CN112787692B - 一种带激励幅度约束的低副瓣波束赋形方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种带激励幅度约束的低副瓣波束赋形方法，在预设动态范围或者预设激励幅度的前提下，实现副瓣电平最小化的约束波束赋形。本发明直接对各阵元激励幅度进行约束，通过引入缩放因子，得到满足任意赋形波束下的阵列激励权重，是带幅度约束波束赋形的一般化方法，适用于激励动态范围约束或幅度预设问题，避免波形约束和激励幅度约束的能量失配问题，相较于传统的迭代方法，在相同动态范围约束或给定幅度约束的条件下，有效降低了阵列天线的副瓣电平，适用范围更广。

Description

一种带激励幅度约束的低副瓣波束赋形方法

技术领域

本发明涉及阵列天线波束赋形技术，特别涉及带激励幅度约束的波束赋形技术。

背景技术

阵列天线波束赋形是一类非凸、高维、非线性问题，其涉及电磁学和数值优化相关学科，在雷达、无线通信和遥感等领域具有广泛的应用前景。

阵列单元激励幅度约束主要包括：激励动态范围约束和预给定幅度约束。针对动态范围约束，可以有效降低阵元互耦和功分器设计复杂度；针对预给定幅度值约束，设计满足相应波形的激励幅度。

传统波束赋形方法主要包含三类：经典解析方法、智能优化算法和数值优化方法。对于经典解析方法，包括切比雪夫综合法、泰勒综合法和Woodward-Lawson综合法等方法，不能解决任意波形和激励幅度有效约束；对于智能优化算法，包括遗传算法、粒子群算法和免疫算法等方法，不能解决大规模阵列问题，并且难以施加复杂波形和激励幅度约束。数值优化方法由于其理论体系较为完整，在信号处理和机器学习领域引起关注，通过构建目标函数和波形约束，实现相关波束赋形。

幅度约束问题通常分为两类，动态范围约束和约束激励幅度约束。在归一化方向图约束的前提下，直接约束激励动态范围或预设激励幅度值时，方向图和激励幅度存在能量失配，即在该激励幅度约束的前提下，不能优化得到满足该赋形波束的激励权重。

数值优化方法分为两个步骤：1.以阵列天线方向图为基础，施加激励幅度约束和和主瓣方向图约束；2.在此基础上，设计迭代数值算法求解，获得各阵元激励，从而实现波束赋形。然而，对于现有波束赋形方法，激励幅度约束通常只考虑激励动态范围约束或者预设幅度值约束，适用范围受限。

传统数值优化方法中带幅度约束的波束赋形方法主要有两类：

一类是B.J,Liu Y,Cheng J,et al.在2016IEEE的电磁研究进展研讨会上公开的减小动态距离比的赋形功率方向图天线阵综合方法Shaped power pattern antennaarray synthesis with reduction of dynamic range ratio[C]//2016Progress inElectromagnetic Research Symposium(PIERS).IEEE,2016以及Fuchs B在2014年天线与传播期刊上公开的凸松弛在阵列综合问题中的应用Application of Convex Relaxationto Array Synthesis Problems[J].IEEE Transactions on Antennas&Propagation,2014,62(2):634-640.中给出了对于半正定规划的波束赋形综合方法，其目标寻找激励权重w满足以下约束条件：

find w

s.t.L_i≤|a_i(θ)^Hw|²≤U_i,i＝1,...,I

|a_j(θ)^Hw|²≤η,j＝1,...,J

其中，

和w＝[w₁,...,w_N]^T分别表示N个阵元组成的天线阵列的导向矢量和幅度激励，n＝1,...,N，k表示波数，x_n表示第n阵列单元的坐标位置，θ表示阵列方向图辐射方向，a_i(θ)和a_j(θ)分别表示天线阵列的导向矢量中主瓣区域和副瓣区域，g_n(θ)表示第n单元的辐射方向图；η表示预设的副瓣电平值；L_i和U_i分别表示主瓣约束的下限和上限，i＝1,...,I和j＝1,...,J分别表示主瓣区域的采样点和副瓣区域的采样点，D_max表示预设的动态范围最大值，^T表示转置。

