CN112636794A - 一种基于贪心算法的波束赋形方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于贪心算法的波束赋形方法，包括：1.上行用户***模型、2.基于上行用户模型给出基于贪心思想的混合波束赋形算法，本发明基于贪心思想的多用户混合波束赋形技术仅通过少量迭代便可得到完整的模拟波束赋形矩阵，计算简单，实现复杂度低，同时能够更充分地利用***提供的射频链路，提高了用户的频谱效率。此外，在优化模拟波束赋形矩阵的过程中，该贪心算法通过求解残差矩阵的最大特征向量实现，因此该算法不受限于固定的原子集，也不需要知道每条独立信道的增益、角度信息，且不依赖于天线阵列结构。

Description

一种基于贪心算法的波束赋形方法

技术领域

本发明涉及一种基于贪心算法的波束赋形方法，尤其涉及一种基于贪心算法的波束赋形方法。

背景技术

毫米波通信是第五代移动通信技术(5G)的关键技术之一，引起了广泛的研究与关注。由于毫米波频段具有高路径损耗、低穿透能力等特性，毫米波通信需要结合大规模多输入多输出(MIMO)技术，利用大规模天线阵列，通过波束赋形技术得到强增益，以抵抗高的路径损耗和信号衰减。

传统的波束赋形算法，存在着计算过程繁琐复杂，且算法受独立信道的增益、角度信息以及天线阵列结构所限制，实现复杂度较高的问题。

发明内容

本发明目的是为了克服现有技术的不足而提供一种计算简单，实现复杂度低，同时能够更充分地利用***提供的射频链路，提高了用户的频谱效率，不需受独立信道的增益、角度信息及天线阵列结构所影响的基于深度学习的毫米波天线阵列波束赋形方法。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种基于贪心算法的波束赋形方法，包括以下内容：

(1)上行多用户***模型，如图一所示上行链路多用户毫米波混合波束赋形***模型。

基站端配有N根天线，M个RF链路，同时与K个单天线用户进行通信，其中K≤M，基带数字波束赋形矩阵记为W，幅度和相位均可变；模拟波束赋形矩阵记为F，只有相位可变，幅度恒定。考虑上行链路传输，则基站接收信号为：

其中，p为发送符号功率，s是K×1的发射符号向量，满足E[SS^H]＝(1/K)×I_K，H为N×K的信道矩阵，n为N×1的高斯噪声向量，服从

y为N×1的基站接收符号向量。

通过基站端混合波束赋形处理后，恢复出的K个用户接收信号为

这里W_HBF为N×K混合波束赋形矩阵，由模拟波束赋形矩阵和数字波形赋形矩阵构成，表示W_HBF＝FW，F为N×M的模拟波束赋形矩阵；W为N×K的数字波形赋形矩阵。

第k个用户接收信干燥比为：

其中，h_k表示信道矩阵H的第K列向量，

为混合波束赋形矩阵

第k行向量。则***频谱效率R如下：

(2)基于贪心思想的混合波束赋形算法

基于上述的上行多用户混合波束赋形***模型，给出基于贪心思想的多用户混合波束赋形算法。

架设基站端已知信道状态信息，以最大化***频谱效率为准则设计混合波束赋形矩阵，则原始优化问题为：

为最大化每个用户的频谱效率，除了提高有用信号的功率外，还应该减少用户间干扰。在传统的大规模MIMO多用户场景中，一些常用的线性检测算法如MRC、ZF、MMSE检测算法，就可以实现比较高的频谱效率。然而由于混合波束赋形结构中模拟域的恒幅约束条件，这些全数字检测矩阵不能直接用于混合波束赋形***。F检测算法是大规模MIMO***中典型的检测算法，其加权矩阵用于消除用户间干扰，当基站配置的天线数远大于同时服务的用户数时，ZF检测算法可以获得接近最佳的检测性能。在单用户混合波束赋形算法中，最大化频谱效率可以转换成最小化混合波束赋形矩阵与最优无约束的全数字矩阵的距离优化问题，即在满足***约束条件下，使混合波束矩阵接近最优无约束的全数字矩阵。利用该思想，以全数字ZF检测矩阵作为无约束条件下的最优检测矩阵，那么在多用户混合波束赋形算法中，最大化毫米波***频谱效率可以转换为最小化混合波束赋形矩阵与全数字ZF检测矩阵的距离：

