表***外部动态的向量形式，η^T(t)代表***内部动态的向量形式，将***转换为以下的等价形式：

其中，

为坐标变换矩阵，

P^(n-r)×(n-r)分别为外部动态和内部动态的系数矩阵；z_i(t)代表***内部动态向量中的第i个分量，

代表z_i(t)的一阶导数，i＝1，…,r；表达式(5)即为输入输出线性化后的等效控制模型。

S2、针对原始非最小相位输出，设计输出重定义方法寻找到最优的等效最小相位输出；

包括以下子步骤：

S21、针对非最小相位***，存在状态反馈增益

满足以下条件：

条件3：***矩阵(A-bk^T)在频域左半平面有n-r个特征值；

条件4：c^TA^r-1(A-bk^T)＝0；

S22、在非最小相位***线性模型中，引入等效的最小相位输出为y^*(t)＝c_new ^Tx^*(t)，其中c_new ^T代表等效的最优的最小相位输出，x^*(t)代表等效的最小相位输出状态；建立最小相位输出的***模型如下：

上标有*表示引入等效的最小相位输出后的新***模型对应的量；x_d(t)代表***的期望状态，由期望输出y_d(t)决定；

依次分别代表了x_d(t)的一阶导，二阶导数，…，r-1阶导数；

S23、在已知y_d ^*(t)的情况下解出z^*(t)和η^*(t)，得到：

[z^*T(t),η^*T(t)]^T＝Φx^*(t) (7)；

S24、计算映射矩阵Φ的逆矩阵Φ^-1，进一步得到最小相位模型的稳态逆为：

x^*(t)＝Φ^-1[z^*T(t),η^*T(t)]^T (8)；

S25、设最小相位模型的稳态逆满足条件5：

条件5：

S26、根据ε的值，确定寻找最贴近原始输出的最小相位输出的优化条件min|ε|；

S27、根据S21和S26中的结果，确定寻找最优的最小相位输出条件如下：

λ_i代表矩阵(A-bk^T)的第i个特征值；Re{}代表取矩阵特征值的实部部分。

S3、设计线性控制器，利用S2中得到的等效最小相位输出，对S1中建立的等效控制模型进行控制，依照S1中模型转换的方法得到原始输出，消除非最小相位***的不良影响；

包括以下子步骤：

S31、对步骤S11中的非最小相位***线性模型设计线性控制器如下：

其中，u^*表示为最小相位***所设计的控制输入，

为期望的输入和状态变量，k^T为反馈增益矩阵，反馈控制项

用于镇定***实现期望的状态轨迹，前馈控制项

用于在稳态时实现精确的输出跟踪；

S32、基于S22中建立的最小相位***模型，S31中的控制输入由下式解出：

S33：依据极点配置定理，确定反馈增益矩阵k^T；

S34：依据S11中的***原始非最小相位输出向量c^T，求解出原始输出

将本发明的方法应用于固定翼飞机纵向航迹倾角跟踪控制中：考虑在固定翼飞机模型中平衡点(x_e,u_e)附近的小扰动，便可以推导出一组线性常系数的状态方程。在平衡点附近，将状态方程用泰勒公式展开并只保留一阶形式，线性方程就可以由如下形式表示

由飞机基准运动可以将飞行控制分为纵向控制和横侧向控制。飞行纵向运动方程如下所示

进一步用小扰动线性化的方法对飞机纵向运动进行分析，其中纵向运动的状态变量为x＝[h,V,α,θ,q]^T，控制输入变量为u＝[δ_T,δ_e]^T。其中δ_e为升降舵偏角，δ_T为油门开度。由此可得，式(13)中E,A和B矩阵分别为

式(14)到(16)中各个变量的物理含义如下表1-1所示

表1-1方程式中对应变量的物理含义

本实例在建立固定翼飞机非线性模型并对其小扰动线性化的过程中使用F-16飞机开源数据，并运用Matlab软件工具进行了配平和线性化。

对纵向模型进行简化，考虑如下模型

其中，x＝[α q θ]^T为纵向模态，δ_e为升降舵偏角，γ为航迹倾角。

定义映射矩阵

Φ＝[c^T c^TA … c^TA^r-1 α₁ ^T … α_n-r ^T]^T

其中α₁，α₂等n-r个变量满足α_i ^Tb＝0,1≤i≤n-r的条件，在特定配平点下可以根据b矩阵给出α₁ ^T的值。在前面所定义的变换矩阵Φ基础上，对原状态向量进行坐标变换，并且假设：