引入辅助变量ξ，使得各阵元激励幅度满足如下条件：

引入新的未知量

从而将上述问题可以表述为：

find W

s.t.Tr(Q_iW)≤U_i i＝1,...,I

Tr(Q_iW)≥L_i i＝1,...,I

Tr(Q_jW)≤ηj＝1,...,J

Tr(Q_nW)≤Tr(Q_ξ2W)n＝1,...,N

Tr(Q_nW)≥Tr(Q_ξ1W)n＝1,...,N

W≥0

rank(W)＝1

其中，

Re(·)表示实数部分，Im(·)表示虚数部分，R表示实数；Tr(·)和rank(·)分别表示矩阵的迹和秩；L_i和U_i分别表示主瓣约束的下限和上限，i＝1,...,I和j＝1,...,J分别表示主瓣区域的采样点和副瓣区域的采样点，η表示预设的副瓣电平值；中间变量

对称矩阵Q_i(θ)＝A_i(θ)^TA_i(θ),Q_j(θ)＝A_j(θ)^TA_j(θ)，中间变量矩阵

通过将最后一个非凸约束秩约束rank(W)＝1进行松弛，从而通过转化为凸问题进行求解。

缺点：该方法将向量问题转为矩阵求解，增加了计算复杂度，并且不能保证宽波束赋形得到的解rank(W)＝1；同时，该方法没有考虑副瓣电平最小化，且仅仅适用于动态范围约束问题，不能解决一般化的幅度约束问题。

另一类是Fan,Xuhui,Liang,et al.在2019年天线与传播期刊上公开的基于ADMM(交替方向乘子法)的最小动态范围赋形波束综合方法Shaped Power Pattern SynthesisWith Minimization of Dynamic Range Ratio[J].IEEE Transactions on Antennas andPropagation,2019，其中构造问题如下：

L_i≤|w^Ha_i(θ)|²≤U_i i＝1,...,I

|w^Ha_j(θ)|²≤ηj＝1,...,J

其中，

e_n是第n个元素等于1的单位向量。

再通过引入附加变量y_n,z_i和v_s，将

和w以

为基准做归一化，等价于如下问题:

L_iβ≤|z_i|²≤U_iβi＝1,...,I

|v_j|²≤ηβj＝1,...,J

y_n＝w^He_n

z_i＝w^Ha_i(θ)

v_j＝w^Ha_j(θ)

其中，

该方法是在给定副瓣电平约束前提下，通过ADMM框架方法，迭代优化使动态范围达到最小化。

缺点：基于ADMM的动态范围最下化方法不能解决针对副瓣电平优化和预设激励幅度下的方向图优化问题。

在工程应用中，通常需要在预设动态范围或者预设激励幅度的前提下，实现副瓣电平最小化。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，在预设动态范围或者预设激励幅度的前提下，实现副瓣电平最小化的约束波束赋形方法。

本发明为解决上述技术问题所采用的技术方案是，一种带激励幅度约束的低副瓣波束赋形方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1确定阵列天线中的总阵元数为N，阵列天线的远场辐射方向图为a(θ)^Hw，a_i(θ)和a_j(θ)分别表示天线阵列的导向矢量中主瓣区域和副瓣区域，w＝[w₁,...,w_n,...,w_N]^T，θ表示阵列方向图辐射方向，阵元序号n＝1,...,N，i＝1,...,I和j＝1,...,J分别表示主瓣区域的采样点序号和副瓣区域的采样点序号，I和J分别表示主瓣区域的采样点总数和副瓣区域的采样点总数；T表示转置，H表示共轭转置；

设置初始值s^(k＝0),u^(k＝0),v^(k＝0),η^(k＝0),w^(k＝0),ρ^(t＝0),ξ^(t＝0),ζ^(t＝0)，^(·)表示迭代次数；s为缩放因子，u和v为辅助变量，u＝[u₁,...,u_i,...,u_I]，v＝[v₁,...,v_j,...,v_J]，u_i＝sa_i(θ)^Hw，u_j＝sa_j(θ)^Hw，η表示目标副瓣电平值，w表示阵列激励权重，ρ为惩罚因子，ξ为主瓣区域的对偶变量，ζ为副瓣区域的对偶变量；预设主瓣约束的下限和上限L_i和U_i、动态范围最大值D_max以及激励幅度值c_n；初始化第1层迭代次数k＝0，第2层迭代次数t＝0；设置常数μ(0<μ<1)，常数c(0<c<1)以及误差阈值