这里，这里P＝H(H^HH)^-1为全数字ZF检测矩阵，约束条件为模拟波束赋形矩阵的恒幅约束。

此时的用户数K≠M，因此模拟波束赋形矩阵不能直接从全数字矩阵P中进行相位提取得到。为了降低算法实现复杂度，先将原优化问题分解成子优化问题，通过求解子优化问题，为贪心算法提供初始解，减少贪心算法的迭代次数。由于K＝M是原始问题的临界点，现以K为分界点，将模拟波束赋形矩阵求解拆分成两个阶段即F的前K列F[：，1：K]和后(M-K)列F[：，K+1：M]进行，先通过建立子优化问题模型，利用相位提取技术得到F：，1：K]，然后以F[：，1：K]做为初始值，利用贪心算法，采用列更新的方式，不断减小混合波束赋形矩阵与最优ZF检测矩阵之间的残差，得到F[：，K+1：M]。

首先对模拟波束赋形矩阵进行初始化即对模拟波束赋形矩阵F[：，1：K]进行求解。为简化问题，降低算法实现复杂度，该阶段将模拟域和数字域分开处理，首先处理模拟矩阵F：，1：K]，所求解的模拟波束赋形矩阵列向量k满足1≤k≤K，因此通过最小化距离思想得到如下优化问题：

将Frobenius范数展开，那么上式可以写为：

最优全数字矩阵P的第(m，n)个元素P_n，m可以写为

模拟矩阵F[：，1：K]的第(m，n)个元素P_n，m可以写为

因此上述优化问题的最优解为：

arg(F_n，m)＝arg(P_n，m)

其中，arg(A_n，m)是提取矩阵A中第(m，n)个元素的相位信息。

因此F[：，1：K]为：

接下来求解模拟波束赋形矩阵F[：，K+1：M]，在F[：，1：K]的基础上，对原始的优化问题进行求解，即求解如下优化问题：

这里利用贪心算法通过列更新求解F[：，K+1：M]。用m表示迭代次数，模拟矩阵前K列已知，因此m满足m＝K，..，M-1，则第m次迭代中，首先利用已知的F[：，1：m]，通过最小二乘法计算相应的数字波束赋形矩阵W[1：m，：]如下：

W[1：m，：]＝(F[1：m，：])÷P (式2)

＝(F[1：m，：]^HF[1：m，：]^-1F[1：m，：]^H)P

更新当前混合波束赋形矩阵与全数字矩阵的残差矩阵：

P_res＝P-F[：，1，：m]W[1：m，：] (式3)

最小化式上述的残差矩阵，原则上只需要对残差矩阵进行SVD分解，取得最大奇异值所对应的正交向量，通过该正交向量更新模拟波束赋形矩阵。现对该贪心算法的实现原理进行分析证明。首先对残差矩阵P_res进行SVD分解可得：

P_res＝UDV^H

其中U和V为正交矩阵，D为特征值降序排列组成的对角阵。现以U为更新字典集，则U与残差矩阵P_res之间的相关矩阵Φ为：

Φ＝U^HP_res

则模拟波束赋形矩阵第(m+1)列向量的更新标准如下；

F[：，m+1]＝{U[：，Ω_m]|Ω_m是矩阵ΦΦ^H＝对角线最大元素对应的索引值}

把P_res＝UDV^H及Φ＝U^HP_res代入矩阵o″可得：

(e)是利用了U和V矩阵的正交性得到。因此矩阵ΦΦ^H对角线元素的最大值即为最大特征值，模拟波束赋形矩阵第(m+1)列向量对应正交矩阵U的第1列向量，即为：

F[：，1，：m]＝U[：，1]