Qz+Pη＝α₁ ^TAΦ^-1[z^T,η^T]^T (18)

根据所规定相对阶r大小的不同，三阶***变为标准形式后为

假设新输出系数向量为c_new ^T，最小相位模型的标准型为

其中上标有*表示是重定义输出后的新***模型对应的量，相应的其变换矩阵变为Φ^*，且

Φ^*＝[c_new ^T c_new ^TA … c_new ^TA^r-1 α₁ ^T … α_n-r ^T]^T

在对输出重定义后的最小相位模型设计相应的控制律时，可以不用像非最小相位***那样考虑***内部动态的稳定性，只需要保证设计控制律使得输出到达给定期望且稳定即可。设计前馈和反馈组成的控制器，控制律形式如下式(21)所示

δ_e＝δ_ed+K(x_d-x) (21)

采用极点配置的方法设计控制律可实现控制。根据期望跟踪的航迹倾角值y_d，基于输出重定义的方法可以得到最优的最小相位输出系数向量c_new ^T，进而可以得到转换矩阵为Φ^*，坐标转换后得到最小相位***的标准化模型，设计控制律使最小相位***的输出跟踪给定的航迹倾角期望值。在对最小相位***的控制跟踪过程中，可以得到标准化***模型的内外状态和控制输入，再根据坐标反变换将已得的内外状态变换为原非最小相位***坐标系下的状态变量。将既得控制输入与变换后得到的状态变量作为原非最小相位***的参考信号，设计稳定的控制律，即可得到进行了输出重定义操作后航迹倾角的实际输出。

以F-16飞行器在H＝5000m，V＝200m/s点配平得到的线性模型为例。(17)中

判断***最大可能相对阶是否等于***能控矩阵的秩(由Matlab程序段rank(.)即可判断)，所以r_max＝[A Ab A²b]＝3。在此配平点下，对于所选的不同输出，***有三种可能的相对阶。选择相对阶为2，进行输出重定义。

在选定相对阶r＝2后，假设新输出向量为c_new ^T，相应的其变换矩阵变为Φ^*＝[c_new ^Tc_new ^T*A α₁ ^T]^T。序列二次规划的优化目标及限定条件如下(22)所示

给出期望输出为y_d＝0.05236rad(3°)，即y^*＝0.05236rad，运用Matlab解算得到

c_new ^T＝[-0.8392 0.008004 1.019]

k^T＝[0.2901 -0.1638 -7.519e-14]

α₁＝[-11.35 0.1083 -0.7676]^T。

则坐标转换矩阵

变换出的最小相位模型标准型为

y^*＝z₁ ^*

给出期望输出为y_d＝0.05236rad，即为航迹倾角跟踪3°。采用与原非最小相位***控制中相似的稳定逆计算，确定最小相位模型状态变量的期望和控制输入的参考值分别为

采用极点配置的理论设计控制律，配置期望的三个极点为

p＝{-2-3i,-2+3i,-1.33}，

进一步可以确定控制最小相位***中状态反馈矩阵

K₁＝[-1.7987 -1.3275 -0.0052]，

控制航迹倾角稳定的状态反馈矩阵

K₂＝[0.6413 -0.3055 -1.8286]

基于输出重定义方法的航迹倾角跟踪控制如图1所示。航迹倾角输出响应如图2所示，最后控制的航迹倾角稳定跟踪上了一个值，其为2.954°且根据稳定性检验及图3状态变量变化趋势可得，设计控制律后的***是稳定的。与期望y_d＝0.05236rad对比，进行误差分析。

误差由下式表示

在实际的工程应用中，准确的误差范围为±3％，所以可以判定为重定义后的最小相位输出能够满足条件，且航迹倾角跟踪的值的误差在正常误差范围之内。图4给出了传统方法与本方法的对比图，可以看出，本方法的输出响应不具有负调且输出跟踪效果好。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.一种非最小相位***输出重定义方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、建立非最小相位***线性模型，计算***相对阶数，根据***相对阶数，选取与之对应的内部动态与外部动态转换非最小相位模型，使***的内外动态分解，进而建立输入输出线性化后的等效控制模型；