之后进入步骤2；

步骤2固定{u^(k),v^(k),η^(k),w^(k)}，更新s^(k+1)：

其中，A为向导矢量共轭转置矩阵

A_I＝[a₁(θ),...,a_i(θ),...,a_I(θ)],A_J＝[a₁(θ),...,a_j(θ),...,a_J(θ)]，||·||₂表示2-范数，辅助变量

步骤3固定{s^(k+1),v^(k),η^(k),w^(k)},设置辅助变量

将

投影到区间

更新u^(k+1)中各元素

步骤4固定{s^(k+1),u^(k+1),w^(k)}，通过设置辅助变量

更新{v^(k+1),η^(k+1)}：

步骤5固定{s^(k+1),u^(k+1),v^(k+1),η^(k+1)},通过设置辅助变量y^(k+1)，再利用上一次迭代得到的w^(k)先计算辅助变量

其中，B为对称矩阵，B＝A^HA，K为矩阵B的特征向量，K＝λ_max(B)T，λ_max(B)表示矩阵B的最大特征值，T为单位向量；

再根据情况利用辅助变量

选择约束形式更新得到w^(k+1)中各元素

5a)激励动态范围约束：

5b)预设幅度约束：

步骤6计算

L表示增广拉格朗日函数；判断是否满足Gap>10^-6，如是，则更新k＝k+1，转入步骤2，否则转入步骤7；

步骤7计算

||·||_∞表示无穷范数；再判断是否满足||h^(t)||_∞<μh^(t-1),如是，则更新

ρ^(t+1)＝ρ^(t)，否则更新ρ^(t+1)＝cρ^(t)，

步骤8判断是否满足

如是，则输出阵列激励权重w＝w^(k+1)，进入步骤9，否则更新t＝t+1，返回步骤2；

步骤9根据确定的阵列激励权重w完成波束赋形。

本发明直接对各阵元激励幅度进行约束，是带幅度约束波束赋形的一般化方法，适用于激励动态范围或幅度问题，相较于传统的迭代方法，在相同动态范围约束或给定幅度约束的条件下，有效降低了阵列天线的副瓣电平。

本发明的有益效果是，直接针对每个阵元的激励幅度进行灵活约束，通过引入缩放因子，避免波形约束和激励幅度约束的能量失配问题，得到满足任意赋形波束下的阵列激励权重，进而实现低副瓣波束要求，适用范围更广。

附图说明

图1为本发明实施流程示意图；

图2不同动态范围约束的平顶方向图；

图3副瓣电平随动态范围变化曲线；

图4不同动态范围的激励幅度；

图5笔形波束方向图；

图6阵元激励幅度。

具体实施方式

本发明的实施流程如1所示。

以线阵列天线为例，平面阵列天线或更高维阵列天线的结论可以以此类推。假定天线具有任意分布特性的N个阵元(均匀的或非均匀的)，则阵列天线的远场辐射方向图可描述为：

F(θ)＝a(θ)^Hw

其中

和w＝[w₁,...,w_N]^T分别表示N个阵元组成的天线阵列的导向矢量和幅度激励，n＝1,...,N，k表示波数，x_n表示第n阵列单元的坐标位置，θ表示阵列方向图辐射方向，a_i(θ)和a_j(θ)分别表示天线阵列的导向矢量中主瓣区域和副瓣区域，g_n(θ)表示第n单元的辐射方向图；L_i和U_i分别表示主瓣约束的下限和上限，i＝1,...,I和j＝1,...,J分别表示主瓣区域的采样点和副瓣区域的采样点，D_max表示预设的动态范围最大值，^T表示转置。

低副瓣波束赋形问题表示为：

s.t.L_i≤|a_i(θ)^Hw|²≤U_i,i＝1,...,I

|a_j(θ)^Hw|²≤η,j＝1,...,J

其中，L_i和U_i分别表示主瓣约束的下限和上限，i＝1,...,I和j＝1,...,J分别表示主瓣区域的采样点和副瓣区域的采样点，η表示待优化的目标副瓣电平值。

本发明引入缩放因子，在任意赋形波束约束和激励幅度约束的前提下，通过优化缩放因子，实现波形约束和激励幅度约束的能量完美匹配。

将激励幅度约束的低副瓣波束赋形优化问题表示为：

1≤|w_n|≤D_max或者|w_n|＝c_n,n＝1,...,N

其中,η表示待优化的目标副瓣电平值，D_max表示预设的动态范围约束，c_n表示预设的激励幅度值，s表示波形约束和激励幅度约束的缩放因子。

将动态范围约束低副瓣波束赋形问题和预设幅度约束的低副瓣波束赋形问题进行统一，通过定义缩放因子s，避免波形约束和激励幅度约束的能量失配问题，实现任意赋形波束和幅度约束匹配。