由于模拟波束赋形矩阵需要满足恒幅约束，需要进一步利用相位提取得到最终的模拟波束赋形矩阵的第(m+1)列向量F[：，m+1]：

根据上述步骤，经过(M-K)次迭代后便可以得到完整的模拟波束赋形矩阵F。

通过贪心算法以列更新的方式得到模拟波束赋形矩阵后，一般的贪心算法中通过最小二乘法得到数字波束赋形矩阵如下：

W＝(F^HF)^-1F^HP

由于传统的匹配追踪算法是基于已定义好的模拟波束原子集进行最优匹配，最小二乘法能够取得很好的性能，最后得到的混合波束赋形矩阵能够很好地近似最优矩阵。在本节中，所给出的贪心算法是通过最大特征值对应的特征向量来更新模拟波束矩阵，虽能在更新地过程中不依赖于固定的模拟波束码本集，但性能受限于所得到的模拟波束赋形矩阵，因此除了根据最小二乘法求解得到数字波束赋形矩阵，本节给出了性能相对稳定的数字波束赋形矩阵求解算法，即通过等效信道思想，利用低维的数字处理来计算数字波束赋形矩阵。首先根据模拟波束赋形矩阵F和信道矩阵H计算基带端的等效信道矩阵H_eff：

H_eff＝F^HH (式5)

利用等效信道矩阵H_eff，根据ZF准则计算与等效信道匹配的数字波束赋形矩阵W：

基于贪心思想的混合波束赋形算法先通过初始化阶段，利用相位提取技术为贪心算法提供有效的模拟波束赋形矩阵初始解，然后通过少量迭代，不断减小残差，更新得到完整的模拟波束赋形矩阵。最后，根据等效信道思想，通过低维的ZF数字处理，计算得到数字波束赋形矩阵。

因此，所提出的基于贪心思想的多用户混合波束赋形算法的完整算法流程如下所示：

初始化：m＝K

步骤1：利用式1对模拟波束赋形矩阵F[：，1：K]初始化；

步骤2：利用贪心算法通过不断减小残差更新F[：，K+1：M]；

步骤2.1：根据式2计算当前数字波束赋形矩阵；

步骤2.2：根据式3计算当前残差矩阵p_res；

步骤2.3：对残差矩阵p_res进行SVD分解p_res＝UDV^H；

步骤2.4：根据式4对模拟矩阵的第(m+1)列进行更新；

步骤2.5:m＝m+1。如果m<M，返回步骤2；否则，迭代结束,得到模拟波束赋形矩阵F。

步骤3:基于等效信道思想根据式5计算等效信道,然后根据式6计算数字波束赋形矩阵，返回模拟波束赋形矩阵F和数字波束赋形矩阵W。

由于上述技术方案的运用，本发明与现有技术相比具有下列优点：

本发明方案一种基于贪心算法的波束赋形方法，仅通过少量迭代便可得到完整的模拟波束赋形矩阵，计算简单，实现复杂度低，同时能够更充分地利用***提供的射频链路，提高了用户的频谱效率。此外，在优化模拟波束赋形矩阵的过程中，该贪心算法通过求解残差矩阵的最大特征向量实现，因此该算法不受限于固定的原子集，也不需要知道每条独立信道的增益、角度信息，且不依赖于天线阵列结构。

附图说明

下面结合附图对本发明技术方案作进一步说明：

附图1为上行多用户毫米波混合波束赋形***模型。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步的详细说明。

如附图1所示的本发明所述的一种基于贪心算法的波束赋形方法,包括以下内容：

(1)上行多用户***模型，如图一所示上行链路多用户毫米波混合波束赋形***模型。

基站端配有N根天线，M个RF链路，同时与K个单天线用户进行通信，其中K≤M，基带数字波束赋形矩阵记为W，幅度和相位均可变；模拟波束赋形矩阵记为F，只有相位可变，幅度恒定。考虑上行链路传输，则基站接收信号为：

其中，p为发送符号功率，s是K×1的发射符号向量，满足E[SS^H]＝(1/K)×I_K，H为N×K的信道矩阵，n为N×1的高斯噪声向量，服从

y为N×1的基站接收符号向量。

通过基站端混合波束赋形处理后，恢复出的K个用户接收信号为

这里W_HBF为N×K混合波束赋形矩阵，由模拟波束赋形矩阵和数字波形赋形矩阵构成，表示W_HBF＝FW，F为N×M的模拟波束赋形矩阵；W为N×K的数字波形赋形矩阵。