S2、针对原始非最小相位输出，设计输出重定义方法寻找到最优的等效最小相位输出；

S3、设计线性控制器，利用S2中得到的等效最小相位输出，对S1中建立的等效控制模型进行控制，依照S1中模型转换的方法得到原始输出。

2.如权利要求1所述的非最小相位***输出重定义方法，其特征在于，所述步骤S1包括以下子步骤：

S11、建立非最小相位***线性模型如下：

其中，状态变量

表示n维空间，

表示状态变量x(t)的一阶导数；输入变量

输出变量

表示一维空间；状态矩阵

输入矩阵

c^T为***原始非最小相位输出向量，

中，l代表矩阵的行数，由输出变量y(t)的维度确定；n代表矩阵的列数，由状态变量x(t)的维度确定；

S12、非最小相位***(1)的相对阶r由下式进行计算：

S13、为实现非最小相位线性***模型的输出渐进跟踪，有如下定义：

lim_t→∞y(t)-y_d(t)＝0 (2)

其中，y_d(t)为期望的***输出；

S14、设S11中所建立的非最小相位***满足以下条件：

条件1：***可能的最大相对阶r等于***能控矩阵的秩，即r＝rank([b Ab…A^r-1b])；

条件2：***具有完全能控性和能观性；

S15、根据步骤S13中的设定，根据稳态逆的定义，***存在唯一的稳态解(x_d(t),u_d(t))，满足以下条件：

定义渐进跟踪误差为e＝y(t)-y_d(t)，式(3)转换为：

S16、为了便于分析***的非最小相位特性，利用坐标转换的方法，在满足条件1的情况下，总能找到n-r个变量(α₁,...,α_n-r)使得以下映射

Φ＝[c^T c^TA … c^TA^r-1 α₁ ^T … α_n-r ^T]^T

是非奇异的，其中(α₁,...,α_n-r)满足α_i ^Tb＝0,1≤i≤n-r的条件；

定义一种坐标变换：[z^T(t),η^T(t)]^T＝Φx(t)，其中，z^T(t)代表***外部动态的向量形式，η^T(t)代表***内部动态的向量形式，将***转换为以下的等价形式：

其中，

为坐标变换矩阵，

P^(n-r)×(n-r)分别为外部动态和内部动态的系数矩阵；z_i(t)代表***内部动态向量中的第i个分量，

代表z_i(t)的一阶导数，i＝1，…,r；表达式(5)即为输入输出线性化后的等效控制模型。

3.如权利要求2所述的非最小相位***输出重定义方法，其特征在于，所述步骤S2包括以下子步骤：

S21、针对非最小相位***，存在状态反馈增益

满足以下条件：

条件3：***矩阵(A-bk^T)在频域左半平面有n-r个特征值；

条件4：c^TA^r-1(A-bk^T)＝0；

S22、在非最小相位***线性模型中，引入等效的最小相位输出为y^*(t)＝c_new ^Tx^*(t)，其中c_new ^T代表等效的最优的最小相位输出，x^*(t)代表等效的最小相位输出状态；建立最小相位输出的***模型如下：

上标有*表示引入等效的最小相位输出后的新***模型对应的量；x_d(t)代表***的期望状态，由期望输出y_d(t)决定；

依次分别代表了x_d(t)的一阶导，二阶导数，…，r-1阶导数；

S23、在已知y_d ^*(t)的情况下解出z^*(t)和η^*(t)，得到：

[z^*T(t),η^*T(t)]^T＝Φx^*(t) (7)；

S24、计算映射矩阵Φ的逆矩阵Φ^-1，进一步得到最小相位模型的稳态逆为：

x^*(t)＝Φ^-1[z^*T(t),η^*T(t)]^T (8)；

S25、设最小相位模型的稳态逆满足条件5：

条件5：

S26、根据ε的值，确定寻找最贴近原始输出的最小相位输出的优化条件min|ε|；

S27、根据S21和S26中的结果，确定寻找最优的最小相位输出条件如下：

λ_i代表矩阵(A-bk^T)的第i个特征值；Re{}代表取矩阵特征值的实部部分。

4.如权利要求3所述的非最小相位***输出重定义方法，其特征在于，所述步骤S3包括以下子步骤：

S31、对步骤S11中的非最小相位***线性模型设计线性控制器如下：

其中，u^*表示为最小相位***所设计的控制输入，

为期望的输入和状态变量，k^T为反馈增益矩阵，反馈控制项

用于镇定***实现期望的状态轨迹，前馈控制项

用于在稳态时实现精确的输出跟踪；

S32、基于S22中建立的最小相位***模型，S31中的控制输入由下式解出：

S33：依据极点配置定理，确定反馈增益矩阵k^T；

S34：依据S11中的***原始非最小相位输出向量c^T，求解出原始输出

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