引入辅助变量u＝[u₁,...,u_I]和v＝[v₁,...,v_J],进而将问题转化为：

s.t.L_i≤|u_i|²≤U_i,i＝1,...,I

|v_j|²≤η,j＝1,...,J

1≤|w_n|≤D_max或者|w_n|＝c_n,n＝1,...,N

u_i＝sa_i(θ)^Hw,i＝1,...,I

v_i＝sa_j(θ)^Hw,j＝1,...,J

该问题是一个非凸非线性问题，不能通过凸优化方法和ADMM方法求解。由于存在变量耦合约束，采用惩罚对偶分解框架，定义主瓣区域和副瓣区域的对偶变量ξ＝[ξ₁,...,ξ_I]和ζ＝[ζ₁,...,ζ_J]，惩罚因子ρ(ρ>0)，构造增广拉格朗日函数L：

其中，A_I＝[a₁(θ),...,a_I(θ)],A_J＝[a₁(θ),...,a_J(θ)]。

算法的具体流程如下：

步骤1设置初始值s⁽⁰⁾,u⁽⁰⁾,v⁽⁰⁾,η⁽⁰⁾,w⁽⁰⁾,ρ⁽⁰⁾,ξ⁽⁰⁾,ζ⁽⁰⁾，^(·)表示迭代次数；初始化第1层迭代次数k＝0，第2层迭代t＝0，设置常数μ(0<μ<1)、常数c(0<c<1)以及误差阈值

之后进入步骤2；

步骤2固定变量{u^(k),v^(k),η^(k),w^(k)}更新缩放因子s^(k+1),可得如下子问题：

其中

向导矢量共轭转置矩阵

||·||表示1-范数；

因此，根据一阶最优化条件可得：

其中||·||₂表示2-范数；

步骤3固定变量{s^(k+1),v^(k),η^(k),w^(k)},更新u^(k+1),可得如下子问题

s.t.L_i≤|u_i ^(k+1)|²≤U_i i＝1,...,I

其中辅助变量

ξ＝[ξ₁,...,ξ_I,]；

因此，将

投影到区间

可更新u^(k+1)：

步骤4固定变量{s^(k+1),u^(k+1),w^(k)},更新{v^(k+1),η^(k+1)}：

其中

ζ＝[ζ₁,...,ζ_J]；

步骤5固定变量{s^(k+1),u^(k+1),v^(k+1),η^(k+1)},利用上一次迭代得到的w^(k)先计算辅助变量

再根据情况利用辅助变量

更新得到最优解w^(k+1)：

或者

其中

构造函数r(w)的上界函数

可得

其中，B＝A^HA,K＝λ_max(B)T，λ_max(B)表示矩阵B的最大特征值，T为单位向量,

为w^(k+1)的辅助变量，

根据一阶最优性条件可得：

因此可以下面两种情况的最优解：

1)激励动态范围约束：

2)预设幅度约束：

步骤6计算

L表示增广拉格朗日函数；若Gap>10^-6，则更新k＝k+1转入步骤2，否则转入步骤7；

步骤7计算

||·||_∞表示无穷范数，判断是否满足||h^(t)||_∞<μh^(t-1),如是，则更新

ρ^(t+1)＝ρ^(t)，否则更新ρ^(t+1)＝cρ^(t)，

步骤8若

输出阵列激励权重w＝w^(k+1)，进入步骤9，否则更新t＝t+1，返回步骤2；

步骤9根据确定的阵列激励权重w用于波束赋形。

实验验证

采用如下30阵元均匀分布的线阵列天线，假设每个天线单元都是全向的，即g_n(θ)＝1。对本发明所设计的方法进行实验验证：

表1 30阵元阵列天线的位置信息

Case 1：不同动态范围约束下的波束赋形

本发明实验考虑平顶波束赋形，主瓣区域为[-10°,10°]，副瓣区域为[-90°,-15°]和[15°,90°],主瓣纹波为0.6dB的平顶波束。动态范围区间为[1,6],通过上述算法流程迭代技术可求得阵列激励权重(各阵元激励权重)，并计算相应的阵列方向图，如图2所示，在不同的激励动态范围约束前提下，主瓣内的纹波小于等于0.6dB，满足预设主瓣约束要求，同时，在动态范围增加时，副瓣电平降低；图3表示不同动态范围下的副瓣电平变化情况，在主瓣区域和纹波大小不变的前提下，副瓣电平随动态范围增加而降低；图4表示不同动态范围下各阵元激励幅度变化情况。