第k个用户接收信干燥比为：

其中，h_k表示信道矩阵H的第K列向量，

为混合波束赋形矩阵

第k行向量。则***频谱效率R如下：

(2)基于贪心思想的混合波束赋形算法

基于上述的上行多用户混合波束赋形***模型，给出基于贪心思想的多用户混合波束赋形算法。

架设基站端已知信道状态信息，以最大化***频谱效率为准则设计混合波束赋形矩阵，则原始优化问题为：

为最大化每个用户的频谱效率，除了提高有用信号的功率外，还应该减少用户间干扰。在传统的大规模MIMO多用户场景中，一些常用的线性检测算法如MRC、ZF、MMSE检测算法，就可以实现比较高的频谱效率。然而由于混合波束赋形结构中模拟域的恒幅约束条件，这些全数字检测矩阵不能直接用于混合波束赋形***。F检测算法是大规模MIMO***中典型的检测算法，其加权矩阵用于消除用户间干扰，当基站配置的天线数远大于同时服务的用户数时，ZF检测算法可以获得接近最佳的检测性能。在单用户混合波束赋形算法中，最大化频谱效率可以转换成最小化混合波束赋形矩阵与最优无约束的全数字矩阵的距离优化问题，即在满足***约束条件下，使混合波束矩阵接近最优无约束的全数字矩阵。利用该思想，以全数字ZF检测矩阵作为无约束条件下的最优检测矩阵，那么在多用户混合波束赋形算法中，最大化毫米波***频谱效率可以转换为最小化混合波束赋形矩阵与全数字ZF检测矩阵的距离:

这里，这里P＝H(H^HH)^-1为全数字ZF检测矩阵，约束条件为模拟波束赋形矩阵的恒幅约束。

此时的用户数K≠M﹐因此模拟波束赋形矩阵不能直接从全数字矩阵Р中进行相位提取得到。为了降低算法实现复杂度，先将原优化问题分解成子优化问题，通过求解子优化问题，为贪心算法提供初始解，减少贪心算法的迭代次数。由于K＝M是原始问题的临界点，现以K为分界点，将模拟波束赋形矩阵求解拆分成两个阶段即F的前K列F[:,1:K]和后(M-K)列F[:,K+1:M]进行，先通过建立子优化问题模型，利用相位提取技术得到F:,1:K]，然后以F[:,1:K]做为初始值，利用贪心算法，采用列更新的方式，不断减小混合波束赋形矩阵与最优ZF检测矩阵之间的残差，得到F[:,K+1:M]。

首先对模拟波束赋形矩阵进行初始化即对模拟波束赋形矩阵F[:,1:K]进行求解。为简化问题，降低算法实现复杂度，该阶段将模拟域和数字域分开处理，首先处理模拟矩阵F:,1:K]，所求解的模拟波束赋形矩阵列向量k满足1≤k≤K，因此通过最小化距离思想得到如下优化问题:

将Frobenius范数展开，那么上式可以写为：

最优全数字矩阵P的第(m，n)个元素P_n，m可以写为

模拟矩阵F[：，1：K]的第(m，n)个元素P_n，m可以写为

因此上述优化问题的最优解为：

arg(F_n，m)＝arg(P_n，m)

其中，arg(A_n，m)是提取矩阵A中第(m，n)个元素的相位信息。

因此F[：，1：K]为：

接下来求解模拟波束赋形矩阵F[：，K+1：M]，在F[：，1：K]的基础上，对原始的优化问题进行求解，即求解如下优化问题：

这里利用贪心算法通过列更新求解F[：，K+1：M]。用m表示迭代次数，模拟矩阵前K列已知，因此m满足m＝K，..，M-1，则第m次迭代中，首先利用已知的F[：，1：m]，通过最小二乘法计算相应的数字波束赋形矩阵W[1：m，：]如下：

W[1：m，：]＝(F[1：m，：])÷P (式2)

＝(F[1：m，：]^HF[1：m，：]^-1F[1：m，：]^H)P

更新当前混合波束赋形矩阵与全数字矩阵的残差矩阵：

P_res＝P-F[：，1，：m]W[1：m，：] (式3)

最小化式上述的残差矩阵，原则上只需要对残差矩阵进行SVD分解，取得最大奇异值所对应的正交向量，通过该正交向量更新模拟波束赋形矩阵。现对该贪心算法的实现原理进行分析证明。首先对残差矩阵P_res进行SVD分解可得：