Case2：幅度预设约束下的波束赋形

本发明实验为笔形波束赋形，波束指向为5°，副瓣区域为[-90°，0°]和[10°，90°]，激励幅度预先给定。通过上述算法流程，迭代计算可得各阵元激励权重，并计算相应阵列方向图。图5表示笔形波束方向图；图6表示预给定的各阵元激励幅度和提出的激励幅度，表明各个阵元能够满足预设幅度要求。

Claims (1)

1.一种带激励幅度约束的低副瓣波束赋形方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1确定阵列天线中的总阵元数为N，阵列天线的远场辐射方向图为a(θ)^Hw，a_i(θ)和a_j(θ)分别表示天线阵列的导向矢量中主瓣区域和副瓣区域，w＝[w₁,...,w_n,...,w_N]^T，θ表示阵列方向图辐射方向，阵元序号n＝1,...,N，i＝1,...,I和j＝1,...,J分别表示主瓣区域的采样点序号和副瓣区域的采样点序号，I和J分别表示主瓣区域的采样点总数和副瓣区域的采样点总数；T表示转置，H表示共轭转置；

设置初始值s^(k＝0),u^(k＝0),v^(k＝0),η^(k＝0),w^(k＝0),ρ^(t＝0),ξ^(t＝0),ζ^(t＝0)，(·)表示迭代次数；s为缩放因子，u和v为辅助变量，u＝[u₁,...,u_i,...,u_I]，v＝[v₁,...,v_j,...,v_J]，u_i＝sa_i(θ)^Hw，u_j＝sa_j(θ)^Hw，η表示目标副瓣电平值，w表示阵列激励权重，ρ为惩罚因子，ξ为主瓣区域的对偶变量，ζ为副瓣区域的对偶变量；预设主瓣约束的下限L_i和上限U_i、动态范围最大值D_max以及激励幅度值c_n；初始化第1层迭代次数k＝0，第2层迭代次数t＝0；设置常数μ，常数c以及误差阈值

0<μ<1，0<c<1，之后进入步骤2；

步骤2固定u^(k),v^(k),η^(k),w^(k)，更新s^(k+1)：

其中，A为向导矢量共轭转置矩阵

A_I＝[a₁(θ),...,a_i(θ),...,a_I(θ)],A_J＝[a₁(θ),...,a_j(θ),...,a_J(θ)]，||·||₂表示2-范数，辅助变量

步骤3固定s^(k+1),v^(k),η^(k),w^(k),设置辅助变量

将

投影到区间

更新u^(k+1)中各元素

步骤4固定s^(k+1),u^(k+1),w^(k)，通过设置辅助变量

更新v^(k+1),η^(k+1)：

步骤5固定s^(k+1),u^(k+1),v^(k+1),η^(k+1),通过设置辅助变量y^(k+1)，再利用上一次迭代得到的w^(k)先计算辅助变量

其中，B为对称矩阵，B＝A^HA，K为矩阵B的特征向量，K＝λ_max(B)T，λ_max(B)表示矩阵B的最大特征值，T为单位向量；

再根据情况利用辅助变量

选择约束形式更新得到w^(k+1)中各元素

5a)激励动态范围约束：

5b)预设幅度约束：

步骤6计算

L表示增广拉格朗日函数；判断是否满足Gap>10^-6，如是，则更新k＝k+1，转入步骤2，否则转入步骤7；

步骤7计算

||·||_∞表示无穷范数；再判断是否满足||h^(t)||_∞<μh^(t-1),如是，则更新

ρ^(t+1)＝ρ^(t)，否则更新ρ^(t+1)＝cρ^(t)，

步骤8判断是否满足

如是，则输出阵列激励权重w＝w^(k+1)，进入步骤9，否则更新t＝t+1，返回步骤2；

步骤9根据确定的阵列激励权重w完成波束赋形。

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