P_res＝UDV^H

其中U和V为正交矩阵，D为特征值降序排列组成的对角阵。现以U为更新字典集，则U与残差矩阵P_res之间的相关矩阵Φ为：

Φ＝U^HP_res

则模拟波束赋形矩阵第(m+1)列向量的更新标准如下；

F[：，m+1]＝{U[：，Ω_m]|Ω_m是矩阵ΦΦ^H＝对角线最大元素对应的索引值}

把P_res＝UDV^H及Φ＝U^HP_res代入矩阵o″可得：

(e)是利用了U和V矩阵的正交性得到。因此矩阵ΦΦ^H对角线元素的最大值即为最大特征值，模拟波束赋形矩阵第(m+1)列向量对应正交矩阵U的第1列向量，即为：

F[：，1，：m]＝U[：，1]

由于模拟波束赋形矩阵需要满足恒幅约束，需要进一步利用相位提取得到最终的模拟波束赋形矩阵的第(m+1)列向量F[：，m+1]：

根据上述步骤，经过(M-K)次迭代后便可以得到完整的模拟波束赋形矩阵F。

通过贪心算法以列更新的方式得到模拟波束赋形矩阵后，一般的贪心算法中通过最小二乘法得到数字波束赋形矩阵如下：

W＝(F^HF)^-1F^HP

由于传统的匹配追踪算法是基于已定义好的模拟波束原子集进行最优匹配，最小二乘法能够取得很好的性能，最后得到的混合波束赋形矩阵能够很好地近似最优矩阵。在本节中，所给出的贪心算法是通过最大特征值对应的特征向量来更新模拟波束矩阵，虽能在更新地过程中不依赖于固定的模拟波束码本集，但性能受限于所得到的模拟波束赋形矩阵，因此除了根据最小二乘法求解得到数字波束赋形矩阵，本节给出了性能相对稳定的数字波束赋形矩阵求解算法，即通过等效信道思想，利用低维的数字处理来计算数字波束赋形矩阵。首先根据模拟波束赋形矩阵F和信道矩阵H计算基带端的等效信道矩阵H_eff：

H_eff＝F^HH (式5)

利用等效信道矩阵H_eff，根据ZF准则计算与等效信道匹配的数字波束赋形矩阵W：

基于贪心思想的混合波束赋形算法先通过初始化阶段，利用相位提取技术为贪心算法提供有效的模拟波束赋形矩阵初始解，然后通过少量迭代，不断减小残差，更新得到完整的模拟波束赋形矩阵。最后，根据等效信道思想，通过低维的ZF数字处理，计算得到数字波束赋形矩阵。

因此，所提出的基于贪心思想的多用户混合波束赋形算法的完整算法流程如下所示：

初始化：m＝K

步骤1：利用式1对模拟波束赋形矩阵F[：，1：K]初始化；

步骤2：利用贪心算法通过不断减小残差更新F[：，K+1：M]；

步骤2.1：根据式2计算当前数字波束赋形矩阵；

步骤2.2：根据式3计算当前残差矩阵p_res；

步骤2.3：对残差矩阵p_res进行SVD分解p_res＝UDV^H；

步骤2.4：根据式4对模拟矩阵的第(m+1)列进行更新；

步骤2.5:m＝m+1。如果m<M，返回步骤2；否则，迭代结束,得到模拟波束赋形矩阵F。

步骤3:基于等效信道思想根据式5计算等效信道,然后根据式6计算数字波束赋形矩阵，返回模拟波束赋形矩阵F和数字波束赋形矩阵W。

通过上述完整算法流程可以看出，该基于贪心思想的多用户混合波束赋形技术仅通过少量迭代便可得到完整的模拟波束赋形矩阵，计算简单，实现复杂度低，同时能够更充分地利用***提供的射频链路，提高了用户的频谱效率。此外，在优化模拟波束赋形矩阵的过程中，该贪心算法通过求解残差矩阵的最大特征向量实现，因此该算法不受限于固定的原子集，也不需要知道每条独立信道的增益、角度信息，且不依赖于天线阵列结构，从而有效的解决了传统的波束赋形算法，存在着计算过程繁琐复杂，且算法受独立信道的增益、角度信息以及天线阵列结构所限制，实现复杂度较高的问题。

以上仅是本发明的具体应用范例，对本发明的保护范围不构成任何限制。凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于贪心算法的波束赋形方法，包括以下内容：

(1)上行多用户***模型，如图一所示上行链路多用户毫米波混合波束赋形***模型。

基站端配有N根天线，M个RF链路，同时与K个单天线用户进行通信，其中K≤M，基带数字波束赋形矩阵记为W，幅度和相位均可变；模拟波束赋形矩阵记为F，只有相位可变，幅度恒定。考虑上行链路传输，则基站接收信号为：

其中，p为发送符号功率，s是K×1的发射符号向量，满足E[SS^H]＝(1/K)×I_K,H为N×K的信道矩阵，n为N×1的高斯噪声向量，服从

y为N×1的基站接收符号向量。

通过基站端混合波束赋形处理后，恢复出的K个用户接收信号为

这里W_HBF为N×K混合波束赋形矩阵，由模拟波束赋形矩阵和数字波形赋形矩阵构成，表示W_HBF＝FW，F为N×M的模拟波束赋形矩阵；W为N×K的数字波形赋形矩阵。

第k个用户接收信干噪比为：

其中，h_k表示信道矩阵H的第K列向量，

为混合波束赋形矩阵

第k行向量。则***频谱效率R如下：

(2)基于贪心思想的混合波束赋形算法

基于上述的上行多用户混合波束赋形***模型，给出基于贪心思想的多用户混合波束赋形算法。

架设基站端已知信道状态信息，以最大化***频谱效率为准则设计混合波束赋形矩阵，则原始优化问题为：

为最大化每个用户的频谱效率，除了提高有用信号的功率外，还应该减少用户间干扰。在传统的大规模MIMO多用户场景中，一些常用的线性检测算法如MRC、ZF、MMSE检测算法，就可以实现比较高的频谱效率。然而由于混合波束赋形结构中模拟域的恒幅约束条件，这些全数字检测矩阵不能直接用于混合波束赋形***。F检测算法是大规模MIMO***中典型的检测算法，其加权矩阵用于消除用户间干扰，当基站配置的天线数远大于同时服务的用户数时，ZF检测算法可以获得接近最佳的检测性能。在单用户混合波束赋形算法中，最大化频谱效率可以转换成最小化混合波束赋形矩阵与最优无约束的全数字矩阵的距离优化问题，即在满足***约束条件下，使混合波束矩阵接近最优无约束的全数字矩阵。利用该思想，以全数字ZF检测矩阵作为无约束条件下的最优检测矩阵，那么在多用户混合波束赋形算法中，最大化毫米波***频谱效率可以转换为最小化混合波束赋形矩阵与全数字ZF检测矩阵的距离:

这里，这里P＝H(H^HH)^-1为全数字ZF检测矩阵，约束条件为模拟波束赋形矩阵的恒幅约束。

此时的用户数K≠M﹐因此模拟波束赋形矩阵不能直接从全数字矩阵Р中进行相位提取得到。为了降低算法实现复杂度，先将原优化问题分解成子优化问题，通过求解子优化问题，为贪心算法提供初始解，减少贪心算法的迭代次数。由于K＝M是原始问题的临界点，现以K为分界点，将模拟波束赋形矩阵求解拆分成两个阶段即F的前K列F[:,1:K]和后(M-K)列F[:,K+1:M]进行，先通过建立子优化问题模型，利用相位提取技术得到F:,1:K]，然后以F[:,1:K]做为初始值，利用贪心算法，采用列更新的方式，不断减小混合波束赋形矩阵与最优ZF检测矩阵之间的残差，得到F[:,K+1:M]。

首先对模拟波束赋形矩阵进行初始化即对模拟波束赋形矩阵F[:,1:K]进行求解。为简化问题，降低算法实现复杂度，该阶段将模拟域和数字域分开处理，首先处理模拟矩阵F:,1:K]，所求解的模拟波束赋形矩阵列向量k满足1≤k≤K，因此通过最小化距离思想得到如下优化问题:

将Frobenius范数展开，那么上式可以写为：

最优全数字矩阵P的第(m,n)个元素P_n，m可以写为

模拟矩阵F[:,1:K]的第(m,n)个元素P_n，m可以写为

因此上述优化问题的最优解为：

arg(F_n，m)＝arg(P_n，m)

其中，arg(A_n，m)是提取矩阵A中第(m,n)个元素的相位信息。

因此F[:,1:K]为：

接下来求解模拟波束赋形矩阵F[:,K+1:M]，在F[:,1:K]的基础上，对原始的优化问题进行求解，即求解如下优化问题:

这里利用贪心算法通过列更新求解F[:,K+1:M]。用m表示迭代次数，模拟矩阵前K列已知,因此m满足m＝K，..，M-1，则第m次迭代中,首先利用已知的F[:,1:m]，通过最小二乘法计算相应的数字波束赋形矩阵W[1:m,:]如下：

W[1：m，：]＝(F[1：m，：])÷P (式2)

＝(F[1：m，：]^HF[1：m，：]^-1F[1：m，：]^H)P

更新当前混合波束赋形矩阵与全数字矩阵的残差矩阵：

P_res＝P-F[：，1，：m]W[1：m，：] (式3)

最小化式上述的残差矩阵，原则上只需要对残差矩阵进行SVD分解，取得最大奇异值所对应的正交向量，通过该正交向量更新模拟波束赋形矩阵。现对该贪心算法的实现原理进行分析证明。首先对残差矩阵P_res进行SVD分解可得：

P_res＝UDV^H

其中U和V为正交矩阵，D为特征值降序排列组成的对角阵。现以U为更新字典集，则U与残差矩阵P_res之间的相关矩阵Φ为：

Φ＝U^HP_res

则模拟波束赋形矩阵第(m+1)列向量的更新标准如下；

F[：，m+1]＝{U[：，Ω_m]|Ω_m是矩阵ΦΦ^H＝对角线最大元素对应的索引值}

把P_res＝UDV^H及Φ＝U^HP_res代入矩阵o″可得：

(e)是利用了U和V矩阵的正交性得到。因此矩阵ΦΦ^H对角线元素的最大值即为最大特征值，模拟波束赋形矩阵第(m+1)列向量对应正交矩阵U的第1列向量，即为：

F[：，1，：m]＝U[：，1]

由于模拟波束赋形矩阵需要满足恒幅约束，需要进一步利用相位提取得到最终的模拟波束赋形矩阵的第(m+1)列向量F[：，m+1]：

根据上述步骤，经过(M-K)次迭代后便可以得到完整的模拟波束赋形矩阵F。

通过贪心算法以列更新的方式得到模拟波束赋形矩阵后，一般的贪心算法中通过最小二乘法得到数字波束赋形矩阵如下：

W＝(F^HF)^-1F^HP

由于传统的匹配追踪算法是基于已定义好的模拟波束原子集进行最优匹配，最小二乘法能够取得很好的性能，最后得到的混合波束赋形矩阵能够很好地近似最优矩阵。在本节中，所给出的贪心算法是通过最大特征值对应的特征向量来更新模拟波束矩阵，虽能在更新地过程中不依赖于固定的模拟波束码本集，但性能受限于所得到的模拟波束赋形矩阵，因此除了根据最小二乘法求解得到数字波束赋形矩阵，本节给出了性能相对稳定的数字波束赋形矩阵求解算法，即通过等效信道思想，利用低维的数字处理来计算数字波束赋形矩阵。首先根据模拟波束赋形矩阵F和信道矩阵H计算基带端的等效信道矩阵H_eff：

H_eff＝F^HH (式5)

利用等效信道矩阵H_eff，根据ZF准则计算与等效信道匹配的数字波束赋形矩阵W：

基于贪心思想的混合波束赋形算法先通过初始化阶段，利用相位提取技术为贪心算法提供有效的模拟波束赋形矩阵初始解，然后通过少量迭代，不断减小残差，更新得到完整的模拟波束赋形矩阵。最后，根据等效信道思想，通过低维的ZF数字处理，计算得到数字波束赋形矩阵。

因此，所提出的基于贪心思想的多用户混合波束赋形算法的完整算法流程如下所示：

初始化：m＝K

步骤1：利用式1对模拟波束赋形矩阵F[：，1：K]初始化；

步骤2：利用贪心算法通过不断减小残差更新F[：，K+1：M]；

步骤2.1：根据式2计算当前数字波束赋形矩阵；

步骤2.2：根据式3计算当前残差矩阵p_res；

步骤2.3：对残差矩阵p_res进行SVD分解p_res＝UDV^H；

步骤2.4：根据式4对模拟矩阵的第(m+1)列进行更新；

步骤2.5：m＝m+1。如果m＜M，返回步骤2；否则，迭代结束，得到模拟波束赋形矩阵F。

步骤3：基于等效信道思想根据式5计算等效信道，然后根据式6计算数字波束赋形矩阵，返回模拟波束赋形矩阵F和数字波束赋形矩阵W。

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